bài tập và ứng dụng về ma trận định th ma trận nghịch đảo hạng của ma trận v hệ phương trình tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘIKHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓMHỌC PHẦN: ĐSTT BS6001 Bài tập và ứng dụng về ma trận,định th ma trận nghịch đảo,hạng của ma trận

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Sinh viên thực hiện:

Nguyễn Ánh Vân (Nhóm Trưởng) Phan Đại Cương Phan Hữu Đạt

Nguyễn Thúy Hiền Nguyễn Văn H

Hồ Ngọc Huyền Nguyễn Đăng

* Đây là điểm trung bình đánh giá các thành viên trong nhóm 4:

và ýtưởnglàmbài

Giao tiếp

và phối hợptốt vớithành viênkhác cùnggiải quyếtvấn đềchung

Tổ chứcvàhướngdẫn cảnhóm

Hoànthànhcôngviệchiệu quả

Tổngđiểmđượcđánh giábởi Acho từngthànhviên(TĐ )A

* Bảng qui đổi ra hệ số cá nhân

Tên

TD = Tổng điểm được đanh giá bởi các thành viên

Điểm trung bình

Hệ số cá nhân

Nguyễn Ánh

Mục lục Phần I: 20 bài tập về ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận và hệ phương trình tuyến tính

Ta có: X.A-2.B=I↔X.A=I+2 B↔ X.A.A =I A +2.B.A-1 -1 -1

↔X.I= I A +2.B.A -1 -1↔X=¿ A + 2.B.A-1 -1

−75175

43

-2m+1.0.0+1.2.2-2.1.1-0.m.2-2.-1.0=-A12 = (-1) 3 |1 2 1

2 0 −1|= 4

-(1.2.-1+2.2.2+1.1.0-1.2.2-1.0.2-2.1.-1)=-A13 = (-1) 4 |1 m 1

2 1 −1|1

=1.0.-1+1.1.1+4m-1.0.2-1.1.2-1.-1.m=5m-A14 = (-1) 5 |1 m 2

2 1 0|= 4m

-(1.0.0+2.2.m+2.1.1-2.0.2-1.1.2-0.1.m)=-→det(A)= -2m+2 +3.(-4) +5.(5m-1) +2.(-4m)= 15m -15 det(A)≠ 0↔ 15m-5≠ 0 ↔m≠1

-25h1+4h2 → h2

2

222

223

d2

-7h1+h4→h4-5h1+h3h3-2h1+h2→

-5h1+h4⟶ h 4

Bài giảiNhìn ma trận ta thấy quy luật đường chéo chính luôn tăng từ 1 đến n

⇒Ta nhân dòng (2) với (-1) rồi cộng vào dòng (3),(4), ,(n) từ đó

ta có :

D=|1

20

0

220

0

221

n−2|

⌈

100

0

2

−20

0

2

−21

00

00

90

−27| 5

−13

1| 2

24

1| 2

22

24

−1|4

22

Mã hóa thông tin bằng ma trận nghịch đảo là một phươngpháp mã hóa thông tin bảo mật được sử dụng rộng rãi trong lĩnhvực mật mã học Phương pháp này sử dụng một ma trận đảo vàmột ma trận khóa để mã hóa dữ liệu Để giải mã dữ liệu, ngườinhận chỉ cần nhân dữ liệu đã mã hóa với ma trận khóa nghịchđảo để khôi phục lại dữ liệu ban đầu Phương pháp mã hóa nàyđảm bảo tính bảo mật cao và được ứng dụng rộng rãi trong cácứng dụng truyền thông an toàn.

Trong thực tiễn, có rất nhiều thông tin quan trọng cần phảibảo mật cao để tránh bị đánh cắp dữ liệu ảnh hưởng đến côngviệc vì vậy chúng ta phải mã hóa nó Sử dụng phương pháp matrận nghịch đảo kết hợp với phép toán ma trận là một công cụphù hợp để mã hóa cũng như bảo mật thông tin

1.1.2 Ví dụ:

Ví dụ: Cho ma trận A = [12 3 25 3 1] và 1 sự tương ứng giữa các

số và các kí tự như sau

-87 -65 -9 2 4 15 20 26 35

Một chàng trai muốn gửi 1 dòng tin nhắn cho bạn gái Đểđảm bảo bí mật anh ta dùng bảng tương ứng trên chuyểndòng tin nhắn này thành một dãy số và viết dãy số nàythành ma trận B theo nguyên tắc : lần lượt từ trái sangphải mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B Sau khitính C = B.A và chuyển C về dãy số thì ta được dãy: “ 1 2 1

2 0 3 3 1 4” Hãy giải dòng mã thông tin trên

Khi đó : B =[12 1 20 3 3 1 4] [−40 16 9 13−5−3 5−2 1− ] =

[−9 4 2 65 26 15−87 3520− ]

Dãy số của ma trận B là : -9 4 2 -65 26 15 -87 35 20Dãy kí tự là : TONHOCAU!

1.2 Ứng dụng trong nghiên cứu, sản xuất , kinh tế

1.2.1 Giới thiệu

Trong đời sống thực tiễn , có vô vàn tình huống được đạt ra

và cần được giải quyết việc áp dụng các ứng dụng của ma trận ,định thức giúp giải quyết các vẫn đề không chỉ trong phạm trùkhoa học mà còn trong sản xuất và kinh tế

Doanh thu tháng 1/2021 của cửa hàng 1 : 2.250.000 ( đồng)

Doanh thu tháng 1/2021 của cửa hàng 2 : 3.250.000 ( đồng)

● Lập ma trận F tính số lượng hàng tồn kho sau tháng 2/2021

13

Vậy số lợn là: 10 con, số gà là: 60 con, số vịt là: 30 con

Phần II: Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính:

2.1 Ứng dụng trong hóa học

Ví dụ: Cân bằng phương trình phản ứng này đồng thời nghĩa vớiviệc tìm các vị trí x, y, z và t sao cho số lượng các nguyên tử củamỗi nguyên tố là bằng nhau ở cả hai vế của phương trình:

xC2H6+ yO2→ zCO2+tH O2

Bài làm

Để cân bằng phương trình thì số nguyên tử ở vế trái và vế phảibằng nhau

Từ đây cho ta hệ phương trình tuyến tính sau:

{2 x=z 6 x=2t 2 y 2 z +t= với x, y, z, t là các số nguyên dương

Nghiệm tổng quát của hệ trên là: { y =7

Trong mạch điện, đi theo một vòng kín theo chiều tùy

ý, tổng đại số các điện áp trên các phần tử không phải là

nguồn áp sẽ bằng tổng các nguồn áp trong vòng kín đó,trong nguồn áp và dòng điện có chiều trùng với chiều đicủa vòng sẽ lấy dấu dương, ngược lại mang dấu âm.Hay nói cách khác: Trong mạch điện, đi theo mộtvòng kín theo chiều tùy ý, tổng đại số các điện áp trêncác phần tử bằng không.

( i4mang dấu âm có nghĩa chiều của i4 ngược với chiều đã chọn )Vậy ta thu được nghiệm là : (i1,i ,i ,i2 3 4) = (350

Ví dụ: Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A, B, C Mỗi sảnphẩm phải qua 3 công đoạn cắt, lắp ráp và đóng gói với thờigian yêu cầu cho mỗi công đoạn được liệt kê ở bảng sau:

Thời gian cắt để sản xuất sản phẩm là: 0.6x + x + 1.5x (giờ)1 2 3

Thời gian lắp ráp để sản xuất sản phẩm: 0.6x + 0.9x + 1.2x1 2 3

Trong bài tiểu luận này, chúng ta đã thảo luận về các khái niệm

cơ bản và quan trọng trong đại số tuyến tính, bao gồm ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận và hệ phương trình tuyến tính

Trước hết, chúng ta đã tìm hiểu về ma trận, một công cụ mạnh

mẽ được sử dụng để biểu diễn và xử lý dữ liệu tuyến tính Ma trận không chỉ là một công cụ linh hoạt cho việc biểu diễn dữ

liệu mà còn cho phép chúng ta thực hiện các phép toán như cộng, trừ, nhân và chia ma trận.

Tiếp theo, chúng ta đã nắm vững khái niệm về định thức của matrận, một đại lượng quan trọng xác định tính khả nghịch của ma trận và giải các hệ phương trình tuyến tính Định thức không chỉ cung cấp thông tin về tính chất của ma trận mà còn đóng vai tròquan trọng trong việc tính toán ma trận nghịch đảo

Ma trận nghịch đảo là một khái niệm quan trọng, đặc biệt khi giải các hệ phương trình tuyến tính Ma trận nghịch đảo của một

ma trận là ma trận mà khi nhân với ma trận gốc cho ra kết quả

là ma trận đơn vị Việc tìm ma trận nghịch đảo thường được thựchiện thông qua phương pháp khả nghịch Gauss-Jordan hoặc phương pháp khác

Hạng của ma trận là một khái niệm khác quan trọng, xác định sốlượng hàng hoặc cột độc lập trong ma trận Hạng của ma trận đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính chất của hệ phương trình tuyến tính và đảm bảo tính chất của các phép toán

ma trận

Cuối cùng, chúng ta đã thảo luận về hệ phương trình tuyến tính

và cách giải chúng bằng sử dụng ma trận và các công cụ liên quan Việc hiểu biết sâu sắc về các khái niệm này là chìa khóa

để áp dụng đại số tuyến tính vào nhiều lĩnh vực khác nhau như khoa học máy tính, kỹ thuật, kinh tế học và nhiều lĩnh vực khác

Tóm lại, việc hiểu và áp dụng đại số tuyến tính không chỉ mở ra cánh cửa cho sự hiểu biết sâu sắc về toán học mà còn là công cụmạnh mẽ trong việc giải quyết các vấn đề thực tế và nghiên cứutrong nhiều lĩnh vực