Ảnh hưởng của phonons giam cầm lên hiệu Ứng nernts trong siêu mạng họp phần hai chiều

Ảnh hưởng của phonons giam cầm lên hiệu ứng Nernts trong siêu mạng họp phần hai chiều Ảnh hưởng của phonons giam cầm lên hiệu ứng Nernts trong siêu mạng họp phần hai chiều

TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ HIỆU ỨNG NERNTS TRONG BÁN DẪN KHỐI

Hàm sóng, phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần,

phonon giam cầm trong siêu mạng hợp phần

Trong công trình này, chúng tôi tập trung khảo sát cấu trúc siêu mạng hợp phần GaAs/AlGaAs dưới tác dụng của điện trường ⃗⃗⃗⃗ ), từ trường

⃗ =(0,0,B) và sóng điện từ mạnh ⃗

Trong cấu trúc này, lớp bán dẫn loại I có độ dày dI được thiết lập xen kẽ các lớp bán dẫn loại II có chiều dày dII và có chu kỳ siêu mạng được xác định bởi d = d I + d II a Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong từ trường trong siêu mạng hợp phần được xác định bởi [9]

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ , (1.2) với là tần số ( N=0,1,2,… là chỉ số mức phân vùng từ Landau);

( ) với √ là bán kính cyclotron ;

Tương tác điện tử – Phonon âm giam cầm:

Trong tương tác điện tử giam cầm – phonon âm giam cầm ta có:

 Hằng số tương tác điện tử – phonon được cho bởi [8]:

 Tần số của phonon âm giam cầm là [8]:

) c.Tương tác điện tử – Phonon quang

Trong tương tác điện tử giam cầm – phonon quang giam cầm ta có hằng số tương tác điện tử – phonon được cho bởi [7]:

Tần số của phonon quang bị giam cầm là [7]:

2 Hiệu ứng Nernst trong bán dẫn khối:

2.1 Hệ số Nernst trong bán dẫn khối:

Biểu thức của hệ số Nernst trong bán dẫn khối được xác định bởi công thức:

, trong đó: là ten xơ độ dẫn trong bán dẫn khối là ten xơ động trong bán dẫn khối

2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối:

Ta thấy hàm Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong bán dẫn khối dưới tác động của điện trường, từ trường không đổi ⃗ , ⃗⃗ và một sóng điện từ mạnh (bức xạ laser) ⃗⃗⃗⃗ ( ) có dạng [1]:

⃗ ) ∑ ⃗ ⃗⃗ ⃗ , trong đó: , ( ⃗ , ⃗ ) là các toán tử sinh, hủy điện tử (phonon); ɛ( ) = là phổ năng lượng của điện tử không giam cầm trong bán dẫn khối;

⃗ là hằng số tương tác điện tử phonon;

(t) là thế vector và liên hệ với sóng điện từ bởi công thức:

Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử (t) = 〈 〉 có dạng :

= 〈[ ] 〉 (1.3) Đặt Hamiltonian H vào phương trình (1.3) và áp dụng các hệ thức cho toán tử sinh hủy điện tử, phonon vào phương trình (1.3) ta có:

= i∑ ⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ (t) + ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ – ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ (t) – ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( t) trong đó : ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ Từ phương trình:

= 〈[ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ] 〉 , (1.4) đặt Hamiltonian H vào phương trình(1.4) và lại áp dụng các hệ thức cho toán tử sinh hủy điện tử phonon cho ta phương trình:

〈 ⃗⃗⃗⃗ 〉 ) 〈 ⃗ ⃗ 〉 – 〈 ⃗⃗⃗⃗ 〉 (1– 〈 ⃗⃗⃗⃗ 〉 ) 〈 ⃗ ⃗ 〉 (1.5) Ta thấy phương trình (1.5) có dạng phương trình vi phân không thuần nhất:

= + Giải phương trình (1.5) ta có:

⃗ } Áp dụng công thức: exp } = ∑ exp vào phương trình (1.6) ta có:

.exp } (1.7) Tương tự ta cũng có:

Giải phương trình (1.7) và (1.8) ta thu được biểu thức của: ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ (t) ;

⃗ ⃗ ; ⃗ ⃗ ; ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ sau đó thay vào phương trình (1.4) ta có:

Phương trình (1.9) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt trường điện, từ trường không đổi và trường bức xạ cao tần laser Sử dụng phương pháp gần đúng lặp ta thay ̅ ⃗ ̅̅̅̅ ⃗ (số hạt trung bình của điện tử, số hạt trung bình của phonon) với l= s và thực hiện phép tính tích phân :

Phương trình (1.10) là phương trình cho hàm phân bố điện tử trong bán dẫn khối khi tương tác điện tử phonon là yếu ( giữ lại bậc hai | |

Xét trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm ⃗ ⃗ ⃗ ̅ ta sẽ có được phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong bán dẫn khối với trường hợp tán xạ điện tử- phonon âm:

Trong đó: là tần số cyclotron;

⃗ = ⃗⃗ là vector đơn vị dọc theo chiều từ trường ;

Và ta đặt: w( ⃗ ⌈ ⃗ ⌉ ( ⃗ ⃗ ), trong đó ⌈ ⃗ ⌉ phụ thuộc vào cơ chế tán xạ điện tử phonon âm

Trong phép xấp xỉ tuyến tính cường độ trường SĐT ngoài ta chỉ lấy l= 0, ( hấp thụ 1 photon), ta có:

Giải phương trình (1.11) bằng cách nhân hai vế với rồi ta lấy tổng theo ta thu được:

⃗ [ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ (1.12) trong đó: là thời gian phục hồi xung lượng của điện tử

⃗ ⃗ ⃗ } ⃗ ⃗ ⃗ } (1.15) Áp dụng hệ quả: và ( ⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗ ) ⃗ cho phương trình (1.13) ta có:

= ⃗ ∑ (1.16) Thế phương trình (1.14), (1.15) vào phương trình (1.12) và sau một số tính toán ta thu được:

3 Mật độ dòng toàn phần và các ten xơ dẫn điện trong bán dẫn khối

Mật độ dòng toàn phần được tính bởi biểu thức:

Hàm phân bố không cân bằng của điện tử có dạng:

( ) ( ) ( ) trong đó ( ) là hàm phân bố cân bằng của điện tử

Sau một số tính toán ta có : = + Và suy ra biểu thức của ten xơ dẫn điện và ten xơ động trong bán dẫn khối:

( ) ( ) Đặt các ten xơ độ dẫn và ten xơ động vào công thức hệ số Nernts ta thu được biểu thức hệ số Nernts trong bán dẫn khối.

Mật độ dòng toàn phần và các ten xơ dẫn điện trong bán dẫn khối Mật độ dòng toàn phần được tính bởi biểu thức

Mật độ dòng toàn phần được tính bởi biểu thức:

Hàm phân bố không cân bằng của điện tử có dạng:

( ) ( ) ( ) trong đó ( ) là hàm phân bố cân bằng của điện tử

Sau một số tính toán ta có : = + Và suy ra biểu thức của ten xơ dẫn điện và ten xơ động trong bán dẫn khối:

( ) ( ) Đặt các ten xơ độ dẫn và ten xơ động vào công thức hệ số Nernts ta thu được biểu thức hệ số Nernts trong bán dẫn khối.

XÂY DỰNG BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA HỆ SỐ

Phương trình động lượng tử

Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon giam cầm trong siêu mạng hợp phần Khi có mặt điện trường không đổi, từ trường không đổi và sóng điện từ ( bức xạ lazer) trong biểu diễn lượng tử hóa thứ hai có thể được viết bởi:

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )là năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần là thế vectơ của trường bức xạ laser và được xác định bởi:

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ⃗ và ⃗ ) là toán tử sinh và hủy của điện tử giam cầm (phonon giam cầm);

[ ⃗ ]) là thế vô hướng ; là vectơ đơn vị theo hướng của từ trường;

⃗⃗⃗⃗⃗ là hằng số tương tác điện tử giam cầm – phonon giam cầm ( m là chỉ số giam cầm của phonon trong siêu mạng hợp phần);

] với } } Từ Hamiltonian của điện tử giam cầm – phononiam giam cầm, ta thiết lập phương trình động học cho hàm phân bố điện tử:

〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 〉 Sau đó áp dụng phương pháp biến đổi toán tử, ta thu được:

( ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ )} (2.3) Ở đây ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ là hàm phân bố không cân bằng của electron và là hàm phân bố của phonon, , là hàm Bessel , δ (x) là hàm Delta-Dirac Biểu thức của mật độ dòng được tìm thấy bằng cách giải phương trình (2.3):

(( ⃗ ⃗ ) ( ⃗ )) Tổng mật độ dòng được đưa ra bởi:

∫ 2.7) Ở đây , là ten xơ dẫn điện và ten xơ động

1.1 Tương tác điện tử – Phonon âm: Ở nhiệt độ thấp, khí điện tử suy biến hoàn toàn thì hàm phân bố cân bằng:

( ( ⃗ ) ) δ( ( ⃗ )) Chuyển tổng thành tích phân:

Tương tác điện tử giam cầm – phonon giam cầm:

Hằng số tương tác điện tử giam cầm– phonon giam cầm được cho bởi [8]:

) Tần số của phonon âm giam cầm cho bởi [8]:

Sau một số tính toán trên thu được tenxơ dẫn điện và ten xơ động:

1.2.Tương tác điện tử – Phonon quang:

= - [ ( ⃗ )] Trong đó : Trong gần đúng tuyến tính theo :

Suy ra : ( ⃗ ) - ( ⃗ ) = - e Theo chương 1 ta có: Trong tương tác điện tử – phonon quang giam cầm, hằng số tương tác điện tử – phonon được cho bởi [7]:

Tần số của phonon quang giam cầm là [7]:

⃗⃗ = - [ ⃗ ] với β Trong gần đúng tuyến tính theo E 1 :

( ) ⃗ δ( ( ⃗ )) Ta lại chuyển tổng thành tích phân:

Sau một số tính toán chúng tôi thu được ten xơ dẫn điện:

Biểu thức giải tích hệ số Nernts

2.1 Trường hợp tán xạ điện tử giam cầm – phonon âm giam cầm trong siêu mạng hợp phần Đặt biểu thức của ten xơ độ dẫn và ten xơ động (2.8) – (2.11) vào công thức của hệ số Nernst ta thu được:

2.2 Trường hợp tán xạ điện tử giam cầm – phonon quang giam cầm trong siêu mạng hợp phần Đặt biểu thức của ten xơ độ dẫn và ten xơ động (2.12) – (2.15) vào công thức của hệ số Nernst ta thu được:

Thông qua sự phụ thuộc của các ten xơ độ dẫn và ten xơ động vào các đại lượng vật lý, ta thấy hệ số Nernst (2.16) và (2.17) phụ thuộc vào từ trường không đổi ( tần số cyclotron), điện trường không đổi, tần số và cường độ SĐT nhiệt độ của hệ, các tham số đặc trưng cho siêu mạng hợp phần và đặc biệt vào chỉ số giam cầm của điện từ và phonon Sự phụ thuộc này là phi tuyến, phức tạp sẽ được khảo sát tường minh thông qua tính số, vẽ đồ thị cho siêu mạng hợp phần GaAs/

TÍNH SỐ, VẼ ĐỒ THỊ HỆ SỐ NERNST CHO SIÊU MẠNG HỢP PHẦN GaAs/GaAsAl

Trường hợp tán xạ điện tử giam cầm – phonon âm giam cầm

1.1 Sự phụ thuộc của hệ số Nernts vào nghịch đảo từ trường

Sự xuất hiện của các dao động Shubnikov de-Haas điển hình có chu kỳ tỷ lệ thuận với 1/B được quan sát trong Hình 1 Hình 1 cung cấp thông tin về tác động của nghịch đảo từ trường lên hệ số Nernts đối với phonon âm giam cầm (đường màu đỏ) và phonon khối (đường đứt nét màu xanh) với d = 15 nm và T 5 K Rõ ràng hệ số Nernts là một hàm của nghịch đảo từ trường Từ Hình 1(a), có thể thấy rằng ở điều kiện nhiệt độ thấp T=5K, độ lớn dao động của hệ số

Nernts tăng khi từ trường tăng Ngoài ra, đỉnh dao động của hệ số Nernts trở nên rõ ràng hơn khi từ trường lớn (B > 2 T), tương ứng với thấp hơn 0,55

Ngoài ra, ở thực nghiệm nghiên cứu sự phụ thuộc của hệ số Nernts vào nghịch đảo từ trường trong vật liệu Bismuth với giam cầm điện tử [13], Tác giả Kamran Behnia và cộng sự cũng quan sát thấy sự dao động của hệ số Nernts này cũng trở nên mạnh hơn khi nhỏ hơn 0,6 [13] Một kết quả thực nghiệm tương tự đã được tìm thấy khi xem xét hệ số Nernts phụ thuộc vào nghịch đảo từ trường trong graphene [14] Tuy nhiên, khi từ trường nhỏ (B < 2 T), tương ứng >

0,55 , các dao động của hệ số Nernts bị khử đi ( nhỏ đi) như kết quả thu được ở Bismuth [13] và Graphene [14] Trong nghiên cứu này kết quả lý thuyết phù hợp với thực nghiệm trước đó trong hệ hai chiều [13, 14] trong sự phụ thuộc của hệ số Nernts vào

Hình 1(a)Hệ số Nernts phụ thuộc vào nghịch đảo từ trường có và không có phonon âm giam cầm với d nm

Hình 1(b) Hệ số Nernts phụ thuộc vào nghich đảo từ trường với các giá trị độ dày d khác nhau trong trường hợp phonon âm giam cầm Điều này có thể giải thích là do sự khác nhau về cấu trúc vật liệu, ảnh hưởng của sóng điện từ và ảnh hưởng của phonon giam cầm Ngoài ra, phonon giam cầm cũng đóng vai trò vai trò quan trọng trong việc thay đổi biên độ của hệ số Nernts, nó không những làm cho độ lớn của hệ số Nernts cao hơn mà còn rõ ràng hơn so với trường hợp phonon khối Tầm quan trọng của kích thước trong siêu mạng bán dẫn hợp phần có thể được biểu diễn trong Hình 1(b) Nó có thể được nhìn thấy rằng kích thước siêu mạng hợp phần nhỏ và dưới tác động của phonon âm giam cầm, nó tạo ra cường độ của hệ số Nernts cao hơn, lớn hơn so với trường hợp phonon khối

1.2 Sự phụ thuộc của hệ số Nernts vào tần số sóng điện từ

Hình 2 Sự phụ thuộc của hệ số Nernts vào tần số sóng điện từ đối với phonon âm giam cầm (đường màu đỏ) và phonon khối (đường nét đứt màu xanh) với

Hình 2 cho thấy tác động của tần số sóng điện từ đến hệ số Nernts đối với phonon âm giam cầm (đường màu đỏ) và phonon khối (đường màu xanh nét đứt) với T=5 K và B=3 T Ta có thể thấy rằng đỉnh cộng hưởng đã xuất hiện và đồ thị cho thấy có một đỉnh cộng hưởng trong hai trường hợp phonon có và không có phonon âm giam cầm Trong trường hợp phonon âm giam cầm, sự cộng hưởng cực đại tại Ω 4,5 Hz, trường hợp phonon khối tại Ω 3,7 Hz Bởi vì ảnh hưởng của phonon âm giam cầm, vị trí của cực đại cộng hưởng của hệ số

Nernts không chỉ dịch chuyển sang tần số cao hơn mà còn làm giảm biên độ cộng hưởng của hệ số Nernts ( thấp hơn)

1.3 Sự phụ thuộc của hệ số Nernts vào nhiệt độ Ảnh hưởng của nhiệt độ đến hệ số Nernts trong hai trường hợp: có và không có phonon âm giam cầm được so sánh ở hình 3 Có thể thấy khi nhiệt độ nhỏ hơn 20 K, hệ số Nernts giảm đáng kể (nhanh) và có xu hướng tiến tới giá trị không đổi khi nhiệt độ cao hơn Ngoài ra, phonon âm giam cầm làm cho cường độ của hệ số Nernts cao hơn ( lớn hơn)

Hình 3 Sự phụ thuộc của hệ số Nernts vào nhiệt độ đối với phonon âm giam cầm (đường màu đỏ) và phonon khối (đường màu xanh nét đứt) với B=3 T.

Trường hợp tán xạ điện tử giam cầm – phonon quang giam cầm

Để khảo sát ảnh hưởng của cơ chế tán xạ lên hệ số Nernts, trong phần này thực hiện tính số sự phụ thuộc hệ số Nernts vào nhiệt độ cho cơ chế tán xạ điện tử giam cầm – phonon quang giam cầm và so sánh với hình 3 Hình 4 biểu thị sự phụ thuộc hệ số Nernts vào nhiệt độ trong tán xạ điện tử giam cầm- phonon quang trong hai trường hợp: Phonon quang giam cầm ( đường màu xanh) và phonon khối ( đường màu đỏ) Từ đồ thị hình 4, ta thu được kết quả dáng diệu tương tự ( định tính) nhưng khác nhau về định lượng đối với trường hợp tán xạ điện tử – phonon âm giam cầm Ta thấy hệ số Nernts giảm đáng kể khi nhiệt độ tăng So sánh đồ thị 3 với đồ thị 4 ta thấy cơ chế tán xạ cũng ảnh hưởng lên hệ số Nernts

Hình 4 Sự phụ thuộc của hệ số Nernts vào nhiệt độ đối với phonnon giam cầm (đường màu xanh)và phonon khối ( đường màu đỏ)

Trong luận văn này, tập trung vào việc nghiên cứu hiệu ứng Nernts trong siêu mạng hợp phần bằng cách sử dụng phương trình động học lượng tử và tính toán số cho siêu mạng hợp phần GaAs/ As

1 Thu được biểu thức giải tích của ten xơ độ dẫn, ten xơ động và hệ số

Nernts Hệ số Nernts là hàm giải tích phụ thược phi tuyến và phức tạp vào từ trường không đổi, điện trường không đổi, tần số và cường độ sóng điện từ, nhiệt độ của hệ, các tham số đặc trưng cho siêu mạng hợp phần và đặc biệt vào chỉ số giam cầm của phonon

2 Thực hiện tính số và vẽ đồ thị kết quả lí thuyết hệ số Nernts cho siêu mạng hợp phần GaAs/ As a Trường hợp tán xạ điện tử giam cầm – phonon âm giam cầm:

+ Các kết quả chỉ ra rằng dao động Shubnikov-deHass đã xuất hiện trong tán xạ điện tử giam cầm – phonon âm giam cầm trong sự phụ thuộc của hệ số

 Ở điều kiện nhiệt độ thấp T=5K, độ lớn dao động Shubnikov- deHass của hệ số Nernts tăng khi từ trường tăng

 Đỉnh dao động Shubnikov-deHass của hệ số Nernts trở nên rõ ràng hơn khi từ trường lớn (B > 2 T), tương ứng với thấp hơn 0,55

 Khi từ trường nhỏ (B < 2 T), tương ứng > 0,55 , các dao động Shubnikov-deHass của hệ số Nernts bị khử đi ( nhỏ đi) như kết quả thu được ở Bismuth [13] và Graphene [14]

Kết quả lý thuyết phù hợp với số liệu thực nghiệm trước đó trong hệ hai chiều [13, 14] Bismuth và Graphen

+ Trong sự phụ thuộc hệ số Nernts vào tần số sóng điện từ, khi T = 5K và B = 3T thì đã xuất hiện đỉnh cộng hưởng trong cả hai trường hợp có và không có phonon âm giam cầm

 Trong trường hợp phonon âm giam cầm, sự cộng hưởng cực đại tại Ω 4,5 Hz

 Trong trường hợp phonon khối, sự cộng hưởng tại tại Ω 3,7 Hz

Với sự ảnh hưởng của phonon âm giam cầm thì vị trí cực đại cộng hưởng của hệ số Nernts không chỉ dịch chuyển sang tần số cao hơn mà còn làm giảm biên độ cộng hưởng hệ số Nernts

+ Trong sự phụ thuộc của hệ số Nernts vào nhiệt độ khi nhiệt độ tăng thì hệ số Nernts giảm đáng kể và có xu hướng tiến tới giá trị không đổi b Trường hợp tán xạ điện tử giam cầm – phonon quang giam cầm:

Hệ số Nernts phụ thuộc vào nhiệt độ giảm đáng kể khi nhiệt độ tăng và ảnh hưởng của phonon giam cầm là nhỏ Đồng thời cơ chế tán xạ cũng ảnh hưởng lên hệ số Nernts

Các kết quả của luận văn được báo cáo ở Hội nghị vật lý lý thuyết toàn quốc năm 2023 tại Đà Nẵng ( Viet Nam Conference on Theoretical Physics – Da Nang, 31 July – 3 Auguest, 2023 – Program and Abstracts, p- 48- 49)

“Photostinuclated Nernts effect in Compositional Superlaltice under the influence of confined phonon” và đã góp phần hoàn thiện lý thuyết về hiệu ứng Nernst trong siêu mạng hợp phần nói riêng và trong hệ thống bán dẫn thấp chiều nói chung.