Nghiên cứu Ảnh hưởng của vết nứt tới Ổn Định và dao Động của kết cấu tấm fgm

NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA VẾT NỨT TỚI ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU TẤM FGM GIÚP GIẢI QUYẾT VÀ NGĂN CHẶN VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KẾT CẤU TẤM

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH NGUYỄN ĐÌNH ĐỨC

TS ĐOÀN HỒNG ĐỨC

HÀ NỘI - 202 4

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là:

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu và kết quả được trình bày trong luận án này là trung thực, đáng tin cậy và không trùng với bất kỳ một nghiên cứu nào khác đã được tiến hành

Hà Nội, ngày tháng năm 2023

Người cam đoan

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Đình Đức và TS Đoàn Hồng Đức đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận án này

Tôi chân thành cảm ơn tới nhà trường, tập thể các thầy cô giáo Khoa Cơ học

kỹ thuật và Tự động hóa, Trường đại học Công Nghệ - ĐHQGHN, đã luôn quan tâm, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại Khoa

Tôi trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp tại Bộ môn Cơ lý thuyết - Khoa Khoa học cơ bản - Trường đại học Giao thông vận tải đã luôn quan tâm, giúp đỡ và động viên để tác giả hoàn thành luận án

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới gia đình, người thân và bạn bè, những người đã luôn ở bên cạnh động viên, khích lệ và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận án này

Tác giả

Phạm Minh Phúc

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT vi

DANH MỤC CÁC BẢNG vii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ix

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Phạm vi nghiên cứu 2

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của nghiên cứu 2

7 Cấu trúc của luận án 2

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG CỦA TẤM FGM 3 1.1 Tổng quan về vật liệu composite FGM 3

1.2.Tổng quan về tình hình nghiên cứu ổn định của kết cấu tấm FGM có nứt 8

1.3 Tổng quan về tình hình nghiên cứu dao động của kết cấu tấm FGM có nứt 11 1.4 Định hướng nghiên cứu 15

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH DỰA TRÊN LÝ THUYẾT TẤM, LÝ THUYẾT PHASE FIELD VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 17

2.1 Đặt vấn đề 17

2.2 Các phương trình cơ bản 17

2.3 Sử dụng lý thuyết phase field trong bài toán tấm có vết nứt 21

2.4 Xây dựng phương trình ổn định, dao động của tấm có vết nứt bằng phương

pháp phần tử hữu hạn 23

2.4.1 Phần tử tấm 23

2.4.2 Phương trình ổn định của tấm có vết nứt 26

2.4.3 Phương trình dao động của tấm có vết nứt 30

2.4.4 Điều kiện biên theo phương pháp PTHH 32

2.5 Kết luận chương 2 32

CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA KẾT CẤU TẤM FGM CÓ NỨT 34

3.1 Đặt vấn đề 34

3.2 Ổn định của kết cấu tấm có nứt 35

3.2.1 Ổn định của kết cấu tấm đồng chất có nứt 35

3.2.2 Ổn định của kết cấu tấm FGM có nứt 41

a) Hệ số ổn định của tấm không nứt với độ dày thay đổi theo hàm luỹ thừa 42

b) Hệ số ổn định của tấm đồng chất có nứt với chiều dày thay đổi tuyến tính 44

c) Hệ số ổn định của tấm FGM nứt với chiều dày không đổi 48

d) Hệ số ổn định của tấm FGM bị nứt với sự thay đổi chiều dày 50

3.2.3 Ổn định của kết cấu tấm FGM có nứt trên nền đàn hồi Paternak 54

a) So sánh hệ số ổn định của tấm FGM không nứt trên nền đàn hồi 54

b) Ổn định của tấm FGM có nứt trên nền đàn hồi 56

3.3 Kết luận chương 3 59

CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA KẾT CẤU TẤM FGM CÓ VẾT NỨT 62

4.1 Đặt vấn đề 62

4.2 Dao động tự do của kết cấu tấm FGM có vết nứt 62

4.2.1 Dao động tự do của tấm đồng chất có chiều dày thay đổi 62

4.2.2 Dao động tự do của tấm FGM chiều dày không đổi, có vết nứt 63

4.2.3 Dao động tự do của tấm FGM chiều dày thay đổi, có vết nứt 65

4.3 Dao động của kết cấu tấm FGM có nứt đặt trên nền đàn hồi 68

4.3.1 Nghiên cứu so sánh 68

4.3.2 Tần số dao động tự do của tấm FGM có nứt đặt trên nền đàn hồi 71

4.4 Dao động của kết cấu tấm FGM có nứt trong môi trường nhiệt độ 81

4.4.1 Nghiên cứu so sánh 82

4.4.2 Tần số dao động tự do của tấm FGM có nứt trong môi trường nhiệt độ 83 4.5 Kết luận chương 4 91

Kết quả chính của chương này thể hiện trong các bài báo: 92

KẾT LUẬN 93

NHỮNG VẤN ĐỀ CÓ THỂ PHÁT TRIỂN TỪ LUẬN ÁN 94

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 95

TÀI LIỆU THAM KHẢO 97

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

FGM Fuctionally Graded Material – Vật liệu cơ tính biến thiên

P-FGM Vật liệu cơ tính biến thiên trong đó thành phần vật liệu tuân theo

quy luật Power-law

S-FGM Vật liệu cơ tính biến thiên trong đó thành phần vật liệu tuân theo

quy luật Sigmoi-law

E-FGM Vật liệu cơ tính biến thiên trong đó thành phần vật liệu tuân theo

quy luật hàm e mũ Buckling Sự mất ổn định (của kết cấu)

L H Cạnh của tấm chữ nhật tương ứng trên trục x, y

h Chiều dày kết cấu tấm

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Tính chất của một số vật liệu thành phần của vật liệu FGM 3 Bảng 1.2 Hệ số nhiệt độ của một số loại vật liệu thành phần của vật liệu FGM 7 Bảng 3.1a So sánh hệ số ổn định (k cr ) của tấm vuông đồng chất (L = H = 0,24m;

nghiêng của vết nứt khác nhau (tấm với 3 vết nứt) 40

Bảng 3.4 Hệ số ổn định k M của tấm nứt với sự thay đổi của độ dày 0

(c0.3 ,L  30 )

ở các lưới khác nhau 47

Bảng 3.5 So sánh hệ số ổn định (k c) của tấm vuông FGM với sự thay đổi của chỉ số

n và chiều dài vết nứt (L / H = 1; h / L = 0,01;   00 ) 49 Bảng 3.6 Hệ số ổn định của tấm hình vuông FGM nứt với sự thay đổi chiều dày

0

( /L H 1; h a/h 2)và SSSS 54

Bảng 3.7 Hệ số ổn định của tấm FGM nứt với sự thay đổi của chiều dài, góc nghiêng

(L H/ 1; h a/h0 2) và SSSS 54

Bảng 3.8 Hệ số ổn định của tấm FGM trên nền đàn hồi, dòng trên theo Hamid

Foroughi [82]; dòng dưới của Luận án 56 Bảng 3.9 Hệ số ổn định của tấm FGM với sự thay đổi của nền đàn hồi, chiều dài vết

nứt và số mũ 57 Bảng 4.1 Tham số tần số dao động tự do của tấm chiều dày thay đổi tuyến tính 63 Bảng 4.2 Tham số tần số dao động tự do không thứ nguyên của tấm FGM vuông, có

vết nứt ở tâm với góc nghiêng 0 0 64 Bảng 4.3 Tham số tần số dao động tự do của tấm FGM chiều dày thay đổi có vết nứt

khi tỉ lệ cạnh tấm thay đổi với h 0 /h a =1.5; n=5; α=00; SSSS 66

Bảng 4.4 So sánh tham số tần số dao động tự do của tấm FGM không nứt trên nền

đàn hồi với điều kiện biên khác nhau 70

Bảng 4.5 Tham số tần số dao động của tấm FGM bị nứt với H/h 0 =50; h a /h 0=0.75;

α =00, ˆ ˆ(k ,k )= (100,10); SSSS 72 w s

Bảng 4.6 Tham số tần số dao động của tấm FGM bị nứt với chiều dày thay đổi, góc

nghiêng vết nứt khác nhau và L/H=1.5; H/h 0 = 50; n = 1; ˆ kw 50; ˆk s 15;

SSSS (Al; Al 2 O 3) 73 Bảng 4.7a Tham số tần số dao động đầu tiên của tấm FGM bị nứt với các điều kiện

biên đối xứng và L/h 0 = 50; L/H=1.75; h 0 /h a=1.75; α =0; ˆkw 100; kˆs 15;

(Al; Al 2 O 3) 76 Bảng 4.7b Tham số tần số dao động đầu tiên của tấm FGM bị nứt với các điều kiện

biên không đối xứng và L/h 0 = 50; L/H=1.75; h 0 /h a=1.75; α=0; ˆkw 100;

ˆ 15;

s

k  (Al; Al 2 O 3) 77 Bảng 4.8 So sánh tham số tần số dao động của tấm FGM có độ dày thay đổi và tấm

FGM có độ dày không đổi (hconst) với L=H=50cm; h 0 =1.0cm; n=1; α =0; SSSS (Al; Al 2 O 3) 79 Bảng 4.9 So sánh tham số tần số dao động của tấm FGM không nứt trong môi trường

nhiệt độ 83 Bảng 4.10 Các tham số tần số dao động của tấm FGM nứt với chiều dày thay đổi với

L/H = 1.0; L/h 0 = 20; h mid/h 0 0 9 ; T c = 500K; T m = 300K; SSSS (Ni 3 N 4 ; SUS304) 86 Bảng 4.11 Các tham số tần số của tấm FGM bị nứt với chiều dày thay đổi và H/h 0 =

20; n = 1;  = 0; T c = 400K; T m = 300K; SSSS (Ni 3 N 4 ; SUS304) 88

Bảng 4.12 Các tham số tần số của tấm FGM bị nứt với chiều dày thay đổi với

L/H=1.0; H/h 0 = 20; n = 2;  = 0; T c = 400K; T m = 300K (Ni 3 N 4 ; SUS304)

89

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 2.1a Tấm có vết nứt được mô phỏng bởi biến phase-field s 22

Hình 2.1b Mô phỏng biến phase-field trong tấm có vết nứt sử dụng FreeFem 22

Hình 2.2 Phần tử tấm tam giác và các chuyển vị nút của nó 23

Hình 2.3 Sơ đồ thuật toán tìm lực tới hạn của tấm 30

Hình 2.4 Sơ đồ thuật toán tìm tần số dao động tự do của tấm 32

Hình 3.1 Dạng hình học của tấm với vết nứt ở tâm 35

Hình 3.2 Hệ số ổn định phụ thuộc vào chiều dày tấm (L = H = 0.24m; CFCF) 38

Hình 3.3 Hệ số ổn định phụ thuộc vào chiều rộng vết nứt và chiều dày tấm (L=H=0.24m; c/H=0.5; ) 39

Hình 3.4 Dạng hình học của tấm với ba vết nứt cùng chiều dài 39

Hình 3.5 Năm dạng hình học của tấm CFCF với ba vết nứt (L = H = 0.24m; h=1.2mm; c/H=0.5; H/l=400) 41

Hình 3.6 Dạng hình học của tấm FGM với độ dày thay đổi theo trục x 42

Hình 3.7 Tấm không nứt với chiều dày thay đổi theo cấp số nhân dưới tải trọng nén theo phương x 42

Hình 3.8 So sánh hệ số ổn định tới hạn không thứ nguyên của tấm chịu nén dọc theo trục x 43

Hình 3.9 Mô hình hình học của tấm hình chữ nhật chịu tải trọng nén một trục theo phương x 44

Hình 3.10 Hệ số ổn định của tấm chiều dày thay đổi với vết nứt ở tâm 45

Hình 3.11 Ảnh hưởng của vết nứt đến hệ số ổn định của tấm FGM có chiều dày thay đổi 46

Hình 3.12 Lưới tam giác cho tấm nứt với tổng số phần tử là 4076 47

Hình 3.13 Tấm có nứt chịu lực nén dọc theo trục x 48

Hình 3.14 Tấm nứt hình chữ nhật có độ dày thay đổi theo hàm luỹ thừa dưới tải trọng nén theo phương x 50

Hình 3.15 Ảnh hưởng của vết nứt đến hệ số ổn định của tấm FGM có chiều dày thay đổi 51

Hình 3.16 Năm dạng mất ổn định đầu tiên của tấm FGM SSSS nứt với sự thay đổi

độ dày (L=0.36m, H=0.24m, h a =2h 0 , n=2, c/L=0.5, l/H=400) 53

Hình 3.17 Mô hình tấm đặt trên nền đàn hồi Pasternak 55

Hình 3.18 Mô hình tấm có vết nứt đặt trên nền đàn hồi Pasternak 56

Hình 3.19 Ảnh hưởng của góc nghiêng vết nứt đến hệ số ổn định của tấm FGM trên nền đàn hồi 58

Hình 3.20 Năm dạng mất ổn định đầu tiên của tấm FGM có nứt trên nền đàn hồi Paternak (L=H; c=0.4H; k w =100; k s=10) 59

Hình 4.1 Tấm đồng chất chiều dày thay đổi tuyến tính 63

Hình 4.2 Tấm FGM chiều dày không đổi và có vết nứt ở tâm 64

Hình 4.3 Tấm FGM chiều dày thay đổi tuyến tính và có vết nứt ở tâm 65

Hình 4.4 Tham số tần số dao động tự do của tấm FGM chiều dày thay đổi có vết nứt phụ thuộc chỉ số mũ n; chiều dài vết nứt và tỉ lệ chiều dày tấm 67

Hình 4.5 Hình ảnh 5 dạng dao động đầu tiên của tấm FGM chiều dày thay đổi, có nứt (L=1.25H; h 0 /h a =1.5; n=5; c/L=0.8; α=0; SSSS) 68

Hình 4.6 Mô hình tấm FGM đặt trên nền đàn hồi Pasternak 69

Hình 4.7 Dạng hình học của tấm FGM nứt với chiều dày thay đổi trên nền đàn hồi 71

Hình 4.8 Ảnh hưởng của vết nứt đến tham số tần số đầu tiên của tấm FGM có chiều dày thay đổi nằm trên nền đàn hồi; SSSS 75

Hình 4.9 Năm dạng dao động đầu của tấm FGM bị nứt với chiều dày thay đổi (L=0.375m, H=0.5m, h 0 =H/50, h 0 /h a =1.25, c/L=0.5, α =0, n=2, ˆ ˆ w s k = 50, k = 10 ) 81

Hình 4.10 Dạng hình học của tấm FGM nứt với độ dày thay đổi theo hàm parabol 84

Hình 4.11 Ảnh hưởng của vết nứt đến tham số tần số dao động của tấm FGM có chiều dày thay đổi trong môi trường nhiệt …… 84

Hình 4.12 Ảnh hưởng của môi trường nhiệt đến tham số tần số dao động của tấm FGM bị nứt có chiều dày thay đổi 85

Hình 4.13 Năm dạng dao động đầu của tấm bị nứt với H = 0.5m, L=1.25H, c/L = 0.5,

H/ l = 400 91

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Vật liệu có cơ tính biến thiên FGM (Functionally Graded Material) đã được phát triển và đặt tên bởi nhóm các nhà khoa học vật liệu ở viện Sendai của Nhật Bản vào năm 1984 Kể từ đó, vật liệu FGM đã thu hút được rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm

để phát triển khả năng chịu tải của vật liệu Vật liệu FGM lần đầu tiên được thiết kế làm vật liệu chịu nhiệt cao cho kết cấu hàng không vũ trụ và các lò phản ứng nhiệt hạch Ứng dụng của vật liệu FGM rất đa dạng Hiện nay tình hình nghiên cứu về ứng

xử của kết cấu FGM vẫn đang diễn ra sôi động, điều này xuất phát từ nhu cầu sử dụng ngày càng nhiều của loại vật liệu này trong các ngành công nghiệp hiện đại Có thể nói rằng sự xuất hiện của loại composite thế hệ mới này, đã đặt ra cho các nhà cơ học những bài toán mới cần giải quyết

Do có sự tồn tại của các vật liệu khác nhau, ở đây ta hiểu là khác nhau cả về chủng loại vật liệu cũng như các vật liệu cùng loại nhưng khác về pha, về trạng thái, nên trong vật liệu FGM dễ tồn tại các điểm, các vùng khuyết tật và dễ sinh ra các lỗ rỗng và vết nứt trong vật liệu Xuất phát từ các đặc điểm trên, nhận thấy việc nghiên cứu về đặc tính phá huỷ của vật liệu FGM cũng như đảm bảo tính an toàn khi đưa vật liệu FGM vào thực tế sản xuất, đặc biệt là kết cấu tấm FGM, do đó việc “Nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt tới ổn định và dao động của kết cấu tấm FGM” là thực sự cần thiết

2 Mục tiêu nghiên cứu

i) Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp giải số bài toán ổn định của tấm (đồng chất, FGM) có vết nứt đặt hoặc không đặt trên nền đàn hồi

ii) Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp giải số bài toán dao động tự do của tấm (đồng chất, FGM) có vết nứt trên nền đàn hồi và trong môi trường nhiệt độ

iii) Lập trình khảo sát bằng số ảnh hưởng của các tham số vết nứt đến tải tới hạn (ở mục i), tần số dao động tự do (ở mục ii) của tấm

3 Đối tượng nghiên cứu

Tấm làm bằng vật liệu FGM (P – FGM) có vết nứt, đồng thời nghiên cứu thêm

về trường hợp tấm FGM đặt trong môi trường nhiệt độ và trên nền đàn hồi

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng lý thuyết tấm Mindlin, lý thuyết tấm bậc cao của Shi và lý thuyết phase-field trong cơ học phá hủy để thành lập các phương trình cân bằng Sau đó, dùng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) giải các phương trình để tìm hệ số ổn định, tần số dao động tự do của tấm FGM bị nứt Các kết quả tính toán trong luận án được so sánh với các công trình nghiên cứu uy tín (với các phương pháp khác nhau)

để kiểm tra độ tin cậy của phương pháp hiện tại

5 Phạm vi nghiên cứu

Tính tải tới hạn mất ổn định, các dạng mất ổn định, tần số dao động riêng và các dạng dao động riêng của tấm

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của nghiên cứu

Luận án hoàn thành, nhằm cung cấp thêm cho kho tàng khoa học kỹ thuật một bài toán mới sử dụng lý thuyết phase-field, được giải bằng phương pháp PTHH truyền thống nên có tính ổn định cao và hiệu suất làm việc tốt Các kết quả số của luận án

có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho việc kiểm tra, đánh giá khả năng làm việc của kết cấu khi xuất hiện vết nứt

7 Cấu trúc của luận án

Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương, kết luận và tài liệu tham khảo

Mở đầu: Tính cấp thiết của đề tài, đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên

cứu của luận án

Chương 1: Tổng quan về ổn định và dao động của tấm FGM

Chương 2: Xây dựng các phương trình dựa trên lý thuyết tấm, lý thuyết phase

field và phương pháp phần tử hữu hạn

Chương 3: Phân tích ổn định kết cấu tấm FGM có nứt

Chương 4: Phân tích dao động tự do của tấm FGM có vết nứt

Kết luận và kiến nghị: Trình bày các kết quả chính, những đóng góp mới của

luận án và các kiến nghị khác

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG CỦA TẤM FGM 1.1 Tổng quan về vật liệu composite FGM

Vật liệu composite FGM là một loại composite thế hệ mới được một nhóm các

nhà khoa học ở viện Sendai (Nhật Bản) nghiên cứu và phát triển lần đầu tiên vào năm

1984, có tên quốc tế: Functionally Graded Material (được viết tắt phổ biến là FGM),

còn có tên gọi khác như: vật liệu composite có cơ tính biến thiên, vật liệu cơ tính biến

thiên, vật liệu FGM Vật liệu này ra đời được xuất phát từ yêu cầu thực tế của các

ngành công nghiệp hiện đại về một loại vật liệu tiên tiến có chức năng thông minh và

có thể chống chịu tốt với các điều kiện khắt khe của nhiều loại tải trọng Vật liệu

FGM thường được tạo thành từ hai loại vật liệu thành phần là gốm và kim loại trong

đó tỷ lệ thể tích của mỗi thành phần biến đổi (graded) một cách trơn và liên tục từ

mặt này sang mặt kia theo một chiều kết cấu cho phù hợp với thế mạnh đặc trưng của

các vật liệu thành phần Do có mô đun đàn hồi ( )E cao cùng với hệ số truyền nhiệt

và hệ số dãn nở nhiệt rất thấp nên thành phần gốm làm cho vật liệu FGM có độ cứng

cao và khả năng kháng nhiệt tốt hơn Trong khi thành phần kim loại làm cho vật liệu

FGM trở nên bền hơn, mềm dẻo hơn và hạn chế sự rạn nứt có thể xảy ra do tính giòn

của vật liệu gốm khi chịu nhiệt cao Bảng 1.1 thể hiện tính chất của một số vật liệu

thành phần được sử dụng để chế tạo vật liệu FGM [1, 2, 5]

Bảng 1.1 Tính chất của một số vật liệu thành phần của vật liệu FGM

Vật liệu FGM có đặc tính nổi bật là độ cứng cao và khả năng chịu nhiệt rất tốt

Vì vậy, vật liệu này là sự lựa chọn lý tưởng trong các ứng dụng của các kết cấu làm

việc trong các điều kiện khắc nghiệt như máy bay, tên lửa, các thiết bị luyện kim, dầu khí, cũng như các lò phản ứng nhiệt hạch, lò phản ứng hạt nhân,…

Vật liệu FGM được cấu tạo từ hai loại vật liệu thành phần theo tỉ lệ thể tích

Đó là tỉ lệ thể tích của mỗi pha (vật liệu) thay đổi theo một chiều hoặc hai chiều hoặc

ba chiều x, y, z Do đó các tính chất của vật liệu FGM cũng thay đổi theo các hướng này Trong luận án này, tác giả chỉ xét loại vật liệu biến đổi theo chiều trục z (độ dày tấm), từ mặt hoàn toàn gốm sang mặt hoàn toàn kim loại Có hai cách tiếp cận mô hình vật liệu FGM Cách thứ nhất, sắp xếp từng lớp theo tỉ phần thể tích của gốm hoặc kim loại, khi đó vật liệu FGM được cấu thành từ nhiều lớp rất mỏng và trong mỗi lớp này tỉ phần thể tích của các vật liệu là không thay đổi Cách thứ hai, thay đổi

liên tục tỉ phần thể tích của gốm hoặc kim loại theo bề dày thành kết cấu h theo một hàm lũy thừa của biến theo chiều dày z , cách sắp xếp này rất phổ biến hiện nay [5, 6,

7]

Có 3 loại vật liệu cơ tính biến thiên chủ yếu [2]

Vật liệu P-FGM Là loại vật liệu trong đó tỷ lệ thể tích của các thành phần

kim loại và gốm biến đổi một cách trơn, liên tục từ bề mặt này sang bề mặt kia theo chiều dày của kết cấu Đối với P-FGM, một bề mặt giàu kim loại và một bề mặt giàu gốm

Trong một đơn vị thể tích kết cấu chứa tỉ phần thể tích gốm V c và tỉ phần thể tích kim loại V m, tức là: Vc  Vm 1, trong đó tỉ phần thể tích gốm được giả thiết biến đổi theo chiều dày thành kết cấu h theo một hàm lũy thừa của biến chiều dày thành

kết cấu z (quy luật hàm lũy thừa – Power law) như sau:

tỷ lệ thể tích của thành phần kim loại trong kết cấu tăng

Hàm đặc trưng ( )P z xác định thuộc tính của vật liệu có cơ tính biến thiên

được biểu diễn như sau:

P P là đặc trưng tương ứng của vật liệu thành phần gốm, kim loại

Khi thay (1.1) vào (1.2) ta nhận được biểu thức sau đây của các thuộc tính vật liệu

Cụ thể, biểu thức mô đun đàn hồi E , hệ số dãn nở nhiệt  và hệ số truyền nhiệt Kđược biểu diễn như sau

Vật liệu S-FGM Đối với vật liệu S-FGM, kết cấu được bao bọc bởi các mặt

ngoài giàu gốm và mặt giữa giàu kim loại (hoặc ngược lại, hai mặt ngoài giàu kim loại với mặt giữa là gốm)

Tỷ lệ thể tích của các thành phần kim loại và gốm, Vcvà Vm được giả thiết

biến đổi theo quy luật hàm lũy thừa của biến chiều dày z theo quy luật hàm Sigmoid

(sử dụng quy luật hàm mũ cho 2 miền) như sau:

Các thuộc tính vật liệu P z ( ) của kết cấu S-FGM cũng tuân theo quy tắc hỗn

Vật liệu E-FGM Trong vật liệu loại E-FGM thì mô-đun đàn hồi của loại vật

liệu chức năng này được giả thiết tuân theo quy luật hàm siêu việt (hàm e mũ):

E là mô-đun đàn hồi của kết cấu ở mặt dướiz h/ 2

Trong giới hạn của luận án, tác giả chỉ nghiên cứu về loại vật liệu P-FGM Vật liệu P-FGM là vật liệu khá thông dụng và được chú ý nhiều hơn, do đó nếu không có

gì đặc biệt (tức là không phải S-FGM hay E-FGM) thì sẽ được gọi chung là vật liệu FGM

Tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ

Thành phần kim loại làm cho vật liệu chức năng có tính dẻo dai, hạn chế sự rạn nứt nếu có xảy ra do tính giòn của gốm và trong môi trường nhiệt độ cao Trong khi đó thành phần gốm với mô đun đàn hồi cao và các hệ số dãn nở nhiệt và truyền nhiệt rất thấp làm cho vật liệu chức năng có độ cứng cao và rất trơ với nhiệt Xuất phát từ ứng dụng của các vật liệu có cơ tính biến thiên thường được sử dụng cho các kết cấu làm việc trong những môi trường nhiệt độ rất cao hoặc truyền nhiệt lớn, nơi

mà các tính chất cơ học của các thành phần vật liệu bị thay đổi đáng kể, do đó cần thiết phải xem xét sự phụ thuộc của cơ tính vật liệu vào nhiệt độ để dự đoán chính xác các đáp ứng cơ học

Bảng 1.2 Hệ số nhiệt độ của một số loại vật liệu thành phần của vật liệu FGM

Bảng 1.2 ở trên thể hiện các hệ số trong công thức (1.9) của một số loại vật liệu dùng để chế tạo vật liệu FGM [2, 5]

Hiện nay tình hình nghiên cứu về ứng xử của kết cấu FGM vẫn đang diễn ra sôi động, điều này xuất phát từ nhu cầu sử dụng ngày càng nhiều của loại vật liệu này trong các ngành công nghiệp hiện đại Tuy nhiên, trong quá trình sản xuất hoặc sử dụng loại vật liệu này có thể xuất hiện những khuyết tật không mong muốn như vết nứt, điều đó làm ảnh hưởng đến sự làm việc của kết cấu Do đó, việc nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt trong vật liệu FGM đóng vai trò then chốt trong việc hiểu đặc tính phá huỷ của vật liệu FGM cũng như đảm bảo tính an toàn khi sử dụng loại vật liệu này

1.2 Tổng quan về tình hình nghiên cứu ổn định của kết cấu tấm FGM có nứt

Kết cấu tấm bằng vật liệu FGM đã được phát triển trong một thời gian dài và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực bài toán kỹ thuật do những ưu điểm vượt trội của chúng Tuy nhiên, trong quá trình sử dụng thực tế các ứng xử của chúng ảnh hưởng tới khả năng làm việc vẫn chưa được nghiên cứu một cách toàn diện Do vật liệu FGM thường được sử dụng trong các điều kiện làm việc khắc nghiệt như chịu tải trọng lớn hoặc trong môi trường nhiệt độ cao Do đó, kết cấu có thể xuất hiện các khuyết tật như vết nứt làm thay đổi hình dạng cũng như độ bền của kết cấu

Ngoài ra, khi tấm có vết nứt mà lại chịu tác động của tải trọng thì tốc độ mất

ổn định sẽ nhanh hơn so với tấm không bị nứt Xét đến các vấn đề mất ổn định trong kết cấu tấm, hiện tượng mất ổn định là hiện tượng nghiêm trọng nhất do nó xảy ra ngoài ý muốn khi kết cấu đột ngột đạt quá cường độ ứng suất tới hạn do tác dụng của tải trọng cơ học hoặc nhiệt độ cao, khi đó kết cấu có thể ở trạng thái bị mất ổn định trước khi đạt đến trạng thái ứng suất chảy dẻo, khả năng chịu tải sẽ giảm đi rất nhiều

Đã có nhiều nghiên cứu về sự mất ổn định của kết cấu tấm Trong một nghiên cứu của mình, Yang [8] đã sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất để phân tích ổn định của tấm FGM trên nền đàn hồi Pasternak Trong nghiên cứu của Thai [9], nguyên lý Hamilton được áp dụng để thành lập các phương trình ổn định của tấm được đặt trên nền đàn hồi Pasternak Sau đó, Thai và Kim [10], cũng với bài toán tấm đặt trên nền Pasternak, nhóm tác giả sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc ba để phân tích ổn định

của tấm FGM Trong nghiên cứu của Praveen và Reddy [11], dựa trên nền tảng của

lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất (FSDT), các ứng xử cơ học của bài toán ổn định phi tuyến tĩnh và động lực học của tấm FGM được phân tích bằng phương pháp phần

tử hữu hạn trong điều kiện tấm chịu tải trọng ngang và nhiệt độ thay đổi Tác giả Reddy [12] đã nghiên cứu ổn định của tấm FGM với điều kiện biên liên kết tựa đơn bằng cách sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao Nghiên cứu này đã không phải sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt như lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của Mindlin.Ghomshei và cộng sự [13] đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích ổn định của tấm FGM vành khuyên chiều dày thay đổi dưới tác dụng của tải nhiệt phân

bố bất kỳ Mirzavand và cộng sự [14] đã nghiên cứu ổn định nhiệt của tấm FGM có lớp áp điện Trong nghiên cứu của Nemat-Alla [15], vật liệu FGM cơ tính biến thiên hai chiều đã được phát triển để giảm ứng suất nhiệt tốt hơn Lời giải dạng khép kín (closed-form solution) cho bài toán ổn định nhiệt của tấm FGM đã được đề xuất bởi Shariat và Eslami [16] mà ở đó các tác giả đã sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc

ba để khảo sát một tấm dày Liu và cộng sự [17] đề xuất một phương pháp số mới với

sự kết hợp của phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (the extended finite element method - XFEM) và phương pháp khoảng cách cắt rời rạc (the discrete shear gap method) để phân tích ổn định của tấm FGM có vết nứt với tải trọng được nén theo một phương và hai phương, nghiên cứu đã phát triển phần tử tấm tam giác 3 nút mở rộng để sử dụng trong XFEM

Các bài toán về ảnh hưởng của vết nứt có một vai trò không thể thiếu trong thiết kế, phân tích và ứng dụng kỹ thuật, vì vậy điều rất quan trọng là phải có một công cụ hữu ích để hiểu rõ về vết nứt Nhiều bài toán vết nứt đã được mô hình hóa bằng phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên các kỹ thuật xử lý vết nứt khác nhau Mặc dù các phương pháp tiếp cận theo phương pháp phần tử hữu hạn đã được sử dụng rộng rãi, hầu hết các mô hình sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn đều rất cơ bản với kỹ thuật đóng vết nứt ảo (the virtual crack closure technique) [18], hay phương pháp được chú ý trong mô hình hóa vết nứt, phương pháp phần tử hữu hạn

mở rộng được giới thiệu của Moes [19] cũng đã nhận được nhiều sự quan tâm từ các nhà nghiên cứu Tuy nhiên, các phương pháp này vẫn giải quyết các vấn đề nứt trong

đó các vết nứt được biểu diễn một cách riêng lẻ và không liên tục, và thường yêu cầu một kỹ thuật nghiêm ngặt để theo dõi đường đi của vết nứt, hoặc cần phải áp dụng phương pháp lấy trung bình của mô hình để chia lưới lại, nói cách khác, việc mô tả

sự gián đoạn do các khuyết tật nứt vẫn còn một số hạn chế trong các mô hình này Lý thuyết phase field được đề xuất như một phương pháp thuận lợi để giải quyết các vấn

đề đó, nó có thể mô phỏng để tính toán số và hiệu quả trong cả các bài toán nứt tĩnh

và nứt động do lợi thế của nó trong việc mô hình hóa và phân tích vết nứt trong kết cấu như vị trí, hình dạng và số lượng vết nứt dễ dàng hơn Bằng cách áp dụng phương pháp phase field, Đức và cộng sự [20, 21] đã khám phá sự lan truyền động của các vết nứt trên tấm FGM Phương pháp phase field đã được chứng minh rất hữu dụng trong nhiều nghiên cứu khác, Ulmer và cộng sự [22] đã áp dụng phương pháp phase field cho một kết cấu có vết nứt với liên kết phức tạp ở cả tấm và vỏ Amiri và cộng

sự [23] sử dụng phương pháp phase field để lập mô hình vết nứt cho vỏ mỏng tuyến tính Kuhn [24] đề xuất mô hình phase field liên tục cho các công thức khác nhau của bài toán nứt giòn, hay Areias và cộng sự [25] đã sử dụng phương pháp phase field trong nghiên cứu về tấm và vỏ có biến dạng hữu hạn Trong nghiên cứu của Borden [26], tác giả đã chứng minh rằng phương pháp phase field có thể làm giảm đáng kể

sự phức tạp của công việc thực hiện trong quá trình tính toán Rõ ràng là phương pháp phase field đang được cộng đồng nghiên cứu chú trọng nhiều, đặc biệt là trong lĩnh vực cơ học phá hủy

Gần đây, với ngành khoa học tính toán phát triển nhanh đã sự xuất hiện nhiều công cụ tính toán mạnh, các ứng dụng của kết cấu tấm với hình dạng vật lý phức tạp hơn đang trở thành một xu hướng mới trong lĩnh vực kỹ thuật Tuy nhiên, cái khó của loại kết cấu này là hiện tượng hư hỏng do mất ổn định phức tạp hơn so với các kết cấu tấm phẳng, đặc biệt là do ảnh hưởng của vết nứt Với bài toán tấm với chiều dày thay đổi, hiện tượng mất ổn định của kết cấu tấm sẽ trở nên phức tạp hơn, Wittick và Ellen [27] đã chứng minh ảnh hưởng của sự thay đổi độ dày tấm đến độ ổn định của tấm không liên tục như đối với tấm phẳng Sử dụng phương pháp phương trình tương

tự (The analog equation method - AEM), Nerantzaki & Katsikadelis [28] đã phân tích

ổn định của tấm chữ nhật có độ dày thay đổi theo trục x Theo sự hiểu biết của tác

giả, gần đây rất hiếm có công bố nghiên cứu về ổn định của tấm với độ dày thay đổi

và có vết nứt trong đó các đặc tính vật liệu thay đổi theo chiều dày Như vậy, việc nghiên cứu và tìm hiểu kỹ bài toán ổn định của tấm FGM chiều dày thay đổi có vết nứt là điều cần thiết

Chương 3 của luận án sẽ tập trung vào phân tích ổn định của tấm FGM có vết nứt với chiều dày không đổi hoặc thay đổi bằng cách sử dụng lý thuyết phase field để

mô hình hóa các vết nứt và lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, lý thuyết biến dạng cắt bậc ba để thành lập các phương trình cho tấm Việc phân tích ổn định của tấm FGM với độ dày có thể thay đổi cung cấp thông tin rất hữu ích để dự đoán rủi ro hư hỏng trong các kết cấu kỹ thuật, đồng thời cải thiện và phát triển một mô hình tính toán mới trong các bài toán kết cấu tấm

1.3 Tổng quan về tình hình nghiên cứu dao động của kết cấu tấm FGM có nứt

Hiện nay, việc chế tạo kết cấu FGM có đặc điểm thay đổi liên tục về tính chất vật liệu theo phương xác định đã dễ dàng hơn nhờ các kỹ thuật mới, nên chúng đang cần nghiên cứu bổ sung những mặt còn chưa rõ ràng để ngày càng hoàn thiện cho việc phát triển và ứng dụng loại kết cấu tiên tiến này Trong những thập kỷ qua, việc nghiên cứu dao động của tấm FGM đã được nhiều tác giả đề cập Senthil S Vela [29]

đã sử dụng lời giải chính xác ba chiều (three-dimensional exact solution) để xác định dao động tự do và cưỡng bức của tấm FGM có liên kết tựa đơn Trên cơ sở tính toán tần số dao động tự do, chuyển vị và ứng suất trong tấm, các tác giả đã nêu ra những

ưu nhược điểm của các lý thuyết tấm cổ điển, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT)

và lý thuyết biến dạng cắt bậc ba S-Hoseini-Hashemi và cộng sự [30] đã sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất để tính tần số dao động tự do của tấm FGM trên nền đàn hồi Phân tích dao động tự do của tấm FGM với vật liệu không đồng nhất trong mặt phẳng đã được D Liu [31] nghiên cứu Nhóm tác giả đã đưa ra phương pháp giải phương trình vi phân bậc hai với hệ số là hàm số Nguyen-Minh và cộng sự [32] đã

sử dụng phương pháp khe hở trượt rời rạc làm mịn dựa trên tế bào (the cell-based smoothed discrete shear gap method) dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất để phân tích dao động tĩnh và dao động tự do của tấm Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của tấm, Nguyễn Đình Đức và cộng sự [33] đã phân tích động lực học và

dao động phi tuyến của tấm FGM có gân, có gắn lớp áp điện trong môi trường nhiệt

độ Yan và cộng sự [34] đã sử dụng nguyên lý D'Alembert, phương pháp Galerkin và phương pháp cân bằng điều hòa để khảo sát dao động của tấm FGM xốp Yan và Jean [35] đã nghiên cứu dao động của tấm hình chữ nhật FGM có lỗ rỗng đặt trong môi trường nhiệt độ bằng cách sử dụng lý thuyết tấm phi tuyến Von Kármán (Von Kármán nonlinear plate theory) và phương pháp Galerkin Thang và cộng sự [36] đã sử dụng nguyên lý Hamilton, lý thuyết tấm cổ điển và lời giải Navier để xác định ảnh hưởng tích cực của gân gia cường đối với tần số dao động tự do của tấm FGM Sử dụng phân tích đẳng hình học, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, Loc và cộng sự [37] đã nghiên cứu dao động tự do của tấm nhiều lớp Nguyen và cộng sự [38] đã sử dụng phương pháp đồng nhất và phần tử tấm Mindlin để khảo sát dao động tự do của tấm Jing Zhao [39] đã sử dụng lời giải chính xác ba chiều mới (novel three-dimensional exact solution) để xác định dao động tự do của tấm FGM hình chữ nhật có lỗ rỗng với các điều kiện biên khác nhau Gần đây (năm 2019), Vuong và cộng sự [40] đã giới thiệu

lý thuyết biến dạng cắt bậc cao ba chiều mới (new quasi-3D higher-order shear deformation theory) và phương pháp phân tích đẳng hình học để phân tích đáp ứng dao động tự do của tấm FGM với các mặt cắt phức tạp Adarsh và cộng sự [41] đã trình bày lời giải đàn hồi ba chiều (three-dimensional elasticity solution) để tính toán chuyển vị và ứng suất trong tấm FGM chữ nhật có liên kết tựa ở bốn cạnh Sử dụng phương pháp độ cứng động, Subodh và cộng sự [42] đã xác định tần số dao động tự

do của tấm hình chữ nhật FGM theo quy luật hàm sigmoid và hàm mũ

Khi kết cấu tấm được đặt trên nền đàn hồi khác nhau, dao động của nó có sự thay đổi tương ứng Amini và cộng sự [43] đã sử dụng đa thức Chebyshev và phương pháp Ritz để phân tích dao động tự do của tấm FGM nằm trên nền đàn hồi Sử dụng

lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao mới, Hassen và cộng sự [44] đã nghiên cứu dao động tự do của tấm FGM nằm trên nền đàn hồi Winkler-Pasternak Hosseini-Hashemi

và cộng sự [45] đã nghiên cứu dao động tự do của tấm hình chữ nhật FGM sử dụng

lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất Bằng cách giải các phương trình vi phân chuyển động với các điều kiện biên khác nhau, Hasani [46] đã tìm được tần số dao động của tấm FGM nằm trên nền đàn hồi Parternak hai tham số Vahid và cộng sự [47] dựa

trên lý thuyết đàn hồi chính xác, biến dạng nhỏ và tuyến tính (the linear, small strain and exact elasticity theory) để nghiên cứu dao động tự do của tấm đẳng hướng hình tròn, hình khuyên có độ dày thay đổi và tấm FGM trên nền Pasternak Sử dụng lý thuyết đàn hồi ba chiều (the three-dimensional theory of elasticity) và phương pháp cầu phương vi phân (the differential quadrature method), Yas và cộng sự [48, 49] đã tính được tần số dao động tự do của tấm FGM hình khuyên có lớp áp điện nằm trên nền đàn hồi Sheikholeslami [50] đã sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao để phân tích dao động tự do của tấm FGM chữ nhật nằm trên nền đàn hồi hai tham số

Sử dụng tấm FGM theo định luật hàm mũ (E), lũy thừa (P) và sigmoid (S), Hong [51] phân tích dao động tự do của tấm nằm trên nền đàn hồi bằng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Woo-Young và cộng sự [52] đã phân tích dao động cưỡng bức của tấm S-FGM trên nền đàn hồi sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao cải tiến Rabia và cộng sự [53] cũng sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao để nghiên cứu dao động tự do của tấm FGM nằm trên nền đàn hồi có xét đến ảnh hưởng của sự thay đổi vị trí mặt trung hoà

Won-Do thành phần gốm trong vật liệu FGM chịu được nhiệt độ cao nên vật liệu này còn được dùng làm tường cách nhiệt rất hiệu quả Có nhiều tài liệu nói về dao động tự do của tấm FGM trong môi trường nhiệt Huang và cộng sự [54] đã sử dụng

lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao và phương trình tổng quát kiểu Von-Kármán (general von Kármán-type equation) để phân tích đáp ứng động học và dao động phi tuyến của tấm FGM với liên kết tựa đơn ở các cạnh Li và cộng sự [55] đã phân tích dao động tự do của tấm FGM chữ nhật với các cạnh được liên kết tựa và liên kết ngàm bằng cách sử dụng lý thuyết đàn hồi tuyến tính ba chiều và phương pháp Ritz Fiorenzo [56] đã sử dụng lý thuyết tấm một lớp tương đương bậc cao và phương pháp Mori-Tanaka để nghiên cứu dao động tự do của tấm P-FGM và S-FGM đặt trong môi trường nhiệt với các thuộc tính của vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ Kiani [57] đã nghiên cứu dao động tự do của tấm nhiều lớp được gia cường bằng graphene trong môi trường nhiệt bằng cách sử dụng công thức NURBS và phương pháp Halpin-Tsai cải tiến Vinyas và cộng sự [58] đã nghiên cứu dao động tự do của tấm FGM đàn hồi từ-điện-nhiệt bằng phương pháp phần tử hữu hạn Gupta A và Talha M [59] đã tính

tần số dao động tự do của tấm FGM xốp dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và

lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, Vinyas và cộng sự [60] đã phân tích các đặc điểm dao động tự do của tấm chữ nhật đàn hồi từ-điện trong môi trường nhiệt - ẩm Năm 2019, Lal và cộng sự [61] đã sử dụng phương pháp vi phân trực hướng tổng quát cho sự phân bố nhiệt độ phi tuyến theo chiều dày

để nghiên cứu dao động của tấm tròn FGM có chiều dày thay đổi trong môi trường nhiệt độ Lý thuyết biến dạng cắt bậc ba và phương pháp cầu phương vi phân tổng quát (the generalized differential quadrature method) được sử dụng bởi Hong [62] để nghiên cứu dao động trong môi trường nhiệt độ của tấm FGM dày Kim và cộng sự [63] đã nghiên cứu đáp ứng động phi tuyến và dao động của tấm FGM có gân gia cường tựa trên nền đàn hồi, trong môi trường nhiệt độ bằng lý thuyết tấm cổ điển và phương pháp Galerkin

Chúng ta thấy rằng các vết nứt là sự khởi đầu của quá trình phá hủy kết cấu

Để đảm bảo kết cấu an toàn và khai thác hiệu quả, cần phân tích ảnh hưởng của vết nứt đến dao động và ổn định của kết cấu Vật liệu FGM được sử dụng trong nhiều công trình đòi hỏi tính năng kỹ thuật khắt khe do có nhiều đặc tính ưu việt, nhưng cũng giống như các vật liệu khác, trong quá trình sử dụng hoặc sản xuất có thể xuất hiện các vết nứt Việc nghiên cứu về các vết nứt được giới khoa học rất quan tâm, đặc biệt là về ổn định và dao động của tấm FGM bị nứt S.Natarajan [64] đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng với phần tử tấm tứ giác 4 nút có 20 bậc tự do

để nghiên cứu tần số dao động tự do của tấm FGM bị nứt C.S.Huang [65, 67, 73] sử dụng lý thuyết đàn hồi ba chiều và phương pháp Ritz mới để phân tích dao động và

ổn định của tấm FGM có vết nứt Ahmad và cộng sự [66] nghiên cứu dao động tự do của tấm FGM bị nứt trong môi trường nhiệt độ với các điều kiện biên khác nhau Ở đây, nhóm tác giả đã sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất để khảo sát ảnh hưởng của kích thước tấm, hình dạng vết nứt, chiều dài vết nứt, sự thay đổi nhiệt độ đến dao động của tấm Loc và cộng sự [68] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và phương pháp đẳng hình học mở rộng (the eXtended IsoGeometric Approach - XIGA) để tính toán dao động tự do của tấm FGM bị nứt Các tác giả sử dụng mô hình tấm với các điều kiện biên các cạnh tựa đơn và ngàm để khảo sát ảnh hưởng của chỉ số hàm mũ,

chiều dài vết nứt, vị trí vết nứt đến tần số dao động tự do của tấm Joshi và cộng sự [69] xác định dao động của tấm hình chữ nhật FGM trực hướng mỏng có chứa một vết nứt ở tâm bằng phương pháp của Galerkin và phương pháp nhiễu loạn thang đo (multiple Scales perturbation method) Sử dụng lý thuyết tấm cổ điển của Kirchhoff

và phương pháp của Galerkin, Ankur và cộng sự [70, 71] đã nghiên cứu ảnh hưởng của góc lệch và vị trí vết nứt đến đặc điểm dao động của tấm FGM có vết nứt Shashank và cộng sự [72] đã phân tích ảnh hưởng của môi trường chất lỏng với nhiệt

độ thay đổi lên đáp ứng dao động của tấm FGM có vết nứt

Trong lý thuyết Phase field, một vết nứt được mô phỏng bởi một biến phase field, biến này tạo ra sự chuyển đổi liên tục từ trạng thái nứt sang trạng thái không nứt của vật liệu Nguồn gốc của phương pháp này được đề cập bởi Francfort và cộng

sự [74] với sự hợp nhất biến thiên cho các mô hình vết nứt kiểu Griffith Ulmer [75]

đã sử dụng lý thuyết Phase field để mô hình hóa các vết nứt trên tấm và vỏ Năm

2012, Borden [76] đã mô phỏng các vết nứt động bởi biến phase field Pranesh và cộng sự [77] đã cải tiến lại lý thuyết phase field để mô phỏng sự lan truyền vết nứt động (bao gồm cả sự phân nhánh) Đức và cộng sự [21] đã mô phỏng sự phát triển của các vết nứt bằng lý thuyết Phase field Rodriguez và cộng sự [78] đã sử dụng mô phỏng phase field để nghiên cứu mô hình của vết nứt giòn và dễ uốn

Trong chương 4, tác giả sẽ khảo sát ảnh hưởng của vết nứt tới dao động của tấm FGM với chiều dày không đổi hoặc thay đổi, đặt trên nền đàn hồi, trong môi trường nhiệt độ

1.4 Định hướng nghiên cứu

Vật liệu có cơ tính biến thiên FGM (Functionally Graded Material) đã được phát triển từ năm 1984 Có thể nói rằng sự xuất hiện của loại Composite thế hệ mới này, đã đặt ra cho các nhà cơ học những bài toán mới cần giải quyết

Dựa trên các nghiên cứu về tấm FGM trong những năm vừa qua, có thể thấy những kết quả mà các nhà khoa học trong và ngoài nước đạt được bao gồm:

1- Đã khảo sát tương đối toàn diện các vấn đề về ổn định tĩnh tuyến tính và phi tuyến các kết cấu tấm FGM chịu tải trọng cơ, nhiệt, cơ-nhiệt kết hợp hoặc trên

nền đàn hồi bằng các phương pháp giải khác nhau, dựa trên các lý thuyết tấm khác nhau

2- Đã tiến hành phân tích dao động tuyến tính và phi tuyến của các kết cấu tấm FGM chịu tác điều kiện tải trọng khác nhau, theo các phương pháp khác nhau

Các lý thuyết về dầm, tấm và vỏ đã được mở rộng và phát triển khá hoàn chỉnh

để nghiên cứu các kết cấu này làm từ vật liệu FGM

Có thể thấy rằng, các nghiên cứu đã được công bố chủ yếu nghiên cứu các kết cấu lý tưởng mà chưa kể đến các khuyết tật có thể xuất hiện trong kết cấu như vết nứt hay sự suy giảm độ cứng cục bộ khác Do đó, việc nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt trong vật liệu FGM đóng vai trò then chốt trong việc hiểu đặc tính phá huỷ của vật liệu FGM cũng như đảm bảo tính an toàn khi đưa vật liệu FGM vào thực tế sản xuất

Tuy đã có một vài nghiên cứu ban đầu về phát triển của vết nứt trong tấm sử dụng lý thuyết Phase field, nhưng chưa có công bố nào sử dụng lý thuyết này để nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt tới ổn định và dao động tự do của tấm, đặc biệt là tấm được làm từ vật liệu FGM Đây là đề tài nghiên cứu có ý nghĩa thực tế lớn và sẽ được thực hiện qua các bước sau:

(i) Phát triển và kiểm nghiệm tính chính xác (so sánh với thực nghiệm) của lý thuyết Phase-Field trong cơ học phá hủy trong lý thuyết tấm Mindlin và các lý thuyết tấm bậc cao

(ii) Dựa trên cơ sở lý thuyết đã được kiểm nghiệm để tiếp tục đi sâu vào ứng dụng lý thuyết Phase-Field nghiên cứu ổn định, dao động tự do của tấm FGM bị nứt

(iii) Trên cơ sở nghiên cứu ở (ii), tiếp tục phát triển lý thuyết Phase-Field cho nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến ổn định, dao động của tấm FGM trên nền đàn hồi và trong môi trường nhiệt độ

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH DỰA TRÊN LÝ THUYẾT TẤM, LÝ THUYẾT PHASE FIELD VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

2.1 Đặt vấn đề

Trong thực tế kỹ thuật ta thường gặp các kết cấu dạng tấm, ví dụ như các tấm vách ngăn hay các tấm mặt đường ô tô, sân bay, mặt cầu, Dưới tác dụng của tải trọng khi khai thác hoặc trong quá trình chế tạo, sản xuất các vết nứt đã xuất hiện với mức độ khác nhau, điều này dẫn đến giảm khả năng chịu tải và tuổi thọ của chúng

Do vậy, vết nứt trong tấm trở thành một trong những đối tượng cần được xem xét với mục đích khuyến cáo kỹ thuật, đảm bảo duy trì sự làm việc của kết cấu và xa hơn nữa

là đề xuất các giải pháp gia cường, khắc phục để nâng cao hiệu quả làm việc cho kết cấu

Trong chương này, tác giả xét tấm có các cạnh L, H với chiều dày h không đổi

hoặc thay đổi theo trục x Vết nứt ở chính giữa tấm và xuyên thủng hết chiều dày tấm với chiều dài và góc nghiêng có thể thay đổi Áp dụng các lý thuyết tấm (bậc ba hoặc bậc nhất), lý thuyết phase field để thành lập các phương trình động lực học của tấm FGM có vết nứt, làm cơ sở cho việc xây dựng thuật toán phần tử hữu hạn Trong đó,

lý thuyết biến dạng cắt bậc ba của Shi [86] với các phương trình biến dạng và chuyển

vị được xây dựng từ lý thuyết đàn hồi, có tính đến biến thiên bậc hai của biến dạng trượt Do đó nó đã tự động giải quyết được tình trạng nghẽn cắt mà lý thuyết bậc nhất Mindlin gặp phải

2.2 Các phương trình cơ bản

Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc ba của Shi [86], chuyển vị của một điểm bất

kỳ với toạ độ (x, y, z) thuộc tấm được xác định theo công thức (2.1):

trong đó, u v w0, ,0 0 là các chuyển vị trong mặt trung hoà của tấm tương ứng theo các phương x, y, z;  x, y là các góc xoay của mặt cắt ngang quanh trục y, x; và h là

chiều dày tấm

Chúng ta có thể nhận thấy, công thức (2.1) sẽ trở thành công thức lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của Mindlin nếu bỏ qua thành phần bậc 3 của biến chiều dày,

bỏ qua thành phần đạo hàm của w0 theo các biến x, y và bỏ qua hệ số 5/4 [4, 86]

Khi chiều dày của tấm thay đổi theo trục x tức lúc này hh x( ),ta có trường biến dạng của tấm tại điểm bất kỳ theo công thức (2.2):

y x

Th  Thx Thy Thxy   z T T  z T T là véc tơ biến dạng

do nhiệt độ với ( , ), z T T- tương ứng là hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu và biến thiên nhiệt độ so với nhiệt độ chuẩn ( T T z( )T T0; 0 300K)

2 2

y x

2 2

x

x y

y x

y

x

w y w x

Mô men bậc cao:

 

(0) (0) (0) (1) (0) (3) (1) (0) (1) (1) (1) (3)

trong đó, d là véc tơ chuyển vị

Khi tính theo lý thuyết tấm bậc nhất Mindlin thì bỏ các ma trận E, F, H, B ,

D trong công thức (2.10) do không có thành phần biến dạng bậc cao

Cụ thể:

 

(0) (0) (0) (1) (1) (0) (1) (1) (0) (0)

1 2

2.3 Sử dụng lý thuyết Phase-Field trong bài toán tấm có vết nứt

Lý thuyết Phase-Field được phát triển và ứng dụng rộng rãi trong giải các bài toán dòng chảy nhiều pha phức tạp Gần đây, lý thuyết Phase-Field được phát triển mạnh và bắt đầu được áp dụng trong lĩnh vực Cơ học phá hủy Trong lý thuyết Phase-

Field, biến s nhận các giá trị liên tục từ 0 đến 1 (hình 2.1a) Trong đó, giá trị 0 của

biến Phase-Field chỉ trạng thái vật liệu bị phá huỷ; giá trị 1 chỉ trạng thái vật liệu bình thường Khi biến nhận giá trị giữa 0 và 1 ta nói vật liệu khu vực đó đang trong trạng thái mềm hoá (softening) Trạng thái này được hiểu như quá trình hình thành các micro-crack trong vật liệu và làm giảm độ cứng của vật liệu Do đó, trong lý thuyết Phase-Field, vết nứt được biểu diễn bởi một vùng hẹp có biến đổi trạng thái liên tục

từ “phá huỷ - mềm hoá - bình thường” thông qua sự biến đổi liên tục của biến Field từ 0 đến 1 Chính nhờ sự thể hiện này, trong vật liệu không xuất hiện vùng bất liên tục, cho phép ta tính đạo hàm, tích phân một cách dễ dàng trong toàn miền giải tích

Phase-Hình 2.1a Tấm có vết nứt được mô phỏng bởi biến phase-field s

Hình 2.1a thể hiện trạng thái của vật liệu trước và sau khi sử dụng mô phỏng

thong qua biến phase-field (s) Năng lượng vùng nứt được tính gần đúng theo công

thức [26]:

 2

2

1 4

với G C là tốc độ giải phóng năng lượng tới hạn trong lý thuyết của Griffith (N/m 2);

là bề rộng vùng vết nứt và s là biến phase-field; h là chiều dày tấm

Hình 2.1b mô tả trạng thái của vật liệu trong tấm thông qua biến phase-Field

(s) sử dụng ngôn ngữ lập trình mã nguồn mở FreeFem++-cs, trong vùng vết nứt s

biến đổi từ màu đỏ (nứt) đến màu xanh dương (không nứt)

Hình 2.1b Mô phỏng biến phase-field trong tấm có vết nứt sử dụng FreeFem Khi tấm bị nứt, tổng năng lượng biến dạng của tấm trong môi trường nhiệt độ

do các lực thông thường, mô men uốn, mô men bậc cao và lực cắt có thể được viết như sau:

 

(0) (0) (0) (1) (0) (3) (1) (0) (1) (1) (1) (3) 2

(0) (0) (0) (2) (2) T (0) (2) T (2)

1 2

1 4

1 4

 d i u0i,v0i,w0i, yi, xiT , i 1 6 (2.14)

trong đó: u0i, v0i, w0i tương ứng là chuyển vị theo các phương x, y, z của nút thứ i;

,

yi xi

  tương ứng là các góc xoay quanh trục x, y tại nút thứ i

Véc tơ chuyển vị nút của phần tử:

Biến dạng được biểu diễn theo chuyển vị nút như công thức (2.20)

y h

(0) (0) (0) (2) (2) T (0) (2) T (2)

2

12

12,

1

14

Xét cho phần tử tấm với diện tích phần tử e thì:

12

1

14

T T

T T