(LUẬN văn THẠC sĩ) một số phương pháp giải hệ phương trình luận văn thạc sĩ toán học 60 46 01 13

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ KIM NGỌC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2013 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ KIM NGỌC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM VĂN QUỐC HÀ NỘI, NĂM 2013 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU MỘT SỐ DẠNG HỆ VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 1.1 1.2 MỘT SỐ DẠNG HỆ CƠ BẢN 1.1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1.1.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG 1.1.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 15 1.1.4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG HỐN VỊ VỊNG QUANH 19 PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 24 1.2.1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ 24 1.2.2 PHƯƠNG PHÁP THẾ 27 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 32 2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 32 2.2 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 37 2.3 PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC 43 2.4 PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 46 2.5 PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC 51 2.6 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ 54 2.7 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SỐ PHỨC 58 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH 62 3.1 ỨNG DỤNG TRONG XÉT TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 62 3.2 ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 63 3.3 ỨNG DỤNG TRONG TÌM GTLN, GTNN 66 3.4 ỨNG DỤNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ 68 KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Hoàn thành luận văn này, ngồi nỗ lực thân, tơi nhận bảo, giúp đỡ từ nhiều phía thầy, giáo, gia đình bạn bè Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Văn Quốc, người thầy tận tình hướng dẫn bảo tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy, giáo khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà Nội, người trực tiếp giảng dạy giúp đỡ tơi q trình học tập trường tồn thể bạn bè người thân đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Mặc dù thân cố gắng nghiêm túc học tập nghiên cứu khoa học thời gian có hạn, kiến thức thân cịn hạn chế nên q trình thực khơng tránh khỏi sơ suất Kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Tôi xin trân trọng cảm ơn! TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 LỜI MỞ ĐẦU Chuyên đề hệ phương trình nội dung quan trọng, cần thiết, xem dạng toán chương trình đại số bậc trung học Các tốn giải hệ phương trình xuất hầu hết kì thi Đại học, Cao đẳng kì thi Học sinh giỏi Đứng trước hệ phương trình học sinh cần phải biết phân tích, nhận dạng chọn lựa phương pháp giải thích hợp Mỗi tốn có nhiều cách giải Tuy nhiên, việc hệ thống hoá phương pháp giải cho phép nhìn nhận tốn theo hệ thống qn Do tơi lựa chọn nghiên cứu đề tài “ Một số phương pháp giải hệ phương trình” Bản luận văn chia làm chương: Chương Một số dạng hệ phương pháp Chương nhắc lại số dạng hệ phương pháp giải như: Hệ phương trình bậc hai ẩn, hệ đối xứng, đẳng cấp, hốn vị vịng quanh phương pháp cộng Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình Ở chương này, luận văn nêu số phương pháp giải nghĩ tới gặp hệ phương trình mà khơng sử dụng dạng chương Chương Một vài ứng dụng hệ phương trình Luận văn trình bày ứng dụng thường gặp hệ phương trình là: Ứng dụng việc xét tương giao hai đồ thị; giải phương trình; tìm GTLN, GTNN toán kinh tế Hà nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả luận văn NGUYỄN THỊ KIM NGỌC (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 Chương MỘT SỐ DẠNG HỆ VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 1.1 MỘT SỐ DẠNG HỆ CƠ BẢN 1.1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN *) Cơ sở phương pháp a) Định nghĩa: Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ có dạng    a1 x + b1 y = c1   a2 x + b2 y = c2 b) Cách giải: Thông thường sử dụng ba cách sau: Cách 1: Phương pháp Cách 2: Phương pháp cộng Cách 3: Phương pháp dùng định thức Kí hiệu: (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 + Hệ    f (x; y) = a f (x; y), g(x; y) đẳng cấp bậc k gọi hệ đẳng cấp   g(x; y) = b b) Cách giải: • Xét x = thay vào hệ kiểm tra xem có  thoả mãn không     f (x, tx) = a  xk f (1, t) = a • Với x 6= đặt y = tx thay vào hệ ta có ⇔    g(x, tx) = b  xk g(1, t) = b a Chia vế theo vế hai phương trình ta f (1, t) = g(1, t) Giải phương trình b tìm t thay vào hệ ta tìm (x, y) *) Ví dụ áp dụng Ví dụ 1.13 Giải hệ phương trình    x3 + y =   x3 − x2 y + 2xy = Giải Dễ thấy x = không thoả mãn hệ suy x 6= Đặt y = tx thay vào hệ ta    x3 + x3 t3 =   x3 − x3 t + 2x3 t2 = ⇔    x3 (1 + t3 ) =   x3 (1 − t + 2t2 ) =  t = ⇒ + t3 = − t + 2t2 ⇔ t(t2 − 2t + 1) = ⇔  t=1 +) t = ⇒ y = ⇒ x = 1 +) t = ⇒ y = x thay vào hệ ⇒ 2x3 = ⇔ x = √ 1 Vậy hệ cho có nghiệm (1; 0), ( √ ;√ ) 3 2    x2 + 2xy − 3y = Ví dụ 1.14 Giải hệ phương trình   x |x| + y |y| = −2 Giải Vì x = khơng thoả mãn  hệ phương trình nên x 6=   x2 + 2x2 t − 3x2 t2 = (1) Đặt y = tx hệ trở thành   x |x| + xt |xt| = −2 (2)  t=1  (1) ⇔ x2 (1 + 2t − 3t2 ) = ⇔ 3t2 − 2t − = ⇔  t=− +) Với t = 1, (2) ⇔ x |x| = −1 ⇔ x = −1 ⇒ y = −1 16 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 +) Với t = − , (2) ⇔ x |x| = − ⇔ x = − ⇒ y = 3 Vậy hệ cho có nghiệm (−1; −1), (− ; − ) 2 Những hệ phương trình ta nhận dạng hệ đẳng cấp Sau ta xét số ví dụ mà phải qua biến đổi  đưa hệ đẳng cấp   2y(x2 − y ) = 3x Ví dụ 1.15 Giải hệ phương trình   x(x2 + y ) = 10y (Trích đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá 2010) Giải Nhận xét x = y = ngược lại nên (0,0) nghiệm hệ Xét xy 6= 0, từ hệ suy 20y (x2 − y ) = 3x2 (x2 + y ) ⇔ 3x4 − 17x2 y + 20y = Vì x 6= 0, đặt y = tx phương trình trở thành  1 t=± t =   ⇔ r x4 (3 − 17t2 + 20t4 ) = ⇔ 20t4 − 17t2 + = ⇔   3 t2 = t=± 5  1 x2 ⇒ y = x thay vào hệ ta = ⇔ x = ±2 ⇒ y = ±1 2 1 +) t = − ⇒ y = − x thay vào hệ ta − x2 = (vô nghiệm) 2 r r √ √ 4 3 375 135 ⇒y= x thay vào hệ ta x = ± ⇒y=± +) t = 5 2 r r r 3 15 +) t = − ⇒y=− x thay vào hệ ta x2 = − (vô nghiệm) 5 √ √ √ √ 4 375 135 375 135 Vậy hệ cho có nghiệm (0; 0), (2; 1), (−2; −1), ( ; ), (− ;− ) 2 2 Nhận xét: Dấu hiệu để ta nhận yếu tố đẳng cấp vế phương +) t = trình lệch bậc Do ta nhân hai phương trình lại với để phương trình đồng bậc Ta xét số ví dụ đưa đồng bậc:  hệ phương trình √ √   ) x=2  (4 + y + 2x Ví dụ 1.16 Giải hệ phương trình √    (4 − ) y=4 y + 2x Giải ĐK x>0, y>0 √  √       = √ 4 +  = √x + √y y + 2x x Hệ cho tương đương với ⇔ √     4 −  =√ =√ −√  y + 2x y y + 2x y x 17 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 4 = − ⇔ 4xy = 3(y+2x)y−4x(y+2x) ⇔ 3y −2xy−8x2 = y + 2x x y Vì x > 0, y > 0, đặt y = tx, t > 0, phương trình trở thành  Nhân vế theo vế ta có  x2 (3t2 − 2t − 8) = ⇔ 3t2 − 2t − = ⇔  t=2 t=− (tm) (loai) +) t = ⇒ y = 2x thay vào phương trình đầu ta √ √  3+ 5+2 x=  x= √ √ √ √ √ ⇔ 16√  ) x = ⇔ 16x − x + = ⇔  (4 + √  √ 4x 5−2 3− x= x= 16  √ √ √ √ √ √ 5+2 5+2 5−2 5−2 Vậy hệ cho có nghiệm ( , ); ( , ) 16  16   x2 (1 + y ) = Ví dụ 1.17 Giải hệ phương trình   + x2 y + xy = 3x2 Giải    + y2 = x Nhận xét x 6= Chia hai phương trình cho x2 ta   + y2 + y = x2 x   2  2u − y = 1 Đặt u = hệ trở thành  x  u2 + y + uy = Nhận xét y = khơng  thoả mãn hệ phương trình nên y 6=    (2t2 − 1)y = t=1  Đặt u = ty ta có hệ ⇒ t2 + t + = 3(2t2 − 1) ⇔    (t2 + t + 1)y = t=− +) t = ⇒ u = y = ±1 ⇒ x = y = ±1 √ 4 +) t = − ⇒ y = ± √ ⇒ u = − y = ∓ √ ⇒ x = = ∓ 5 u √ 7√ 7 Vậy hệ cho có nghiệm (1; 1), (−1; −1), (− ; √ ), ( ; − √ ) 4 7    x2 + 3xy − 2y = k (1) Ví dụ 1.18 Cho hệ phương trình   2xy − x2 = (2) Chứng minh hệ có nghiệm với k Giải (2) ⇔ x(2y − x) = ⇒ x 6= Đặt y = tx hệ phương trình trở thành    x2 (1 + 3t − 2t2 ) = k   x2 (2t − 1) = Chia vế hai phương trình ta k + 3t − 2t2 = 2t − 18 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 + 3t − 2t2 , f (t) = −1 − < ∀t 6= 2t − (2t − 1) Lại có lim f (t) = ∓∞; lim f (t) = ±∞ t→±∞ 1± t→ Xét hàm số f (t) = k Hàm số f (t) liên tục khoảng xác định nên đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số y = f (t) hai điểm phân biệt có hồnh độ t1 , t2 : t1 < < t2 Khi đó, với t = t2 , (2) ⇔ x (2t2 − 1) = ⇔ x = ± √ 2t2 −     x = ±√ 2t2 − Vậy với k hệ cho ln có nghiệm 3t2    y = ±√ 2t2 − Bài tập tương tự Giải  hệ phương trình   x3 − y = 16 ĐS: (2;1)   + = x2 y x y   x4 − 2x3 y + 3y = 3y − x 2 ĐS: (−1; 0), (1; 1), ( √ ;√ ) 3  9  y + x2 y − x3 =    x3 + xy + 2xy + x − 2y − =   2y + xy + 6y + 2xy − 2x + 6y + =    x3 + xu2 = 2u HD: đặt u = y + có hệ   xu2 + 2u3 = 3x 1.1.4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG HỐN VỊ VÒNG QUANH *) Cơ sở phương pháp   f (x1 ) = g(x2 )         f (x2 ) = g(x3 )    (1) Xét hệ         f (xn−1 ) = g(xn )     f (x ) = g(x ) n Hệ (1) gọi hệ phương trình dạng hốn vị vịng quanh (khi hốn vị vịng quanh ẩn số hệ khơng đổi) Định lý 1: Nếu f (x) g(x) có tính đơn điệu miền I(a; b) liên thông, 19 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 I(a; b) ⊆ D := Df ∩ Dg , (x1 , x2 , , xn ) nghiệm hệ (1) với xj ∈ I(a; b), ∀j = 1.n x1 = x2 = = xn Chứng minh Giả sử f (x) g(x) đồng biến I(a; b) x1 = {x1 , x2 , , xn } Ta có x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) ⇒ g(x2 ) ≤ g(x3 ) ⇒ x2 ≤ x3 ⇒ ⇒ xn ≤ x1 ⇒ x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ ≤ xn ≤ x1 ⇒ x1 = x2 = x3 = = xn (dpcm) Định lý 2: Nếu f (x) g(x) khác tính đơn điệu miền I(a; b) liên thông, I(a; b) ⊆ D := Df ∩ Dg , (x1 , x2 , , xn ) nghiệm hệ (1) với xj ∈ I(a; b), ∀j = 1.n thì: i) Khi n lẻ x1 = x2 = = xn ii) Khi n chẵn x1 = x3 = = xn−1 x2 = x4 = = xn Chứng minh Không giảm tổng quát giả sử f (x) đồng biến g(x) nghịch biến miền I, x1 = {x1 , x2 , , xn } i) n lẻ x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) ⇒ g(x2 ) ≤ g(x3 ) ⇒ x2 ≥ x3 ⇒ ⇒ xn ≤ x1 ⇒ f (xn ) ≤ f (x1 ) ⇒ g(x1 ) ≤ g(x2 ) ⇒ x1 ≥ x2 ⇒ x1 = x2 = = xn  ii) n chẵn x1 ≤ x3 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x3 ) ⇒ g(x2 ) ≤ g(x4 ) ⇒ x2 ≥ x4 ⇒ f (x2 ) ≥ f (x4 ) ⇒ g(x3 ) ≥ g(x5 ) ⇒ x3 ≤ x5 ⇒ ⇒ f (xn−2 ) ≥ f (xn ) ⇒ g(xn−1 ) ≥ g(x1 ) ⇒ xn−1 ≤ x1 ⇒ f (xn−1 ) ≤ f (x13 ) ⇒ g(xn ) ≤ g(x2 ) ⇒ xn ≥ x2 Vậy ta có    x1 ≤ x3 ≤ ≤ xn−1 ≤ x1   x2 ≥ x4 ≥ ≥ xn ≥ x2 ⇔    x1 = x3 = = xn−1   x2 = x4 = = xn *) Ví dụ áp dụng Ví dụ 1.19 Giải hệ phương trình    x + 2x − + ln(x2 − 2x + 2) = ln(2ey )     y + 2y − + ln(y − 2y + 2) = ln(2ez )     1  z + 2z − + ln(z − 2z + 2) = ln(2ex ) 20 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 Giải Đặt f (t) := t3 + 2t − + ln(t2 − 2t + 2); g(t) := ln(2et ) Có f (t) xác định liên tục với t ∈ R 2t − 2t2 − 2t + f (t) = t2 + + = t2 + > ∀t ∈ R t − 2t + t − 2t + Vậy f(t) hàm số đồng biến R g(t) = ln(2et ) = t + ln hàm số đồng biến R Khi đó, theo định lý 1, x = y = z = t nghiệm phương trình t + 2t − + ln(t2 − 2t + 2) = t + ln ⇔ h(t) := t3 + t − − ln + ln(t2 − 2t + 2) = (1) 2t − t2 = t2 + ≥ ∀t ∈ R Có h0 (t) = t2 + + t − 2t + t − 2t + nên h(t) hàm số đồng biến R Mà h(2)=0 nên (1) có nghiệm t=2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x=y=z=2  y + 9x2 − 27x + 17 =     Ví dụ 1.20 Giải hệ phương trình z + 9y − 27y + 17 =      x3 + 9z − 27z + 17 = (1) Giải    9x2 − 27x + 17 = −y    Hệ cho tương đương với 9y − 27y + 17 = −z      9z − 27z + 17 = −x3 13 13 27 3 13 ⇒ −y ≥ − ⇒ y ≤ < ⇒y< Ta có −y = 9(x − ) − 4 3 Tương tự ta có x < ; z < 2    f (x) = g(y)    Đặt f (t) := 9t2 − 27t + 17, t < ; g(t) := −t3 hệ có dạng f (y) = g(z)      f (z) = g(x) 3 nên f (t) hàm số nghịch biến (−∞; ) 2 Dễ thấy g(t) hàm số nghịch biến R nên nghịch biến (−∞; ) Áp dụng định lý 1, x = y = z = t nghiệm thuộc (−∞; ) phương trình Có f (t) = 18t − 27 < ∀t < 21 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13  t = t3 + 9t2 − 27t + 17 = ⇔  √ t = −5 ± 42 Vậy hệ cho có nghiệm: (1;1;1); (−5 + √ √ √ √ √ √ 42; −5 + 42; −5 + 42); (−5 − 42; −5 − 42; −5 − 42) Nhận xét: Ở ta thấy f (t) khơng đơn điệu TXĐ phải có nhận xét x, y, z < Đây mấu chốt toán Trên số tập áp dụng trực tiếp định lý Sau ta xét số ví dụ mà thay đánh giá x, y, z riêng lẻ, ta đánh giá biểu thức hoán vị x, y, z 3 x + y, y + z, z + x x3 + y , y + z , z + x   x = 3y + 2y    Ví dụ 1.21 Giải hệ phương trình y = 3z + 2z      z = 3x3 + 2x2 (1) Giải    x + y = 3y + 2y + y    Biến đổi hệ (1) ⇔ y + z = 3z + 2z + z      z + x = 3x3 + 2x2 + x Đặt f (t) = 3t3 + 2t2 + t có f (t) = 9t2 + 4t + > ∀t ∈ R suy f(t) hàm số đồng biến R Không giảm tổng quát giả sử x = max {x, y, z} ⇒ x + y ≥ y + z ⇒ f (y) ≥ f (z) ⇒ y ≥ z ⇒ x + y ≥ x + z ⇒ f (y) ≥ f (x) ⇒ y ≥ x ⇒ x = y ⇒ x + z = y + z ⇒ f (x) = f (z) ⇒ x = z   x = y = z   x = y = z   Suy hệ (1) tương đương ⇔    x ∈ 0; −1;  3x3 + 2x2 − x = Nhận xét: Sở dĩ ta nghĩ tới việc cộng thêm y, z, x vào hai vế phương trình ta cần xây dựng hàm đơn điệu miền xác định Nếu để nguyên hệ ban đầu f (t) = 3t3 + 2t2 có f (t) = 9t2 + 4t nên hàm đơn điệu Việc cộng thêm y, z, x vào hai vế phương trình vừa làm cho hàm f (t) = 3t3 + 2t2 + t đồng biến R vừa so sánh vế trái phương trình Ta quay lại hệ phương trình ví dụ 1.20 22 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13    y + 9x2 − 27x + 17 =    Ví dụ 1.22 Giải hệ phương trình z + 9y − 27y + 17 =      x3 + 9z − 27z + 17 = (1) Giải       y = −9x + 27x − 17 y + x3 = x3 − 9x2 + 27x − 17       Biến đổi hệ (1) ⇔ z = −9y + 27y − 17 ⇔ z + y = y − 9y + 27y − 17          x3 = −9z + 27z − 17  x3 + z = z − 9z + 27z − 17 Đặt f (t) := t3 − 9t2 + 27t − 17 Có f (t) = 3t2 − 18t + 27 = 3(t − 3)2 ≥ 0, ∀t ∈ R Suy f(t) hàm số đồng biến R Không giảm tổng quát giả sử x = max {x, y, z} x ≥ y ⇒ x3 ≥ y ⇒ x3 + z ≥ y + z ⇒ f (z) ≥ f (y) ⇒ z ≥ y ⇒ z ≥ y ⇒ x3 + z ≥ y + x3 ⇒ f (z) ≥ f (x) ⇒ z ≥ x ⇒ x = z ⇒ f (x) = f (z) ⇒ y + x3 = x3 + z ⇔ y = z ⇔ y = z   x = y = z   x = y = z Suy hệ tương đương ⇔ n √ o    x3 + 9x2 − 27x + 17 =  x ∈ 1; −5 ± 42 Vậy hệ cho có nghiệm: (1;1;1); (−5 + √ 42; −5 + √ 42; −5 + √ 42); (−5 − √ 42; −5 − √ 42; −5 − √ 42) Bài  tập tương tự: Giải hệ phương trình   9x3 + x   = y.4       1 z.49y + y = ĐS: x = y = z =         9z + z   x.4 = p  − 2x + 6.log (6 − y) = x  x   p ĐS: (3; 3; 3) y − 2y + 6.log3 (6 − z) = y    p   z − 2z + 6.log (6 − x) = z    y = 6x − 12x +    √
z = 6y − 12y + HD: f (t) = 6t2 − 12t + 8, g(t) = t3 đồng biến 2; = ∞      x3 = 6z − 12z + 23 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 1.2 PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 1.2.1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ *) Cơ sở phương pháp: Kết hợp phương trình hệ phép tốn: cộng, trừ, nhân, chia ta thu phương trình hệ mà việc giải phương trình khả thi có lợi cho bước sau *) Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1.23 Giải hệ phương trình    (x − y)(x2 − y ) = 25   (x + y)(x2 + y ) = 13 Giải Cộng vế theo vế hai phương trình ta i h (x + y (x − y)2 + x2 + y = 38 ⇔ x3 + y = 19 Thay vào phương trình đầu ta xy(x + y) = −6 ta có hệ    x = −2          y =  x3 + y = 19  (x + y)3 − 3xy(x + y) = 19 x + y =  ⇔ ⇔ ⇔      xy(x + y) = −6  xy(x + y) = −6  xy = −6   x =    y = −2 Vậy hệ cho có nghiệm (-2;3) và(3;-2)   x3 + 3xy = 28 Ví dụ 1.24 Giải hệ phương trình   x2 + 6xy + y = 10x + 6y Giải Nhân vế phương trình thứ hai với -3 cộng với phương trình thứ x3 + 3xy − 3x2 − 18xy − 3y = 28 − 30x − 18y ⇔ (x − 1)3 + 3y (x − 1) − 18y(x − 1) + 27(x − 1) = h i ⇔ (x − 1) (x − 1)2 + 3(y − 3)2 =   (x − 1) = ⇔ (x − 1)2 + 3(y − 3)2 = ⇔ x = 24 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 Kết hợp với (1) ta có y = ⇔ y = ±3 Vậy nghiệm hệ (1;3), (1;-3) Rõ ràng ta thực phép toán cộng, trừ vế phát thấy làm phương trình số hạng tử đồng dạng giản ước Tuy nhiên, có hệ phương trình, ta lại thực việc nhân hay chia vế (nếu khác không) để thực việc thu gọn    x + 3y = x3 − 12    Ví dụ 1.25 Giải hệ phương trình − y + 4z = y −      9z + 2x = z + 32 Giải Hệ cho tương đương với       3y + = x − x − 3(y + 2) = (x − 2)(x2 + 2x + 3)       4z + 16 = y + y + 10 ⇔ 4(z + 4) = (y + 2)(y − 2y + 5)          2x − = z − 9z + 28  2(x − 2) = (z + 4)(z − 4z + 7) Nhân vế phương trình hệ vừa thu ta có 24(x − 2)(y + 2)(z + 4) = (x − 2)(y + 2)(z + 4)(x2 + 2x + 3)(y − 2y + 5)(z − 4z + 7)   (x − 2)(y + 2)(z + 4) = ⇔ (x2 + 2x + 3)(y − 2y + 5)(z − 4z + 7) = 24 +) Xét (x − 2)(y + 2)(z + 4) = ⇔ x = ∨ y = −2 ∨ z = −4 Với x = thay vào (1) ta có y = −2, thay vào (2) có z = −4 Suy hệ có nghiệm (2; −2; −4) Tương tự, xét y = −2, z = −4 ta nghiệm +) Xét (x2 + 2x + 3)(y − 2y + 5)(z − 4z + 7) = 24 (∗) Ta có (x2 + 2x + 3)(y − 2y + 5)(z − 4z + 7) h ih ih i = (x + 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 + ≥ 2.4.3 = 24 Dấu xảy x = −1, y = 1, z = Vậy nên (*) có nghiệm (−1; 1; 2) Thử lại, ta thấy (−1; 1; 2) không nghiệm hệ 25 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 Vậy hệ có nghiệm (2; −2; −4)    x + y + xy = 11    Ví dụ 1.26 Giải hệ phương trình y + z + yz =      z + x + zx = Giải Hệ cho tương đương với      (x + 1)(y + 1) = 12  (x + 1)(y + 1) = 12       (y + 1)(z + 1) = ⇔ (y + 1)(z + 1) =          (z + 1)(x + 1) =  [(x + 1)(y + 1)(z + 1)]2 = 576       (x + 1)(y + 1) = 12 x=3       TH1: (y + 1)(z + 1) = ⇔ y=2          (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 24 z =       (x + 1)(y + 1) = 12 x = −5       TH2: (y + 1)(z + 1) = ⇔ y = −4          (x + 1)(y + 1)(z + 1) = −24  z = −3 Vậy hệ cho có hai nghiệm: (3; 2;  1), (−5; −4; −3)   6x(y + z ) = 13yz    Ví dụ 1.27 Giải hệ phương trình 3y(z + x2 ) = 5zx      6z(x2 + y ) = 5xy Giải Nhận xét, (x; 0; 0), (0; y; 0), (0; 0; z) nghiệm hệ phương trình Xét xyz 6=  Biến đổi hệ dạng 13    (1) 6( + ) =   z2 y2 xyz      6(  1 z 3( + ) = (2) ⇒   x z xyz    3(    1 x   6( + ) = (3) xyz y x  =  1 xy 3z ⇔ ⇒ =  1 5.2 x 9z  3( + ) = x2 z z.3z 1 TH1: = thay vào (1) (3) x 3z   1 13 8    6( + ) =  =   2 2 z y y3z 9z 3yz ⇔ 1 1      6( + ) =  6( + ) = y 9z y3z z y − 2) = x + 2) = z ⇔     = xyz z xyz ⇔ 5    3( + ) = xyz x z xyz 1 =± x 3z   1   y = y = 2 ⇔ ⇔ 13 26    6( + 4) =  z = ±1 3yz z2 3z 26 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 1 1 1 = nên hệ có nghiệm (1; ; ), (−1; ; − ) x 3z 3 1 TH2: = − thay vào (1) (3) x 3z     13 8 1       = −   y = −  6( + ) = − y = − z y y3z 9z 3yz 2 ⇔ ⇔ ⇔ 1 1 13 26      6( + ) = −  6( + 4) = z = ±  6( +   )=− y 9z y3z z2 y2 3yz z2 3z Vì 1 1 1 =− nên hệ có nghiệm (−1; − ; ), (1; − ; − ) x 3z 3 1 1 Vậy hệ cho có nghiệm: (x; 0; 0), (0; y; 0), (0; 0; z), (x; 0; 0), (0; y; 0), (0; 0; z), (1; ; ), (−1; ; − ) 3 1 1 (−1; − ; ), (1; − ; − ) 3 Bài tập tương tự Vì Giải  hệ 2phương trình y +2    3y = x2 ĐS: (1;1)  x +2   3x = y2    x2 (y + z)2 = (3x2 + x + 1)y z    y (z + x)2 = (4y + y + 1)z x2      z (x + y)2 = (5z + z + 1)x2 y       5 9 ; ; ; − ; −1; − , t∈R ĐS: (x; y) ∈ (t; 0; 0); (0; t; 0); (0; 0; t); 13 11    (x2 + y − x.y)(x − y) = + y 3 ĐS: (x; y) ∈ {(1; 0), (−1; −1)}   (x2 + y + x.y)(x + y) = − y 1.2.2 PHƯƠNG PHÁP THẾ Hệ phương trình giải phương pháp đưa nhiều ràng buộc ràng buộc, đưa hệ nhiều phương trình hệ phương trình đưa hệ phương trình phương trình Bởi vậy, cách làm tự nhiên nhất, theo quan điểm đưa phức tạp đơn giản Dấu hiệu nhận biết hệ phương trình giải phép phương trình rút ẩn qua ẩn lại; việc vào phương trình cho ta phương trình hay hệ phương trình giải Loại 1: Từ phương trình tính ẩn theo ẩn cịn lại vào phương trình Nếu phương trình hệ mà có ẩn xuất dạng bậc ta có 27 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 thể rút ẩn theo ẩn cịn lại vào phương trình thứ hai hệ Phương trình thu có bậc không nhỏ ý tưởng  giải rõ ràng p p   5x + y − − x − 2y = (1) Ví dụ 1.28 Giải hệ phương trình   2x − y = (2) Giải Từ (2) ta có y = 2x − Thay vào (1) ta có  10 16   ≤x≤ √ √ (1) ⇔ 7x − 10 − 16 − 3x = ⇔ √7   7x − 10 = + √16 − 3x    10 16 10 16     x=5 ≤x≤ ≤x≤  7 ⇔ ⇔ ⇔  37    4√16 − 3x = 5x − 21  16(16 − 3x) = (5x − 21)2 x= 25 +) x = ⇒ y = 126 37 ⇒y=− 25 25 37 126 Vậy hệ cho có nghiệm (5; 2), ( ; − ) 25  25   x3 + 2x2 y + 2y − 5x = Ví dụ 1.29 Giải hệ phương trình   x6 − 5x2 + 4y = +) x = (1) (2) Giải Từ phương trình (1) suy y = 5x − x3 thay vào (2) 2x2 + − x2 ) ) = ⇔ x2 (x8 + 2x6 − 3x4 − 20x2 + 20) = 2x2 +    x=0 x=0   x =     ⇔ ⇔  x = ⇔  x = ±1   x + 2x − 3x − 20x + 20 = √ x2 = x=± 5x − x3 +) x = ⇒ y = = 2x + (2) ⇔ x2 (x4 − + 4( +) x = ⇒ y = +) x = −1 ⇒ y = −1 √ √ +) x = ⇒ y = √ √ +) x = − ⇒ y = − √ √ 2 ), (− 2; − ) 2 Với này, trường hợp x = ta chia hai vế phương trình (1) cho x chia √ Vậy hệ cho có nghiệm (0; 0), (1; 1), (−1; −1), ( 2; √ 28 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 2y ta đưa hệ đối xứng loại giải dễ x dàng Đó cách mà tác giả đãsáng tác   2x2 y + 3xy = 4x2 + 9y (1) Ví dụ 1.30 Giải hệ phương trình   7y + = 2x2 + 9x (2) phương trình (2) cho x2 đặt a = x2 , b = (Trích đề thi chọn đội tuyển Nha Trang, Khánh Hoà) Giải Từ (2) ta có y = 2x2 + 9x − vào (1) ta có 2x2 + 9x − = 4x2 ⇔ 4x4 + 24x3 − 31x2 − 99x + 54 = √ −9 ± 33 ⇔ (x + 2)(2x − 1)(2x + 9x − 27) = ⇔ x = −2 ∨ x = ∨ x = (2x2 + 3x − 9) 16 +) Với x = −2 ⇒ y = − 1 +) Với x = ⇒ y = − √ 2x2 + 9x − 27 − −9 ± 33 (⇔ 2x2 + 9x = 27) ⇒ y = = = +) Với x = 7 √ √ 16 1 −9 + 33 −9 − 33 Vậy hệ cho có nghiệm (−2; − ), ( ; − ), ( ; 3), ( ; 3) 7 4 Nói chung, phép loại thường bước cuối sau áp dụng phương pháp giải hệ phương trình khác Loại 2: Thế biểu thức ẩn Thay rút ẩn theo ẩn cịn lại ta rút hẳn biểu thức ẩn (có thể hai ẩn) từ phương trình để  vào phương trình cịn lại   x4 + 2x3 y + x2 y = 2x + Ví dụ 1.31 Giải hệ phương trình   x2 + 2xy = 6x + Ta làm y cách rút xy từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ Giải Hệ phương trình cho tương đương với    (x2 + xy) = 2x +   xy = 3x + − x2 (1) (2) Thế (2) vào (1) ta phương trình (x2 + 3x + − x2 ) = 2x + ⇔ x4 + 12x3 + 48x2 + 64x = ⇔ x(x + 4)3 = ⇔ x = ∨ x = −4 Thay x = vào phương trình (2) thấy không thoả mãn 17 Thay x = −4 vào phương trình (2) y = 29 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 17 )    x3 − 7x = y − y Ví dụ 1.32 Giải hệ phương trình   3(x2 − 1) = y − Vậy hệ cho có nghiệm (−4; Giải Viết lại hệ    x3 − 7x = y(y − 1) (1)   y − = 3x2 Thay (2) vào (1) (2)  x = (1) ⇔ x3 − 7x = y.3x2 ⇔ x(x2 − − 3xy) = ⇔  x2 − − 3xy = +) x = ⇒ y = ⇔ y = ±1 x2 − +) x2 − − 3xy = ⇔ y = (nx x 6= 0) Thay vào (2) 3x x7 − ⇒( ) − = 3x2 ⇔ 26x4 + 23x2 − 49 = ⇔ x2 = ⇔ x = ±1 ⇒ y = ∓2 3x Vậy hệ có nghiệm (0;1), (0;-1), (-1;2),  (1;-2)   x2 + y + xy + = 4y (1) Ví dụ 1.33 Giải hệ phương trình   y(x + y)2 = 2x2 + 7y + (2) Giải Từ phương trình (1) rút x2 + = 4y − y − xy vào (2) ta có y(x + y)2 = 2(4y − y − xy) + 7y  y=0  i  ⇔ y (x + y)2 + 2(x + y) − 15 = ⇔  x + y =  x + y = −5 h +) Với y = thay vào (1) x2 + = (V N ) +) Với x + y = thay vào (1)  y = (x + y)2 + = 4y + xy ⇔ + = 4y + (3 − y)y ⇔  y=2 Với y = ⇒ x = −2, với y = ⇒ x = +) Với x + y = −5 thay vào (1) 25 + = 4y + (−5 − y)y (V N ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (−2; 5), (1; 2) 30 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com