Ma trận trực giao và ma trận unita
Ma trận trực giao
Định nghĩa 1.1.1 Một ma trận A ∈ M n (R ) được gọi là ma trận trực giao nếu AA ⊤ = I n với A ⊤ là ma trận chuyển vị của A.
Mệnh đề 1.1.2 Giả sử A là ma trận thực vuông cấp n Khi đó
(i) A là ma trận trực giao khi và chỉ khi các véctơ hàng của A tạo thành một cơ sở trực chuẩn của R n với tích vô hướng Euclide.
(ii) A là ma trận trực giao khi và chỉ khi các véctơ cột của A tạo thành một cơ
3 sở trực giao của R n với tích vô hướng Euclide.
Chứng minh Ta sẽ chỉ chứng minh (i), vì (ii) được chứng minh tương tự Giả sử r 1 , , r n biểu thị các véctơ hàng của A Khi đó
Từ đây AA ⊤ = I khi và chỉ khi với mọi i, j = 1, , n, ta có
0 nếu i ̸= j. điều này tương đương r 1 , , r n là hệ trực giao.
Mệnh đề 1.1.3 Giả sử rằng A là một ma trận thực vuông cấp n Xét tích vô hướng Euclid thông thường trong không gian R n Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(i) A là ma trận trực giao.
(ii) Với mọi x ∈R n , ta có ∥Ax∥ = ∥x∥.
(iii) Với mọi u, v ∈R n , ta có Au • Av = u • v.
Chứng minh (i) ⇒ (ii): Giả sử rằng A là ma trận trực giao, tức là A ⊤ A = I. Khi đó với mọi x ∈R n , ta có
∥Ax∥ 2 = Ax • Ax = x ⊤ A ⊤ Ax = x ⊤ Ix = x ⊤ x = x • x = ∥x∥ 2
(ii) ⇒ (iii): Giả sử ∥Ax∥ = ∥x∥ với mọi x ∈R n Khi đó với mọi u, v ∈R n , ta có
(iii)⇒ (i): Giả sử Au • Av = u • v với mọi u, v ∈R n Vớii = 1, 2, 3, , nta đặt các véctơ: e i = (0, , 1, 0) T ,
(phần tử thứ i bằng 1 và các phần tử còn lại bằng 0)
⟨e i , e j ⟩ = ⟨Ae i , Ae j ⟩ = ⟨r i , r j ⟩, ở đây r k là véctơ cột thứ k của ma trận A.
Mệnh đề 1.1.4 Giả sử B = {u 1 , , u n } và C = {v 1 , , v n } là hai cơ sở trực chuẩn của không gian véctơ thực V Khi đó ma trận chuyển cơ sở P từ C sang
B là ma trận trực giao.
Chứng minh Với mọi u ∈ V, ta có thể biểu diễn u = β 1 u 1 + + β n u n = γ 1 v 1 + + γ n v n , trong đó β 1 , , β n , γ 1 , , γ n ∈R Khi đó
Theo đó, trong R n với chuẩn Euclide, ta có ∥[u] B ∥ = ∥[u] C ∥, v.v ∥P [u] C ∥ = ∥[u] C ∥ cho mọi u ∈ V Do đó ∥P x∥ = ∥x∥ giữ cho mọi x ∈ R n Bây giờ, theo Mệnh đề 1.1.12(ii) thì P là trực giao. Định lý 1.1.5 Nếu P và Q là hai ma trận trực giao, thì P Q cũng là ma trận trực giao.
Chứng minh Vì P và Q khả nghịch nên P Q cũng khả nghịch và
Do đó P Q là ma trận khả nghịch.
Ma trận unita
Định nghĩa 1.1.6 Nếu u = (u 1 , u 2 , , u n ) và v = (v 1 , v 2 , , v n ) là các véctơ trong C n thì tích vô hướng Euclid phức của u và v (còn gọi là tích trong phức) được ký hiệu là u • v và được định nghĩa là u • v = u ⊤ v ¯ = ¯ v ⊤ u = u 1 ¯ v 1 + u 2 v ¯ 2 + ã ã ã + u n v ¯ n
Chúng tôi cũng xác định chuẩn Euclid trên C n là
|v 1 | 2 + |v 2 | 2 + ã ã ã + |v n | 2 Định nghĩa 1.1.7 Nếu A = [a ij ] là một ma trận thuộc M m,n (C ) , ma trận chuyển vị liên hợp A ∗ của A được định nghĩa là
, ở đây A = [a ij ] ∈ M m,n là ma trận nhận được khi lấy liên hợp các phần tử của ma trận A.
Nhận xét 1.1.8 Vì với mọi A ∈ M m,n (R ) ⊂ M m,n ( C ) thì A = A nên A ∗ = A ⊤
Từ tính chất của ma trận chuyển vị và số phức liên hợp, ta có thể dễ dàng suy ra các tính chất sau:
Mệnh đề 1.1.9 Cho U, V là các ma trận vuông và k ∈C Khi đó
Mệnh đề 1.1.10 Cho U ∈ M n là ma trận unita Khi đó các khẳng định sau là đúng:
(ii) |λ| = 1 với mọi giá trị riêng λ của U.
(iii) Các véctơ cột của U tạo thành cơ sở trực giao cho C n
(ii) Giả sử x là vectơ riêng đơn vị của U liên kết với trị riêng λ Khi đó từ (i),
(iii) Giả sử rẳng u i là cột thứi củaU, i = 1, , n Khi đóU ∗ U = I tương đương với
Mệnh đề 1.1.11 Giả sử A là ma trận phức vuông cấp n Khi đó
(i) A là ma trận unita khi và chỉ khi các véctơ hàng của A tạo thành một cơ sở trực chuẩn của C n
(ii) A là ma trận unita khi và chỉ khi các véctơ cột của A tạo thành một cơ sở trực giao của C n
Chứng minh Ta sẽ chỉ chứng minh (i), vì (ii) được chứng minh tương tự Giả sử r 1 , , r n biểu thị các véctơ hàng của A Khi đó
Từ đây AA ∗ = I khi và chỉ khi với mọi i, j = 1, , n, ta có
0 nếu i ̸= j, điều này tương đương r 1 , , r n là hệ trực giao.
Mệnh đề 1.1.12 Giả sử rằng A là một ma trận phức vuông cấp n Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(ii) Với mọi x ∈C n , ta có ∥Ax∥ = ∥x∥.
(iii) Với mọi u, v ∈C n , ta có Au • Av = u • v.
Chứng minh (i) ⇒ (ii): Suy ra từ Mệnh đề 1.1.10.
(ii) ⇒ (iii): Giả sử ∥Ax∥ = ∥x∥ với mọi x ∈C n Khi đó với mọi u, v ∈C n , ta có
(iii)⇒ (i): Giả sử Au • Av = u • v với mọi u, v ∈C n Vớii = 1, 2, 3, , nta đặt các véctơ: e i = (0, , 1, 0) T , (phần tử thứ i bằng 1 và các phần tử còn lại bằng 0)
⟨e i , e j ⟩ = ⟨Ae i , Ae j ⟩ = ⟨r i , r j ⟩, ở đây r k là véctơ cột thứ k của ma trận A.
= I. Định lý 1.1.13 Tích của hai ma trận unita là unita.
Chứng minh Giả sử Q và S là unita nên Q −1 = Q ∗ và S −1 = S ∗ Khi đó(QS) ∗ = S ∗ Q ∗ = S −1 Q −1 = (QS) −1 nên QS là unita.
Chéo hóa các ma trận trên trường số thực và trường số phức
Chéo hóa trực giao ma trận thực
Định nghĩa 1.2.1 Cho A là một ma trận thực vuông cấp n Ma trận A được gọi là chéo hóa trực giao được khi tồn tại một ma trận trực giao P sao cho
P −1 AP = P ⊤ AP là đường chéo. Định lý 1.2.2 Cho A là ma trận thực vuông cấp n Khi đó các điều kiện sau là tương đương: i) A có n véctơ riêng trực chuẩn. ii) A chéo hóa trực giao được. iii) A đối xứng.
Chứng minh (i) ⇔ (ii) Cho x 1 , x 2 , , x n là các véctơ riêng trực chuẩn của A. Khi đó P = [x 1 , x 2 , , x n ] là trực giao, và P T AP là ma trận đường chéo.
Ngược lại, cho P T AP là đường chéo trong đóP là trực giao Nếu x 1 , x 2 , , x n là các cột của P thì {x 1 , x 2 , , x n } là cơ sở trực chuẩn của R n gồm các véctơ riêng của A.
(ii) ⇒ (iii) Nếu A chéo hóa trực giao được thì tồn tại ma trận trực giao P sao cho A = P ⊤ DP Mà D ⊤ = D, do đó A ⊤ = P ⊤ D ⊤ (P ⊤ ) ⊤ = P ⊤ DP = A.
Nếu D = 0 thì A là phản đối xứng.
(iii) ⇒ (ii) Nếu A là ma trận đối xứng, chúng ta tiến hành quy nạp theo n Nếu n = 1, A đã là đường chéo Nếu n > 1, cho (n − 1) × (n − 1) ma trận đối xứng. Cho λ 1 là giá trị riêng(thực) của A, và Ax 1 = λ 1 x 1 trong đó ∥x 1 ∥ = 1 Sử dụng thuật toán Gram-Schmidt để tìm cơ sở trực chuẩn {x 1 , x 2 , , x n } của R n Cho
, do đó P 1 là ma trận trực giao và P 1 ⊤ AP 1 =
Mà P 1 ⊤ AP 1 là đối xứng do đó B = 0 và A 1 đối xứng Khi đó, bằng quy nạp,tồn tại một (n − 1) × (n − 1) ma trận trực giao Q sao choQ ⊤ A 1 Q = D 1 là đường chéo Ta thấy rằng P 2 =
là đường chéo Vì P 1 P 2 trực giao nên A chéo hóa trực giao được.
Mệnh đề 1.2.3 Nếu A là ma trận đối xứng thực thì
(Ax) • y = x • (Ay) với mọi cột x và y trong R n
Chứng minh Ta có: x • y = x ⊤ y với mọi cột x và y Vì A ⊤ = A nên
(Ax) • y = (Ax) ⊤ y = x ⊤ A ⊤ y = x ⊤ Ay = x • (Ay) Định lý 1.2.4 Nếu A là ma trận đối xứng thực thì các véctơ riêng của A tương ứng với các giá trị riêng phân biệt là trực giao với nhau.
Chứng minh Cho Ax = λx và Ay = ày, trong đú λ ̸= à Ta cú λ (x • y) = (λx) • y = (Ax) • y = x • (Ay) = x • (ày) = à (x • y) do đú (λ − à) (x • y) = 0 và x • y = 0 vỡ λ ̸= à. Định lý 1.2.5 Nếu A là ma trận thực vuông cấp n với n giá trị riêng thực thì tồn tại ma trận trực giao P sao cho P ⊤ AP là tam giác trên.
Chứng minh Nếu Ax 1 = λ 1 x 1 trong đó ∥x 1 ∥ = 1 cho {x 1 , x 2 , , x n } là cơ sở trực chuẩn của R n và P 1 = x 1 x 2 ã ã ã x n
Khi đó P 1 là trực giao và P 1 ⊤ AP 1 =
ở dạng khối Bằng quy nạp, cho Q ⊤ A 1 Q = T 1 là tam giác trên trong đó Qcó kích thước (n − 1) × (n − 1)và trực giao Khi đó P 2 =
trực giao, do đó P = P 1 P 2 cũng trực giao và P ⊤ AP =
Chéo hóa unita ma trận phức
Định lý 1.2.6 NếuA là ma trận phức vuông bất kì thì tồn tại hai ma trận phức tam giác trên U và ma trận unita S sao cho A = SU S ∗ = SU S −1
Chứng minh Choq 1 là một véctơ riêng củaA, ta có thể giả sử có độ dài đơn vị. Bằng thuật toán Gram-Schmidt, ta có thể chọnq i ′ sao cho{q 1 ′ , q 2 ′ , , q n ′ }là một cơ sở trực chuẩn Đặt[q 1 ′ q 2 ′ ã ã ã q n ′ ]thỡ Q 0 là unita vàQ ∗ 0 AQ 0 =
với ma trận A 1 cấp (n − 1) × (n − 1) Tương tự, chúng ta tìm được ma trận Q ∗ 1 A 1 Q 1 =
Vì theo Định lí 2 thì S 1 là unita nên tiếp tục cách này, đặt S k = S k−1
thì ta có U = S n ∗ AS n là tam giác trên Cho S = S n ta có A = SU S ∗ Định nghĩa 1.2.7 Ma trận A được gọi là chuẩn tắc nếu AA ∗ = A ∗ A. Định lý 1.2.8 Ma trận A chéo hóa được bởi ma trận unita khi và chỉ khi A là chuẩn tắc Nói cách khác: i) Nếu A là chuẩn tắc thì tồn tại ma trận unitaS sao cho S ∗ AS là đường chéo. ii) Nếu tồn tại ma trận unita S sao cho S ∗ AS là đường chéo thì A là chuẩn tắc.
Chứng minh Giả sử A là chuẩn tắc Theo Định lí 1.2.6 tồn tại ma trận unita S và ma trận tam giác trên U sao cho A = SU S ∗ Khi đó
U U ∗ = S ∗ AS (S ∗ AS) ∗ = S ∗ ASS ∗ A ∗ S = S ∗ AA ∗ S = S ∗ A ∗ AS = S ∗ A ∗ SS ∗ AS = U ∗ U.
Gọi u ij là phần tử nằm ở hàng i cột j của U Khi đó phần tử trên dòng 1 cột 1 của U ∗ U là u 11 u 11 = |u 11 | 2 và phần tử (1, 1) của U ∗ U là u 11 u 11 + u 12 u 12 + ã ã ã + u 1n u 1n = |u 11 | 2 + |u 12 | 2 + ã ã ã + |u 1n | 2
Suy ra |u 12 | 2 + ã ã ã + |u 1n | 2 = 0 hay u 12 = u 13 = ã ã ã = u 1n = 0 Tương tự, u 2j = 0 với mọi j > 2 Cứ tiếp tục quá trình thì U phải là đường chéo Vì vậy, ta chỉ ra rằng nếu Alà chuẩn tắc thì nó có thể chéo hóa được bằng một ma trận unita U. Bây giờ giả sử A là ma trận bất kì và tồn tại ma trận unita S sao cho
S ∗ AS = D là đường chéo Do DD ∗ = D ∗ D nên
AA ∗ = SDS ∗ (SDS ∗ ) ∗ = SDS ∗ SD ∗ S ∗ = SDD ∗ S ∗ = SD ∗ DS ∗ = SD ∗ S ∗ SDS ∗ = A ∗ A.
Vậy A là chuẩn tắc. Định lý 1.2.9 Nếu A là ma trận thực vuông bất kì thì tồn tại ma trận tam giác thực U khối 2 × 2 và ma trận thực unitaS sao cho A = SU ⊤ S = SU S −1 Các giá trị riêng của mỗi khối 2 × 2 trên đường chéo là một cặp số phức liên hợp của các giá trị riêng của A.
Chứng minh Chứng minh tương tự như Định lí 1.2.6 Nếu A có giá trị riêng thực thì ta cho q 1 là véctơ riêng thực và tiến hành như Định lí 1.2.6 Nếu A không có giá trị riêng thực thì ta cho a + bi là giá trị riêng và u + iv là một véctơ riêng khác không với u, v là số thực Khi đó
Au + iAv = A (u + iv) = (a + bi) (u + iv) = au − bv + i (bu + av)
So sánh phần thực và phần ảo, ta thấy Au = au − bv và Av = bu + av Chú ý là u ̸= 0 vì nếu u = 0 thì ta có 0 = Au = au − bv = −bv nên v = 0 vì b ̸= 0 Tương tự v ̸= 0 Ta biết u và v là độc lập tuyến tính vì nếu v = cu thì Au = au − bcu = (a − bc) u Do đó A sẽ có giá trị riêng thực a − bc Đặt {q 1 , q 2 } là cơ sở trực chuẩn cho không gian con được tạo bởi u và v, chẳng hạn q 1 = u/ ∥u∥ và q 2 = (v − < v, q 1 > q 1 ) / ∥v− < v, q 1 > q 1 ∥ Mở rộng đến cơ sở trực chuẩn{q 1 , q 2 , , q n }củaR n ĐặtQ 0 = [q 1 q 2 ã ã ã q n ]thỡQ 0 là unita thực vàQ ∗ 0 AQ 0 =
với ma trận B 1 có cấp 2 × 2, ma trận A 1 có cấp (n − 2) × (n − 2) và ma trậnC 1 có cấp 2× (n − 2) Tiếp tục chứng minh định lí 2 Không khó để thấy rằng định thức của ma trận tam giác khối là tích các định thức của các đường chéo khối và do đó đa thức đặc trưng của U là tích của các đa thức đặc trưng của các đường chéo khối của nó Vì U và A có cùng đa thức đặc trưng nên mỗi giá trị riêng của đường chéo khối của U là giá trị riêng của A Giá trị riêng của ma trận thực có dạng cặp liên hợp phức và các khối 2 × 2 tương ứng Nếu tất cả các giá trị riêng của A là thực thì kết quả U sẽ là tam giác trên.
Phân tích giá trị kỳ dị của ma trận
Mệnh đề 1.3.1 Với mỗi ma trận A ∈ M m,n (R ) bất kỳ, mọi giá trị riêng của ma trận A ⊤ A đều không âm.
Chứng minh Gọi λ là giá trị riêng của ma trận A ⊤ A và v là véctơ riêng tương ứng Ta có A ⊤ A − λI v = 0 Suy ra A ⊤ A.v = λIv = λv Do đó
Mệnh đề đã được chứng minh xong.
Mệnh đề 1.3.2 (Về sự tồn tại SVD của ma trận thực ) Giả sử A ∈ M m,n (R ) Khi đó tồn tại các ma trận trực giao U = [u 1 u m ] ∈ M m,m (R ), V = [v 1 v n ] ∈
Chứng minh Gọi λ 1 , , λ p là các giá trị riêng của ma trận A ⊤ A Theo 1.3.1, λ i ≥ 0 nên sẽ tồn tại r sao cho λ 1 ≥ ≥ λ r > 0 với mọi i > r.
Gọiv j , j = 1, r,là các véctơ riêng tương ứng vớiλ 1 , , λ r > 0của ma trậnA ⊤ A. Lấy v j , j = r + 1, n, là cơ sở trực chuẩn của ⟨v 1 , , v r ⟩ ⊥ Đặt σ i = √ λ i , i = 1, r và σ i = √ λ i , i = 1, r Lấy u r+1 , , u m là cơ sở trực chuẩn của ⟨u 1 , , u r ⟩ ⊥ Đặt U = [u 1 u m ] và V = [v 1 v n ] Khi đó
u ⊤ 1 Av 1 u ⊤ 1 Av 2 u ⊤ 1 Av n u ⊤ 2 Av 1 u ⊤ 2 Av 2 u ⊤ 2 Av n
0, các trường hợp còn lại.
(iv) Trường hợp i > r ≥ j : vì v j ∈ null(A) nên Av j = 0 Suy ra u ⊤ i Av j = 0.
Do đó U ⊤ AV = Σ Suy ra A = UΣV ⊤ Mệnh đề được chứng minh xong.
Mệnh đề 1.3.3 (Sự tồn tại SVD cho ma trận phức) Giả sử A ∈ M m,n (C ) và p = min {m, n} Khi đó tồn tại một ma trận Σ = (σ ij ) ∈ M m,n (C ) thõa mãn: σ ij = 0 nếu i ̸= j và σ 11 ≥ σ 22 ≥ ≥ σ pp ≥ 0 và hai ma trận unita U ∈ M m,m (C ) và V ∈ M n,n (C ) sao cho A = U ΣV ∗
Chứng minh Từ A = U ΣV ∗ , ta có AV = UΣ Suy ra
Do đó Av j = σ j u j, vớij = 1, r Tương tự, từ A = U ΣV ∗ , ta có A ∗ U = V Σ Suy ra
Ví dụ 1.3.4 Tìm một khai triển SVD của ma trận
= 0 ta được các giá trị riêng của ma trậnA ⊤ A là λ 1 = 6, λ 2 = 1, λ 3 = 0 Với mỗi giá trị riêng λ 1 , λ 2 , λ 3 ta tìm được các véctơ riêng tương ứng v 1 =
Các giá trị kì dị của ma trận A là σ 1 = √
6, σ 2 = 1, σ 3 = 0 Từ đó ta được ma trận Σ =
Từ u i = σ 1 i Av i , ta tìm được u 1 =
Vậy ta có một SVD của ma trận A là
Định lý 1.3.5 Giả sử A ∈ M m,n (R ) có sự phân tích SVD Khi đó
(i) null(A) = {x ∈ M : Ax = 0} = ⟨v r+1 , ã ã ã , v n ⟩, khụng gian vecto con sinh bởi v r+1 , ã ã ã , v n
Chứng minh (i) Từ A = UΣV ⊤ ta có AV = UΣ Do đó
Suy ra v j ∈ null(A) với mọi j = r + 1, ã ã ã , n Vậy ⟨v r+1 , ã ã ã , v n ⟩ ⊆ null(A) Ngược lại, lấy x ∈ null(A) bất kỳ Khi đó Ax = 0 Suy ra U ΣV ⊤ x = 0 Do đó ΣV ⊤ x = 0. Đặt y = V ⊤ x ∈ M m,1 (R ) Ta có x = V y và
Suy ra σ i y i = 0 với mọi i = 1, ã ã ã , r Mà σ i > 0với mọi i = 1, ã ã ã , r nờn y i = 0 với mọi i = 1, ã ã ã , r Khi đú x = [v 1 ã ã ã v n ]
Suy ra x ∈ ⟨v r+1 , ã ã ã , v n ⟩ Do đú null(A) ⊆ ⟨v r+1 , ã ã ã , v n ⟩.
(ii) Từ AV = U Σ ta cũng cú Av i = u i σ i , với mọi i = 1, ã ã ã , r Vỡ σ i > 0, i =
∈ ran(A), với mọi i = 1, ã ã ã , r Do đú
Ngược lại, lấy y ∈ ran(A) bất kỳ, y ∈ M m (R ) Khi đó tồn tại x ∈ M n (R ) sao cho y = Ax Ta có y = U ΣV ⊤ x = [u 1 ã ã ã u m ]
Các ∗ -đại số ma trận thực và ma trận phức
Nội dung các mục này được tham khảo từ tài liệu [2] Định nghĩa 1.4.1 Với hai ma trận A ∈ M m,n (K ) và B ∈ M p,q (K ) , ta định nghĩa các phép toán:
∈ M m+p,n+q ( K ) Đôi khi ta còn viết A ⊕ B = diag(A, B).
(2) Tích tenxơ, hay còn gọi là tích Kronecker:
∈ M mp,nq (K ) Định nghĩa 1.4.2 Một tập hợp con T của M n (K ) được gọi là một ∗-đại số ma trận con củaM n (K ) nếu hai điều kiện sau thỏa mãn:
(ii) Với mọi A, B ∈ T , α, β ∈K thì αA + βB, AB, A ∗ ∈ T. Định nghĩa 1.4.3 Gọi T là ∗-đại số ma trận con của M n (K ) , idean của T là một K-môđun con I củaT thỏa mãn nếu A ∈ T và B ∈ I thì AB, BA ∈ I.
Rõ ràng, {O} và T là các idean của T Nếu T không chứa idean nào khác ngoài {O} và T , thì ta gọi T là đơn. Định nghĩa 1.4.4 Không gian véctơ con W của K n được gọi là ổn định đối với T hoặc T- ổn định, nếu AW ⊆ W cho mọi A ∈ T.
Dễ thấy rằng {O} và K n luôn là T- ổn định với mọi ∗-đại số ma trận con T của M n (K ) Ta nói rằng T là bất khả quy nếu không tồn tại T- ổn định nào ngoài {O} và K n
Ví dụ 1.4.5 Xét các ∗-đại số ma trận con của M n (R ) :
T 2 = M n (R ) ⊕ T 1 = {M ⊕ N : M ∈ M n ( R ), N ∈ T 1 } , trong đó P ∈ M n (R ) là ma trận trực giao Khi đó T 1 là đơn nhưng không phải là bất khả quy và T 2 không đơn cũng không phải là bất khả quy. Định nghĩa 1.4.6 Với những ∗-đại số T L (⊆ M m (K )) và T R (⊆ M n (K )) , ta gọi một không gian véctơ con A của M m,n (K ) là một (T L , T R )-song môđun trên K nếu với mọi A ∈ A, L ∈ T L , R ∈ T R thì LAR ∈ A. Định nghĩa 1.4.7 Giả sử rằng T và T ′ là các ∗-đại số ma trận con củaM n (K ) Một ánh xạ ρ : T → T ′ là một ∗-đồng cấu nếu nó thỏa mãn:
(ii) ρ tuyến tính trên T , tức là ρ(αA + βB) = αρ(A) + βρ(B), với mọi α, β ∈K và A, B ∈ T.
(iii) ρ (A ∗ ) = ρ(A) ∗ cho mọiA ∈ T (NếuK = Rthì điều kiện trở thànhρ A ⊤
Ngoài ra, nếu ρ : T → T ′ là song ánh, thì ta gọi ρ là một ∗-đẳng cấu đại số từ
Hai ∗-đại số T 1 và T 2 được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một ∗-đẳng cấu giữa
T 1 và T 2 Lưu ý rằng hai đại số ∗-đẳng cấu được coi là "bằng nhau" trong lý thuyết ∗-đại số.
Ví dụ 1.4.8 Cho P, Q là các ma trận trực giao và
A ⊕ Q T AQ : A ∈ M n (R ) Khi đó ρ : T → T ′ , ρ(A ⊕ P T AP ) = A ⊕ Q T AQ là một ∗- đẳng cấu. Định nghĩa 1.4.9 Cho T là một ∗-đại số ma trận con của M m (K ) Nếu một
∗-đồng cấu ρ từ T lên M n (R ) thỏa ρ(I ) = I ∈ M n (R ), thì (ρ, M n (R )) được gọi là một ∗-biểu diễncủa T Trong trường hợp này, ρ(T ) là một ∗-đại số ma trận con của M n (R ) Một ∗-biểu diễn (ρ, M n (R )) của T là tin cậy nếu ρ là đơn cấu.
Ví dụ 1.4.10 Gọi H là quaternion, tức là
H = {a + ιb + ȷc + kd : a, b, c, d ∈ R }, với phép nhân được xác định là: ι = ȷk = −kȷ, ȷ = kι = −ιk, k = ιȷ = −ȷι, ι 2 = ȷ 2 = k 2 = −1 Ta coi C là tập con của H bởi phép nhúng
Ta xét hai phép ∗-biểu diễn sau đây:
1 Phép ∗-biểu diễn của số phức, C :C → M 2 (R ) cho bởi
2 Phép ∗-biểu diễn của quaternion, H :H → M 4 (R ) cho bởi
Từ đây ta định nghĩa được hai phép biểu diễn các ma trận phức và ma trận quaternion sang các ma trận thực Ta kí hiệu
Ta đặt C n = C n,n , H n = H n,n để đơn giản kí hiệu. Định lý 1.4.11 Cho T là một ∗-đại số ma trận M n = M n (R ) Các khẳng định sau là đúng:
(i) Tồn tại một ma trận trực giao Q và một ∗-đại số ma trận con đơn T j của
(ii) Nếu T là đơn thì tồn tại một ma trận trực giao P và một ∗-đại số ma trận con bất khả quyT ′ củaM n ¯ (R ) vớin ¯sao choP ⊤ T P = {diag(B, B, , B) : B ∈ T ′ }.
(iii) Nếu T là bất khả quy, thì tồn tại một ma trận trực giao P thỏa mãn
M n , C n/2 , H n/4 Để chứng minh Định lý 1.4.11, ta cần các bổ đề ngay sau đây Ở đây chúng tôi chỉ chứng minh một số bổ đề quan trọng có ý nghĩa xây dựng cho nội dung của Chương 2.
Bổ đề 1.4.12 Nếu một ∗-đại số ma trận con T có một ∗-biểu diễn tin cậy (ρ, M n (R )) thỏa mãn ρ(T ) là bất khả quy, thì T là đơn.
Bổ đề 1.4.13 Nếu một ∗-đại số ma trận con T của M n (R ) là bất khả quy thì tồn tại một phép ∗-biểu diễn tin cậy (ρ ′ , M n (R )) của
Bổ đề 1.4.14 Cho T là một ∗-đại số ma trận con, và (ρ, M n (R )) là một ∗-biểu diễn tin cậy của T sao cho ρ(T ) là bất khả quy Gọi (ρ ′ , M n ′ (R )) là một ∗-biểu diễn của T sao cho ρ ′ (T ) là bất khả quy Khi đó n = n ′ và tồn tại một ma trận trực giao P sao cho ρ ′ (A) = P ⊤ ρ(A)P với mọi A ∈ T.
Bổ đề 1.4.15 Cho T là một ∗-đại số ma trận con của M n (R ) Khi đó tồn tại một ma trận P = diag (Q 1 , Q 2 , , Q m ) ∈ M n (R ) , với Q i là ma trận n × n i
Q ⊤ i AQ i : A ∈ T là ∗-đại số ma trận con bất khả quy của M n i (R )
Chứng minh Nếu T bất khả quy thì bổ đề hiển nhiên đúng với m = 1 và
P = Q 1 = I Nếu T khả quy, thì tồn tại không gian T ổn định k 1 chiều V của
R n với 1 ≤ k 1 < n Đặt k 2 = n − k 1 Ta sẽ chứng minh P = (Q 1 , Q 2 ) ∈ M n (R ) , với
Q ⊤ i AQ i : A ∈ T là∗-đại số ma trận con của M k i (R )(i = 1, 2) (1.4.2)
Gọi p 1 , p 2 , , p k 1 là một cơ sở trực chuẩn của V và p k 1 +1 , p k 1 +2 , , p n là cơ sở trực chuẩn của phần bù trực giao V ⊥ của V Định nghĩa
Vì T là một ∗-đại số ma trận con của M n (R ) , ta thấy rằng A ⊤ ∈ T với mọi
A ∈ T Từ tính chất V là T-bất biến của R n ta suy ra
Vì vậy ta được (1.4.1) Mệnh đề (1.4.2)được suy ra trực tiếp từ (1.4.1) và định nghĩa của một ∗-đại số ma trận con.
Nếu T 1 ′ hoặc T 2 ′ là khả quy, ta sẽ tiến hành phân tích T 1 ′ hoặc T 2 ′ như trên.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh Định lý 1.4.11 Gọi T là một ∗-đại số ma trận con của M n (R ) Ta gọi P là ma trận trực giao thỏa mãn Bổ đề 1.4.15 Đặt
ThìT j ′ bất khả quy, do đó theo Bổ đề 1.4.12 chúng cũng là các∗-đại số ma trận con đơn giản (xét phép biến dổi đồng nhất).Ta có thể dễ dàng kiểm tra I j ′ là idean của T 1 ′ Do đó
Không mất tính tổng quát, giả sử rằng
Với mỗi j = 1, 2 , p, ánh xạ ρ j : diag Q ⊤ 1 AQ 1 , Q ⊤ 2 AQ 2 , , Q ⊤ p AQ p
∈ T 1 → Q ⊤ j AQ j ∈ T j ′ là một đẳng cấu từ T 1 đến T j ′ thỏa mãn ρ j (I) = I Điều này dẫn tới (ρ j ,R n j ) là một phép biểu diễn của T 1 thỏa mãn T j ′ = ρ j (T 1 ) bất khả quy Ngoài ra, ρ 1 : T 1 → T 1 ′ là tin cậy Vì vậyT 1 là đơn theo Bổ đề 1.4.12 Áp dụng Bổ đề 1.4.14, ta có được n j = n 1 (j = 1, 2, , p) và
Q ⊤ j AQ j = R j ⊤ Q ⊤ 1 AQ 1 R j với mọi A ∈ T Với ma trận trực giao n 1 × n 1 , R j (j = 1, 2, , p) Do đó ta được
Nếu p = m thì T = T 1 ; từ đây ý (i) và (ii) được chứng minh Giả sử p < m Khi đó tồn tại ma trận A j ∈ T thỏa
Dễ thấy P ⊤ AT ˆ P là một idean của P ⊤ T P, nên T không là ∗-đại số ma trận con đơn giản Nếu ta đặt
Ta có thể tra được
P ⊤ T P = T 1 ⊕ T ˜ Áp dụng quy trình tương tự cho ∗-đại số ma trận con T ˜ , ta nhận được (i) và (ii). Ý(iii)được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 1.4.13 và 1.4.14 cùng với Ví dụ 1.4.5. Định lý 1.4.16 Cho T là ∗-đại số ma trận con của M n (C ) Các khẳng định sau là đúng.
(i) Tồn tại một ma trận unita Q và một ∗-đại số ma trận con đơn T j của
(ii) Nếu T là đơn thì tồn tại một ma trận unita P và một ∗-đại số ma trận con bất khả quy T ′ của M n (C ) cho một số n sao cho
(iii) Nếu T là bất khả quy thì T = M n (C ) Định lý này được chứng minh tương tự như Định lý 1.4.11.
Phân tích giá trị kỳ dị đồng thời nhiều ma trận
Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu hai bài toán chính sau đây:
Bài toán 1 Cho trước các ma trận thực A 1 , , A N cùng cỡ m × n, hãy tìm các ma trận trực giao P ∈ M m (R ) và Q ∈ M n (R ) sao cho
P ⊤ A 1 Q, , P ⊤ A N Qcó dạng đường chéo theo khối, với các khối tương ứng là có cùng cỡ.
Bài toán 2.Cho trước các ma trận phứcA 1 , , A N cùng cỡm ×n, hãy tìm các ma trận unita P ∈ M m (C ) và Q ∈ M n (C ) sao cho P ∗ A 1 Q, , P ∗ A N Q có dạng đường chéo theo khối, với các khối tương ứng là có cùng cỡ.
Hai bài toán trên được gọi là hai bài toán phân tích giá trị kì dị đồng thời các ma trận và được viết tắt là SSVD Nội dung chương này được tham khảo từ [2].
Phân tích giá trị kỳ dị đồng thời các ma trận thực
thực Định lý sau đây cho thấy rằng bài toán SSVD có thể được xây dựng từ các phân tích của ∗-đại số AA ⊤ và A ⊤ A theo Định lý 1.4.11 Lưu ý rằng cách xây dựng này tổng quát hóa việc xây dựng SVD của một ma trận A thông qua các phân tích giá trị riêng của AA ⊤ và A ⊤ A. Định lý 2.1.1 Cho A ⊆ M m,n (R ), A ̸= {O} , là một (T L , T R )-song môđun trên
R sao cho T L và T R lần lượt là các ∗-đại số lần lượt được sinh bởi AA ⊤ và A ⊤ A. (i) Tồn tại các ma trận trực giao P và Q và một số tự nhiên ℓ sao cho
P ⊤ T L P = T L 1 ⊕ã ã ã⊕T L ℓ , P ⊤ AQ = A 1 ⊕ã ã ã⊕A ℓ , Q ⊤ T R Q = T R 1 ⊕ã ã ã⊕T R ℓ Ở đây mỗi A j là một T Lj , T Rj
-song môđun, và T Lj và T Rj lần lượt là các
∗-đại số ma trận con đơn lần lượt sinh bởi A j A ⊤ j và A ⊤ j A j
(ii) Nếu T L và T R là các ∗-đại số ma trận con đơn thì tồn tại các ma trận trực giao P và Q và một số tự nhiờn à sao cho
-song môđun, và T L ′ và T R ′ là ∗-đại số ma trận con bất khả quy lần lượt sinh bởi A ′ A ′⊤ và A ′⊤ A ′
(iii) Nếu T L và T R là các ∗-đại số ma trận con bất khả quy, tồn tại các ma trận trực giao P và Q sao cho
P ⊤ T L P = D m ˆ , P ⊤ AQ = D m,ˆ ˆ n , Q ⊤ T R Q = D ˆ n Ở đây D = M, C hoặc H và ( ˆ m, n) = (m, n) ˆ nếu D = M; ( ˆ m, n) = (m/2, n/2) ˆ nếu D = C; và ( ˆ m, n) = (m/4, n/4) ˆ nếu D = H. Để chứng minh định lý trên, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.2 Các mệnh đề sau là tương đương.
(i) Không tồn tại một phép chéo hóa ma trận theo khối đồng thời không tầm thường của A.
(ii) Cả T L và T R là bất khả quy.
Chứng minh Giả sử tồn tại một phép chéo hóa ma trận theo khối đồng thời không tầm thường của A, tức là tồn tại các ma trận trực giao P, Q sao cho
Khi đó, vìT L được sinh bởiAA ⊤ nên các phần tử sinh củaT L có dạngAA ′⊤ (A, A ′ ∈ A), ở đây cảP ⊤ AQandP ⊤ A ′ Qđều có thể phân tích theo khối với cùng cỡ như trong (2.1.1) Do đó ta có
Điều này dẫn tới T L khả quy, mâu thuẫn với giả thiết.
Ngược lại, giả sử rằng T R là khả quy Trong trường hợp này, T R sẽ có một không gian con ổn định không tầm thường W ⊂R n Gọi U = span(AW ) ⊆ R m Gọi {u 1 , , u r }, {u ′ r+1 , , u ′ m } lần lượt là các cơ sở trực chuẩn của U, U ⊥ và {w 1 , , w k }, {w ′ k+1 , , w ′ n } lần lượt là các cơ sở trực chuẩn của W, W ⊥ Bây giờ ta sẽ chứng minh với mọi A ∈ A, ta có
Thật vậy, vì Aw j ∈ U nên u ′⊤ r+i Aw j = 0 với mọi i, j Để chứng minh phần phía trên bên phải của 2.1.2 bằngO, ta chứng minhu ⊤ i Aw k+j ′ = 0với mọii, j Do định nghĩa của U, ta có u i = P m B m v m với B m ∈ A và v m ∈ W Vì vậy u ⊤ i Aw k+j ′ =
P m v ⊤ m B m ⊤ Aw ′ k+j Vì A ⊤ B j ∈ T R nên ta cóA ⊤ B m v m ∈ W, do đó u ⊤ i Aw ′ k+j = 0 với mọi i, j.
Tiếp theo ta sẽ lần lượt chứng minh các định lý cấu trúc. Định lý 2.1.3 (Định lý cấu trúc A) Tồn tại các ma trận trực giao P và Q và một số tự nhiên ℓ sao cho
P ⊤ T L P = T L1 ⊕ ã ã ã ⊕ T Lℓ , P ⊤ AQ = A 1 ⊕ ã ã ã ⊕ A ℓ , Q ⊤ T R Q = T R1 ⊕ ã ã ã ⊕ T Rℓ Ở đây mỗi A j là một T Lj , T Rj
-song môđun, và T Lj và T Rj lần lượt là các ∗-đại số ma trận con đơn lần lượt sinh bởi A j A ⊤ j và A ⊤ j A j
Chứng minh Lấy bất kỳ một phép chéo hóa khối tối tiểu nào đó của A, nghĩa là phép chéo hóa mà trong đó sự phân tích với các khối đường chéo không thể phân tích thêm nữa Cụ thể, giả sử L i∈I A (i) là một phân tích như vậy. Khi đó, ta có thể xem một ma trận A ∈ A như một ma trận đường chéo khối
A = diag A (i) | i ∈ I với A (i) ∈ A (i) Dễ thấy T L = L i∈I A (i) A (i) ⊤ và T R =
A (i) Vì phân tích đã chọn là phân tích tối tiểu nên theo bổ đề
2.1.2, ta suy ra các ∗-đại số ma trận con A (i) (A (i) ) ⊤ và A (i) ⊤
A (i) đều không phân tích theo đường chéo khối được nữa. Áp dụng Định lí 1.4.11 cho T L , tồn tại các ma trận trực giao P và các ∗-đại số ma trận con đơn T Li của M m i, i = 1, , ℓ với m 1 + m 2 + + m ℓ = m sao cho
Tương tự cho T R , tồn tại các ma trận trực giao Q và các ∗-đại số ma trận con đơn T Rj củaM n j, j = 1, , ℓ ′ với n 1 + n 2 + + n ℓ ′ = n sao cho
Q ⊤ T R Q = T R1 ⊕ ã ã ã ⊕ T Rℓ ′ Không mất tổng quát ta có thể giả sử
Từ đây dễ dàng suy ra ℓ = ℓ ′ = |I| và A (i) ⊤
A (i) đẳng cấu với T Li , A (i) A (i) ⊤ đẳng cấu với T Ri Từ đây ta dễ dàng suy ra điều phải chứng minh. Định lý 2.1.4 (Định lý cấu trúc C) Nếu T L và T R là các ∗-đại số ma trận con bất khả quy, tồn tại các ma trận trực giao P và Q sao cho
P ⊤ T L P = D m ˆ , P ⊤ AQ = D m,ˆ ˆ n , Q ⊤ T R Q = D n ˆ Ở đây D = M, C hoặc H và ( ˆ m, ˆ n) = (m, n) nếu D = M; ( ˆ m, ˆ n) = (m/2, n/2) nếu
Chứng minh Theo Định lý 1.4.11(iii), tồn tại các ma trận trực giao P và Q sao cho P ⊤ T L P = D m ˆ và Q ⊤ T R Q = D n ′ ˆ Do đó, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử T L = D m ˆ và T R = D ′ n ˆ Đặt d = 1, 2 hoặc 4 lần lượt cho D = M, C hoặc H và đặt d ′ = 1, 2 hoặc 4 cho D ′ = M, C hoặc H tương ứng Ở đây, m ˆ = m/d và n ˆ = n/d ′ Chúng ta biểu diễn A ∈ A thành m ˆ × n ˆ các khối có kích thước d × d ′ , và khối thứ (i, j) được ký hiệu làA [i,j] Tương tự, chúng ta biểu diễn L ∈ T L thành m ˆ × m ˆ các khối có kích thước d × d và R ∈ T R thành n ˆ × n ˆ các khối có kích thước d ′ × d ′
Vì T L = D m ˆ nên nó chứa các ma trận ma trận E Li thỏa khối đường chéo thứ i của nó là I d và các khối khác là O d Tương tự, T R chứa các ma trận E Rj thỏa khối đường chéo thứ j là I d ′ và các khối khác là O d ′ Do đó, với mọi A ∈ A, ma trận E Li AE Rj ∈ A, trong đó khối (i, j) của E Li AE Rj là A [i,j] và các khối khác là
O d,d ′ Lưu ý rằng T L và T R chứa các ma trận hoán vị theo khối, nên dễ thấy với mọi A, A ′ ∈ A, A [i,j] A ′⊤ [k,l] ∈ D d và A ⊤ [i,j] A ′ [k,l] ∈ D d ′ ′.
Chọn một ma trận khác không A ∈ A, và đặt A [i,j] là một trong các khối khác không của A Vì A [i,j] A ⊤ [i,j] ∈ D d và ma trận đối xứng trong D d nhất thiết phải là ma trận đường chéo, nên chúng ta có A [i,j] A ⊤ [i,j] = αI d với α > 0 Tương tự, chúng ta cũng có A ⊤ [i,j] A [i,j] = α ′ I d ′ với α ′ > 0 Điều này dẫn tới A [i,j] có các cột độc lập tuyến tính và các hàng độc lập tuyến tính Do đó, ta được d = d ′ , α = α ′ và D = D ′
Tiếp theo, chúng ta xây dựng một phép biến đổi trực giao từ ma trận khác không A ∈ A (đã chọn ở trên) Đặt P ′ = diag A [i,j] , , A [i,j]
/ √ α, dễ thấy P ′ là một ma trận trực giao Chúng ta cần chứng minh các đẳng thức sau đây:
P ′⊤ T L P ′ = D m ˆ , P ′⊤ A = D m,ˆ ˆ n Đẳng thức đầu tiên là rõ ràng vì T L = D m ˆ và P ′ ∈ T L Đẳng thức thứ hai có thể được chứng minh như sau: Với mọiA ′ ∈ A, khối(k, l) củaP ′⊤ A ′ là A ⊤ [i,j] A ′ [k,l] / √ α, là một phần tử của D d Do đó P ′⊤ A ′ ∈ D m ˆ , n ˆ, và do đó P ′⊤ A = D m,ˆ ˆ n Định lý 2.1.5 (Định lý cấu trúc B) Nếu T L và T R là các ∗-đại số ma trận con đơn giản thỡ tồn tại cỏc ma trận trực giao P và Q và một số tự nhiờn à sao cho
-song môđun, và T L ′ và T R ′ là ∗-đại số ma trận con bất khả quy lần lượt sinh bởi A ′ A ′⊤ và A ′⊤ A ′
Chứng minh Ta cú nhận xột rằngT L ′ ⊗ I à và I à ⊗ T L ′ được kết nối bằng cỏc hoỏn vị của hàng và cột Do đó để thuận tiện cho phép chứng minh ta viết lại:
Phân tích giá trị kỳ dị đồng thời các ma trận phức
phức Định lý 2.2.1 Cho A ⊆ M m,n (C ), A ̸= {0} , là một (T L , T R )-song môđun trên C sao cho T L và T R là các ∗-đại số ma trận con lần lượt sinh bởiAA ∗ và A ∗ A Khi đó, các khẳng định sau là đúng
(i) Tồn tại các ma trận unita P và Q và số tự nhiên ℓ sao cho
P ∗ T L P = T L 1 ⊕ ã ã ã ⊕ T L ℓ , P ∗ AQ = A 1 ⊕ ã ã ã ⊕ A ℓ , Q ∗ T R Q = T R 1 ⊕ ã ã ã ⊕ T R ℓ , trong đó A j là T Lj , T Rj
-song môđun, T Lj và T Rj lần lượt là các ∗-đại số ma trận con đơn sinh bởi A j A ∗ j và A ∗ j A j.
(ii) Nếu T L và T R là đơn, thỡ tồn tại cỏc ma trận unita P, Q và số tự nhiờn à thỏa mãn
-song môđun, và T L ′ , T R ′ lần lượt là các ∗-đại số ma trận con bất khả quy sinh bởi A ′ A ′∗ , A ′∗ A ′
(iii) Nếu T L và T R là bất khả quy thì tồn tại các ma trận unita P và Q sao cho
Chứng minh Chứng minh tương tự như Định lý 2.1.1
Tương tự như trường hợp các ma trận thực, khi đó ta có thể suy ra hệ quả quan trọng sau đây.
Hệ quả 2.2.2 Luôn tồn tại một phân tích đường chéo khối đồng thời trên C của những ma trận phức A 1 , , A N cho trước.
Thuật toán phân tích giá trị kì dị đồng thời nhiều ma trận
Từ các Định lý 2.1.1, ta có thể đề xuất một thuật toán cho bài toán SSVD Ở đây ta sẽ trình bày thuật toán cho ma trận thực vì thuật toán cho trường hợp ma trận phức là hoàn toàn tương tự Ở đây, với các trận thực A 1 , , A N cho trước là cùng cỡ m × n, ta xét các cấu trúc sau
1 ∗−đại số ma trận con T L sinh bởi A i A ⊤ j (i, j = 1, , N ).
2 ∗−đại số ma trận con T R sinh bởi A ⊤ i A j (i, j = 1, , N ).
Input: Các ma trận trực giao P, Q.
Output: Một phép phân tích giá trị kỳ dị đồng thời của ma trận.
Bước 1 Tìm ma trận trực giao P và Q thỏa mãn Định lý 2.1.1 (i).
Bước 2.Tìm các ma trận hoán vịΠ L vàΠ R sao cho các ma trậnΠ L P ⊤ A i Q Π R có dạng khối chung.
Ngoài ra, từ chứng minh của Định lý 1.4.11, ta có thể chỉ rõ cách tìm các ma trận trực giao P và Q trong thuật toán tổng quát cho một ∗− đại số ma trận con T của M n Ta lưu ý, ta chỉ xét trường hợp T là khả quy Ta có thể minh họa cụ thể hơn cho việc tìm P, Q như sau
1 Tìm một không gian con T-ổn định V của R n , giả sử dim V = k 1 Gọi p 1 , p 2 , , p k 1 là một cơ sở trực chuẩn của k 1 -chiều T-ổn định V của R n , và p k 1 +1 , p k 1 +2 , , p n là một cơ sở trực chuẩn của V ⊥ Đặt
Q ⊤ i AQ i : A ∈ T là một *-đại số ma trận con của M k i (R )(i = 1, 2)
2 Ta tiếp tục làm như vậy cho các T u ′ cho đến khi xây dựng được một ma trận P ′ = (Q 1 , Q 2 , , Q m ) ở đõy Q i ∈ M nìn i (R ) với n 1 + ã ã ã + n m = n và thỏa mãn
Q ⊤ i AQ i : A ∈ T là một *-đại số ma trận con bất khả quy của
Khi đó P ′ là ma trận cần tìm.
Ví dụ 2.3.1 Ta sẽ minh họa bài toán SSVD trên hai ma trận thực cỡ4 × 8sau
Theo Thuật toán SSVD trên đây, ta có các biểu diễn
, với cỏc ma trận trực giao P và Q thớch hợp Ở đõy ta cú ℓ = 2, à = 1 trong Định lý 2.1.1, và cả P ⊤ A 1 Q và P ⊤ A 2 Q đều thuộc trong M 2,4 (R ) ⊕ M 2,4 ( R ) Đề án đã đạt được một số kết quả sau:
Tìm hiểu và trình bày chi tiết một số tính chất cơ bản của ma trận trực giao, ma trận unita; vấn đề chéo hóa ma trận trên trường số thực và trường số phức; phân tích giá trị kỳ dị của các ma trận, các∗- đại số ma trận thực và phức (xem Chương 1).
Trình bày các định lí cấu trúc về phân tích giá trị kỳ dị đồng thời một họ hữu hạn các ma trận thực và phức.
Từ đó, chúng tôi trình bày một thuật toán phân tích giá trị kỳ dị đồng thời nhiều ma trận Đồng thời chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh họa cho thuật toán này.