Luận án tiến sĩ Toán ứng dụng: Điều kiện tối ưu trong tối ưu không trơn và các vấn đề liên quan

TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN: Kết quả chính của chúng tôi tập trung vào hai nội dung sau: i Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu da trị với ràng buộc tổng quát và bài toán tối wu vectơ với r

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN XUAN DUY BẢO

LUAN AN TIEN SI

TP Hồ Chí Minh - 2023

VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYÊN XUÂN DUY BẢO

Ngành: Toán ứng dung

Mã số ngành: 9460112

Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Phản biện 2: PGS.TS Tạ Quang Sơn

Phản biện 3: PGS.TS Lê Thanh Tùng

Lời cam đoan

Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Toán Ứng Dụng, với dé tài “Điều kiện tối ưutrong tối ưu không trơn và các van dé liên quan” là công trình khoa học do Tôi thựchiện dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Phan Quốc Khánh và TS Nguyễn Minh Tùng

Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác, và khôngtrùng lắp với các công trình đã công bé trong và ngoài nước

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Xuân Duy Bảo

Loi cam ơn

Luan án “Điều kiện tối ưu trong tối ưu không trơn và các van dé liên quan” là dé

tài tốt nghiệp của tôi theo học chương trình nghiên cứu sinh ngành Toán ứng dụng,hướng Tối ưu, tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên

Lời đầu tiên, tôi xin được dành những lời cám ơn sâu sắc nhất đến tiến sĩ NguyễnMinh Tùng, người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tôi hoàn thành luận án này Đốivới tôi, thầy Tùng là không chỉ người thầy xuất sắc, mà còn là người bạn đồng hànhtuyệt vời Sau khi hoàn thành chương trình thạc sĩ, tôi không nghĩ minh có thể tiễn xahơn trên con đường học van Lúc ấy, tôi vẫn còn hai bản thảo đang làm cùng thay Tôibiết thầy kì vọng rất nhiều, bao nhiêu thời gian và công sức của thầy đều đặt ở tôi Thếnhưng những năm tháng đó, cuộc sống tôi đầy rẫy những trăn trở và lo toan, tôi loayhoay suốt ba bốn tháng vẫn chưa thể làm được gì Nhiều lúc tôi đã nghĩ đến bỏ cuộc.Vậy mà thầy chang hề khiển trách, thầy hiểu những gì học trò mình đang trải qua,thầy đã động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều Nếu không nhờ thay, có lẽ tôi đã khôngthể tiếp tục con đường nghiên cứu khoa học Đó cũng là điều mà tôi quý trọng nhất ởthầy, người thầy đầy tâm huyết và giàu tình cảm Tôi vẫn nhớ mãi những lần thầy kể

về tôi cho đồng nghiệp, những học viên, học trò của thầy với vẻ đầy tự hào Niềm tincủa thầy đã làm cho tôi thêm tin tưởng vào bản thân mình Đối với những ai nghiêncứu Toán học lâu năm, có thể thấy những kết quả và ý tưởng của tôi không mấy nổibật, nhưng thầy luôn công nhận và tôn trọng những nỗ lực đó Thầy khuyến khích tôitham khảo thêm nhiều sách để bồi dưỡng kiến thức, trao đổi những phương pháp vàgiúp tôi tìm kiếm câu trả lời Thay cho tôi tự do sáng tạo, phát huy hết tiềm năng củamình, nhờ đó tôi đã biết được giới hạn của bản thân, những gì mình có thể và khôngthể Tôi đã học hỏi được rất nhiều khi có cơ hội làm việc cùng thay, từ phương pháp

học tập đến cách nhìn nhận vấn dé, từ việc mở mang tri thức đến việc xây dựng và

phát triển ý tưởng Hơn hết, tôi học được cách làm người, hoc được cách làm thay Tôicảm thấy rất tự hào khi được là học trò của thầy Tùng

Tiếp theo, tôi xin trân trọng sửi lời cám ơn chân thành nhất đến giáo sư Phan Quốc Khánh Thay là tắm gương sáng, là nguồn cảm hứng bat tận, là nguồn động lực dồi

dào đối với một học viên mới chập chững bước chân vào con đường nghiên cứu Điều

mà tôi tâm đắc nhất ở thầy đó là sự tỉ mỉ và chỉnh chu trong từng công việc, cùng

với vôn kiến thức vô cùng uyên thâm Lần đầu tiên tôi được gặp thầy là dịp tham dự

seminar bộ môn khi còn đang học thạc sĩ Tôi cực kì ấn tượng bởi cách tổ chức rấtcông phu và chuyên nghiệp, thầy Khánh đã tạo nên một môi trường khoa học thân

thiện và hiệu quả Khi đó, tôi chưa có cơ hội để giới thiệu ban thân và trao đổi với

thầy về những nguyện vọng của mình Nhờ thầy Tùng mở lời, thầy đã vui vẻ đón nhậntôi như một người học trò Hồ sơ đăng kí nghiên cứu sinh của tôi gặp không ít trụctrặc vì chưa kịp cập nhật những quy định mới Thầy đã dành rất nhiều thời gian và

công sức để giúp đỡ, hướng dẫn tôi hoàn thành Tôi không nghĩ mình có thể trở thành

nghiên cứu sinh nếu như không có thầy Là một giáo sư, tôi biết thầy lúc nào cũng bậnrộn với trăm công nghìn việc, vậy mà thầy luôn dành thời gian cho tôi mỗi khi tôi gặpkhó khăn Tôi nhớ có lần vì quá sơ suất, tôi đã gần như trễ hạn nộp báo cáo định kì.Lúc ấy, tôi chẳng còn cách nào khác đành phải làm phiền đến thay vào giờ nghỉ trưa.Thế nhưng thầy đã không quản ngại đón tiếp tôi, tận tình giúp đỡ tôi sửa từng câu,từng chữ trong bộ hồ sơ đó Tôi cảm thấy vô cùng biết ơn, nhưng cũng vô cùng có lỗivới thầy Niềm hạnh phúc và vinh dự lớn lao đối với tôi đó là được thầy hướng dẫn

Bên cạnh đó, tôi xin cám ơn tập thể phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán

và quý thầy cô đã tạo cho tôi điều kiện và môi trường học tập tốt, trang bị cho tôinhững kiến thức cần thiết về chuyên ngành Toán Ứng dụng Sự thân thiện và cách làm

việc cũng như giảng dạy chuyên nghiệp của các thầy cô đã để lại trong lòng tôi nhiều

Ấn tượng tốt đẹp

Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn tha thiết đến gia đình đã tạo mọi điều kiện

về mặt tinh thần, cũng như thể chất, động viên tôi để học tập và nghiên cứu trong suốt

quá trình làm luận án.

TRANG THONG TIN LUẬN AN

Tên dé tài luận án: Điều kiện tối ưu trong tối ưu không tron va các vấn dé liên quan

Ngành: Toán ứng dụng

Mã số ngành: 9460112

Họ tên nghiên cứu sinh: NGUYEN XUAN DUY BẢO

Khóa đào tạo: 2019 — 2022

Người hướng dẫn khoa học:

1 TS Nguyễn Minh Tùng

2 GS.TSKH Phan Quốc Khánh

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM

1 TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN:

Kết quả chính của chúng tôi tập trung vào hai nội dung sau:

(i) Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu da trị với ràng buộc tổng quát và bài toán

tối wu vectơ với ràng buộc hỗn hợp: bất phương trình suy rộng và phương trình

Suy rộng;

(ii) Phân tích độ nhạy: thiết lập định lý hàm ẩn cho ánh xa đa trị và tính toán đạo

hàm của ánh xạ hữu hiệu có nhiễu của bài toán cân bằng vectơ có tham số, đồngthời nghiên cứu ánh xạ nghiệm của phương trình suy rộng có tham số ở dạng

tổng quát.

2 NHỮNG KET QUA MỚI CUA LUẬN ÁN:

(i) Về điều kiện tối ưu, chúng tôi thiết lập các quy tắc nhân tử Karush-Kuhn-Tucker

ở dạng phi cổ điển với độ lệch bù cấp cao bằng giả thiết dưới chính quy metric

kiểu Hölder Để đạt được điều đó, chúng tôi đề xuất và áp dụng khái niệm đạo

hàm tựa tiếp liên với chỉ số y € [0,09], đồng thời chọn lựa các hướng tới hạn phù

hợp Nhờ các điều kiện định tính ràng buộc dạng Mangasarian-Fromovitz và

Kurcyusz-Robinson-Zowe, nhân tử ứng với ánh xạ mục tiêu của chúng tôi khác

0 Các kết quả trên hoàn toàn mới hoặc cải tiến đáng kể nhiều kết quả gần đây.

(ii) Về phân tích độ nhạy, chúng tôi đề xuất khái niệm đạo hàm theo hướng cấp cao

theo nghĩa của Hadamard cho ánh xạ đa trị Một số các phép toán thông dụng

như phép hợp, phép giao, phép tích, phép tổng, và phép xích được xây dựng với

giả thiết dưới chính quy metric Sự khả vi Hadamard và công thức tính đạo hàmcủa ánh xạ giá trị hữu hiệu cũng được thiết lập Sau đó, chúng tôi dùng các đạohàm này để xây dựng định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị, đồng thời áp dụng vàophân tích độ nhạy cấp cao cho ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng vectơ cótham số Độ nhạy cho nghiệm của phương trình suy rộng có tham số cũng đượckhảo sát chỉ tiết

3 CÁC UNG DỤNG/ KHẢ NANG UNG DỤNG TRONG THUC TIEN HAY NHUNG VAN DE CON BO NGO CAN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU:

Nghiên cứu về điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị và bài toán tối ưu vecto,thiết lập định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị, phân tích độ nhạy cho ánh xạ nghiệm củabài toán cân bằng và phương trình suy rộng có tham số Các mô hình bài toán đượcxét xuyên suốt luận án này là các mô hình tổng quát Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ

áp dụng các kết quả đã có vào trong các lớp bài toán cụ thể hơn như bài toán minimax,bài toán hai mức, bài toán nửa vô hạn, bài toán tối ưu vectơ với các ràng buộc cụ thể,

bài toán nửa xác định dương

2 Prof DSc Phan Quốc Khánh

At: University of Science, Vietnam National University, Ho Chi Minh City

1 SUMMARY:

Our main results are divided into two parts:

(i) Optimality conditions for a set-valued problem, which is subject to a

general-ized inequality, and generalgeneral-ized inequality and generalgeneral-ized equality for vector

optimization problem subject to mixed constraints;

(11) Sensitivity analysis: we establish an implicit set-valued map theorem, and then

apply it to consider sensitivity analysis of a parametric equilibrium problem and to study sensitivity analysis of the solution map of a parametric generalized equation.

2 NOVELTY OF THESIS:

Gi) For optimality conditions, we aim to establish Karush-Kuhn-Tucker multiplier

rules involving higher-order complementarity slackness under Hölder metric

subregularity These rules may also be in the nonclassical form To this end, we propose and apply our new concept of a quasi-contingent derivative of index

y€ [0,00] and define suitable critical directions We impose generalized

con-straint qualifications of the Mangasarian-Fromovitz and Zowe types to have nonvanishing objective multipliers Our results are new or improve significantly recent existing ones.

Kurcyusz-Robinson-For sensitivity analysis, we propose a notion of higher-order directional tives in the sense of Hadamard for set-valued maps Calculus rules, for unions, intersections, products, sums, and compositions are given under directional metric subregularity conditions The Hadamard differentiability of the efficient value mapping and a formula to compute its derivative are also obtained Then,

deriva-we apply these derivatives to establish an implicit set-valued map theorem and employ it to higher-order sensitivity analysis of the solution mapping for a para- metric vector equilibrium problem Sensitivity for solutions to a parametric generalized equation is also investigated.

3 APPLICATIONS/ APPLICABILITY/ PERSPECTIVE:

We study optimality conditions for a set-valued problem and a vector tion problem, provide an implicit set-valued map theorem, analyze the sensitivity of the solution mapping for a parametric vector equilibrium problem and a parametric generalized equation In our further study, we concentrate on some specific important optimization problems that have featured applications.

4.1 Đạo hàm tựa tiếp liên và một số phép toán

4.2 Điều kiện cần tôi ưu cho bài toán tối ưu đa trị

4.21 TrườnghợpnónDđặc

11

17

23

4.2.2 Trường hợp non Dkhông đặc 49

4.3 Điều kiện can tối ưu cho bài toán tối ưu vectơ với ràng buộc hỗn hợp| 57

5 Nghiên cứu độ nhạy của ánh xạ nghiệm bằng đạo ham Hadamard 63

5.1 Đạo hàm Hadamard và một số phép toán| - 64

5.1.1 Các quy tấctậphợp| 68

¬ 72

5.13 Quy tac xíchchohàmhợp| - 75

5.2 Đạo hàm Hadamard cua ánh xa giá trị hữu hiệu 81 5.3 Định ly ham ẩn cho ánh xa da tri va ứng dụng 84

5.4 Phân tích độ nhạy cho phương trình suy rộng có thamsôố| 92

6 Kết luận và kiên nghị 98

Tài liệu tham khảo 99

Danh mục các bài báo 110

Danh sách hình ve

3.1 Các nón mở rộng của C = {(x1,x2) € R* | x2 < 2x1,x1 <2m}] 10

3.2 Phantrongdais6ctaM| 0 000000 eee ee 16

3.3 Nón tiếp liên và nón pháp tuyến của M tại % 18

4.1 Môi quan hệ giữa các nghiệm hữu hiệu 35

4.2 Nón lỗi D và tập tiếp xúc cấp 4 của D 47

Danh mục kí hiệu va viet tat

Kí hiệu liên quan đến tập hợp

Ñ Tập hợp số tự nhiên

R" Không gian vectơ n chiều

Ri Nón orthant với các toa độ không âm

X,Y,Z Cac không gian Banach

By Quả cau mở đơn vi trong không gian X

Bx(x,r) Quả cầu mở tâm x, bán kính r trong không gian X

intM Phan trong của tập M

coreM Phan trong đại số của tập M

clM Bao dong cua tap M

dist(x,M) Khoảng cách từ x đến tập M

coneM Bao nón của tập M

cone;M Bao nón không chứa đỉnh của tập M

pos{xi, ,x„} N6n lỗi sinh bởi {x1, ,xm}

lin{xị, ,x„} Bao tuyến tính của {x1, ,Xm}

C* Nón đối ngẫu của C

c* Phan trong giả của C*

cone(.Z + €.clBy )

{ci cC' | jinf (c*,b) >0}

Miền xác định của ánh xa đa trị ®

Đồ thị của ánh xa đa trị ®

Nón tiếp liên của tập M tại x

Nón pháp tuyến của tập M tại x

Kí hiệu liên quan đên ánh xạ

@:X >Y Ánh xa đơn tri từ X vào Y

®:X\Y_ Ánh xạ đa trị từ X vào Y

ơ(/,M) Ham tựa của tập M

LW(P) nghiệm yếu dia phương của bài toán (P)

LHe(P) nghiệm chính thường Henig địa phương của bài toán (P)

LBo(P) nghiệm chính thường Borwein địa phương của bài toán (P)

LPos(P,A) nghiệm chính thường dương địa phương của bài toán (P)

KKT Karush-Kuhn-Tucker

MFCQ điều kiện định tinh rang buộc kiểu Mangasarian-Fromovitz

KRZCQ điều kiện định tính ràng buộc kiểu Kurcyusz-Robinson-Zowe

x40 x>Ovàx->0

Chương 1

Mở đầu

Điều kiện tối ưu không trơn nằm ở vị trí trung tâm trong lý thuyết tối ưu Nó khôngnhững có ý nghĩa về mặt lý thuyết, mà còn là cơ sở cho thuật toán tìm các nghiệmtối ưu Các nghiên cứu về điều kiện cấp một và hai chiếm phần lớn trong các tài liệukhoa học, trong khi có rất ít kết quả về các điều kiện tối ưu cấp cao nhưng lại cungcấp thêm những thông tin cần thiết Một trong những lý do là rất ít khái niệm đạohàm suy rộng có thể mở rộng sang trường hợp cấp cao hơn hai Động lực đó thúc đẩychúng tôi đề xuất một đạo hàm cấp cao phù hợp và nghiên cứu các điều kiện tối ưucho bài toán tối ưu đa trị Về đóng góp riêng, chúng tôi thiết lập các quy tắc nhân tửKarush-Kuhn-Tucker với độ lệch bù cấp cao và các giả thiết dưới chính quy Hélder.Những quy tắc này có dạng phi cổ điển, cụ thể là về phải là supremum (thay vì là

0 như dạng cổ điển) Phạm vi nghiên cứu của chúng tôi là bài toán tối ưu đa trị và

bài toán tối ưu vectơ Chúng tôi quan tâm đến các loại nghiệm tiêu biểu như: nghiệm

yếu, nghiệm Henig, nghiệm dương, và nghiệm Borwein Dé đạt được điều đó, chúng

tôi dé xuất và áp dụng khái niệm đạo ham tựa tiếp liên với chỉ số y € [0,œ], đồngthời chọn lựa các hướng tới hạn phù hợp Nhờ các điều kiện định tính ràng buộc dạng

Mangasarian-Fromovitz và Kurcyusz-Robinson-Zowe, chúng tôi có được nhân tử ứng

với ánh xạ mục tiêu không bị triệt tiêu Các kết quả trên hoàn toàn mới hoặc cải tiến đáng kể nhiều kết quả gần đây Chúng tôi phân tích chỉ tiết các kết quả này trong các

nhận xét và qua các ví dụ minh họa.

Ngoài ra, một chủ dé khác là phân tích độ nhạy không chỉ thú vị về mặt lý thuyết

mà còn quan trọng về mặt thực tiễn trong lĩnh vực tối ưu, và tính ứng dụng của nó đã

hấp dẫn rất nhiều nhà khoa học Phân tích độ nhạy cung cấp thông tin về ổn định định

lượng của ánh xạ nghiệm bài toán tối ưu vectơ có tham số Hướng nghiên cứu này rất

có ý nghĩa về mặt khoa học cũng như tính ứng dụng của nó Chúng tôi dé xuất kháiniệm đạo hàm theo hướng cấp cao theo nghĩa của Hadamard cho ánh xạ đa trị Đây

là một sự mở rộng tự nhiên của đạo hàm theo hướng cổ điển Một số phép toán thông

dụng như phép hợp, giao, tích, tổng, và phép xích cho các ánh xạ được xây dựng với

các giả thiết dưới chính quy metric Sự khả vi Hadamard và công thức tính đạo hàmHadamard của ánh xạ giá trị hữu hiệu cũng được thiết lập Sau đó, chúng tôi dùngcác đạo hàm này để nghiên cứu một dạng của định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị, đồngthời áp dụng vào phân tích độ nhạy cấp cao cho ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằngvectơ có tham số Độ nhạy cho nghiệm của phương trình suy rộng có tham số cũngđược nghiên cứu Một số ví dụ được đưa ra để phân tích và minh họa cho các kết quả

thu được.

Điều kiện tối ưu đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực tối ưu cả về lý thuyết

và ứng dụng Các điều kiện cấp một và cấp hai đã được phát triển mạnh mẽ, xem

và các trích dẫn trong đó Các đóng góp cho

điều kiện cấp cao hiện tại còn ít, nhưng chúng lại cung cấp thêm những thông tin rất

quan trọng Đối với tối ưu đa trị, chúng ta có thể đề cập đến các công trình [49|6164].

Đặc biệt, thời gian gần đây, tận dụng các đạo hàm tiếp liên, tiệm cận, và Studniarski

cấp cao, quy tắc nhân tử Karush-Kuhn-Tucker (KKT) cấp cao cho nghiệm yếu và chặt

của bài toán đa trị với ràng buộc bao hàm thức được nghiên cứu ở [5ó] Đây là lần đầu

tiên thu được độ lệch bù cấp cao cho ánh xạ mục tiêu Một lợi thé khác của bài báo

đó là việc sử dụng giả thiết dưới chính quy metric Hölder, một điều kiện chính quy

phi tuyến quan trọng Tuy nhiên, các kết quả ở đó được chia thành hai loại khác nhau: thứ nhất là điều kiện nhân tử với giả thiết dưới chính quy metric Hölder cùng độ lệch

bù cấp một, thứ hai là với giả thuyết dưới chính quy metric tuyến tính cùng độ lệch bù cấp cao Hạn chế đáng chú ý này tạo động lực cho chúng tôi tìm đến kết quả có được

cả hai đặc tính tốt như trên Trong luận án này, chúng tôi đạt được mục tiêu đó bằngcách đưa ra khái niệm đạo hàm tựa tiếp liên và chọn lọc các hướng tới hạn phù hợp.Chúng tôi sẽ giải thích ngắn gọn hai phương pháp để đạt được điều này

« Đầu tiên, một số đạo hàm suy rộng được giới thiệu với nhiều ứng dụng phong

phú Trong số đó, đạo hàm tiếp liên (71, dao ham Studniarski 9| đạo hàm tiếp

liên trên đồ thị [42], va tap bién phan có liên quan rat gần đạo ham ma

chúng tôi dé xuất va sử dung trong luận án Người doc cũng có thể tham khảo

các sách chuyên khảo cho đạo hàm suy rộng.

« Tiếp theo, mỗi điều kiện cần cấp cao cung cấp thông tin để kiểm tra các ứng

viên có thể là điểm tối ưu/ nghiệm khi chúng đã thỏa mãn các điều kiện ở cấp

thấp hơn ở mức tới hạn Do đó, các hướng tới hạn càng được chọn chính xác thì

điều kiện cần sẽ càng mạnh hơn Tuy nhiên, trong các điều kiện cấp cao đã có,

các hướng tới hạn chưa thật sự được quan tâm nên chỉ xuất hiện độ lệch bù cấp

một.

Về mô hình ứng dụng, chúng tôi chọn lớp bài toán đa trị tổng quát để đồng bộ với

các đóng góp khoa học gần đây Đối với tối ưu vectơ, chúng tôi khảo sát các khái

niệm điển hình sau: nghiệm yếu và các nghiệm chính thường Henig, nghiệm dương

và Borwein; bởi lẽ nghiệm yếu là phổ biến nhất và các nghiệm chính thường thì quan

trọng Cu thể, để loại bỏ các điểm di thường khi khảo sát nghiệm yếu va Pareto, ratnhiều các khái niệm về nghiệm chính thường hữu hiệu đã được giới thiệu, chẳng hạn

như theo nghĩa của Benson [9], Borwein [11], Geoffrion [25], Henig [33], hay chính

thường dương (46], v.v Chúng tôi quan sát rằng hau hết các điều kiện tối ưu đã có là

cho nghiệm yếu và rất ít những đóng góp có liên quan đến các nghiệm chính thường

Hơn nữa, trong một số bài báo, chẳng hạn như [49|61||64)|65/88||§9| điều kiện cấp

4

cao đều được cho ở dạng quy tắc nhân tử Fritz John, trong khi quy tắc nhân tử KKT

lại hữu dụng hơn, vì nó rõ ràng chứa thông tin của ánh xạ mục tiêu, ngay cả khi quy

tắc này gặp tính chất tới hạn của ràng buộc (khi nhân tử ứng với ánh xạ mục tiêu biếnmất) Một quan sát khác là trong vài đóng góp đã được dé cập, quy tắc nhân tử đều

ở dạng cổ điển, tức ở về phải bằng 0, không phải là biểu diễn supremum (trường hợp

tổng quát hơn), nó thậm chí có thể âm như đã được chỉ rõ hơn trong luận án này (xem

Ví dụ 4.4) Chúng tôi chia nghiên cứu thành hai trường hợp với nón thứ tự D của ánh

xạ ràng buộc là đặc hoặc không đặc Kĩ thuật được dùng cho mỗi trường hợp là khác

nhau Cụ thể, điều kiện định tính ràng buộc được áp dụng cho trường hợp intD 4 Ø là

kiểu của Mangasarian-Fromovitz (xem Định lý 4.14.5) va cho trường hợp intD = 0

là kiểu của Kurcyusz-Robinson-Zowe (xem Dinh lý l4.6) Tập hợp các hướng tới hạn

cũng được thay đổi phù hợp Bên cạnh những điểm mạnh trên, có thể thấy quy tắcnhân tử thu được là hoàn toàn mới hoặc cải tiến các kết quả đã có bởi vì, trong điềukiện tối ưu dạng gốc dẫn đến quy tắc nhân tử, chúng tôi chứng minh được sự phântách (xem đẳng thức và (4.9)) là mạnh hơn kết quả thông thường đã có Điều này

là nhờ đạo hàm của ánh xạ mục tiêu và ràng buộc được tính toán độc lập, trong khi

ở rất nhiều kết quả như [49|l611/65||88||89] đạo hàm của các ánh xạ này lại được tính

theo một cặp Đặc biệt, cấp của đạo hàm tựa tiếp liên của ánh xạ mục tiêu và ràng

buộc là khác nhau và không phụ thuộc lẫn nhau.

Phân tích độ nhạy không chỉ thú vị về mặt lý thuyết mà còn quan trọng về mặt thực

tế trong tối ưu hóa và tính ứng dụng của nó đã hấp dẫn rất nhiều nhà khoa học, chẳng

hạn như và các trích dẫn trong

đó Phân tích độ nhạy cung cấp thông tin định lượng về ánh xạ nghiệm của bài toán tối uu vectơ có tham số Khi ánh xạ nhiễu là không trơn, một lượng lớn các đạo hàm

theo hướng và đối đạo hàm được sử dụng trong phân tích độ nhạy

Với hướng tiếp cận trong không gian đối ngẫu (xem [67]|68]), nhiều tác giả đã sửdụng dưới vi phân/ đối đạo hàm trong tối ưu có tham số Một trong những công trình

đầu tiên là đóng góp của Levy và Mordukhovich [59] Ở đó các tác giả đã khảo sát

họ tham số của các bài toán có ràng buộc và đưa ra phân tích độ nhạy địa phương cho

ánh xạ đa trị nghiệm Cùng ý tưởng với chủ đề này là nghiên cứu của Huy và các đồng

tác giả B7] với công thức ước lượng và tính toán đối đạo hàm thông thường và hỗn

hợp cho ánh xa giá trị tối ưu và nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu có tham số Yao và

Yên áp dụng đối đạo hàm cho một số tính toán liên quan đến bất phương trìnhbiến phân affine có tham số Nam cung cấp chính xác công thức cho biểu diễntường minh của đối đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến và tính toán đối đạo hàm choánh xạ nghiệm của bất phương trình biến phân có tham số Chương cho côngthức để tính toán/ ước lượng đạo hàm của ánh xạ đa trị hữu hiệu trong tối ưu vectơ

có tham số Gần đây, Cánovas cùng các đồng tác giả đã nghiên cứu tính ổn địnhLipschitz mạnh cho tập chấp nhận được và ánh xạ giá trị Pareto bằng cách tính dưới

vi phân của các ánh xạ đa trị cho bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Những nghiêncứu này chỉ xử lý cho phân tích độ nhạy cấp một

Với cùng cảm hứng nhưng khác cách tiếp cận, nhiều tác giả đã tập trung vào phân

tích độ nhạy sử dụng đạo hàm theo hướng cấp một Cụ thể, Tanino đã tìm được

nhiều mối quan hệ hấp dẫn giữa đạo hàm tiếp liên cấp một của ánh xạ nhiễu với một

số ánh xạ đa trị Kể từ đó, một số tác giả đã khảo sát tính khả vi của ánh xạ đa trị nhiễu

(xem và các trích dẫn trong đó) Các kết quả trong độ nhạy của nghiệm

cho giải tích biến phân có thể được tìm thấy trong công trình của Dafermos [18], Levy (58Ì) Shapiro 1 và Mordukhovich [68Ì Robinson có lẽ là người đầu

tiên nghiên cứu về phương trình suy rộng có tham số, một mô hình tổng quát cho

nhiều bài toán tối ưu như bat phương trình biến phân, bài toán cân bằng, toán kinh tế,

v.v Một số các phát triển về phân tích độ nhạy cho nghiệm của phương trình suy

rộng được tiếp tục bởi Levy và Rockafellar (60) Levy và Mordukhovich [59] Huy

và Lee [34|/36] Tat cả các công trình được dé cập trên đây chỉ phân tích độ nhạy cấp

một Tuy nhiên, có rất ít những đóng góp cho phân tích độ nhạy cấp cao Để khảo sát

cho trường hợp cấp cao, nhiều đạo hàm suy rộng cấp cao đã được đề xuất với nhiều

ứng dụng trong tối ưu Sun và Li thiết lập đạo hàm Studniarski cấp cao cho ánh

xạ nhiễu trong tối ưu vectơ Sử dụng tập biến phân cấp cao, Anh và Khánh [3] nghiêncứu độ nhạy cho ánh xạ nhiễu và nhiễu yếu trong tối ưu vectơ Theo những gi chúng

tôi biết, chỉ có một số ít bài báo phân tích độ nhạy cấp cao cho phương trình suy rộng.

Với động lực từ những lý luận trên, trong luận án này chúng tôi dé xuất khái niệm

đạo hàm đa trị theo hướng Hadamard cấp cao Đạo hàm này là sự mở rộng tự nhiên từ

đạo hàm theo hướng Hadamard cấp cao cho các hàm đơn trị, xem chi tiết ở [26||40].

Chúng tôi thiết lập phép toán cho đạo hàm này để đảm bảo tính khả dụng trong thựchành Hầu hết các phép toán phổ biến đều được nghiên cứu, với giả thiết chính mà

chúng tôi sử dụng là dưới chính quy metric theo hướng Hướng tiếp cận được phát huy

từ công trình của Aubin (71, Durea va Strugariu (21) Tiếp theo, chúng tôi tan dụng

đạo hàm này cùng với đạo hàm Studniarski để thu được định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa

trị nhờ có tính chính quy metric theo hướng Robinson Khi đó, bằng cách sử dụng ánh

xạ hiệu cùng với định lý này, tính chất của đạo hàm theo hướng Hadamard cấp cao

của ánh xạ hữu hiệu có nhiễu của bài toán cân bằng vectơ có tham số đã nhận được.Chúng tôi cũng dé cập đến ánh xạ nghiệm của phương trình suy rộng có tham số ở

dạng tổng quát và ứng dụng của nó trong các mô hình cụ thể.

Chương 3

Kiến thức chuẩn bị

Để phục vụ cho mục đích nghiên cứu, chúng tôi sử dụng các công cụ thuần túy nhưgiải tích lồi, giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu, cùng với các phương pháp nghiêncứu truyền thống là phân tích, tổng hợp, đánh giá và so sánh Chúng tôi tổng hợp các

kiến thức về đạo hàm suy rộng và điều kiện tối ưu thông qua các sách chuyên khảo

như (7l45|67J75Ì phân tích ý nghĩa và mối quan hệ của các nghiệm chính thường qua

các tài liệu như [9|l11||25|J32||33|46], hiểu được vai trò của điều kiện định tính ràng

buộc ở [29|53] Chúng tôi cũng tham khảo các kết quả đầu tiên về độ nhạy nghiệm như và các kết quả gần đây như (12|Í14/L15|3436||69| 81] Bên

cạnh đó, chúng tôi thiết lập các ví dụ để minh họa cho các định lý, so sánh các kết quả

đã có với các kết quả mới của nhóm, đồng thời phân tích điểm mạnh, điểm yếu củacác kết quả đạt được

Ngoài ra, chúng tôi cũng cần một số kiến thức chuẩn bị sau đây Cho X,Y,Z là các

không gian Banach.

Định nghĩa 3.1 Giả sử C là tập con bat kì của X.

(i) C được gọi là nón nếu với mọi A > 0 vac EC thì Âc EC

(ii) C được gọi là đặc (solid) nếu intC # 0.

(iii) Nón C được gọi là có đỉnh (pointed) nếu CM (—C) = {0}.

Tiếp theo, với M C X, ta kí hiệu

« X* là không gian đối ngẫu của X;

* khoảng cách từ x đến M: dist(x,M) := inf{||x — ul] | u M}:

* các bao nón của M:

coneM := {Âm |m € M,^ > 0}:

cone,M := {Âm |m€ M,À >0};

* nón lỗi sinh bởi xị, ,x„ € X:

poS{XI, ,X„ } = {Aix + +Am%m | 1; , Âm € Re};

* hàm tựa của M: o(f,M) := sup,ey (6.x), với £ € X”.

3.1 Các khái niệm mở rộng của nón

Định nghĩa 3.2 (Các khái niệm mở rộng của nón) Gia sử C là nón trong Y và Z là

(iii) Giả sử F là tập lồi và C là nón lôi F được gọi là đáy (base) của C néu

Mệnh đề 3.1 Cho C là nón lôi trong Y Khi đó,

(i) ( (41}) C* AO nếu va chỉ nêu C có đáy.

Giả thiết thêm 2 là đáy của C Hai tính chất sau thoả mãn:

(ii) ([28]) CÊ(Z2) # 0, và C4(B) CC* Đặc biệt, khi B bị chặn, intC* = C4(B).

(iii) ( {1 1}) intCe(2) là nón lôi có đỉnh và C\ {0} C intCe(B) với mọi 0 < € < 6.

10

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu tính chất đối ngẫu compact của nón.

Định nghĩa 3.3 Ta nói D C Z là nón đương compact (xem [92]) nêu có một tậpcompact M C Z sao cho

D.€ tế €Z” | | || < supe (Z" 52)

}-Các tính chất cơ bản của nón dương compact có thể được tham khảo trong [2092].

3.2 Anh xạ đa trị

Cho ánh xa đa trị F : X = Y và C CY là một nón lồi đóng sinh ra một thứ tự trên Y

như sau, với moi yj, 2 € Y,

yỊ Sc y2 => ÿ2T— yị EC

Miễn hữu hiệu và do thị của F được định nghĩa lần lượt là

domF := {x€X|F(x) #0} và gphF := {(x,y) eX xY¥|yeF(x)}.

Ánh xa đa trị F† : X = Y được định nghĩa là F+(x) := F(x) +C Ta cũng địnhnghĩa F(M) := Usey F(x) Ánh xạ ngược (inverse map) của F là ánh xạ đa trị F~! :

Y 3X xác định bởi F~!(y) = {x €X | y € F(x)}

Định nghĩa 3.4 (Giới han da trị theo nghĩa Painlevé-Kuratowski, xem (7¡1451/75])

Cho ®: X Y vax € X Giới hạn ngoài và trong (outer and inner limits) của ® là

Limsup ®(x) := {y € Y | dx, > x, dyy € P(x), vx > YF,

Định nghĩa 3.5 Cho ® : X = Y, (x,y) € gph®.

(i) ([70}) ® được gọi là compact tại X nêu với mỗi dãy x, + X, mọi dãy y„ € ®(x„)

đều có dãy con hội tụ

(ii) ( (71) ® được gọi là gid lôi (pseudo-convex) tai (x,y) nếu

gphF C (x,y) + T(gphF, (x,y)).

Định nghĩa 3.6 (Tinh liên tục Lipschitz) Cho ® : X = Y, (X,¥) € gph®, u € X, va

số nguyên k > 1

() (xem (7) ® được gọi là twa Lipschitz (Lipschitz-like/ having an Aubin property)

tai (x,y) nếu ton tại lận cận U của *, V của ÿ, và L > 0 sao cho, với mọi x,x’ € U,

®(x)nV € P(x’) +L||x— x ||clBy.

(ii) (xem [56j) ® được là tua ổn định Holder (pseudo-Hölder calm) cấp k tại (x,y)

nếu tôn tại lân cận U của xX, V của y, và L > 0 sao cho, với mọi x € U,

®(x)nV Cÿ~+L||x — 3||#elBy (3.1)

Cho n < k Khi đó, tính tựa ổn định Holder cấp k bao hàm tính tựa ổn định Hölder cấp n Khi k = 1, tính chat này gọi là tựa ổn định.

Lưu ý rằng, tính tựa Lipschitz và tính tựa ổn định không có mối quan hệ bao hàm

Ví dụ dưới đây sẽ minh họa cho điều đó

Ví dụ 3.1.

(i) Cho #' : R > R xác định bởi

{x"}, nếuxz#0,{0;1}, nếux=0,

với m € Ñ cố định Ta có thể kiểm tra được rằng F tựa ổn định Holder cấp m tại

(0; 1), nhưng không tựa Lipschitz tại điểm đó.

(ii) Cho Ƒ :]R + R thỏa mãn F(x) = R Vì F là hàm hằng nên hiển nhiên ta có

F tựa Lipschitz tại mọi điểm, tuy nhiên lại không ổn định tại bất kì điểm nào.

Thật vậy, với mỗi € > 0 và L > 0, ta có điểm x = X+ 5 thỏa mãn

_ ¬ ca €) _

F(x) (¥+ By) = [ÿ—£;y+e]| Z IP—s:7+5] =y+L||x—*||Bx.

với moi (x,y) € R?

Ta đã biết trong đơn tri, một ham Lipschitz địa phương tại một điểm thì liên tục tại

điểm đó Tuy nhiên trong đa trị, tính chất này chỉ được bảo toàn với khái niệm nửa

liên tục dưới.

Định nghĩa 3.7 Cho ánh xa đa trị F : X = Y vax € domF.

(i) F được gọi là nửa liên tục trên (upper semi-continuity) nếu với mọi tập mở

V CY thoả F(x) CV, tồn tại lân cận U của ¥ sao cho F(x) C V với mọi x €

UNdomF.

(i) F được gọi là mửa liên tục dưới (lower semi-continuity) nếu với mọi tập mở

V CY thoả F(x) NV #0, tôn tai lân cận U của X sao cho F(x) NV # 0 với mọi

x€UNdomF.

Mệnh đề 3.2 Cho ánh xa đa trị F : X = Y và (x.y) € gphF Nếu F tựa Lipschitz tại

(x,y) thì F nủa liên tục dưới tại 3.

Chứng minh Lấy y € Y, € > 0 thoả F(x) N By(y,€) # 0, cần chỉ ra ổ > 0 sao cho F(x)n By(y,e) # 0, với mọi x € By(X,5) Vì F tua Lipschitz tại (¥,y) nên t6n tại

L,r > 0 sao cho

y€F(s)nBy(y,r) C F(x) +L||x —x||By, Vx € Bx (,r).

13

Suy ra đ(ÿ,F(x)) < L||x —X||, với mỗi x € Bx(,r) Từ đây, theo bất dang thức tam

Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng tính tựa Lipschitz trong Mệnh đẻ|3.2|không thể thay thế

bởi tính ổn định Hölder, và kết luận của Mệnh đẻ|3.2|là không đúng cho tính nửa liêntục trên.

với m € Ñ cố định Ta có thể kiểm tra được rằng F tựa ổn định Holder cấp m tại

(0; 1), nhưng không nửa liên tục dưới tại 0.

(ii) Cho Ƒ : R — R xác định bởi

với mỗi xị,xa € £Bx; tuy nhiên lại không nửa liên tục trên tại 0, thật vậy, chon

V = (-1;1), với mọi U = (—6; 6), chọn 0 < x < min{1, 5} thì

F(x) = {0,1/x} Z (—1;1).

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu tính dưới chính quy metric theo hướng kiểu Holder

Định nghĩa 3.8 Cho ®: X = Y, (x,y) € gph®, € X, và k > 1 ® được gọi là dưới

chính quy metric Hélder theo hướng u cấp k tại (x,y) néu tồn tại œ > 0, r > 0, và lân

cận U của x sao cho, với mỗi / € (0,r) vav € By(u,r) v6ix+tv € U,

1

dist(X+£v,®~!(ÿ)) < œdist(ÿ,®(X+£v))E.

Tính chất này cấp m bao hàm mọi tính chất cấp n > m (chiều ngược lại là không đúng như được chi ra ở ví dụ tiếp theo) Nếu tính chất thỏa mãn với mọi u € X, ta

sẽ bỏ đi “wu” trong định nghĩa Khi k = 1, tính chất này được gọi là dưới chính quy

metric (tuyến tính) Đây là sự giảm nhẹ của tính chính quy metric thông thường Các phiên bản chính quy này là khái niệm trong giải tích biến phân và tối ưu Một tính chất cơ bản liên hệ giữa tính chính quy mêtric và tính tựa Lipschitz đó là F chính

quy mêtric tại (x,y) € gph# nếu và chỉ nếu F~! tựa Lipschitz tại (y,x) € gphF~!

(xem định lý 1.49 trong [67|) Các định nghĩa này là một trong những khái niệm

quan trọng trong giải tích nhiều biến và tối ưu Về sự phát triển các phiên bản tuyến tính và phi tuyến của chính quy metric cùng với ứng dụng, người đọc có thể tham

với mọi v = (vị, va) € R? var € R, Khi đó, với r đủ nhỏ, với mọi / € (0,r) và y € rBx,

Một trong những kết quả cơ bản của giải tích hàm đó là Định lý ánh xạ mở Định

lý được phát biểu rằng nếu ánh xạ ƒ : X > Y là tuyến tính liên tục và toàn ánh, thì

0 €intƒ(Bx) Các nhà toán học Robinson và Ursescu đã mở rộng Định lý ánh xạ mở

cho ánh xa đa tri có đồ thị lỗi đóng với khái niệm phan trong dai sô sau.

Định nghĩa 3.9 ( [10}) Cho M là tập con của X Phần trong đại sé (algebraic

inte-rior) của tap M được định nghĩa là

Dinh lý 3.1 (Định lý ánh xa mở Robinson — Ursescu) (xem (10/[73|I87]) Cho F :

X = Y là ánh xa da trị loi, đóng Khi đó, với mỗi y € coreF (X) thì y € intF (By (x,r))

với moi x € F~'(y) var > 0

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số định lý tách, đây thực chất là các kết quả phátxuất từ định lý Hahn-Banach cổ điển trong giải tích hàm

Định lý 3.2 (Định lý tách) ( [10|91]) Cho A,B là hai tập lôi rời nhau trong X.

(i) Néu intA # 0 thi A và B tách được, nghĩa là ton tại x* € X* \ {0} sao cho

(x*,a) < (x*,b), với moia € A,b € B;

(ii) Néu intA # 0 và một trong hai tập A, B la tập compact thi A và B tách chặt,

nghĩa là x* € X* \ {0} sao cho (x*,a) < (x*,b), với mọi a € A,b € B.

3.3 Tập tiếp xúc

Định nghĩa 3.10 (Nón tiếp liên và nón pháp tuyến, xem [7||10|45)|67||68|/75]) Cho

M là tập con của X vax € M.

(i) Nón tiếp liên (contingent cone/ tangent cone/ Bouligand-Severi cone) của M tại

Ví dụ 3.4 Cho ƒ : R > R được cho bởi

Hình 3.3: Nón tiếp liên và nón pháp tuyến của Ä tại x

Từ định nghĩa, ta có ngay N(M,x) = —[T(M,x)]* Nếu M là tập lỗi và x € clM,

khi đó 7(M,x) = clcone(M —X), định nghĩa nón pháp tuyến có thể được viết lại bằng

ngôn ngữ giải tích lỗi như sau N(M,x) = {x* € X* | (x*,x— #) < 0,Vx € M} Nếu giả

thiết thêm 4 là nón, thì

N(M.3) = {x' € M* | @',x) =0}.

18

Thật vậy, vì M là nón, ta có thể chọn x = 2x, thì (x*,x) < 0 Do đó, (x*,x) < (x*,x) <0

với mọi x € M, nghĩa là x* € M* Hơn nữa, nếu ta chọn x = X/2 thì (x*,x) > 0, như

vậy (x*,x) =0.

Bây giờ, chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm về các tập tiếp xúc cấp cao

Định nghĩa 3.11 (Tập tiếp xuc cấp cao, xem [7 45]) Cho M C X,m > 2,X,MỊ, , M„_ ©

(i) Tap tiếp liên cắp m (mth-order contingent set) chỉ số y của M tại (X,u1, ,Um—1)

Ty!" (M,X,u1, -,Um—1) = {x €X | 3(„.rạ) { (0,0) : tary! > #,

AX, —>x:X+ tư + 3 th Tu tt Xn € M,Vn € NY}.

(ii) Tap kê cấp m (mth-order adjacent set) chi số y của M tại (X,u1, ,Um—1) là

T/"(M.5.ư w„—1) = {x €X | V(u,rạ) { (0,0) tary! > ,

Axy —>x:X+fy + + th Tu tt Xn 6 Mn € Ñ}.

(iii) Tap trong cấp m (mth-order interior set) chỉ số ÿ of M tại (X,u1, ,Um—1) là

TT/'(M,x,ư1, ,M„—1) = {x € X | Vƒu„,rạ) + (0,0) tin | >;

VxXn =>X:X f4 + - TT + Xn € M,Vn đủ lón}.

Lưu ý, không giống như ở và các bài báo có liên quan, trong luận án này

không chỉ hạn chế trong {0,1}, mà nhận giá trị trong Ry := [0,0] Với y= 1, T"

(hay Tn và I77") là tap tiếp liên cấp m (hay tập kể cấp m va tap trong cấp m, theo thứ

tự), xem [7] Khi y = 0, 7)" (hay 7ÿ” và 172") là tập tiếp liên tiệm cận cấp m (hay tập

kể tiệm cận cấp m và tập trong tiệm cận cấp m, theo thứ tự), xem (71) Khi 7= œ, các

tập 77 hoàn toàn mới và có thể hữu ích như trong ví dụ sau đây.

19

Ví dụ 3.5 Cho M = {(x,y) € R7 | y= x4}, các điểm X¥ = (0,0), „¡ = (1,0), và uw =

(0,0) Tinh toán trực tiếp ta được

trong đó về cuối cùng là lấy ø — 1 lần bao nón

(iii) Nếu M là tập lôi, thì 7?"(M,x,tạ, ,m—1) và IT7"(M,,ị, , tụ— 1) cũng là

các tập lồi Thật vay, lấy xị,x; € 77"(M,X,ưạ, ư„—¡) và A € (0; 1) bất kì,

khi đó với (/„,rạ) —> (0*,0?) :f„r„! — +, tồn tại (x1n,x2n) —> (x1,x2) sao cho

Xiu:=X+ » tui +0" Tp yịg € M,

n

Xn = X+ » tui TƯỜNG EM,

với mọi n € N Nhờ tính lồi của M, ta có

Chúng tôi có sự mở rộng sau đây lên trường hợp cấp cao cho kết quả của đã

có cho cấp 2.

Bổ dé 3.1 (Tính chất của 7?" cho tập lồi) Cho M C X là tập lồi, m > 2, x € M,

Uj,- ,Um—1 € X, và YE Ry Khi đó,

77"(M.5.ui ư„—1) + T(T(M,8),Ị) = 77"(M,%, tị tụ— 1).

Chứng minh Lấy y € 7/(M,x,u) Ton tại các day (/„,r„) | (0,0) với r„r„ ' > ÿ và

Yn — y sao cho ¥+ f„w + f„r„y„ € M với moin € Ñ Lấy x € M, œ,B >0, vak EN

thỏa mãn r„ạœ < 1 vat,B < 1 với mỗi n > k, ta đặt

7 yn, néeun<k,

Yn

Yn + Q@[B(x—-X)—(u+rnyn)], néun>k,day này hội tụ về y+ œ[(x — x) —u] Nhờ tính lồi của M, khi đó với mọi n > k,

(1 = rạœ)(X-+ thu + fnrayn) + r„Œ[X+f„B(x—*)} €M.

Mặt khác,

(1— r„)(X+ thu + fnrayn) + rn O[X + tB (x — 3)]

ty + tal nYn tn n QU — ty? Yn + thin B(x —X)

Bây giờ, ta đến với chiều ngược lại Vì T(T(M,x),u) là nón đóng, ta có 0 €

T (T(M,x),u) Như vậy,

Ty(M,X,u) C Ty (M,X,u) + T(T(M,3),w).

21

uy = (1,0), uz = (1, 1) Xét trường hợp m = 3, từ những tính toán trực tiếp, ta được

T(T(T(M.3),u\,uạ) = R? và T)3(M,X,u1,u2) = {(x1,x2) € RẺ | x2 > 2} Như vậy

T;3(M,X,u1,u) +7 (T(M,X),u1),u2) Z Ty (MX, uy, ua).

22

Chương 4

Nghiên cứu điều kiện tôi ưu

băng đạo hàm tựa tiếp liên

Trong chương này, chúng tôi đề xuất đạo hàm tựa tiếp liên cấp cao Đạo hàm này là

sự kết hợp của đạo hàm tiếp liên cấp cao và đạo hàm Studniarski Sự tồn tại và cácquy tắc tính toán của đạo hàm này sẽ được nghiên cứu chỉ tiết Sau đó, chúng tôi ápdụng vào hai bài toán tối ưu không trơn điển hình là:

* bài toán tối ưu da trị với ràng buộc tổng quát;

* bài toán tối uu vectơ với các ràng buộc đẳng thức và bat đẳng thức suy rộng.

Chúng tôi khảo sát phong phú các loại nghiệm: từ nghiệm hữu hiệu yếu, đến các

loại nghiệm chính thường như kiểu nghiệm dương, kiểu của Henig, kiểu của Borwein.

Với việc phân tích các hướng tới hạn cụ thể, chúng tôi đã sử dụng đạo hàm tựa tiếp

liên để đạt được các kết quả chính sau:

° bậc đạo hàm của ánh xạ mục tiêu và các ánh xạ ràng buộc là khác nhau;

23

« các điều kiện tối ưu có dạng quy tắc nhân tử KKT, đặc biệt có xuất hiện hiệu

ứng tựa bao hình cấp cao trong một số trường hợp đặc biệt;

« các điều kiện định tinh ràng buộc được khảo sát chỉ tiết;

* tính chính quy metric theo hướng kiểu Hölder được sử dung trong nghiên cứu

các trường hợp đẳng thức suy rộng

Các kết quả này được so sánh trực tiếp với các kết quả trước đây Chúng tôi đã cải tiến

và phát triển phần lớn các kết quả đã có về điều kiện tối ưu cấp cao Bên cạnh đó, các

ví dụ minh họa cũng được xây dựng để làm rõ hơn các kết quả đạt được.

4.1 Đạo hàm tựa tiếp liên và một số phép toán

Định nghĩa 4.1 (Đạo hàm tiếp liên và đạo ham Studniarski) Cho ® : X = Y, (X,ÿ) €

Với 7 = 1, Cy'@ là dao ham tiép liên thông thường, xem [7] Với y= 0, và m = 2,

C3@ là đạo hàm tiệm cận cắp hai, xem [71], và với m = 1 hay m > 2, Ci" được dùng

24