2.2 Sử dụng R để tính toán Cài đặt package:install.packages"distrEx"Để khởi tạo phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạcX, ta dùng lệnh:X = DiscreteDistributionu,v # u: vector giá
Bài tập
. g) P10 k=1A k 10 h) Q10 k=1A k 10. Bài tập1.2.2. a) Khởi tạo vectoru= (1,2, ,99 100), b) Khởi tạo vectoru= (1, ,9 9, , ,1). c) Khởi tạo vectoru= (1, ,1 2, , , , , ,3)2 3 (mỗi số trong các số 1, 2, 3 lặp lại 10 lần). d) Khởi tạo vectoru= (2,4 6, , ,98 100), e) Khởi tạo vectoru= (1,1 3 3 3 5 5 5 5 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 9), , , , , , , , , , , , , , , , , ,
Bài tập1.2.3.Tạo vector x = c(1,2,5,7,-3,0,5,1,5,6) y = c(2,2,0,-5,7,8,11,9,3,2) a Tínhx+y, x*y, x-y b Tạo =[những phần tử chẵn củaz x],t=[những phần tử lẻ của ]y c Trích những phần tử lớn hơn0củaxvàyvà gán cho vector w
Bài tập1.2.4.Tạo trong R các ma trận
Tính các biểu thức sau a) 2*X b) X*X c) X%*%X d) X%*%Y e) t(Y) f) solve(X)
Bài tập1.2.5.VớiX, Ynhư trên, tính a) x[1,] b) x[2,] c) x[,2] d) y[1,2] e) y[,2:3]
Bài tập1.2.6.Xét dãy sốx1, x , , x2 10với xk= A k+4 4 (k+ 2)!− 143
4ãk!, k= 1, ,10. a) Xuất ra tất cả các số hạng của dãy. b) Xuất ra tất cả các số hạng không âm của dãy. c) Các số hạng không âm là các số hạng thứ bao nhiêu trong dãy.
Bài tập1.2.7.Xét hai ma trận
Tính:A+ 2B, A−B 2 , AB, BA, A T +B, A+B T ,(AB) T , B T A T , det(A), A B, A 2 −1
Bài tập1.2.8.Khởi tạo ma trânAcó 50 dòng và 10 cột, trong đó các phần tử trên dòng thứi của A có giá trị bằng i
Bài tập1.2.9.Khởi tạo ma trận đơn vị cấp 10, cấp 30, cấp 50.
BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
Sử dụng R để tính toán
Phân phối siêu bội trong R
Một số lệnh mặc định trong R cho biến ngẫu nhiênX∼H(N;M;n): dhyper(x, M, N-M, n) # tính P(X=x) phyper(x, M, N-M, n) # tính P(Xx) qhyper(u, M, N-M, n) # tính inf{x: P(X= u} rhyper(k, M, N-M, n) # phát sinh ra k quan trắc từ phân phối H(N,M,n)
Phân phối nhị thức trong R
Một số lệnh mặc định trong R cho biến ngẫu nhiênX∼B(n;p): dbinom(a, size=n, prob=p) # tính P(X=a) pbinom(a, size=n, prob=p) # tính P(Xa) qbinom(u, size=n, prob=p) # tính inf{x: P(X= u} rbinom(k, size=n, prob=p) # phát sinh ra k quan trắc từ phân phối B(n,p)
Phân phối Poisson trong R
Một số lệnh mặc định trong R cho biến ngẫu nhiênX∼P(λ): dpois(a, lambda) # tính P(X=a) ppois(a, lambda) # tính P(Xa) qpois(u, lambda) # tính inf{x: P(X=u} rpois(k, lambda) # phát sinh ra k quan trắc từ phân phối P(lambda)
Bài tập
Bài tập2.3.1.Cho biến ngẫu nhiên rời rạcXcó hàm xác suất cho bởi f(x) =2x+ 1
25 , x= 0,1 2 3 4, , , a) Khởi tạo phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiênX. b) TínhP(2≤X≤4),P(X= 3),P(X >−10). c) Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn, trung vị, yếu vị củaX. d) Vẽ đồ thị hàm khối xác suất củaX. e) Vẽ đồ thị hàm phân phối tích lũy củaX.
Bài tập2.3.2.ChoXlà một b.s.n.n rời rạc lấy các giá trị 1, 2, 3, 4 với các xác suất tương ứng bằng 0.8, 0.16, 0.032, 0.008. a) TínhP(X 1),P(1< X≤4),P(2≤X≤5). b) Vẽ đồ thị hàm khối xác suất củaX. c) Vẽ đồ thị hàm phân phối tích lũy củaX. d) TìmE( )X, Var( )X, Sd(X), Median(X)và Mode( )X. e) Phát sinh một mẫu ngẫu nhiên gồm 1000 số liệu từ phân phối xác suất củaX. Tìm trung bình mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh, độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh, trung vị mẫu, yếu vị mẫu Hãy so sánh các kết quả với câu d).
Bài tập2.3.3.ChoXlà một b.s.n.n rời rạc lấy tập giá trị{0 1, , ,20} Giả sửP(Xk) =C15 k C 4 5 − k /C20 4 vớik= 0, ,4vàP(X=k) = 0vớik= 5, ,20 Hãy thực hiện các yêu cầu như trong bài 3.3.2.
Xác suất và thống kê suy diễn
Bài tập2.3.4.ChoXlà một b.s.n.n rời rạc lấy tập giá trị{0 1, , ,50}vàP(X=k) C50 k (0 25) k (0 75) 50 −k Hãy thực hiện các yêu cầu như trong bài 3.3.2.
Bài tập2.3.5.Tung một đồng xu cân đối, đồng chất 3 lần liên tiếp GọiXlà số lần xuất hiện mặt “Head” trong 3 lần tung Hãy tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, trung vị và yếu vị củaX.
Bài tập 2.3.6.Trong một lô hàng có 250 sản phẩm, trong đó có 17 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm từ lô hàng GọiXlà số phế phẩm có trong 5 sản phẩm lấy ra. a) Tính xác suất có đúng 3 phế phẩm b) Tính xác suất để có không quá 2 phế phẩm c) Tính xác suất để có nhiều hơn 1 phế phẩm d) Hãy phát sinh một mẫu cụ thể gồm 1000 quan sátX Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu cụ thể này. e) Vẽ đồ thị hàm khối xác suất và hàm phân phối tích lũy củaX.
Bài tập2.3.7.Cho 10 người nộp hồ sơ vào vị trí trợ lý giám đốc của một công ty, trong đó 5 người có kinh nghiệm quản lý và 5 người không có kinh nghiệm quản lý Nếu giám đốc chọn ngẫu nhiên 3 người trong số họ thì xác suất để cả 3 người này để có kinh nghiệm quản lý là bao nhiêu?
Bài tập2.3.8.Một lô hàng có 24 chiếc điện thoại trong đó có 6 chiếc bị lỗi Chọn ngẫu nhiên 4 điện thoại và kiểm tra nếu thấy có ít nhất một chiếc bị lỗi thì lô hàng bị cấm phân phối ra thị trường GọiXlà số sản phẩm bị lỗi trong mỗi lần chọn Tính xác suất để lô hàng bị cấm phân phối.
Bài tập2.3.9.Một gia đình có 4 người con Mỗi người con có có giới tính là “trai” hoặc
“gái” với xác suất bằng nhau là 0.5 GọiXlà số con trai trong gia đình Tính xác suất để gia đình này có đúng 2 người con trai.
Bài tập2.3.10.Tung một con xúc xắc liên tiếp 12 lần GọiXlà số lần xuất hiện mặt
6 chấm Tính xác suất đểXlấy giá trị trong đoạn [7;9].
Bài tập2.3.11.Tung 3 đồng xu cân đối, đồng chất và gọiXlà số lần xuất hiện mặt
“Head” Hãy vẽ đồ thị hàm khối xác suất và hàm phân phối tích lũy củaX.
Bài tập2.3.12.Một cuộc đều tra gần đây cho biết tỷ lệ sinh viên sử dụng Wikipedia làm nguồn tài liệu để nghiên cứu và tham khảo là 44.7% GọiXlà số sinh viên sử dụng Wikipedia trong số 31 sinh viên được chọn ngẫu nhiên. a) Tính xác suất để có 17 sinh viên sử dụng Wikipedia. b) Tính xác suất để có nhiều nhất 13 sinh viên sử dụng Wikipedia. c) Tính xác suất để có nhiều hơn 11 sinh viên sử dụng Wikipedia. d) Tính xác suất để có ít nhất 15 sinh viên sử dụng Wikipedia. e) Tính xác suất để có từ 16 đến 19 sinh viên sử dụng Wikipedia. f) Tìm kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn củaX. g) Tìm kỳ vọng của4X+ 51.324. h) Vẽ đồ thị hàm khối xác suất và hàm phân phối tích lũy củaX.
Bài tập 2.3.13.Theo bản tin cập nhật thị trường lao động do Bộ LĐ-TB&XH cùng Tổng cục Thống kê công bố trong quý IV-2013, tỷ lệ thất nghiệp của nhóm lao động có trình độ đại học trở lên là 4.25% Chọn ngẫu nhiên 30 sinh viên đã tốt nghiệp đại học trong năm vừa qua. a) Tính xác suất để có 2 sinh viên thất nghiệp. b) Tính xác suất để có nhiều nhất 5 sinh viên thất nghiệp. c) Tính xác suất để có ít nhất 26 sinh viên có việc làm. d) Về trung bình thì có bao nhiêu sinh viên thất nghiệp?
Bài tập2.3.14.Xác suất để một con gà đẻ trứng trong ngày là 0.6 Nuôi 5 con gà Tính xác suất để trong một ngày a) không có con nào đẻ trứng. b) có 5 con đẻ trứng. c) có ít nhất 1 con đẻ trứng.
Xác suất và thống kê suy diễn d) có nhiều nhất 2 con đẻ trứng.
Bài tập2.3.15.Khi tiêm vắc-xin cho một loại bệnh, tỷ lệ trường hợp bị phản ứng lại với vắc-xin này là 0.001 Dùng loại vắc-xin này tiêm cho 2000 người Tính xác suất để a) có 3 trường hợp bị phản ứng. b) có nhiều nhất 2 trường hợp bị phản ứng. c) có nhiều hơn 3 trường hợp bị phản ứng.
Bài tập2.3.16.Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 3 cuộc gọi điện thoại trong mỗi phút Tính xác suất để a) trung tâm này nhận được 1 cuộc gọi trong 1 phút. b) có đúng 5 cuộc gọi trong 2 phút. c) không có cuộc gọi nào trong 30 giây. d) có ít nhất một cuộc gọi đến trong 10 giây.
Bài tập2.3.17.Một cửa hàng cho thuê xe ô tô cho biết trung bình có 2 người đến thuê xe vào ngày thức bảy Giả sử cửa hàng có 4 chiếc xe ô tô GọiXlà số khách đến thuê xe trong ngày thứ bảy. a) Tính xác suất để tất cả 4 ô tô đều được thuê. b) Tính xác suất để không phải tất cả 4 ô tô đều được thuê. c) Tính xác suất để cửa hàng không đáp ứng được số lượng ô tô theo yêu cầu của khách hàng. d) Vẽ đồ thị hàm khối xác suất và hàm phân phối tích lũy củaX.
Bài tập2.3.18.Rh là viết tắt của chữ Rhesus, đây là nhóm máu quan trọng sau nhóm máu OAB, mang đặc điểm di truyền của mỗi cá nhân và tồn tại suốt đời Nhóm máu
Rh có hai loại là Rh+ và Rh- Nhóm máu Rh- rất hiếm gặp; ở Việt Nam, nhóm máuRh- chỉ chiếm 0.04% dân số, còn nhóm máu Rh+ chiếm đến 99.96% dân số Đặc điểm của nhóm máu Rh này là nó chỉ có thể nhận và cho người cùng nhóm máu; đặc biệt nếu phụ nữ có nhóm máu Rh- thì con rất dễ bị tử vong Vì thế thai phụ sau khi sinh đứa bé đầu tiên trong vòng 24h-72h sẽ được tiêm kháng thể và chăm sóc đặc biệt Một bệnh viện phụ sản trung bình mỗi ngày tiếp nhận 100 ca sinh Tính xác suất để a) không có trường hợp nào cần chăm sóc đặc biệt. b) có đúng 1 trường hợp cần chăm sóc đặc biệt. c) có nhiều hơn 1 trường hợp cần chăm sóc đặc biệt.
BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
Sử dụng R trong tính toán
Nhập một hàm số
• Hàm số được cho bởi một biểu thức:f = function(biến){biểu thức}
• Hàm số được cho bởi nhiều biểu thức: f = function(biến){ ifelse(điều kiện 1, biểu thức 1, ifelse(điều kiện 2, biểu thức 2,
ifelse(điều kiện n-1, biểu thức n-1, biểu thức n) ))}
Xác suất và thống kê suy diễn
Vẽ đồ thị hàm số
• Để vẽ đường cong ta dùng lệnh curve(f,from = , to = , col = , lwd = )
• Nếu ta muốn vẽ nhiều đường cong trên cùng một mặt phẳng thì ta dùng lệnh sau: curve(f1, from = , to = , col = , lwd = ) curve(f2, from = , to = , col = , lwd = , add = TRUE) curve(fn, from = , to = , col = , lwd = , add = TRUE)
Tính tích phân
Dùng lệnh: integrate(f, lower =, upper =)
# f: hàm số dưới dấu tích phân
# lower: cận dưới tích phân
# upper: cận trên tích phân
Nếu cận dưới tích phân là−∞thì ta dùng lệnh:-Inf Nếu cận trên tích phân là+∞ thì ta dùng lệnh:Inf.
Phân phối chuẩn trong R
• Tínhf(x)trong đóflà hàm mật độ củaX: dnorm(x, mean =, sd =)
• TínhP(X > x): pnorm(x, mean =, sd =, lower.tail = 0/FALSE)
• Phát sinh một mẫu gồmnsố liệu từ phân phối củaX: rnorm(n, mean =, sd =)
• Tínhinf{x:P(X≤x)≥q}: qnorm(q, mean =, sd =, lower.tail = 1/TRUE) # 0