Luận văn bất phương trình diophante tuyến tính

_I HC QUẩC GIAH NậI TRìNG _IHC KHOAHCTĩ NHI N TRN TRìNG SINH BT PHìèNG TRNH DIOPHANTE TUYN TNH Chuyản ng nh: PHìèNG PHP TON Sè CP MÂ số: 60.46.01.13 LUN VN THC Sò KHOA HC NGìI HìẻNG DN KHOAHC GS.TSKHNGUYNVN MU H NậI - 2015 Mửc lửc M _Ưu Mởt số kián thực chuân b 1.1 ìợc số chung lợn nhĐt Thuêt toĂn Euclid 1.2 Liản phƠn số 61.3 1.4 Phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 15 1.3.1 Tẳm nghiằm riảng dỹa v o giÊn phƠn 18 1.3.2 Tẳm nghiằm riảng dỹa v o thuêt toĂn Euclid 19 Nghiằm nguyản dữỡng cừa phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 24 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 26 2.1 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 26 2.2 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh "b chn" 30 2.3 Nghiằm nguyản dữỡng cừa bĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 34 2.3.1 Mởt số vẵ dử liản quan 35 2.3.2 BĐt phữỡng trẳnh Diophante dÔng liản phƠn số 41 Mởt số b i toĂn liản quan 43 3.1 Nghiằm nguyản cừa phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, hằ bĐt phữỡng trẳnh lữủng giĂc Phữỡng trẳnh, 3.2 hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, hằ bĐt phữỡng trẳnh lữủng giĂc cõ _iãu kiằn XĂc _nh phƠn thực chẵnh quy 3.3 thọa mÂn _iãu kiằn cho trữợc Kát luên 64 T i liằu tham khÊo 65 43 47 56 M _Ưu Phữỡng trẳnh nghiằm nguyản hay cỏn gồi l phữỡng trẳnh Diophante l mởt nhỳng dÔng toĂn lƠu _ới nhĐt cừa ToĂn hồc Thổng qua viằc giÊi phữỡng trẳnh Diophante, cĂc nh toĂn hồc _Â tẳm _ữủc nhỳng tẵnh chĐt sƠu sc cừa số nguyản, số hỳu t, số _Ôi số GiÊi phữỡng trẳnh Diophante _Â _ữa _án sỹ _ới cừa liản phƠn số, lỵ thuyát _ữớng cong elliptic, lỵ thuyát xĐp x Diophant, thng bẳnh phữỡng, số hồc modular, BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh thỹc chĐt l phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh cõ chựa tham số Cõ th nõi _Ơy l mởt dÔng toĂn khĂ mợi m v chữa phờ bián cĂc ký thi hồc sinh giọi bêc phờ thổng Trong luên vôn n y, tĂc giÊ khổng cõ tham vồng bao quĂt hát cĂc vĐn _ã vã bĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh m chừ yáu _i sƠu nghiản cựu bĐt phữỡng trẳnh dÔng n y vợi hai bián, ba bián hoc bốn bián Hi vồng _Ơy s l mởt t i liằu bờ ẵch cho cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc em hồc sinh quĂ trẳnh ổn luyằn thi hồc sinh giọi Luên vôn _ữủc chia l m chữỡng: Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Chữỡng BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh Chữỡng Mởt số b i toĂn liản quan NhƠn _Ơy, tĂc giÊ xin b y tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sc tợi GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu ThƯy _Â d nh nhiãu thới gian hữợng dăn cụng nhữ giÊi _Ăp cĂc thc mc cừa hồc trỏ suốt quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v giúp _ù tĂc giÊ ho n th nh luên vôn n y TĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn th nh nhĐt tợi Ban giĂm hiằu, Phỏng _ o tÔo Sau _Ôi hồc, Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, cĂc thƯy cổ giĂo _Â tÔo _iãu kiằn thuên lủi _ tĂc giÊ cõ th ho n th nh nhiằm vử cừa mẳnh TĂc giÊ xin cÊm ỡn gia _ẳnh, bÔn b _Â luổn quan tƠm, _ởng viản, cờ vụ v tÔo _iãu kiằn tốt nhĐt cho tĂc giÊ suốt thới gian m tĂc giÊ hồc têp tÔi trữớng _Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - _Ôi hồc Quốc gia H Nởi Mc dũ _Â cõ nhiãu cố gng thới gian v trẳnh _ở cỏn nhiãu hÔn chá nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Vẳ vêy tĂc giÊ rĐt mong nhên _ữủc sỹ gõp ỵ cừa cĂc thƯy giĂo, cổ giĂo cụng nhữ cĂc bÔn _ỗng nghiằp _ bÊn luên vôn _ữủc ho n thiằn hỡn TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn! H Nởi, thĂng 09 nôm 2015 Hồc viản thỹc hiằn TrƯn Trữớng Sinh Chữỡng Mởt số kián thực chuân b 1.1 ìợc số chung lợn nhĐt Thuêt toĂn Euclid _nh nghắa 1.1 (xem [1]) Số nguyản c _ữủc gồi l mởt ữợc số chung cừa hai số nguyản a v b (khổng _ỗng thới bơng khổng) náu c chia hát a v c chia hát b _nh nghắa 1.2 (xem [1]) Mởt ữợc số chung d cừa hai số nguyản a v b (khổng _ỗng thới bơng khổng) _ữủc gồi l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b náu mồi ữợc số chung c cừa a v b _ãu l ữợc cừa d Chú ỵ 1.1 Náu d l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b thẳ d cụng l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b Vêy ta quy ữợc rơng ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b l số nguyản dữỡng ìợc số chung lợn nhĐt cừa hai số a v b _ữủc kỵ hiằu l (a,b) hay gcd(a,b) (greatest common divisor) Nhữ vêy d = (a,b) hay d = gcd(a,b) Vẵ dử 1.1 (25,30) = 5, (25,-72) = _nh nghắa 1.3 (xem [1]) Mởt số nguyản c _ữủc gồi l mởt ữợc số chung cừa n số nguyản a1, a2, a3, , an (khổng _ỗng thới bơng khổng) náu c l ữợc cừa mội số _õ _nh nghắa 1.4 (xem [1]) Mởt ữợc số chung d cừa n số nguyản a1,a2,a3, ,an (khổng _ỗng thới bơng khổng) _ữủc gồi l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a1, a2, a3, , an náu mồi ữợc số chung c cừa a1, a2, a3, , an _ãu l ữợc cừa d Tữỡng tỹ, ta cụng quy ữợc rơng ữợc số chung lợn nhĐt cừa n số nguyản a1, a2, a3, , an l số nguyản dữỡng ìợc số chung lợn nhĐt cừa a1, a2, a3, , an kỵ hiằu l (a1, a2, a3, , an) hay gcd(a1, a2, a3, , an) Nhữ vêy d = (a1, a2, a3, , an) hay d = gcd(a1, a2, a3, , an) _nh lẵ 1.1 (vã sỹ tỗn tÔi ữợc số chung lợn nhĐt cừa nhiãu số, xem [1])ChocĂcsố nguyản a1, a2, a3, , an khổng _ỗng thới bơng khổng Khi _õ tỗn tÔi ữợc số chung lợn nhĐt cừa a1, a2, a3, , an Tẵnh chĐt 1.1 (xem [1]) Cho a, b, q, r l cĂc số nguyản (a2 +b2 = 0) Náu a = bq +r v r < |b| thẳ (a,b) = (b,r) Thuêt toĂn Euclid (thuêt toĂn tẳm ữợc số chung lợn nhĐt cừa hai số nguyản dữỡng) GiÊ sỷ r0 = a, r1 = b l cĂc số nguyản dữỡng Ta Ăp dửng liản tiáp thuêt toĂn chia ri = ri+1qi+1 + ri+2, _õ ri+2 < ri+1, i = 0, 1, 2, v nhên _ữủc cĂc phƯn r1, r2, vợi r1 > r > _án lƯn _Ưu tiản nhên _ữủc phƯn rn = (n 2, < ri+2 < ri+1, i = 0, 1, , n 3) Khi _õ (a, b) = (r0, r1) = (r1, r2) = = (rn2, rn1) = (rn1.qn1, rn1) = rn1 Vêy (a, b) = rn1 Vẵ dử 1.2 Dũng thuêt toĂn Euclid tẳm ữợc số chung lợn nhĐt cừa 3484 v 3276 Lới giÊi Ta cõ 3484 = 3276.1 + 208 3276 = 208.15 + 156 208 = 156.1 + 52 156 = 52.3 + Vêy gcd(3484, 3276) = 52 Vẵ dử 1.3 Tẳm mởt cp số nguyản x, y _ 3484x + 3276y = 52 Lới giÊi Theo vẵ vử trản ta cõ 52 = 208 156.1 156 = 3276 208.15 52 = 208 (3276 208.15) = 16.208 3276 52 = 3276 + 16.208 52 = 3276 + 16 (3484 3276.1) = 16.3484 17.3276 208 = 3484 3276.1 Do _õ 3484.16 + 3276.(17) = 52 Vêy (x; y) = (16; 17) 1.2 Liản phƠn số _nh nghắa 1.5 (Liản phƠn số hỳu hÔn, xem [3]) Liản phƠn số hỳu hÔn cõ _ở d i n (n N) l biu thực cõ dÔng a0 + a1 + a2 + + an1 + a1 n _õ a0 l số nguyản, l cĂc số nguyản dữỡng (i = 1, 2, , n), an > vợi n > Liản phƠn số trản _ữủc kỵ hiằu l [a0; a1, a2, , an] _nh nghắa 1.6 (Liản phƠn số vổ hÔn, xem [3]) Cho a0,a1,a2, l dÂy vổ hÔn cĂc số nguyản, > vợi i Vợi mội k, _t Ck = [a0; a1, a2, , ak] Khi _õ tỗn tÔi giợi hÔn lim Ck = k+ (Sỹ tỗn tÔi n y s _ữủc nõi ró tẵnh chĐt ( 1.9) dữợi _Ơy) Lúc n y ta gồi l giĂ tr cừa liản phƠn số vổ hÔn [a0; a1, a2, ] v kỵ hiằu l = [a0; a1, a2, ] Tẵnh chĐt 1.2 (xem [3]) Mội số hỳu t l mởt liản phƠn số hỳu hÔn Chựng minh a GiÊ sỷ x = b , b > 0, a, b Z _t r0 = a, r1 = b ta cõ r0 = r1q + r2 r1 = r2q2 + r3 r =r q +r n2 n1n1 n (0 < r2 < r1) (0 < r3 < r2) (0 < rn < rn1) rn1 = rnqn +0 Chú ỵ 3.1 PhƠn thực chẵnh quy f (x) _Ôt giĂ tr nhọ nhĐt tÔi x = _nh nghắa 3.2 (PhƠn thực chẵnhnquy hai bián, xem [5]) Cho > 0, i,i R vợi i = 1, 2, , n Khi _õ f (x, y) = n chẵnh quy (hai bián x, y) náu i=1 i=1 aix iy i vợi x > 0, y > _ữủc gồi l phƠn thực a ii = n i=1 aii = Chú ỵ 3.2 PhƠn thực chẵnh quy f (x,y) _Ôt giĂ tr nhọ nhĐt tÔi x = y = Trong cĂc vẵ dử sau ta xt i, i Z Vẵ dử 3.6 Xt phƠn thực chẵnh quy f (x) = x + 2x + 3x + 5x + 7x Tẳm (1; 2; 3; 4; 5) cho + + 23 + > Lới giÊi (29) Do f (x) l h m phƠn thực chẵnh quy nản + 22 + 33 + 54 + 75 = (29a) Tứ (29a) v (29) ta thu _ữủc + + 44 + 85 < BĐt phữỡng trẳnh n y tữỡng _ữỡng vợi + + 44 + 85 = m _õ m Z, m < _t = a, = b, = c, kát hủp (29a) v (29b) ta thu _ữủc = 2m a + 3b + 9c = m a 4b 8c a = 3= = _õ m, a, b, c Z, m < Chng hÔn vợi m = 5, a = 1, b = 2, c = ta cõ b c (29b) (1; 2; 3; 4; 5) = (21; 18; 1; 2; 4) 57 Khi _õ f (x) = 2x18 + 5x2 + 3x + x74 + x1 21 Vêy ta xƠy dỹng _ữủc b i toĂn sau B i toĂn 3.1 Cho x l số thỹc dữỡng tũy ỵ Chựng minh rơng 2x18 + 5x2 + 3x + x74 + x1 18 21 Vẵ dử 3.7 Xt phƠn thực chẵnh quy f (x, y) = x 1y + 2x 2y + 3x 3y Tẳm (1; 2; 3) v (1; 2; 3) cho thọa mÂn _ỗng thới cĂc hằ thực sau + 42 33 > 0, (30) 32 + (31) Do f (x, y) l h m phƠn thực chẵnh quy nản ta cõ Lới giÊi + + 33 = + 22 + h (31a) T ( t T (30b) _õ m, a Z, m Thá (31a) v o (31) ta _ữủc 52 + 23 (31b) tữỡng _ữỡng vợi 52 + 23 = n (31b) ( ; _õ n Z, n Tứ _õ ta thu _ữủc _õ n, b Z, n Vêy ta cõ _ỗng thới = n + 2b = 2n 5b ; ) = ( m a ; m + a ; m + a ) , ( ; ; 3) = (4n + 11b; n + 2b; 2n 5b) t r o n g _ õ 1, b b =2 ta cõ t phƠ h n ẳ thực chẵ t nh a quy t m , 10 n , x h 2x5y + 3yx4 u _ c m i n a , f (x, y) = y16 + ữ ủ c f b b ( x , Z y ) i = t f o , m ( , , ) n = Ă n c õ k Náu t thay Chng hÔn vợi m x=a q = 1, n = 3, a = ,y= u Ê tữỡng tỹ sau 10 2 B i toĂn 3.2 Cho a,b l cĂc số thỹc dữỡng tũy ỵ Tẳm giĂ tr nhọ nhĐt cừa biu thực M = 64 b + a3 2b V ẵ dử Cho hm b b x + x c phƠn thực chẵn h quy + 12 a f a ( x ) = vợi a, b, c l cĂc số nguy ản dữỡng Tẳm bở số (a, b, c) cho giĂ tr nhọ nhĐt cừa f (x) k a h ổ x n g v + ữ ủ t q t u h Ă ự c 1 c h ẵ L n h i g q i u Ê y i n ả D n o t f a ( x c ) õ l h a + m b p h c Ơ n = hay c = a + 2b (32a) Mt khĂc, Ăp dửng bĐt _ng thực AM GM suy rởng ta cõ f ( x) = f (1) a x2 + a + b + c x4 + a + c + c x a+b+c 2c b b 2a b xa + b + c xa + b + c xa + b + c = Do _õ f (x) = f (1) = a + b + c Theo b i ta cõ a + b + c 11 (32b) 2a + 3b 11 (32c) 2a + 3b = m (32d) Thá (32a) v o (32b) ta _ữủc (32c) tữỡng _ữỡng vợi vợi m Z, m 11 Phữỡng trẳnh (32d) cõ nghiằm (a,b) l a = m + t b = m 2t (t Z) Vêy ta cõ a = m + 3t b = m 2t c = m t Do a, b, c dữỡng nản m < t < m - vợi m = thẳ t = nản (a, b, c) = (1, 1, 3) 60 - vợi m = thẳ khổng cõ giĂ tr nguyản n o cừa t thọa mÂn - vợi m = thẳ t = nản (a, b, c) = (2, 1, 4) - vợi m = thẳ t = nản (a, b, c) = (1, 2, 5) - vợi m = thẳ t = nản (a, b, c) = (3, 1, 5) - vợi m = 10 thẳ t = nản (a, b, c) = (2, 2, 6) - vợi m = 11 thẳ t = 4; t = nản (a, b, c) = (1, 3, 7) ; (a, b, c) = (4, 1, 6) Tõm lÔi cõ bở số (a, b, c) thọa mÂn yảu cƯu b i toĂn, gỗm (1, 1, 3) , (2, 1, 4) , (1, 2, 5) , (3, 1, 5) , (2, 2, 6) , (1, 3, 7) , (4, 1, 6) Vợi (a,b,c) = (1,1,3) ta cõ phƠn thực chẵnh quy f (x) = x2 + x4 + x32 Thay x bi x ta _ữủc b i toĂn sau B i toĂn 3.3 Cho x l số thỹc dữỡng thay _ời Tẳm giĂ tr lợn nhĐt cừa biu thực f (x) = x52 x14 9x2 Vẵ dử 3.9 Cho h m phƠn thực chẵnh quy ax2y y + c x5 + d y f (x, y) = +b x y4 x3 vợi a, b, c, d l cĂc số nguyản dữỡng Tẳm bở số (a, b, c, d) cho 2a + b + 3c + 2d < 40 Lới giÊi Do f (x, y) l h m phƠn thực chẵnh quy nản ta cõ 2a b + 5c 3d = a + 3b 4c + d = 61 hay 5d = 13c 7b 5a = 7c 8b Kát hủp vợi _iãu kiằn 2a + b + 3c + 2d < 40 ta _ữủc 11c 5b < 40 (33a) 11c 5b = m (33b) (33a) tữỡng _ữỡng vợi vợi m Z, m < 40 Phữỡng trẳnh (33b) cõ nghiằm (c,b) l c = m + 5t b = 2m + 11t (t Z) Vêy ta cõ b = 2m + 11t a = 9m 53t c m + 5t = 5d = m 12t Do a, b, c, d dữỡng nản 211 < t < 953 , m > m m Cho m chÔy tứ _án 39 _ tẳm cĂc giĂ tr t nguyản, ta thĐy t nguyản v ch m {17, 23, 28, 29, 34, 35, 39} Cử th l - vợi m = 17 thẳ t = - Khi _õ 5d = 19 (loÔi) - vợi m = 23 thẳ t = - nản (a, b, c, d) = (1, 2, 3, 5) - vợi m = 28 thẳ t = - Khi _õ 5d = 32 (loÔi) - vợi m = 29 thẳ t = - Khi _õ 5d = 31 (loÔi) - vợi m = 34 thẳ t = - Khi _õ 5d = 38 (loÔi) - vợi m = 35 thẳ t = - Khi _õ 5d = 37 (loÔi) - vợi m = 39 thẳ t = - nản (a, b, c, d) = (4, 1, 4, 9) 62 Tõm lÔi cõ bở số (a, b, c, d) thọa mÂn yảu cƯu b i toĂn, gỗm (1, 2, 3, 5) , (4, 1, 4, 9) Chng hÔn vợi (a, b, c, d) = (1, 2, 3, 5) ta cõ phƠn thực chẵnh quy f (x, y) = x2y + 2y + 3yx + 5y x3 x3 cõ giĂ tr nhọ nhĐt f (x, y) = f (1, 1) = 11 Náu thay x = a, y = b thẳ2 ta thu _ữủc b i toĂn sau B i toĂn 3.4 Cho a,b l cĂc số thỹc dữỡng Chựng minh rơng 2a2b + ba + 1924a + 103b 44 b a 63 Kát luên Sau mởt thới gian hồc têp tÔi trữớng _Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - _Ôi hồc Quốc gia H Nởi, _ữủc cĂc thƯy cổ tên tẳnh giÊng dÔy v dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu, tĂc giÊ _Â ho n th nh luên vôn vợi _ã t i "BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh" Luên vôn _Â _Ôt _ữủc mởt số kát quÊ sau: Trẳnh b y _ữủc mởt cĂch cõ hằ thống nhỳng kián thực cỡ bÊn l m cỡ s cho viằc giÊi bĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh (m thỹc chĐt l phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh cõ chựa tham số) _ữa _ữủc hai cĂch giÊi phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh LĐy _õ l m cỡ s _ _ữa cĂch giÊi bĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh cụng nhữ bĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh "b chn" Tẳm tỏi, _ữa mởt số dÔng toĂn liản quan _án viằc giÊi bĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh, cõ th dũng cho viằc ổn thi hồc sinh giọi rĐt hỳu ẵch Mc dũ quĂ trẳnh l m luên vôn, tĂc giÊ _Â rĐt cố gng song chc chn luên vôn văn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt TĂc giÊ rĐt mong nhên _ữủc nhỳng ỵ kián gõp ỵ cừa cĂc thƯy cổ v bÔn b _ luên vôn _ữủc ho n thiằn hỡn Xin chƠn th nh cÊm ỡn! 64 T i liằu tham khÊo [1] Vụ TuĐnAnh (2014), Hằ phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh, luên vôn thÔc sắ khoa hồc, _Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - _Ôi hồc Quốc gia H Nởi [2] Phan Huy KhÊi (2004), CĂc b i toĂn cỡ bÊn cừa số hồc, NXB GiĂo dửc [3] Phan Huy KhÊi (2009), CĂc chuyản _ã số hồc bỗi dữùng hồc sinh giọi toĂn trung hồc, chuyản _ã - Phữỡng trẳnh nghiằm nguyản, NXBGiĂodửc, tr.7 -68 [4] H Huy KhoĂi (2008), Số hồc, NXB GiĂo dửc [5] Nguyạn Vôn Mêu (2006), BĐt _ng thực _nh lẵ v Ăp dửng, NXB GiĂo dửc [6] Nguyạn Vôn Mêu, TrƯn Nam Dụng, _ng Hũng Thng, _ng Huy Ruên (2008), Mởt số vĐn _ã số hồc chồn lồc, NXB GiĂo dửc [7] _ng Hũng Thng, Nguyạn Vôn Ngồc, Vụ Kim Thừy (2010) NXB GiĂo dửc 65 B i giÊng số hồc, ... dữỡng cừa phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 24 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 26 2.1 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 26 2.2 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh... 2.3 Nghiằm nguyản dữỡng cừa bĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 34 2.3.1 Mởt số vẵ dử liản quan 35 2.3.2 BĐt phữỡng trẳnh Diophante dÔng liản phƠn số 41 Mởt... Phữỡng trẳnh nghiằm nguyản hay cỏn gồi l phữỡng trẳnh Diophante l mởt nhỳng dÔng toĂn lƠu _ới nhĐt cừa ToĂn hồc Thổng qua viằc giÊi phữỡng trẳnh Diophante, cĂc nh toĂn hồc _Â tẳm _ữủc nhỳng tẵnh