TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

TR1ẦN HÙNG THAO TÍCH PHÂN NGÂU NHIÊN VÀ PHƯƠNG JRINH VI PHÂN NGẪU NHIÊN NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT HÀ NỘI 2000 51-517.2 41-10-99 K1ỈKT-99 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách nhằm giói thiệu ngắn gọn lý thuyết tích phân ngẫu nhiên lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên nhũng ứng dụng trục tiếp vào lý thuyết lọc, lý thuyết khuếch tán mơ hình điêu khiến ngẫu nhiên Đế đọc sách này, độc giả cần có nhũng kiến thức tối thiếu vê lý thuyết trình ngẫu nhiên bao gồm cá lý thuyết mactingan, mà phin nhắc lại Chương mỏ đầu (tức Chương 0) o đây, tích phân ngẫu nhiên chủ yếu loại tích phẫn lỒy đối vói chuyển động Brown phương trình vi phân ngẫu nhiên chí loại phương trình hô chi phối tiếng Ồn trắng Gauss; nhũng phát triển cao lĩnh vục không xét tới sách muốn nhằm phục vụ mệt diện tương đối rộng nhũng người có nhu cầu tìm hiếu bước đầu yếu tổ quan trọng nhỒt Giải tích ngẫu nhiên Riêng Chương Giáo su Nguyễn Văn Hữu biên soạn Một số đinh lý khó mà khơng chứng minh chí phát biếu nêu ý nghía Phần Phụ lục gồm số vỒn đề nêu đế giải thích mó rộng phần trình bày chương trước Tác giá xin trân trọng cám ơn Giáo su Phan Huy Khái, Phó tiến sĩ Vũ Vần Đẹt Viện Toán học, Nhà xuỒt bẩn Khoa học Kỹ thuật giúp đõ tạo điều kiện để sách nàv đời Tác giá xin cám ơn anh Đẽ Ngọc Cuông hoằn thành tốt hợp lý việc xù lý văn tài liệu khoa học với nhiêu ký hiệu khó nhu sách Hà nội, tháng 1/1999 Trần H ù n g T h a o Chưo'ng KIẾN T H Ứ C CHUẨN BỊ Cho {Ũ,T,P) không gian xác suất §1 Q trình đo đưcrc 1.1 Dinh nghĩa Một q trình ngẫu nhiên X : (X , í > 0) gọi 3o đo đối vói ữ-trng tích JSỊJ+ ® ĩ ' Điêu có nghĩa với tập Borel R, tập hợp t {(t,u) thuộc vê a-trưịng tích 6ỵ+ ® T có dạng [0,t] X A vón € R : X(t,w) e B} Dó ơ-trng nhó chúa tập + 1.2 Chú ý: a/ Moi trình liên tục đo b/ Nếu À ' trình 3o ổưạc, quỹ đạo nhũng hàm thực Borel R X (t) w + §2 Q trình thích nghi vói mót lọc Tị 2.1 C c đ i n h nghía a / M ộ t họ ^ - t r n g Tị c mãn điều kiện thông thường nếu: T gọi lọc, thoa (i) Đ Ó m ộ t họ tăng, tức T, c Ti s < í (ii) Họ ổó liên tục phái, tức Tị — f ) Ft+C (iii) Moi tập P-bó qua đtrạc A E T chứa To (do nằm Tt)b/ Cho trình ngửu nhiên X = (A'», í > ) Xét họ 7'M nghi hay v i ế t cách khác - zụ.yj) y(TMAt,w) í •—:—— • t Tiu;) Có t h ê c h ứ n g m i n h r ằ n g t r ì n h z Ta nói r a n g ta nhân đ ợ c z n g ẫ u nhiên T ký hiệu y ' c ván c ò n liên t ú c t h í c h n g h i b ằ n g cách dừng t r ì n h Y r : z tai thời điếm T y' — V ó i m o i í £ [ o o c l h n g s ố ĩ í xen-, nhu' m ó t a n h x a : fì —• iu X I m ó t t h i ổ i ê m d n g N g o i S.T [[S.T]} t h i d i ê m dừng v i s < T = {(í.u,) R + X Q, S{uỉ) < í < t h ì t a ký hiêu T{UJ)} g ó i đ ó m ó t k h o n g n g ẫ u nhiên T n g tb", ta c ũ n g đ ị n h nghía k h o n g n g ẫ u n h i ê n : Ị[.S', T [ [ , ì ] ] Ị }}S.T[[C ũ n g có thê m ó t t r o n g t h i đ i ế m d n g S.T han n ế u r.s h ằ n g số hai số £ [ oe ì v ó i 7' < A i v i ho {TÌ' XỊ T a giá t h i ế t t h ê m r a n g với — À", Hộc lập v i t í c h ^ [ A ' t ] < o o K h i A~Ị m ó t m a c t i n g a n Soi )í>0 Quà vậy, E [ X , \ T Ĩ ) + E[X E [ X \ r ? ) = - t t X X.\T, ] = X, + o b / Đao h m R a d o n - N i k o d y m C h o p p ( Ĩ Ì T ) gọi h a i S ộ So x c s u ấ t t r ê n c ù n g m ộ t k h ô n g gian đ o 3ươc (TỊ) mót lọc Với PỊ h n c h ế c ù a p t r ê n Tị P( h n c h ế c ù a p moi í > ký hiệu Tị giá t h ứ r ằ n g Pị liên t ụ c t u y ệ t đ ố i đ ố i v i Pị X é t b i ế n n g ẫ u n h i ê n L í xác S i n h n h o h m R a d o n - N i k o d ỵ m cua P Hối v i p,: Lị K h i d ó LỊ E [ ĩ ( t i số hop lý) m ó t m a c t i n g a n ố ! v i {P.Tị) A L ) = t , L^ - L, = • d ã ~ dPt = E [ Ĩ A L , ] Q u vây ta phái c h ứ n g m i n h với A € ^ , < s < í V ì —— nen dP, E [ Ĩ A L , } = Ẽ [ Ĩ A ) = P(A) ỊỊP V ì s < / A c ũ n g t h u ô c ve d o , vi Lt = £'[1,,L,] = £ [ ! , , ] = D o Sị t a có t h ứ c p h i c h ứ n g m i n h , p (.-l) —— nên mãn cng trình Poisson ) mót đệ diêu xiên 17 co VŨ = (li) ĩ V có số f/s c n g - (Hi) P{.\\ > -2} (iv) P{.\, = 1} dộc láp, ũ j ) = = 0(1) Xí+ D i n h lý n y c ũ n g e ĩ i t h í c h s a o m ó t quả, t r ù n g lặp tai c ù n g gian, lai m ộ t thoai tai mót tham gia g i a o q trình t h i õ ì ê m í thơng 8.4 cho Dặc hợp thấy (A'( lại ta c ũ n g A"| vói Ai — Poisson Nói tiêu moi vói riêng, cường chuân số hàng xếp lời g ọ i hàng t i lệ v ó i đến qui điện trạm c h phục vụ số Biết thời người luật cùa b i ế t cách t ổ c h ứ c p h ú c v ụ t o c h ứ c s p x ế p mót m ó t Ni q rnactingan l ì Vf—í giao trình Poisson m ộ t dễ dàng Đ ố i với q mactingan dối với trình TỊ" có trưng Watanabe) í, Thi' du: n ă n g xây m ó t q u t r ì n h P o i s s o n v i c n g A > V ; — Ai D i n h lý ( D ặ c tích nút giao thông, Watanabe P o i s s o n t i ê u c h u â n (À = Nguxrc số khách hậu iý trưng Kiểu /V = Poisson mót d ị n g sư kiên ổ ó , n g i ta thông thời đ i ế m , d ò n g kiên dóc lập, k h n g có số gia mactingan dơ — ỉ là Sóc sổi Cho N, lập, vói Xo Tị* = Khi j\'t dó trình Kị ngẫu cho nhiên Ví > q trình À mactingan qua trinh Poisson 18 Chưo"ng Ì TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN §1 Nhắc lai vài yếu tố Giải tích 1.1 H m với biến phân giới nịi a / Dinh nghía: (i) Một hàm thực Ị gọi có biến phân giói nội Soán [ a , 6], tồn sốc cho với phân hoạch đoan ấv: V : a= Xo < Xi < • • • < -En = b, có bất đằng thúc : •ỉ x>(*t)-/(*fc-i)l 11/11 = — / = ) chưa t h o a m ã n N h n g n ế u Ị[a) t í n h c h ấ t cùa m ộ t c h u â n nội i í i ị ] cho f(a) K h ô n g gian V j = ũ t h ì IỊ/ỊỊ có đ ủ Ị h m có b i ế n phân g i ó i — 0, v ó i phép c ô n g phép nhân v i m ộ t s ố như- t h ô n g t h n g m ộ t k h ô n g g i a n t u v ế n t í n h S i n h c h u ẩ n v i c h u ẩ n 11/11 = V c/ [ / ] , ổ a c gói k h n g g i a n h m v i b i ế n phân g i i n ộ i Vài thí dụ (1) C h o q : [Ũ, oe ) — = Jp q(s)ds k h o a n g h ữ u hạn c R m ó t h m k h tích X > Ri e m a n n Q, m ó t h m v ó i biến p h â n Kh i 30 hám giới n ô i m ọ i [(Loe) ( ) H m f ( x ) — x s i n - k h ô n g p h i m ộ t h m c ó b i ế n phân g i i n ộ i V ề cách x â y dưng tích p h â n L e b e s g u e tích p h â n S t i c l t j c s 1.2 a/ Tích phân Lebesgue Dê x â y d n g tích phân Lebesgue k h n g g i a n ĩì [ A ỉ(r)dịí a ố i v i m ó t Sơ ổ o ụ., A c n o Sò t h u ô c k h ô n g gi a n xác s u ấ t (Q,T nghía /d/1 đối v i / = n , A £ T P) n g i ta đ n h 20 Sau ổịnh nghĩa tích phân hàm đơn gián / = ^ f c l ỉ k bới " / fdịi = Ỵ^a ịi(A ), \ j A = A , A £? A rời k=i Cuối cùng, vói hàm / bất kỳ, / giói hạn cùa dãy ỉn hàm đơn gián tích A Khi ta định nghía : k k k / Ị dụ JA k lim / k f dfi n J A b / T í c h phân Stieltjes ( ) Tích phân Riemann-Stieltjes cùa hàm / lấy hàm liên tục phái có biến phân giai nội định nghía bời (R-S) ị" f(x)d*(x) = Ja lim £/(&)[*(*.•) mw(í,-r,.,)-0 với phân hoạch (X>) a = x tồn ữ f - [ < Xi < X2 < • • • < x n = ỏ, giới hạn ( ) Tích phân Lebesgue-Stieltịès cùa hàm / lấy hàm có biến phân giới nội thường đưa ve tích phân L — s cùa / hàm F không giám $ hiệu hàm khơng giám Khi đó, ta định nghía : (R-S) ỉ Ja f(x)dF{x) = {L) ị Ịdịip, fi : độ đo sinh bái F F Ja b Vọy ta cần lưu ý việc xây dựng tích phân Stieltjes J việc quan trọng phái giá thiết hàm có biến phân giãi nội MI$2 Vài khái niêm liên quan tới trình ngẫu nhiên 2.1 Q u trình đo dần (progressive hay progressively measurable) Cho không gian xác suất lọc (ũ, ĩ,(T )t>0, P)- Gọi Z5[o 1] er-triròng Borel [ , í ] Cho q trình ngẫu nhiên X = ('Y