Ảnh hưởng của từ trường lên hấp thụ phi tuyến sóng Điện từ mạnh trong graphene hai chiều

Ảnh hưởng của từ trường lên hấp thụ phi tuyến sóng Điện từ mạnh trong graphene hai chiều Ảnh hưởng của từ trường lên hấp thụ phi tuyến sóng Điện từ mạnh trong graphene hai chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trần Anh Tuấn

ẢNH HƯỞNG CỦA TỪ TRƯỜNG LÊN HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH

TRONG GRAPHENE HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trần Anh Tuấn

ẢNH HƯỞNG CỦA TỪ TRƯỜNG LÊN HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH

TRONG GRAPHENE HAI CHIỀU

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 TS Nguyễn Đình Nam

2 GS TS Nguyễn Quang Báu

LỜI CẢM ƠN

Với lòng biết ơn sâu sắc, tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn đến TS NguyễnĐình Nam và GS TS Nguyễn Quang Báu, những người thầy đã tận tình chỉ dạy,hướng dẫn và luôn đưa ra những ý kiến góp ý vô cùng quý báu, tạo điều kiện thuậnlợi để tác giả hoàn thành luận văn này

Trong suốt quá trình nhiều năm học tập và nghiên cứu tại bộ môn Vật lý lýthuyết, Khoa Vật lý, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội,tác giả đã luôn nhận được sự giúp đỡ của tất cả các thầy, cô giáo giảng dạy các mônhọc chuyên ngành, tạo nền tảng kiến thức vững chắc cho tác giả học tập và nâng caonăng lực nghiên cứu khoa học Đặc biệt, tác giả xin gửi lời tri ân tới cố GS TSKH.Nguyễn Xuân Hãn, thầy đã tận tình chỉ dẫn, giúp đỡ tác giả nghiên cứu khía cạnh lýthuyết trường lượng tử tương đối tính trong Graphene Đồng thời tác giả cũng gửi lờicảm ơn đến TS Nguyễn Thị Thanh Nhàn và em Nguyễn Đặng Quang Huy đã dànhnhiều thời gian giúp đỡ tác giả thực hiện lập trình tính toán số với phần mềm Matlab

Tác giả cũng thân mến gửi lời cảm ơn đến tập thể các bạn cùng khóa, lớp K60(Khóa 19) Cử nhân Khoa học Tài năng ngành Vật lý, Trường Đại học Khoa học Tựnhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Các bạn đã luôn cổ vũ, động viên tinh thần và nhiệttình giúp đỡ mỗi khi tác giả có khó khăn cần sự sẻ chia Được gặp gỡ và làm quen vớinhững người bạn tài năng là một món quà vô giá mà cuộc sống đã dành cho tác giả

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân với bố mẹ và em gái đã luôn sát cánh giúp

đỡ trong thời gian tác giả thực hiện luận văn Gia đình luôn là bến bờ yêu thương đểtrở về mỗi khi tác giả mệt mỏi với bộn bề công việc học tập, giảng dạy và nghiên cứu

Một lần nữa, tác giả xin cảm ơn thật nhiều những yêu thương và giúp đỡ củatất cả mọi người Luận văn được hoàn thành với sự tài trợ của đề tài nghiên cứu cấpĐại học Quốc Gia Hà Nội (Grant number QG.22.11)

Hà Nội, ngày 10, tháng 8, năm 2023

Tác giả

Trần Anh Tuấn

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE ĐƠN LỚP 8

1.1 Giới thiệu chung về vật liệu Graphene 8

1.1.1 Câu chuyện về hành trình kiến tạo Graphene 8

1.1.2 Các tính chất vật lý điển hình của Graphene 12

1.1.3 Cấu trúc mạng tinh thể của Graphene 17

1.2 Lý thuyết vùng năng lượng của Graphene 19

1.2.1 Trường hợp vắng mặt từ trường ngoài vuông góc 19

1.2.2 Trường hợp xuất hiện từ trường ngoài vuông góc 25

Chương 2 HIỆU ỨNG HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH TRONG GRAPHENE DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA TỪ TRƯỜNG NGOÀI VUÔNG GÓC (HẤP THỤ NHIỀU PHOTON) 31

2.1 Phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử trong Graphene 312.1.1 Hamiltonian của hệ electron-phonon 31

2.1.2 Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử khôngcân bằng và lời giải trong gần đúng lặp bậc nhất 33

2.1.3 Vector mật độ dòng điện toàn phần 35

2.2 Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh 36

2.2.1 Cơ chế tán xạ electron-phonon quang 37

2.2.2 Cơ chế tán xạ electron-phonon âm 39

Chương 3 KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN 41

3.1 Sự phụ thuộc của MPNAC vào nhiệt độ 42

3.2 Sự phụ thuộc của MPNAC vào năng lượng photon của sóng điện từ 42

3.3 Sự phụ thuộc của MPNAC vào năng lượng từ hiệu dụng của từ trườngngoài vuông góc 45

3.4 Sự phụ thuộc của HWHM vào cường độ từ trường ngoài vuông góc 45

3.5 Sự phụ thuộc của HWHM vào nhiệt độ 46

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 50

Tài liệu tiếng Việt 50

Tài liệu tiếng Anh 51

Phụ lục 57

Phụ lục A BIỂU THỨC YẾU TỐ MA TRẬN TƯƠNG TÁC 57

Phụ lục B TÍCH PHÂN QUÁ TRÌNH HẤP THỤ NHIỀU PHOTON 59

Phụ lục C HÀM DẠNG PHỔ TRONG CHUYỂN PHỔ LORENTZIAN 61 Phụ lục D CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN SỐ VỚI MATLAB 64

D.1 Sự phụ thuộc của MPNAC vào nhiệt độ 64

D.2 Sự phụ thuộc của MPNAC vào năng lượng photon 65

D.3 Sự phụ thuộc của MPNAC vào năng lượng từ hiệu dụng 67

D.4 Sự phụ thuộc của HWHM vào từ trường 68

D.5 Sự phụ thuộc của HWHM vào nhiệt độ 68

Danh mục các từ viết tắt và các

ký hiệu toán học

2DEG Two-Dimensional Electron Gas

ENIAC Electronic Numerical Intergrator and Computer

HOPG Highly oriented pyrolytic graphite

HWHM Half Width at Half Maximum

IBM International Business Machines

LCAO Linear Combination of Atomic Orbital

MPA Multi-photon Absorption

MPNAC Multi-photon Nonlinear Absorption Coefficient

STM Scanning tunneling microscope

Danh mục các hình vẽ và đồ thị

Hình M.1 Graphene là thành phần cấu trúc của các vật liệu Carbon khác 2Hình M.2 Số lượng các bài báo khoa học về Graphene trên Google Scholar

từ năm 2010 đến năm 2022 4

Hình 1.1 8 dị hình của Carbon: (a) kim cương (3D), (b) Than chì (Graphite)(3D),

(c) lục giác (3D), (d) C60 Buckminster-fullerene (0D), (e) C540Fullerite (0D), (f) C70 Fullerene (0D), (g) Carbon vô định hình,(h) Ống than Nanocarbon (1D) 10Hình 1.2 Andre Geim (trái) và Konstantin Novoselov (phải): Hai nhà vật

lý đến từ Đại học Manchester (Anh) cô lập được Graphene bằng

kỹ thuật dán bóc băng caro 12Hình 1.3 Cấu hình lai hóa điện tử của Graphene [69] 13

Hình 1.4 Cấu hình vùng Brilouin đầu tiên trong không gian mạng đảo k [69].14

Hình 1.5 Mạng lưới tổ ong của Graphene Ô đơn vị là hình bình hành đều

(các đường đứt nét) với cơ sở là hai nguyên tử (ký hiệu là A vàB) [67] 17Hình 1.6 Mạng đảo của Graphene Vùng Brillouin đầu tiên là hình lục

giác được tô bóng mờ với các điểm Γ ở tâm, điểm M là trungđiểm của cạnh và điểm K nằm ở đỉnh lục giác Điểm K′ cũng làmột đỉnh lục giác (liền kề với điểm K), về cơ bản tương đươngvới điểm K [67] 18Hình 1.7 Cấu trúc vùng năng lượng được vẽ từ mô hình điện tử liên kết

chặt [48, 57] 22Hình 1.8 Hệ thức tán sắc năng lượng trong (a) bán dẫn truyền thống dạng

parabolic và (b) Graphene đơn lớp dạng nón Dirac 23

Hình 1.9 Minh họa vector sóng k của điện tử quanh điểm Dirac (a) K và

(b) K′ Hamiltonian gần điểm K hoặc K′ có thể thu được bằngcách xoay trục tọa độ từ các trục xám sang trục đen một góc 30◦theo chiều ngược kim đồng hồ Góc θk là góc giữa k và |kx| 23Hình 1.10 Sự phụ thuộc của các mức Landau vào từ trường 30

Hình 2.1 Minh họa sự lan truyền sóng điện từ mạnh theo phương y trong

tấm Graphene đơn lớp dưới ảnh hưởng của từ trường vuông góctheo phương z 32

Hình 3.1 Sự phụ thuộc của MPNAC vào nhiệt độ của hệ Ở đây, ¯hΩ =

250meV, B = 6T 42Hình 3.2 Sự phụ thuộc của MPNAC vào năng lượng photon của sóng điện

từ (Tương tác electron-phonon quang) Ở đây, E0= 5 × 105V/m 43Hình 3.3 Sự phụ thuộc của MPNAC vào năng lượng photon của sóng điện

từ (tương tác electron-phonon âm) Ở đây, E0= 5 × 105V/m 43Hình 3.4 Sự phụ thuộc của MPNAC vào năng lượng photon sóng điện

từ và mật độ phân bố theo từ trường trong trường hợp tán xạelectron-phonon quang Ở đây, E0= 5 × 105V/m, T = 4.2K 44Hình 3.5 Sự phụ thuộc của MPNAC vào năng lượng từ hiệu dụng của từ

trường ngoài vuông góc Ở đây, E0= 5 × 105V/m 45Hình 3.6 Sự phụ thuộc của HWHM vào cường độ từ trường ngoài vuông

góc tại T = 4.2K Xét chuyển dịch của electron từ mức n = 0 lên

n′ = 1, chấm hình vuông đặc màu xanh và chấm hình tròn đặcmàu đỏ tương ứng là các kết quả tính toán của chúng tôi và cácquan sát thực nghiệm trong [34] 46Hình 3.7 Sự phụ thuộc của HWHM vào nhiệt độ với 2 giá trị khác nhau

của từ trường (in 2 màu xanh và đỏ) Xét chuyển dịch của tron từ mức n = 0 lên n′ = 1 Chấm hình tròn đặc, chấm hìnhvuông rỗng và chấm hình tam giác rỗng tương ứng là các kếtquả quan sát thực nghiệm [49], kết quả tính toán bằng lý thuyếtnhiễu loạn [55] và kết quả tính toán của chúng tôi 47

elec-Danh mục các bảng biểu

Bảng 1.1 Một số tính chất quan trọng của các nguyên tố nhóm IVA:

Ger-manium, Silicon, Carbon [22, 20] 9Bảng 1.2 So sánh đặc trưng các dị hình của Graphene 15

Bảng 2.1 Bảng so sánh hằng số tương tác electron-phonon dựa vào cơ chế

tán xạ của 2DEG thông thường và Graphene [15, 56, 55, 36,37] Ở đây, V0 là thể tích chuẩn hóa của mẫu bán dẫn hố lượng tửAlAs/GaAs/AlAs ξ0 và ξ∞ là hằng số điện môi tĩnh và cao tần,

ε0 là hằng số tĩnh điện Dac và Dop là hằng số thế biến dạng kiểuphonon âm và phonon quang νslà vận tốc truyền âm trong tinhthể, ρ là mật độ khối lượng tinh thể, ¯hω0 là năng lượng phononquang không tán sắc 32Bảng 3.1 Bảng các tham số đặc trưng của trường ngoài và Graphene đơn

lớp [31, 32, 55, 36, 37, 12] 41

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong bối cảnh hội nhập kinh tế toàn cầu hiện nay, khoa học và công nghệđóng vai trò quan trọng trong việc thúc đẩy tiến trình công nghiệp hóa, hiện đại hóacủa đất nước Cuộc sống của con người đã bước sang trang mới khi cuộc cách mạngkhoa học và công nghệ lần thứ 3 bùng nổ với sự kiện tìm ra bóng bán dẫn (transistor)của John Bardeen, Walter Brattain và William Shockley tại Bell Labs vào năm 1947.Vật liệu chế tạo transistor là nguyên tố bán dẫn Silic, tồn tại bên trong dạng Silica củacát, một thứ tài nguyên dồi dào gần như vô tận trên bề mặt Trái đất Chiếc Transistornhỏ xíu mà W Brattain mô tả là "không to hơn đầu dây giày, dễ dàng nắm vài trămchiếc trong lòng bàn tay" đã chấm dứt thời đại sống của các ống chân không 3 cực(triode) trong các máy thu radio hay trong siêu máy tính khổng lồ từ thời thế chiến

II là Máy Tính Tích Hợp Điện tử (ENIAC) bởi sự nhỏ gọn, ít hao tốn năng lượng dobức xạ nhiệt và quan trọng nhất là giá thành cực kỳ rẻ của nó Chưa dừng lại ở đó, W.Brattain và các cộng sự tiếp tục nghiên cứu cách thức thu nhỏ hơn nữa các transistor

để thiết kế các vi mạch tích hợp IC, một cấu trúc quan trọng trong các thiết bị điện

tử cao cấp như laptop, điện thoại di động hay máy ảnh kỹ thuật số, Khi transistorcàng nhỏ, ta có thể gia tăng số lượng transistor, để thiết bị càng trở nên linh hoạt,rút ngắn thời gian truyền tín hiệu cũng như tăng tốc độ xử lý thông tin Các đòi hỏi

đó dẫn đến nhiều nghiên cứu về hiệu ứng giảm kích thước trong Vật lý bán dẫn vàCông nghệ nano kéo theo sự hình thành của thung lũng điện tử "Silicon Valley" ở phíaBắc California, Hoa Kỳ Các phát hiện ban đầu cho thấy, khi giảm kích thước vật liệuxuống mức siêu nhỏ (cỡ nanometer), xuất hiện hiệu ứng giam giữ lượng tử, các tínhchất vật lý cơ bản của vật liệu sẽ thay đổi cực kỳ rõ rệt tuân theo các quy luật của thếgiới vi mô là cơ học lượng tử Bước sang thế kỷ XXI, xu hướng nghiên cứu khoa họcVật liệu và công nghệ nano tiếp tục giữ vai trò chủ đạo trong việc thúc đẩy cách mạngkhoa học lần thứ 4 với nhiều vật liệu mới được phát hiện, chế tạo và ứng dụng đưa vàophục vụ cuộc sống con người Trong số các vật liệu đáng được quan tâm nhất hiệnnay, graphene là một vật liệu bán dẫn thế hệ mới với nhiều tiềm năng ứng dụng vàđược kỳ vọng là có thể thay thế Silic viết tiếp giấc mơ thu nhỏ hơn nữa các transistorcủa con người Graphene là vật liệu hình thành từ một mạng lưới tinh thể dạng lục

giác giống như một chiếc tổ ong kết nối các nguyên tử Carbon có dạng hai chiều (twodimensions-2D) Graphene là một tấm phẳng tinh thể Carbon, rất khác so với nhữngngười anh em của mình như than chì (graphite) gồm nhiều lớp graphene xếp chồnglên nhau, hay fullerene C60(phát hiện năm 1980) và ống than nano Carbon (phát hiệnnăm 1991) bởi TS Sumio Iijima [33] như hình M.1 dưới đây.

Hình M.1: Graphene là thành phần cấu trúc của các vật liệu Carbon khác.

Điều đặc biệt đáng nói đến ở đây là kích thước của tấm Graphene chỉ cỡ bằngkích thước của một nguyên tử, còn nhỏ hơn cả lớp Silicon dioxide (SiO2) của cáctransistor hiện hành (cỡ vài nanometer), do đó nó được xếp vào dạng vật liệu mỏngnhất trên thế giới Vào thời kỳ đỉnh cao trong sự phát triển lý thuyết Vật lý chất rắn,năm 1947, P R Wallace đã sử dụng phương pháp gần đúng điện tử liên kết mạnh đểkhảo sát về cấu trúc vùng năng lượng của Graphene đơn lớp [66] Tuy nhiên vào thờiđại đó, các nhà lý thuyết nổi tiếng, như R E Peierl [53] và L D Landau [38] khôngtin rằng tồn tại một vật liệu mỏng như vậy bởi nó có thể bị dao động nhiệt phá hủyhoàn toàn Vì thế các nhà vật lý chỉ xem đó như là một mô hình lý thuyết mà thôi vàGraphene vẫn chưa được chú ý chế tạo tại các phòng thí nghiệm lớn cho đến khi côngtrình của hai nhà thực nghiệm A K Geim và K S Novoselov [47, 23] được công bốvào năm 2004 Hai nhà vật lý này đã sử dụng băng dính văn phòng để thực hiện bóctách từng lớp phân tử mỏng của các nguyên tử Carbon khỏi các lớp graphite trong mộtmẩu ruột bút chì, rồi đặt lên một đĩa Silicon Dioxide chỉ dày cỡ 315nm dưới ống kínhhiển vi [19] Phát hiện này gây chấn động dư luận khoa học thế giới và mang lại giảiNobel Vật lý cho A K Geim và K S Novoselov vào năm 2010 Theo A K Geim,

Graphene là loại vật liệu carbon rất mỏng, siêu bền, "Graphene cứng và bền hơn cảkim cương nhưng lại có thể giãn dài hơn một phần tư chiều dài của mình như dâychun vậy" Trong nghiên cứu tiếp theo vào năm 2005, A K Geim và K S Novoselov[46] tiếp tục làm dư luận kinh ngạc khi phát hiện ra tốc độ chuyển động của electrontrong mạng tinh thể 2D vào cỡ 1/300 lần tốc độ ánh sáng và có hành vi như một hạtphoton không khối lượng (massless) được miêu tả bởi phương trình Dirac Do cấutrúc độc đáo của nó, Graphene có những đặc điểm ấn tượng như: độ linh động điện

tử cao, nhanh hơn Silicon 100 lần, khả năng dẫn nhiệt tốt gấp đôi kim cương và độdẫn điện cũng tốt hơn 13 lần so với đồng [46] Với các ưu thế to lớn đó, Graphene cóthể thay thế các linh kiện bán dẫn truyền thống Những con chíp chế tạo từ Graphene

có thể dùng làm các linh kiện điện tử siêu nhỏ, thậm chí trong tương lai, hoàn toàn

có đủ cơ sở để chế tạo những màn hình computer siêu mỏng và siêu nhẹ, chỉ nhưnhững tờ giấy từ Graphene Bằng chứng cho thấy, chỉ 1 năm sau giải Nobel Vật lý vềGraphene, ngày 7 tháng 4 năm 2011, các chuyên gia đến từ tập đoàn công nghệ máytính đa quốc gia IBM, đứng đầu là GS Yu-Ming Lin [68] đã đưa ra mẫu transistorGraphene nhanh nhất, có thể thực hiện 155 tỷ phép tính/giây, hơn khoảng 50 % so vớinhững transistor thử nghiệm trước GS Lin cho biết luồng electron trên các transistorGraphene là nhanh hơn so với các transistor thông thường, cho phép truyền dữ liệunhanh hơn giữa các chip Ngày 30 tháng 1 năm 2014, một nhóm chuyên gia khác củaIBM [30] đã chế tạo thành công mạch tích hợp bóng bán dẫn Graphene để thực hiệncác chức năng giao tiếp không dây, tiếp nhận và khôi phục các văn bản kỹ thuật sốđược truyền trên tín hiệu sóng mang có tần số 4.3 GHz Những thành công ban đầu

đó cho thấy một phạm vi ứng dụng cực kỳ rộng lớn của Graphene, chủ yếu là khaithác các đặc tính điện, quang và từ của nó Họ các vật liệu 2D thực sự mà khởi điểm

là Graphene vẫn sẽ tiếp tục là đối tượng nghiên cứu nóng bỏng của các nhà vật lý chấtrắn trên cả phương diện tính toán lý thuyết và quan sát thực nghiệm sau này Biểu đồtrong hình M.2 cho thấy số lượng nghiên cứu mà chúng tôi khảo sát trên trang thôngtin khoa học Google Scholar về Graphene tăng vọt kể từ sau khi được giải Nobel Vật

lý 2010 gọi tên

Hiện nay, trên thế giới đã có nhiều nhóm nghiên cứu mạnh khảo sát các đặctính quan trọng của Graphene, đặc biệt là các tính chất quang, điện và từ của nó Cáctính chất vật lý của Graphene thay đổi kịch tính so với các chất bán dẫn giả 2D khác

Hình M.2: Số lượng các bài báo khoa học về Graphene trên Google Scholar từ năm 2010 đến năm 2022.

như Hố lượng tử hay Siêu mạng do cấu trúc vùng năng lượng đặc biệt không có vùngcấm của Graphene Trong giai đoạn đầu thế kỷ XXI, tiên phong trong các nghiên cứu

về tính chất điện tử của Graphene có thể kể đến lab của GS Tsuneya Ando người NhậtBản Bằng cách áp dụng phương pháp chiếu toán tử Kubo-Mori và phương trình độngBoltzmann, ông đã giải quyết các bài toán tính độ dẫn điện, độ dẫn Hall, cộng hưởngtừ-phonon trong Graphene đơn lớp [12] Ở phương Tây, tác giả K M Borysenko vàcác cộng sự [21] đã nghiên cứu bức tranh tương tác electron-phonon bằng lý thuyếtnhiễu loạn phiếm hàm mật độ, kết quả cho thấy đóng góp của phonon âm trong tínhtoán tốc độ tán xạ yếu hơn nhiều so với các công bố trước đó Nhóm nghiên cứu của

R S Deacon [26] khảo sát hiện tượng cộng hưởng Cyclotron trong Graphene đơn lớp

để tìm vận tốc của điện tử và lỗ trống thu được kết quả thí nghiệm cho thấy vận tốccủa electron gần điểm K lớn hơn đáng kể so với mẫu graphite dày hơn Về mặt quanghọc, trong bài báo đăng trên Science năm 2008, tác giả R R Nair [44] đã dựa trêncác kết luận về cấu trúc điện tử đặc biệt của Graphene và thực nghiệm được khả nănghấp thụ ánh sáng trắng một cách đáng kể (cỡ 2.3%) dù lá Graphene chỉ dày cỡ mộtnguyên tử và độ hấp thụ không phụ thuộc vào bước sóng, nói cách khác, lá Graphenegần như trong suốt có thể cho 98% ánh sáng xuyên qua Ở Việt Nam, do điều kiện

thí nghiệm còn hạn chế nên việc nghiên cứu lý thuyết diễn ra tương đối sôi nổi Năm

2016, cố GS VS Nguyễn Văn Hiệu [45] đã trình bày phương pháp thiết lập hàmGreen của Dirac Fermion tự do trong Graphene đơn lớp Năm 2018, nhóm tác giả BùiĐình Hợi [31] đã tính toán công suất hấp thụ quang của Graphene đơn lớp dưới ảnhhưởng của một sóng điện từ EMW mạnh phân cực thẳng bằng phương pháp toán tửchiếu thu được kết quả phù hợp tốt với các quan sát thực nghiệm của Z Jiang [34]

và tính toán dựa trên cơ sở lý thuyết nhiễu loạn của các tác giả Huỳnh Vĩnh Phúc vàNguyễn Ngọc Hiếu [55] Tuy nhiên các nghiên cứu ở trên chỉ giới hạn trong phạm vitương tác điện tử-phonon quang và hấp thụ một hoặc hai photon sóng điện từ, chưaxét đến ảnh hưởng của tương tác điện tử-phonon âm và bài toán hấp thụ nhiều photondưới ảnh hưởng của một từ trường vuông góc bên ngoài

Hấp thụ nhiều photon MPA là một hiệu ứng quang học điển hình trong nghiêncứu các hệ điện tử thấp chiều Hiện tượng này miêu tả sự dịch mức của các electron

từ trạng thái cơ bản lên các trạng thái cao hơn (gọi là trạng thái kích thích) thôngqua sự hấp thụ đồng thời của một hay nhiều photon mà G Mayer [29] đã dự đoán từnăm 1931 Vào năm 1961, dự đoán của G Mayer đã được W Kaiser và đồng nghiệp[35] thực hiện thí nghiệm kiểm chứng, cụ thể là xem xét sự hấp thụ hai photon trongCaF2: Eu2+ Do vai trò quan trọng của nó, MPA đã được nghiên cứu rộng rãi cả về

lý thuyết và thực nghiệm trong hầu hết các hệ điện tử thấp chiều nói chung [43, 28]

và các hệ khí điện tử hai chiều 2DEG nói riêng [17, 18, 63, 12, 42] Với Graphene,khi khảo sát ảnh hưởng của EMW đến khả năng hấp thụ quang trên một đơn vị diệntích bề mặt, nhóm tác giả người Nga S.V Kryuchkov [36] đã chỉ ra rằng trong vùngbiên độ rộng của một sóng điện từ phân cực tròn, công suất hấp thụ tỷ lệ thuận vớibiên độ của EMW trong gần đúng thời gian phục hồi xung lượng toàn phần xác định.Những kết quả này đều dẫn đến sự xuất hiện của các đỉnh cộng hưởng magneto-phonon, cộng hưởng electron-phonon và cộng hưởng cyclotron tại các giá trị nănglượng photon thích hợp Tuy nhiên, các nghiên cứu trên thường chỉ tính đến tương tácđiện tử-phonon quang trong phạm vi nhiệt độ của hệ là rất cao trong khi tương tácđiện tử-phonon âm ở dải nhiệt độ thấp chưa được đề cập đến, ngoài ra các công trìnhtrước đây cũng không xem xét quá trình MPA dưới ảnh hưởng của từ trường ngoài

Từ những phân tích trên, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: "Ảnh hưởng

nhằm đóng góp công sức giải quyết phần nào những khó khăn còn đang dang dở củacác nghiên cứu hiện nay về các hiệu ứng chuyển tải lượng tử trong Graphene hai chiều.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu ảnh hưởng của từ trường lên hiệu ứng hấpthụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong Graphene hai chiều đơn lớp

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn này, trước tiên, về phương diện lý thuyết, chúng tôi sử dụngphương pháp phương trình động lượng tử để tính toán hệ số hấp thụ phi tuyến nhiềuphoton MPNAC trong Graphene đơn lớp dưới ảnh hưởng của một từ trường mạnh.Đây là một phương pháp mạnh cho phép các nhà vật lý lý thuyết tính toán được hàmphân bố điện tử không cân bằng khi nghiên cứu tính chất của các hệ bán dẫn thấpchiều, từ đó tính toán các đại lượng vật lý quan trọng được biểu diễn dưới hình thứclượng tử hóa thứ cấp thông qua các toán tử sinh, hủy hạt Phương pháp này đã được

áp dụng thành công trong nhiều nghiên cứu trước đây cho các hệ 2DEG cổ điển trướcGraphene [40, 52, 14, 54, 3, 5, 6] nhằm tìm kiếm biểu thức giải tích của MPNAC

Tiếp theo, dựa trên biểu thức giải tích của MPNAC thu được, chúng tôi sẽ thựchiện tính toán số và vẽ đồ thị bằng phần mềm Matlab để làm rõ hơn ảnh hưởng của

từ trường ngoài lên tấm Graphene đơn lớp Ngoài ra, để xác định độ rộng vạch phổHWHM thu được từ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năng lượngphoton của sóng điện từ, chúng tôi sử dụng phương pháp tính Profile của đường congbằng phần mềm Matlab do nhóm nghiên cứu của GS TS Trần Công Phong [56, 54]

đề xuất Kết quả tính toán sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ HWHM vào từ trườngngoài B đặt lên hệ cho thấy sự ảnh hưởng rõ rệt của từ trường và tính đúng đắn trongnghiên cứu của chúng tôi với các quan sát thực nghiệm của nhóm Z Jiang [34] Ngoài

ra, chúng tôi còn thực hiện tính toán khảo sát sự ảnh hưởng của nhiệt độ khi hệ đượcđặt trong từ trường ngoài vuông góc lên giá trị của độ rộng vạch phổ HWHM trongtrường hợp tán xạ electron-phonon quang Kết quả cho thấy sự phù hợp tốt với cácquan sát thực nghiệm của nhóm M Orlita [49], ngụ ý nhiệt độ dưới mức nhiệt độphòng không ảnh hưởng mạnh đến độ linh động điện tử của Graphene Các chươngtrình tính toán giải tích số với Matlab được chúng tôi đưa ra trong phần phụ lục D

4 Phạm vi nghiên cứu

Để đơn giản các tính toán lý thuyết mà không làm giảm ý nghĩa vật lý của luậnvăn, chúng tôi nghiên cứu hiệu ứng hấp thụ sóng điện từ trong Graphene dựa trên hailoại tương tác chính, được xem như mạnh hơn là tương tác electron-phonon quang vàtương tác electron-phonon âm và bỏ qua tương tác của các hạt cùng loại

5 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, mục lục, danh mục các hình vẽ, bảng biểu, các ký tự viếttắt và các công trình khoa học liên quan cùng các phụ lục và tài liệu tham khảo, phầnnội dung của luận văn gồm 3 chương:

Chương I: Tổng quan về Graphene đơn lớp.

Chương II: Hiệu ứng hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong Graphene

dưới ảnh hưởng của từ trường ngoài vuông góc (hấp thụ nhiều photon)

Chương III: Kết quả tính toán số và thảo luận.

Phần kết luận tóm tắt các kết quả chính thu được và đề xuất những hướngnghiên cứu mới có thể phát triển tiếp của đề tài

Một phần kết quả chính của luận văn đã được viết thành 2 bài báo đã đượcnhận đăng trên các tạp chí Journal of The Physical Society of Japan và VNU Journal

of Science: Mathematics - Physics

[1] T A Tuan, N Q Bau, N D Nam, C T V Ba, and N T T Nhan (2023), Dimensional Graphene: Theoretical Study of Multi-photon Non-linear Absorp-tion Coefficient of a Strong Electromagnetic Wave by Using Quantum KineticEquation J Phys Soc Jpn 92 (6), pp 064401

Two-[2] T A Tuan, C T V Ba and N D Nam (2023), The Influence of an ExternalMagnetic Field on Multi-photon Non-linear Absorption Coefficient of a StrongElectromagnetic Wave in Two-Dimensional Graphene VNU Journal of Science:Mathematics - Physics (JS: MaP) (Accepted)

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE ĐƠN LỚP

Chương này trình bày khái quát chung về vật liệu Graphene, cấu trúc mạng tinh thể và lý thuyết vùng năng lượng của Graphene trong cả hai trường hợp vắng mặt

và có mặt từ trường ngoài vuông góc.

1.1 Giới thiệu chung về vật liệu Graphene

1.1.1 Câu chuyện về hành trình kiến tạo Graphene

Trong thế kỷ XX, với sự ra đời của cơ học lượng tử kéo theo những tiến bộvượt bậc trong nghiên cứu khoa học vật liệu mà đỉnh cao là sự phát triển các linhkiện điện tử, bán dẫn đã góp phần đáng kể trong việc định hình cuộc sống mới củacon người trong kỷ nguyên thông tin hiện đại, văn minh này Thật khó để hình dungthế giới của chúng ta đã từng như thế nào trước khi có máy tính điện tử và mạng lướithông tin toàn cầu Internet Cơ học lượng tử và Vật lý chất rắn cung cấp những cơ sở

lý thuyết đáng tin cậy về hành vi của điện tử và cấu trúc các vật liệu mà trong đó cácchất bán dẫn được biết đến nhiều nhất kể từ sau khi những chiếc transistor đầu tiênđược chế tạo từ Germanium (Ge) và sau được thay thế thành Silicon (Si) trong phòngthí nghiệm Bell Labs vào những năm 50 của thế kỷ XX

Quá trình chuyển đổi từ Ge sang Si là một điều tự nhiên trong quá trình chế tạocác transistor bởi độ tinh khiết cao của Si sau khi xử lý và do đó dẫn điện với sự haophí năng lượng rất thấp so với Ge Về phương diện kinh tế, giá thành của Si thấp hơnrất nhiều so với Ge do có thể khai thác Si từ nguồn cát đá, thạch anh thiên nhiên trên

bề mặt trái đất Vào năm 1998, giá thành của Si chỉ cỡ 10USD/kg trong khi Ge có giácao gấp 80 lần, cỡ 800USD/kg1 Thật dễ để thấy trong bảng tuần hoàn các nguyên tốhóa học sự tiến hóa từ Ge lên Si là quá trình "nhảy lên một dòng" của nhóm IVA

Tiếp theo, nguyên tố trên cùng của nhóm IVA chính là Carbon Sự dịch chuyểnlên trên trong nhóm IVA có nhiều ý nghĩa vật lý quan trọng Mặc dù các nguyên tốtrong nhóm này có cùng số electron hóa trị lớp ngoài cùng quy định các tính chất

1 Bethany Halford (2003), "Germanium", C&EN WASHINGTON, American Chemical Society.

hóa học tương tự nhau nhưng về mặt cơ học lượng tử, các hàm sóng điện tử và phổnăng lượng có nhiều sự khác biệt Thực tế, do bản chất giữa các điện tử vốn có tươngtác tĩnh điện Coulomb, nên nguyên tử Si (có nhiều electron hơn Carbon) sẽ có cácđám mây điện tử lớn hơn tạo nên hiệu ứng che chắn tĩnh điện giữa các electron Điềunày lý giải phần nào một cách định tính vì sao hằng số mạng (hoặc khoảng cách giữahai nguyên tử lân cận) trong Si lại xa hơn so với Carbon và liên kết hóa học của Sicũng yếu hơn hẳn Ngoài ra, từ bảng 1.1 cho thấy nhiệt độ nóng chảy của Si nhỏ hơnCarbon khá nhiều Lợi dụng điều này, năm 1879, nhà phát minh Thomas Edison đãdùng phương pháp nhiệt phân để chế tạo sợi Carbon từ Cellulose làm dây tóc chonhững chiếc bóng đèn đầu tiên2 Những đặc trưng khác biệt kể trên quyết định vì saoCarbon là nguyên tố căn bản, thiết yếu đối với sự sống trong khi Silicon chỉ xuất hiệntrong đất đá và cát sỏi trên hành tinh của chúng ta.

Tính chất Germanium Silicon Carbon

Lập phương đơn giản Lục giácCấu hình

Bảng 1.1: Một số tính chất quan trọng của các nguyên tố nhóm IVA: Germanium, Silicon, Carbon [22, 20].

Các tính chất điện tử thú vị của Carbon bắt nguồn dựa trên cơ sở các quỹ đạoorbital lai hóa s và p hình thành nên các liên kết cộng hóa trị có tính định hướng

2 National Historic Chemical Landmarks (2003), "High Performance Carbon Fibers.", American Chemical Society.

cao giúp Carbon có khả năng tồn tại ở nhiều dạng thù hình khác nhau như hình 1.13.Nghiên cứu được trao giải Nobel Hóa học năm 1954 của nhà hóa học L Pauling vềbản chất của các liên kết hóa học [51, 50] miêu tả than chì (graphite) là thù hình được

"xếp chồng" từ nhiều lớp của một "đại phân tử" gọi là "Graphite Monolayer" mà ngàynay chúng ta biết đến với tên gọi là Graphene L Pauling đã chỉ ra Graphene đượcxem như là một "viên gạch" tạo nên các thù hình khác của Carbon, ví dụ như có thểthấy trong hình 1.1, ống than Nanocarbon được cuộn thành hình trụ tròn từ Graphenehay quả cầu Fullerence được uốn cong kín từ Graphene

XX Nguyên nhân như đã được trình bày trong phần Mở đầu, người ta không tin rằng

có thể tồn tại một vật liệu mỏng như vậy mà không bị dao động nhiệt phá hủy, thậmchí công việc nghiên cứu cấu trúc vùng năng lượng của Graphene mà P R Wallace

3 Wikipedia: Allotropes of Carbon.

làm năm 1947 [66] chỉ được xem như một bài tập Vật lý chất rắn cho sinh viên Tưởngchừng như lý thuyết Graphene sẽ im lìm phủ bụi thời gian như hàng trăm "giấc mơviễn tưởng" khác của con người, nhưng nó đã thật sự hiện hữu trước mắt chúng tavào năm 2004 Bằng kỹ thuật dán bóc băng caro4, hai nhà vật lý thực nghiệm đến từ

ĐH Manchester, Anh là A K Geim và K S Novoselov đã thành công phân lập đượcmàng Graphene siêu mỏng trên đế Silicon Dioxide dưới ống kính hiển vi Thật vậy,chúng ta đã biết cấu hình điện tử của Carbon (bảng 1.1) gồm 12 electron với 3 lớp

vỏ điện tử xung quanh hạt nhân, trong đó lớp hóa trị ngoài cùng có 4 electron Trongtrường hợp kim cương, mỗi electron hóa trị cặp cùng một electron hóa trị của nguyên

tử Carbon gần kề tạo thành liên kết cộng hóa trị, như vậy với 4 nguyên tử Carbon xungquanh sẽ có 4 liên kết cộng hóa trị cực kỳ bền vững Trường hợp than chì graphite

có sự khác biệt lớn khi chỉ có 3 liên kết cộng hóa trị với 3 nguyên tử Carbon xungquanh đồng phẳng, electron thứ tư không định xứ đóng vai trò liên kết yếu giữa cácmặt phẳng lục giác của nguyên tử Vì lẽ đó mà về mặt lý thuyết, graphite rất dễ đểtách ra thành từng lớp mỏng nguyên tử kiểu Graphene, con người hẳn đã tạo ra hàngtrăm lớp Graphene trên bề mặt giấy viết bút chì suốt mấy chục năm qua mà không hềhay biết

Từ lý thuyết phân tích ở trên đến một thực nghiệm có thể quan sát được của A

K Geim không hề đơn giản mà là cả một hành trình dài với lắm khi ông phải bước

đi một cách loạng choạng, dò dẫm Trong bài giảng Nobel: Bước đi ngẫu nhiên đếnGraphene [27], A K Geim đã kể về một sai lầm đáng tiếc của ông khi đưa một miếnggraphite mật độ cao thay vì loại graphite nhiệt phân có tính định hướng cao HOPG chomột nghiên cứu sinh (PhD) tên là Da Jiang (hiện đang là Giáo sư tại Viện Hàn LâmKhoa Học và Công Nghệ Trung Quốc) và yêu cầu anh ấy mài mỏng để tìm Graphene

Sự nhầm lẫn này khiến A K Geim bị người đồng nghiệp Oleg Shklyarevskii, mộtchuyên gia về Kính hiển vi quét xuyên hầm STM, đùa vui công việc của Da Jiang là

"mài nhẵn quả núi để lấy một hạt cát" Oleg đã tiếp tục gợi ý K S Novoselov, lúc đócòn đang là nghiên cứu sinh PhD của A K Geim sử dụng băng dính văn phòng để

miếng graphite, gấp đôi rồi sau đó tách hai lớp băng dính ra Mỗi lần gấp và tách hai lớp băng dính ra thì miếng graphite dần mỏng đi Quá trình được lặp đi lặp lại cho đến khi miếng graphite có độ dày

How to make Graphene - Physics World.

cô lập Graphene từ các lớp bong ra của graphite Họ đặt các lớp này lên đế bán dẫnSilicon Dioxe SiO2 và dựa vào sự biến đổi màu sắc của chúng khi có sự phản xạ vàgiao thoa ánh sáng diễn ra trên lớp phủ SiO2để tính toán số lớp Graphene Cuối cùng,đơn lớp Graphene chỉ thật sự hiện ra dưới mắt kính hiển vi của chúng ta khi lớp phủSiO2 có độ dày cỡ 315nm [19] mà nếu chỉ lệch một chút thôi thì có lẽ chúng ta sẽ mãimãi không bao giờ có thể nhìn thấy nó Khoảnh khắc Eureka ấy của A K Geim và

K S Novoselov đã khép lại hành trình tìm kiếm Graphene kéo dài nửa thế kỷ, từ khichỉ là một giấc mơ bất khả năm 1947 đến khi thực sự hiện hữu dưới ống kính hiển vinăm 2004 Câu chuyện về hành trình tìm kiếm Graphene đã đóng lại nhưng đồng thờicũng mở ra một kỷ nguyên mới đầy những tưởng tượng hứa hẹn về các vật liệu, linhkiện điện tử siêu mỏng chỉ cỡ một lớp nguyên tử Carbon

16 giờ 45 phút ngày 5 tháng 10 năm 2010, Viện Hàn lâm Khoa học Hoàng giaThụy Điển tại Stockholm đã quyết định trao giải Nobel Vật lý, vinh danh hai "ngườicha đỡ đầu" của Graphene, Andre Geim và Konstantin Novoselov, “vì những thựcnghiệm đột phá trong vật liệu hai chiều Graphene”5

Hình 1.2: Andre Geim (trái) và Konstantin Novoselov (phải): Hai nhà vật lý đến từ Đại học Manchester (Anh) cô lập được

Graphene bằng kỹ thuật dán bóc băng caro.

1.1.2 Các tính chất vật lý điển hình của Graphene

Cấu trúc của Graphene là phiên bản hai chiều của các đồng vị Carbon (Hình1.3(a)) Mỗi đơn nguyên tử sở hữu ba quỹ đạo sp2 tương tác với các quỹ đạo kháctrong vùng lân cận của nó để tạo thành liên kết sigma σ cộng hóa trị; trong khi đó,

5 The Nobel Prize in Physics 2010.

quỹ đạo thứ 4 duy trì liên kết π (Van de Waals) yếu hơn để xếp chồng các lớp lên nhautạo thành cấu trúc dị hình dạng than chì graphite (Hình 1.3) Với đơn lớp Graphene,các electron trong liên kết π liên kết với nhau để tạo thành các vùng hóa trị và vùngdẫn Các vùng năng lượng trên tiếp xúc với nhau tại 6 điểm (nón Dirac) tạo nên ranhgiới của vùng Brillouin đầu tiên (hình lục giác trong Hình 1.4) góp phần tạo ra một

số tính chất điện tử kỳ lạ

(a) Các thù hình của Carbon Các liên kết σ và liên kết π.

(b) Cấu hình lai hóa điện tử.

Hình 1.3: Cấu hình lai hóa điện tử của Graphene [69].

Ta phân tích kỹ hơn cấu hình lai hóa của Carbon trong hình 1.3(b) Carbon

là nguyên tố thứ 6 trong bảng tuần hoàn, với cấu hình điện tử ở trạng thái cơ bản là[He]2s22p2 Như đã thấy trong Hình 1.3(b), hạt nhân của nguyên tử Carbon được baoquanh bởi sáu electron, trong số có 4 electron hóa trị Các electron này trong lớp vỏhóa trị của Carbon có thể tạo thành ba kiểu lai hóa là sp, sp2 và sp3 Sự hình thànhlai hóa sp2 cũng được minh họa trên hình con c của hình 1.3(b) Khi các nguyên tử

Hình 1.4: Cấu hình vùng Brilouin đầu tiên trong không gian mạng đảo k [69].

Carbon chia sẻ các electron sp2với ba nguyên tử Carbon lân cận của chúng, chúng tạothành một lớp mạng lưới tổ ong có cấu trúc phẳng, chính là Graphene đơn lớp Ô đơn

vị của tinh thể Graphene, được đánh dấu bằng hình bình hành màu tím trong Hìnhcon d của hình 1.3(b) Mỗi ô đơn vị chứa hai nguyên tử Carbon, và các vector ô đơn

vị a1 và a2 có cùng hằng số mạng là 2.46 ˚A Trong phép lai hóa sp2 điển hình của hainguyên tử Carbon lân cận trên lớp Graphene (xem hình con e trong hình 1.3(b)), liênkết π ngoài mặt phẳng được tạo bởi các quỹ đạo 2pz vuông góc với cấu trúc phẳng,trong khi liên kết σ trong mặt phẳng là được hình thành bởi các obitan lai hóa sp2(2s, 2pxvà 2py) Sự chia sẻ các quỹ đạo lai hóa với ba nguyên tử Carbon gần nhất tạonên liên kết σ dẫn đến hình thành cấu trúc lục giác phẳng dạng Graphene Độ dài liênkết σ (khoảng cách giữa các nguyên tử Carbon trong liên kết) là 1.42 ˚A Các vùng σnày tạo nên sự bền vững của cấu trúc mạng trong tất cả các thù hình Theo nguyên lýloại trừ Pauli, các electron π từ hai nguyên tử Carbon khác nhau không thể có cùngmột trạng thái lượng tử, vì thế, một lượng đáng kể các nguyên tử Carbon liên kết chặt

làm tách các mức năng lượng suy biến thành nhiều mức năng lượng không suy biếnvới mật độ dày liên tục, hình thành nên các vùng năng lượng Quỹ đạo 2pz vuông gócvới cấu trúc phẳng nói trên có thể liên kết với các nguyên tử Carbon lân cận tạo nênhai vùng π6 Vì mỗi quỹ đạo pz có một điện tử nên vùng π chỉ được lấp đầy một nửa,hình thành nên vùng cấm có độ rộng bằng không trong Graphene Điều này dẫn đếnđặc tính điện tử thú vị nhất của Graphene là biểu thức năng lượng tán sắc dạng tuyếntính ở lân cận các điểm K và K′[69, 2] Ta có thể so sánh đặc tính điện tử của các dịhình Graphene như bảng 1.2 dưới đây

Dị hình C60

Buckyball

Ống than Nano Carbon Graphene

Than chì graphite

Cấu trúc Hình cầu Hình trụ Mặt phẳng Mặt phẳng

xếp chồng

Tính chất Bán dẫn Kim loại

hoặc bán dẫn Bán kim Kim loại

Bảng 1.2: So sánh đặc trưng các dị hình của Graphene.

Vùng Brilouin đầu tiên chứa các electron chuyển động tự do với năng lượng

tương đối thấp, tức là với bước sóng De Broglie λ = h

p > 2a với p là động lượng tuyếntính, h là hằng số Planck và a là độ dài liên kết Các electron bên trong vùng này được

mô tả bởi Hamiltonian H = p

22me cho hạt tự do có năng lượng tương ứng E = ¯h

2k2

2me(Hình 1.4) Xung quanh ranh giới của vùng này, các electron chuyển động nhanh hơn

với λ ∼ 2a Vector mạng đảo tương ứng bây giờ là k =2π

Như vậy, có thể thấy được từ những lập luận trên sự phụ thuộc của năng lượng

E vào k trở thành tuyến tính thay vì bình phương dạng parabolic như trong các hệbán dẫn truyền thống Năng lượng dạng này được dùng rất phổ biến đối với các hạtsiêu tương đối tính được miêu tả bằng phương trình Dirac (Weyl) cho hạt không khối

lượng (với tốc độ ánh sáng c được thay thế bằng νF) Sự giống nhau về hình thứcnày cho phép chúng ta nói rằng electron trở nên không khối lượng (massless) trongGraphene, điện tử trong trường hợp này gọi là hạt Dirac Fermion và các điểm K hay

K′ được gọi là các điểm Dirac Do đó bức tranh vật lý của Graphene có thể được vẽbằng những gam màu của lý thuyết điện động lực học lượng tử đối với các hạt Fermionkhông khối lượng với điểm khác biệt duy nhất là hạt Fermion Dirac trong Graphenechỉ chuyển động với tốc độ νF nhỏ hơn 300 lần tốc độ ánh sáng c Nhờ điều này mànhiều hiện tượng vật lý có thể quan sát được ở Graphene Ví dụ như hiệu ứng Halllượng tử nguyên dị thường có thể đo được tại nhiệt độ phòng ở Graphene Thậm chí,các hạt Fermion Dirac có thể truyền qua vùng cấm cổ điển với xác suất bằng 1 [70].Tất nhiên, ta phải nhấn mạnh lại rằng cách nói trên đây về điện tử trong Graphene chỉ

là cách nói ấn tượng, bởi thực chất hạt không khối lượng luôn chuyển động với vậntốc ánh sáng c (chứ không phải chỉ là νF) theo lý thuyết tương đối hẹp

Trên cơ sở những vấn đề đã trình bày ở trên, ta có thể đưa ra sự so sánh giữaGraphene và các hệ bán dẫn 2D truyền thống khác (như hố lượng tử hoặc siêu mạng)như sau [59, 2]

■ Các hệ bán dẫn 2D thường có vùng cấm khá rộng (> 1eV) Vì vậy, khi nghiêncứu phải sử dụng các cấu trúc pha tạp điện tử hay lỗ trống một cách hoàn toànriêng rẽ Ngược lại, Graphene là chất bán dẫn không có vùng cấm, hệ hạt tải cóthể chuyển từ hệ điện tử thành hệ lỗ trống hoặc ngược lại (tại điểm Dirac) trongcùng một cấu trúc Kết quả là Graphene luôn có tính kim loại, trong đó, mứcFermi (thế hóa) luôn luôn ở trong vùng dẫn hay vùng hóa trị Trong khi đó, bándẫn 2D trở thành điện môi dưới một thế ngưỡng nào đó vì mức Fermi nằm ởvùng cấm

■ Các hệ Graphene có tính chất chiral (giả spin), trong khi đó các bán dẫn 2Dkhông có tính chiral Tính chất giả spin của Graphene dẫn tới một số hệ quảquan trọng đối với tính chất vận chuyển của hạt tải

■ Hệ thức tán sắc của Graphene đơn lớp là tuyến tính Trong khi đó, các bán dẫn2Dcó hệ thức tán sắc bậc hai Điều này dẫn đến những sự khác biệt đáng kể vềđịnh lượng trong các tính chất vận chuyển của hai hệ

■ Sự giam giữ lượng tử trong Graphene 2D là giam giữ hai chiều lý tưởng vì chiềudày của Graphene chính xác là một đơn lớp nguyên từ Trong khi đó, các cấutrúc bán dẫn 2D là hệ giả 2D vì luôn có một độ dày trung bình ⟨Z⟩(≈ 5 đến

50 nm) với ⟨Z⟩ ≤ λF(λF là bước sóng Fermi 2D hoặc tương đương với nó làbước sóng De Broglie của hạt tải) Đây là điều kiện của hiệu ứng kích thướclượng tử để bán dẫn khối trở thành bán dẫn 2D

1.1.3 Cấu trúc mạng tinh thể của Graphene

Hình 1.5: Mạng lưới tổ ong của Graphene Ô đơn vị là hình bình hành đều (các đường đứt nét) với cơ sở là hai nguyên tử (ký

hiệu là A và B) [67].

Graphene có cấu trúc mặt phẳng lục giác dạng tổ ong được vẽ minh họa nhưhình 1.5, trong đó mỗi chấm tròn tượng trưng cho một nguyên tử Carbon, mỗi đoạnthẳng nối giữa hai nguyên tử là một liên kết σ có chiều dài aC−C ≈ 1.42 ˚A Mạng tổong có thể được đặc trưng như hai mạng con Bravais A và B lồng ghép vào nhau với

cơ sở là hai nguyên tử, được ký hiệu là A và B trong hình 1.5, và những nguyên tửnày đóng góp tổng cộng hai điện tử π trên mỗi ô đơn vị vào các tính chất điện tử củaGraphene Mạng Bravais bên dưới là một mạng lục giác với ô đơn vị có dạng hìnhbình hành đều cạnh a =√3aC−C≈ 2.46 ˚A Các vector cơ sở của ô đơn vị là

a1= a2Ä√

3, 1ä a2= a

2Ä√

với |a1| = |a2| = a Và các vector nối giữa nguyên tử Carbon trên mạng con Bravais

A sẽ liên kết với 3 nguyên tử Carbon trên mạng Bravais B lân cận gần nó nhất là

R2= a2Å

−√1

3, −1ã

R2= a2Å

−√1

3, 1ã

(1.2)với |R1| = |R2| = |R3| = aC−C

Hình 1.6: Mạng đảo của Graphene Vùng Brillouin đầu tiên là hình lục giác được tô bóng mờ với các điểmΓ ở tâm, điểm M là trung điểm của cạnh và điểm K nằm ở đỉnh lục giác Điểm K′cũng là một đỉnh lục giác (liền kề với điểm K), về cơ bản tương đương với điểm K [67].

Tiếp theo, chúng ta xem xét cấu trúc mạng đảo của Graphene Từ mạng thuậntrên hình 1.5, ta chỉ cần xoay một góc 90◦ sẽ thu được mô hình mạng đảo cũng códạng lục giác như hình 1.6 Các vector mạng đảo tương ứng là

b1 = 2πa

Å 1

√

3, 1ã

(1.3)

với |b1| = |b2| = 4π

a√

3.Vùng Brillouin (BZ) (dạng lục giác được tô bóng mờ) trong hình 1.6 với cáccạnh có độ dài |bBZ| = |b1|

√

3 =4π3a và diện tích bằng 8π

2

a2√

3 Có 3 vị trí chính có tínhđối xứng cao trong vùng Brillouin rất hữu ích để nghiên cứu hệ thức tán sắc củaGraphene Trong hình 1.6, các vị trí này là điểm Γ, điểm M và điểm K7 Các vectơ

mô tả vị trí của điểm K và M đối với điểmΓtại tâm vùng BZ là

ΓM = 2π

a√

3(1, 0) ΓK = 2π

a√3Å

1,√13ã

(1.4)

1.2 Lý thuyết vùng năng lượng của Graphene

1.2.1 Trường hợp vắng mặt từ trường ngoài vuông góc

Dựa trên cơ sở vật lý chất rắn, chúng ta đã biết bài toán lý thuyết vùng nănglượng tập trung vào việc đi tìm phương trình tán sắc thể hiện sự phụ thuộc của nănglượng theo vector sóng của điện tử E (k) Trong trường hợp đối với các vector sóng

k′nằm ngoài vùng Brillouin thứ nhất thì từ quan hệ k′= k + G, với G là vector mạngđảo, ta cũng có thể quy về bài toán tìm cấu trúc vùng năng lượng của điện tử trongGraphene với các mức năng lượng được phép tương ứng vector sóng k nằm trongvùng Brillouin thứ nhất Đối với tinh thể Graphene, do các điện tử liên kết chặt chẽvới lõi nguyên tử nên trạng thái của các điện tử gần với trạng thái của các nguyên tửhơn là mô hình trạng thái điện tử tự do, nếu chúng ta sử dụng mô hình khí điện tử tự

do thì sẽ phải cần đến tổ hợp của nhiều hàm sóng phẳng làm tăng độ phức tạp tínhtoán Chính vì vậy, trong phần này, ta sẽ sử dụng mô hình gần đúng điện tử liên kếtmạnh (Tight-binding model) như P R Wallace [66] đã giải cho Graphene Ở đây, hàmsóng của điện tử được xây dựng dưới dạng tổ hợp tuyến tính các hàm sóng nguyên tửLCAO [8] theo đề xuất của Bloch năm 1928

Ansatz9 đối với các quỹ đạo nguyên tử của ô đơn vị thứ j [7]

Φ(A|B)k (r) = √1

NN

∑j

eikR(A|B) jφ

Ä

r − R(A|B)

jä

(1.6)

trong đó N là số ô đơn vị và R(A|B) là các vector mạng Bravais xác định vị trícủa tất cả các nguyên tử loại A (B) trong Graphene Các hàm quỹ đạo nguyên tửφ

Ä

r − R(A|B)

jä

≡ φR(A|B) j là hàm Wannier trực giao10 được giả thuyết suy giảm về 0khi càng xa điểm R(A|B)j Các hàm Wannier chính là sự mở rộng của các hàm sóngnguyên tử, là ảnh Fourier của các hàm Bloch [8] và các tổ hợp tuyến tính của chúng

là lời giải chính xác của phương trình Schrodinger

Xuất phát từ phương trình Schrodinger H |Ψk(r)⟩ =Ek|Ψk(r)⟩, thực hiệnphép nhân vào hai vế của phương trình này với ket vector¨Φ(A)k (r)

≡ÄΦ(A)k (r)ä∗,

ta thu được

C(A)k ¨Φ(A)k (r)

H Φ(A)

k (r)∂+ C(B)k ¨Φ(A)k (r) Φ(A)

6 sin

π6

− sinπ

6 cos

π6

" √3|kx| + |ky|

−ikr

√2

" Sneiθk1

Trước khi tạm khép lại phần này, chúng ta biểu diễn Hamiltonian (1.17) dướidạng Dirac để thấy rõ hơn tính tương tự của Dirac Fermions với electrons trong mạng

1.2.2 Trường hợp xuất hiện từ trường ngoài vuông góc

1.2.2.1 Chuẩn xung lượng của điện tử chuyển động trong từ trường đều

Trong Điện động lực học cổ điển [10, 9, 8], chuyển động của điện tử trong từ

trường đều B chịu tác dụng của lực Lorentz12 có dạng

F = −e

Từ quan hệ B = ∇ × A với A là thế vector và các hệ thức toán tử vi phân13, kết

hợp với phương trình định luật II Newton cổ điển F = dp

dA = A (r + vdt,t + dt) − A (r,t)

=Å ∂ A

∂ xã(vxdt) +Å ∂ A

∂ yã(vydt) +Å ∂ A

∂ zã(vzdt) +Å ∂ A

∂ tãdt

Å dA

dt −∂ A

∂ tã

ddt

tường minh vào thời gian, nên do đó ∂ A

∂ t = 0 Đến đây, ta đưa vào khái niệm chuẩnxung lượng (canonical momentum)

∂L

∂ v ≡ pcan≡ p −e

VớiL là Lagrangian của hạt

Viết lại (1.25), ta thu được phương trình định luật II Newton hiệu dụng mô tảchuyển động của hạt điện tử trong từ trường

Với me là khối lượng hiệu dụng của điện tử

Biểu thức Hamiltonian của hạt điện tử trong từ trường

H = ∂L (r,v)

∂ v · v −L (r,v) = pcan· v − p

22me +

e

cv · A (r) (1.30)Đặt (1.26) và (1.29) vào (1.30), ta thu được biểu thức tổng quát cuối cùng củaHamiltonian của điện tử chuyển động trong từ trường đều như trong các giáo trình

Điện động lực học (không xét đến tương tác spin với từ trường)

H = p22me =

12me

1.2.2.2 Áp dụng giải bài toán hệ khí điện tử hai chiều 2DEG thông thường

Xét một hệ 2DEG tuân theo cơ học lượng tử thông thường, bị giam cầm bởithế dọc theo trục z dạng U (z), Hamiltonian dừng có dạng

2meï

p2x+py+e

cA

2+ p2zò+U (z)

= − ¯h

22me

∂2

∂ x2 +1

2meω2 BÄ

x− ℓ2B|ky|ä2− ¯h

22me

dài chuẩn hóa theo trục y), thay vào phương trình Schrodinger dừng H Ψ(r) =

E Ψ(r), ta đưa về được hệ phương trình

ñ

− ¯h22me

d2

dx2 +1

2meω2 BÄ

EN=Å

N +12ã

bảo toàn nên ta có thể thay chúng trực tiếp thành trị riêng của chúng.

(1.36)Với N = 0, 1, 2, là các chỉ số mức Landau và HN(x) là đa thức Hermite.

1.2.2.3 Áp dụng giải bài toán điện tử Dirac Fermion trong Graphene

Trong Graphene, một electron, hay bây giờ gọi là Dirac Fermion chuyển độngvới tốc độ Fermi cỡ 1/300 tốc độ ánh sáng sẽ hành xử như một giả hạt không khốilượng Hamiltonian hiệu dụng xung quanh điểm Dirac sẽ có dạng như (1.20) Phươngtrình Dirac–Weyl trong không gian (2+1) chiều có dạng

−iÅ ∂

∂ x− i ∂

∂ y+ ec¯hBxã

Φ2(x, y) = ϒΦ1(x, y)

−iÅ ∂

∂ x+ i ∂

∂ y− ec¯hBxã

Φ1(x, y) = ϒΦ2(x, y)

(1.40)

Ở đây, ta sử dụng ký hiệu rút gọn ϒ = E

¯hνF.Trong phần này ta sử dụng chuẩn Landau, nên trong các phương trình (1.40)

độc lập với y, do đó ta có thể phân ly biến số thành ψ (r) = exp (i|ky|y)

pLy

ψ1(x)

iψ2(x) ,với |ky| là độ dài vector sóng của điện tử theo trục y Bây giờ (1.40) trở thành

Å d

dx− |ky| +eB

c¯hxã

ψ1(x) = ϒψ2(x)

(1.41)

Từ hệ phương trình (1.41), tác động chéo các toán tử tương ứng, ta thu được hệphương trình mới mà mỗi phương trình là một phương trình vi phân thường đối vớitừng thành phần hàm sóng

"

− d2

dx2+Ç

|ky| − x

ℓ2Bå2

dx2+Ç

|ky| − x

ℓ2Bå2

−12

Å x− x0

ℓBã2ô

H|n|Å x− x0

ℓBã

(1.46)

Với Cn = … 1 + δn,0

2 là hệ số chuẩn hóa, ¯hωB =

√2¯hνF

ℓB =

√2γ

ℓB là năng lượng từcyclotron hiệu dụng Ξ|n|(x − x0) là hàm sóng dao động điều hòa tại tâm x0= ℓ2B|ky|tương tự như ϕN(x − x0) trong công thức (1.36)

Biểu thức (1.45) cho thấy sự phụ thuộc của mức năng lượng Landau vào từtrường B theo quy luật căn bậc hai, điều này hoàn toàn trái ngược với sự phụ thuộctuyến tính vào từ trường của các mức Landau trong 2DEG thông thường (1.35) (xemhình 1.10) Trong 2DEG thông thường, các mức Landau cách đều nhau, còn trongGraphene, các mức Landau không đều nhau bởi quy luật căn bậc hai Dựa vào tínhchất bất thường này, nhiều nhà khoa học đã đưa ra các dự đoán tốt về hiệu ứng Halllượng tử bán nguyên (ngoại trừ suy biến vùng và suy biến spin) [46] thay vì hiệu ứngHall lượng tử số nguyên như các hệ 2DEG mà nhóm Klaus von Klitzing quan sát đượctại phòng thí nghiệm từ trường mạnh Grenoble15 trước đây [65] Ngoài ra, các phép

đo đạc và tính toán khối lượng hiệu dụng của Dirac Fermion trong Graphene cũngphụ thuộc vào căn bậc hai của số hạt tải [61] Như vậy, những hành xử bất thường củaelectron trong Graphene đơn lớp dưới ảnh hưởng của từ trường sẽ làm thay đổi nhiềuđặc tính quan trọng trong hiệu ứng chuyển tải điện nói chung và bài toán hấp thụquang phi tuyến nói riêng Trong chương tiếp theo, chúng tôi sẽ dựa trên cơ sở hàmsóng (1.44) và phổ năng lượng điện tử (1.45) để giải quyết bài toán khảo sát hiệu ứnghấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong Graphene dưới ảnh hưởng của từ trườngngoài vuông góc bằng phương pháp phương trình động lượng tử

(b) Dirac Fermion trong Graphene đơn lớp.

Hình 1.10: Sự phụ thuộc của các mức Landau vào từ trường.