Luận văn thạc sĩ về tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa và ứng dụng lvts vnu

Trang 1

Hà N®i - 2015

ĐAI H̟0C QU0C GIA H̟À N̟®I TRƯèN̟GĐAI H̟0C K̟H̟0A H̟0C TU N̟H̟IÊN̟

000

-PH̟AM̟ N̟H̟Ư TH̟ÀN̟H̟

VE TÍN̟H̟ CH̟AT N̟GH̟IfiM̟ CUA

PH̟ƯƠN̟G TRÌN̟H̟ TIEN̟ H̟ĨA VÀ ÚN̟G DUN̟G

Trang 2

ĐAI H̟0C QU0C GIA H̟À N̟®I TRƯèN̟GĐAI H̟0C K̟H̟0A H̟0C TU N̟H̟IÊN̟

000

-PH̟AM̟ N̟H̟Ư TH̟ÀN̟H̟

VE TÍN̟H̟ CH̟AT N̟GH̟IfiM̟ CUA

PH̟ƯƠN̟G TRÌN̟H̟ TIEN̟ H̟ĨA VÀ ÚN̟G DUN̟G

Ch̟un̟ n̟gàn̟h̟: T0ÁN̟ GIAI TÍCH̟

M̟ã s0: 60460102

LU¾N̟ VĂN̟ TH̟AC SĨ K̟H̟0A H̟0C

Trang 3

1

M̟ n̟c ln̟c

1 N̟Ea n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ tr0n̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ và t0án̟ tE

sin̟h̟ cua ch̟ún̟g5

1.1 N̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc manh 5

1.2 Khỏi niắm ve t0ỏn tu sinh v mđt s0 k̟et qua bő tr0 9

1.3 Đ%n̟h̟ lý ve t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ 12

1.4 K̟h̟ái n̟i¾m̟ ve tán̟ xa và đ%n̟h̟ lý Lun̟n̟er-Ph̟illips 15

1.5 M̟®t s0 ví du k̟h̟ác n̟h̟au cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ 17

1.5.1 N̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc đeu 17

1.5.2 N̟ua n̟h̟óm̟ đ0n̟g dan̟g 19

1.5.3 N̟ua n̟h̟óm̟ đieu ch̟in̟h̟ 19

1.5.4 N̟ua n̟h̟óm̟ n̟h̟ân̟ .20

1.6 Bài t0án̟ Cauch̟y đ¾t ch̟in̟h̟ 22

2 Tín̟h̟ ch̟at n̟gh̟i¾m̟ cua ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tien̟ h̟óa trÈu tưan̟g và Én̟g dn̟n̟g262.1 N̟h̟ieu b% ch̟¾n̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ .26

2.2 Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tien̟ h̟óa vói n̟h̟ieu Lipsch̟itz 30

2.3 K̟h̟ái n̟i¾m̟ H̟Q t0án̟ tu tien̟ h̟óa liên̟ tuc m̟an̟h̟ v mđt vi tớnh chat nghiắm cna phng trỡnh vi ph̟ân̟ tuyen̟ tín̟h̟ th̟uan̟ n̟h̟at tr0n̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ 37

2.4 N̟h̟ieu tuyen̟ tín̟h̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tien̟ h̟0á và H̟Q t0án̟ tu tien̟h̟óa liên̟ tuc m̟an̟h̟ .44

2.5 Sn̟ tươn̟g đươn̟g ti¾m̟ c¾n̟ cn̟a các H̟Q t0án̟ tu tien̟ h̟óa .47

2.6 Ún̟g dun̟g cn̟a ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ua n̟h̟óm̟ tr0n̟g m̟ơ h̟ìn̟h̟ quan̟ th̟esin̟h̟ h̟Qc 53

Trang 4

Σ

M̟ a Đau

Tr0n̟g th̟òi gian̟ gan̟ đây d0 yêu cau đòi h̟0i tù các m̟ơ h̟ìn̟h̟ ún̟g dun̟g,lý th̟uyet đ%n̟h̟ tín̟h̟ cn̟a các ph̟ươn̟g trìn̟h̟ vi ph̟ân̟ tr0n̟g k̟h̟ôn̟g gian̟ Ban̟ach̟đư0c ph̟át trien̟ m̟an̟h̟ m̟e Các k̟et qua n̟h̟¾n̟ đư0c ve tín̟h̟ őn̟ đ%n̟h̟ cn̟a ph̟ươn̟gtrìn̟h̟ vi ph̟ân̟ tr0n̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ có th̟e ún̟g dun̟g ch̟0 vi¾c n̟gh̟iên̟ cúutín̟h̟ ch̟at n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ vi ph̟ân̟ h̟àm̟ Đ0n̟g th̟ịi su dun̟g tr0n̟gvi¾c n̟gh̟iên̟ cúu cn̟a các m̟ơ h̟ìn̟h̟ ún̟g dun̟g n̟h̟ư: m̟ơ h̟ìn̟h̟ quan̟ th̟e sin̟h̟

H̟Qc, m̟an̟g n̟ơr0n̟ th̟an̟ k̟in̟h̟, tr0n̟g v¾t lý và cơ H̟Qc M̟®t tr0n̟g n̟h̟un̟g van̟ đeđau tiên̟ đư0c n̟h̟ieu n̟gưòi quan̟ tâm̟, n̟gh̟iên̟ cúu là áp dun̟g ph̟ươn̟g ph̟áp n̟uan̟h̟óm̟ ch̟0 các ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tien̟ h̟óa trùu tư0n̟g, tù đó ún̟g dun̟g và0 m̟ơ h̟ìn̟h̟dân̟ s0.

Tr0n̟g n̟h̟ieu m̟ơ h̟ìn̟h̟ ún̟g dun̟g, ta th̟ưịn̟g g¾p bài t0án̟ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đa0h̟àm̟ riên̟g dan̟g:

∂v

= A(D)v (1)

∂t

tr0n̟g đó v là m̟®t h̟àm̟ véc tơ v = (v1, , vm̟) ph̟u th̟u®c và0 t và x,

A(D) =AαDα,|α|≤rα = (α , , α ) là m̟®t đa ch̟i s0, |α| = α + + α , Dα = Dα1 Dαn̟, D i∂ = (k̟ =1 n̟ 1n̟ 1 n̟k̟∂xk̟

1, 2, , n̟), x = (x1, , xn̟) là m̟®t điem̟ tr0n̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ Rn̟ và hắ s0 A l mđt

ma trắn hang cap m ì n̟ S0 r đư0c gQI là cap cn̟a h̟¾.

Bài t0án̟ tìm̟ n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (1), v = v(t, x) th̟0a m̟ãn̟ đieu k̟i¾n̟

v(0, x) = φ(x) (2)

Trang 5

Tuy n̟h̟iên̟ tr0n̟g n̟h̟ieu trưòn̟g h̟0p, đe m̟0 r®n̟g ph̟am̟ vi ún̟g dun̟g cn̟a n̟ó n̟gưịita th̟ưịn̟g xét ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đa0 h̟àm̟ riên̟g dan̟g

∂v

= A(D)v + g(t, v). (3)

Trang 6



N̟h̟ò áp dun̟g ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ua n̟h̟óm̟ vi¾c n̟gh̟iên̟ cúu tín̟h̟ ch̟at n̟gh̟i¾m̟ cn̟aph̟ươn̟g trìn̟h̟ (3) có th̟e đưa ve n̟gh̟iên̟ cúu tín̟h̟ ch̟at n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟

vi ph̟ân̟ du(t)

+ Au(t) = f

(t, u(t)),t > t dt0

u(t0) = u0

tr0n̟g đó −A là m̟®t t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a C0− n̟ua n̟h̟óm̟ T (t), t ≥ 0, tr0n̟g k̟h̟ôn̟ggian̟ Ban̟ach̟ X và f : [t0, T ] × X → X là án̟h̟ xa liên̟ tuc th̟e0 t và th̟0a m̟ãn̟đieu k̟i¾n̟ Lipsch̟itz th̟e0 u.

M̟uc đích̟ ch̟ín̟h̟ cn̟a lu¾n̟ văn̟ là c0 gan̟g tìm̟ h̟ieu ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ua n̟h̟óm̟tr0n̟g các k̟h̟ơn̟g gian̟ h̟àm̟ và lý th̟uyet n̟h̟ieu cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ và0 vi¾c n̟gh̟iên̟ cúutín̟h̟ ch̟at n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ vi ph̟ân̟ có n̟h̟ieu tr0n̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟,tù đó đưa ra ún̟g dun̟g và0 m̟ơ h̟ìn̟h̟ dân̟ s0.

B0 cuc lu¾n̟ văn̟ g0m̟ ph̟an̟ m̟0 đau, h̟ai ch̟ươn̟g, ph̟an̟ k̟et lu¾n̟ và dan̟h̟ m̟uctài liắu tham kha0.

Chng mđt trỡnh by đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa, tín̟h̟ ch̟at cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tucm̟an̟h̟ m̟®t s0 đ%n̟h̟ lý quan̟ TRQN̟G ve t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟,ve tán̟ xa và m̟®t s0 dan̟g k̟h̟ác n̟h̟au cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ Tr0n̟gch̟ươn̟g n̟ày, ch̟ún̟g tôi su dun̟g các k̟ien̟ th̟úc đã đư0c trìn̟h̟ bày tr0n̟g các tàili¾u [1], [4], [8],

[9] và ch̟uyên̟ đe ca0 h̟Qc cn̟a TS Tran̟ Đúc L0n̟g.

Ch̟ươn̟g h̟ai trìn̟h̟ bày bài t0án̟ n̟h̟ieu cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟, tín̟h̟ ch̟at cn̟a H̟Q

t0án̟ tu tien̟ h̟óa liên̟ tuc m̟an̟h̟, sn̟ tươn̟g đươn̟g ti¾m̟ c¾n̟ và các đ%n̟h̟ lýliên̟ quan̟; tù đó đưa ra bài t0án̟ m̟ơ h̟ìn̟h̟ dân̟ s0 ph̟u th̟u®c và0 tuői Đe h̟0àn̟th̟àn̟h̟ các n̟®i dun̟g đó, ch̟ún̟g tôi đã su dun̟g các k̟ien̟ th̟úc cơ ban̟ và tư li¾u đãđư0c trìn̟h̟ bày tr0n̟g các tài li¾u [2], [3], [5], [6], [7], [8] và các n̟®i dun̟g tr0n̟gcác ch̟uyên̟ đe ca0 H̟Qc cn̟a PGS.TS H̟0àn̟g Qu0c T0àn̟ và PGS.TS Đ¾n̟g Đìn̟h̟Ch̟âu.

Ban̟ lu¾n̟ văn̟ n̟ày đư0c th̟n̟c h̟i¾n̟ dưói sn̟ h̟ưón̟g dan̟ cn̟a PGS.TS Đ¾n̟g Đìn̟h̟Ch̟âu N̟h̟ân̟ d%p n̟ày tơi xin̟ bày t0 lịn̟g biet ơn̟ sâu sac tói Th̟ay, n̟gưịi đã dàn̟h̟n̟h̟ieu cơn̟g súc và th̟ịi gian̟ đe h̟ưón̟g dan̟, k̟iem̟ tra, giúp đõ tơi tr0n̟g vi¾c h̟0àn̟th̟àn̟h̟ ban̟ lu¾n̟ văn̟.

Tơi xin̟ gui lịi cam̟ ơn̟ đen̟ lãn̟h̟ đa0 và các th̟ay cô tr0n̟g k̟h̟0a T0án̟ - Cơ- Tin̟ H̟Qc, trưòn̟g Đai H̟Qc K̟h̟0a H̟Qc Tn̟ n̟h̟iên̟ H̟à N̟®i ve các k̟ien̟ th̟úc vàn̟h̟un̟g đieu t0t đep m̟an̟g lai ch̟0 tơi tr0n̟g th̟ịi gian̟ H̟Qc t¾p tai trưịn̟g Tơi xin̟cam̟ ơn̟ tói ph̟ịn̟g Sau đai H̟Qc ve n̟h̟un̟g đieu k̟i¾n̟ th̟u¾n̟ l0i tr0n̟g vi¾c h̟0àn̟th̟àn̟h̟ th̟n̟ tuc H̟Qc t¾p và ba0 v¾ lu¾n̟ văn̟.

Trang 7

sn̟ đ®n̟g viên̟ và n̟h̟un̟g ý k̟ien̟ tra0 đői q báu đ0i vói ban̟ th̟ân̟ tơi tr0n̟g th̟ịigian̟ qua.

Cu0i cùn̟g tơi m̟u0n̟ t0 lịn̟g biet ơn̟ gia đìn̟h̟, n̟gưịi th̟ân̟ là ch̟0 dn̟a ve tinhthan v vắt chat ch0 tụi tr0ng cuđc s0ng và tr0n̟g H̟Qc t¾p.

M̟¾c dù đã có n̟h̟ieu c0 gan̟g n̟h̟ưn̟g d0 th̟òi gian̟ còn̟ b% h̟an̟ ch̟e n̟ên̟ ban̟ lu¾n̟văn̟ cịn̟ đe lai n̟h̟ieu th̟ieu sót ve l0i an̟ l0át và các l0i k̟h̟i b0 qua mđt s0 trỡnhby chi tiet viắc chỳng m̟in̟h̟ lai các k̟et qua tr0n̟g ch̟ươn̟g 1 cũn̟g n̟h̟ư tr0ng mđtvi vớ du ỳng dung Vỡ vắy, tơi rat m̟0n̟g n̟h̟¾n̟ đư0c sn̟ góp ý cn̟a q th̟ay, cơvà các ban̟.

H̟à N̟®i, th̟án̟g 11 n̟ăm̟ 2015

Trang 8

∈

{ ∈ss R

Ch̟ươn̟g 1

N̟Ea n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ tr0n̟g

k̟h̟ôn̟g gian̟ Ban̟ach̟ và t0án̟ tE sin̟h̟ cua ch̟ún̟g

1.1N̟Ea n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟

Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.1 M̟®t H̟Q (T (t))t≥0các t0án̟ tu tuyen̟ tín̟h̟ b% ch̟¾n̟ trên̟k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X đưac GQI là n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ (h̟0¾c C0− n̟uan̟h̟óm̟ ) n̟eu n̟ó th̟óa m̟ãn̟ các đieu k̟i¾n̟ sau:

1 T (t + s) = T (t)T (s) vái M̟QIt, s ≥ 0.

2 T (0) = I.

3 lim̟ T (t)x = T (t0)x vái M̟QIxX, t 0.t→t0

Ví dn̟ 1.1 Xét n̟ua n̟h̟óm̟ (T (t))t≥0tr0n̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ C0 = C0(R), xác đ%n̟h̟ b0i

C0(R) = fC(R) : lim̟

→±∞f (s) = 0}.

Vói ch̟uan̟ ||f|| = sup |f (s)| Ta có (C0, ||.||) là m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟.

∈∀t ≥ 0, ta đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa:

(Tl(t)f )(s) = f (t + s) ∀f ∈ C0, ∀s ∈ R.

và

(Tr(t))f (s) = f (s − t) ∀f ∈ C0, ∀s ∈ R.

K̟h̟i đó (Tr(t))t≥0 và (Tl(t))t≥0 là các n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ trên̟ C0, đư0c GQI

Trang 9

∈

s R

Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ch̟0 trưịn̟g h̟0p n̟ua n̟h̟óm̟ d%ch̟ ch̟uyen̟ trái, trưịn̟g

h̟0p n̟ua n̟h̟óm̟ d%ch̟ ch̟uyen̟ ph̟ai đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ tươn̟g tn̟.+) Ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (Tl(t)) là m̟®t n̟ua n̟h̟óm̟.

Th̟¾t v¾y: ∀t, h̟ ≥ 0, ∀f ∈ C0, s ∈ R, ta có

(Tl(t + h̟)f )(s) = f (t + h̟ + s) = (Tl(t)f )(h̟ + s) = (Tl(t)Tl(h̟))f (s)

suy ra Tl(t + h̟) = Tl(t)Tl(h̟).

+) Ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (Tl(t))t≥0 liên̟ tuc m̟an̟h̟ Th̟¾t v¾y, ta can̟ ch̟i ra ran̟g, ∀f ∈ C0

th̟ì

lim̟

t||Tl(t)f − f|| =

tlim̟ sup |f (t + s) − f (s)| = 0.

→0+ →0+ s∈R

Vì fC0 suy ra f liên̟ tuc trên̟ R và t0n̟ tai các giói h̟an̟ lim̟

→±∞f (s) = 0, n̟ên̟

f

liên̟ tuc đeu trên̟ R.

D0 đó

∀s > 0, ∃δ > 0 sa0 ch̟0: ∀s1, s2 : |s1− s2| < δ ⇒ |f (s1) − f (s2)| < s.

K̟h̟i đó vói M̟QI t : 0 ≤ t < δ th̟ì |t + s − s| < δ, vói M̟QI s ∈ R, ta có

|f (t + s) − f (s)| < s ∀s ∈ R.

Suy ra sup |f (t + s) − f (s)| ≤ s vói M̟QIt : 0 ≤ t < δ V¾y th̟e0 đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩagiói∈h̟an̟ ta cólim̟t sup |f (t + s) − f (s)| = 0.→0+ s∈R

V¾y (Tl(t))t≥0 là n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟.

B0 đe 1.1 Gia su X là m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ và F là m̟®t h̟àm̟ tù mđt tắp c0mpact K R v0 L(X) Khi ú các k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ sau là tươn̟g đươn̟g.

(a) F là t0án̟ tu tôpô liên̟ tn̟c m̟an̟h̟; túc là, án̟h̟ xa K̟ s t ›→ F (t)x ∈ X là liên̟ tn̟c ∀x ∈ X.

(b)F là b% ch̟¾n̟ đeu trên̟ K̟, và án̟h̟ xa K̟ s t ›→ F (t)x ∈ X là liên̟ tn̟c

∀x ∈ D ⊂ X, D trù mắt tr0ng X.

(c)F l liờn tnc 0i vỏi tụpụ hđi tn̟ đeu trên̟ t¾p c0n̟ c0m̟pact cua X; túc là,án̟h̟ xa K̟ × C s (t, x) ›→ F (t)x ∈ X là liên̟ tn̟c đeu đ0i vái tắp c0mpact C

tr0ng X.

%nh lý 1.1 Ch0 mđt nua nhúm (T (t))t≥0trên̟ m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X K̟h̟i đó các tín̟h̟ ch̟at sau là tươn̟g đươn̟g.

(a) (T (t))t≥0là n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟.

Trang 10

h→ +0T (t)x = x∀x ∈ X.(c) Có m̟®t s0 δ > 0, M 1 v mđt tắp c0n trự m̟¾t D ⊂ X th̟óa m̟ãn̟i) ||T (t)|| ≤ M̟ ∀t ∈ [0, δ],Ch̟ún̟g m̟in̟h̟.ii) lim̟t→0+T (t)x = x ∀x ∈ D.+) Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (a) ⇒ (c.ii).

Vì (T (t))t≥0là n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ trên̟ m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟, n̟ên̟lim̟

t→0

+

T (t)x = T (0)x = x ∀x ∈ D (D0 D trù m̟¾t tr0n̟g X).+) Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (a) ⇒ (c.i).

Gia su n̟gư0c lai, túc là t0n̟ tai m̟®t dãy (δn̟)n̟∈N̟⊂ R+ h̟®i tu đen̟ 0 th̟0a m̟ãn̟

||T (δn̟)|| → ∞ k̟h̟i n̟ → ∞.

Th̟e0 n̟guyên̟ lý b% ch̟¾n̟ đeu, t0n̟ tai x ∈ X th̟0a m̟ãn̟ (||T (δn̟)x||)n̟∈N̟ k̟h̟ôn̟gb% ch̟¾n̟ Đieu n̟ày m̟âu th̟uan̟ vói T (.)x liên̟ tuc tai t = 0 (d0 (T (t))t≥0 làn̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟).

+) Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (c) ⇒ (b).

Đ¾t K̟ = {tn̟ : n̟ ∈ N̟} ∪ {0} vói M̟QI dãy bat k̟ì (tn̟)n̟∈N̟⊂ [0, ∞) h̟®i tu đen̟ 0.

K̟h̟i đó K̟ ⊂ [0, ∞) là c0m̟pact, T (.)|K̟x là liên̟ tuc ∀x ∈ D.

D0 đó áp dun̟g bő đe 1.1 (b) ta đư0c T (.)|K̟x liên̟ tuc ∀x ∈ X, túc là:lim̟

n̟→∞

T (tn̟)x = x ∀x ∈ X.

Vì (tn̟)n̟∈N̟ đư0c cH̟QN̟ tùy ý n̟ên̟ (b) đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟.+) Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (b) ⇒ (a).

Gia su t0> 0, và x ∈ X K̟h̟i đólim̟

h̟→0+||T (t0 + h̟)x − T (t0)x|| ≤ ||T

(t0)||.|| lim̟||T (h̟)x − x|| = 0,

suy ra (T (t))t≥0liên̟ tuc ph̟ai N̟eu h̟ < 0

||T (t0 + h̟)x − T (t0)x|| ≤ ||T (t0 + h̟)||.||x − T (−h̟)x||

dan̟ đen̟ tín̟h̟ liên̟ tuc trái, tr0n̟g đó ||T (t)|| b% ch̟¾n̟ đeu ∀t ∈ [0, t0] V¾y (T (t))t≥0

là n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟.

Đ%n̟h̟ lý 1.2 Ch̟0 m̟®t n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ (T (t))t≥0 K̟h̟i đó có m̟®t h̟an̟gs0 w ∈ R và M̟ ≥ 1 th̟óa m̟ãn̟

Trang 11

≤ M = Me≤ Me[0;1].ωCh̟ún̟g m̟in̟h̟ CH̟QN̟ M̟ ≥ 1 th̟0a m̟ãn̟||T (s)|| ≤ M̟ ∀0 ≤ s ≤ 1.

Vói t ≥ 0 lay t = s + n̟, ∀n̟ ∈ N̟ và 0 ≤ s < 1 K̟h̟i đó

||T (t)|| = ||T (s + n̟)|| = ||T (s).T (n̟)|| ≤ ||T (s)||.||T (n̟)||≤ ||T (s)||.||T (1)||

n̟+1n̟ ln̟ M̟wt

vói w = ln̟ M̟ và t ≥ 0.

Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.2 Ch̟0 m̟®t n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ T = (T (t))t≥0, ch̟ún̟g ta GQI

ω0là c¾n̟ tăn̟g trưán̟g n̟eu

ω0 = ω0(T) = in̟f{w ∈ R : t0n̟ tai M̟w ≥ 1 th̟óa m̟ãn̟ ||T (t)|| ≤ M̟wewt∀t ≥ 0}.

Xét tr0n̟g trưàn̟g h̟ap đ¾c bi¾t.

- N̟eu w = 0, n̟ua n̟h̟óm̟ (T (t))t≥0đưac GQI là n̟ua n̟h̟óm̟ b% ch̟¾n̟.

- N̟eu w = 0 và M̟ = 1, n̟ua n̟h̟óm̟ (T (t))t≥0đưac GQI là là n̟ua n̟h̟óm̟ c0.- N̟eu ||T (t)x|| = ||x||, ∀t ≥ 0 và x ∈ X, n̟ua n̟h̟óm̟ (T (t))t≥0đưac GQI là n̟ua n̟h̟óm̟ đan̟g cn̟.

Ví dn̟ 1.2 Th̟e0 đ%n̟h̟ lý 1.2 ta ln̟ có ω < +∞ n̟h̟ưn̟g có th̟e ω0 = −∞ Ch̟an̟gh̟an̟ tr0n̟g k̟h̟ôn̟g gian̟ L1 , ta xét n̟ua n̟h̟óm̟ t%n̟h̟ tien̟ trái xác đ%n̟h̟ b0i:

T (t)f (s) =f (t + s) n̟eu s + t ≤ 10 n̟eu s + t > 1Ta có:Vói M̟QI t th̟0a m̟ãn̟ d0T (t) = 0, ∀t > 1.0 ≤ t ≤ 1, ||T (t)|| ≤1∫ 10 T (t)f (s)ds|| ≤ ||f||.

Suy ra ||T (t)|| ≤ 1 Vói ω < 0 c0 đ%n̟h̟, cH̟QN̟ M̟ sa0 ch̟0 M̟ ≤ e−ω K̟h̟i đó:

||T (t)|| < 1 ≤ M̟.e ≤ M̟.e ,∀t ≥ 0.

V¾y ω0 = −∞.

n

Trang 12

{ ∈

∫

∫

1.2K̟h̟ái n̟i¾m̟ ve t0án̟ tE sin̟h̟ và m̟®t s0 k̟et qua b0 tra

Đe xây dn̟n̟g k̟h̟ái n̟i¾m̟ t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟, trưóc h̟et ta có bő đe sau.

B0 đe 1.2 Ch̟0 m̟®t n̟ua n̟h̟óm̟ (T (t))t≥0liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ và m̟®t ph̟an̟ tu x ∈ X.

Đ0i vái quy đa0 án̟h̟ xa ξx : t ›→ T (t)x, các tín̟h̟ ch̟at sau là tươn̟g đươn̟g.

(a) ξx(.) là k̟h̟a vi trên̟ R+.

(b) ξx(.) k̟h̟a vi bên̟ ph̟ai tai t = 0.

Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.3 T0án̟ tu sin̟h̟ A : D(A) ⊂ X → X cua m̟®t n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ (T (t))t≥0trên̟ m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X là m̟®t t0án̟ tu

Ax = ξ˙x(0) =

lim̟ 1(T (h̟)x − x) (1.2)

h̟→0+ h̟

xác đ%n̟h̟ vái M̟QIx tr0n̟g m̟ien̟ xác đ%n̟h̟ cua n̟ó

D(A) = {x ∈ X : ξx là k̟h̟a vi trên̟ R+}. (1.3)Th̟e0 bő đe 1.2, ta th̟ay m̟ien̟ xác đ%n̟h̟ D(A) là t¾p tat ca các ph̟an̟ tu x ∈ X

m̟à ξx(.) là k̟h̟a vi bên̟ ph̟ai tai t = 0 D0 đó1

D(A) = x X : lim̟

h̟→0+h̟ (T (h̟)x − x) t0n̟ tai}. (1.4)M̟ien̟ D(A) là m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ vect0r và ch̟ún̟g ta k̟ý h̟i¾u t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ó là(A, D(A)).

Ch̟ún̟g ta th̟ưịn̟g ch̟i viet A, và c0i m̟ien̟ xác đ%n̟h̟ cn̟a n̟ó là ch̟0 b0i (1.4).

Đ%n̟h̟ lý 1.3 Ch̟0 t0án̟ tu sin̟h̟ (A, D(A)) cua n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ (T (t))t≥0,

ta có các tín̟h̟ ch̟at sau là đún̟g.

(i)A : D(A) ⊂ X → X là t0án̟ tu tuyen̟ tín̟h̟.(ii) N̟eu x ∈ D(A) th̟ì T (t)x ∈ D(A) và

Trang 13

∫0wt|||| ≤R(λ, A)nx = dR(λ, A)x = 1n−T (s)xdsn̟eux ∈ X, (1.6)t

= T (s)Axdsn̟eux ∈ D(A). (1.7)

0

Đ%n̟h̟ lý 1.4 T0án̟ tu sin̟h̟ cua n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ là t0án̟ tu tuyen̟ tín̟h̟

đón̟g, xác đ%n̟h̟ trự mắt v xỏc %nh mđt nua nhúm duy nhat.

%nh lý 1.5 Gia su T (t)t≥0là n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ trên̟ k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟

X có t0án̟ tu sin̟h̟ (A, D(A)) và lay m̟®t h̟an̟g s0 w ∈ R, M̟ ≥ 1 th̟óa m̟ãn̟

||T (t)|| ≤ M̟e∀t ≥ 0. (1.8)

K̟h̟i đó các tín̟h̟ ch̟at sau là đún̟g.

(i)N̟eu λ ∈ C th̟óa m̟ãn̟ R(λ)x = ∫ ∞ e−λssT (s)xds t0n̟ tai ∀x ∈ X, th̟ì λ ∈ ρ(A)

và R(λ, A) = R(λ).

(ii) N̟eu Reλ > w th̟ì λ ∈ ρ(A), và giai th̟úc đưac ch̟0 bái tích̟ ph̟ân̟ tr0n̟g (i).

(iii)R(λ, A) M̟

Reλ − wvái M̟QIReλ > w.

H̟¾ qua 1.1 Đ0i vái t0án̟ tu sin̟h̟ (A, D(A)) cua n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟cm̟an̟h̟ (T (t))t≥0th̟óa m̟ãn̟ ||T (t)|| ≤ M̟ ewt vái M̟QI t ≥ 0, vái Reλ > w

và n̟ ∈ N̟ ta có: n̟ − 1 n̟ − 1 ∫+∞(n̟ − 1)! dλn̟−1Đ¾c bi¾t, ta có:n̟(n̟ 1)! 0M̟(1.9)||R(λ, A)|| ≤ (Reλ − w)n̟ , ∀n̟ ∈ N̟ và Reλ > w.

Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Đan̟g th̟úc (1.9) tươn̟g đươn̟g vói:

dn̟−1dλn̟−1 R(λ, A)x = (−1)n̟−1(n̟ − 1)!R(λ, A) x∫+∞= (−1)n̟−10sn̟−1e−λssT (s)xds.

Vói M̟QI λ, µ ∈ ρ(A), ta có (λI − A)R(λ, A) = I D0 vắy, ta suy ra:[IR(, A) AR(, A)]R(à, A) = R(µ, A)

Trang 14

−

∫

−

−

và

R(λ, A)[µR(µ, A) − AR(µ, A)] = R(λ, A).

D0 A và R(λ, A) gia0 h̟0án̟ vói n̟h̟au n̟ên̟ trù tùn̟g ve h̟ai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ trên̟, ta đư0c:Suy ra:R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A).R(λ, A) − R(µ, A) = R(λ, A)R(µ,A) vói µ = λ.λ − µCh̟0 µ → λ, ta có:ddλM̟¾t k̟h̟ác, ta cũn̟g có:R(λ, A) = −R(λ, A)2. +∞d∫+∞se−λssT (s)xds.dλdλ00

V¾y (1.9) đún̟g vói n̟ = 2 Trưòn̟g h̟0p tőn̟g quát ta suy ra ban̟g quy n̟ap Th̟¾t v¾y gia su (1.9) đún̟g vói n̟, túc là:

dn̟−1R(λ, A)dλn̟−1 = (−1)n̟−1(n̟ − 1)!(R(λ, A))n̟.Ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ch̟0 trưịn̟g h̟0p n̟ + 1 Ta có:dn̟R(λ, A)dλn̟ = (−1)n̟−1(n̟ 1)! d (R(λ,A))n̟dλ= ( 1)n̟−1n̟!R(λ, A)n̟−1d R(λ, A)dλ= (−1)n̟n̟!R(λ, A)n̟+1.

túc là đan̟g th̟úc th̟ú n̟h̟at tr0n̟g (1.9) đún̟g vói n̟ + 1 M̟¾t k̟h̟ác tù đan̟g th̟úc:

Trang 16

1.3Đ%n̟h̟ lý ve t0án̟ tE sin̟h̟ cua n̟Ea n̟h̟óm̟Đ%n̟h̟ lý 1.6 Đ%n̟h̟ lý t0án̟ tu sin̟h̟ ( H̟ille-Y0sida)

Ch̟0 (A, D(A)) là m̟®t t0án̟ tu tuyen̟ tín̟h̟ trên̟ m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X K̟h̟i đó các tín̟h̟ ch̟at sau là tươn̟g đươn̟g.

(a) (A, D(A)) sin̟h̟ ra m̟®t n̟ua n̟h̟óm̟ c0 liên̟ tn̟c m̟an̟h̟.

(b) (A, D(A)) đón̟g, xác đ%n̟h̟ trù m̟¾t, vái m̟ői λ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) và

||λR(λ, A)|| ≤ 1. (1.10)

(c) (A, D(A)) là đón̟g, xác đ%n̟h̟ trù m̟¾t, vái m̟ői ∀λ ∈ C m̟à Reλ > 0, ta cóλ ∈ ρ(A) vàCh̟ún̟g m̟in̟h̟.1||R(λ, A)|| ≤ Reλ. (1.11)+) (a) ⇒ (c) đún̟g (th̟e0 đ%n̟h̟ lý 1.4 và đ%n̟h̟ lý 1.5)+) (c) ⇒ (b) h̟ien̟ n̟h̟iên̟.+) Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (b) ⇒ (a).

Ch̟ún̟g ta đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa xap xi Y0sida sau:

An̟ = n̟AR(n̟, A) = n̟2R(n̟, A) − n̟In̟ ∈ N̟, (1.12)là các t0án̟ tu b% ch̟¾n̟, gia0 h̟0án̟ vói m̟0i n̟ ∈ N̟

Xét n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc đeu ch̟0 b0i:

Tn̟(t) = etAn̟t ≥ 0. (1.13)

An̟ h̟®i tu đen̟ A th̟e0 tùn̟g điem̟ trên̟ D(A) K̟h̟i đó ta có các tín̟h̟ ch̟at sau:(i) T (t)x =

lim̟

n̟→∞

Tn̟(t)x t0n̟ tai vói m̟0i x ∈ X.(ii) (T (t))t≥0là n̟ua n̟h̟óm̟ c0 liên̟ tuc m̟an̟h̟ trên̟ X.(iii) N̟ua n̟h̟óm̟ n̟ày có t0án̟ tu sin̟h̟ (A, D(A)).

Ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ các tín̟h̟ ch̟at n̟ày là đún̟g Th̟¾t v¾y:(i) M̟0i (Tn̟(t))t≥0 là m̟®t n̟ua n̟h̟óm̟ c0 vì:

||Tn̟(t)|| ≤ e−n̟te||n̟2R(n̟,A)||t ≤ e−n̟ten̟t = 1 t ≥ 0.

Áp dun̟g đ%n̟h̟ lý cơ ban̟ cn̟a tích̟ ph̟ân̟ đ0i vói h̟àm̟

s ›→ Tm̟(t − s)Tn̟(s)x 0 ≤ s ≤ t, x ∈ D(A) và m̟, n̟ ∈ N̟.

Trang 17

∫ (T (t − s)T (s)x)ds∫K̟h̟i đóTn̟(t)x − Tm̟(t)x==t ddsm̟n̟0tTm̟(t − s)Tn̟(s)(An̟x − Am̟x)ds.0||Tn̟(t)x − Tm̟(t)x|| ≤ t||An̟x − Am̟x||. (1.14)Vì (An̟(x))n̟∈N̟ là dãy Cauch̟y đ0i vói m̟0i x ∈ D(A) n̟ên̟ (Tn̟(t)x)n̟∈N̟ h̟®i tu đeu vói m̟0i x ∈ D(A) trên̟ k̟h̟0an̟g [0, t0].

(ii) Vì (Tn̟(t))t≥0 (n̟ = 1, 2, ) là các n̟ua n̟h̟óm̟ n̟ên̟ (T (t))t≥0là n̟ua n̟h̟óm̟ H̟ơn̟ n̟ua

suy ra

||Tn̟(t)x|| ≤ ||x|| ⇒ ||T (t)x|| ≤ ||x||∀x ∈ X,||T (t)|| ≤ 1 ∀t ≥ 0.

D0 đó (T (t))t≥0 là n̟ua n̟h̟óm̟ c0.M̟¾t k̟h̟ác, vói m̟0i x ∈ D(A), án̟h̟ xa

ξ : t ›→ T (t)x 0 ≤ t ≤ t0, là giói h̟an̟ đeu cn̟a các h̟àm̟ liên̟ tuc, n̟ên̟

T (t)x → x k̟h̟i t → 0.

Suy ra n̟ua n̟h̟óm̟ (T (t))t≥0liên̟ tuc m̟an̟h̟ (d0 (1.14)).

(iii) K̟ý h̟i¾u (B, D(B)) là t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a (T (t))t≥0và c0 đin̟h̟ x ∈ D(A) Trên̟ m̟0i k̟h̟0an̟g c0m̟pact [0, t0] h̟àm̟

ξn̟ : t ›→ Tn̟(t)x

h̟®i tu đeu đen̟ ξ(.) d0 (1.14), và h̟àm̟

ξ˙n̟ : t ›→ Tn̟(t)An̟x

h̟®i tu đeu đen̟ η : t ›→ T (t)Ax.

Suy ra ξ là h̟àm̟ k̟h̟a vi vói ξ˙(0) = η(0); Túc là

Trang 18

wt

CH̟QN̟ λ > 0, k̟h̟i đó λ − A là m̟®t s0n̟g án̟h̟ tù D(A) và0 X (vì λ ∈ ρ(A)).M̟¾t k̟h̟ác, B là t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ c0 (T (t))t≥0, n̟ên̟ λ ∈ ρ(B) (d0 đ%n̟h̟lý 1.5), suy ra λ − B cũn̟g là s0n̟g án̟h̟ tù D(B) và0 X.

V¾y

D(A) = D(B) và A = B.

H̟¾ qua 1.2 Gia su w ∈ R, (A, D(A)) là m̟®t t0án̟ tu tuyen̟ tín̟h̟ trên̟ m̟®t k̟h̟ơn̟ggian̟ Ban̟ach̟ X K̟h̟i đó các tín̟h̟ ch̟at sau là tươn̟g đươn̟g.

(a) (A, D(A)) sin̟h̟ ra m̟®t n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ th̟óa m̟ãn̟

||T (t)|| ≤ e t ≥ 0. (1.15)

(b) (A, D(A)) đón̟g, xác đ%n̟h̟ trù m̟¾t, vái m̟ői λ > w ta có λ ∈ ρ(A) và

||(λ − w)R(λ, A)|| ≤ 1. (1.16)

(c) (A, D(A)) là đón̟g, xác đ%n̟h̟ trù m̟¾t, vái m̟ői λ ∈ C m̟à Reλ > w, ta có

λ ∈ ρ(A)

và 1

||R(λ, A)|| ≤

Reλ − w. (1.17)

N̟ua n̟h̟óm̟ th̟0a m̟ãn̟ (1.15) đư0c GQI là n̟ua n̟h̟óm̟ tn̟a c0.

Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Xét n̟ua n̟h̟óm̟ đieu ch̟in̟h̟ S(t) = e−wtT (t), t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟h̟óm̟n̟ày là B = A − w Ta có:

||S(t)|| = ||e−wtT (t)|| ≤ e−wt||T (t)|| ≤ e−wtewt = 1∀t ≥ 0.

Suy ra (S(t))t≥0là n̟ua n̟h̟óm̟ c0 liên̟ tuc m̟an̟h̟ Áp dun̟g đ%n̟h̟ lý 1.6 ch̟0 n̟ua n̟h̟óm̟ c0 (S(t))t≥0ta đư0c đieu ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟.

N̟h̟¾n̟ xét 1.1 Qua các đ%n̟h̟ lý ve t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟

ta th̟ay:

- Đ0i vói n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ có th̟e đieu ch̟in̟h̟ đe th̟àn̟h̟ n̟ua n̟h̟óm̟ b% ch̟¾n̟.

Trang 19

λ

1.4K̟h̟ái n̟i¾m̟ ve tán̟ xa và đ%n̟h̟ lý Lun̟n̟er-Ph̟illips

Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.4 T0án̟ tu tuyen̟ tín̟h̟ (A, D(A)) trên̟ k̟h̟ôn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X

GQI là tán̟ xa n̟eu

||(λI − A)x|| “ λ.||x||,∀λ >

0, ∀x ∈ D(A). (1.18)

Đ%n̟h̟ lý 1.7 Đ0i vái tán̟ xa (A, D(A)) ta có các tín̟h̟ ch̟at sau:(a)λI − A là đơn̟ án̟h̟ vái M̟Qi λ > 0 và ta có:

||(λI − A)−1x|| ™ 1 .||x||, ∀x ∈ R(λI − A). (1.19)

(b)λI − A là t0àn̟ án̟h̟ vái λ > 0 n̟à0 đó k̟h̟i và ch̟s k̟h̟i n̟ó là t0àn̟ án̟h̟ vái m̟ői

λ > 0 Tr0n̟g trưàn̟g h̟ap n̟ày ta có (0, +∞) ⊂ ρ(A).

(c)T0án̟ tu A là đón̟g k̟h̟i và ch̟s k̟h̟i m̟ien̟ giá tr% R(λI − A) là đón̟g vái λ > 0

n̟à0 đó (và d0 đó vái M̟QIλ > 0).

(d) N̟eu R(A) ⊂ D(A), ch̟an̟g h̟an̟ n̟eu A là xác đ%n̟h̟ trù m̟¾t th̟ì t0án̟ tu A có th̟e m̟á r®n̟g th̟àn̟h̟ t0án̟ tu đón̟g Ba0 đón̟g A cua n̟ó lai là tán̟ xa th̟óa m̟ãn̟:

R(λI − A) = R(λI − A),∀λ > 0.

Đ%n̟h̟ lý 1.8 (Lun̟n̟er-Ph̟illips) Đ0i vái tán̟ xa xác đ%n̟h̟ trù m̟¾t (A, D(A)) trên̟ k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X các m̟¾n̟h̟ đe sau tươn̟g đươn̟g:

(a) Ba0 đón̟g A cua A sin̟h̟ ra n̟ua n̟h̟óm̟ c0.

(b)R(λI −A) trù m̟¾t tr0n̟g X vái m̟®t λ > 0 n̟à0 đó (và d0 đó vái M̟QIλ > 0).

Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ +) (a) ⇒ (b) D0 A sin̟h̟ ra m̟®t n̟ua n̟h̟óm̟ c0 n̟ên̟ th̟e0 đ%n̟h̟ lý 1.6, vói M̟QI λ > 0 th̟ì λ ∈ ρ(A) D0 đó R(λI − A) = X Th̟e0 đ%n̟h̟ lý 1.7 th̟ì R(λI − A) = R(λI − A ) . V ¾ y ta có đieu ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟.

+) (b) ⇒ (a) Vì R(λI − A) = R(λI − A) = X (th̟e0 gia th̟iet (b)), th̟e0 đ%n̟h̟lý

1.7 th̟ì (0, +∞) ⊂ ρ(A) D0 A là tán̟ xa n̟ên̟ A là tán̟ xa Ta có ||λR(λ, A)|| ™1

n̟ên̟ th̟e0 đ%n̟h̟ lý 1.6, A sin̟h̟ ra n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟.

H̟¾ qua 1.3 Gia su (A, D(A)) là t0án̟ tu xác đ%n̟h̟ trù m̟¾t trên̟ k̟h̟ôn̟g gian̟ Ban̟ach̟X N̟eu ca A và t0án̟ tu liên̟ h̟ap A∗ tán̟ xa th̟ì ba0 đón̟g A cua A sin̟h̟ ram̟®t n̟ua n̟h̟óm̟ c0 trên̟ X.

Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Th̟e0 đ%n̟h̟ lý Lun̟m̟er-Ph̟illips, ta ch̟i can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ R(λI − A)

Trang 20

H̟ah̟n̟-Ban̟ach̟ t0n̟ tai x∗ ∈ X∗, x∗ ƒ= 0 sa0 ch̟0:< (I − A)x, x∗ >= 0 vói M̟QI x ∈D(A) Tù đó, ta suy ra x∗ ∈ D(A∗) D0 D(A) = X n̟ên̟ < x, (I∗ − A∗)x∗ >=

Trang 21

n

(I∗ − A∗)x∗ = 0 Đieu n̟ày m̟âu th̟uan̟ vói tín̟h̟ ch̟at (I∗ − A∗) đơn̟ án̟h̟ d0 A∗ là tán̟xa (th̟e0 đ%n̟h̟ lý 1.7)

Gia su X là k̟h̟ôn̟g gian̟ Ban̟ach̟, X∗ là k̟h̟ôn̟g gian̟ liên̟ h̟0p cn̟a X Th̟e0 đ%n̟h̟lý H̟ah̟n̟-Ban̟ach̟ vói m̟0i x ∈ X, t0n̟ tai f ∈ X∗ sa0 ch̟0

< x, f >= ||x||, ||f|| = 1.

Đ¾t x∗ = ||x||.f K̟h̟i đó, ta có:

||x∗|| = ||x|| và < x, x∗ >= ||x||2 = ||x∗||2.

Vói m̟0i x ∈ X, t¾p sau đây GQI là đ0i n̟gau cn̟a x:

F(x) = {x∗ ∈ X∗ : < x, x∗ >= ||x||2 = ||x∗||2}.

Th̟e0 trên̟ F(x) ƒ= ∅ Cỏc tắp ny ch0 ta mđt ắc trng cna tỏn xa Ta có k̟etqua sau đây:

Đ%n̟h̟ lý 1.9 T0án̟ tu (A, D(A)) là tán̟ xa k̟h̟i và ch̟s k̟h̟i vái M̟QIx ∈ D(A),t0n̟ tai j(x) ∈ F(x) sa0 ch̟0 Re < Ax, j(x) >≤ 0 (∗) N̟eu A là t0án̟ tusin̟h̟ cua n̟ua n̟h̟óm̟ c0 liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ th̟ì (∗) đún̟g vái M̟QIx ∈ D(A) và x∗tùyý th̟u®c F(x).

Ch̟0 đen̟ n̟ay n̟h̟un̟g k̟et qua ve t0án̟ tu sin̟h̟ đeu n̟h̟an̟ m̟an̟h̟ đen̟ tín̟h̟ trù m̟¾tcn̟a m̟ien̟ xác đ%n̟h̟ n̟h̟ư là m̟®t gia th̟iet cơ ban̟ Dưói đây, ta ch̟i ra ran̟g ta sedùn̟g tán̟ xa đe k̟h̟ac ph̟uc gia th̟iet n̟ày n̟h̟ư th̟e n̟à0 Tuy n̟h̟iên̟ dn̟a trên̟ các ph̟átbieu cn̟a đ%n̟h̟ lý 1.7, tán̟ xa A∗ có tín̟h̟ ch̟at (λI − A) là t0àn̟ án̟h̟ vói λ > 0 n̟à0đó, vì v¾y (0, +∞) ⊂ ρ(A).

Đ%n̟h̟ lý 1.10 Gia su (A, D(A)) là tán̟ xa trên̟ k̟h̟ôn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X sa0 ch̟0

(λI − A) là t0àn̟ án̟h̟ vái λ > 0 n̟à0 đó K̟h̟i đó ph̟an̟ A| cua A tr0n̟g k̟h̟ôn̟g gian̟c0n̟ X0 = D(A) là xác đ%n̟h̟ trù m̟¾t và sin̟h̟ ra n̟ua n̟h̟óm̟ c0 tr0n̟g X0.

Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Ta có

A|x = Ax vói M̟QI x ∈ D(A|) = {x ∈ D(A) : Ax ∈ X0} = R(λ, A)X0.

D0 R(λ, A) t0n̟ tai vói λ > 0, đieu đó k̟é0 th̟e0 R(λ, A)| = R(λ, A|) D0v¾y (0, +∞) ⊂ ρ(A) Th̟e0 đ%n̟h̟ lý H̟ille-Y0sh̟ida, ta ch̟i can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ D(A|)

trù m̟¾t tr0n̟g X0 Lay x ∈ D(A) và đ¾t xn̟ = n̟R(n̟, A)x K̟h̟i đó xn̟ ∈ D(A) vàlim̟

n̟→+∞n̟R(n̟, A)x = x

d0 ||R(n̟, A)|| ≤ 1 (th̟e0 đ%n̟h̟ lý 1.8) D0 v¾y các t0án̟ tu n̟R(n̟, A) h̟®i tu m̟an̟h̟

trên̟ D(A) đen̟ t0án̟ tu I D0 ||n̟R(n̟, A)|| ≤ 1 vói M̟QIn̟, ta có yn̟ = n̟R(n̟, A)y → y

Trang 22

[0,1][0,1][0,1] ∫ t1−

Ví dn̟ 1.3 Sau đây ta n̟êu ra ví du ve m̟®t tán̟ xa có m̟ien̟ xác đ%n̟h̟ k̟h̟ơn̟g trù

m̟¾t.

Gia su X = C[0,1], xét t0án̟ tu Af = −fJ vói m̟ien̟ xác đ%n̟h̟ D(A) đư0c xác đ%n̟h̟ n̟h̟ư sau:

D(A) = {f ∈

C1 : f (0) = 0}.

A là t0án̟ tu đón̟g Th̟¾t v¾y, gia su fn̟ → f, Afn̟ = −fn̟J → g, th̟e0 đ%n̟h̟ lý ve

lay đa0 h̟àm̟ cn̟a dãy h̟àm̟ ta có f ∈ C1 , f ∈ D(A) và Af = g Suy ra A đón̟g.

D(A) ƒ= X vì n̟eu f ∈ D(A) th̟ì f (0) = 0 Gia su R(λ, A) là giai th̟úc cn̟a A.K̟h̟i đó

vói M̟QIf ∈ C1 tù h̟¾ th̟úc (λI − A)(λI − A)−1f = f , ta suy ra u(t) = R(λ, A)f (t)

là n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ λu + uJ = f, u(0) = 0 (d0 u ∈ D(A)) Đây là ph̟ươn̟g trìn̟h̟ vi ph̟ân̟ tuyen̟ tín̟h̟ cap 1 N̟gh̟i¾m̟ cn̟a n̟ó là:

u(t) = R(λ, A)f (t) =Vói M̟QI λ > 0, ta có:||R(λ, A)|| ™Suy ra:e−λs(t−s)f (s)ds, t ∈ [0, 1], f ∈ C[0,1].0te−λs(t−s)||f||ds, ∀f ∈ C[0,1].0||R(λ, A)|| ™D0 v¾y ta có:te−λs(t−s)ds=0te−λs(t−s) =λ 0(1 e−λst) < 1 λλ1h̟ay

||x|| = ||R(λ, A)(λI − A)x|| ™ ||R(λ, A)||||(λI − A)x|| ™

λ||(λI −A)x||

||(λI − A)x|| ||x||, > 0.

Vắy A l tỏn xa.

1.5M đt s0 ví dn̟ k̟h̟ác n̟h̟au cua n̟Ea n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟

1.5.1N̟Ea n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c đeu

∫

∫

Trang 23

Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.5 N̟ua n̟h̟óm̟ (T (t))t≥0đưac GQI là n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c đeutr0n̟g L(X) n̟eu án̟h̟ xa R+ s t → T (t) ∈ L(X) liên̟ tn̟c đ0i vái tô pô ch̟uan̟ (tôpô đeu) tr0n̟g L(X), túc là:

lim̟

Trang 24

Σ≥ΣΣ ||||ΣΣ Σ∞ΣΣ−=

Rõ ràn̟g n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc đeu là liên̟ tuc m̟an̟h̟ Vì th̟e đieu k̟i¾n̟ (∗) tươn̟gđươn̟g vói đieu k̟i¾n̟ sau

lim̟

h̟→0+||T (h̟) − I|| = 0.

Ví dn̟ 1.4 Ch̟0 k̟h̟ôn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X và t0án̟ tu A ∈ L(X) Xét ch̟u0i

∞n̟( tA ) , t 0.n̟!Ta có chu0ivn=0||(tA)n||n!n=0hđi tu Thắt vắy:||(tA)n||n!tn||A||n n!lim.tn+1||A||n+1 .tn||A||n t || A || = 0.n̟→∞ (n̟ + 1)!n̟!n̟ + 1nTự ú suy ra n=0(tA)nn! hđi tu tr0ng L(X).ắt T (t) = eAt = n̟=0∞(tA)n̟n̟! Ta có T (0) = I.Dùn̟g quy tac n̟h̟ân̟ Cauch̟y ve ch̟u0i lũy th̟ùa, ta có

∞k̟ k̟ ∞k̟ k̟T (t).T (s) = etA.esA =t A k̟!k̟=0s Ak̟!k̟=0= Σ Σ tn̟−k̟.An̟−k̟sk̟Ak̟.n̟=0 k̟=0∞ (n̟ − k̟)!k̟!n̟n̟= ( t + s ) .An̟! = e(t+s)A = T (t + s).n̟=0

Suy ra T (t) = etAlà n̟ua n̟h̟óm̟ tr0n̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X.+ Ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ n̟ua n̟h̟óm̟ n̟ày liên̟ tuc đeu Th̟¾t v¾y

Trang 26

Σ

V¾y (T (t))t≥0 = (etA)t≥0 là n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc đeu.

Đ%n̟h̟ lý 1.11 T0án̟ tu tuyen̟ tín̟h̟ A là t0án̟ tu sin̟h̟ cua n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c

đeu k̟h̟i và ch̟s k̟h̟i n̟ó là t0án̟ tu b% ch̟¾n̟ ( A ∈ L(X)).

Đ%n̟h̟ lý 1.12 Đ0i vái n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ (T (t))t≥0trên̟ m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X vái t0án̟ tu sin̟h̟ (A, D(A)) K̟h̟i đó các k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ sau là tươn̟g đươn̟g.

(a) T0án̟ tu sin̟h̟ A là b% ch̟¾n̟; Túc là, t0n̟ tai M̟ > 0 th̟óa m̟ãn̟

||Ax|| ≤ M̟||x|| ∀x ∈ D(A).(b)M̟ien̟ D(A) là tat ca các ph̟an̟ tu cua X.

(c)M̟ien̟ D(A)đón̟g tr0n̟g X.

(d) N̟ua n̟h̟óm̟ (T (t))t≥0liên̟ tn̟c đeu.Tr0n̟g m̟ői trưàn̟g h̟ap n̟ua n̟h̟óm̟ đưac ch̟0 bái

∞n̟ n̟T (t) = etA =tAn̟!t ≥ 0.n̟=01.5.2N̟Ea n̟h̟óm̟ đ0n̟g dan̟g

Gia su V là ph̟ép đan̟g cn̟ tù k̟h̟ôn̟g gian̟ Y lên̟ k̟h̟ôn̟g gian̟ X và (S(t))t≥0 là n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ trên̟ Y ch̟0 b0i

S(t) = V −1T (t)V,

tr0n̟g đó (T (t))t≤0 là n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ trên̟ X.

K̟h̟i đó t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ (S(t))t≥0 là B = V −1AV vói m̟ien̟ xác đ%n̟h̟

D(B) = {y ∈ Y : V y ∈ D(A)},

tr0n̟g đó (A, D(A)) là t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ (T (t))t≤0.

Ta có σ(A) = σ(B) và giai th̟úc cn̟a B là: R(λ, B) = V −1R(λ, A)V vói λ ∈ ρ(A).

1.5.3N̟Ea n̟h̟óm̟ đieu ch̟in̟h̟

N̟ua n̟h̟óm̟ đieu ch̟in̟h̟ (eµtT (αt))t≥0, µ ∈ C, α > 0 có t0án̟ tu sin̟h̟ là B =αA + µI vói m̟ien̟ xác đ%n̟h̟ D(B) = D(A) Th̟¾t v¾y, ta có:

Trang 27

Suy ra

Trang 28

s∈ΩαI − A(λI − B) = αAI − ααH̟ơn̟ n̟ua,σ(B) = α.σ(A) + µ và R(λ, B) = 1 R .λ − µ , AΣ ,λ ∈ ρ(A),ααd01 .λ − µ Σ−1 .λ − µ Σ−1 .λ − µ Σ1.5.4N̟Ea n̟h̟óm̟ n̟h̟ân̟

Ta bat đau vói vi¾c xét k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ (vói ch̟uan̟ sup) K̟í h̟i¾u:

C0(Ω)) := {f ∈ C(ω) : ∀ ε > 0 t0n̟ tai t¾p c0m̟pact K̟ε ⊂ Ω)

sa0 ch̟0 |f (s)| < ε ∀ s ∈ Ω)\K̟ε}.

đây là k̟h̟ôn̟g gian̟ các h̟àm̟ ph̟úc, liên̟ tuc trên̟ k̟h̟ơn̟g gian̟ c0m̟pact đ%a ph̟ươn̟gΩ), tri¾t tiêu tai vơ cùn̟g Vói h̟àm̟ liên̟ tuc bat k̟ì q : Ω) → C ta liên̟ k̟et m̟®t t0án̟tu tuyen̟ tín̟h̟ M̟q đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa trên̟ m̟ien̟ xác đ%n̟h̟ t0i đai cn̟a n̟ó D(M̟q) tr0n̟g

C0(Ω))

Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.6 T0án̟ tu n̟h̟ân̟ M̟q ∈ C0(Ω)) vái q : Ω) → C liên̟ tn̟c đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa

bái:

M̟qf = q.f ∀f ∈ C0(Ω)) vái m̟ien̟ xác đ%n̟h̟

D(M̟q) = {f ∈ C0(Ω)) : q.f ∈ C0(Ω))}.

Vói h̟àm̟ liên̟ tuc bat k̟ì q : Ω) → C ta xác l¾p h̟àm̟ m̟ũ

etq : s ›→ etq(s)vói s ∈ Ω), t ≥ 0.

K̟h̟i đó t0án̟ tu n̟h̟ân̟ tươn̟g ún̟g

Tq(t)f := etqf, f ∈ C0(Ω))th̟0a m̟ãn̟ lu¾t n̟h̟óm̟ T (t + s) = T (t)T (s), T (0) = I.

Đe th̟u đư0c m̟®t n̟ua n̟h̟óm̟ th̟am̟ s0 trên̟ C0(Ω)), ta can̟ các t0án̟ tu n̟h̟ân̟ Tq(t)

n̟ày là b% ch̟¾n̟ trên̟ C0(Ω)), đieu n̟ày xay ra k̟h̟i và ch̟i k̟h̟i

sup|etq(s)| = sup e|tReq(s)| = et supReq(s) < +∞.s∈Ω)s∈Ω)

=

Trang 29

∞tnqtnq(s )ntnq(s )n

Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.7 Gia su q : Ω) → C là h̟àm̟ liên̟ tn̟c th̟óa m̟ãn̟:

supReq(s) < + s∈Ω)

K̟h̟i đó n̟ua n̟h̟óm̟ (Tq(t))t“0ch̟0 bái:

Tq(t)f = etqf,

vái t “ 0, f ∈ C0(Ω)) đưac GQI là n̟ua n̟h̟óm̟ n̟h̟ân̟ sin̟h̟ bái t0án̟ tu n̟h̟ân̟ M̟q

(h̟0¾c h̟àm̟ q) trên̟ C0(Ω)).

Đ%n̟h̟ lý 1.13 N̟ua n̟h̟óm̟ n̟h̟ân̟ (Tq(t))t“0sin̟h̟ bái q : Ω) → C là liên̟ tn̟c đeu n̟eu và

ch̟s n̟eu q b% ch̟¾n̟.

Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ +)Đieu k̟i¾n̟ can̟ Gia su M̟q b% ch̟¾n̟ De dàn̟g n̟h̟¾n̟ th̟ay Tq(t) =etM̟q ⇒ Tq(t) b% ch̟¾n̟ đeu.

+)Đieu k̟i¾n̟ đu Gia su q k̟h̟ơn̟g b% ch̟¾n̟, ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (Tq(t))t™0 k̟h̟ơn̟g liên̟ tuc đeu Th̟¾t v¾y, lay {sn̟}n̟∈N̟ ⊂ Ω) th̟0a m̟ãn̟: |q(sn̟)| → ∞, n̟ → ∞ K̟h̟i đó ta có:

1

tn̟ =

|q(sn̟)| → 0.

Tù ez ƒ= 1 vói M̟QI |z| = 1, d0 đó t0n̟ tai δ > 0 sa0 ch̟0:

|1 − e| ≥ δ

vói M̟QI n̟ ∈ (N̟ ) (D0 |tn̟.q(sn̟)| = 1).

Vói fn̟ ⊂ C0(Ω)) th̟0a m̟ãn̟ ||fn̟|| = 1 = fn̟(sn̟), ta có:

||Tq(0) = Tq(tn̟)|| ≥ ||fn̟ − e fn̟||

≥ |1 − e| ≥ δ > 0

vói M̟QI n̟ ∈ (N̟ ), túc là (Tq(t))t“0 k̟h̟ôn̟g liên̟ tuc đeu.

B0 đe 1.3 T0án̟ tu sin̟h̟ (A, D(A)) cua n̟ua n̟h̟óm̟ n̟h̟ân̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ (T (t))t≥0

trên̟ X := C0(Ω)) đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa bái

Tq(t)f := etq.f vái f ∈ X và t ≥ 0,

đưac ch̟0 bái t0án̟ tu n̟h̟ân̟

Af = M̟qf := q.f

vái m̟ien̟ xác đ%n̟h̟ D(A) = D(M̟q) := {f ∈ X : qf ∈ X}.Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Lay f ∈ D(A) K̟h̟i đó

etqf − fetq(s)f (s) − f (s)

lim̟

Trang 30

.

0

→+

s = lim̟

t↓0t = (s)q(s)f

t0n̟ tai vói M̟QI s ∈ Ω), và ta có qf ∈ C0(Ω)) Đieu đó ch̟0 th̟ay D(A) ⊆ D(M̟q)và Af = M̟qf Tù đ%n̟h̟ lý 1.5.(ii) và bő đe I.4.2.(iv)(xem̟ [8], tran̟g 25-26), tươn̟g ún̟g A − λ và M̟q − λ là k̟h̟a n̟gh̟%ch̟ vói λ đn̟ lón̟ Tù đó A = M̟q.

1.6Bài t0án̟ Cauch̟y đ¾t ch̟in̟h̟

Xét bài t0án̟ Cauch̟y trùu tư0n̟g vói giá tr% ban̟ đau:

(ACP) u˙(t) = Au(t)∀t ≥ 0, u(0) = x.

tr0ng ú t l bien đc lắp bieu dien̟ th̟ịi gian̟, u(.) là h̟àm̟ n̟h̟¾n̟ giá tr% tr0n̟gk̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X, A : D(A) ⊂ X → X là t0án̟ tu tuyen̟ tín̟h̟, x ∈ X là giátr% ban̟ đau.

Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.8 H̟àm̟ u : R+ → X đưac GQI là n̟gh̟i¾m̟ (cő đien̟) cua bàit0án̟ Cauch̟y trùu tưan̟g (ACP) n̟eu u k̟h̟a vi liên̟ tn̟c, u(t) ∈ D(A) vái

M̟QI t ≥ 0 và th̟óa m̟ãn̟ (ACP ).

N̟eu A là t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ (T (t))t≥0 th̟ì tù đ%n̟h̟ lý1.3(ii) suy ra n̟ua n̟h̟óm̟ ch̟0 ta n̟gh̟i¾m̟ cn̟a bài t0án̟ Cauch̟y tươn̟g ún̟g vói A.Cu th̟e ta có m̟¾n̟h̟ đe sau.

M̟¾n̟h̟ đe 1.1 Gia su (A, D(A)) là t0án̟ tu sin̟h̟ cua n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟cm̟an̟h̟ (T (t))t≥0 K̟h̟i đó, vái M̟QI x ∈ D(A), h̟àm̟ u : t ›→ u(t) = T (t)x

là n̟gh̟i¾m̟ (cő đien̟) duy n̟h̟at cua bài t0án̟ Cauch̟y trùu tưan̟g.

Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.9 H̟àm̟ u : R X đưac GQI l nghiắm suy rđng cua bàit0án̟ Cauch̟y trùu tưan̟g n̟eu ∫ t u(s)ds ∈ D(A) vái M̟QIt ≥ 0 và

u(t) = At

u(s)ds + x.

0

M̟¾n̟h̟ đe 1.2 Gia su (A, D(A)) là t0án̟ tu sin̟h̟ cua n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟

(T (t))t≥0.K̟h̟i đó, vái M̟QIx ∈ X, án̟h̟ xa quy đa0

u : t ›→ T (t)x

là nghiắm suy rđng duy nhat cua bi t0ỏn Cauchy trựu tưan̟g.

Trang 31

s=00∫n→∞∫ t∫|0T (t)x − x = A 0 T (s)xds vói MQI x ∈X.Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Th̟e0 đ%n̟h̟ lý 1.3 ta cóT (t)xds ∈ D(A) vói M̟QI x ∈ Xvàt

Suy ra, u(t) = T (t)x l nghiắm suy rđng cna (ACP).

Ta chỳng m̟in̟h̟ tín̟h̟ duy n̟h̟at n̟gh̟i¾m̟ 0 ún̟g vói giá tr% ban̟ đau x = 0 Gia su u

là n̟gh̟i¾m̟ suy r®n̟g cn̟a bài t0án̟ Cauch̟y trùu tư0n̟g vói x = 0, t > 0 K̟h̟i đóvói m̟0i s ∈ (0, t), ta có:dds (T (t − s)su(r)dr) = T (t − s)u(s) − T (t − s)A0su(r)dr = 0.0

Lay tích̟ ph̟ân̟ tù 0 đen̟ t ta đư0c:

T (t − s)su(r)dr s=t

0

= 0.

Tù đó suy ra tu(r)dr = 0 Lay đa0 h̟àm̟ th̟e0 t ta đư0c u(t) = 0 vói M̟QI t > 0 M̟à u(0) = 0 n̟ên̟ u(t) = 0 vói M̟QI t ≥ 0.

Đ%n̟h̟ lý 1.14 Ch̟0 A : D(A) ⊂ X → X là t0án̟ tu đón̟g K̟h̟i đó, các tín̟h̟ ch̟at sau là tươn̟g đươn̟g.

(i) A là t0án̟ tu sin̟h̟ cua n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟.

(ii) Vái M̟QIx ∈ D(A) t0n̟ tai duy n̟h̟at n̟gh̟i¾m̟ u(., x) cua (ACP) và ρ(A) ƒ= ∅.

(iii) Vái M̟QIx ∈ D(A) t0n̟ tai duy n̟h̟at n̟gh̟i¾m̟ u(., x) cua (ACP), D(A)

trù

m̟¾t tr0n̟g X và vái M̟QI dãy {xn̟}∞n̟=1 ⊂ D(A) : lim̟ xn̟ = 0, t0n̟ tai n̟gh̟i¾m̟ u(t,xn̟)

sa0 ch̟0: lim̟

n̟→∞u(t, xn̟) = 0 đeu trên̟ [0, t0].

Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ +) (i) ⇒ (ii) (th̟e0 m̟¾n̟h̟ đe 1.1).+) (ii) ⇒ (iii).

Đau tiên̟ ta ch̟i ra vói M̟QI x ∈ X t0n̟ tai duy n̟h̟at nghiắm suy rđng cna(ACP) Vỡ (A) ƒ= ∅ n̟ên̟ t0n̟ tai λ ∈ ρ(A) Đ¾t y = R(λ, A)x suy ra y ∈D(A) Th̟e0 gia th̟iet, t0n̟ tai n̟gh̟i¾m̟ u(., y) vói giá tr% ban̟ đau u(0) = y Đ¾t

v(t) = (λ − A)u(t, y) ∈ D(A).

∫ ∫

Trang 33

∫∫ t∫ t∫

Gia su u(.) l nghiắm suy rđng cna (ACP) vúi giỏ tr% ban̟ đau x = 0 Đ¾t

Suy rav(t) = u(s)ds.0v˙(t) = u(t) =Atu(s)ds = Av(t)0

và v(0) = 0 Suy ra v(t) = 0 vói M̟QI t ≥ 0 d0 đó u(t) = 0 vói M̟QI t ≥ 0.+) Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ D(A) trù m̟¾t tr0n̟g X.

Vói M̟QI x ∈ X t0n tai duy nhat nghiắm suy rđng u(t, x) cna (ACP) K̟h̟i đó

M̟¾t k̟h̟áclim̟01 ∫ tu(s, x)ds ∈ D(A).u(s, x)ds = u(0, x) = x.t→0 t 0Suy ra D(A) trù mắt tr0ng X.

e chỳng minh sn phu thuđc liờn tuc cn̟a n̟gh̟i¾m̟ và0 đieu k̟i¾n̟ ban̟ đau ta xét

φ : X → C([0, t0], X), x ›→ u(., x).+) Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ φ đón̟g.Gia su xn̟ → x, φ(xn̟) → y ∈ C([0, t0], X).Vói M̟QI t ∈ [0, t0] ta có:D(A) svàt0tu(s, xn̟)ds0ty(s)ds k̟h̟i n̟ → ∞0

Vì A đón̟g n̟ên̟ Au(s, xn̟)ds = u(t, xn̟) − xn̟ → y(t) − x.∫ t∈y(s)ds D(A)0vàtV¾yy(t) − x =A∫ ty(t) = A 0y(s)ds.0

Suy ra y(.) l nghiắm suy rđng cna (ACP) vúi đieu k̟i¾n̟ ban̟ đau x n̟eu vói t >t0

∫ ∫

y(s)ds + x vói MQI t ∈ [0,t0].

→

Trang 34

n→∞∈

.ta đ¾t

y(t) := u(t − t0, y(t0)).

K̟h̟i đó

y(t) = u(t, x) vói M̟QI t ∈ [0, t0].

V¾y φ(x) = y h̟ay φ đón̟g Th̟e0 đ%n̟h̟ lý đ0 th̟% đón̟g suy ra φ liên̟ tuc V¾yn̟eu xn̟ → 0 th̟ì φ(xn̟) → 0 h̟ay u(t, xn̟) → 0 tr0n̟g C([0, t0], X) Suy ra u(t, xn̟)

→ 0 đeu th̟e0 t trên̟ [0, t0].

+) (iii) ⇒ (i) Gia su có (iii), k̟h̟i đó t0n̟ tai T (t) ∈ L(X) xác đ%n̟h̟ b0i:

T (t)x = u(t, x) vói M̟QI x ∈ D(A), t ≥ 0.

Ta có th̟e gia su

sup

0≤t≤1

||T (t)|| < ∞.

Vì n̟eu k̟h̟ơn̟g, gia su t0n̟ tai {tn̟}n̟∈N̟⊂ [0, t0] sa0 ch̟0 lim̟ ||T (tn̟)|| = ∞ Ta cóth̟e cH̟QN̟ xn̟D(A) sa0 ch̟0 lim̟

n̟→∞xn̟ = 0 và ||T (tn̟)xn̟|| ≥ 1 Đieu n̟ày m̟âu th̟uan̟vói (iii) vì u(tn̟, xn̟) = T (tn̟)xn̟ V¾y ||T (t)|| b% ch̟¾n̟ đeu vói M̟QI t ∈ [0, 1].Ta có t ›→ T (t)x liên̟ tuc vói m̟QI x ∈ D(A) m̟à D(A) trù m̟¾t tr0n̟g X n̟ên̟ th̟e0 bő đe 1.1 án̟h̟ xa: t → T (t)x liên̟ tuc vói M̟QI x ∈ X.

Vói M̟QI x ∈ D(A) ta có

T (t + s)x = u(t + s, x) và T (t)T (s)x = u(t, T (s)x) = u(t, u(s, x)).

Suy ra

T (t + s) = T (t)T (s) vói M̟QI t, s ≥ 0.

V¾y (T (t))t≥0là n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ trên̟ X.+) Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ A là t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a (T (t))t≥0.

GQI (B, D(B)) là t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a (T (t))t≥0 H̟ien̟ n̟h̟iên̟ A ⊂ B H̟ơn̟ n̟ua

D(A) őn̟ đ%n̟h̟ b0i T (t),D(A) trù m̟¾t tr0n̟g X Suy ra D(A) là c0re cn̟a

B Suy ra D(A) = D(B) th̟e0 ch̟uan̟ đ0 th̟% ||.||B M̟à A đón̟g n̟ên̟ A = B.

Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.10 (Bài t0án̟ Cauch̟y đ¾t ch̟in̟h̟ )

Bài t0án̟ Cauch̟y trùu tưan̟g

(ACP)u(0) = xu˙(t) = Au(t)∀t ≥ 0,

vái t0án̟ tu đón̟g A : D(A) ⊂ X → X đưac GQI là đ¾t ch̟sn̟h̟ n̟eu vái M̟QIx ∈D(A)

Trang 35

n→∞m̟ien̟ xác đ%n̟h̟ trù m̟¾t, đ0n̟g th̟ài vái M̟QI dãy {xn̟}∞n̟=0 ⊂ D(A)

: lim̟

xn̟ = 0,tacó: lim̟

n̟→∞

Trang 36

Ch̟ươn̟g 2

Tín̟h̟ ch̟at n̟gh̟i¾m̟ cua ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tien̟ h̟óa trÈu tưan̟g và Én̟g dn̟n̟g

2.1N̟h̟ieu b% ch̟¾n̟ cua n̟Ea n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟

Vi¾c k̟iem̟ tra các đieu k̟i¾n̟ đ¾c trưn̟g cn̟a t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ c0 h̟0¾cn̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ là m̟®t cơn̟g vi¾c k̟h̟ó k̟h̟ăn̟ và đ0i vói n̟h̟ieut0án̟ tu quan̟ TRQN̟G khụng the thnc hiắn mđt cách̟ trn̟c tiep N̟h̟ieu là ph̟ươn̟gph̟áp cơ ban̟ giúp ta tiep c¾n̟ vi¾c giai quyet van̟ đe n̟ày Trưóc k̟h̟i xétbài t0án̟ n̟h̟ieu cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ ta xét bài t0án̟ sau.

Bài t0án̟: Ch̟0 A : D(A) ⊆ X → X là t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tucm̟an̟h̟ (T (t))t≥0 và xét t0án̟ tu th̟ú h̟ai B : D(B) ⊆ X → X Tìm̟ đieu k̟i¾n̟ đe

A + B sin̟h̟ ra n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ (S(t))t≥0n̟à0 đó.Ch̟ún̟g tơi xin̟ n̟h̟ac lai, tőn̟g A + B đư0c đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa n̟h̟ư sau:

(A + B)x = Ax + Bx,

vói

x ∈ D(A + B) = D(A) ∩ D(B).

K̟h̟i đó ta n̟ói A là t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a B và B là n̟h̟ieu cn̟a A N̟ói ch̟un̟g, t¾pxác đ%n̟h̟ D(A + B) có vai trị quan̟ TRQN̟G ch̟0 tín̟h̟ ch̟at cn̟a tőn̟g A + B Tr0n̟gm̟®t s0 trưịn̟g h̟0p D(A + B) có th̟e là {0}.

Ví dn̟ 2.1 (i) Gia su (A, D(A)) là t0án̟ tu sin̟h̟ k̟h̟ơn̟g b% ch̟¾n̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟liên̟ tuc m̟an̟h̟ K̟h̟i đó D(A) ƒ= X.

Trang 37

{

tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ n̟à0.

N̟eu lay B = −2A th̟ì A + B = −A vói m̟ien̟ xác đ%n̟h̟ D(A + B) = D(A).K̟h̟i đó A + B là t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ n̟eu A là t0án̟ tusin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟.

(ii) Gia su A : D(A) ⊆ X → X là t0án̟ tu sin̟h̟ k̟h̟ơn̟g b% ch̟¾n̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ (T (t))t≥0 Lay S ∈ L(X) là m̟®t ph̟ép đan̟g cau sa0 ch̟0 D(A)∩S(D(A)) ={0}.

K̟h̟i đó B = SAS−1là t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ đ0n̟g dan̟g ST (t)S−1, n̟h̟ưn̟g

A + B ch̟i xác đ%n̟h̟ trên̟ D(A + B) = D(A) ∩ D(B) = D(A) ∩ S(D(A)) = {0}.Ch̟an̟g h̟an̟, xét

X = C0(R+) = fC(R+) : lim̟

s→∞

Trên̟ X xác đ%n̟h̟ án̟h̟ xa Ax = fJ vói m̟ien̟ xác đ%n̟h̟f (s) = 0}.D(A) = C1(R+) = {f ∈ C1(R+) : lim̟ f (s) = lim̟ fJ(s) = 0}và ch̟uan̟0s→∞||f|| = sup |f (s)| + sup |fJ(s)|.s→∞s≥0s≥0

GQI S là ph̟ép đan̟g cau Sf = qf vói h̟àm̟ q là h̟àm̟ dươn̟g, liên̟ tuc sa0 ch̟0 q

và

q−1b% ch̟¾n̟ và k̟h̟a vi k̟h̟ap n̟ơi Xác đ%n̟h̟ t0án̟ tu B n̟h̟ư sau:

Bf = q.(q−1.f )J, trên̟ D(B) = {f ∈ X : q−1f ∈ D(A)}.

K̟h̟i đó tőn̟g A + B xác d%n̟h̟ trên̟ {0}.

Các ví du trên̟ ch̟0 th̟ay ph̟ép c®n̟g các t0án̟ tu k̟h̟ơn̟g b% ch̟¾n̟ can̟ đư0cn̟gh̟iên̟ cúu can̟ th̟¾n̟ Ta bat đau vói trưịn̟g h̟0p m̟à 0 đó ta trán̟h̟ các k̟h̟ó k̟h̟ăn̟d0 sn̟ k̟h̟ác n̟h̟au giua các m̟ien̟ xác đ%n̟h̟ cn̟a các t0án̟ tu, ch̟ín̟h̟ xác h̟ơn̟ ta giath̟iet m̟®t tr0n̟g h̟ai t0án̟ tu th̟am̟ gia là b% ch̟¾n̟.

Đ%n̟h̟ lý 2.1 (Đ%n̟h̟ lý ve n̟h̟ieu b% ch̟¾n̟) Ch̟0 (A, D(A)) là t0án̟ tu sin̟h̟cua n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ T(t) trên̟ k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X th̟óa m̟ãn̟

||T (t)|| ≤ M̟ eωtvái M̟QIt “ 0

tr0n̟g đó w ∈ R, M̟ ≥ 1 N̟eu B ∈ L(X) th̟ì

C := A + B vái D(C) := D(A)

Trang 39

Σ

Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Trưóc h̟et ta gia su w = 0, M̟ = 1 K̟h̟i đó λ ∈ ρ(A) vói M̟QI λ > 0, và λ − C có th̟e ph̟ân̟ tích̟ đư0c th̟àn̟h̟

λ − C = λ − A − B = (I − BR(λ, A))(λ − A). (2.1)

Tù λ − A là s0n̟g án̟h̟, ta k̟et lu¾n̟ đư0c λ − C là s0n̟g án̟h̟, túc là, λ ∈ ρ(C), n̟eu và ch̟i n̟eu

I − BR(λ, A)

là k̟h̟a n̟gh̟%ch̟ tr0n̟g L(X) Tr0n̟g trưịn̟g h̟0p đó ta có

R(λ, C) = R(λ, A)[I − BR(λ, A)]−1. (2.2)

Bây giò cH̟QN̟ Reλ > ||B|| K̟h̟i đó ||BR(λ, A)|| ≤ ||B||/Reλs < 1 th̟e0 đ%n̟h̟ lý t0án̟ tu sin̟h̟, và d0 đó λ ∈ ρ(A) vói

∞R(λ, C) = R(λ, A) (BR(λ, A))n̟. (2.3)n̟=0Ta ưóc lư0n̟g1 1 1||R(λ, C)|| ≤ Reλ.1 − ||B||/Reλs=Reλ − ||B||

vói m̟QI Reλ > ||B|| và tù h̟¾ qua II.3.6 (xem̟ [8], tran̟g 76) ta có C là t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ (S(t))t≥0 th̟0a m̟ãn̟

||S(t)|| ≤ e||B||tvói t ≥ 0.

Vói w ∈ R, M̟ ≥ 1, vi¾c đau tiên̟ ch̟ún̟g ta làm̟ th̟ay đői đe đư0c w = 0 Gi0n̟g n̟h̟ư Bő đe II.3.10 (xem̟ [8], tran̟g 78), ta xây dn̟n̟g ch̟uan̟ m̟ói

|||x||| := sup||T (t)x||t≥

0

trên̟ X Ch̟uan̟ n̟ày th̟0a m̟ãn̟

và d0 đó

||x|| ≤ |||x||| ≤ M̟||x||,

|||Bx||| ≤ M̟||B||.||x|| ≤ M̟||B||.|||x|||

vói M̟QI x ∈ X Ban̟g cách̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ 0 ph̟an̟ đau, tőn̟g C := A + B là t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ S(t) th̟0a m̟ãn̟ côn̟g th̟úc

|||S(t)||| ≤ e|||B|||t ≤ eM̟||B||t.

D0 đó

||S(t)|| ≤ |||S(t)x||| ≤ eM̟||B||t|||x||| ≤ M̟eM̟||B||t||x||

Trang 40

00∫ t∫ t−

Ví dn̟ 2.2 Lay Af := fJ trên̟ X := C0(R) vói m̟ien̟ xác đ%n̟h̟ C1(R) Vói h̟ ∈ C1(R)

00

đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa t0án̟ tu B b0i

Bf := fJ(0).h̟, f ∈ C1(R).

Th̟e th̟ì B là k̟h̟ơn̟g b% ch̟¾n̟ trên̟ X n̟h̟ưn̟g b% ch̟¾n̟ trên̟ D(A) = C1(R), và d0 v¾y

A + B là t0án̟ tu sin̟h̟ trên̟ X.

H̟¾ qua 2.1 Xét h̟ai n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ (T (t))t≥0có t0án̟ tu sin̟h̟ A và

(S(t))t≥0có t0án̟ tu sin̟h̟ C trên̟ k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X và gia su ran̟g

C = A + Bvái t0án̟ tu b% ch̟¾n̟ B ∈ L(X) K̟h̟i đóS(t)x = T (t)x +vái M̟QIt ≥ 0 và x ∈ X.T (t − s)BS(s)xds, x ∈ X. (IE)0

Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Lay x ∈ D(A) và xét h̟àm̟

[0, t] s s ›→ ξx(s) := T (t − s)S(s)x ∈ X.

Tù D(A) = D(C) là bat bien̟, d0 đó m̟à ξx(.) là k̟h̟a vi liên̟ tuc vói đa0 h̟àm̟

ddsξx(s) = T (t − s)CS(s)x − T (t − s)(s)x = T (t − s)BS(s)x.Đieu đó suy raS(t)x − T (t)x = ξx(t) − ξ0 =tξxJ(s) =0tT (t s)BS(s)xds.0

Cu0i cùn̟g, d0 sn̟ trù m̟¾t cn̟a D(A) và tín̟h̟ b% ch̟¾n̟ cn̟a các t0án̟ tu dan̟ đen̟ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tích̟ ph̟ân̟ n̟ày đún̟g vói M̟QI x ∈ X.

N̟eu ta th̟ay h̟àm̟ ξx b0i

ηx(s) := S(s)T (t − s)x

và su dun̟g l¾p lu¾n̟ tươn̟g tn̟, ta có k̟et qua tươn̟g tn̟

S(t)x = T

(t)x + vói M̟QI t ≥ 0 và x ∈ X.