Luận án tiến sĩ toán ứng dụng: Tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu Brown phân thứ và nhiễu hỗn hợp

ĐẠI HOO QUỐO GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOO TỰ NHIÊN

Cao Tan Bình

TÍNH ỐN ĐỊNH HẦU CHẮO CHẮN

l CUA PHUGNG TRINH VI PHAN NGAU NHIEN

VỚI NHIÊU BROWN PHAN THỨ VA NHIÊU HON HỢP

LUẬN ÁN LIÊN SĨ LOAN UNG DỤNG

Hà Nội - 2022

DAL HOO QUOO GIA HÀ NOL

TRƯỜNG DAL HOO KHOA HOO TỰ NHIÊN

Cao Tan Binh

TINH ON ĐỊNH HẦU CHẮC CHAN

; CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN NGAU NHIÊN

VỚI NHIÊU BROWN PHAN THU VÀ NHIÊU HON HGP

Ohuyéu ngành; Li thuyết xáo suat và thông kê toán họcMã số: 9460112.02

LUẬN ÁN TIEN SĨ POAN UNG DỤNG

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC;

1 1S Luu Hoàng Dức

2 GS USKH Đặng Hùng Thắng

Hà Nội - 2022

LOL CAM DOAN

4ồi xin cam đoạn đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Oác kếtqua nêu trong luận án là trung thực va chưa từng được ai công bỗ trongbat kì ông trình nào khác, Oáo đồng táo giả trong cdc công trình công bôchung đồng ý cho NOS sử dụng kết qua vào mụo đích viết và báo cáo luậnAu tiên sĩ cia minh ở cáo cấp.

Táo gia

Oao ‘Van Hình

LỜI CÁM ƠN

Luận án hoàn thành nhờ được sự hướng dẫn khoa học day, tận tình của.TS Lưu Hoàng Đức - Phòng Xác suất va hông kê, Viện bán học ViệtNam và NGND GS USKH Đặng Hùng Thắng - Irướng Bộ môn Xác suấtvà Thông kê, Khoa Loan - Oo - Lin học, Irường Đại học Khoa học Lu

nhiên, Đại học Quốo gia Hà Nội Nhân dịp này, tác giả xin bày to lòngbiệt ou chân thành và sự kính trọng sâu sắc đối với hai Lhay, những ngườiđã truyền đạt nhiều kiên thức quý báu, định hướng, gợi mở vẫn đề cingnhư kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong suốt thời gian báo gia theohoo và nghiên cứu đề tài.

Xin chân thành cam ơn Ban Giam hiệu, Phòng Sau đại học, Ban Ohunhiệm Khoa ‘Loan - Oo - ‘Lin học của Irường Đại học Khoa học Lu nhiên,

Đại hoc Quốo gia Hà Nội - nơi táo giá đã, học tập và nghiên cứu.

Xin trân trọng cam ơn Ban Giám hiệu, Ban Chu nhiệm Khoa Kính tévà Kê toán, BO môn Loan kinh tê cla Lrudug Dai học Quy Nhơn da tạo

điều kiện thuận lợi nhất để tac giá hoàn thành luận án này.

áo giá xin gửi lời cắm ơn tới quý Phầy, Oô của Bộ môn Xấo suất và,Thông kê, Khoa Loan - Oo - Lin hoo đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trongqué trình học tập và hoàn thành luận án Đặc biệt, tac giả vô cùng biếtou khi nhận được sự quan tâm góp ý về luận án của GS VS Nguyễn HữuDư, GS TS Oung Phê Anh, PGS TS 1ô Văn Ban, PGS TS Nguyễn

Thanh Diệu, PGS LS Đỗ Đức Phuan, PGS VS Lạ Cong Sơn, PGS L9.

Nguyễn Liên Dũng, PGS T'S Ngô Hoàng Long, PGS LSKH Đoàn Thái

Sơn, 19 Lê Vi, VS Lạ Ngọc Ánh, TS lrần Mạnh Qường, 19 Linh Quốc

Anh và LS Phạm Dinh tùng.

Táo giá xin chân thành cam ơn đên quý Phầy, Oo đã đọc và viết lờinhận xét bóm tắt luận án.

Luận ấn là mou qua tinh thần quý giá của tao giá dành tang người Baquá cô kính yêu, Mẹ, Vợ và Oon trai - những người đã luôn ở bên cạnh

động viên táo gia trong những lúc khó khan.

Oao Van Binh

MỤC LUO

Những kí hiệu và viết tắt dùng trong luận án

1.2

tuyên tính có trễ với nhiễu phan thứ: Irường hợp 1 chiềucó trễ ở phần nhiễu phân thứ và hệ số phụ thuộc vào thời

TA) —— 70

NHUNG Ki HIỆU VA VIET TAT THƯỜNG DUNG

TRONG LUAN AN

Rd Tập các vécbơ thực d chiều

Rdxd Tập cáo ma trận thực cấp d x d

C({a, b], R“) Lap các hàm liên tục tit [ø, b] vào IR°

C°({a, b], R®) Tập các ham liên tục bị chặn tit fa, b] vào R4

C*({a, b], R®) Tap cáo hàm liên tuo Holder tit [a,b] vào R4

với nửa chuẩn Illa fa,5) = SUPa<s<t<o ïx.=và chuẩn Il llo0,0,[a,8] := lÍ#||<.iað| + |Ìz Í „.

C?~*⁄"([ø,b|,IR) Tập cáo hàm liên tuo từ [a,b] vào R*

có p-biên phân hữu hạn với nứa chuẩn

Hel, ,,äj = (StP Me Di le — 7a”)

CP ([a, b|, R2) lập các hàm liện tục x tit [a,b] vào R4

với p-biên phân hữu hạn và được trang bi bởi chuẩn

|Ì#|Ì;- »a.a.n = |x(a)| + |z ÌÍ,_ „.› u

C} ([a, b], R“) lập các bién ngẫu nhiên C({a, bj, R“)-giá trị, bi chanvà Z;-đo được

LP"({a, b|, R®) lập cáo hàm đo được Borel f từ [a,b] vào R4

sao cho f | f(t) /Pdt < œ

Ø?([a, bj, R“) Tập cáo qua trình { ƒ(f)} với tính chat F;,-thich nghĩ,

IR“-giá tri và f | f(t) |?dt < co hầu chắc chắn

Mo([a, b],IR®) Lap cao qua trình đơn gian gia trị thực trên đoạn [ø, b|.

4V?([a, b|,R) lập các quá trình {f(t)} trong #?([a, b], R®)

vi phần ngẫu nhiên có trễ OO mot vài dạng phương trình vi phan ngau

nhiên có trễ tổng quát như sau

dx(t) = f(t, x,)dt + g(t, z,)dB() (0.2)

dx(t) = f(t, a,)dt + g(t, 2,)dB" (t) (0.3)với B(t), BY’ (t) tương ứng là chuyển động Brown thông thường, và chuyển

động Brown phân thứ Về bắn chat, hệ (0.1) chính là hệ phương trình vi

phan thường, 6 đó ta 06 thể xem xét theo từng quỹ đạo ngẫu nhiên w Hệ

được nghiên cứu thông qua cáo công cu của, giải tích ltô 65] uy,

nhiên, hệ chí có thé được nghiên cứu và chứng minh định lý tồn tai

duy nhất nghiệm (xem {71 (20) [2Z3|) bằng cách sử dụng các công cu của lýthuyết rough path [25j [29| 47] hoặc lý thuyết giải tích phân thứ [54] (57) l67].

Như trình bày ở muo 7, tính on định tiệm cận về nghiệm của hệ (0.3) cũng

mới chi được nghiên cứu trong wot vài trường hợp don giản như với dạng

tuyên tính thuần nhất (26] Oáo trường hợp phức tạp hơn nhìu chung vẫnchưa được giải quyết.

Với lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình

là: Tinh On định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu

nhiên với nhiễu Brown phân thứ và nhiễu hỗn hợp.

2 Mục đích nghiên cứu

Mụo đích của luận ấn này là nghiên cứu một số bài toán mở liên quan

đến tính ou định hầu chắc chắn của một số phương trình vi phân ngẫu

nhiên dạng tuyên tính, gồm 3 bài toán sau đây.

Bài toán 1: Phương trình vi phân ngẫu nhiện có trễ nhiều chiều nhưngkhông có yêu tô trễ ở phần nhiễu

dy(t) = [Ay(t) + ƒ((t — +))|d + Cy(0)4”0).—— (04)

Bat toán 2: Phương trình vi phân ngẫu nhiên cd trễ với nhiều phân thứ

có yêu tô trễ ở phan nhiễu, ở đó cáo hệ số là ham của, thời gian

dx(t) = [a(t)z(Œ)+b()z(—r)]dt+ [c(t)a(t) + d(t)x(t—r)|dB" (t) (0.5)Bai toán 3: Hệ điều khiển hỗn hợp với 2 loại nhiễu độc lập là Bernoulli vàBrown thông thường

ax(t) = fi(z(0,e(9))đt + b((1),e(9)4B), t€ (te, thar)de(t) = gi(x(t), e(t) dt + go(a(t), e(t))dB(t), + € (tk, te+1)

x (tt) = 2 (tr)

e() = b„h(k,e (f¿)) + (1 — bx) e (th), k= 0,1,2,

3 Đỗi tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận ấn là tính Ou định tiệm cận về nghiệm

của phương trình vi phan ngẫu nhiện có trễ trong cac không gian vô han

4 Pham vi nghiên cứu

Luận án nghiên ottu các vẫn đề về tinh On định mũ hầu chắc chắn theo

chiều hội tụ tiên hoặc lùi theo thời gian trong không gian Banach vô hạn

chiều C([—r, 0], R2) hoặc không gian Hölder Œ*([—z, 0], R*).5 Phương pháp nghiên cứu

Oác vẫn dé được nghiên dứu trong luận ấn có sử dụng kỹ thuật của lý

8

thuyết xáo suất và giải tích ngẫu nhiên Một số kết qua quan trọng được

dùng đến như: bat đẳng thức Gronwall - Bellman, bổ dé Borel - Oantolli,

định lý ergodic của Birkhoff.

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Y nghĩa khoa học; Luận án góp phan lam phong phú thêm cáo kết quavà sự hiểu biết về tích phân Young, phương trình vi phan ngẫu nhiên cótrễ với nhiễu phân thứ và tính chất On định nghiệm cửa phương trình loại

Ý nghĩa thực tiễn: Luận ấn mong muôn góp phan phat triéu lý thuyết

mạng lưới truyền thông tin thông qua các hệ hỗn hợp có nhiễu ngẫu nhiên;va lý thuyết mô ta giá tài san tài chính của Samuelson va Black - Scholes

cố điển được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vựo tài chính, nhưng có yếu tố

trễ và dưới tac động của nhiều Brown phần thứ.

7, Tong quan và cầu trúc luận ấn

7.1 Tong quan luận án Lý thuyết on định giữ vai trò quan trọng trong

việc nghiên cứu tính chat nghiệm của phương trình vi phân Ohính vì vậy,bên cạnh việc nghiên cứu sự tou tại và duy nhất nghiệm, tính chất nghiệm

sinh hệ động lực, lý thuyết ổn định đã thu hút nhiều nhà toán học tham gia

nghiên cứu và ứng dụng vào thực tiễn cuộc sông heo 42) (49) [56],

Lyapunov là người đầu tiên giới thiệu về khái niệm On định ctia hệ độnglực vào năm 1892 |46], và phát triển một phương pháp để xác định tính onđịnh nghiệm wa không nhất thiết phải tim ra nghiệm cụ thể của phương

trình vi phân, được gọi là phương phấp trực tiếp Lyapunov hay phươngpháp thứ hai Sau đó, Hahu [85] và Lakshmikautham [4| tiếp tục nghiên

cứu và mở rộng lý thuyết Ou định cho phương trình vi phân thường Đối vớitính Ou định nghiệm theo nghĩa xáo suất hoặc theo nghĩa moment, Bucy.

da đưa ra điều kiện đủ vào năm: 1965 [LO] Déu năm 1967, Has minskil da

nghiên ottu một cách có hệ thống tinh On định nghiệm cho các hệ ngẫunhiên 41] Kế từ đó, oó nhiều nhà toán hoo tên tuổi như Arnold,

Ohow, Ourtain, Eriedinan, Kolmmanovskii, Lakshmikantham, Mohammed,

Pardoux và Mao đã quan tâm nghiên cứu về tính ổn định nghiệm của

phương trình vi phan ngẫu nhiêu.

Trong thời kỳ này, lý thuyết về phương trình vi phân có trễ cing được

quan tâm nghiên ottu và phát triển mạnh mẽ Volterra được xem là ngườitiên phong nghiên cứu các tính chất cu thé cho phương trình vi phan cótrễ cu thé vào năm 1928, đó là mô hình môi - thú [6T| Sau đó, Minorksynghiện cứu tính Ou định cho hệ điều khiển tự động có trễ [ST] Nam 1963,Krasovskii đã sử dụng lý thuyết phiém hàm Lyapunov để nghiên cứu tinhou định nghiệm của phương trình vi phan có trễ trong không gian hữu hạn

chiều [43] Về sau, nhiều nhà toán hoo đã nhận thay tầm quan trong cũng

như tính ứng dung cla phương trình vi phan có trễ, và da nghiên gứu md

rộng bằng cách dua vào yêu tô ngẫu nhiên Một trong những nhà toán học

v6 những đóng góp nối bật trong lĩnh vựo này là Xueroug Mao [49].

Nghiệm của phương trình vi phần ngẫu nhiên có tính chất nửa tingale và Markov Tuy nhiên, nhiều qué trình ngẫu nhiên trong thực têkhông có các tính chất như vậy mà có trí nhớ lâu Sau công trình của.Mandelbrot và Van Ness (48], cáo nghiên cứu bắt đầu hướng đêu nhiễuBrown phan thứ nhiều hơn Tính chất trí nhớ lau làm cho nhiễu Brownphan thứ trở nêu hiệu qua trong việc mô hình hóa đối với nhiễu ngẫu nhiên

mar-trong các lĩnh vực khác nhan như tài chính |T6), sinh học [IS], thủy, văn

[39], wang truyền thong |60], Vì nhiễu Brown phân thứ không có tính

chất nửa martingale với tham số Hurst khac 3 nên chúng ta không thể sử

dụng lý thuyết Ltd để xây dựng tích phân với loại nhiễu ngẫn nhiên này.Một số kỹ thuật mới đã được phát triển để xáo định tích phân ngẫu nhiên

đối với nhiễu Brown phân thứ 1rong trường hợp tham số Hurst lớn hơn 3,

sử dụng cáo kỹ thuật của Young theo từng quỹ đạo để xác định tích phân

đối với nhiễu Brown phâu thứ [66] Ngoài ra, cũng 06 cách tiếp cau khác

để xác định tích phan theo từng quỹ đạo dựa trên các phép tinh phan thứđược phát triển bởi Zithle [07|.

Với phương pháp xây dựng tích phần theo bừng quy đạo cua Zahle, ly

thuyết về phương trình vi phan ngẫu nhiên không có trễ với nhiễu Brownphân thứ đã được một số tac giả nghiên cứu Tính tồn tại và duy nhất

10

nghiệm cla phương trình tổng quất không có trễ được nghiên cứu bởi

Lyons |47| và Zahle [67] Sau đó, cao tác giá Nualart, Rasoanu, Maslowski,

Hu, SohinalfuB, Garrido - Atienza và Lu tiếp tuo phát triển cho không gianhữu han và vô hạn chiều {30} [38| 50) 54] Linh on định nghiệm cho một lớp

phương trình vi phan không có trễ đặc biệt với nhiễu Brown phâu thứ bắtđầu được nghiên cứu bởi các táo giả Duc, Garrido - Atienza, Neuenkirchvà Sohimmalfuf [ZI| Gần đây, cáo tác giá Duo, ong và Hong da sử dụngphương pháp tích phân theo bừng quỹ dao của Young và cáo đánh giá đối

với chuẩn p - biên phân để chứng minh rằng: Với các giả thiết tương tu như

của Nualart và Rasoanu |ð4{, tính tồn tại và duy nhất nghiệm oúa phương

trình vi phân Young tổng quát vẫn đúng trong không gian các hàm liêntục với chuẩn p - biên phân giới nội [T7] Linh on định tiệm van cing được

thiết lập cho một lớp các phương trình vi phân Young đặc biệt [24|.

Nhu cầu nghiên cứu đối với phương trình vi phan ngẫu nhiên có trễ vớinhiễu Brown phân thứ bắt đầu xuất hiện trong khoảng gần hai thập niệngan đây, Lrong [27], cdo tac gia Ferrante và Rovira đã sử dụng phép tính

Malliavin để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của phương

dx(t) = f(a(t))dt + g(a(t — r))dB" (t).

Su dụng phương pháp cua Zahle, Boufoussi va Hajji đã chứng minh sựtồn tai và tính duy nhất nghiệm cho phương trình tổng quát trong không

gian hữu hạn chiều |/7|

và sau d6 Iuở rộng kết qua cho không gian Hilbert kha ly |B} 9.

Tiếp tục sử dụng kỹ thuật được phát triển bới Boufoussi và cộng sự

lí], các tác giả Duo, SohinalfuB và Sieginund: da chứng minh nghiệm sinh

ra hộ động lực ngẫu nhiên liên tục trên không gian Œ®1=®([—r, 0], R2) của

phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ tổng quát với nhiễu Brown phân

thứ và hệ số không phụ thuộc vào thời gian

dx(t) = ƒ(œ)dt + g(œ,)4B”().

Il

Như vậy, sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình vi phan

ngẫu nhiên có trễ tổng quát với nhiễu Brown phân thứ đã được Boufoussi

và cOug sự nghiên cứu mot cách day đủ vào nam 2011 Nghiệm sinh ra hệ

động lực cũng da được nghiên cứu bởi Duc và cộng sự vào udm 2015 Tuy

nhiên, một số tính chất quan trọng kháo như tính On định hầu chắc chắn

vẫn chưa được nghiên cứu ngay cả trong trường hợp tuyên tính đơn giảnnhất.

Vào năm 2016, Duc và cộng sự dựa trên lý thuyết phép tính phân thứ

được xây dựng và phát triển trước đó bởi Zahle, Nualart và Rasoanu, dađưa ra kết qua đầu tiên về tiêu chuẩn on định mũ hầu chắc chan |20| cho

phương trình

dx(t) = [ax(t) + ba(t — r)]dt + [cx(t) + dz(t — r)J|dB”(0).

liên cơ sở ác phương phấp và kỹ thuật chính da được sử dụng trong

[24] và |20|, chúng tôi định hướng tiếp tục phát triển cáo nghiên cứu vềtính Ov định mit hầu chắc chắn cho phương trình

dx(t) = f(t, x,)dt + g(t, x,)dB" (t),

trong do H > 3i ou thé là cáo phương trình (0.4) và, (0.5).

Ngoài ra, chúng tôi dũng quan tâm đến bài toán vé tính On định hầuchắc chắn cho hệ điều khiển có trễ với nhiễu Brown phân thứ Tuy nhiên,

chúng tôi chí định hướng nghiên cứu bước đầu cho hệ hỗn hợp gồm 2 nhiễuđộc lập là nhiễu Brown thông thường và nhiễu Bernoulli trên cơ sở cáo kết

quả được nghiên cứu bdi Duc và cộng sự [25], cụ thé là hệ (0.6).

Lroug luận ấn này, chúng tôi nghiên cứu tinh Ou định cho phương trình

vi phân ngẫu nhiên tuyên tính có trễ với nhiễu phan thứ, ở đó cáo ham hệ

số được xét trong không gian áo ma trận R⁄⁄# và, không phụ thuộc vào

thời gian Như một trường hợp dav biệt, chúng toi nghiên oứu tiêu chuẩn

ou định cho phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính có trễ với nhiễu

phau thứ, các hệ sô được xét trong R và phụ thuộc vào thời gian Ngoài ra,trong trường hợp tuyến tính, chúng tôi chứng minh định lý tồn tại và duy

nhất nghiệm cho phương trình vi phan ngẫu nhiên v6 trễ với nhiễu Brown

12

phân thứ 1-chiều, cáo hàm hệ số thuộc không gian RY? và phụ thuộc vào

thời gian với các điều kiện yêu hơn so với cáo điều kiện được đề xuất trong

7| Quối cing, chúng tôi cing xem xét nghiên cứu tinh Ou định nghiệm

cho hệ hỗn hợp với nhiễu Bernoulli và nhiều Brown thông thường.

Oáo kết quả cúa luận án da được báo cáo tai vac xêmina bộ môn, hộithao và hội nghị: Hội tháo về cáo vấn đề chọn lọc trong Xác suất hiện đại

được to chức tại Tuần Ohâu, Quang Ninh, năm 2017; Hội nghị Loan học

Việt - Mỹ được tổ chức tại LOLSE, Binh Dinh, năm 2019; Hội nghị Xác

suất - hông kê toàn quốc lần thứ VI, diễn ra tại Cần Phơ, năm 2020; Hộinghị Một số chu đề thời sự trong Loan học và ứng dụng do Khoa Loan- Oo - Lin học, Irường Dai hoo Khoa học Lu Nhiên, Dai hoo Quoc gia

Hà Nội kết hợp với Viện Nghiên cứu cao cấp về Loan tổ chức năm 2021.

Oác công trình cua chúng tôi da được gửi đi và nhận đăng trên cdc tap chí

Statistics and Probability Letters, VNU Journal of Science: Mathematios- Physics,

7.2 Cau trúc luận án Ngoài phan mở đầu, kết luận, danh mục các bài

báo của nghiên cứu sinh lién quan đến luận ấn và tài liệu tham khảo, luận

án được trình bày trong ba hương.

Ohương 1 trình bày các nội dung về phương trình vi phan ngẫu nhiên

với nhiễu Brown thông thường và phương trình vi phan ngẫu nhiêu có trễ

với nhiễu Brown phân thứ Nội dung về phương trình vĩ phân ngẫu nhiên

với nhiễu Brown thông thường bao gồm định nghĩa và tính chất về chuyển

động Brown, tích phan ltô, công thức ltô, nghiệm của phương trình, sự

tồn tại và duy nhất nghiệm, tính on định nghiệm, bo dé Borel - Cantelli

va định lý ergodic của Birkhoff Đối với phương trình vi phan ngẫu nhiêncó trễ với nhiễu Brown phân thứ, cáo định nghĩa và tính chất quan trọng

nhất cing được đề cập đên như tham số Hurst, chuyển động Brown phân

thứ, tích phan Young, tích phau phan thứ, đạo ham phân thứ va nghiệm

của phương trình.

Ohuong 2 trình bày các kết qua nghiên cứu của chúng tôi về sự tồn taivà tính duy nhất nghiệm đối với phương trình vi phan ngẫu nhiên tuyên

13

tính có trễ với nhiễu Brown phâu thứ trong trường hợp các hệ số được

xót trong không gian nhiều chiều và phụ thuộc vào thời gian, tinh on định

nghiệm của phương trình vi phan ngẫu nhiên tuyên tính có trễ nhiều chiềuvới nhiều Brown phan thứ, trong trường hop cáo hệ số không có trễ ở phần

nhiễu và không phụ thuộc vào thời gian Ngoài ra, chúng tôi cũng nghiên

cứu tính ổn định wit hầu chắc chắc của nghiệm với chuẩn sup trong không

gian C([—r, 0], R) trong trường hợp cáo ham hệ sô được xét trên R và cóyếu tố trễ ở phan nhiễu.

Ohương 3 đề cập déu cáo nội dung về tính Ou định cho hệ hỗn hợp không

có trễ với nhiễu Bernoulli và giới thiệu kết quá nghiên cứu cúa chứng tôi

về tính Ou định mũ hau chắc chắn cho hệ hỗn hợp gồm nhiễu Brown thông

thường và nhiều Bernoulli độc lap.

14

CHƯƠNG 1

KIÊN THUO CHUAN BỊ

Ohương này trình bày các kiên thức cơ sở làm nền tắng cho việc giảithích các kết quả nghiên cứu wa chúng tôi đạt được trong các chương tiệp

1.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu

Brown thông thường

Kiên thức trong phần này là nền taug cho các kết qua nghiên cứu ma

chúng toi đạt được trong Ohương 3.

1.1.1 Chuyển động Brown

Ohuyén động Brown được đề xuât bởi Robert Brown vào năm 1828 khiông quan sát sự di chuyển ngẫu nhiên của cáo hạt phan hoa trong nước,

được w6 tá dưới ngôn ngữ xác suat như sau.

Định nghĩa 1.1.1 (49|, Dinh nghĩa 4.1, trang 15) Oho (Q, F, P) là không

gian xáo suất với loo {F,}is9 Một chuyển động Brown một chiều chuẩn

tao là một qua trình {.Z;¿}-thích nghỉ liên tục nhận giá trị thực với v4c tínhchat như sau

(i) (0) = 0 hầu chắc chắn;

(ii) với 0 < s <t < ©, gia số B(t) — B(s) là phan phối chuẩn với kỳ

vọng toán bằng 0 và phương sai bằng t — s;

(iii) với 0 < s <t < œ, gia sô B(t) — B(s) là độc lập với F,.

15

Nêu {B(t)}is0 là chuyển động Brown và 0 < to < ty < +++ < ty < o thì

cáo gia sô B(t;) — B(t;-1),1 < i < k là độc lập, và ta nói chuyển động

Brown này có cáo gia số độc lập Hơn nữa, phan phối của B(t;) — BŒ,_1)

phụ thuộc chí vào hiệu t; — f;_¡, và ta nói chuyển động Brown này có các

gia số dừng,

Chuyển động Brown v6 một số tính chất quan trọng sau day.

Mệnh đề 1.1.2 ([49], trang 16) (i) Nếu { B(t)} là chuyén động Brown

thì {—B(t)} cũng là chuyển động Brown uới cùng lọc {F;}.

(ii) Cho c > 0 va X¡ = a udit > 0 Khả đó {X(t)} là chuyến động

Broww uớt loc {Fr}.

() Gide haw limy+o0 BO) = 0 hầu chắc chan.

(iv) Với haw hết w € Q, guỹ đạo mau B(.,w) không kha vi haw khắp

(v) Với haw hốt € Q, quỹ dao mau B(.,w) liêu lục Hdlder uới sốtủ 6 néw 6 € (0,1/2) Luy phiêu, uới hầu hết w € ©, quỹ, dao mauB(.,w) không liêu tục Hdlder uới số mt 6 > 1/2.

Định nghĩa 1.1.3 (40|, Dinh nghĩa 4.3, trang 17) Một quá trình d-chiều

{ BW) = (Blo), ¬ Ba(t)) } được gọi là chuyển động Brown d-chiéu

nêu mỗi { B;(£)} là chuyển động Brown 1-chiều và {1(f)}, , {Ba()} là

độc lập.

1.1.2 Tích phan [to

Tà biết rằng với hầu hết w € Q, quỹ đạo mẫu B(.,w) không kha vi hầu

khắp nơi, do đó tích phân fi, f(s)dB(t) không thé được định nghĩa theocách thông thường theo kiéu tích phân Riemann-Stieltjes hay vào đó, tacó thể định nghĩa tích phan theo phương pháp cúa ltô Cav nội dung xây

dựng tích phần ltô dưới đây được trích dan từ 49] Ngoài ra, tài liệu

cũng trình bày cáo định nghĩa, tính chất, chứng minh va ví dụ minh hoa

khá rõ ràng, dễ hiểu về tích phân Ltd và những van đề liên quan.

16

Oho (Q, F,P) là không gian xác suất day du với loo {Z7;};>o được giới

thiệu 6 mục trước Lay B = {B(t)}iso là chuyển dong Brown 1-chiéu được

xáo định trên khong gian xác suất thích nghĩ với loo trên.

Định nghĩa 1.1.4 (40|, Định nghĩa 5.7, trang 21) Với ƒ € M?({a, bj, R),tích phân Ltd của ham ƒ tương ứng với chuyển động Brown {B(t)} được

định nghĩa như sau

[a f(t)dB(t =m Ƒ gn(t)dB(t) trong 12(0,R), (1.1)

trong đó {ø„} là dãy các qua trình đơn giãn sao cho

lim Bf ul F(t) — galt) Pat = 0 (1.2)noo

Tích phan Itô có một số tính chat sau đây:

Định lý 1.1.5 (49, Dinh lý 5.8, trang 22) Cho ƒ,g © M?([a,b],R) va

Công thức Itô cho chúng ta một cách khác để tính tích phân ltô một

cách tiện lợi hơn so với định nghĩa,

Oho {()};>so là chuyển động Brown một chiều được xác định trêu

không gian xáo suất day du (O, 7, P) và thích nghĩ với lọc {7;};>o Ký

17

hiệu Z!(R,;R°) là họ tất od cáo quá trình ƒ = {f(t)}iso thích nghỉ vớiloo {7,}, đo được, nhận giá trị trong R7 và thoa man

Định nghĩa 1.1.7 ((49], Dinh nghĩa 6.3, trang 36) Một quá trình ltô d

chiều là một qué trình phù hợp, liêu tuo, nhận gia tri trong IR“ v6 dạng

x(t) = (ai (t), , ra(t))7,t > 0 và

x(t) + | 76 yis+ Ƒ q(s)dB(s),

trong đó ƒ = (fi, , fa)’ € L'(Ry;R%) và g = (giz)axm € L7(Ry;R").

Tà nói rằng x(t) v6 vi phân dx(t) với t > 0 được cho bởi

dx(t) = f(t)dt+ g(t)dB(t).

Định ly 1.1.8 (0|, Dinh lý 6.4, trang 36) (Công thức lô nhiều chiêu)

Cho x(t),t > 0 là quá trành lô d chiêu uới vi phâu ugau whién

dx(t) = f(t)dt + g(t)dB(t),

trong đó ƒ € £L'(R,;R*) vag € £L7(R,;RTMTM) LayV € C!*(R, x RGR).

Khi đó V(t, x(t)) cũng là mot quá trành Ltd uớt vi phâu ngẫu phiêu được

1.1.4 Phuong trình vi phan ngẫu nhiên

Oho (0, F, P) là một không gian xác suat day dt với loo {Z7;¡};>o thỏa.

mãn các điều kiện thông thường Ký hiệu B(t) = (Bi(), , Bm(t))’,t >

0 là chuyển động Brown m-chiéu trên không gian xáo suất nay, Lay 0 <

tạ <7 < 00; x là một biễn ngẫu nhiên F;,,-do được và nhận giá trị trong

IR? sao cho Elzu| < œ; ƒ: [fo,7] x R? + R7 là hàm đo được Borel va

g: (to, T] x RẺ > R®TM cing là hàm do được Borel Xét phương trình vi

phan ngẫu nhiên d-chiéu dạng ltô.

dx(t) = ƒ(t,z())dt + g(,z(f))4B(),tạ <t<T (1.4)với giá tri ban đầu x(to) = xo Phương trình này tương đương với phương

trình tích phân ngẫu nhiên sau đây.

x(t) = zu + | f(s, x(s))ds +f g(s,x(s))dB(s),tp <t<T (15)

Dinh nghĩa 1.1.9 ((49], Dinh nghĩa 2.1, trang 48) Một qua trình ngẫn

nhiện {#(f)];¿<¡<r, nhận giá trị trong IR“, được gọi là nghiệm cia phương

trình (1.4) nếu có các tính chất san đây,

(i) x(t) liên tục và Z7-thích nghĩ;

(ii) {/0,z0))} € £!(o, TÌ,R?) và {ø(,z())} € L*((to, TỊ, RR");

(iii) phương trình (1.5) đúng với mọi t € [fạ, T] với xáo suất 1.

Nghiệm a(t) được gọi là duy nhất nến với mọi nghiệm khác Z(t) của

phương trình ta co P(x(t) = Z(t), với mọi fạ <t < T) = l1.

Sự tôn tại và duy nhất nghiệm

Xét phương trình vi phan ngẫu nhiên d-chiéu (1.4) Sau đây là định lýcơ ban về tính tồn tại và duy nhất nghiệm cua phương trình (1.4).

Định ly 1.1.10 (9|, Dinh lý 3.1, trang 51) Ged sử tow tại các hằng số

dương K va K sao cho

19

(i) (Dieu kiện Lipschitz) Voi moi x,y € R“ va t € [to, TỊ

|ƒŒ.#)~ fŒ.)|Ủ < K\lx—yll sà lg(t,2)— g(t, y)IP < Rllz~ w|Ÿ:

(ii) (Điều kiện tăng trudng tuyéw tính) Với mot (t,x) € [to, T] x R4

F(t,2)|P < KŒ + |lzlỦ) sà |lgt, IP < KC + ly’) (1.7)

Khi đó tow tat nghiệm duy nhất x(t) cia phương trành (LA) vd nghiệm

nay thuộc không giun M?({to, TỊ, R9).

Dinh lý tiếp theo là trường hợp tống quát cla Dinh lý |L.1.10Ì trong đó

điều kiện Lipschitz (đều) được thay bởi điều kiện Lipschitz địa phương.

Định lý 1.1.11 (9|, Dinh lý 3.4, trang 56) Giá sứ điều kiện tăng trưởngtuyếu tinh đúng, nhưng điêu kiệu Lipschitz được thay bởi điều

kiệu Lipschitz dia phương saw đâu: Với moi số nguyên n > 1, ton tat hang

số dương K, sao cho vét moi t € [to,T] va x,y € Ré vdi ||#|| < n va

nghiệm duy nhất x(t) trên toàn bộ [fo, ) Nghiệm như thé được gọi lànghiệm toàn cuc La có định lý tiếp theo sau đây về nghiệm toàn cuc chophương trình (1.4) trên [fo, 00).

Dinh ly 1.1.13 (0|, Dinh lý 3.6, trang 58) Giá sứ uới mdi số thực

T > to vd số uguyéu > 1, tow tụi hằng số dương Kp», saa cho uới mgt

t € [to,T] va x,y € IRẺ sới ||z|| <n va ||p|| < n,

Khi đó tow tat nghiệu toàu cục duy what x(t) cia phương trành (14) va

nghiệt nay thuộc không gia M?([tp, ), R9).

Tinh on định

Xét phương trình

dx(t) = ƒ(t,z())dt + g(t, x(t))dB(t), (1.12)

trong đó t > ty và ry = (ty) C RY,2<p<o.

Trong phần này, ta giá sử tinh tồn tai và duy nhất nghiệm của phương,

trình (1.12) luôn được thoa mãn Hou nữa, gia sử f(t,0) = g(t, 0) = 0 với

mọi ý > to Khi do z(t) = 0 là nghiệm cua phương trình (1.12) với giá tri

ban đầu x(to) = 0, va đượo gọi là nghiệm tầm thường hay vi trí cân bằng.

Oho 0 < h < oo Ky hiệu Cl (Ry; 5), x Ry) là họ tất cả các hàm

không âm V(t, 2) xác định trên %„ x Ry sao cho chúng 06 đạo hàm cấp 2liên tuo theo x và cấp 1 theo t Định nghĩa toán tứ vi phan LD kết hợp vớiphương trình (L.12) bới

a » 1 S a?

L — Ot + — fi(t, x) + 2 a lg(t, x) 9 iF Oa;

21

Nếu L táo động lên hàm V € C”#(R,; 5%, x Ry) thì

LV (t,x) = Vi(t,z) + V„(t,e)ƒ(t,#) + trace [g" (t,x) Voolt, x) g(t, 2)).

Bởi công thức 1t6, nên x(t) € Sp, thi

dV (t, x(t)) = LV(t, x(t))dt + V,(t, (t)) g(t, z())d4B().

Định nghĩa 1.1.14 (0|, Dinh nghĩa 2.1, trang 110) (2) Nghiệm tầm

thường cua phương trình được gọi là Ou định ngẫu nhiên hay ou

định theo xác suat nếu với mỗi e € (0,1) và r > 0, tồn tại ô = ô(e,r, to)

sao cho

P(lz(:fo,zo)|| <7, Vt >to) >1—e£

khi ||xo|| < 6 Ngược lại, được gọi là không Ou định theo xáo suất.

(ii) Nghiệm tầm thường của phương, trình (1.12) được gọi là On định tiệm

cận ngẫu nhiện nêu nó On định ngẫu nhiên và với mỗi e € (0, 1) tồn tại

do = d0(€, to) > 0 sao cho

P( lim z(f;tfe,zo) =0) >1l-e

khi ||zo|| < do.

(2) Nghiệm tầm thường cla phương trình được gọi là On định tiệm

cận ngẫu nhiên theo nghĩa rộng nếu nó On định ngẫu nhiên và với mọi

rp € Rẻ

P( lim x(t;to,% = 0)) = 1

Định nghĩa 1.1.15 (49), Định nghĩa 4.1, trang 127) Nghiệm tam thường

của phương trình (1.12) được gọi là Ou định mũ moment bậc g nếu tồn tai

cáo hằng số dương À và C sao cho

E ||x(t; to, xo) ||1 < C |lxellfe OX", t > to, q>0

với bat ky #g = z(fo) c RẺ.

Khi p = 2, nó được gọi là ou định wit theo bình phương trung bình.

22

Định nghĩa 1.1.16 (4Ø|, Định nghĩa 3.1, trang 119) Nghiệm tam thường

của phương trình (1.12) được gọi là Ou định wit hầu chắc chấn nêu

1 ` ¿ ,

lim sup — log ||x(t; to, vo) || <0 hầu chắc chắn

với bất kỳ xp = x(tp) € R*,

Bo dé 1.1.17 (49|, Bo đề 3.2, trang 120) Với moi xp # 0 trong RẺ,

P{ax(t; to, Xo) z 0,¢ = to} =1 (1.13)

Có ughia là hầu hết các quy dao ctia nghiệt bất ky bat đầu từ trang tháikhác 0 sẽ không bao giờ dat đếu trang thái 0.

Sau đây là một số kết quá quan trọng về tính Ou định mũ hầu chắc

chấn cho nghiệm tầm thường.

1.1.5 Bồ đề Borel-COantelli

Bo dé 1.1.18 (9|, Bo đề 2.4, trang 7) (Bố đã Borel-Cuntellé) Giá sử F

là o-dai số cho trước.

(1) Nếu {A,} C F va SOP, P(A,) < œ thà

P (tim sup Ax) = 0.

Nói cách khác, ton tat mot tập Ao € F với P(Qo) = 1 vd mot biến ngẫu

trhiên gid tet nguyéo ky saa cho vdi motiw € Oo tu cow ¢ Ay khá k > ko(w).

(ii) Nếu day {Ay} C F độc lập va S°P, P(A,) = 00 thà

P (tim sup Ax) = 1.

Nói cách khác, ton tat mot tập ©¿ € F uới P(O¿) = 1 sao cho vdt motw Eg, tow tụi mot dâu con Ax, saa cho w thuộc Aj,.

1.1.6 Dinh ly ergodic cửa Birkhoff

Dinh ly 1.1.19 ((T3]) Cho (0, F,P) là tuột không gian «dc suất vd T :

Q > © là phép biến đối bảo toàn độ do Ky hiệu 7 là o-dai số cttw các tap

T-bất biếu Khả đó uới mot f € L'(Q,F,P), ta có

lim > f(Tiw) = E(f|Z) (1.14)

véi w € Q P-héu chắc chan.

Hệ qua 1.1.20 (5|) Cho (Q,F,P) la mot không gian cdc suất va T :

Q + Q là phép biếu đối bao toàu độ do ergodic Khi đó véi moi f €

Kiên thite trong phan này là nền taug quan trọng cho vac kết qua nghiên

cứu ma chứng tôi đạt được trong Ohương 2,

1.2.1 Tharn số Hurst

Harold Edwin Hurst (1880 - 1978) là một nhà thủy van học người Anh.

Vào năm 1951, nghiên cứu thực nghiệm của ông về việc đo lường khả nănglưu trữ dài hạn của các hồ chứa đã chỉ ra tính phụ thuộc dài hạn trongthủy văn, đặc biệt là liêu quan đến sự dao động của mực nước sông Nile.

Công trình vita ông là vo sở cho đề xuat oủa Mandelbrot rằng chuyển dougBrown phân thứ được sử dụng để thiết lập mô hình mực nước sông hàng

năm ham số Hurst H mà chúng ta sử dụng trong các nghiên cứu hiện

nay được đặt theo tên cửa Harold Edwin Hurst và được mô ta cu thể như

sau: Ký hiệu Ấ, Xo, là tap áo quan sát Xét thông kê

R maxXI<¡<„(S; — #6„) — mini<i<n(S; —+8,,)

—(Xq, , Xn) = )

° Vt Dies ni

24

trong đĩ S, = Xị + + X„ và vic X;,7 = 1, ,n là độc lập, óng phan

phối La cd

BELG (X1, Xn)] ~ Cn",

trong đĩ C hằng sơ Khi đĩ, tham số H chính là hệ số hồi quy tit su ước

lượng mơ hình hồi quy tuyến tính của, log|=| theo n.

Sau phương pháp ước lượng của Harold Edwin Hurst về độ tho H của,một quá trình ngẫu nhiên, cĩ nhiều phương phấp khác nhan được đề xuất

để cải tiên độ chính xác của ước lượng (Phục luc O, lỗ|).

Ví dụ 1.2.1 Xét chuỗi dữ liệu giá đĩng cửa theo ngày của chi số chứng.khốn Việt Nam VN-lndex từ ngày 3/1/2001 đến ngày 13/3/2020 Sửdụng phan mềm: thơng kê R, giá trị tham số Hurst của được ước lượngbằng thống kê R/S là H = 0.8544909.

Đồ thị của chuỗi dữ liệu được minh hoa bởi đồ thị bên dưới.

= _|

5s _|oS

Ss =6 4

j œ=

Hình 1.1; Giá dong cửa theo ngày, ctta chi số chttug khốn Việt Nam V.N-Lodex tit ngày.3/1/2001 đếu ngày 13/3/2020.

1.2.2 Chuyển động Brown phân thứ

Định nghĩa 1.2.2 (JB3|, Dinh nghĩa 1.1, trang 1) Oho pw € R và øˆ > 0.

Một biên ngẫu nhiên thực G được gọi là cĩ phân phối Gauss với trung

bình và phương sai o? nêu hàm đặc trưng của nó được cho bởi

Ele"e] = ett POP? Vị eR.

Định nghĩa 1.2.3 (\53], Dinh nghĩa 1.2, trang 2) Oho d > 2 Một vécta

ngẫu nhiên G = (GI, ,Œ¿) được gọi là có phân phối Gauss d-chiều nếu

với mi f, ,f¿ € R, biên ngẫu nhiên a t,.G,, có phan phôi Gauss một

Mệnh đề 1.2.4 (5|, Định lý 1.1, trang 3) Cho C = (Chi)i<nica là

ma tiậu dương, đối trứng, nhậu giá trị thực, cỡ d x d Khả đó, tow tai

mot vécto ngau thiêu Gauss guy tém G = (GI, ,Œa) thậm C là mutrậu hiép phương sat (tức là, E[Gy| = 0 va Cov(Gy, Gi) = Cry vdt work,l=1, ,d).

Chuyến động Brown phân thứ được giới thiệu dau tiên bởi Kolinogorov.

và sau đó được phát triển bởi Mandelbrot và Van Ness [48].

Định nghĩa 1.2.6 (JB3|, Dinh nghĩa 2.1, trang 11), Oho AH € (0, 1], chuyến

động Brown phan thứ (việt tắt Bm) của tham số A là một qua trình Gauss

liên tục, quy tâm ” = (B”());xạ với hàm hiệp phương sai

E(B"(i)B(s)| = s(" La2H — ly — gI2H), (1.16)

Một số cách biếu diễn chuyển động Brown phân thứ dưới dạng tíchphân ltô được thể hiện qua cáo mệnh đề san day,

Mệnh đề 1.2.7 (\[52], Mệnh đề 2.3, trang 13) Cho H € (0,1/2)U(1/2, 1),

BM) = (f(b ay 18 — uy )aB(u)+ f(t)" aB(u),CH —oo

là mot chuyển động Brown phan thứ uới tham số Hurst HH.

Mệnh đề 1.2.8 (\[52], Mệnh đề 2.4, trang 14) Cho H € (0,1/2)U(1/2, 1),

BH(t) = > / 1 = cost) Tu) | (Wt) 1B(u)).m _> |u|H+1⁄2 |u|+1⁄2

là mot chuyén doug Brown phéu thứ uới tham số Hurst HH.

Mệnh đề 1.2.9 (\[52], Mệnh đề 2.5, trang 15) Cho H € (0, 1/2)U(1/2, 1),

Mệnh đề 1.2.10 (3|, Mệnh đề 2.2, trang 12), Cac khẳng định sau đây

(i) Chuyển doug Brown phâu thứ luôn tow tat vd có gác quỹ deo liên

(ii) Với mot a > 0,(a~B1(af));xo = (B())‡so.

(iti) Với mot h > 0,(Bf( +h) — B¥(h))is0 = (B”())so.

(iv) (PB (1/t))is0 = (BY

(t))iso-Mệnh dé 1.2.11 (3|, Nhậu xét 1.2.2, trang 7) Voi moi n > 1, dang

thức suu đâu đúng

ar? ntl n

= al ( 5 )|l# — 5",

E|B”( — BY(s)|"

trong đó T là ham Game.

Ví du 1.2.12 Sử dụng phần mềm thống kê R, độ thô một quỹ đạo của,

chuyển động Brown phân thứ được minh họa tương ứng với cáo tham số

Hurst khac nhau như hình bên dưới.

Định ly 1.2.13 (53), Dinh lý 2.1, trang 17) ChaG ~ (0,1), f: ROR

là haw đo được saa cho E[ƒ?(G)] < co va BY là chuyển động Broww phân

thứ uới tham số H € (0,1) Khi đó

n 1P

3ˆ (BM (k) — BM(k 1) “+ E|f(G)|

Hệ qua 1.2.14 (|ỗ3|, Hệ quá 2.1, trang 19) Cha BY là chuyến động

Brow phân thú vdt tham số Hurst H € (0,1) oà p € [1, +00) Khi đó

0 ,p>1/H

n n >4 E||GIf],p= 1/H,G ~ N(0,1)+00 ,p<1/H

Định ly 1.2.15 (BỊ, Dinh lý 1.6.1, trang II) Cho H € (0,1) Kh¿ đó

chuyén động Brown phâu thứ BY có các quỹ đạo liêu tục Holder uới cấplớu how HH.

Mệnh đề 1.2.16 (\[5], Mệnh đề 1.7.1, trang 12) Cho H € (0,1) Kha đó

chuuểu động Brown phâu thứ BÍ có các quỹ đạo khoug kha vi.

Định ly 1.2.17 (53), Dinh lý 2.2, trang 19) Cho BÍ là chuyển động

Đrouw phâu thứ uới tham số Hurst H € (0,1/2) U (1/2,1) Khả đó BY

không có tinh chất trửu martingale.

Định ly 1.2.18 (B3|, Dinh lý 2.3, trang 20) Cha B” là chuyển độngBrown phan thứ uới tham số Hurst H € (0,1/2) U (1/21) Khí đó BY

không có tính chat Markov.

Nhận xét 1.2.19 lrong Ohương 2, chúng ta sẽ làm việc với không gian

(O,7,P,0), được xây dung từ chuyển động Brown phan thứ như sau:Với 1/2 < v' < H cố định, ký hiệu C?’(R,R) là không gian các quỹ đạo

w € C” (I,R) với mọi đoạn đóng JC R và w(0) = 0 Khi đó (0, F, P, 6) là

không, gian được vam sinh tit không gian Cÿ (IR, R) của (Co(R, R), 8, P, 6),

trong đó (Co(R,R) là không gian cdo quỹ đạo liên tuo w trên R sao cho

w(0) = 0, Blais o - đại số Borel duge sinh ra bởi tôpô compact mớ, P là

độ do Wiener trên R được sinh ra bới chuyển động Brown phân thứ và 0

29

là sự dịch chuyển Wiener được định nghĩa bởi Ø,„(-) = w(t + -) — œ(-) Lit

[B1], sự dịch chuyển Wiener là ergodio.

1.2.3 Tích phan Young

Định nghĩa 1.2.20 (29|, Định nghĩa 5.1, trang 79) Một quỹ đạo x :

[ø, b| — R“ được gọi là

(i) liên tục Hölder với mũ a > 0 hoặc œ-Hölder nếu

Illex = sup Ử a<s<t<b |í — sịa ~=7.

(ii) có p-bién phân hữu han với p > 0 nếu

Izll, ,.uj := ( sup 3 lu, =2, Ir") II [a,b] <

trong đó II[a, b| là ký hiệu của tap tat cá cáo phép phân hoạch hữu hạntrên đoạn [a,b] CR.

‘La sẽ sử dụng cáo ký hiệu Œ*({ø, b],IR°) là tập các quỹ đạo a-Hölder x

vài CP-*" ([a, b], R27) là tập cáo quỹ đạo liên tục x : [a,b] > JR“ với p-biên

phâu hữu han.

Nhận xét rằng flo ja) và |-|[, „„„j„øị là cáo nửa chuẩn Với bat kỳ

a > 0, hiển nhiên bat kỳ quỹ đạo œ-Hölder là một quỹ đạo liên tục với

1/a-biên phan hữu hạn.

Mệnh đề 1.2.21 (|29|, Hệ qua 5.31, trang 96) (7) Giá sử {z„},ø thuộc

or ((a, b], R2) sao cho

sup |x <oo UP leafy an „lim, vd lim sup |Ìz — x(t)|| = 0.sup a(t) = #(0|

Hou trữu, { Helly vant :†7y € N} liêu tục đều theo ughia uới mot

c> 0 tow tui 6 suo cha |t — s| <6 suy ra

sup [nll yy vars, <6.n

(ii) Nếu {x,},x thuộc C%({a, b],R®) saa cho sup,, |Ìz› Í „ø„ < %

04 lim„_;++ SIĐ¿elz„j |#n(f) — #(f)|| = 0, thà uới mots < t trong [a,b], khan —> co, v6ta’ <a,

sup | llenlle jou) — lla ay | —> 0 Ehín > +00

Dinh nghĩa 1.2.23 ((I7]) (Lich phâu Young) Với p > 1 va [a,b] C R,

không, gian con ỞP([a, b|, IR2) C C([a, b|,IR“) gồm tất cả các quỹ dao # với

p-biên phan hữu hạn và được trang bị bới chuẩn p-var như sau

|#|Ìp—sar.iaai = |#(4)| + [het ll sua ›

là không gian Banach không kha ly, Tuy nhiên,

C~((a, 8], R4) := C°”([a, b], 9) C CP([a, 0], R2)

là không gian Banach khả ly, Không gian này bao gồm các quỹ đạo liên

tuc x sao cho

lim sup 2_„Ixự (t1) — z(,)|Jf = 0.

60 T(a,b),|II|<ð

hài

Bay, giờ ta định nghĩa tích phan Young như sau: Oho x € C%({a, b|, 9X)và w € C?([a,b],R”), p,q > 1 Nếu với phép phân hoạch hữu hạn bat kỳ

T= {a=t) <t) < - <t, = bd} ota đoạn [a,b] và bat kỳ & € [t;,f;,1],

tổng Riemann-Stieltjes

Sn := d) 2(&)(w (tir) — Ø()) (1.17)

hội tụ khi |r| := maxo<j<p-1 |f¿+1 — ti| —> 0 thi ta gọi giới han này la fích

phôu Young cla x ứng với w trêu đoạn [a, b|, và ký hiệu là h x(t)dw(t).

Định lý 1.2.24 ((I7]) (Ước lượng Young-Léeve) Giả sử x € C%({a, b],RTM"),

we Ở?( ([a, b],RTM) va p,q > 1 Khả đó ta có ước lượng saw đâu

(x, Az) < —hal|z|Š,Vz € RY.

Ky hiệu O(t,w) là nghiệm ma trậu cua phương trành trêu, ®(0,w) = Id.

Khi đó uới bat ky 6 > 0 cho trước, ta có

| 2(¢ )|| < exp { = hat + ð + max{|[C||, ICIP }a(t.0) f ve € [0.1

Xét phương trình vi phân tất định theo nghĩa Young

dx(t) = [A(t)x(t) + F(t, x(t))|dt + C(t)x(t)dw(t),x(0) =a, — (1.19)

trong đó 1 < p < 2,T > 000 định, quỹ đạo liên tuo w thuộc C?~*“"(Í0, 7], R),

0<t<T,x% € R4A € C(0,7],R“%% và Œ € C1" (0, T], RO) với

q thoa mãn g > p va h + h > 1 Hơn nữa, F liên tục Lipschitz toàn

cục theo a, tức là ton tại L > 0 sao cho với mọi t € [0,7], với mọi

z,€IR“: ||F(t,x) — F(t,y)|| < Llla — yl] La co mệnh đề sau đây,

Mệnh đề 1.2.26 (24), Dinh lý 2.1) Yow tat nghiém duy what ctia hệ

dx(t) = [A(t)a(t) + F(t, x(t))|dt + C(t)x(t)dw(t), z(0) = xo,

trong không giaw Œ%=***([0,T], R4).

Bay, gid, gia sử thêm rằng

(HI) A xáo định âm theo nghĩa tồn tại hàm h: Ry > Ry, sao cho

(x, AŒ)+) < —h(t)|\a||?, Va e RY.

(H2) F(t,0) = 0 với mọi t € Ry và F(t,x) liên tục Lipschitz toàn cục

theo x, tức là tồn tai ham liên tục dương ƒ : R, > Ry, sao cho

IF G2) — F(t yl < fOlle-yl.VeryeR®

(H3) lồn tai các hằng sd

4 - 1 mu 1 +}

As „iữn (— 4+] » I4ll.A, + |LƒI|.A,) ”) < 00;

P(2,2p+2) = Tm (— > yop? lo <œ, m>+oo\m + 1 m p—var, Ax )

trong đó A := [k, k + 1] La có định lý sau đây:

Định ly 1.2.27 (|24|, Dinh lý 3.4) Gia sử các điều kiệu (H1) — (H3)

được thow man, va

lim inf + ‘Ih(s) — f(s)|ds > ho > 0.

Khả đó uới điều kiện

hạ > K(I + 46)Ê [F(0,9) + Pw, 4)? + Pw, 2p +p)?*"]

trang đó K := (1— 219)*1,0:= ‡ +7 > 1 va

G := max {8A, 16KC, 8? AP, Le"Krcrh,

nghiệt tầu thường (Y = 0) của hé (1.19) on định mi.

1.2.4 Dao ham và tích phan phan thứ

Theo 54], với mỗi a,b € R, a < b vô định, ký hiệu Wo! ({a, b], R®) là

không gian các ham kha tích h : [a,b] —> R@ sao cho

lÌ|Ì¿¡ = [ ( (s— a) (sa) = ds < +oo.

Định nghĩa 1.2.28 (54) Với h € Wo ((a, b], RR“), dao hàm phân thứ

bên trái cua h, ký hiệu ` h(u), được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.2.29 (54) Với mọi k € Wr “*(|0,7],R°), ký hiệu

kị_(u) := k(u)—k(), đạo hàm phan thứ bên phải của k, ký hiệu Dj}- “k,_ (u),

được định nghĩa như sau:

Deke) = Ta [Tư cap +8) [ Ty Cup | Ment

34

Với a < b, kỹ hiệu C“([ø,b],IR2) là không gian các ham &-Hölder từ

[a, b] vào IR“, đượo trang bị bởi chuẩn

I/l|<„~.ia = WF loo fat] + MF ll fae} ›troug do

Lit [54], vd thé thấy rằng

oe (a, 6], RP) C Wy""([a, 0], R®) với mọi c > 0

che'((a,6),R") CW, (a, 8], R") C Ch *((a, 0), R").

Định nghĩa 1.2.30 (54) Nêu h € C^([a, bj, R®) và w € C”([a, b], R) với

ÀA+ > 1 thì với mỗi a sao cho À > a > 1— 1, ta có h € W21({a, bỊ, R%)và w € Wi “'(la,b],) Khi đó tích phan theo nghĩa ⁄ãähle được xác

1.2.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ với nhiễu phanthứ

Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên d-chiéu

dz(f) = ƒ(t,z¡)dt + g(t, x,)dB" (t),t > 0 (1.22)

trong đó fi g(s,x,)dB" (s) đượo hiéu là tích phan theo từng quỹ dao, được

biểu diễn bởi đạo hàm phân thứ.

Bay, giờ, ta cỗ định T > 0, B” trong phương trình có hầu hếtcáo quỹ đạo thuộc C”’({0,7],R) , 4 < < H nên phương trình này có thể

được viết lại dưới dạng tích phan xác định

Định nghĩa 1.2.31 Ham liên tuo x với giá trị trong IR“ được gọi là nghiệm

của phương trình (1.24) trên [—r, 7] nếu nó thóa mãn phương trình này,

và #ụ = #|[_z0| =

7)-Ta có định lý quan trọng sau đây về sự tồn tai và duy nhất nghiệm đôivới phương trình (1.24).

Định ly 1.2.32 (7|, Dinh lý 2.1) Gia sử

(i) Haw ƒ : © x [0, TỊ x Œ„ > R liêu tục How trữu, nó là liên tục Lipschitz

va tăng trưởng tuyến tính theo biếu €, đều theo t; có nghia là, tow tat cdchang số LỊ, Ly sao cho oới moi €,n € C, vat € [0,T], ta có

IF(t,6) — ƒữ,n)| < Lillé — nl] va [F(t,)| < ba(1 + Í£|):

(ii) Hàm g : Q x [0,T] x C, + R liêu tục va kha vi Eréchot thea biếu €.Hon trữu, ton tat cúc hằng số Ly, Ly vd Ls sao cho vdi mot E,n € C, vd

t € |0, 7]

|D;ø(f,€)|r\ơ,m) < Ls,

|Deg(t, €) — D;øứ,1)|r(c,m) Š Lall€ — nll,

lg(t, €) ~~ g(s, €)| + |Deg(t, §) ~~ D¿ø(s,Ê)|r(c,.R) < Ls

How wita, nếu 1 — H <a < H van thuộc C'°({—r,0]) thi tow tat duy

what nghiệu ctw phương trành

Ngoài ra, trong [20], các tao gia da đưa ra kết quá về sự tou tại, tính

duy nhất nghiệm cửa phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ tống quát

với nhiều phan thứ và hệ số không phụ thuộo vào thời gian.

Xét phương trình vi phan có trễ ngầu nhiên phần thứ cdo dạng

dx(t) = ƒ(œ,)dt + g(a,)dB" (t),t > 0 (1.25)

yo = nEC,,

trong đó C;, = C({—r, 0], R2) là không gian Banach v4o hàm liên tuo bừ

[—r, 0] vào R¢ với topo hội tu đều và chuẩn |||] = sup ||@(9)||; z¿ € Œ,

được xác định bởi z;(Ø) = z(f + 0) với —r < 0 < 0 var > 0 Phương

trình (1.25) có thế được viết dưới dạng tích phân

x(t) n+ [ tra + [ olejan'(s).t >0 (1.26)

0 0

+0 — 7 € C,.,

trong đó f,g:C, > R4,

Ode giá thiệt được đặt lên các ham hệ số ƒ và g như sau

(Hr) Ham ƒ là liên tuo Lipschitz toàn cục và do đó có tính chất tăng

37

trướng tuyên tính, tức là tồn tại cáo hằng sô Ly, Ly > 0 sao cho với mọi

Ệ,n € Cy

I/(6) = FOI < Lallé — nÌ< và FCO) < Loh + Wélloo)- — (127)

(H,) Hàm g thuộc lớp C! sao cho đạo hàm Eréchet tương ứng với € bị

chặn và liên tục Lipschitz toàn oục, tức là tồn tai các hằng số Lạ và Ly

sao cho VỚI moi €,7 € C;,

|| D'g(E)|| < Ha và ||D'g(€) — D'g(n)|| < Lallé — allo:

Dinh ly 1.2.33 (20|) Gia sử f,g thoa mam các gid định Hy va H, Cố

định a € (1—H,4) va T > 0 Khả đó vdi mỗi n € C®1—%([—r, 0], R®), tou

tui nghiệm duy what x(t,w,n) ca sao cho

ngẫu nhiên là ruột qua trình ngẫu nhiên đo được theo w và thuộc không

gian TP([a, b|, RY) Trong hương 2 của luận ấn, chúng ta sẽ thấy một số

tính chất đẹp hơn về nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên phânthứ Đó là tính chat liên tục cla nghiệm.

38