Bất phương trình và hệ bất phương trình: Luận văn Thạc sĩ. Toán học: 60 46 01 13 : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 40

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Thu Phương BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học PGS TS VŨ ĐỖ LONG HÀ NỘI - 2013 Mục lục Mở đầu Bất phương trình hệ bất phương trình đại số 1.1 Đại cương bất phương trình 1.2 Bất phương trình hệ bất phương trình đại số hữu tỷ 1.2.1 Bất phương trình bậc ẩn số 1.2.2 Hệ bất phương trình bậc ẩn số 1.2.3 Bất phương trình bậc hai ẩn số 1.2.4 Hệ bất phương trình bậc hai ẩn số 1.2.5 Bất phương trình bậc hai ẩn số 1.2.6 Hệ bất phương trình bậc hai ẩn số 1.2.7 Hệ bất phương trình đối xứng 1.3 Bất phương trình, hệ bất phương trình đại số vơ tỷ 1.3.1 Bất phương trình vơ tỷ 1.3.2 Hệ bất phương trình vơ tỷ 1.4 Bất phương trình hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 1.4.1 Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 1.4.2 Hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối Bất phương trình mũ lơgarit 2.1 Bất phương trình mũ 2.1.1 Một số kiến thức 2.1.2 Các phương pháp giải 2.2 Bất phương trình logarit 2.2.1 Một số kiến thức 2.2.2 Các phương pháp giải Bất 3.1 3.2 3.3 3.4 phương trình hệ bất phương trình có chứa tham số Phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số Phương pháp tam thức bậc hai Phương pháp điều kiện cần đủ Phương pháp hình học 6 8 10 11 12 13 14 18 20 20 36 40 40 48 52 52 52 52 63 63 63 74 74 87 91 99 3.5 Các phương pháp khác 101 Kết luận 111 Tài liệu tham khảo 112 Mở đầu Chuyên đề bất phương trình hệ bất phương trình nội dung quan trọng chương trình tốn bậc Trung học phổ thơng Các khái niệm bất phương trình học sinh biết đến từ cuối cấp trung học sở Việc nắm bắt, hiểu rõ lý thuyết thực hành giải tốn bất phương trình hệ bất phương trình yêu cầu bất buộc học sinh tốt nghiệp bậc Trung học phổ thơng Vì vậy, dễ hiểu đề thi tốt nghiệp THPT; đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng; đề thi học sinh giỏi; đề thi Olympic toán học 30/04 thường xun xuất tốn "Bất phương trình hệ bất phương trình" Việc nâng cao kiến thức giúp học sinh giải tốt toán động lực để nghiên cứu đề tài Bản luận văn chia làm chương Chương Bất phương trình hệ bất phương trình đại số Trong chương này, số kiến thức nhắc lại Luận văn trình bày số phương pháp giải bất phương trình hệ bất phương trình hữu tỷ; bất phương trình hệ bất phương trình vơ tỷ; bất phương trình hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối Và đặc biệt chương có đề cập đến ứng dụng việc giải hệ bất phương trình bậc hai ẩn vào số toán kinh tế Chương Bất phương trình mũ lơgarit Ở chương này, luận văn đề cập đến phương pháp giải bất phương trình mũ bất phương trình lơgarit Chương Bất phương trình hệ bất phương trình có chứa tham số Luận văn trình bày tốn bất phương trình hệ bất phương trình có chứa tham số thường xuất đề thi Đại học, Cao đẳng đề thi học sinh giỏi Mặc dù thân cố gắng nghiêm túc học tập nghiên cứu khoa học thời gian có hạn, kiến thức thân cịn hạn chế nên q trình thực luận văn khơng tránh khỏi sơ suất Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lịng kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Vũ Đỗ Long Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình tơi thực đề tài Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội; thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013; Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Trần Văn Lan huyện Mỹ Lộc, tỉnh Nam Định tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình ln động viên tơi suốt q trình học tập làm luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Học viên Trần Thị Thu Phương Chương Bất phương trình hệ bất phương trình đại số 1.1 Đại cương bất phương trình a, Khái niệm bất phương trình ẩn Cho hai hàm số y = f (x) y = g(x) có tập xác định Df Dg Đặt D = Df ∩ Dg • Mệnh đề chứa biến có dạng: f (x) < g(x), f (x) g(x), f (x) > g(x), f (x) g(x) gọi bất phương trình ẩn; x gọi ẩn số (hay ẩn) D gọi tập xác định bất phương trình • Số x0 ∈ D gọi nghiệm bất phương trình f (x) < g(x) f (x0 ) < g(x0 ) mệnh đề • Khái niệm nghiệm định nghĩa tương tự cho bất phương trình f (x) g(x), f (x) > g(x), f (x) g(x) • Giải bất phương trình tìm tất nghiệm (hay tập nghiệm) bất phương trình Khi tập nghiệm rỗng ta nói bất phương trình vơ nghiệm • Trong thực hành, ta khơng cần viết rõ tập xác định D bất phương trình mà cần nêu điều kiện để x ∈ D Điều kiện gọi điều kiện xác định bất phương trình, gọi tắt điều kiện bất phương trình b, Bất phương trình tương đương Dưới đây, nói tới bất phương trình dạng f (x) < g(x) Đối với bất phương trình dạng f (x) g(x), f (x) > g(x), f (x) g(x) ta có kết tương tự • Hai bất phương trình (cùng ẩn) tập xác định D gọi tương đương chúng có tập nghiệm; • Nếu f1 (x) < g1 (x) tương đương với f2 (x) < g2 (x) ta viết f1 (x) < g1 (x) ⇔ f2 (x) < g2 (x) • Khi muốn nhấn mạnh hai bất phương trình có tập xác định D (hay có điều kiện xác định mà ta ký hiệu D) tương đương với ta nói: + Hai bất phương trình tương đương D; + Hoặc với điều kiện D, hai bất phương trình tương đương với c, Biến đổi tương đương bất phương trình • Phép biến đổi tương đương biến bất phương trình thành bất phương trình tương đương với nó; • Một số phép biến đổi tương đương thường dùng: Cho bất phương trình f (x) < g(x) có tập xác định D, y = h(x) hàm số xác định D Khi đó, D, bất phương trình f (x) < g(x) tương đương với bất phương trình sau: (i) f (x) + h(x) < g(x) + h(x); (ii) f (x)h(x) < g(x)h(x) h(x) > với x ∈ D; (iii) f (x)h(x) > g(x)h(x) h(x) < với x ∈ D; Lưu ý: +) Chuyển vế đổi dấu hạng tử bất phương trình ta bất phương trình tương đương; +) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc ba f (x) < g(x) ⇔ [f (x)]3 < [g(x)]3 +) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc hai: Nếu f (x) g(x) không âm với x thuộc D thì: f (x) < g(x) ⇔ [f (x)]2 < [g(x)]2 +) Tương tự, ta có quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ nâng lên lũy thừa bậc chẵn 1.2 1.2.1 Bất phương trình hệ bất phương trình đại số hữu tỷ Bất phương trình bậc ẩn số (i) Dấu nhị thức bậc • Nhị thức bậc biểu thức có dạng: f (x) = ax + b với a = • Dấu nhị thức bậc nhất: Định lý 1.1 (về dấu nhị thức bậc nhất): Cho f (x) = ax + b với a = Khi đó: b a + f (x) dấu với hệ số a x ∈ − ; +∞ ; + f (x) trái dấu với hệ số a x ∈ −∞; − b a Định lý 1.2 Cho đa thức f (x) biểu diễn dạng tích nhị thức bậc Gọi xi nghiệm bội bậc ki đa thức f (x) Khi đó: f (x) đổi dấu qua mốc xi ki số lẻ; f (x) không đổi dấu qua mốc xi ki số chẵn Bài toán 1.1 Giải bất phương trình sau: 3x − 2x − > 5x + 7x + (1.1) Lời giải Điều kiện để bất phương trình (1.1) có nghĩa là: x = − , x = − Với điều kiện ta có (2x − 1)(7x + 6) − (3x − 2)(5x + 3) >0 (5x + 3)(7x + 6) −x2 + 6x ⇔ > (5x + 3)(7x + 6) (1.1) ⇔ Vậy bất phương trình (1.1) có tập nghiệm − ; − ∪ (0; 6) (ii) Bất phương trình bậc ẩn số • Dạng bất phương trình: ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0, x ẩn, a b số, a = • Cách giải biện luận: ax + b ≤ (1) b a + Nếu a > bất phương trình (1) có nghiệm x ≤ − , tập nghiệm S= −∞; − b ; a b a + Nếu a < bất phương trình (1) có nghiệm x ≥ − , tập nghiệm b S = − ; +∞ ; a + Nếu a = b > bất phương trình (1) vơ nghiệm, tập nghiệm S = ∅; + Nếu a = b ≤ bất phương trình (1) có vơ số nghiệm, tập nghiệm S = R Bài toán 1.2 Giải biện luận bất phương trình sau: m − 3x + > 3mx + m2 (1.2) Lời giải Ta có (1.2) ⇔ 3(m + 1)x < −m2 + m + - Nếu m < −1 bất phương trình có tập nghiệm −m2 + m + ; +∞ 3(m + 1) - Nếu m = −1 bất phương trình có tập nghiệm R - Nếu m > −1 bất phương trình có tập nghiệm −∞; −m2 + m + 3(m + 1) Bài tốn 1.3 Tìm giá trị tham số m để hàm số sau xác định với x ≥ −3: y= (m − 3)x + 2m − Lời giải Điều kiện để hàm số cho có nghĩa là: (m − 3)x + 2m − ≥ ⇔ (m − 3)x ≥ − 2m (1.3) Giả sử hệ bất phương trình (3.21) có nghiệm (x0 ; y0 ) Khi ta có: lg x0 + + lg y0 ≤ −m2 (3.21 ) mx0 + lg y0 ≥ m2 ⇒ lg (−x0 )2 + + lg y0 ≤ −m2 m(−x0 )2 + lg y0 ≥ m2 Suy (−x0 ; y0 ) nghiệm hệ (3.21) Do tính nghiệm hệ (3.21) ta suy ra: x0 = −x0 ⇒ x0 = Thay x0 = vào (3.21 ) ta lg y0 ≤ −m2 lg y0 ≥ m2 Suy m2 ≤ lgy0 ≤ −m2 ⇒ m = y0 = (thỏa mãn điều kiện y > 0) Vậy điều kiện cần để hệ (3.21) có nghiệm m = • Điều kiện đủ: Với m = hệ (3.21) trở thành lg x2 + + lg y ≤ lg y ≥ (3.21.1) (3.21.2) Ta có x2 + ≥ 1, ∀ x ⇒ lg x2 + ≥ 0, ∀ x (3.21.3) Do đó, từ (3.21.2) (3.21.3) ta suy lg x2 + + lg y ≥ (3.21.4) Từ (3.21.1) (3.21.4) ta suy ≤ lg x2 + + lg y ≤ (3.21.4) Suy (3.21) ⇔ lg x2 + = lg y = ⇔ x=0 y = Suy với m = hệ (3.21) có nghiệm (x; y) = (0; 1) Vậy với m = hệ bất phương trình (3.21) có nghiệm 98 3.4 Phương pháp hình học Bài tốn 3.22 (Đại học Giao thơng vận tải - 2001) Tìm giá trị tham số a để hệ sau có nghiệm: x+y ≤2 x+y+ (3.22) 2x(y − 1) + a = Lời giải Ta có (3.22) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x+y ≤2 2x(y − 1) + a = − (x + y) x+y ≤2 2x(y − 1) + a = [2 − (x + y)]2 x+y ≤2 2xy − 2x + a = − 4x − 4y + x2 + y + 2xy x+y ≤2 x2 − 2x + y − 4y + − a = x+y ≤2 (3.22.1) (x − 1)2 + (y − 2)2 = a + (3.22.2) • Giải bất phương trình (3.22.1) ta miền biểu diễn nghiệm nửa mặt phẳng (kể bờ) với bờ đường thẳng (d) : x + y − = 0, có chứa gốc tọa độ • Giải phương trình (3.22.2): - Nếu a + ≤ ⇔ a ≤ −1 phương trình (3.22.2) vơ nghiệm, dẫn đến hệ (3.22) vô nghiệm - Nếu a + > ⇔ a > −1 miền biểu diễn nghiệm phương trình (3.22.2) đường trịn (C) có tâm I(1; 2) bán kính R = √ a + • Ta nhận thấy điểm I(1; 2) không thuộc miền nghiệm bất phương trình (3.22.1) + − > 0, |1 + − 2| d (I; (d)) = √ =√ 12 + 12 Suy ra, hệ (3.22) có nghiệm đường thẳng (d) tiếp xúc cắt đường tròn (C), d (I; (d)) ≤ R ⇔ √ 1 a+1≥ √ ⇔a≥− 2 99 Vậy với a ≥ − hệ bất phương trình (3.22) có nghiệm Bài tốn 3.23 Tìm giá trị tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm nhất: 2x + 2y+1 = m (3.23.1) 9.22y + 22x+2 ≤ 36 (3.23.2) (3.23) Lời giải Trước tiên ta có nhận thấy rằng, m ≤ bất phương trình (3.23.1) vơ nghiệm, dẫn tới hệ bất phương trình (3.23) vơ nghiệm Vì thế, ta xét trường hợp m > Đặt u = 2x > v = 2y > hệ (3.23) trở thành u + 2v = m 4u2 + 9v ≤ 36 ⇔   u + 2v = m u2  + v2 ≤ (3.23.3) (3.23 ) (3.23.4) Với cách đặt tốn (3.23) tương đương với tốn: ” Tìm tất giá trị tham số m để hệ (3.23 ) có nghiệm nhất” Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta có: - Biểu diễn hình học tập nghiệm phương trình(3.23.3) điểm thuộc đường thẳng (d) : x + 2y − m = 0; - Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình(3.23.4) điểm nằm nằm elip (E) có a = 3; b = Suy ra, hệ (3.23 ) có nghiệm đường thẳng (d) tiếp xúc với elip (E), A2 a2 + B b2 = C ⇔ 1.9 + 4.4 = m2 ⇔ m2 = 25 100 Do m > nên ta thu m = Vậy với m = hệ bất phương trình (3.23) có nghiệm Bài tốn 3.24 Tìm giá trị tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: log(x2 +y2 +2) (x + y + 2) ≥ (3.24) x + 2y = m Lời giải Điều kiện xác định: x + y + > Ta nhận thấy x2 + y + ≥ 2, ∀ x, y nên x2 + y + > Do ta có: x + y + ≥ x2 + y + (3.24) ⇔ x + 2y = m   + y− ⇔ 2  x + 2y = m x− ≤ (3.24.1) (3.24.2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta có: - Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình (3.24.1) các√điểm nằm 1 ; nằm đường tròn (C) có tâm I ; bán kính R = 2 - Biểu diễn hình học tập nghiệm phương trình (3.24.2) đường thẳng (d) : x + 2y − m = Suy ra, hệ (3.24) có nghiệm đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (C) đường thẳng (d) cắt đường tròn (C), d (I; (d)) ≤ R 1 √ √ + − m 10 2 ⇔ √ ≤ ⇔ −m ≤ 2 12 + 22 √ √ √ √ 10 10 − 10 + 10 ⇔− ≤ −m≤ ⇔ ≤m≤ 2 2 √ √ − 10 + 10 ; hệ bất phương trình (3.24) có nghiệm Vậy với m ∈ 2 3.5 Các phương pháp khác Bài tốn 3.25 (Đại học Ngoại ngữ - 1999) Tìm giá trị lớn a để bất phương trình sau có nghiệm: 101 √ √ a3 (x − 1)2 + a (x − 1) ≤ √ a3 sin πx (3.25) Lời giải Điều kiện để hệ (3.25) có nghĩa là: x = Biến đổi tương đương bất phương trình (3.25) ta được: √ √ √ πx (x − 1)2 a3 (x − 1)4 + a ≤ a3 sin 2 √ √ πx πx √ πx 4 ⇔ a3 (x − 1)2 − a3 (x − 1)2 sin + sin + a − sin 2 4 2 √ √ πx πx 1 ⇔ a3 (x − 1)2 − sin + a − sin ≤ (3.25.1) 2 Ta nhận thấy √ πx sin 2 1 πx ≤ − ≤ − sin 4 a3 (x − 1)2 − ≤0 ≥ 0, Do đó, ta xét trường hợp sau: • Nếu √ a> 1 ⇔a> 16 √ πx sin √ πx ⇔ a − sin √ πx ⇔ a − sin 2 a− 1 πx − sin 4 πx > − sin2 > 2 > 0, ∀x Suy bất phương trình (3.25.1) có vế trái ln dương bất phương trình (3.25.1) vơ nghiệm 16 √ 1 • Nếu a = ⇔ a = bất phương trình (3.25.1) có vế trái ln không âm 16 Suy ra, với a > Do (3.25.1) ⇔  1 πx   (x − 1)2 − sin =0   2     − sin πx 4 ⇔  1    (x − 1) = ⇔    sin πx = =0 Từ ta thu kết quả: bất phương trình (3.25) vơ nghiệm; 16 - Với a = bất phương trình (3.25) có hai nghiệm -1 16 - Với a > 102 x=3 x = −1 Vậy a = giá trị lớn để bất phương trình (3.25) có 16 nghiệm Bài toán 3.26 Giải biện luận theo tham số m bất phương trình sau: x2 + x − m − − |x − m| < x2 − (3.26) Lời giải Nhận xét: ta ln có |a − b| > |a| − |b| ⇔ b (a − b) < Từ đó, ta biến đổi bất phương trình (3.26) sau: (3.26) ⇔ x2 − > x2 + x − m − − |x − m| ⇔ (x2 + x − m − 1) − (x − m) > x2 + x − m − − |x − m| ⇔(x − m)(x2 − 1) < ⇔(x − m)(x − 1)(x + 1) < Suy - Nếu m < −1 bất phương trình (3.26) có tập nghiệm (−∞; m) ∪ (−1; 1) - Nếu m = −1 bất phương trình (3.26) có tập nghiệm (−∞; −1) ∪ (−1; 1) - Nếu −1 < m < bất phương trình (3.26) có tập nghiệm (−∞; −1) ∪ (m; 1) - Nếu m = bất phương trình (3.26) có tập nghiệm (−∞; −1) - Nếu m > bất phương trình (3.26) có tập nghiệm (−∞; −1) ∪ (1; m) Bài tốn 3.27 (Đại học Giao thơng vận tải - 1997) Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm: x2 − ≤ (3.27.1) m − x2 (x + m) < (3.27.2) Lời giải • Giải bất phương trình (3.27.1) ta tập nghiệm [−1; 1] 103 (3.27) • Giải bất phương trình (3.27.2): - Nếu m < (3.27.2) ⇔ x + m > ⇔ x > −m Suy ra, bất phương trình (3.27.2) có tập nghiệm (−m; +∞) Do đó, hệ bất phương trình (3.27) vơ nghiệm −m ≥ ⇔ m ≤ −1 - Nếu m = bất phương trình (3.27.2) có tập nghiệm (0; +∞) Suy ra, hệ bất phương trình (3.27) có tập nghiệm (0; 1] Do m = khơng thỏa mãn tốn - Nếu m > (3.27.2) ⇔ √ m−x √ m + x (x + m) < √ + Nếu < m < −1 < − m < −m < < √ m < Suy ra,bất phương trình (3.27.2) có tập nghiệm √ √ − m; −m ∪ m; +∞ Do đó, hệ bất phương trình (3.27) có tập nghiệm √ √ m; − m; −m ∪ Suy ra, < m < khơng thỏa mãn tốn + Nếu m = bất phương trình (3.27.2) có tập nghiệm (1; +∞) Suy ra, hệ bất phương trình (3.27) vơ nghiệm Do đó, m = thỏa mãn tốn √ + Nếu m > −m < − m < −1 < < √ m Suy ra, bất phương trình (3.27.2) có tập nghiệm √ √ −m; − m ∪ m; +∞ Do đó, hệ bất phương trình (3.27) vơ nghiệm Vậy với m ≤ −1 m ≥ hệ bất phương trình (3.27) vơ nghiệm Bài tốn 3.28 (Đại học Dược - 2000) Xác định giá trị a để hệ bất phương trình sau có nghiệm nhất: x + 3y ≥ (x + y)2 + a (x − y)2 ≤ 3y − x − a 104 (3.28.1) (3.28.2) (3.28) Lời giải Nhân hai vế bất phương trình (3.28.2) với −1 cộng vế với vế với bất phương trình (3.28.1) ta được: x + 3y − (x − y)2 ≥ (x + y)2 + a − 3y + x + a ⇔2a ≤ 6y − 2x2 − 2y ⇔a ≤ 3y − x2 − y 9 ⇔a ≤ −x2 − y − 2.y + + 4 ⇔a ≤ −x2 − y − + (3.28.3) Ta có 9 ≤ , ∀ x, y 4 Dấu "=" xảy x = y = −x − y − 2 + Do đó, ta xét trường hợp sau: • Nếu a > bất phương trình (3.28.3) vơ nghiệm, hệ bất phương trình (3.28) vơ nghiệm; Suy a > khơng thỏa mãn tốn cặp số (x; y) = (0; ) thỏa mãn bất phương trình (3.28.3) Do hệ bất phương trình (3.28) có nghiệm (x; y) = (0; ); Suy a = thỏa mãn tốn • Nếu a = • Nếu a < Với x = hệ bất phương trình (3.28) trở thành: 3y ≥ y + a (3.28.4) y ≤ 3y − a (3.28.5) Nhân hai vế bất phương trình (3.28.5) với −1 cộng vế với vế với bất phương trình (3.28.4) ta được: y − 3y + a ≤ √ √ − − 4a + − 4a ⇔ ≤y≤ 2 √ √ − − 4a + − 4a Suy ra, cặp (x; y) = (0; t) với t ∈ ; 2 105 nghiệm hệ bất phương trình (3.28) Suy a < khơng thỏa mãn tốn Vậy với a = hệ bất phương trình (3.28) có nghiệm Bài toán 3.29 (Đại học Huế - 2000) Cho a ∈ R, a > Chứng minh hệ bất phương trình sau vơ nghiệm: x2 + y ≤ 4ax (3.29) y − x2 ≥ 2a Lời giải Ta giải toán phương pháp phản chứng Giả sử với a ∈ R, a > hệ bất phương trình (3.29) có nghiệm (x0 ; y0 ) Suy x0 + y0 ≤ 4ax0 (3.29.1) y0 − x0 ≥ 2a (3.29.2) • Từ (3.29.2) ta có y0 ≥ 2a + x0 Mà a > 0, x0 ≥ nên 2a + x0 > Suy y0 > Do ta có x0 + y0 > • Từ (3.29.1) ta có 4ax0 ≥ x0 + y0 ⇔4ax0 > (do x0 + y0 > 0) ⇔x0 > (do a > 0) • Từ (3.29.1) ta có 4ax0 ≥ x0 + y0 ⇔ 4ax0 ≥ 2x0 y0 ⇔ 2a ≥ y0 (do x0 > 0) (3.29.3) • Từ (3.29.2) ta có y0 ≥ 2a + x0 ⇔ y0 > 2a (do x0 > 0) Từ (3.29.3) (3.29.4) ta suy 2a > 2a (vô lý) Suy ra, điều giả sử sai Vậy với a ∈ R, a > hệ bất phương trình (3.29) vơ nghiệm 106 (3.29.4) Bài tốn 3.30 Tìm giá trị tham số a để hệ bất phương trình sau có nghiệm nhất: √ √ x+1+ y ≤a √ √ y + + x ≤ a (3.30) Lời giải Điều kiện xác định: x ≥ 0; y ≥ Với điều kiện xác định trên, ta có: √ √ x + + y ≥ y+1+ √ x ≥ Do đó, ta xét trường hợp sau: • Nếu a < hệ bất phương trình (3.30) vơ nghiệm Suy a < khơng thỏa mãn tốn • Nếu a = hệ bất phương trình (3.30) tương đương với √ √ x+1+ y =1 x=0 ⇔ √ √ y+1+ x=1 y = Suy ra, với a = hệ bất phương trình (3.30) có nghiệm (x; y) = (0; 0) • Nếu a > với x = hệ bất phương trình (3.30) trở thành √ 1+ y ≤a √ y+1≤a ⇔ ⇔ ≤ y ≤ (a − 1)2 y≤ a2 −1 √ y ≤a−1 √ y+1≤a ⇔ ≤ y ≤ (a − 1)2 a > nên (a − 1)2 < a2 − Suy ra, a > (x; y) = (0; z), với ≤ z ≤ (a − 1)2 , nghiệm hệ bất phương trình (3.30) Suy a > khơng thỏa mãn tốn Vậy với a=1 hệ bất phương trình (3.30) có nghiệm Bài toán 3.31 (Olympic 30 tháng 4, lần thứ XVII, 2011 Lớp 11, Trường THPT Lê Hồng Phong - TP Hồ Chí Minh đề nghị) Giải hệ bất phương trình sau: 2x+1 < 3x + x ln + 1 1+ x x (3.31.1) − x3 ln + x2 1+ x12 107 > − x (3.31.2) (3.31) Lời giải • Giải bất phương trình (3.31.1): Ta có (3.31.1) ⇔ 2x+1 − 3x − < Xét hàm số f (x) = 2x+1 − 3x − ta có: f (x) = 2x+1 ln − f (x) = ⇔ 2x+1 ln − = ⇔ x = log2 − ln Do đó, ta có bảng biến thiên hàm số f (x): Dựa vào bảng biến thiên suy tập nghiệm bất phương trình (3.31.1) là: (0; 2) • Giải bất phương trình (3.31.2): Do bất phương trình (3.31.1) có tập nghiệm (0; 2) nên để giải hệ (3.31) ta cần tìm nghiệm bất phương trình (3.31.2) (0; 2) Trên (0; 2) ta có: ln + x ⇔(x + 1) ln + x ⇔(x + 1) ln + x 1 − x3 + ln + > − x x x x − x(x2 + 1) ln + > − x x − > x (x2 + 1) ln + − x 1 ⇔x (x + 1) ln + − > x2 (x2 + 1) ln + − x x (3.31.2) ⇔x + Xét hàm số f (t) = t (t + 1) ln + 1t − với t ∈ (0; 2), ta có: 1 1 − + t ln + + (t + 1) − t t t 1+ t 1 = (t + 1) ln + − + t ln + − t t t = (2t + 1) ln + −2 t = (2t + 1) ln + − t 2t + f (t) = (t + 1) ln + 108 Xét hàm số g(t) = ln + g (t) = = 1 1+ t − với t ∈ (0; +∞), ta có: t 2t + − t2 + (2t + 1) = 4t2 − + 4t + t + t −1 < 0, ∀t ∈ (0; 2) (4t2 + 4t + 1)(t2 + t) Suy ra, hàm số g(t) nghịch biến (0; +∞) − = t→+∞ t→+∞ t 2t + Do đó, ta ln có g(t) > với ∀ t > hay g(t) > với ∀ t ∈ (0; 2) Mặt khác, lim g(t) = lim ln + Vì vậy, f (t) > với ∀ t ∈ (0; 2), nên hàm số f (t) đồng biến (0; 2) Khi đó, bất phương trình (3.31.2) biến đổi sau: f (x) > f (x2 ) ⇔ x > x2 ⇔ < x < Vậy hệ bất phương trình (3.31) có tập nghiệm (0; 1) Bài toán 3.32 (Olympic 30 tháng 4, lần thứ XVII, 2011 Lớp 11, Trường THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển - Cà Mau đề nghị) Tìm cặp số (x; y) nguyên dương thỏa mãn hệ sau:  2  (3.32.1)  x + y + xy ≤ 49 với p, q, r ∈ N∗ ; r < xy(x + y) = 7p + r (3.32.2)   7 (x + y) − (x + y ) = q (3.32) (3.32.3) Lời giải Do r ∈ N∗ r