Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến bằng 60 0 .... Hai tiếp tuyến này không đi qua M..[r]
(1)ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN VD1: Cho tam giác ABC với A(-2 ; 1), B(4 ; 3), C(2 ; -3). a) Tìm phương trình tham số tổng quát cạnh BC b) Tìm phương trình đường cao AH
c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(-2 ; 1) song song với BC Kq: a) xy 43 3tt
; 3x - y - = 0; b)x + 3y - = 0; c) 3x - y + = VD2: Cho tam giác ABC với A(1 ; -1), B(-2 ; 1); C(3 ; 5).
a) Viết phương trình đường cao AH kẻ từ A đến trung tuyến BK tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác ABK
Kq: a) 4x + y - = 0; b) S = 11/2(đvdt)
VD3( ĐHKA - 2002): Trong mp Oxy, cho tam giác ABC vuông A (BC): 3x y 0; A B thuộc Ox, bán kính đường trịn nội tiếp r = Tìm trọng tâm G tam giác ABC
Kq: G(7 3;
3
); G( 3;
3
)
VD4 (ĐHKB - 2002): Trong mặt phẳng Oxy cho hình chử nhật ABCD có tâm I(1/2 ; 0); (AB): x - 2y + = AB = 2AD Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hồnh độ âm
Kq: A(-2 ; 0); B(2 ; 2); C(3 ; 0); D(-1 ; -2)
VD5 (ĐHKB 2003) Trong mp Oxy cho tam giác ABC có AB = AC, góc BAC = 900 M(1 ; -1) trung điểm BC; G(2/3 ; 0) trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác
Kq: A(0 ; 2); B(4 ; 0); C(-2; -2)
VD6 ( dự trữ ĐHKD 2003): Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(1 ; 0) hai đường thẳng chứa đường cao có phương trình tương ứng là: x - 2y + = 3x + y - = tính diện tích tam giác ABC
Kq: S = 14 (đvdt)
VD7 (ĐHKA 2004) Trong mp Oxy cho A(0 ; 2); B( 3; 1) Tìm tọa độ trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam gác OAB
Kq: H( 3; 1) ; E( 3;1)
VD8 (ĐHKB 2004): Trong mp Oxy cho A(1 ; 1); B(4 ; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x - 2y - = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB Kq: C(7 ; 3) hay C(-43/11; -27/11)
VD9 (ĐHKD 2004): Trong mp Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(-1 ; 0); B(4 ; 0); C(0 ; m) với m 0 Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G
Kq: G(1 ; m/3); m = 3
VD10 (dự trữ ĐHKB 2004): Trong mp Oxy cho I(-2 ; 0) hai đường thẳng d1: 2x - y + = 0; d2: x + y - = Viết ptđt d qua I cắt hai đường thẳng d1 d2 tai A, B cho: IA 2 IB
Kq: y =
3(x + 2)
(2)Kq: A(1 ; 1); C(1 ; -1); B(2 ; 0); D(0 ; 2) D(2 ; 0); B(0 ; 2)
VD12 (ĐHKA 2006) Trong mp Oxy cho đường thẳng d1: x + y + = 0; d2: x y -4 = 0; d3: x - 2y = Tìm m thuộc d3 cho khoảng cách từ M đến d1 lần khoảng cách từ M đến d2
Kq: M(-22 ; -11) M(2 ; 1)
VD13 (ĐHKB 2007) : Trong mp Oxy,cho A(2 ; 2) đường thẳng d1: x + y - = 0; d2: x + y - = Tìm điểm b thuộc d1, C thuộc d2 cho tam giác ABC vuông cân A
Kq: B(-1 ; 3); C(3 ; -5) B(3 ; -1); C(5 ; 3)
VD14 (ĐHKB 2008): Trong mp Oxy, Tìm tọa độ C tam giác ABC biết hình chiếu C lên đường thẳng AB H(-1 ; -1) Đường phân giác góc A: x - y + = 0; đường cao kẻ từ B: 4x + 3y - =
Hd: Gọi H’ đối xứng với H qua AD H’ thuộc AC H’(-3 ; 1) AC qua H’ vng góc với BK nên (AC): 3x - 4y + 13 =
A giao AD AC Tìm A(5 ; 7)
Ch qua H có vtpt AH nên (CH): 3x + 4y + = C giao CH AC
Kq: C(-10/3 ; 3/4)
VD15: Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(1 ; 2), đường trung tuyến BM: 2x + y + = 0, đường phân giác CD: x + y - = Viết phương trình đường thẳng BC HD: M(m ; -2m -1) suy C(2m - 1; -4m - 4) mà C thuộc CD, tính C(-7; 8) A’ đối xứng với A qua CD; Tìm A’(-1 ; 0) BC qua C A’
Kq: 4x + 3y + =
VD16: mp Oxy cho tam giác ABC có M(-1 ; 1) trung điểm cạnh, hai cạnh cịn lại có phương trình 2x + y - = 0; 3x + 2y - = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC
Hd: Khơng tính tổng qt ta cho M l;à trung điểm BC (AB) : 2x + y - = 0; (BC): 3x + 2y - = Khi A(-3; -4)
B(b, - 2b); C(c ; (1 - 3c)/2), dùng giả thiết M trung diểm BC, suy b = 7; c = -9 Do B(7 ; -12); C(-9 ; 14)
VD17: Cho tam giác ABC có đỉnh A(3 ; 1); B(1 ; -5), trực tâm H(1 ; 0) Xác định tọa độ đỉnh C Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Hd: Gọi C(x0; y0) Từ
0
CH AB BH AC
suy C(-2 ; 1). Gọi phương trình đường trịn 2
2
x y ax by c Giải hệ pt ẩn a = 1/2; b = -3/2; c = -10 Vậy ptđtròn 2
3 10 x y x y VD18: Trong mp Oxy cho A(-2 ; 0); B(0 ; 4)
a) Viết phương trình đường tròn (C) qua điểm O, A, B b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) A B
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) xuất phát từ M(4 ; 7) HD: a) x2 + y2+ 2x - 4y = 0.
b) Phương trình tiếp tuyến với (C) A: x + 2y + = 0, Tại B: x + 2y - = c) (C) có tâm I(-1 ; 2) Bán kính R =
(3)Do phương trình tiếp tuyến qua M(4 ; 7) có dạng: y = k(x 4) tức kx y + -4k = (d).(d) tiếp xúc với (C) d(I ; d) = R
2
5
k k
k
k = hay k = 1/2 Từ tìm (d): 2x - y - = (d): 1/2 x - y + =
VD19 (ĐHKD - 2003): Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4, đường thẳng (d): x - y - = Viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với đường trịn (C) qua d Tìm tọa độ giao điểm (C) (C’)
Kq: (C’): (x - 3)2 + y2 = 4.
Giao điểm (C) (C’) A(1 ; 0) B(3 ; 2)
VD20 (ĐHKB 2005): Trong mp Oxy, cho A(2 ; 0); B(6 ; ) Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục hồnh A khoảng cách từ tâm (C) đến B
HD: (C) tiếp xúc với Ox A nên IA i (1;0)
từ tìm tọa độ tâm I đường tròn
Kq: (C): (x - 2)2 + (y - 7)2 = 49 (C): (x - 2)2 + (y - 1)2 = 1. VD21 (Dự bị KA - 2002): Trong mp Oxy cho hai đường tròn: (C1): x2 + y2 - 10x = 0; (C2): x2 + y2 + 4x -2y - 20 = 0;
1) Viết phương trình đường trịn qua giao điểm (C1), (C2) có tâm nằm đường thẳng x + 6y - =
2) Viết phương trình tiếp tuyến chung đường tròn (C1) (C2) HD: 1) Phương trình đường trịn có dạng:
m(x2 + y2 - 10x ) + n(x2 + y2 + 4x -2y - 20) = với m2 + n2 > 0.
Xác định tâm theo m,n Mặt khác tâm thuộc x + 6y - = chọn m tùy ý suy n
Kq: x2 + y2 - 24x + 2y + 20 = 0;
2)C1(I1 ; R1); C2(I2 ; R2) suy I1I2 < R1+ R2 nên (C1) (C2) cắt điểm > có tiếp tuyến chung
Nhận thấy x = x0 tiếp tuyến chung nên tt có dạng : y = ax + b hay ax -y + b = ()
Sử dụng d(I1; ) = R1 = d(I12; ) = R2 = Kq: x + 7y - 25 =
Cách khác: R1 = R2 = nên tiếp tuyến song song với I I1
sử dụng d(I1; ) = R1 = ta có kq
VD22 (DỰ BỊ KB - 2005)Trong Oxy cho đường tròn (C1): x2 + y2 = 9; (C2): x2 + y2 - 2x - 2y - 23 = 0; Viết phương trình trục đẳng phương d đường tròn. Chứng minh K thuộc d khoảng cách từ K đến tâm (C1)nhỏ khoảng cách từ K đến tâm (C2)
Hd: Trục đẳng phương (d): (x2 + y2 - 9) - (x2 + y2 - 2x - 2y - 23) = hay x + y + =
Gọi K(xK ; yK) thuộc d ta chứng minh IK2 - OK2 > 0;
VD23:(ĐỀ 13 - 2010) Trong mp Oxy, cho (C): x2 + y2 + 2x - 4y + = đường thẳng (d) : x - y + = Tìm tọa độ M thuộc (d) mà từ kẻ tiếp tuyến với (C) tiếp điểm A, B cho AMB = 1200
Kq: M1(-1 ; 0); M2(1 ; 2)
(4)Kq: M1(0 ; 7); M2 (0 ; - 7)
VD25: (ĐỀ 16 - 2010): Trong mp Oxy, cho (C): (x - 1)2 + y 2 = điểm A(1 ; 1); B(1 ; -3/4) Viết phương trình đường thẳng d qua B cắt (C) M, N cho diện tích tam giác AMN lớn
Hd: Tâm đường tròn I(1 ; 0) Gọi (d): a(x - 1) + b( y + 3/4) = SAMN = 7/3 SIMN = 7/6 IM IN sin MIN
7
Dấu “=” xảy MIN= 900 d(I ; d) =
2 b2 2a Chon a = suy b
Kq: (d1): 2
2
x y (d2): 2
2
x y
ELIP Chú ý tiếp tuyến (E):
2
2
x y a b
+ Tiếp tuyến với (E) tiếp điểm M0(x0 ; y0) có phương trình 02
o
x x y y a b + Nếu tiếp điểm ta áp dụng tính chất () : Ax + By + C = tiếp xúc với (E):
2
2
x y a b
2 2
a A b B C
(*)
Hướng dẫn chứng minh (*) Ta đưa (E) dạng phương trình đường trịn cách đặt X = x/a; Y = y/b Bài tốn đưa tìm điều kiện để () : AaX + BbX + C = tiếp xúc với X2 + Y2 = 1, Tức d(O,
) = hay a A2 2b B2 C
Thường ta viết phương trình ()theo hệ số góc dạng : kx - y + c = lưu ý trường hợp () x’x tức (): x = a
VD1: Cho (E) : x2 + 4y2 - 40 = 0.
a) Xác định tiêu điểm, Hai đỉnh trục lớn, đỉnh trục nhỏ tâm sai (E)
b) Viết phương trình tiếp tuyến (E) M0(-2 ; 3)
c) Viết phương trình tiếp tuyến (E) biết xuất phát từ M(8 ; 0)
d) Viết phương trình tiếp tuyến với (E)biết vng góc với đường thẳng (d) : 2x -3y + = Tính tọa độ tiếp điểm
Hd: a) (E):
2
1 40 10
x y
Hai tiêu điểm nằm trục lớn F1( 30;0); F2( 30;0) Hai đỉnh nằm trục lớn A1( 10;0) ; A2(2 10;0);
Trục nhỏ nằm Oy vớ đỉnh B1(0; 10); B2(0; 10); Tâm sai (E) e = c/a =
2
b) Dễ thấy M0 thuộc (E) Kq: x - 6y + 20 =
c) Phương trình tiếp tuyến với (E) xuất phát từ M(8 ; 0)
(E) có hai tiếp tuyến phương với Oy x = 2 10 Hai tiếp tuyến không qua M Do phương trình tiếp tuyến có dạng : y = k(x - 8) hay kx - y - 8k = (
) () tiếp xúc với (E):
2
1 40 10
x y
40k210 60 k2 15
6
k
(5)Kq: 15x 6y 0 ; 15x6y 0
d) phương trình tiếp tuyến vng góc với (d) có dạng: (d’): 3x + 2y + c = (d’) tiếp xúc với (E) nên: 40.9 + 10 = C2 C20. Gọi M
0(x0 ; y0) tiếp điểm tiếp tuyến (d’) với (E) (d’) : 1
40 10
o
x x y y
x0x + 4y0y - 40 = Với C = 20 (d’): 3x + 2y + 20 = Do 0
0
4 40
1
3 20 20
x
x y
y
hay M0 (-6 ; -1) Tương tự với C = -20 M0(6 ; 1)
VD2 (ĐHKD - 2002): Cho (E):
2
1
16
x y
Cho M di chuyển Ox N di chuyển Oy cho đường thẳng MN tiếp xúc với(E) Tìm tọa độ M, N cho độ dài đoạn Mn ngắn nhất, Tìm độ dài đoạn ngắn
Hd: M(m , 0); n(0 ; n) MN: nx + my - nm = 0; MN tiếp xúc với (E) nên 16n2 + 9m2 = m2n2.
Ta có MN2 = m2 + n2 theo bunhia = 2
2
4 16
.m n m n MN
m n m n
MN nhỏ
2
3
4
m n
m n
m n
, kết hợp m2 + n2 = 49 ta tìm được m = 7;n 21 (Vì m, n > 0)
VD3 (ĐHKD - 2005): Trong mp Oxy cho C(2 ; 0) (E):
2
1
4
x y
Tìm tọa độ điểm A., B thuộc (E), biết hai điểm A, B đối xứng với qua trục hoành tam giac ABC tam giác
HD: A( , 2)
a
a ; B( , 2)
a
a với -2 < a < Sử dụng CA2 = AB2 tìm a = 2(loại), a = 2/7
Kq: A(2 3;
7 ) B(
2
;
7 ) A(
2
;
7 ) (
2 ;
7 )
VD4 (ĐHKD - ): Trong mp Oxy, cho (E): 2
9
x y
đường thẳng dm: mx - y - =
a) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng dm cắt (E) hai điểm phân biệt
b) Viết phương trình tiếp tuyến (E), biết tiếp tuến qua N(1 ; -3) HD: a) (E): 4x2 + 9y2 - 36 = d
m: y = mx -1 Phương trình hồnh độ giao điểm (dm) (E): (4 + 9m2)x2 - 18mx - 25 = Có ’ > (đpcm)
b) 1: x + 2y + = 0; 2: 5x - 4y - 17 =
VD5 (DỰ TRỮ KA - 2003): Trong mp Oxy cho (E):
2
1
4
x y
M(-2 ; 3); N(5 ; n) Viết phương trình đường thẳng d1, d2 qua M tiếp xúc với (E) Tìm n để số tiếp tuyến (E) qua N có tiếp tuyến song song với d1 d2
Kq: a) d1: x = -2; d2: 2x + 3y - =
(6)VD6 (ĐHKA - 2008): Trong mp Oxy, lập phương trình tắc (E) có tâm sai
3 hình chử nhật sở có chu vi 20
HD: e = c/a = 2
3
a b a
; 2(2a + 2b) = 20 Kq: (E):
2
1
9
x y VD7: Trong Oxy cho (E): 2
9
x y
Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua M(1 ; 1) cắt (E) hai điểm A, B cho M trung điểm đoạn thẳng AB
HD: M trung điểm AB: xA + xB = 2; yA + yB = nên xA2 = (2 - xB)2; yA2 = (2 - yB)2; Ví A, B thuộc (E) nên
2 2
( 1)
9
A A B B
x y x y
2 2
(2 ) (2 )
( )
9
B B B B
x y x y
suy 4xB + 9yB = 13 Tương tự 4xA + 9yA = 13 Vậy phương trình cần tìm : 4x + 9y - 13 =
PARABOL *) Chú ý phương trình tiếp tuyến (P): y2 = 2px.
+ Tiếp tuyến với (P) tiếp điểm M0(x0 ; y0) có phương trình yy0 = p(x + x0) + Nếu khơng biết tiếp điểm ta áp dụng tính chất () : Ax + By + C = tiếp xúc với (P): y2 = 2px pB2 2AC
(*) Hd chứng minh (*): Từ (P) suy x = y2/2p Thay vào phương trình đường thẳng cho =
VD1: cho (P): y2 - 8x = 0.
1) Xác định tiêu điểm F đường chuẩn () (P) 2) Viết phương trình tiếp tuyến (P) M(2 ; 4)
3) Viết phương trình tiếp tuyến (P) biết song song với đường thẳng (d): 2x -y + = Su-y tọa độ tiếp điểm
4) Viết phương trình tiếp tuyến (P) biết xuất phát từ I(-3 ; 0), suy tọa độ tiếp điểm
Hd: 1) F(2 ; 0); (d): x = -2 2) x + y + =
3)tiếp tuyến có dạng(d’) : 2x - y + c = (d’) tiếp xúc với y2 = 8x nên 4.(-1)2 = 2.2c c = 1.
Kq: (d’) : 2x - y + = Tiếp tuyến tiếp điềm Gọi M0(x0 ; y0) có phương trình trình yy0 = 4(x + x0) 4x - yy0 + 4x0 = mà (d’): 2x - y + = ta có tỉ lệ 4
2 1
y x
Kq: M0(1/2 ; 2)
4) tiếp tuyến với (P) phương với Oy: x = khơng qua I Do tiếp tuyến (d’’) qua I có dạng : y - = k(x + 3)
Kq: (d’’): 6x 3y3 0 tiếp điểm (3;2 6) (d’’): 6x3y3 0 tiếp điểm (3; 6)
VD2: (DỰ TRỮ KA - 2003): Trong mp Oxy cho (P): y2 = x I(0 ; 2) Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc (P) cho IM 4IN