Baøi ñöôøng troøn trong chöông trình lôùp 12 bao goàm caùc vaán ñeà chính laø : Tìm phöông trình ñöôøng troøn; caùc baøi toaùn lieân quan ñeán vò trí töông ñoái giöõañöôøng thaúng vaø [r]
(1)CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN 1 Để tìm phương trình đường trịn ta cần lưu ý:
Phương trình đường trịn (C) tâm I(a, b) bán kính R :
( )2 + ( = R2
x a− )2
y b−
Phương trình (C) dạng khai triển :
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = ( hay x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0)
với c = a2 + b2 – R2 ⇔ R2 = a2 + b2 −c
Do ta phải có điều kiện a2 + b2 – c ≥
Phương trình tham số đường trịn tâm I(a, b) bán kính R là: (t
x a R cos t y b R sin t
= + ⎧
⎨ = +
⎩ ∈ R)
2 Để viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn ta cần phân biệt : a) Trường hợp biết tiếp điểm : ta dùng công thức phân đôi tọa độ : Tiếp tuyến (Δ) tiếp điểm M0(x0, y0) với :
- đường tròn (C) : ( )2 + = R2 x a− (
y b− )
)
(x0 – a) (x – a) + (y0 – b) (y – b) = R2
- đường tròn (C) : x2 + y2 – 2ax – 2by + c =
x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c =
b) Trường hợp tiếp điểm, ta áp dụng tính chất : Đường thẳng (Δ) tiếp xúc với đường trịn tâm I bán kính R ⇔ d( I , )Δ = R
c) đường trịn (C) : ( ) + = R2 có tiếp tuyến phương với Oy x =
a R Ngoài tiếp tuyến x = a
2
x a− (
y b−
± ±R, tiếp tuyến khác với đường trịn ( C) có dạng y = kx + m dạng y = k ( x –x0 ) + y0 tiếp tuyến qua ( x0 , y0 )
điểm nằm ngồi đường trịn
(2)Trong mặt phẳng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4)
a) Viết phương trình đường trịn (C) qua điểm O, A, B
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn (C) A, B c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) phát xuất từ điểm M(4, 7)
Giaûi
a) Phương trình đường trịn (C) có dạng : x2 + y2 – 2ax – 2by + c =
Đường tròn (C) qua điểm O, A, B nên :
0
4
16
c
a c b c =
⎧
⎪ + + = ⎨
⎪ − + = ⎩
⇔
0 c a b
= ⎧ ⎪ = − ⎨ ⎪ = ⎩ Vaäy (C) : x2 + y2 + 2x – 4y =
Cách khác: Tam giác ABC vng O nên có tâm trung điểm AB đường kính AB nên pt dường tròn (C) là:
2
1 16
4
+ + − = = + =
( x ) ( y ) AB ( )
Cách khác: Tam giác ABC vuông O nên với M x y( , )∈( )C ta có
= AM.BM
JJJJG JJJJG
Vậy pt đường tròn ( C ) ( x x )( x x ) ( y y )( y y )− A − B + − A − B =0
b) Phương trình tiếp tuyến với (C) :
Tiếp điểm A(–2, 0) : –2x + 0.y + (–2 + x) – 2(0 + y) = ⇔ x + 2y + =
Tiếp điểm B(0, 4) : 0.x + 4.y + (0 + x) – 2(4 + y) = ⇔ x + 2y – =
c) Đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = có tâm I(–1, 2) bán kính R =
1+2 −0 = 5.Hai tiếp tuyến phương với Oy x a R= ± = − ±1 Hai tiếp tuyến
này không qua M(4, 7)
Vậy phương trình tiếp tuyến qua M(4, 7) có dạng:
( )Δ : y – = k(x – 4) ⇔ kx – y + – 4k =
(3)⇔
2
2
1
k k
k − − + −
+ = ⇔ 5−5k =
2 k +
⇔ 4k2 – 10k + = ⇔k = hay k = 1
Vậy có tiếp tuyến với đường trịn (C) phát xuất từ điểm M(4, 7) với phương trình : k = ⇒ 2x – y – =
k =
2 ⇒
1
2x – y + = Ví dụ (ĐH KHỐI B-2003)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy cho tam giác ABC có AB=AC,n 90
BAC=
Biết M(1,–1) trung điểm cạnh BC G(2
3; 0) trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ
đỉnh A , B, C
G trọng tâm ΔABC ⇔ AG 2GMJJJG= JJJJG ⇔ ⎧ − = − =⎪⎨
⎪− = − − = − ⎩
A A
2 2
3 =
x 2(1 )
3
y 2( 0)
⇔ ⎧⎨ = ⎩
A A x
2 ⇔ A (0, 2) y
PT: BC qua M (1, −1) ⊥ AMJJJJG = (1, −3): x – 3y – = PT đ.tròn (C) tâm M, bán kính R = AM= 9+ = 10
(x – 1)2 + (y + 1)2 = 10
Tọa độ B, C thỏa : ⎧⎨ − − =
− + + =
⎩ 2
x 3y
(x 1) (y 1) 10
⇔ ⎧⎨ = + ⇔
+ + + = ⇔ + =
⎩ 2
x 3y
(3y 3) (y 1) 10 (y 1)
= ⎧ ⎨ = ⎩
x y ∨
= − ⎧ ⎨ = − ⎩
x y
Vaäy B (4, 0); C(−2, −2) hay B(−2, −2); C (4, 0)
Ví dụ (ĐH KHỐI D-2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho đường trịn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = đường thẳng d: x – y – = Viết phương trình đường tròn
(C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d Tìm tọa độ giao điểm (C) (C’)
Giải
(C1) có tâm I (1, 2), R =
Gọi I’ đối xứng I qua (d)
Gọi (Δ) đường thẳng qua I (Δ) ⊥ (d) (Δ) : x + y – = (Δ) ∩ (d) = H(2, 1) H trung điểm II’
Giả sử I’ (x, y) ⇒
+ ⎧ = ⎪⎪
⎨ +
⎪ = ⎪⎩
x
2 y
2
⇒ ⎧⎨ == ⎩
x y
(4)Giải hệ ⎧⎪⎨ − + − = ⇔
− + =
⎪⎩
2
2
(x 1) (y 2) (x 3) y
⎧ − + =
⎨
− − = ⎩
2
(x 3) y x y ⇔ ⎧⎨ = + ⇔ ∨
− = ⎩
x y 2y 4y
= ⎧ ⎨ = ⎩
x y
= ⎧ ⎨ = ⎩
x y
Vậy giao điểm (C) (C’) A (1, 0) B (3, 2)
Ví dụ (ĐH KHỐI A-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x – y = d2 : 2x + y – = 0.Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A
thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 đỉnh B, D thuộc trục hoành Giải
A ∈ d1⇔ A (m; m) C ∈ d2⇔ C (n; – 2n)
Vì B, D ∈ Ox ABCD hình vng nên : A C đối xứng qua Ox ⇔ m n
m 2n
= ⎧
⎨ = −
⎩ ⇔
m n
= ⎧ ⎨ = ⎩
Suy A(1; 1), C(1; -1) Gọi (C) đường trịn đường kính AC
⇒ Phương trình (C) : (x–1)2 +y2=1 B D giao điểm (C) Ox nên tọa độ B, D
là nghiệm hệ : (x 1)2 y2
y
⎧⎪ − + = ⎨
= ⎪⎩
⇔ ⎧⎨ == ∨ = Suy B (0; 0), D(2; 0) hay B(2; 0), D(0; 0) ⎩
x x y
Vaäy A(1; 1), B (0; 0), C(1; -1), D(2; 0) hay A(1; 1), B(2; 0), C(1; -1), D(0; 0)
Ví dụ (ĐH KHỐI B-2005)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4) Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục hoành điểm A khoảng cách từ tâm (C) đến điểm B
Giải
Gọi I (x; y) tâm (C) Ta có : (C) tiếp xúc Ox taïi A ⇒ IA⊥ i
JJG JG
= (1; 0) ⇔ x – = ⇔ x =
IB = ⇔ (x – 6)2 + (y – 4)2 = 25
⇔ (2 – 6)2 + (y – 4)2 = 25 ⇔ (y – 4)2 =
⇔ y – = ±3 ⇔ y = hay y =
Trường hợp 1: I(2; 7) ⇒ R = d(I, Ox) = Suy pt (C) : (x – 2)2 + (y – 7)2 = 49
Trường hợp 2: I (2; 1) ⇒ R = d(I, Ox) =
⇒ pt (C) : (x – 2)2 + (y – 1)2 = Ví duï
(ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A -2002)
(5)1) Viết phương trình đường trịn qua giao điểm (C1), (C2) có tâm nằm
đường thẳng x + 6y – =
2) Viết phương trình tiếp tuyến chung đường tròn (C1) (C2) Giải
1) Phương trình chùm đường trịn qua giao điểm (C1), (C2) :
m(x2 + y2 – 10x) + n(x2 + y2 + 4x – 2y – 20) = với m2 + n2 >
⇔ (m + n)x2 + (m + n)y2 + (4n – 10m)x – 2ny – 20n =
⇔ x2 + y2 + 4n 10m x 2n y 20n
m n m n m n
−
⎛ ⎞ − −
⎜ + ⎟ + +
⎝ ⎠ =
Có tâm I 5m 2n; n
m n m n
−
⎛ ⎞
⎜ + + ⎟
⎝ ⎠
Vì tâm I ∈ d : x + 6y – = ⇒ 5m 2n 6n 6m 6n m n
− + − −
= +
⇒ m = −2n Cho n = ⇒ m = −2
Vậy phương trình đường trịn :x2 + y2 – 24x + 2y + 20 = 2) Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1), (C2)
(C1) có tâm I1(5; 0), bán kính R1 = ⇒ I
1I2 < R1 + R2
(C2) có tâm I2(−2; 1), bán kính R2 =
Vì (C1), (C2) cắt điểm nên có tiếp tuyến chung
Vì x = xo tiếp tuyến chung nên pt tt chung Δ có dạng :
y = ax + b ⇔ ax – y + b =
Δ tiếp xúc với (C1) ⇔ d(I1, Δ) = R1⇔
5a b 5
a
⏐ + ⏐ = +
⇔⏐5a + b⏐ = 5 a2 +1 (1)
Δ tiếp xúc với (C2) ⇔ d(I2, Δ) = R2 ⇔
2 2a b
a
⏐− − + ⏐ + =
⇔⏐−2a – + b⏐ = 5 a2 +1 (2)
(1) vaø (2) ⇒⏐5a + b⏐ = ⏐−2a – + b⏐ ⇔ 5a b 2a b ⇔
5a b 2a b
+ = − − + ⎡
⎢ + = + + − ⎣
1 a
7 3a b
2 ⎡ = − ⎢ ⎢
− + ⎢ = ⎢⎣
Theá a =
7
− vaøo (1) ta coù : b1 = 25
7
+ ; b
2 = 25
7 −
Vậy ta có tiếp tuyến laø : x + 7y – + 25 = x + 7y – − 25 =
Cách khác: Vì R = R2 đường tròn cắt nên tiếp tuyến chung đường
thẳng song song với I IJJJJG1 21 = −( 7;1) Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng : x + 7y+m = (Δ)
d(I1, Δ) = ⇔⏐5 + m⏐ = 72 +1⇔ m = – ± 25 Vậy
(6)GHI CHÚ :
Bài đường trịn chương trình lớp 12 bao gồm vấn đề : Tìm phương trình đường trịn; tốn liên quan đến vị trí tương đối giữađường thẳng đường trịn, hai đường trịn; phương tích điểm đường trịn; trục đẳng phương hai đường trịn khơng đồng tâm Ngồi cịn có số câu hỏi liên quan đến phương trình x2 +
y2 + 2Ax + 2By +C = (1) Chẳng hạn tìm điều kiện để (1) phương trình đường trịn Từ
phương trình (1) tìm tâm bán kính đường trịn, tìm tham số để bán kính thoả điều kiện
Sau đây, chúng tơi đề cập đến cách tìm phương trình đường trịn nội tiếp tam giác vài ứng dụng trục đẳng phương hai đường trịn khơng đồng tâm Đây vấn đế em thường “ sợ” gặp phải
A/ Cách tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC :
Trước hết cần lưu ý :
• Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm hai đường phân giác
• Muốn tìm phương trình đường trịn ta tìm tâm I (a ; b) bán kính R Khi phương trình đường trịn có dạng (x – a)2 + (y – b)2 = R2
• Cho k số thực khác 1, ta có :
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧
− − =
− − = ⇔
=
k
ky y
y
k
kx x
x MB k MA
B A
M
B A
M
(I) 1/ Nếu đề cho biết tọa độ A, B, C :
• Gọi D chân đường phân giác kẻ từ A tam giác ABC
Ta coù : DC AC AB DB=−
Sử dụng công thức (I) với k =
AC AB
− ta xác định tọa độ điểm D
A
B C D
I
• Gọi I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC I chân đường phân giác kẻ từ B tam giác ABD
Ta coù : ID
BD BA IA =−
Sử dụng công thức (I) với k =
BD BA
− xác định tọa độ tâm I
Còn bán kính đường trịn nội tiếp tam giác khoảng cách từ tâm I đến cạnh tam giác ABC
(7)2/ Nếu đề cho biết phương trình cạnh tam giác ABC từ phương trình cạnh đó, ta tìm tọa độ điểm A, B, C cách giải hệ phương trình tọa độ giao điểm sử dụng cách giải phần
Ngồi cịn giải kiến thức miền tạo đường thẳng khoảng cách đại số từ điểm đến đường thẳng
B/ Trục đẳng phương hai đường trịn khơng đồng tâm :
1/ Cho hai đường trịn khơng đồng tâm :
(C1) : x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = (1)
(C2) : x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = (2)
Trục đẳng phương (C1) (C2) tập hợp điểm có phương tích
(C1) (C2) có phương trình :
2(a1 – a2)x + 2(b1 – b2)y + c1 – c2 =
2/ Ứng dụng :
Trong chương trình Hình học lớp 10 ta biết cách dựng trục đẳng phương (C1)
(C2)
• Nếu (C1) (C2) cắt điểm A B trục đẳng phương (C1) (C2)
đường thẳng AB
• Nếu (C1) (C2) tiếp xúc (Tiếp xúc tiếp xúc ngồi) trục đẳng
phương (C1) (C2) tiếp tuyến chung (C1) (C2) tiếp điểm
• Nếu (C1) (C2) khơng cắt vẽ thêm đường tròn (C3) cho cắt (C1),
(C2) có tâm khơng nằm đường nối tâm (C1), (C2) Gọi M giao điểm hai trục
đẳng phương (C1) (C3), (C2) (C3) Khi trục đẳng phương (C1) (C2) đường
thẳng qua M vng góc với đường nối tâm (C1) (C2)
Bài toán : Cho đường tròn (C) M điểm nằm (C) Từ M kẻ MA MB hai tiếp tuyến (C) (A B hai tiếp điểm) Viết phương trình đường thẳng AB
Cách giải : Gọi I tâm R bán kính đường tròn (C) Gọi (C’) đường tròn tâm M, bán kính :
R’ = MA = IM2 −R2
Suy (C) (C’) cắt A B
Do đường thẳng AB trục đẳng phương (C) (C’)
(C) (C’)
A
B M I
Qua kết ta ghi nhớ kết :
• Đường thẳng qua giao điểm hai đường trịn (C1) (C2) trục đẳng
phương (C1) (C2) [Nghĩa không cần tìm tọa độ giao điểm (C1) (C2)]
• Tiếp tuyến chung đường trịn (C1) (C2) tiếp xúc tiếp điểm
trục đẳng phương (C1) (C2)
Sau đây, lưu ý thêm toán thường gặp :
Bài : Cho (C1) (C2) Tìm quỹ tích điểm M từ vẽ đến (C1)
(C2) đoạn tiếp tuyến
Cách giải : Gọi MA MB (như hình vẽ) tiếp tuyến từ M đến (C1) (C2)
Ta coù : MA = MB ⇔ MA2 = MB2 ⇔
1
/( ) /( ) M C M C
P =P
Do quỹ tích M trục đẳng phương (C1) (C2) • M
•
(8)Bài : Tìm tiếp điểm M hai đường tròn tiếp xúc (C1) (C2)
Gọi I1 I2 tâm (C1) (C2) Tiếp điểm M
là giao điểm trục đẳng phương (C1) (C2) với
đường nối tâm I1I2
(C2)
(C1)
M I1 I2
d
Ví dụ (ĐỀ DỰ BỊ KHỐI B -2005)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn :
(C1 ): x2 + y2 vaø (C2 ): x2 + y2 Viết phương trình trục đẳng phương d
2 đường trịn (C1) (C2) Chứng minh K thuộc d khỏang cách từ K đến tâm
(C1) nhỏ khỏang cách từ K đến tâm ( C2 )
= − −2x 2y−23=0
Giaûi:
Đường trịn ( )C1 có tâm O 0( ),0 bán kính R1=3
Đường trịn ( )C2 có tâm I 1( ),1 , bán kính R2 =5
Phương trình trục đẳng phương đường trịn ( )C1 , ( )C2
(x2+y2− −9) (x2 +y2−2x 2y 23− − )=0
x y
⇔ + + = (d)
Goïi K x ,y( k k) ( )∈ d ⇔yk = − −xk
( ) ( ) ( )
= − 2+ − = + = + − − = + +
2 2 2
k k k k k k k k
OK x y x y x x 2x 14x 49
( ) (2 ) (2 ) (2 )2
2
k k k k k k
IK = x −1 + y −1 = x −1 + −x −8 =2x +14x +65
Ta xeùt IK2−OK2 =(2xk2 +14xk +65) (− 2x2k+14xk+49)=16 0>
K >OK ⇔IK OK(đpcm)>
Vậy I 2