6 chuyên đề 6 đường tròn đường tròn và đường thẳng đường tròn và đường tròn

Chuyên đề ĐƯỜNG TRÒN – ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG TRÒN Theo bất đẳng thức Bun-nha-cốp-ski ax  by  Từ  1 ,   a  b2   x2  y    3  2R  d  d d 2R  d 2 suy S R  d R  d (không đổi) x y R  d 2R  d maxS=     a b IA IB tạo với IO góc 45 II Đường trịn đường thẳng 1.Có hai dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường trịn  C  - Nếu đường thẳng a vng góc với bán kính OC tai điểm C đường tròn a tiếp tuyến đường tròn  O   O; R  có khoảng cách từ O đến đường thẳng a thỏa mãn d R  O a tiếp tuyến đường trịn - Nếu đường trịn 2.Cần nắm vững tính chất hai tiếp tuyến khác 3.Với đường tròn nội tiếp tam giác ABC có cạnh a, b, c D, E tiếp điểm b c  a AD  AE  AB, AC Ví dụ 50 Cho đường trịn O đường kính AB , dây cung AC BD cắt E Gọi H hình chiếu E AB Tiếp tuyến đường tròn D cắt HE I  O Chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn Giải: Gọi K giao điểm AD BC Ta có AC  KB, BD  KA nên E trực tâm tam giác KAB , điểm K , I , E , H thẳng hàng DI tiếp tuyến  D1 phụ D2       Mặt khác, E1 E2 mà E2 phụ B1 nên E1 phụ B1       Ta lại có D2 B1 nên D1 E1  D3 K1 IK ID IE ECK vng có IC đường trung tuyến nên IC IE ID   OIC OID  OCI ODI 90  O Vậy IC tiếp tuyến đường trịn Ví dụ 51 Cho tam giác ABC vuông A, AB  AC Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác, r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Đặt r  BC a, AB c, AC b Tính tỷ số a : b : c biết R Giải: 5r 2 R Ta tính a, b, c theo R Ta có a 2r 5 R Gọi I tâm đường tròn nội tiếp, D E tiếp điểm AB AC Ta có AD  AE b  c  a Kết hợp với ADIE hình vng nên 2r b  c  a  1  b  c 2r  a 2r  5r 7r b  c a  5r  25r Từ  1    b  c Từ  2  b  c Từ 2  2 suy    b  c   b  c  7r   25r 24r  3 suy b  c  2bc 25r  24r r  1    3  4 suy b 4r , c 3r hay a : b : c 5 : :  O  đường kính AB , điểm M thuộc tia đối tia AB Ví dụ 51 Cho đường tròn Kẻ tiếp tuyến MI với đường tròn ( I tiếp điểm) Gọi C hình chiếu AB Chứng minh hệ thức MB AC MA.CB Giải:    MIO 90  I1 phụ OIA  1   IC  OA  I phụ OAI  2    1   suy I I Ta có IB vng Ta có: AIO OAI ( Tam giác OAI cân) nên từ góc với IB mà IA phân giác nên IA phân giác tam giác IMC Suy AM IM BM   AC IC BC  MB AC MA.CB Ví dụ 53 Trong tam giác vng ABC có cạnh huyền BC a Tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp lớn Giải: Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Bạn đọc tự chứng minh 2r b  c  a  1  b  c Ta có: Từ  1 2  b2  c  2a      2r a  a a rMax  a    21  r a   21  21 Vậy Dấu xảy  AC  AB III ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG TRỊN Nếu hai đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm hai đường trịn Nếu hai đường trịn cắt tiếp điểm đối xứng qua đường nối tâm hai đường trịn  O  đường kính AB đường trịn  O đường kính BC tiếp Ví dụ 54: Cho đường tròn  O  E tiếp điểm CE cắt đường trịn xúc ngồi B Qua C kẻ tiếp tuyến với đường tròn  O  D (khác C ) Chứng minh BE tia phân giác góc ABD Giải  O  F , K EF / / DK mà F B Gọi giao điểm EO , DB với       o  Ta có EBF 90 nên B3 phụ B2 , B4 phụ B1  B3 B4  Do BE tia phân giác góc ABD  O  bán kính cm, điểm A nằm ngồi đường trịn có Ví dụ 55: Cho đường trịn OA 8cm Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Vẽ đường tròn K qua C tiếp xúc với AB A a) Tính bán kính đường trịn b) Vẽ đường tròn đường tròn K I I K  O  B Chứng minh bán kính 3cm tiếp xúc với đường tiếp xúc ngồi với Lời giải  K  Ta có ACE  ACO 90o  90o 180O a) Đặt AK=R Vẽ đường kính AE nên E , C , O thẳng hàng OB  OA o  o  OBA vng B có nên A1 30 , E 60 Do AOE AE  AO 8 cm, Vậy R 4 cm b) Điểm O thuộc đoạn OB OI OB  IB 4  1 (cm) ABOK hình chữ nhật  OK  AB  Ok  AB OA2  OB 82  42 48 KI OK  OI 49  KI 7  cm   1 Tổng bán kính hai đường trịn Từ  1 ;   suy K I K I  7  cm   2 tiếp xúc ngồi Ví dụ 56 Cho nữa đường trịn tâm O đường kính AB 2 R ( với R 9cm ) Trên bán kính OA có điểm C D cho AC 6cm, AD 9cm Đường vng góc với OA D cắt nữa đường   tròn điểm E Điểm F thuộc nữa đường tròn cho ACF DCE Đường trịn tâm I bán kính x tiếp xúc với đoạn CF H , tiếp xúc với đoạn CE tiếp xúc với cung EF a/ Tính CH theo R, x b/ Tính x Giải CH IH CHI EDC  g g   ED CD a/ ED DA.DB 9  R    2 Từ  1  2 suy  1 IH ED x.3 R   x R   3 CD 2 2 2 b/ OCI vuông C  OI OC  CI OC  IH  CH CH  2   R  x   R    x  CH 2  4  3 ;   suy  R  x   R    x  x  2R   Từ   R   x  Rx  12  R  3 0  R  12  R    R  3  R  18   R   R  18  x 2  cm  Do R 9 x  nên Ví dụ 57 Cho hai đường trịn 2R   O  ,  O có cùng bán kính cắt A, B Vẽ phía OO bán kinh OC OD song song với Chứng minh A trực tâm tam giác BCD Giải Tứ giác OCDO có OC / / OD , OC OD nên hình bình hành , suy OO / / CD, OO CD  1 IO  OO Gọi I giao điểm AB OO AOO cân A , AI đường cao nên , IO  CD 1   2 kết hợp với có Kẻ đường kính AOK Ta có IO đường trung bình ABK  IO / / BK , IO  BK  3  1 ,    3 CD / / BK , CD BK CDKB Từ suy nên hình bình hành  DK / / BC Do DA  DK DK / / BC nên DA  BC Do BA  BK BK / / CD nên BA  CD Khi BCD có DA  BC , BA  CD nên A trực tâm Ví dụ 58 Cho hai đường tròn  O; R   O; r  , OO d Điểm M nằm  O  đến  O Gọi H hình hai đường trịn cho đoạn tiếp tuyến kẻ từ M đến chiếu M OO Tính OH Giải  O  ,  O MA, MB Gọi tiếp tuyến kẻ từ M đến Đặt OH  x, OH  y Ta có x  y d  1 x  y  OM  MH    OM  MH  OM  OM  MA2  R    MB  r  R  r  2 R2  r  1 ,   suy x  y  d  3 Từ R2  r d  R2  r 2 x  d   x   1 ,  3 suy d 2d Từ H Lưu ý : từ ví dụ suy điểm cố định tập hợp điểm M đường thẳng vng góc với OO H  O C AB 2 Ví dụ 59 Cho nữa đường trịn trịn Gọi I đường kính Điểm di chuyển nữa đường  K  đường tròn đường tròn tiếp xúc với bán kính OA, OC cung AC Gọi  I  ,  K  AB tiếp xúc với bán kính OB, OC cung BC Gọi tiếp điểm đường tròn theo thứ tự D, E Tìm giá trị nhỏ DE Hướng dẫn : Đặt OD  x, OE  y Hãy lập hệ thức giữa x, y Giải Đặt ID r1 , KR r2 Ta có OD OI  ID  x   r1   r12 1  2r1  1  x 2r1 Tương tự  2  y 2r2 ODI ~ KEO  g.g  Từ  1 ,   ,  3  OD DI x r     xy r1r2 KE EO r2 y   x    y  4 xy suy  3   x  y  x y 4 xy   xy  x y  x  y  xy    xy   x  y  Đặt x  y a 1 Do xy  nên  xy  x  y  x  y xy a   a  xy   a2  a2 a a   a 1    1 2     a 2 2  a 2     x y   21 C điểm giữa đường tròn BÀI TẬP Đường tròn 94 Cho nửa đường trịn  O đường kính AB Các điểm C , D thuộc nửa đường tròn, AC  CD  30 cm BD  14cm Tính bán kính đường tròn 95 Cho tam giác nhọn ABC , đường cao BE , CF Ở phía ngồi tam giác ABC , vẽ đường trịn đường kính AB , AC , chúng cắt BE CF theo thứ tự I K Chứng minh AI = AK 96 Cho đường trịn  O  đường kính AB , dây CD nằm phía AB Gọi E , F theo thứ tự hình chiếu vng góc A, B lên CD Kẻ dây DG vng góc với AB Chứng minh S AEFB S ACBG  O; R  Gọi D giao điểm AO BC , 97 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  R AC , F E giao điểm BO giao điểm CO AB Chứng minh OD  OE  OF  O; R  Dựng đường thẳng qua A cắt đường tròn  O  98 Cho điểm A nằm đường tròn BC a   a  R  B C cho  O  , đường kính AB cố định, điểm M chuyển động thuộc đường trịn đường kính AB , có MA  a, MB  b Điểm C chuyển động đường trịn Gọi D, E theo thứ tự hình chiếu M AC , BC Tìm vị trí điểm C để hình chữ nhật MDCE có diện tích lớn  O AB M 99 Cho đường tròn tâm 100 Cho đường tròn , dây cố định , điểm chuyển động đường trịn Vẽ hình bình hành BAMC Tìm vị trí điểm M để độ dài AC lớn  O  , đường kính AB 2 R Hai bán kính OC OD thay đổi  cho C thuộc cung AD COD 60 Tìm vị trí điểm C , D để tứ giác ACDB có diện tích 101 Cho nửa đường trịn lớn  O  đường kính AB 2 R , bán kính OC vng góc với AB , điểm M chuyển động cung CB Gọi H hình chiếu vng góc M OB Tìm vị trí điểm M để 102 Cho nửa đường tròn tam giác MOH có : a) Chu vi lớn b) Diện tích lớn MA  AB 103 Cho tam giác ABC Dựng điểm M cho MB  2MC có giá trị nhỏ Đường trịn đường thẳng  O  bán kính 2cm nội tiếp tam giác 104 Cho tam giác ABC vuông A , đường trịn a) Tính diện tích tam tam giác ABC , biết BC 13cm DB  b) Tính BC , biết DC ( D tiếp điểm đường tròn nội tiếp BC )  O d AB 105 Cho nửa đường trịn đường kính Gọi tiếp tuyến với nửa đường tròn M Gọi D , C theo thứ tự hình chiếu A, B d Chứng minh hệ thức CD 4 AD.BC 106 Cho đường tròn  O  nội tiếp hình thoi ABCD Kẻ tiếp tuyến với đường tròn  O  cắt cạnh CB, CD theo thứ tự G, H Chứng minh rằng: a) BE.DF  OB.OD b) EG song song với HF R ;R ;R 107 Cho tam giác có diện tích S , chu vi p, r bán kính đường trịn nội tiếp; theo thứ tự bán kính đường trịn bàng tiếp góc A, B, C Chứng minh a) S R1  p  a  R2  p  b  R3  p  c  ;  R  r R2  R3 b) A 90 108 Cho tam giác ABC , đường tròn I nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC , AC , AB theo thứ tự D, E , F Tia IA cắt EF H cắt đường tròn  I  K Gọi N giao điểm DK EF Tia phân giác góc BIC cắt BC M Chứng minh: a) IM song song KD b) KHN IDM c) AKN AIM d) Ba điểm A, N , M thẳng hàng 109 Trong tam giác ABC có đáy BC a , đường cao AH  h , tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất?  O; r  , tam giác có cạnh 110 Trong tam giác ABC vng A ngoại tiếp đường trịn huyền nhỏ nhất? 111 Cho hình vng ABCD cạnh a Vẽ cung BD phần tư đường trịn có tâm A , bán kính AB (nằm hình vng ABCD ) Gọi I điểm chuyển động cung BD Tiếp tuyến I cắt cạnh CB, CD theo thứ tự E , F Tìm vị trí điểm I để tam giác CEF có diện tích lớn 112 Cho tam giác nhọn ABC , BC  24cm , bán kính đường trịn nội tiếp 6cm Các đường trịn  D E  có cùng bán kính x tiếp xúc ngồi nhau, cùng tiếp xúc với cạnh BC , đường trịn tiếp xúc với AB , đường tròn tiếp xúc với AC Tính x ?  O  Vẽ đường tròn  I  tiếp xúc với 113 Cho tam giác ABC cạnh 6cm nội tiếp đường tròn hai cạnh AB, AC theo thứ tự M , N tiếp xúc với cung nhỏ BC Tính MN 114 Cho ba đường tròn đường tròn  O; R   A;1 ;  B;  ;  C;3 tiếp xúc ngồi đơi cùng tiếp xúc với Tính R 115 Cho hai đường tròn  O; R   O; r   R  r  Đường trịn  I  tiếp xúc ngồi  O   O’ theo thứ tự A, B Chứng minh đường tròn  I  thay đổi với hai đường trịn đường thẳng AB qua điểm cố định 116 Cho hai đường tròn tròn  O’ , cắt đường tròn  O  đường tròn  O’ G H  O; R   O; r  Kẻ tia tiếp tuyến OA, OB đến đường  O  , cắt C D Kẻ tia tiếp tuyến O’E , O’F đến đường tròn Chứng minh CD  GH  117 Cho hình bình hành ABCD có A  90 , AB  AD , cạnh AB lấy điểm E cho AE  AD Gọi F giao điểm DE CB Đường tròn  O  ngoại tiếp tam giác BEF đường tròn  O’ ngoại tiếp tam giác ABC cắt điểm thứ hai I Chứng minh IB song song với AC 118 Cho đường trịn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng d Tìm giá trị nhỏ tích hai bán kính đường trịn (I) (K) tiếp xúc ngồi nhau, tiếp xúc ngồi với đường trịn (O) tiếp xúc với đường thẳng d  O 119 Cho nửa đường tròn đường kính AB= 2R, điểm C đường trịn đường kính AB đường vng góc với AB C cắt nửa đường trịn D Tìm giá trị lớn tổng hai bán kính đường trịn (I) (K) tiếp xúc vói AB, tiếp xúc với đoạn CD tiếp xúc với nửa đường tròn  O LỜI GIẢI, CHỈ DẪN, ĐÁP SỐ Chuyên đề ĐƯỜNG TRÒN – ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG TRÒN 94 (h.252) Gọi H giao điểm OC AD Ta có CA CD OA OD nên OC  AD Đặt OA OC  x 2 2 Từ AC  HC OA  OH suy 302   x    x   x  x  450 0   x  25   x  18  0 ; OA 25 cm 95 (h.253) AIC vuông nên AI  AC AE  1 AKB vuông nên AK  AB AF  2 AE AF  cos A AB AC    AC AE  AB AF  3 Từ (1), (2), (3) suy AI  AK 96 (h.254) Gọi D’ giao điểm DG AB Kẻ CC '  AB S ACBG  S ABC  S ABG  AB CC ' GD '  AB 2  AB CC ' DD ' (vì DD ' GD ' ) Gọi M trung điểm CD, kẻ MM '  AB S ACBG  AB.MM' 2S AMB  1 MM '  CC ' DD' nên Gọi K giao điểm AM BF, dễ chứng minh MEA MFK nên S AEFB  S ABK 2 S AMB  2 Từ (1) (2) suy S ACBG S AEFB 97 (h.255) Đặt S AOB  S1 , S AOC S , S BOC S3 OD SODB  AO S1 Ta có   SODC SODB  SODC S3   S2 S1  S2 S1  S S3 OD  R S1  S S2 S1 OE OF   S1  S3 , R S  S3 Tương tự R S3 S1 S2 OD  OE  OF   R S  S S  S S  S 3 Suy S3 S1 S2   Bạn đọc tự chứng minh S  S3 S1  S3 S1  S 2 OD  OE  OF  R Xảy đẳng thức  S1 S2 S3  ABC Do 98 (h.256) Cách dựng : Dựng dây B ' C ' a , dựng OH '  B ' C ' Dựng đường trịn đường kính  O ; OH ' H AH cắt (O) B C AO, cắt đường tròn Chứng minh: Bạn đọc tự giải 99 (h.257) S MDCE  MD.ME   Đặt MAD  BME  , ta có MD MA sin  a sin  ME MB cos  b cos  S MDCE ab sin  cos    max S  ab sin   cos    ab ab  sin  cos     45  C điểm giữa cung AB 100 (h.258) Gọi I giao điểm AC BM Do MI  IB nên OI  BM , I chuyển động đường trịn đường kính OB AC lớn  AI lớn  đoạn AI qua trung điểm K OB Khi M vị trí M’ đối xứng với B qua điểm I’ vừa xác định 101 (h.259) COD  SCOD  R2  1 Đặt S ACDB  S S lớn  S AOC  S BOD lớn Gọi I trung điểm CD Kẻ II’, CC’, DD’ vng góc với AB Ta có S AOC  S BOD  R Ta lại có II '  IO  R Từ (1), (2), (3) suy max S  CC ' DD'  R.II ' S  2  3 R2 R 3R  R  4 3R    I’ trùng O  AOC  BOD 60 102 (h.260) Đặt MH  x , OH  y   x  y  2 x  y  R  R  x  y  MOH a) Chu vi Ta có  Chu vi MOH lớn R  R  x  y  BOM 45 b) S MOH x2  y R  MH OH  xy   2 R2  max S   x  y  BOM 45 103 (h.261) Giải tương tự Ví dụ 48 Dựng D trung điểm AB, I trung điểm AD  A ; AD  Dựng M giao điểm đoạn IC đường tròn 104 (h.262) a) Đặt AC b , AB c Ta có b  c 132 169  1 b  c 4  13 17 Do b  c  BC 2r (r bán kính đường trịn nội tiếp) nên Từ (1) (2) tính 2bc 120 Vậy S ABC 30 cm b) Đặt BD 2k , DC 3k BC 5k 2 2 2 2k     3k    5k  Từ AB  AC  BC ta có  BC 10  cm  Tìm k 2 , 105 (h.263) Kẻ MH  AB    Ta có MBC OMB  B1  MH MC  MD CD  2MH  4MH 4 AH BH 4 AD.BC 106 (h.264)        a) Đặt OBA OBC ODA m , OEF OEB n , OFE OFD  p Tứ giác BEFD có   m  n  p  360  m  n  p 180  BOE p BOE ∽ DFO (g.g) b) Tương tự  BE OB   BE.DF OB.OD OD DF BG.DH OB.OD Từ (1) (2) suy BE.DF  BG.DH   1  2 BE BG   BEG ∽ DHF DH DF (c.g.c)       BGE  DFH  BGE  m  DFH  m  I  K  2 (I, K giao điểm BD với EG, FH)  EG / / FH 107 a) Bạn đọc tự chứng minh cách xét diện tích tam giác S r p , R1  r R2  R3 câu a) suy b) Từ S S S S 1 1        p a p p b p c p a p p b p c  p   p  a p c p b a a    p  p  a  p  b  p  c p  p  a  p  b  p  c  p  p  a   p  b   p  c   p  p  2a   p  2b   p  2c    a  b  c   b  c  a   a  c  b   a  b  c  2   b  c   a a   b  c   b  c a  A 90     108 (h.265) a) Ta chứng minh IMC KDC Đặt B1  x , C1  y    180  x  y  x 90  x  y IMC MIB B 2 Ta có (1)  FDE    KDC KDE  EDC    90  y  Mà    D  180   90  x    90  y   x  y FDE 180  D x y x y  KDC    90  y  90   2 Nên (2)   Từ (1) (2) suy IMC KDC  IM //KD    b) IM //KD  DIM IDK IKD , KHN ∽ IDM (g.g) KN KA KN KH KH    IA Từ câu b) suy IM ID IK c) Ta chứng minh IM Ta có IH IA IE IK  IH IK IK  IH IA  IK KH KA      IK IA IK IA IK IA (3) (4) KN KA  IA Từ AKN ∽ AIM (c.g.c) Từ (3) (4) suy IM   d) Từ câu c) suy KAN IAM Suy A , N , M thẳng hàng 109 (h.266) AB  BC  CA S ABC  ah 2 Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp mà khơng đổi nên r lớn  AB  BC  CA nhỏ  AB  AC nhỏ Bạn đọc tự chứng minh ABC cân A S ABC r 110 (h.267) Ta có 2 BC 2  AB  AC   AB  AC   BC  2r   BC BC  2r  BC  2r 2r 21     AB  AC r  2  111 (h.268) SCEF  xy Đặt CE  x , CF  y Ta có  Do EAF 45 nên ta chứng minh CE  CF  EF CB  CD 2a (xem tập 21) 2 Suy x  y  x  y 2a (1) 2 Ta lại có x  y 2 xy , x  y 2 xy nên  x  y  x  y 2 xy  xy   xy  Từ (1) (2) suy  2a a  2  xy  (2) SCEF lớn  x  y Khi I giao điểm cung BD đường chéo AC 112 (h.269) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp ABC Kẻ IH  BC , IH cắt DE K IK DE  x 2x    x 4  cm  24 Ta có IH BC nên  I  cung nhỏ BC Tiếp tuyến K cắt AB , AC 113 (h.270) Gọi K tiếp điểm  I  nội tiếp tam giác ADE nên M , N theo thứ tự D , E Đường tròn trung điểm AD , AE , MN qua O MN AO MN     MN 4  cm  Gọi AH đường cao ABC , ta có BC AH  114 (h.271) Ta có AB 1  3 , AC 1  4 , BC 2  5 nên BAC 90 Vẽ hình chữ nhật ABOC O   C   O;  Do OC  AB 3 nên Vẽ đường tròn Đường tròn  A;1 tiếp xúc với  O;6  Đường tròn  B;  tiếp xúc với  O;  OB 6  Đường trịn  C ;3 tiếp xúc với  O;  OC 6  OA 6  Vậy O trùng O R 6cm 115 (h.272) Gọi K giao điểm AB OO  O Ta có A1 B B C  OC //OI Gọi C giao điểm thứ hai AB với  KO OC r   KO OA R  K cố định 116 (h.273) Gọi I , K theo thứ tự giao điểm OO với CD GH Ta có  R r CI R sin O OO  r R GK r sin O OO Nên CI GK Suy CD GH 117 (h.274) Ta có IB  OO Sẽ chứng minh OO  AC cách chứng minh OA OC (đã có) OA OC Xét OEA OBC , ta có OE OB , AE  AD BC   , cần chứng minh OEA OBC    OBE OEB BE BF nên OB đường trung trực EF  OBF    OBC OEA (bù với hai góc trên) OEA OBC (c.g.c)  OA OC Do Kết hợp với OA OC ta có OO đường trung trực AC Ta lại có OO đường trung trực IB nên AC //IB  O  ,  I  ,  K  d 118 (h.275) Gọi A , B , C theo thứ tự tiếp điểm đường tròn I , K Gọi x y theo thứ tự bán kính đường tròn AB  AC BC Từ   xy   Rx  Ry  suy 4 R xy R xy Rx  Ry 2 xy xy 4 R  xy 16 R  xy  16 R  x  y 4 R 119 (h.276) Gọi  I  I đường tròn đối xứng với đường tròn  I   K  Đặt x y bán kính đường trịn qua AB Ta có I K CI   CK x  y x  y  R  x    R  y   Từ I K I O  OK suy  x y 2R 2 R 1 max  x  y  2 R    21    x y  C trùng O     x  y  2 R