Phương trình tích phân Volterra: Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THU HÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THU HÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN NGỌC HÀ NỘI, 2015 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Phương trình tích phân Volterra loại hai tổng quát phương pháp xấp xỉ liên tiếp 1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 1.2 Các ví dụ 10 Phương trình tích phân Volterra dạng chập 2.1 Tích phân Gamma tích phân Beta 2.2 Biến đổi Laplace 2.3 Phương trình Volterra nửa trục đổi Laplace 16 16 17 27 Nghiệm tường minh số phương trình tích phân dạng Volterra 3.1 Phương trình tích phân Abel 3.1.1 Phương trình tích phân Abel loại 3.1.2 Phương trình tích phân Abel loại hai 3.1.3 Phương trình tích phân dạng Abel 3.1.4 Phương trình tích phân Abel với nhân tổng quát 3.2 Phương trình Volterra với nhân đa thức hay phân thức hữu tỷ 3.2.1 Đạo hàm theo tham số tích phân xác định 3.2.2 Nhân đa thức bậc 3.2.3 Nhân đa thức bậc hai 3.2.4 Nhân đa thức bậc ba 3.2.5 Nhân lũy thừa bậc cao 3.2.6 Nhân phân thức hữu tỷ 34 34 34 37 38 38 39 39 39 40 42 43 44 biến 3.3 Phương trình Volterra với nhân thức hay lũy thừa phân 47 3.3.1 Nhân thức 47 3.3.2 Nhân lũy thừa phân 49 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 Lời cám ơn Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn Thầy - TS Nguyễn Văn Ngọc tận tâm hướng dẫn, động viên tơi suốt q trình thực luận văn Xin chân thành cảm ơn Q thầy khoa Tốn - Cơ - Tin, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội tận tâm truyền đạt kiến thức kinh nghiệm cho tơi suốt khóa học Xin cảm ơn Phòng Sau Đại học Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học Cho gửi lời cảm ơn chân thành tới đồng nghiệp, bạn học viên cao học Giải Tích khóa 2013-2015 giúp đỡ thời gian học tập thực luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Lê Thị Thu Hà Mở đầu Nhiều vấn đề tốn học(phương trình vi phân với điều kiện biên hay điều kiện ban đầu, phương trình đạo hàm riêng), học, vật lí ngành kĩ thuật khác dẫn đến phương trình hàm chưa biết chứa dấu tích phân Những loại phương trình gọi phương trình tích phân Phương trình tích phân cơng cụ tốn học hữu ích nhiều lĩnh vực nên quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác tồn nghiệm, xấp xỉ nghiệm, tính chỉnh hay khơng chỉnh, nghiệm chỉnh hóa, Lý thuyết tổng quát phương trình tích phân tuyến tính xây dựng buổi giao thời kỉ XIX, XX, chủ yếu cơng trình Volterra, Fredholm Hilbert, v.v Phương trình tích phân tuyến tính có dạng b αu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, (1) a u(x) hàm cần tìm (ẩn hàm), f(x) K(x, y) hàm cho trước tương ứng gọi vế phải nhân (hạch) phương trình cho, α số cho Phương trình (1) gọi phương trình loại hay loại 2, tùy thuộc vào α = 0, hay α = tương ứng Thông thường, trường hợp (a, b) khoảng hữu hạn K(x, y) hàm liên tục hay khả tích hình chữ nhât (a, b) × (a, b) phương trình (1) gọi phương trình Predholm Nếu phương trình (1), cận a, hay cận b thay x, biến thiên khoảng đó, phương trình gọi phương trình tích phân voltetrra Như vậy, phương trình tích phân Volterra có dạng x λu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, , (2) K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b (3) a b λu(x) + x Ở đây, xảy trường hợp b = +∞ Nếu K(x, y) có dạng K(x-y) phương trình tích phân gọi phương trình tích chập Mục đích luận văn tìm hiểu học phương pháp giải hình thức phương trình tích phân Volterra Nội dung luận văn trình bày ba chương: Chương trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải giải phương trình Volterra loại hai với vế phải nhân hàm liên tục Chương trình bày phép biến đổi tích phân Laplace vận dụng phép biến đổi giải phương trình tích phân Volterra dạng chập nửa trục thực Chương trình bày nghiệm tường minh số phương trình tích phân dạng Volterra phương trình tích phân Abel số phương trình Volterra khác Chương Phương trình tích phân Volterra loại hai tổng qt phương pháp xấp xỉ liên tiếp Chương trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải giải phương trình Volterra loại hai với vế phải nhân hàm liên tục Nội dung chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [3] 1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Xét phương trình tích phân x Φ(x) = f (x) + λ K(x, t)Φ(t)dt a số hạng tự f (x) hàm biến phức liên tục [a, b] hạch K(x, t) có giá trị phức liên tục tam giác T (a, b) = {(x, t) : a ≤ x ≤ b, a ≤ t ≤ x} Ta giả thiết hạch Volterra thỏa mãn điều kiện K(x, t) ≡ x < t hạch biến đường chéo hình vng Q(a, b) Nếu λ = Φ(x) = f (x) nghiệm cuả phương trình tích phân Nếu |λ| đủ nhỏ để Φ(x) ≈ f (x) phần tự hàm xấp xỉ ban đầu Φ0 (x) với nghiệm phương trình, đảm bảo nghiệm tồn Nếu hàm xấp xỉ thứ Φ1 (x) với Φ(t) cho biết việc thay Φ(t) Φ0 (t) = f (t) tích phân ta x Φ1 (x) = f (x) + λ K(x, t)Φ0 (t)dt a Nếu tích phân x K(x, t)Φ0 (t)dt = a Φ1 (x) = f (x) = Φ0 (x) trình lặp lặp lại kết thúc Điều ngẫu nhiên xảy ra, xét phương trình x (2x − 3t)Φ(t)dt Φ(x) = x + λ Nếu ta chọn Φ0 (x) = f (x) = x x x 2xt − 3t2 dt = xt2 − t3 (2x − 3t) tdt = x =0 Do Φ1 (x) = f (x) = x = Φ(x) với giá trị λ Nếu Φ1 (x) = Φ0 (x) = f (x) thay Φ1 (x) lượng xấp xỉ thứ hai x Φ2 (x) = f (x) + λ K(x, t)Φ1 (t)dt a Tiếp tục trình cho ta lượng xấp xỉ thứ n x Φn (x) = f (x) + λ K(x, t)Φn−1 dt a ln giả sử tích phân khơng biến bước Nếu tích phân Φn (x) = f (x) = Φ0 (x) trình lặp sai Mỗi xấp xỉ Φn (x)} có dạng thay Nếu thay xấp xỉ thứ vào xấp xỉ thứ hai ta   x t Φ2 (x) = f (x) + λ K(x, t) f (t) + λ a K(t, s)f (s)ds dt a x x t = f (x) + λ K(x, t)f (t)dt + λ a K(x, t)K(t, s)f (s)dsdt a x K(x, t)f (t)dt + λ2 = f (x) + λ a x a K2 (x, t)f (t)dt a Trong ta đặt x K2 (x, t) = K(x, s)K(s, t)ds t Chú ý hạch lặp K2 (x, t) ≡ x < t Điều dẫn tới K(x, s) ≡ x < s K(s, t) ≡ s < t Từ s khoảng trùng lên x < t, tích phân khác t ≤ s ≤ x Thêm vào việc lặp lại dẫn tới dạng tổng quát  x  n λm  Φn (x) = f (x) + m=1 (1.1) Km (x, t)f (t)dt a Trong với m = 1, 2, , ta đặt x Km−1 (x, s)K(s, t)ds Km (x, t) = t Mở đầu hạch lặp thỏa mãn điều kiện Km (x, t) ≡ x < t Dãy {Φn (x)} xấp xỉ liên tục hội tụ tuyệt đối [a, b] Từ ta giả sử K(x, t) liên tục tam giác đóng T (a, b) K(x, t) ≡ x < t, tồn số M cho |K(x, t)| ≤ M hình vng Q(a, b) Do x |K2 (x, t)| ≤ M ds = M (x − t) ≤ M (b − a) t với t ≤ x Ta để ý K2 (x, t) ≡ x < t Ta dễ dàng có bất đẳng thức M m (b − a)m−1 M m (x − t)m−1 ≤ |Km (x, t)| ≤ (m − 1)! (m − 1)! với m ≥ x, t ∈ [a, b] Mỗi ước tính cho, số hạng tổng (1.4) thỏa mãn bất đẳng thức x λm Km (x, t)f (t)dt ≤ |λ|m M m (b − a)m−1 f (m − 1)! Do dãy lặp {Φn (x)} hội tụ tuyệt đối tới nghiệm liên tục  x  n λm  Φ(x) = f (x) + m=1 Km (x, t)f (t)dt a x f˜α (x) = f (s)ds (x − s)1−α khả vi liên tục theo x Nếu cần thiết, phương trình biến đổi khả vi để thu phương trình tích phân Volterra loại hai Cịn có dạng tổng qt Nếu γ : [0, 1] → R có đạo hàm dương liên tục, phương trình tích phân kỳ dị x f (x) = φ(t)dt (γ(x) − γ(t))α có nghiệm sin(απ) d φ(x) = π dx 3.2 3.2.1 x γ (t) f (t)dt (γ(x) − γ(t))1−α (3.3) Phương trình Volterra với nhân đa thức hay phân thức hữu tỷ Đạo hàm theo tham số tích phân xác định Cho F (x, t) hàm biến phức liên tục hình vng Q(a, b) Nếu F (x, t) khả vi liên tục theo biến x x d dx x a 3.2.2 ∂F (x, t)dt ∂x F (x, t)dt = F (x, x) + (3.4) a Nhân đa thức bậc Trước hết xét phương trình Volterra đơn giản x y(t)dt = f (x), x ≥ a (3.5) a Hàm f(x) phải thỏa mãn điều kiện f (a) = Đạo hàm theo x hai vế đẳng thức ta công thức nghiệm phương trình (3.5): y(x) = f (x), f (a) = Xét phương trình x (x − t)y(t)dt = f (x), a 39 x ≥ a (3.6) Sử dụng cơng thức (3.4), ta có nghiệm phương trình (3.6) y(x) = f (x), f (a) = f (a) = Xét phương trình với nhân hàm bậc tổng quát theo x t x (3.7) (Ax + Bt + C)y(t)dt = f (x) a Với điều kiện f (a) = 0, nghiệm phương trình (3.7) cho cơng thức sau 1o Trường hợp B = −A:   x   B A y(x) = d [(A + B) x + C]− A+B dx  [(A + B) t + C]− A+B f (t) dt  a 2o Trường hợp B = −A, C = 0:  y(x) =  x d  A exp − x C dx C exp A t f (t) dt C a 3.2.3 Nhân đa thức bậc hai x (x − t)2 y(t)dt = f (x), f (a) = f (a) = f (a) = a Nghiệm phương trình cho cơng thức: y (x) = f (x) x (x2 −t2 )y(t)dt = f (x), f (a) = f (a) = a Nghiệm phương trình cho cơng thức: y (x) = xf (x) − f (x) 2x2 x (Ax2 +Bt2 )y(t)dt = f (x) a 40 Nghiệm phương trình cho cơng thức:  x y (x) = 2A d  − A+B x A + B dx  2B t− A+B f t (t) dt a với A = −B x (Ax2 +Bt2 + C)y(t)dt = f (x) a Nghiệm phương trình là:   y (x) = signϕ (x) với A = −B, ,   x A d |ϕ (x)|− A+B dx  B |ϕ (x)|− A+B f t (t) dt  a ϕ (x) = (A + B) x2 + C x (Ax2 +(B − A)xt − Bt2 )y(t)dt = f (x), f (a) = f x (a) = a Nghiệm phương trình:  y (x) =  x 2A d  − A+B x A + B dx A−B t A+B f tt (t) dt  a với A = −B Ví dụ 3.1 Xét phương trình tích phân Volterra x x2 − t2 Φ (t) dt = f (x) Điều kiện f (0) = điều kiện cần khơng phải điều kiện đủ phương trình để có nghiệm liên tục đoạn có dạng [0, b] Nếu ta đặt Φ (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + x 2 x2 − t2 Φ (t) dt = a0 x3 + a1 x4 + a2 x5 + a3 x6 + 15 12 Do f (0) = f (0) = f (0) = điều kiện cần để phương trình có nghiệm ta đạo hàm tích phân x x2 − t2 Φ (t) dt = sin x3 41 theo biến x ta x 2xΦ (t) dt = 3x2 cos x3 Sau chia hai vế cho 2x vi phân theo biến x ta có Φ (x) = d x cos x3 dx = cos x3 − 3x3 sin x3 nghiệm liên tục phương trình 3.2.4 Nhân đa thức bậc ba x (x − t)3 y(t)dt = f (x) với giả thiết a f (a) = f (a) = f (a) = f (a) = Giả sử f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp bốn Bằng cách lấy đạo hàm theo x bốn lần liên tiếp ta nghiệm phương trình là: y(x) = f (4) (x) x (x3 −t3 )y(t)dt = f (x), f (a) = f x (a) = a Giả sử hàm f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp Khi nghiệm phương trình cho cơng thức: y (x) = xf (x) − 2f (x) 3x3 x (Ax3 +Bt3 )y(t)dt = f (x) a Nghiệm phương trình với ≤ a ≤ x, B = −A:  x y (x) = 3A d  − A+B x A + B dx −3B t A+B f t (t) dt a 42  x (x2 t − xt2 )y(t)dt = f (x), f (a) = f (a) = a Nghiệm phương trình: y (x) = d2 f (x) x dx2 x x (Ax2 t + Bxt2 )y(t)dt = f (x) a Nghiệm phương trình với B = −A:  A d  − A+B x (A + B)x dx y (x) =  x −B t A+B d f (t) dt dt t a 3.2.5 Nhân lũy thừa bậc cao x (x − t)n y(t)dt = f (x), n = 1, 2, a Giả thiết vế phải phương trình thỏa mãn điều kiện (n) f (a) = f x (a) = = fx (a) = Nghiệm phương trình: y(x) = (n+1) fx (x) n! Ví dụ: Cho f (x) = Axm , m số nguyên dương, m > n, nghiệm phương trình có dạng: y(x) = Am! xm−n−1 n! (m − n − 1)! x (xn −tn )y(t)dt = f (x), f (a) = f x (a) = 0, a Nghiệm phương trình: y(x) = d n dx f x (x) xn−1 x n+1 (tn xn+1 −xn t )y(t)dt = f (x), n = 2, 3, a Nghiệm phương trình: y(x) = d2 xn dx2 43 f (x) xn n = 1, 2, 3.2.6 Nhân phân thức hữu tỷ x y(t) x+t dt = f (x) 1o Cho f (x) = N An xn , nghiệm phương trình có dạng: n=0 N y(x) = n=0 n An n x , Bn N 2o Cho f (x) = xλ n Bn = (−1) ln + k=1 (−1)k k An xn , λ số arbitrary (λ > −1), n=0 nghiệm phương trình có dạng: N y(x) = xλ n=0 N 3o Cho f (x) = ln x An n x , Bn tλ+n dt 1+t Bn = An xn , nghiệm phương trình có dạng: n=0 N y(x) = lnx n=0 n Bn = (−1) n ln + k=1 4o Cho f (x) = N An n x + Bn (−1)k , k N n=0 An In n x Bn2 n In = (−1) π2 + 12 n k=1 (−1)k k2 An (ln x)n , nghiệm phương trình có dạng: n=0 N y(x) = An Yn (x) n=0 hàm Yn = Yn (x) cho dn xλ dλn I(λ) Yn (x) = 5o Cho f (x) = , I(λ) = λ=0 N z λ dz 1+z N Bn cos (λn ln x), nghiệm phương An cos (λn ln x) + n=0 n=0 trình có dạng: N y(x) = N Cn cos (λn ln x) + n=1 Dn cos (λn ln x) n=1 44 số Cn Dn tìm phương pháp hệ số bất định 6o Cho arbitry f (x), biến đổi x = e2z , t = e2τ , y(t) = e−τ w(τ ), f (x) = e−z g(z) đưa tới phương trình tích phân z w(τ )dτ = g(z) cosh(z − τ ) −∞ x y(t) ax+bt = f (x), 1o Cho f (x) = N a > 0, a+b>0 An xn , nghiệm phương trình có dạng: n=0 N y(x) = n=0 N 2o Cho f (x) = xλ An n x , Bn Bn = tn dt a + bt An xn , λ số (λ > −1), nghiệm n=0 phương trình có dạng: N y(x) = xλ n=0 N 3o Cho f (x) = ln x An n x , Bn Bn = tλ+n dt a + bt An xn , nghiệm phương trình có dạng: n=0 N y(x) = lnx n=0 An n x − Bn N n=0 A n Cn n x , Bn2 Bn = tn dt , a + bt Cn = tn ln t dt a + bt 4o Vế phải phương trình có vài dạng khác nghiệm cuả phương trình tìm phương pháp hệ số bất định x y(t) ax2 +bt2 = f (x), 1o Cho f (x) = N a > 0, a+b>0 An xn , nghiệm phương trình có dạng: n=0 N y(x) = n=0 An n+1 x , Bn Bn = 45 tn+1 dt a + bt Ví dụ : Cho a = b = f (x) = Ax2 + Bx + C nghiệm phương trình là: 4B 2C 2A x3 + x + x − ln 4−π ln y(x) = N 2o Cho f (x) = xλ An xn , λ số arbitrary (λ > −1), n=0 nghiệm phương trình có dạng: N An n+1 x , Bn y(x) = n=0 N 3o Cho f (x) = ln x Bn = tλ+n+1 dt a + bt2 An xn , nghiệm phương trình có dạng: n=0 N y(x) = lnx n=0 x y(t) axm +btm 1o Cho f (x) = N An n+1 x − Bn n=0 An Cn n+1 x , Bn2 Cn = a > 0, tn+1 ln t dt a + bt2 0 = f (x), N Bn = tn+1 dt , a + bt2 a + b > 0, m = 1, 2, An xn , nghiệm phương trình có dạng: n=0 N y(x) = n=0 2o Cho f (x) = xλ N An m+n−1 x , Bn Bn = tm+n−1 dt a + btm An xn , λ số (λ > −1), nghiệm n=0 phương trình có dạng: N y(x) = xλ n=0 3o Cho f (x) = ln x N An m+n−1 x , Bn Bn = tλ+m+n−1 dt a + btm An xn , nghiệm phương trình có dạng: n=0 N y(x) = lnx n=0 Bn = An m+n−1 x − Bn tm+n−1 dt , a + btm N n=0 Cn = 0 46 An Cn m+n−1 x Bn2 tm+n−1 ln t dt a + btm 3.3 Phương trình Volterra với nhân thức hay lũy thừa phân 3.3.1 Nhân thức x √ x − ty(t)dt = f (x) a Lấy đạo hàm hai vế theo biến x, ta phương trình Abel x y(t)dt √ = 2f (x) x−t a Nghiệm phương trình:y(x) = x 2 d2 π dx2 x a f (t)dt √ x−t √ √ ( x − t)y(t)dt = f (x) a √ d Nghiệm phương trình: y(x) = dx [ xf x (x)] x √ (1 + b x − t)y(t)dt = f (x) a Đạo hàm theo x hai vế phương trình cho, ta phương trình tích phân Abel: x y(x) + b y(t)dt √ = f x (x) x−t a x y(t)dt = f (x) √ x−t a Nghiệm phương trình: x d y(x) = π dx x y(t)dt f (a) √ = √ + x−t π x−a π a a x b+ √ x−t f t (t)dt √ x−t y(t)dt = f (x) a Phương trình viết lại dạng: 47 x x y(t)dt √ = f (x) − b x−t y(t)dt a a Giả sử vế phải phương trình biết, giải phương trình giống phương trình Abel Sau số thao tác ta có: x b π y(x) + a y(t)dt √ x−t x = F (x), F (x) = d π dx a f (t)dt √ x−t x 1 √ −√ x t y(t)dt = f (x) a Nghiệm phương trình cho cho cơng thức: y(x) = −2 x3/2 f (x) , a > x x y(t)dt x2 − t2 a = f (x) x Nghiệm phương trình: y(x) = d π dx x √ y(t)dt ax2 + bt2 = f (x), a tf (t)dt √ x2 −t2 a > 0, a + b > 0 1o Cho f (x) = N An xn , nghiệm phương trình có dạng: n=0 N y(x) = n=0 2o Cho f (x) = xλ N An n x , Bn Bn = tn dt √ a + bt2 An xn , λ số (λ > −1), nghiệm n=0 phương trình có dạng: N y(x) = xλ n=0 An n x , Bn Bn = 48 tλ+n dt √ a + bt2 N 3o Cho f (x) = ln x An xn , nghiệm phương trình có dạng: n=0 N An n x − Bn y(x) = lnx n=0 √ Bn = tn dt a + bt2 N An Cn n x Bn2 n=0 , Cn = 4o Cho f (x) = N tn ln t √ dt a + bt2 An (ln x)n , nghiệm phương trình có dạng: n=0 N An Yn (x) y(x) = n=0 hàm Yn = Yn (x) cho xλ dn dλn I(λ) Yn (x) = 5o Cho f (x) = , I(λ) = λ=0 N z λ dz √ a + bz N Bn sin (λn ln x), nghiệm phương An cos (λn ln x) + n=0 n=0 trình có dạng: N y(x) = N Cn cos (λn ln x) + n=1 Dn sin (λn ln x) n=1 số Cn Dn tìm phương pháp hệ số bất định 3.3.2 Nhân lũy thừa phân x (x − t)λ y(t)dt = f (x), f (a) = 0, < λ < a Giả sử f(x) hàm khả vi liên tục Đạo hàm hai vế phương trình cho thep x, ta phương trình tích phân Abel: x y(t)dt a (x − t) 1−λ 49 = f (x) λ x Nghiệm phương trình cho cơng thức : x sin(πλ) d2 y(x) = πλ dx2 f (t)dt λ a (x − t) , k= sin(πλ) πλ x (x − t)µ y(t)dt = f (x) a Với µ = n − λ, n = 1, 2, ≤ λ < 1, f (a) = f x (a) = = f (n−1) x (a) = Đạo hàm hai vế theo x n lần ta phương trình x y(t)dt Γ (µ − n + 1) (n) = f (x), λ Γ (µ + 1) (x − t) a Γ(µ) hàm Gamma Ví dụ: Đặt f (x) = Axβ , β ≥ µ > −1, µ − β = 0, 1, 2, , trường hợp nghiệm phương trình có dạng: y(x) = AΓ(β + 1) xβ−µ−1 Γ(µ + 1)Γ(β − µ) x (xµ − tµ ) y(t)dt = f (x) a Nghiệm phương trình cho cơng thức: y(x) = 1−µ x f x (x) µ x x (Axµ + Btµ ) y(t)dt = f (x) a Nghiệm phương trình cho cho cơng thức:   x y(x) = Aµ d  − A+B x A + B dx Bµ t A+B f t (t)dt a với A = −B 50 x tσ (xµ − tµ )λ y(t)dt = f (x), σ > −1, λ > −1, µ > a Đặt τ = tµ , z = xµ , w(τ ) = tσ−µ+1 y(t), A = aµ , F (z) = µ(z 1/µ ) Khi phương trình (5) đưa phương trình dạng (2): x (z − τ )λ w(τ )dτ = F (z) a Từ tìm nghiệm phương trình cho < λ < Với −1 < λ < nghiệm phương trình cho y(x) = µ sin(µλ) d πxσ dx x tµ−1 (xµ − tµ )−1−λ f (t)dt a 51 Kết luận Luận văn đề cập vấn đề sau Trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải phương trình giải phương trình tích phân Volterra loại hai với nhân liên tục Trình bày phương pháp biến đổi tích phân Laplace giải phương trình Volterra dạng chập nửa trục thực Trình bày nghiệm tường minh số phương trình tích phân Volterra dặc biệt, phương trình Abel phương trình với nhân có dạng đơn giản Qua luận văn thực làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Những kiến thức đạt trình nghiên cứu quý báu với thân Tuy nhiên lực, kiến thức cịn hạn chế khó tránh khỏi khiếm khuyết Tơi mong nhận góp ý quý thầy-cô bạn Xin chân thành cảm ơn! 52 Tài liệu tham khảo [1] Lokenath Debnath and Dambaru Batta (2007), Integral Transforms and their Applications, by Taylor and Francis Group [2] Andrei D Polyanin and Alexander V Manzhirov, Hanbook of Integral Equations, 1998 by CRC Press LLC [3] Stephen M Zemyan , The Classical Theory of Integral Equations, Springer Science + Business Media, LLC 2012 53