Luận văn thạc sĩ về tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa và ứng dụng lvts vnu

ĐAI H̟0C QU0C GIA H̟À N̟®I TRƯèN̟G ĐAI H̟0C K̟H̟0A H̟0C TU N̟H̟IÊN̟ - - - - - - - - - 000 - - - - - - - - - PH̟AM ̟ N̟H̟Ư TH̟ÀN̟H̟ VE TÍN̟H̟ CH̟AT N̟GH̟IfiM ̟ CUA PH̟ƯƠN̟G TRÌN̟H̟ TIEN̟ H̟ĨA VÀ ÚN̟G DUN̟G LU¾N̟ VĂN̟ TH̟AC SĨ K̟H̟0A H̟0C Hà N®i - 2015 ĐAI H̟0C QU0C GIA H̟À N̟®I TRƯèN̟G ĐAI H̟0C K̟H̟0A H̟0C TU N̟H̟IÊN̟ - - - - - - - - - 000 - - - - - - - - - PH̟AM ̟ N̟H̟Ư TH̟ÀN̟H̟ VE TÍN̟H̟ CH̟AT N̟GH̟IfiM ̟ CUA PH̟ƯƠN̟G TRÌN̟H̟ TIEN̟ H̟ĨA VÀ ÚN̟G DUN̟G Ch̟un̟ n̟gàn̟h̟: T0ÁN̟ GIAI TÍCH̟ M̟ã s0: 60460102 LU¾N̟ VĂN̟ TH̟AC SĨ K̟H̟0A H̟0C N̟GƯèI H̟ƯéN̟G DAN̟ K̟H̟0A H̟0C: PGS.TS Đ¾N̟G ĐÌN̟H̟ CH̟ÂU M ̟ n̟c ln̟c N̟Ea n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ tr0n̟g k̟h̟ôn̟g gian̟ Ban̟ach̟ t0án̟ tE sin̟h̟ cua ch̟ún̟g 1.1 N̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ 1.2 K̟h̟ái n̟i¾m̟ ve t0án̟ tu sin̟h̟ m̟®t s0 k̟et qua bő tr0 1.3 Đ%n̟h̟ lý ve t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ 12 1.4 K̟h̟ái n̟i¾m̟ ve tán̟ xa đ%n̟h̟ lý Lun̟n̟er-Ph̟illips 15 1.5 M̟®t s0 ví du k̟h̟ác n̟h̟au cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ 17 1.5.1 N̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc đeu 17 1.5.2 N̟ua n̟h̟óm̟ đ0n̟g dan̟g 19 1.5.3 N̟ua n̟h̟óm̟ đieu ch̟in̟h̟ 19 1.5.4 N̟ua n̟h̟óm̟ n̟h̟ân̟ .20 1.6 Bài t0án̟ Cauch̟y đ¾t ch̟in̟h̟ 22 Tín̟h̟ ch̟at n̟gh̟i¾m̟ cua ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tien̟ h̟óa trÈu tưan̟g Én̟g dn̟n̟g 26 2.1 N̟h̟ieu b% ch̟¾n̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ .26 2.2 Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tien̟ h̟óa vói n̟h̟ieu Lipsch̟itz 30 2.3 K̟h̟ái n̟i¾m̟ HQ ̟ t0án̟ tu tien̟ h̟óa liên̟ tuc m̟an̟h̟ m̟®t vài tín̟h̟ ch̟at n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ vi ph̟ân̟ tuyen̟ tín̟h̟ th̟uan̟ n̟h̟at tr0n̟g k̟h̟ôn̟g gian̟ Ban̟ach̟ 37 2.4 N̟h̟ieu tuyen̟ tín̟h̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tien̟ h̟0á HQ ̟ t0án̟ tu tien̟ h̟óa liên̟ tuc m̟an̟h̟ .44 2.5 Sn̟ tươn̟g đươn̟g ti¾m̟ c¾n̟ cn̟a HQ ̟ t0án̟ tu tien̟ h̟óa .47 2.6 Ún̟g dun̟g cn̟a ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ua n̟h̟óm̟ tr0n̟g m̟ơ h̟ìn̟h̟ quan̟ th̟e sin̟h̟ h̟Qc 53 2.6.1 Ve tín̟h̟ ch̟at n̟gh̟i¾m̟ cn̟a t0án̟ dân̟ s0 phu thuđc v0 tui 53 2.6.2 Tớnh chat nghiắm cna t0án̟ dân̟ s0 có ph̟u th̟u®c và0 tuői sn̟ ph̟ân̟ b0 dân̟ cư 55 M ̟ a Đau Tr0n̟g th̟òi gian̟ gan̟ d0 u cau địi h̟0i tù m̟ơ h̟ìn̟h̟ ún̟g dun̟g, lý th̟uyet đ%n̟ h̟ tín̟h̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ vi ph̟ân̟ tr0n̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ đư0c ph̟át trien̟ m̟an̟h̟ m̟e Các k̟et qua n̟h̟¾n̟ đư0c ve tín̟h̟ őn̟ đ%n̟h̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ vi ph̟ân̟ tr0n̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ có th̟e ún̟g dun̟g ch̟0 vi¾c n̟gh̟iên̟ cúu tín̟h̟ ch̟at n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ vi ph̟ân̟ h̟àm̟ Đ0n̟g th̟ịi su dun̟g tr0n̟g vi¾c n̟gh̟iên̟ cúu cn̟a m̟ơ h̟ìn̟h̟ ún̟g dun̟g n̟h̟ư: m̟ơ h̟ìn̟h̟ quan̟ th̟e sin̟h̟ HQ ̟ c, m̟an̟g n̟ơr0n̟ th̟an̟ k̟in̟h̟, tr0n̟g v¾t lý HQ ̟ c M̟®t tr0n̟g n̟h̟un̟g van̟ đe đau tiên̟ đư0c n̟h̟ieu n̟gưòi quan̟ tâm̟, n̟gh̟iên̟ cúu áp dun̟g ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ua n̟h̟óm̟ ch̟0 ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tien̟ h̟óa trùu tư0n̟g, tù ún̟g dun̟g và0 m̟ơ h̟ìn̟h̟ dân̟ s0 Tr0n̟g n̟h̟ieu m̟ơ h̟ìn̟h̟ ún̟g dun̟g, ta th̟ưịn̟g g¾p t0án̟ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đa0 h̟àm̟ riên̟g dan̟g: ∂v = A(D)v (1) ∂t tr0n̟g v m̟®t h̟àm̟ véc tơ v = (v1, , vm̟) ph̟u th̟u®c và0 t x, A(D) = Σ AαDα, |α|≤r α = α(α , , α ) m ̟ ®t đa ch̟i s0, |α| = α + + α , Dα = Dα1 D n̟, D n̟ n̟ 1 n̟ k̟ = i∂ ∂xk̟ (k̟ = 1, 2, , n̟ ), x = (x1, , xn̟) m̟®t điem̟ tr0ng khụng gian Rn v hắ s0 A l mđt ma trắn hang cap m ì n S0 r đư0c gQI cap cn̟a h̟¾ Bài t0án̟ tìm̟ n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (1), v = v(t, x) th̟0a m̟ãn̟ đieu k̟i¾n̟ v(0, x) = φ(x) (2) đư0c GQI t0án̟ Cauch̟y, tr0n̟g h̟àm̟ vect0r φ(x) đư0c ch̟0 tr0n̟g t0àn̟ b® k̟h̟ơn̟g gian̟ Rn̟ Đơi k̟h̟i n̟gưịi ta cũn̟g có th̟e GQI t0án̟ vói giá tr% ban̟ đau Bài t0án̟ vói giá tr% ban̟ đau (1) th̟ưòn̟g đư0c giai ban̟g ph̟ươn̟g ph̟áp F0urier Tuy n̟h̟iên̟ tr0n̟g n̟h̟ieu trưịn̟g h̟0p, đe m̟0 r®n̟g ph̟am̟ vi ún̟g dun̟g cn̟a n̟ó n̟gưịi ta th̟ưịn̟g xét ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đa0 h̟àm̟ riên̟g dan̟g ∂v ∂t = A(D)v + g(t, v) (3) N̟h̟ị áp dun̟g ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ua n̟h̟óm̟ vi¾c n̟gh̟iên̟ cúu tín̟h̟ ch̟at n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (3) có th̟e đưa ve n̟gh̟iên̟ cúu tín̟h̟ ch̟at n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ vi ph̟ân̟  du(t) + Au(t)  (t, u(t)), t > t dt u(t0 ) = u0 =f tr0n̟g −A m̟®t t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a C0− n̟ua n̟h̟óm̟ T (t), t ≥ 0, tr0n̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X f : [t0, T ] × X → X án̟h̟ xa liên̟ tuc th̟e0 t th̟0a m̟ãn̟ đieu k̟i¾n̟ Lipsch̟itz th̟e0 u M̟uc đích̟ ch̟ín̟h̟ cn̟a lu¾n̟ văn̟ c0 gan̟g tìm̟ h̟ieu ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ua n̟h̟óm̟ tr0n̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ h̟àm̟ lý th̟uyet n̟h̟ieu cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ và0 vi¾c n̟gh̟iên̟ cúu tín̟h̟ ch̟at n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ vi ph̟ân̟ có n̟h̟ieu tr0n̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟, tù đưa ún̟g dun̟g và0 m̟ơ h̟ìn̟h̟ dân̟ s0 B0 cuc lu¾n̟ văn̟ g0m̟ ph̟an̟ m̟0 đau, h̟ai ch̟ươn̟g, ph̟an̟ k̟et lu¾n̟ dan̟h̟ m̟uc tài liắu tham kha0 Chng mđt trỡnh by %nh ngha, tớnh ch̟at cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ m̟®t s0 đ%n̟ h̟ lý quan̟ TRQNG̟ ve t0án̟ tu sin̟h̟ cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟, ve tán̟ xa m̟®t s0 dan̟g k̟h̟ác n̟h̟au cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ Tr0n̟g ch̟ươn̟g n̟ày, ch̟ún̟g su dun̟g k̟ien̟ th̟úc đư0c trìn̟h̟ bày tr0n̟g tài li¾u [1], [4], [8], [9] ch̟uyên̟ đe ca0 h̟Qc cn̟a TS Tran̟ Đúc L0n̟g Ch̟ươn̟g h̟ai trìn̟h̟ bày t0án̟ n̟h̟ieu cn̟a n̟ua n̟h̟óm̟, tín̟h̟ ch̟at cn̟a HQ ̟ t0án̟ tu tien̟ h̟óa liên̟ tuc m̟an̟h̟, sn̟ tươn̟g đươn̟g ti¾m̟ c¾n̟ đ%n̟h̟ lý liên̟ quan̟; tù đưa t0án̟ m̟ơ h̟ìn̟h̟ dân̟ s0 ph̟u th̟u®c và0 tuői Đe h̟0àn̟ th̟àn̟h̟ n̟®i dun̟g đó, ch̟ún̟g tơi su dun̟g k̟ien̟ th̟úc ban̟ tư li¾u đư0c trìn̟h̟ bày tr0n̟g tài li¾u [2], [3], [5], [6], [7], [8] n̟®i dun̟g tr0n̟g ch̟uyên̟ đe ca0 HQ ̟ c cn̟a PGS.TS H̟0àn̟g Qu0c T0àn̟ PGS.TS Đ¾n̟g Đìn̟h̟ Ch̟âu Ban̟ lu¾n̟ văn̟ n̟ày đư0c th̟n̟c h̟i¾n̟ dưói sn̟ h̟ưón̟g dan̟ cn̟a PGS.TS Đ¾n̟g Đìn̟h̟ Ch̟âu N̟h̟ân̟ d%p n̟ày tơi xin̟ bày t0 lịn̟g biet ơn̟ sâu sac tói Th̟ay, n̟gưịi dàn̟h̟ n̟h̟ieu cơn̟g súc th̟ịi gian̟ đe h̟ưón̟g dan̟, k̟iem̟ tra, giúp đõ tơi tr0n̟g vi¾c h̟0àn̟ th̟àn̟h̟ ban̟ lu¾n̟ văn̟ Tơi xin̟ gui lòi cam̟ ơn̟ đen̟ lãn̟h̟ đa0 th̟ay cô tr0n̟g k̟h̟0a T0án̟ - Cơ - Tin̟ HQ ̟ c, trưòn̟g Đai HQ ̟ c K̟h̟0a HQ ̟ c Tn̟ n̟h̟iên̟ H̟à N̟®i ve k̟ien̟ th̟úc n̟h̟un̟g đieu t0t đep m̟an̟g lai ch̟0 tơi tr0n̟g th̟ịi gian̟ HQ ̟ c t¾p tai trưịn̟g Tơi xin̟ cam̟ ơn̟ tói ph̟ịn̟g Sau đai HQ ̟ c ve n̟h̟un̟g đieu k̟i¾n̟ th̟u¾n̟ l0i tr0n̟g vi¾c h̟0àn̟ th̟àn̟h̟ th̟n̟ tuc HQ ̟ c t¾p ba0 v¾ lu¾n̟ văn̟ Cám̟ ơn̟ th̟ay ban̟ tr0n̟g sem̟in̟ar Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ vi ph̟ân̟ ve n̟h̟un̟g sn̟ đ®n̟g viên̟ n̟h̟un̟g ý k̟ien̟ tra0 đői q báu đ0i vói ban̟ th̟ân̟ tơi tr0n̟g th̟ịi gian̟ qua Cu0i cùn̟g tơi m̟u0n̟ t0 lịn̟g biet ơn̟ gia đìn̟h̟, n̟gưịi th̟ân̟ ch̟0 dn̟a ve tin̟h̟ than v vắt chat ch0 tụi tr0ng cuđc s0ng v tr0n̟g H̟Qc t¾p M̟¾c dù có n̟h̟ieu c0 gan̟g n̟h̟ưn̟g d0 th̟òi gian̟ còn̟ b% h̟an̟ ch̟e n̟ên̟ ban̟ lu¾n̟ văn̟ cịn̟ đe lai n̟h̟ieu th̟ieu sót ve l0i an̟ l0át l0i k̟h̟i b0 qua m̟®t s0 trìn̟h̟ bày ch̟i tiet vi¾c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ lai k̟et qua tr0n̟g ch̟ươn̟g cũn̟g n̟h̟ư tr0n̟g m̟®t vài ví du ún̟g dun̟g Vì v¾y, tơi rat m̟0n̟g n̟h̟¾n̟ đư0c sn̟ góp ý cn̟a q th̟ay, ban̟ H̟à N̟®i, th̟án̟g 11 n̟ăm̟ 2015 Ph̟am̟ N̟h̟ư Th̟àn̟h̟ Ch̟ươn̟g N̟Ea n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ tr0n̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ t0án̟ tE sin̟h̟ cua ch̟ún̟g 1.1 N̟Ea n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.1 M̟®t H̟Q (T (t))t≥0 t0án̟ tu tuyen̟ tín̟h̟ b% ch̟¾n̟ trên̟ k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X đưac GQI n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ (h̟0¾c C0 − n̟ua n̟h̟óm̟ ) n̟eu n̟ó th̟óa m̟ãn̟ đieu k̟i¾n̟ sau: T (t + s) = T (t)T (s) vái M̟QI t, s ≥ T (0) = I lim̟ T (t)x = T (t0 )x vái MQ ̟ I∈x X, t t→t0 Ví dn̟ 1.1 Xét n̟ua n̟h̟óm̟ (T (t))t≥0 tr0n̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ C0 = C0(R), xác đ%n̟h̟ b0i C0(R) = f C(R) : lim̟ →±∞ f (s) = 0} { ∈ s Vói ch̟uan̟ ||f || = sup |f (s)| Ta có (C0 , ||.||) m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ ∈ sR ∀t ≥ 0, ta đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa: (Tl (t)f )(s) = f (t + s) ∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R (Tr (t))f (s) = f (s − t) ∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R K̟h̟i (Tr (t))t≥0 (Tl (t))t≥0 n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ trên̟ C0 , đư0c GQI tươn̟g ún̟g n̟ua n̟h̟óm̟ d%ch̟ ch̟uyen̟ trái ph̟ai cn̟a C0 Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ch̟0 trưịn̟g h̟0p n̟ua n̟h̟óm̟ d%ch̟ ch̟uyen̟ trái, trưịn̟g h̟0p n̟ua n̟h̟óm̟ d%ch̟ ch̟uyen̟ ph̟ai đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ tươn̟g tn̟ +) Ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (Tl(t)) l mđt nua nhúm Thắt vắy: t, h 0, ∀f ∈ C0 , s ∈ R, ta có (Tl(t + h̟ )f )(s) = f (t + h̟ + s) = (Tl(t)f )(h̟ + s) = (Tl(t)Tl(h̟ ))f (s) suy Tl(t + h̟ ) = Tl(t)Tl(h̟ ) +) Ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (Tl (t))t≥0 liên̟ tuc m̟an̟h̟ Th̟¾t v¾y, ta can̟ ch̟i ran̟g, ∀f ∈ C0 th̟ì ̟ ||Tl (t)f tlim →0+ Vì f ∈ − f || = lim ̟ sup |f (t + s) − f (s)| = + →0 t s∈R C0 suy f liên̟ tuc trên̟ R t0n̟ tai giói h̟an̟ lim̟ →±∞ f f (s) = 0, n̟ên̟ liên̟ tuc đeu trên̟ R D0 ∀s > 0, ∃δ > sa0 ch̟0: ∀s1 , s2 : |s1 − s2 | < δ ⇒ |f (s1 ) − f (s2 )| < s K̟h̟i vói M̟QI t : ≤ t < δ th̟ì |t + s − s| < δ , vói M̟QI s ∈ R, ta có |f (t + s) − f (s)| < s ∀s ∈ R Suy giói sup |f (t + s) − f (s)| ≤ s vói M̟QI t : ≤ t < δ V¾y th̟e0 đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa sR ∈ h̟an̟ ta có ̟ + sup tlim →0 s∈R |f (t + s) − f (s)| = V¾y (Tl(t))t≥0 n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ B0 đe 1.1 Gia su X m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ F l mđt hm tự mđt c0mpact K R và0 L(X) K̟h̟i k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ sau tươn̟g đươn̟g (a) F t0án̟ tu tôpô liên̟ tn̟c m̟an̟h̟; túc là, án̟h̟ xa K̟ s t ›→ F (t)x ∈ X liên̟ tn̟c ∀x ∈ X (b) F b% ch̟¾n̟ đeu trên̟ K̟ , án̟h̟ xa K̟ s t ›→ F (t)x ∈ X liên̟ tn̟c ∀x ∈ D ⊂ X, D trù m̟¾t tr0n̟g X (c) F liên̟ tn̟c đ0i vái tơpơ h̟®i tn̟ đeu trên̟ t¾p c0n̟ c0m̟pact cua X ; túc là, án̟h̟ xa K̟ × C s (t, x) ›→ F (t)x ∈ X liên̟ tn̟c đeu đ0i vái t¾p c0m̟pact C tr0n̟g X Đ%n̟h̟ lý 1.1 Ch̟0 m̟®t n̟ua n̟h̟óm̟ (T (t))t≥0 trên̟ m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟ X K̟h̟i tín̟h̟ ch̟at sau tươn̟g đươn̟g (a) (T (t))t≥0 n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ (b) lim̟ t→0+ ∀x ∈ X (c) Có m̟®t s0 δ > 0, M v mđt c0n trự m̟¾t D ⊂ X th̟óa m̟ãn̟ T (t)x = x i) ||T (t)|| ≤ M̟ ∀t ∈ [0, δ], ii) lim̟ T (t)x = x ∀x ∈ D t→0 + Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ +) Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (a) ⇒ (c.ii) Vì (T (t))t≥0 n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ trên̟ m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ Ban̟ach̟, n̟ên̟ lim̟ T (t)x = T (0)x = x ∀x ∈ D (D0 D trù m̟¾t tr0n̟g X) t→0 + +) Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (a) ⇒ (c.i) Gia su n̟gư0c lai, túc t0n̟ tai m̟®t dãy (δn̟)n̟∈N̟ ⊂ R+ h̟®i tu đen̟ th̟0a m̟ãn̟ ||T (δn̟)|| → ∞ k̟h̟i n̟ → ∞ Th̟e0 n̟guyên̟ lý b% ch̟¾n̟ đeu, t0n̟ tai x ∈ X th̟0a m̟ãn̟ (||T (δn̟)x||)n̟∈N̟ k̟h̟ơn̟g b% ch̟¾n̟ Đieu n̟ày m̟âu th̟uan̟ vói T (.)x liên̟ tuc tai t = (d0 (T (t))t≥0 n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟) +) Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (c) ⇒ (b) Đ¾t K̟ = {tn̟ : n̟ ∈ N̟} ∪ {0} vói MQ ̟ I dãy bat k̟ì (tn̟ )n̟∈N̟ ⊂ [0, ∞) h̟®i tu đen̟ K̟h̟i K̟ ⊂ [0, ∞) c0m̟pact, T (.)|K̟ x liên̟ tuc ∀x ∈ D D0 áp dun̟g bő đe 1.1 (b) ta đư0c T (.)|K̟x liên̟ tuc ∀x ∈ X, túc là: lim̟ T (tn̟)x = x ∀x ∈ X n̟→ ∞ Vì (tn̟ )n̟∈N̟ đư0c cH̟QN̟ tùy ý n̟ên̟ (b) đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ +) Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (b) ⇒ (a) Gia su t0 > 0, x ∈ X K̟h̟i lim̟ ||T (t0 + h̟ )x − T (t0)x|| ≤ ||T (t0)||.|| lim̟ ||T (h̟ )x − x|| = 0, h̟→0+ suy (T (t))t≥0 liên̟ tuc ph̟ai N̟eu h̟ < h→ + ||T (t0 + h̟ )x − T (t0)x|| ≤ ||T (t0 + h̟ )||.||x − T (−h̟ )x|| dan̟ đen̟ tín̟h̟ liên̟ tuc trái, tr0n̟g ||T (t)|| b% ch̟¾n̟ đeu ∀t ∈ [0, t0] V¾y (T (t))t≥0 n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tuc m̟an̟h̟ Đ%n̟h̟ lý 1.2 Ch̟0 m̟®t n̟ua n̟h̟óm̟ liên̟ tn̟c m̟an̟h̟ (T (t))t≥0 K̟h̟i có m̟®t h̟an̟g s0 w ∈ R M̟ ≥ th̟óa m̟ãn̟ ||T (t)|| ≤ M̟ ewt ∀t > (1.1)