bài tập và ứng dụng về ma trận định th ma trận nghịch đảo hạng của ma trận v hệ phương trình tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘIKHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓMHỌC PHẦN: ĐSTT BS6001 Bài tập và ứng dụng về ma trận,định th ma trận nghịch đảo,hạng của ma trận

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘIKHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓMHỌC PHẦN: ĐSTT BS6001

Bài tập và ứng dụng về ma trận,định th ma trận nghịch đảo,hạng của ma trận v hệ phương trình tuyến tính

Sinh viên thực hiện:

Nguyễn Ánh Vân (Nhóm Trưởng) Phan Đại Cương Phan Hữu Đạt

Nguyễn Thúy Hiền Nguyễn Văn H Hồ Ngọc Huyền Nguyễn Đăng

* Đây là điểm trung bình đánh giá các thành viên trong nhóm 4:

Tiêu chí

việcĐưara ýkiếnvà ýtưởng

Giao tiếpvà phối hợp

tốt vớithành viênkhác cùnggiải quyếtvấn đềchung.

Tổ chứcvàhướngdẫn cảnhóm

côngviệchiệu quả

Tổngđiểmđượcđánh giá

bởi Acho từng

thànhviên(TĐ )A

NguyễnNhư Lân

NguyễnÁnh Vân

* Bảng qui đổi ra hệ số cá nhân

TD = Tổngđiểm đượcđanh giá bởi các thành viên

Điểm trung bình

Hệ số cá nhân

Nguyễn Ánh

CươngPhan Hữu Đạt

Nguyễn

Nguyễn Văn Hà

Hồ Ngọc Huyền

Nguyễn TiếnMinh

Nguyễn Văn

Nguyễn Xuân Văn

Phan Tiến Luật

Đào Trung

Lưu Hoàng Phúc

Mục lục

Phần I: 20 bài tập về ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận và hệ phương trình tuyến tính

1 Bài tập về ma trận2 Bài tập về định thức

3 Bài tập về ma trận nghịch đảo4 Bài tập về hạng của ma trận

5 Bài tập về hệ phương trình tuyến tính

Phần II: Một số ứng dụng của ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính

1 Ứng dụng của ma trận2 Ứng dụng của định thức

3 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính

Phần III: Kết luận

Phần I: 20 bài tập về ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận và hệ phương trình tuyến tính

A=(4 1

Lời giải Đặt C= A + 2BT

BT= (1 53 −1)

2BT= 2.(1 5

3 −1) = (2 106 −2)

− 2

A3= A A = 2 (4 50 9)(2 1

− n

Giả sử đúng với n, ta sẽ kiểm tra với n + 1 Thật vậy:

An +1= A.An = (2 10 3).(2n 2

Lời giải A = T (1 2 −1

=> A AX = A-1-1.B=> X= 1

2. A*.BTa có:

A11= (-1)2.det(−1 2

−2 3)=1 A = (-1)12 3.det(2 2

3 3) = 0 A13= (-1)4.det(2 −1

3 −2) = -1 A = (-1)21 3.det(0 −1−2 3)=¿ -2 A22= (-1)4.det(1 −1

3 3) = 6 A = (-1)23 5.det(1 03 −2) = 2

A31= (-1)4.det(0 −1

−1 2)= -1 A = (-1)32 5.det(1 −12 2) = -4 A33= (-1)6.det(1 0

2 −1) = -1 => A*= (1 −2 −1

212 )

2 −3 2] Tìm ma trận thỏa mãn XX.A=At

Ta có: A = -1 1det ( A).A*

Vậy X= [1 0 04 −3 −4

Ta có: X.A-2.B=I↔X.A=I+2 B↔ X.A.A =I A +2.B.A-1-1-1

↔X.I= I A +2.B.A -1-1↔X=¿ A + 2.B.A-1-1

Det(A) ≠ 0 → ∃A-1

Ta có: A = -1 1det ( A).A*

c13= 1.-22+3.-13+-2.3=-67c21= -1.3+2.-3+0.3=-9c22=-1.5+2.5+0.0=5c23=-1.-22+2.-13+0.3=-4c31=3.3+-1.-3+4.3=24c32=3.5+-1.5+4.0=10c33=3.-22+-1.-13+4.3=-41

−7915 ]

Bài 7:Tìm điều kiện để ma trận sau khả đảo: A=[1 3 5 2

-2m+1.0.0+1.2.2-2.1.1-0.m.2-2.-1.0=-A12 = (-1) 3 |1 2 1

2 0 −1|= 4

-(1.2.-1+2.2.2+1.1.0-1.2.2-1.0.2-2.1.-1)=-A13 = (-1) 4 |1 m 1

2 1 −1|1

=1.0.-1+1.1.1+4m-1.0.2-1.1.2-1.-1.m=5m-A14 = (-1) 5 |1 m 2

2 1 0|= 4m

-(1.0.0+2.2.m+2.1.1-2.0.2-1.1.2-0.1.m)=-→det(A)= -2m+2 +3.(-4) +5.(5m-1) +2.(-4m)= 15m -15 det(A)≠ 0↔ 15m-5≠ 0 ↔m≠1

Giải:

0 4 2|= -(0.0.2+3.3.4+0.1.1-3.0.0-2.3.1-0.4.1)=-30

A13 = (-1) 4 |0 2 3

0 1 2|=0.1.2+3.3.1+0.2.1-3.1.0-2.3.2-0.1.1=-3A14 = (-1) 5 |0 2 1

0 1 4|=-(0.1.4+1.3.1+0.0.2-1.1.0-0.1.0-4.3.2)=21

→D=¿ 1.3+2.(-30)+1.(-3)+(-1).21= -81b, D= |0 x y z

z x 0|= -(x.0.0+y2x+z x-y.0.z-x -0.y.z)=x -y x-z x23322

A13 = (-1) 4 |x 0 yy z x

z y 0|=x.z.0+y +z.0.x-z y-x y-0.0y=y -z y-x y322322

A14 = (-1) 5 |x 0 z

z y x|= -(x2z+y z+z.0.0-z -0.y.x-0.x.y)=z -x z-y z23322

-25h1+4h2 → h2

223

n−2|

Bài 12:Tính hạng của các ma trận :a,

A=[1 3 5 7

7 −19 17][10

B=[1 2 −1 3 0

05 −24

00 −24

-2h1+h2⟶h 2

−1125 9/

⇒r(B)=4Bài 13:

1| 5−12

5 h 2+h 3→h314h 2+h 4 →h4

−1−27 )

Ta nhận được hệ:

{x 1+2 x 2+3 x 3−4 x 4=5x 2−x 3+x 4=−1−2 x 3+4 x 4=−2

7 x 4=7

→{x 1=−2x 2=1x 3=3x 4=4

(1 1 −20 −1 −m−4

−24−2 m)

h 2−h3 →h3

→ (1 1 −20 −1 −m−4

−2−6+2 m)

Để phương trình có vô số nghiệm: r(A) = r(A)¿

Bài 17 : Giải hệ phương trình

x1+ x2−x3+x4=24 x1+3 x2−x3+2 x4=68 x1+5 x2−3 x3+4 x4=123 x1+3 x2−2 x3+2 x4=7

⇒ rA = rA=4 (phương trình có đúng 1 nghiệm ) x+ x−x x+ =2 x=1

4h1-h2 h28h1-h3

22

x2−3 x3+2 x4=2 x2=2

⇒ −4 x3+2 x4=2 ⇒ x3=−2

−2 x4=6 x4=−3

Bài 18: Tìm k để hệ sau có nghiệm 2 x1−x2+x3+x4=1

x1+2 x2−x3+4x4=2x1+7 x2−4x3+11 x4=k

−31−2 k)

−3

2 x1+2 x2−x3+x4=4

4 x1+3 x2−x3+2 x4=6

8 x1+5 x2−3 x3+4 x4=123 x1+3 x2−2 x3+2 x4=6

Bài giải Áp dụng pp Gauss :

⇒ rA = rA=4 (phương trình có đúng 1 nghiệm ) 2 x+2 x−x+x=4 x=−1

2h1-h2 h24h1-h3

22

Mã hóa thông tin bằng ma trận nghịch đảo là một phươngpháp mã hóa thông tin bảo mật được sử dụng rộng rãi trong lĩnhvực mật mã học Phương pháp này sử dụng một ma trận đảo vàmột ma trận khóa để mã hóa dữ liệu Để giải mã dữ liệu, ngườinhận chỉ cần nhân dữ liệu đã mã hóa với ma trận khóa nghịchđảo để khôi phục lại dữ liệu ban đầu Phương pháp mã hóa nàyđảm bảo tính bảo mật cao và được ứng dụng rộng rãi trong cácứng dụng truyền thông an toàn.

Trong thực tiễn, có rất nhiều thông tin quan trọng cần phảibảo mật cao để tránh bị đánh cắp dữ liệu ảnh hưởng đến côngviệc vì vậy chúng ta phải mã hóa nó Sử dụng phương pháp matrận nghịch đảo kết hợp với phép toán ma trận là một công cụphù hợp để mã hóa cũng như bảo mật thông tin

1.1.2 Ví dụ:

Ví dụ: Cho ma trận A = [12 3 25 3 1] và 1 sự tương ứng giữa cácsố và các kí tự như sau

-87 -65 -9 2 4 15 20 26 35

Một chàng trai muốn gửi 1 dòng tin nhắn cho bạn gái Đểđảm bảo bí mật anh ta dùng bảng tương ứng trên chuyểndòng tin nhắn này thành một dãy số và viết dãy số nàythành ma trận B theo nguyên tắc : lần lượt từ trái sangphải mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B Sau khitính C = B.A và chuyển C về dãy số thì ta được dãy: “ 1 2 12 0 3 3 1 4” Hãy giải dòng mã thông tin trên

Bài làm

Ta có: C =AB → B =C A−1 mà A−1cỡ 3x3 → C có 3 cột , mà dãysố có 9 phần tử => Mỗi cột C có 3 phần tử => C cỡ 3x3

A23=2 ;A33=¿ 1

=> A¿ = [40 16− −9−13 5 3−52 1] →A−1

=[−40 16 9 13− −5 3 5−2 1− ]

Khi đó : B =[12 1 20 3 3 1 4] [−40 16 9 13−5−3 5−2 1− ] =

[−9 4 2 65 26 15−87 3520− ]

Dãy số của ma trận B là : -9 4 2 -65 26 15 -87 35 20Dãy kí tự là : TONHOCAU!

1.2 Ứng dụng trong nghiên cứu, sản xuất , kinh tế1.2.1 Giới thiệu

Trong đời sống thực tiễn , có vô vàn tình huống được đạt ravà cần được giải quyết việc áp dụng các ứng dụng của ma trận ,định thức giúp giải quyết các vẫn đề không chỉ trong phạm trùkhoa học mà còn trong sản xuất và kinh tế.

Doanh thu tháng 1/2021 của cửa hàng 1 : 2.250.000 ( đồng)

Doanh thu tháng 1/2021 của cửa hàng 2 : 3.250.000 ( đồng)

● Lập ma trận F tính số lượng hàng tồn kho sau tháng 2/2021

Bài làm

Gọi số lợn là x, số gà là: y , số vịt là: z

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

{x + y +z=100 4 x+2 y +2 z=220 y−2 z=0 (*)Từ (*) ta có:

A12=(−1)1 +2|4 2 0 2−| = 8; A13=(−1)1 +3

|4 2 0 1| = 4 ;Tương tự : A21=3 ;A31=¿ 0 A22=−2 ;A32=¿ 2

A23=−1;A33=¿ -2 => A¿ = [−6 3 0 8−22 4− −1 2]

→ A−1

6×[−6 3 0 8 22 4−1−2− ] = [−112

Nhân A vào cả hai vế của phương trình (1) ta được:A-1 -1

.A X = A B -1

X = A B = -1 [−112

3].[100 220 0] = [10 6030]

=> {x=10 y =60 z=30

Vậy số lợn là: 10 con, số gà là: 60 con, số vịt là: 30 con.

Phần II: Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính:

2.1 Ứng dụng trong hóa học

Ví dụ: Cân bằng phương trình phản ứng này đồng thời nghĩa vớiviệc tìm các vị trí x, y, z và t sao cho số lượng các nguyên tử củamỗi nguyên tố là bằng nhau ở cả hai vế của phương trình:

xC2H6+ yO2→ zCO2+tH O2

Bài làm

Để cân bằng phương trình thì số nguyên tử ở vế trái và vế phảibằng nhau.

Từ đây cho ta hệ phương trình tuyến tính sau:

{2 x=z 6 x=2t 2 y 2 z +t= với x, y, z, t là các số nguyên dương.Nghiệm tổng quát của hệ trên là: { y =7

nguồn áp sẽ bằng tổng các nguồn áp trong vòng kín đó,trong nguồn áp và dòng điện có chiều trùng với chiều đicủa vòng sẽ lấy dấu dương, ngược lại mang dấu âm.

Hay nói cách khác: Trong mạch điện, đi theo mộtvòng kín theo chiều tùy ý, tổng đại số các điện áp trêncác phần tử bằng không.

d2+5 d3→d3(25 15 40 1) d3−8 d4→d4(25 15 40 80− )Hệ (β¿ tương ứng với hệ :

⇒{6 i1−3i =25 5 i2 2−2 i3=15 8 i3−5i4=40 19 i4=−80⇔ {i1=350

57 i2=7519 i3=45

( i4mang dấu âm có nghĩa chiều của i4 ngược với chiều đã chọn )Vậy ta thu được nghiệm là : (i1,i ,i ,i234) = (350

57 ,7519,

Vậy : i1=35057 ;i2=75

19 Chiều của i4 ngược chiều vớichiều đã chọn

2.3 Ứng dụng trong giải quyết vấn đề kinh tế

Ví dụ: Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A, B, C Mỗi sảnphẩm phải qua 3 công đoạn cắt, lắp ráp và đóng gói với thờigian yêu cầu cho mỗi công đoạn được liệt kê ở bảng sau:

Bài làmGiải:

Gọi x , x , x lần lượt là số lượng sản phẩm A,B,C nhà máy cần123

sản xuất (cái) ( x , x , x 123∈ N)

Thời gian cắt để sản xuất sản phẩm là: 0.6x + x + 1.5x (giờ)123

Thời gian lắp ráp để sản xuất sản phẩm: 0.6x + 0.9x + 1.2x123

€

0.6 1 1.5 380 A= 0 0.1 0.3 50 0 0.1 0 20 0.6 1 1.5 380A= 0.6 0.9 1.2 330 0.2 0.3 0.5 120 0.6 1 1.5 380 A= 0 0.1 0.3 50 0 0 0.3

Vậy số lượng sản phẩm A,B,C nhà máy cần sản xuất là: 50, 200,100 (cái)

Phần III Kết luận

Trong bài tiểu luận này, chúng ta đã thảo luận về các khái niệm cơ bản và quan trọng trong đại số tuyến tính, bao gồm ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận và hệ phương trình tuyến tính.

Trước hết, chúng ta đã tìm hiểu về ma trận, một công cụ mạnh mẽ được sử dụng để biểu diễn và xử lý dữ liệu tuyến tính Ma trận không chỉ là một công cụ linh hoạt cho việc biểu diễn dữ

liệu mà còn cho phép chúng ta thực hiện các phép toán như cộng, trừ, nhân và chia ma trận.

Tiếp theo, chúng ta đã nắm vững khái niệm về định thức của matrận, một đại lượng quan trọng xác định tính khả nghịch của ma trận và giải các hệ phương trình tuyến tính Định thức không chỉ cung cấp thông tin về tính chất của ma trận mà còn đóng vai tròquan trọng trong việc tính toán ma trận nghịch đảo.

Ma trận nghịch đảo là một khái niệm quan trọng, đặc biệt khi giải các hệ phương trình tuyến tính Ma trận nghịch đảo của một ma trận là ma trận mà khi nhân với ma trận gốc cho ra kết quả là ma trận đơn vị Việc tìm ma trận nghịch đảo thường được thựchiện thông qua phương pháp khả nghịch Gauss-Jordan hoặc phương pháp khác.

Hạng của ma trận là một khái niệm khác quan trọng, xác định sốlượng hàng hoặc cột độc lập trong ma trận Hạng của ma trận đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính chất của hệ phương trình tuyến tính và đảm bảo tính chất của các phép toánma trận.

Cuối cùng, chúng ta đã thảo luận về hệ phương trình tuyến tính và cách giải chúng bằng sử dụng ma trận và các công cụ liên quan Việc hiểu biết sâu sắc về các khái niệm này là chìa khóa để áp dụng đại số tuyến tính vào nhiều lĩnh vực khác nhau như khoa học máy tính, kỹ thuật, kinh tế học và nhiều lĩnh vực khác.

Tóm lại, việc hiểu và áp dụng đại số tuyến tính không chỉ mở ra cánh cửa cho sự hiểu biết sâu sắc về toán học mà còn là công cụmạnh mẽ trong việc giải quyết các vấn đề thực tế và nghiên cứutrong nhiều lĩnh vực.