ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN VD1: Cho tam giác ABC với A(-2 ; 1), B(4 ; 3), C(2 ; -3). a) Tìm phương trình tham số và tổng quát của cạnh BC. b) Tìm phương trình đường cao AH. c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(-2 ; 1) và song song với BC. Kq: a) 4 3 3 x t y t = + = + ; 3x - y - 9 = 0; b)x + 3y - 1 = 0; c) 3x - y + 7 = 0. VD2: Cho tam giác ABC với A(1 ; -1), B(-2 ; 1); C(3 ; 5). a) Viết phương trình đường cao AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC. b) Tính diện tích tam giác ABK. Kq: a) 4x + y - 3 = 0; b) S = 11/2(đvdt). VD3( ĐHKA - 2002): Trong mp Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. (BC): 3 3 0;x y− − = A và B thuộc Ox, bán kính đường tròn nội tiếp r = 2. Tìm trọng tâm G của tam giác ABC. Kq: G( 7 4 3 6 2 3 ; 3 3 + + ); G( 4 3 1 6 2 3 ; 3 3 − − − − ). VD4 (ĐHKB - 2002): Trong mặt phẳng Oxy cho hình chử nhật ABCD có tâm I(1/2 ; 0); (AB): x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm. Kq: A(-2 ; 0); B(2 ; 2); C(3 ; 0); D(-1 ; -2). VD5 (ĐHKB 2003) Trong mp Oxy cho tam giác ABC có AB = AC, góc BAC = 90 0 . M(1 ; -1) là trung điểm của BC; G(2/3 ; 0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. Kq: A(0 ; 2); B(4 ; 0); C(-2; -2). VD6 ( dự trữ ĐHKD 2003): Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(1 ; 0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao có phương trình tương ứng là: x - 2y + 1 = 0 và 3x + y - 1 = 0. tính diện tích tam giác ABC. Kq: S = 14 (đvdt). VD7 (ĐHKA 2004) Trong mp Oxy cho A(0 ; 2); B( 3; 1)− − . Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam gác OAB. Kq: H( 3; 1)− ; E( 3;1)− . VD8 (ĐHKB 2004): Trong mp Oxy cho A(1 ; 1); B(4 ; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x - 2y - 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. Kq: C(7 ; 3) hay C(-43/11; -27/11). VD9 (ĐHKD 2004): Trong mp Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1 ; 0); B(4 ; 0); C(0 ; m) với m ≠ 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G. Kq: G(1 ; m/3); m = 3 6± . VD10 (dự trữ ĐHKB 2004): Trong mp Oxy cho I(-2 ; 0) và hai đường thẳng d 1 : 2x - y + 5 = 0; d 2 : x + y - 3 = 0. Viết ptđt d đi qua I và cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt tai A, B sao cho: 2IA IB= uur uur . Kq: y = 7 3 (x + 2). VD11 (ĐHKA 2005) Trong mp Oxy cho 2 đường thẳng d 1 : x - y = 0; d 2 : 2x + y - 1 = 0. Tìm các đỉnh của hình vuông ABCD biết A thuộc d 1 , C thuộc d 2 , B và D thuộc Ox. Kq: A(1 ; 1); C(1 ; -1); B(2 ; 0); D(0 ; 2) hoặc D(2 ; 0); B(0 ; 2). 1 VD12 (ĐHKA 2006) Trong mp Oxy cho 3 đường thẳng d 1 : x + y + 3 = 0; d 2 : x - y - 4 = 0; d 3 : x - 2y = 0. Tìm m thuộc d 3 sao cho khoảng cách từ M đến d 1 bằng 2 lần khoảng cách từ M đến d 2 . Kq: M(-22 ; -11) hoặc M(2 ; 1). VD13 (ĐHKB 2007) : Trong mp Oxy,cho A(2 ; 2) và các đường thẳng d 1 : x + y - 2 = 0; d 2 : x + y - 8 = 0. Tìm các điểm b thuộc d 1 , C thuộc d 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Kq: B(-1 ; 3); C(3 ; -5) hoặc B(3 ; -1); C(5 ; 3). VD14 (ĐHKB 2008): Trong mp Oxy, Tìm tọa độ C của tam giác ABC biết hình chiếu của C lên đường thẳng AB là H(-1 ; -1). Đường phân giác trong góc A: x - y + 2 = 0; đường cao kẻ từ B: 4x + 3y - 1 = 0. Hd: Gọi H’ đối xứng với H qua AD thì H’ thuộc AC. H’(-3 ; 1). AC qua H’ và vuông góc với BK nên (AC): 3x - 4y + 13 = 0. A là giao của AD và AC. Tìm được A(5 ; 7). Ch qua H và có vtpt AH uuur nên (CH): 3x + 4y + 7 = 0. C là giao của CH và AC. Kq: C(-10/3 ; 3/4). VD15: Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(1 ; 2), đường trung tuyến BM: 2x + y + 1 = 0, đường phân giác CD: x + y - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC. HD: M(m ; -2m -1) suy ra C(2m - 1; -4m - 4) mà C thuộc CD, tính được C(-7; 8). A’ đối xứng với A qua CD; Tìm được A’(-1 ; 0). BC đi qua C và A’. Kq: 4x + 3y + 4 = 0. VD16: trong mp Oxy cho tam giác ABC có M(-1 ; 1) là trung điểm của một cạnh, hai cạnh còn lại có phương trình 2x + y - 2 = 0; 3x + 2y - 1 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Hd: Không mất tính tổng quát ta cho M l;à trung điểm của BC. (AB) : 2x + y - 2 = 0; (BC): 3x + 2y - 1 = 0. Khi đó A(-3; -4). B(b, 2 - 2b); C(c ; (1 - 3c)/2), dùng giả thiết M là trung diểm của BC, suy ra b = 7; c = -9. Do đó B(7 ; -12); C(-9 ; 14). VD17: Cho tam giác ABC có các đỉnh A(3 ; 1); B(1 ; -5), trực tâm H(1 ; 0). Xác định tọa độ đỉnh C. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Hd: Gọi C(x 0 ; y 0 ). Từ 0 0 CH AB BH AC = = uuuruuur uuuruuur suy ra C(-2 ; 1). Gọi phương trình đường tròn 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = . Giải hệ 3 pt 3 ẩn được a = 1/2; b = -3/2; c = -10. Vậy ptđtròn 2 2 3 10 0x y x y+ + + − = . VD18: Trong mp Oxy cho A(-2 ; 0); B(0 ; 4) a) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm O, A, B. b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại A và B. c) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) xuất phát từ M(4 ; 7). HD: a) x 2 + y 2 + 2x - 4y = 0. b) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A: x + 2y + 2 = 0, Tại B: x + 2y - 8 = 0. c) (C) có tâm I(-1 ; 2). Bán kính R = 5 . Hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là x = -1 5± . Hai tiếp tuyến này không qua M(4 ; 7). 2 Do đó phương trình tiếp tuyến qua M(4 ; 7) có dạng: y - 7 = k(x - 4) tức kx - y + 7 - 4k = 0 (d).(d) tiếp xúc với (C) ⇔ d(I ; d) = R ⇔ 2 2 7 4 5 1 k k k − − + − = ⇔ + k = 2 hay k = 1/2. Từ đó tìm ra (d): 2x - y - 1 = 0 hoặc (d): 1/2 x - y + 5 = 0. VD19 (ĐHKD - 2003): Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x - 1) 2 + (y - 2) 2 = 4, và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’). Kq: (C’): (x - 3) 2 + y 2 = 4. Giao điểm của (C) và (C’) là A(1 ; 0) và B(3 ; 2). VD20 (ĐHKB 2005): Trong mp Oxy, cho A(2 ; 0); B(6 ; 4 ). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm của (C) đến B bằng 5. HD: (C) tiếp xúc với Ox tại A nên (1;0)IA i⊥ uur r từ đó tìm được tọa độ tâm I của đường tròn Kq: (C): (x - 2) 2 + (y - 7) 2 = 49 hoặc (C): (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 1. VD21 (Dự bị KA - 2002): Trong mp Oxy cho hai đường tròn: (C 1 ): x 2 + y 2 - 10x = 0; (C 2 ): x 2 + y 2 + 4x -2y - 20 = 0; 1) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C 1 ), (C 2 ) và có tâm nằm trên đường thẳng x + 6y - 6 = 0. 2) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C 1 ) và (C 2 ). HD: 1) Phương trình đường tròn có dạng: m(x 2 + y 2 - 10x ) + n(x 2 + y 2 + 4x -2y - 20) = 0. với m 2 + n 2 > 0. Xác định tâm theo m,n. Mặt khác tâm thuộc x + 6y - 6 = 0. chọn m tùy ý và suy ra n. Kq: x 2 + y 2 - 24x + 2y + 20 = 0; 2)C 1 (I 1 ; R 1 ); C 2 (I 2 ; R 2 ) suy ra I 1 I 2 < R 1 + R 2 nên (C 1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại 2 điểm > có 2 tiếp tuyến chung. Nhận thấy x = x 0 không phải là tiếp tuyến chung nên tt có dạng : y = ax + b hay ax - y + b = 0 ( ∆ ). Sử dụng d(I 1 ; ∆ ) = R 1 = 5. d(I 12 ; ∆ ) = R 2 = 5. Kq: x + 7y - 5 25 2± = 0. Cách khác: R 1 = R 2 = 5. nên tiếp tuyến song song với 1 2 I I uuur và sử dụng d(I 1 ; ∆ ) = R 1 = 5 ta cũng có kq như trên. VD22 (DỰ BỊ KB - 2005)Trong Oxy cho 2 đường tròn (C 1 ): x 2 + y 2 = 9; (C 2 ): x 2 + y 2 - 2x - 2y - 23 = 0; Viết phương trình trục đẳng phương d của 2 đường tròn. Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khoảng cách từ K đến tâm của (C1)nhỏ hơn khoảng cách từ K đến tâm của (C 2 ). Hd: Trục đẳng phương (d): (x 2 + y 2 - 9) - (x 2 + y 2 - 2x - 2y - 23) = 0 hay x + y + 7 = 0. Gọi K(x K ; y K) thuộc d ta chứng minh được IK 2 - OK 2 > 0; VD23:(ĐỀ 13 - 2010) Trong mp Oxy, cho (C): x 2 + y 2 + 2x - 4y + 2 = 0 và đường thẳng (d) : x - y + 1 = 0. Tìm tọa độ M thuộc (d) mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) tại 2 tiếp điểm A, B sao cho AMB∠ = 120 0 . Kq: M 1 (-1 ; 0); M 2 (1 ; 2). VD24: (ĐỀ 14 - 2010): Trong mp Oxy cho (C): x 2 + y 2 - 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến bằng 60 0 . Kq: M 1 (0 ; 7 ); M 2 (0 ; - 7 ). 3 VD25: (ĐỀ 16 - 2010): Trong mp Oxy, cho (C): (x - 1) 2 + y 2 = 1 và 2 điểm A(1 ; 1); B(1 ; -3/4). Viết phương trình đường thẳng d đi qua B và cắt (C) tại M, N sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất. Hd: Tâm đường tròn I(1 ; 0). Gọi (d): a(x - 1) + b( y + 3/4) = 0. S AMN = 7/3 S IMN = 7/6 IM . IN sin MIN ∠ 7 6 ≤ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi MIN ∠ = 90 0 . d(I ; d) = 2 2 2 2b a⇔ = ± . Chon a = 1 suy ra b. Kq: (d 1 ): 3 2 2 2 1 0. 2 x y+ + − = (d 2 ): 3 2 2 2 1 0. 2 x y− − − = ELIP • Chú ý về tiếp tuyến của (E): 2 2 2 2 1 x y a b + = . + Tiếp tuyến với (E) tại tiếp điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) có phương trình 0 2 2 1 o x x y y a b + = + Nếu không biết tiếp điểm ta áp dụng tính chất ( ∆ ) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (E): 2 2 2 2 1 x y a b + = 2 2 2 2 a A b B C⇔ + = (*) Hướng dẫn chứng minh (*). Ta đưa (E) về dạng phương trình đường tròn bằng cách đặt X = x/a; Y = y/b. Bài toán đưa về tìm điều kiện để ( ∆ ) : AaX + BbX + C = 0 tiếp xúc với X 2 + Y 2 = 1, Tức d(O, ∆ ) = 1 hay 2 2 2 2 a A b B C+ = . Thường ta viết phương trình ( ∆ )theo hệ số góc dạng : kx - y + c = 0 và lưu ý trường hợp ( ∆ ) ⊥ x’x tức ( ∆ ): x = a± . VD1: Cho (E) : x 2 + 4y 2 - 40 = 0. a) Xác định tiêu điểm, Hai đỉnh trên trục lớn, 2 đỉnh trên trục nhỏ và tâm sai của (E). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M 0 (-2 ; 3). c) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết nó xuất phát từ M(8 ; 0). d) Viết phương trình tiếp tuyến với (E)biết nó vuông góc với đường thẳng (d) : 2x - 3y + 1 = 0. Tính tọa độ tiếp điểm. Hd: a) (E): 2 2 1 40 10 x y + = . Hai tiêu điểm nằm trên trục lớn F 1 ( 30;0)− ; F 2 ( 30;0) . Hai đỉnh nằm trên trục lớn A 1 ( 2 10;0)− ; A 2 (2 10;0) ; Trục nhỏ nằm trên Oy vớ 2 đỉnh là B 1 ( 0; 10)− ; B 2 ( 0; 10) ; Tâm sai của (E) là e = c/a = 3 2 b) Dễ thấy M 0 thuộc (E). Kq: x - 6y + 20 = 0. c) Phương trình tiếp tuyến với (E) xuất phát từ M(8 ; 0) (E) có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là x = 2 10± . Hai tiếp tuyến này không đi qua M. Do đó phương trình tiếp tuyến có dạng : y = k(x - 8) hay kx - y - 8k = 0 ( ∆ ). ( ∆ ) tiếp xúc với (E): 2 2 1 40 10 x y + = 2 2 40 10 60k k⇔ + = 15 6 k⇔ = ± . Kq: 15 6 8 5 0x y− − = ; 15 6 8 5 0x y+ − = . d) phương trình tiếp tuyến vuông góc với (d) có dạng: (d’): 3x + 2y + c = 0. 4 (d’) tiếp xúc với (E) nên: 40.9 + 10 . 4 = C 2 20.C⇔ = ± Gọi M 0 (x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến (d’) với (E) thì (d’) : 0 1 40 10 o x x y y + = ⇔ x 0 x + 4y 0 y - 40 = 0. Với C = 20 thì (d’): 3x + 2y + 20 = 0. Do đó 0 0 0 0 6 4 40 1 3 20 20 x x y y = − − ⇒ = = ⇔ = − hay M 0 (-6 ; -1). Tương tự với C = -20 thì M 0 (6 ; 1). VD2 (ĐHKD - 2002): Cho (E): 2 2 1 16 9 x y + = . Cho M di chuyển trên Ox. N di chuyển trên Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với(E). Tìm tọa độ M, N sao cho độ dài đoạn Mn ngắn nhất, Tìm độ dài đoạn ngắn nhất đó. Hd: M(m , 0); n(0 ; n). MN: nx + my - nm = 0; MN tiếp xúc với (E) nên 16n 2 + 9m 2 = m 2 n 2 . Ta có MN 2 = m 2 + n 2 . theo bunhia 7 = 2 2 2 2 4 3 16 9 . .m n m n MN m n m n + ≤ + + = . MN nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 2 3 4 4 3 m n m n m n = ⇔ = , kết hợp m 2 + n 2 = 49 ta tìm được m = 2 7; 21n = (Vì m, n > 0). VD3 (ĐHKD - 2005): Trong mp Oxy cho C(2 ; 0) và (E): 2 2 1 4 1 x y + = . Tìm tọa độ các điểm A., B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giac ABC là tam giác đều. HD: A 2 4 ( , ) 2 a a − ; B 2 4 ( , ) 2 a a − − với -2 < a < 2. Sử dụng CA 2 = AB 2 tìm được a = 2(loại), a = 2/7. Kq: A( 2 4 3 ; 7 7 ) và B( 2 4 3 ; 7 7 − ) hoặc A( 2 4 3 ; 7 7 − ) và ( 2 4 3 ; 7 7 ). VD4 (ĐHKD - ): Trong mp Oxy, cho (E): 2 2 1 9 4 x y + = và đường thẳng d m : mx - y - 1 = 0. a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng d m luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuến đó đi qua N(1 ; -3). HD: a) (E): 4x 2 + 9y 2 - 36 = 0. d m : y = mx -1. Phương trình hoành độ giao điểm của (d m ) và (E): (4 + 9m 2 )x 2 - 18mx - 25 = 0. Có ∆ ’ > 0 (đpcm). b) ∆ 1 : x + 2y + 5 = 0; ∆ 2 : 5x - 4y - 17 = 0. VD5 (DỰ TRỮ KA - 2003): Trong mp Oxy cho (E): 2 2 1 4 1 x y + = . M(-2 ; 3); N(5 ; n). Viết phương trình đường thẳng d 1 , d 2 qua M và tiếp xúc với (E). Tìm n đểtrong số các tiếp tuyến của (E) đi qua N có một tiếp tuyến song song với d 1 hoặc d 2. Kq: a) d 1 : x = -2; d 2 : 2x + 3y - 5 = 0. b) Dễ thấy tiếp tuyến qua N(5 ; n) không song song với x = -2. Kq: N(5 ; -5). VD6 (ĐHKA - 2008): Trong mp Oxy, lập phương trình chính tắc của (E) có tâm sai bằng 5 3 và hình chử nhật cơ sở có chu vi 20. 5 HD: e = c/a = 2 2 5 3 a b a − = ; 2(2a + 2b) = 20. Kq: (E): 2 2 1 9 4 x y + = . VD7: Trong Oxy cho (E): 2 2 1 9 4 x y + = .Viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ đi qua M(1 ; 1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB. HD: M là trung điểm của AB: x A + x B = 2; y A + y B = 2 nên x A 2 = (2 - x B ) 2 ; y A 2 = (2 - y B ) 2 ; Ví A, B thuộc (E) nên 2 2 2 2 ( 1) 9 4 9 4 A A B B x y x y + = + = 2 2 2 2 (2 ) (2 ) ( ) 0 9 4 9 4 B B B B x y x y− − ⇔ + − + = suy ra 4x B + 9y B = 13. Tương tự 4x A + 9y A = 13. Vậy phương trình cần tìm là : 4x + 9y - 13 = 0. PARABOL *) Chú ý về phương trình tiếp tuyến của (P): y 2 = 2px. + Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) có phương trình yy 0 = p(x + x 0 ). + Nếu không biết tiếp điểm ta áp dụng tính chất ( ∆ ) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P): y 2 = 2px. 2 2pB AC⇔ = (*). Hd chứng minh (*): Từ (P) suy ra x = y 2 /2p. Thay vào phương trình đường thẳng và cho ∆ = 0. VD1: cho (P): y 2 - 8x = 0. 1) Xác định tiêu điểm F và đường chuẩn ( ∆ ) của (P). 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại M(2 ; 4). 3) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết nó song song với đường thẳng (d): 2x - y + 5 = 0. Suy ra tọa độ tiếp điểm. 4) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết nó xuất phát từ I(-3 ; 0), suy ra tọa độ tiếp điểm. Hd: 1) F(2 ; 0); (d): x = -2. 2) x + y + 2 = 0. 3)tiếp tuyến có dạng(d’) : 2x - y + c = 0. (d’) tiếp xúc với y 2 = 8x nên 4.(-1) 2 = 2.2c do đó c = 1. Kq: (d’) : 2x - y + 1 = 0. Tiếp tuyến tại tiếp điềm Gọi M 0 (x 0 ; y 0 ) có phương trình trình yy 0 = 4(x + x 0 ) ⇔ 4x - yy 0 + 4x 0 = 0 mà (d’): 2x - y + 1 = 0 ta có được tỉ lệ 0 0 4 4 2 1 1 y x = = . Kq: M 0 (1/2 ; 2). 4) tiếp tuyến với (P) và cùng phương với Oy: x = 0 không đi qua I. Do đó tiếp tuyến (d’’) đi qua I có dạng : y - 0 = k(x + 3). Kq: (d’’): 6 3 3 6 0x y− + = khi đó tiếp điểm ( 3;2 6) hoặc (d’’): 6 3 3 6 0x y+ + = khi đó tiếp điểm ( 3; 2 6)− . VD2: (DỰ TRỮ KA - 2003): Trong mp Oxy cho (P): y 2 = x và I(0 ; 2). Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc (P) sao cho I 4M IN= uuur uur . Kq: M 1 (4 ; -2); N 1 (1 ; 1); M 2 (36 ; 6); N 2 (9 ; 3). 6 . VD7 (ĐHKA 2004) Trong mp Oxy cho A(0 ; 2); B( 3; 1)− − . Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam gác OAB. Kq: H( 3; 1)− ; E( 3;1)− . VD8 (ĐHKB. ; 3). VD14 (ĐHKB 2008): Trong mp Oxy, Tìm tọa độ C của tam giác ABC biết hình chiếu của C lên đường thẳng AB là H(-1 ; -1). Đường phân giác trong góc A: