✣❸■ ❍➴❈ ◗❯➮❈ ●■❆ ❍⑨ ◆❐■ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❚Ü ◆❍■➊◆ ❚❘❺◆ ❚❘×❮◆● ❙■◆❍ ❇❻❚ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❉■❖P❍❆◆❚❊ ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❖⑩◆ ❙❒ ❈❻P ▼➣ số ò ì ì ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ●❙✳❚❙❑❍ ◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ▼❾❯ ❍⑨ ◆❐■ ✲ ✷✵✶✺ ▼ö❝ ❧ö❝ ▼ð ✤➛✉ ✷ ✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ tự ìợ số ợ t ❚❤✉➟t t♦→♥ ❊✉❝❧✐❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✷ ▲✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✸ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✶✳✸✳✶ ❚➻♠ ♥❣❤✐➺♠ r✐➯♥❣ ❞ü❛ ✈➔♦ ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✶✳✸✳✷ ❚➻♠ ♥❣❤✐➺♠ r✐➯♥❣ ❞ü❛ ✈➔♦ t❤✉➟t t♦→♥ ❊✉❝❧✐❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ◆❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✶✳✹ ✷ ❇➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✷✻ ✷✳✶ ❇➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✷✳✷ ❇➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✧❜à ❝❤➦♥✧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✷✳✸ ◆❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✸✹ ✷✳✸✳✶ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ✷✳✸✳✷ ❇➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ ❞↕♥❣ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✸ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✸✳✶ ✹✸ ◆❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✷ ✸✳✸ ✹✸ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ❳→❝ ✤à♥❤ ♣❤➙♥ t❤ù❝ ❝❤➼♥❤ q✉② tọ trữợ ✳ ✳ ✺✻ ❑➳t ❧✉➟♥ ✻✹ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✻✺ ✶ ▼ð ✤➛✉ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❤❛② ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❞↕♥❣ t♦→♥ ❧➙✉ ✤í✐ ♥❤➜t ❝õ❛ ❚♦→♥ ❤å❝✳ ❚❤ỉ♥❣ q✉❛ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡✱ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✤➣ t➻♠ r❛ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t s➙✉ s➢❝ ❝õ❛ sè ♥❣✉②➯♥✱ sè ❤ú✉ t➾✱ sè ✤↕✐ sè✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ ✤➣ ✤÷❛ ✤➳♥ sü r❛ ✤í✐ ❝õ❛ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè✱ ỵ tt ữớ t ỵ tt t t❤➦♥❣ ❞÷ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣✱ sè ❤å❝ ♠♦❞✉❧❛r✱✳ ✳ ✳ ❇➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤ü❝ ❝❤➜t ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦✲ ♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â ❝❤ù❛ t❤❛♠ sè✳ ❈â t❤➸ ♥â✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët ❞↕♥❣ t♦→♥ ❦❤→ ♠ỵ✐ ♠➫ ✈➔ ❝❤÷❛ ♣❤ê ❜✐➳♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦ý t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❜➟❝ ♣❤ê t❤æ♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ t→❝ ❣✐↔ ❦❤æ♥❣ ❝â t❤❛♠ ✈å♥❣ ❜❛♦ q✉→t ❤➳t ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ✈➲ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♠➔ ❝❤õ ②➳✉ ✤✐ s ự t ữỡ tr ợ ❜✐➳♥✱ ❜❛ ❜✐➳♥ ❤♦➦❝ ❜è♥ ❜✐➳♥✳ ❍✐ ✈å♥❣ ✤➙② s➩ ❧➔ ♠ët t➔✐ ❧✐➺✉ ❜ê ➼❝❤ ❝❤♦ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✈➔ ❝→❝ ❡♠ ❤å❝ s✐♥❤ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ æ♥ ❧✉②➺♥ t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ✸ ❝❤÷ì♥❣✿ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❇➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥✳ ◆❤➙♥ ✤➙②✱ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä sü ❦➼♥❤ trå♥❣ ✈➔ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ●❙✳❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉✳ ❚❤➛② ✤➣ ❞➔♥❤ tớ ữợ ụ ữ t❤➢❝ ♠➢❝ ❝õ❛ ❤å❝ trá tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï t→❝ ❣✐↔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ♥❤➜t tỵ✐ ❇❛♥ ❣✐→♠ ❤✐➺✉✱ P❤á♥❣ ✣➔♦ t↕♦ ❙❛✉ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❈ì ✲ ❚✐♥ ❤å❝✱ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ✤➸ t→❝ ❣✐↔ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ♥❤✐➺♠ ✈ư ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ✷ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ❧✉ỉ♥ q✉❛♥ t➙♠✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❝ê ✈ơ ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tèt ♥❤➜t ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ♠➔ t→❝ ❣✐↔ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ❚ü ♥❤✐➯♥ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ▼➦❝ ❞ò ✤➣ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝è ❣➢♥❣ ♥❤÷♥❣ ❞♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ tr➻♥❤ ✤ë ❝á♥ ♥❤✐➲✉ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❦❤â tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❱➻ ✈➟② t→❝ ❣✐↔ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sü ❣â♣ þ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❣✐→♦✱ ❝ỉ ❣✐→♦ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ỗ ữủ t ❤ì♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✾ ♥➠♠ ✷✵✶✺ ❍å❝ ✈✐➯♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❚r➛♥ ❚r÷í♥❣ ❙✐♥❤ ✸ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ìợ số ợ t t t ♥❣❤➽❛ ✶✳✶ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✳ ❙è ♥❣✉②➯♥ ❝ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ởt ữợ số số ổ ỗ tớ ổ t ❛ ✈➔ ❝ ❝❤✐❛ ❤➳t ❜✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷ ✭①❡♠ ởt ữợ số số ổ ỗ tớ ổ ữủ ữợ số ợ t ữợ số ữợ ú ỵ ữợ số ợ t t d ụ ữợ số ợ t t q ữợ r ữợ số ❝❤✉♥❣ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❛ ✈➔ ❜ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ữỡ ìợ số ợ t số ữủ ỵ rtst ❝♦♠♠♦♥ ❞✐✈✐s♦r✮✳ ◆❤÷ ✈➟② ❞ ❂ ✭❛✱❜✮ ❤❛② ❞ ❂ ❣❝❞✭❛✱❜✮✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳ ✭✷✺✱✸✵✮ ❂ ✺✱ ✭✷✺✱✲✼✷✮ ❂ ✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✳ ▼ët sè ♥❣✉②➯♥ ❝ ✤÷đ❝ ởt ữợ số số a1 , a2 , a3 , , an ổ ỗ tớ ổ ữợ ❝õ❛ ♠é✐ sè ✤â✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✳ ▼ët ÷ỵ❝ sè ❝❤✉♥❣ ❞ ❝õ❛ ♥ sè ♥❣✉②➯♥ a1, a2, a3, , an ổ ỗ tớ ổ ữủ ữợ số ợ t a1 , a2 , a3 , , an ữợ số a1 , a2 , a3 , , an ✤➲✉ ữợ ữỡ tỹ t ụ q ữợ r ữợ số ợ t số a1 , a2 , a3 , , an số ữỡ ìợ số ợ t ❝õ❛ a1 , a2 , a3 , , an ỵ a1 , a2 , a3 , , an ✮ ❤❛② ❣❝❞✭a1 , a2 , a3 , , an ✮✳ ◆❤÷ ✈➟② ❞ ❂ (a1 , a2 , a3 , , an ) ❤❛② ❞ ❂ ❣❝❞✭a1 , a2 , a3 , , an sỹ tỗ t ữợ sè ❝❤✉♥❣ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ sè✱ ①❡♠ ❬✶❪✮ ❈❤♦ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ a1 , a2 , a3 , , an ổ ỗ tớ ổ õ tỗ t ữợ số ợ t a1 , a2 , a3 , , an ✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✳ ❈❤♦ ❛✱ ❜✱ q✱ r ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ✭a2 + b2 = 0✮✳ ◆➳✉ a = bq + r ✈➔ ≤ r < |b| t❤➻ ✭❛✱❜✮ ❂ ✭❜✱r✮✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❊✉❝❧✐❞ ✭t❤✉➟t t t ữợ số ợ t số ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ✮✳ ●✐↔ sû r0 = a, r1 = b ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❚❛ →♣ ❞ư♥❣ ❧✐➯♥ t✐➳♣ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐❛ ri = ri+1 qi+1 + ri+2 , tr♦♥❣ ✤â ≤ ri+2 < ri+1 , ∀i = 0, 1, 2, ✈➔ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝→❝ ♣❤➛♥ ❞÷ r1 , r2 , ✈ỵ✐ r1 > r2 > ✤➳♥ ❦❤✐ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♣❤➛♥ ❞÷ rn = ✭n ≥ 2, < ri+2 < ri+1 , ∀i = 0, 1, , n − 3✮✳ ❑❤✐ ✤â (a, b) = (r0 , r1 ) = (r1 , r2 ) = = (rn−2 , rn−1 ) = (rn−1 qn−1 , rn−1 ) = rn−1 ❱➟② (a, b) = rn−1 ❱➼ ❞ö ũ tt t t ữợ số ợ ♥❤➜t ❝õ❛ ✸✹✽✹ ✈➔ ✸✷✼✻✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ❝â 3484 = 3276.1 + 208 3276 = 208.15 + 156 208 = 156.1 + 52 156 = 52.3 + ❱➟② gcd(3484, 3276) = 52 ❱➼ ❞ö ✶✳✸✳ ❚➻♠ ♠ët ❝➦♣ sè ♥❣✉②➯♥ ①✱ ② ✤➸ 3484x + 3276y = 52 ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❤❡♦ ✈➼ ✈ư tr➯♥ t❛ ❝â ✺ 52 = 208 − 156.1 ⇒ 52 = 208 − (3276 − 208.15) = 16.208 − 3276 156 = 3276 − 208.15 52 = −3276 + 16.208 ⇒ 52 = −3276 + 16 (3484 − 3276.1) = 16.3484 − 17.3276 208 = 3484 − 3276.1 ❉♦ ✤â 3484.16 + 3276.(−17) = 52 ❱➟② (x; y) = (16; −17) ✶✳✷ ▲✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳ ✭▲✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ❤ú✉ ❤↕♥✱ ①❡♠ ❬✸❪✮ ▲✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❝â ✤ë ❞➔✐ ♥ ✭n ∈ N✮ ❧➔ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝â ❞↕♥❣ a0 + a1 + a2 + + an−1 + an tr♦♥❣ ✤â a0 ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥✱ ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ✭∀i = 1, 2, , n✮✱ an > ợ n > số tr ữủ ỵ ❤✐➺✉ ❧➔ [a0 ; a1 , a2 , , an ]✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳ ✭▲✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ✈æ ❤↕♥✱ ①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦ a0, a1, a2, ❧➔ ❞➣② ✈æ ❤↕♥ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥✱ > ✈ỵ✐ ∀i ≥ 1✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ ❦✱ ✤➦t Ck = [a0 ; a1 , a2 , , ak ] õ tỗ t ợ lim Ck = k+ ) ữợ ỹ tỗ t ♥➔② s➩ ✤÷đ❝ ♥â✐ rã tr♦♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ( ▲ó❝ ♥➔② t❛ ❣å✐ α ❧➔ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ✈æ ❤↕♥ [a0 ; a1 , a2 , ] ỵ = [a0 ; a1 , a2 , ] ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✷ ✭①❡♠ ❬✸❪✮✳ ▼é✐ sè ❤ú✉ t➾ ❧➔ ♠ët ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ a , b > 0, a, b ∈ Z✳ ✣➦t r0 = a, r1 = b t❛ ❝â b r0 = r1 q1 + r2 (0 < r2 < r1 ) r1 = r2 q2 + r3 (0 < r3 < r2 ) rn−2 = rn−1 qn−1 + rn (0 < rn < rn−1 ) rn−1 = rn qn +0 ●✐↔ sû x = ✻ ❙✉② r❛ x= a r0 r2 1 = = q1 + = q + r1 = q + = = q1 + r b r1 r1 q2 + q2 + + r2 r2 qn−1 + qn ⇒ x = [q1 ; q2 , , qn ] 243 62 ❱➼ ❞ö ✶✳✹✳ ❍➣② ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ sè ❤ú✉ t✛ 327 ✱ 243 ✱− ✱ t❤➔♥❤ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè✳ 37 37 23 ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ❝â 32 = 4.7 + = 1.4 + = 1.3 + = 3.1 ⇒ 32 = [4; 1, 1, 3] = + ❧➔ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ❝â ✤ë ❞➔✐ ✸✳ ❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝ô♥❣ ❝â 1+ 243 243 62 = [6; 1, 1, 3, 5]✱ − = [−7; 2, 3, 5]✱ = [2; 1, 2, 3, 2]✳ 37 37 23 1+ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✸✳ ✭❱➲ t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ❤ú✉ ❤↕♥✱ ①❡♠ ❬✸❪✮ ❙ü ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ởt số ỳ t q ữợ số [a0 ; a1 , a2 , , an ] ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✹✳ ✭❈æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❣✐↔♥ ♣❤➙♥✱ ①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ❤ú✉ ❤↕♥ [a0 ; a1 , a2 , , an ]✳ ❳➨t ❤❛✐ ❞➣② (pk )nk=0 ✈➔ (qk )nk=0 ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉ p = a0 p = a1 a0 + pk = ak pk−1 + pk−2 , q0 = q = a1 qk = ak qk−1 + qk−2 , ∀k = 2, 3, pk ❑❤✐ ✤â ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ t❤ù ❦ ❝õ❛ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè [a0 ; a1 , a2 , , an ] ❧➔ Ck = [a0 ; a1 , , ak ] = ✳ qk pk ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ Ck = [a0 ; a1 , , ak ] = ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❤❡♦ ❦✱ qk ợ ữ ỵ Ck ữủ s✉② r❛ tø Ck−1 ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛② ak−1 ❜ð✐ ak−1 + ✳ ak ❚❤➟t ✈➟② a0 p0 C0 = [a0 ] = a0 = = , q0 a1 a0 + p1 C1 = [a0 ; a1 ] = a0 + = = , a1 a1 q1 ✼ a1 + C2 = [a0 ; a1 , a2 ] = a2 a1 + = a0 + 1 a2 a2 (a1 a0 + 1) + a0 a2 p + p p2 = = a2 a1 + a2 q + q q2 ●✐↔ sû Ck = [a0 ; a1 , , ak ] = ak pk−1 + pk−2 pk = , k ≥ ak qk−1 + qk−2 qk ❑❤✐ ✤â ak + Ck+1 = ak + = ak+1 ak+1 pk−1 + pk−2 qk−1 + qk−2 ak+1 pk + pk−1 ak+1 (ak pk−1 + pk−2 ) + pk−1 = ak+1 (ak qk−1 + qk−2 ) + qk−1 ak+1 qk + qk−1 ❉♦ ✤â Ck+1 = pk+1 qk+1 ❱➟② t❛ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ Ck = [a0 ; a1 , , ak ] = pk qk ❱➼ ❞ö ✶✳✺✳ ❚➻♠ ❝→❝ ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè [6; 1, 1, 3, 5]✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ❝â ❜↔♥❣ s❛✉ ❦ ak pk qk ✵ ✻ ✻ ✶ ✶ ✶ ✼ ✶ ✷ ✶ ✶✸ ✷ ✸ ✸ ✹✻ ✼ ✹ ✺ ✷✹✸ ✸✼ ❱➟② C0 = 6, C1 = 7, C2 = ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✺ 13 46 243 , C3 = , C4 = 37 ✳ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦ Ck ❧➔ ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ t❤ù ❦ ❝õ❛ [a0 ; a1 , a2 , , an ]✱ ✈ỵ✐ ✶✳✹)✳ ❑❤✐ ✤â ≤ k ≤ n ✈➔ pk , qk ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ tr♦♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ( pk qk−1 − pk−1 qk = (−1)k−1 ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✻ ✭①❡♠ ❬✸❪✮✳ ●✐↔ sû {Ck } ❧➔ ❞➣② ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ❤ú✉ ❤↕♥ [a0 ; a1 , a2 , , an ]✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ❝→❝ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ s❛✉ ✽ ✐✮ Ck − Ck−1 (−1)k−1 = ✱ ✈ỵ✐ ≤ k ≤ n qk qk−1 ✐✐✮ Ck − Ck−2 = ak (−1)k ✱ ✈ỵ✐ ≤ k ≤ n qk qk−2 ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✼ ✭①❡♠ ❬✸❪✮✳ ❱ỵ✐ ❝→❝ ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ Ck ❝õ❛ ❧✐➯♥ ♣❤➙♥ sè ❤ú✉ ❤↕♥ [a0; a1, a2, , an] t❛ ❝â ❝→❝ ❞➣② ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ✐✮ C1 > C3 > C5 > ✐✐✮ C0 < C2 < C4 < ✐✐✐✮ ♠é✐ ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ ❧➫ C2j−1 ✤➲✉ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ♠é✐ ❣✐↔♥ ♣❤➙♥ ❝❤➤♥ C2i ✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✽ ✭①❡♠ ❬✸❪✮✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ k = 0, 1, , n t❤➻ (pk , qk ) = ✭tù❝ ❧➔ pk , qk ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉✮✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✾ ✭①❡♠ ❬✸❪✮✳ ❈❤♦ a0, a1, a2, ❧➔ ❞➣② ✈ỉ ❤↕♥ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥✱ > ✈ỵ✐ ∀i ≥ 1✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ ❦✱ ✤➦t Ck = [a0 ; a1 , a2 , , ak ] õ tỗ t ợ lim Ck k→+∞ ❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ( ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✶✳✼) t❛ ❝â C1 > C3 > C5 > > C2n−1 > C2n+1 > C0 < C2 < C4 < < C2n−2 < C2n < C2j−1 > C2i , ✈ỵ✐ ♠å✐ ✐✱ ❥✳ ❚ø ✤â s✉② r❛ ❞➣② {C2k+1 }✱ k = 0, 1, ❧➔ ❞➣② ❣✐↔♠ ✈➔ ữợ C0 ỏ {C2k } k = 0, 1, ❧➔ ❞➣② t➠♥❣ tr C1 ỵ tt ợ số t tỗ t ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ lim C2k+1 = α , k→+∞ lim C2k = β k→+∞ ✶✳✻) t❛ ❝â ❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ( C2k+1 − C2k (−1)2k = > = q2k+1 q2k q2k+1 q2k ✾ ✭❛✮