Bài giảng xác suất thống kê gv nguyễn minh định

Tính chất của một nhóm bộ k phần tử • Nhóm có thứ tự: Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta nhận được nhóm khác • Nhóm khơng có thứ tự: Khi đổi vị trí các phần tử khác nha

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ GV: Nguyễn Minh Định Chương : LÝ THUYẾT TỔ HỢP Quy tắc cộng Một cơng việc hồn thành k trường hợp, ứng với trường hợp thứ i có ni cách thực (i = k) Khi ta có n1 + n2 + … + nk cách hồn thành cơng việc Ví dụ 1: Có áo màu trắng, áo màu xanh, áo màu đỏ Hỏi có cách chọn áo để mặc? Giải: Chọn áo màu trắng: có cách Chọn áo màu xanh: có cách Chọn áo màu đỏ: có cách Vậy có + + = 12 cách chọn áo để mặc Ví dụ 2: Từ số 0; 1; 2; lập số có chữ số khác nhau? Giải: • Có số có chữ số thỏa yêu cầu: 0; 1; 2; • Có số có hai chữ số thỏa yêu cầu: 10; 20; 30; 12; 21; 13; 31; 23; 32 • Có 18 số có ba chữ số thỏa yêu cầu: 102; 120; 103; 130; 123; 132; 201; 210; 203; 230; 213; 231; 301; 310; 302; 320; 312; 321 • Có 18 số có bốn chữ số thỏa yêu cầu: 1023, 1032, 1203, 1230, 1302, 1320, 2013, 2031, 2103, 2130, 2301, 2310, 3012, 3021, 3102, 3120, 3201, 3210 Vậy theo quy tắc cộng, có + + 18 + 18 = 49 cách lập số có chữ số khác từ chữ số 0; 1; 2; Quy tắc nhân Giả sử để hồn thành cơng việc phải thực k giai đoạn Giai đoạn thứ có n1 cách thực hiện, giai đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện, , giai đoạn thứ k có nk cách thực Khi ta có n = n1 n2 … nk cách hồn thành cơng việc Ví dụ: Giả sử từ A đến C ta bắt buộc phải qua B Có đường khác từ A đến B có đường khác từ B đến C Vậy có n = 3.2 = cách khác để từ A đến C Tính chất nhóm (bộ) k phần tử • Nhóm có thứ tự: Khi đổi vị trí phần tử khác nhóm ta nhận nhóm khác • Nhóm khơng có thứ tự: Khi đổi vị trí phần tử khác nhóm ta khơng nhận nhóm khác • Nhóm có lặp: Các phần tử nhóm có mặt nhiều lần nhóm • Nhóm khơng lặp: Các phần tử nhóm có mặt lần nhóm Ví dụ Từ số 0; 1; 2; 3; lập số có chữ số Giải: • Các chữ số có lặp Cơng việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = cách chọn Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = cách chọn Cơng việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = cách chọn Vậy có n = 4.5.5 = 100 số • Các chữ số khơng lặp Cơng việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = cách chọn Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = cách chọn Cơng việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = cách chọn Vậy có n = 4.4.3 = 48 số Chỉnh hợp Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k n phần tử (k ≤ n) nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Gọi Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử Khi đó: Ank = n.(n – 1) … (n – k + 1) = n! / (n – k)! Ví dụ: Một lớp học tiếng Anh có 12 người tham dự Hỏi có cách chọn lớp trưởng lớp phó? Giải: Một cách chọn lớp trưởng lớp phó nhóm có hai phần tử có thứ tự khơng lặp Vậy có A122 = 12.11 = 132 cách chọn thỏa yêu cầu Hoán vị Định nghĩa: Hốn vị n phần tử nhóm có thứ tự khơng lặp có đủ n phần tử cho Số hoán n phần tử Pn = n! Quy ước 0! = Ví dụ Mỗi cách xếp học sinh ngồi vào bàn có chỗ ngồi hốn vị phần tử Do số cách xếp P4 = 4! = 24 cách Nhận xét Hoán vị trường hợp đặc biệt chỉnh hợp Pn = Ann Tổ hợp Định nghĩa: Tổ hợp chập k n phần tử (k ≤ n) nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Gọi Cnk số tổ hợp chập k n phần tử Khi đó: Cnk = n! / k!(n – k)! Ví dụ Mỗi đề thi gồm câu hỏi lấy từ 25 câu hỏi cho trước, ta lập C253 = 25! / 3!22! = 2300 đề thi Vì đề thi nhóm có câu hỏi có tính chất khơng có thứ tự khơng lặp Tổ hợp có tính chất sau: Cnk = Cnn−k Cnk = Cn−1 k −1 + Cn−1 k Quy ước 0! = BÀI TẬP CHƯƠNG Một buổi liên hoan có người có người vợ chồng a Nếu người ngồi quanh bàn trịn có ghế đánh số Hỏi có cách xếp cho vợ chồng ngồi cạnh b Nếu họ xếp vào bàn dài có ghế, có cách xếp để vợ chồng ngồi cạnh Một nhóm gồm vợ chồng đứng xếp hàng Hỏi có cách xếp trường hợp sau: a Nam nữ đứng thành nhóm riêng biệt b Hai vợ chồng ln đứng kế c Nếu người bắt tay lần với người khác Hỏi tất có bắt tay d Nếu nhóm có người khơng bắt tay với Hỏi có bắt tay trường hợp Một lơ hàng gồm có sản phẩm đánh số thứ tự từ đến 6, có phế phẩm Người ta lấy từ lô hàng sản phẩm hết a Có trường hợp xảy b Có trường hợp phế phẩm lấy sau Một nhân viên bưu điện đưa ngẫu nhiên thư cho người khác Hỏi: a Có trường hợp xảy b Có trường hợp có người nhận thư Từ số 1, 2, 3, 4, ta thành lập số trường hợp sau: a Số có chữ số b Số chẵn có chữ số khác c Số chia hết cho có chữ số khác d Số có chữ số có số e Số có chữ số khác gồm toàn số lẻ Từ số 0, 1, 2, 3, 4, ta thành lập số trường hợp sau: a Số có chữ số b Số chẵn có chữ số khác c Số chia hết cho có chữ số khác d Số có chữ số có số e Số có chữ số khác gồm tồn số lẻ Giải bóng đá hạng quốc gia gồm có 12 đội a Nếu đội thi đấu vịng trịn lượt với Hỏi có trận đấu xảy b Nếu đội chia làm bảng nhau, đội bảng thi đấu vòng tròn lượt với có trận đấu xảy Một lớp có mơn để học, ngày học mơn (sáng, chiều) Hỏi có cách xếp thời khoá biểu cho ngày lớp Một tổ gồm có 10 người, người ta muốn thành lập tiểu ban gồm có người a Nếu người làm cơng việc có cách chọn b Nếu người chọn làm cơng việc khác có cách chọn 10 Mỗi vé số tỉnh phát hành có chữ số a Hỏi có vé số khác phát hành đợt tỉnh b Nếu bạn trúng số cuối so với số sổ giải bạn thưởng 20.000 đồng Hỏi đợt phát hành có vé số trúng 20.000 đồng 11 Có n điểm khác nằm đường trịn a Có dây cung tạo nên từ n điểm b Có đường chéo đa giác tạo nên từ n điểm c Đa giác có số đường chéo số cạnh 12 Có dơi giày Chọn ngẫu nhiên giày Hỏi có cách chọn trường hợp sau: a Chọn đôi giày b Chọn đôi giày c Không chọn đôi giày 13 Gieo xúc xắc liên tiếp lần, có phân biệt thứ tự lần gieo a Có kết khác xảy b Có kết xảy mặt mang số khơng xuất lần c Có kết xảy mặt mang số xuất lần 14 Một khách sạn có phịng đơn Có 10 người khách đến th phịng, có nam nữ Người quản lý chọn ngẫu nhiên người Có cách chọn trường hợp sau: a Cả người nam b Có nam nữ c Có nữ 15 Một khố số có vịng, vịng đánh số từ đến có khả để mở khoá Một khả mở khoá cách chọn số theo thứ tự vòng Một người muốn thử trường hợp mở khoá Hỏi người mở tối đa lần để chắn chọn số mở Chương 1: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT Các khái niệm mở đầu: 1.1 Phép thử Biến cố ngẫu nhiên: Phép thử ngẫu nhiên (random experiment) : thực nhóm điều kiện xác định ( làm thí nghiệm) lặp lại nhiều lần Kết phép thử ta không xác định trước Ví dụ: Phép thử ngẫu nhiên Kết Tung đồng xu Mặt sấp, mặt ngửa Điểm thi kết thúc môn {0, 1, 2, 3, …, 10} Tuổi thọ linh kiện điện tử t > giây Tập hợp tất kết xảy thực phép thử gọi không gian mẫu (sample space) hay không gian biến cố sơ cấp, kí hiệu Ω Mỗi kết phép thử ngẫu nhiên, ω ∈ Ω gọi biến cố sơ cấp (simple event) Một tập hợp khơng gian mẫu, có nhiều biến cố sơ cấp gọi biến cố ngẫu nhiên (event) Kí hiệu A, B, C, … Biến cố xảy thực phép thử biến cố chắn (certain event), kí hiệu Ω Biến cố không xảy gọi biến cố khơng thể có ( hay biến cố bất khả ) (empty event), kí hiệu Ø Ví dụ: Gieo lần xúc xắc Gọi ωi = "Mặt xúc sắc có i chấm" = i Khi đó: Khơng gian biến cố sơ cấp: Ω = {ω1 , ω2 , , ω6} = {1, , 6} Những biến cố ngẫu nhiên: A = {1, 3, 5} = " chấm lẻ " ; B = {2, 4, 6} = " chấm chẳn " ; C = {5, 6} = " chấm > " Biến cố chắn: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Biến cố có: E = {7, 8} 1.2 Quan hệ biến cố • Sự kéo theo: A kéo theo B, kí hiệu A ⊂ B, A xảy B xảy Ta cịn nói A biến cố thuận lợi cho B Ví dụ: Tung xúc xắc Gọi Ai biến cố i chấm (i = 6), B = Biến cố số chấm chia hết cho 3, C = " Số chấm chẵn" , D = " Số chấm nguyên tố chẵn" , Khi ta có A3 ⊂ B, A2 ⊂ C, A2 ⊂ D, D ⊂ A2 • Sự tương đương: A tương đương với B, kí hiệu A = B, A xảy B xảy ngược lại Ví dụ: Trong ví dụ A2 = D 1.3 Các phép toán biến cố • Biến cố tổng (Union) Biến cố tổng A B, kí hiệu A + B hay A ∪ B biến cố xảy có hai biến cố A, B xảy • Biến cố tích (intersection) Biến cố tích A B, kí hiệu A.B, biến cố xảy A B đồng thời xảy • Các biến cố xung khắc (mutually exclusive) A xung khắc với B A B không đồng thời xảy ra, A.B = Ø Dãy biến cố A1 , A2 , , An gọi xung khắc đôi Ai Aj = Ø, ∀i ≠ j • Biến cố đối lập ( biến cố bù ) (complement) Biến cố đối lập A, kí hiệu Ā , biến cố xảy A không xảy ngược lại, nghĩa A + Ā = Ω A Ā = Ø hay Ā = Ω \ A Tính chất: A + B = A.B A.B = A + B Ví dụ: Ba xạ thủ bắn người viên đạn vào bia Gọi biến cố Ai = " xạ thủ thứ i bắn trúng bia" , i = 1, 2, Hãy biểu diễn thông qua Ai biến cố sau: 1) A = " Bia bị trúng đạn" 2) B = " Bia không bị trúng đạn" 3) C = " Bia bị trúng viên đạn" 4) D =" Bia bị trúng viên đạn" Giải: 1) A = A1 + A2 + A3 ( viên đạn) 2) B = A1.A2.A3 = A1 + A2 + A3 3) C = A1.A2.A3 4) D = A1.A2.A3 + A1.A2.A3 + A1.A2.A2 Khái niệm định nghĩa xác suất Khái niệm xác suất: Xác suất biến cố A số, số đặc trưng cho khả xuất biến cố A phép thử tương ứng Kí hiệu: P(A) Nhận xét: P(A) lớn ( gần ) khả xuất biến cố A nhiều P(A) nhỏ ( gần ) khả xuất biến cố A 2.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Nếu phép thử có tất n biến cố sơ cấp đồng khả năng, nghĩa P(ω1) = P(ω2) = = P(ωn) = 1/n , có m biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A xác suất A, kí hiệu P(A) tỉ số m/n P(A) = |A| / |Ω| = m / n = Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A / Số tất biến cố sơ cấp Ví dụ: Trong hộp có cầu trắng cầu đỏ giống hệt kích thước Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp Tính xác suất để được: a) cầu đỏ b) cầu trắng đỏ Giải: Tổng số cầu hộp Mỗi cách lấy cầu ứng với việc chọn tổ hợp chập từ phần tử Do có tất biến cố sơ cấp đồng khả |Ω| = C83 = 56 a) Đặt A = " cầu đỏ" Xác suất xảy biến cố A : P (A) = |A| / |Ω| = C53 / C83 = 10/56 b) Đặt B = " cầu trắng cầu đỏ" cầu trắng chọn từ cầu trắng hộp theo C32 cách cầu đỏ chọn từ cầu đỏ hộp theo C51 cách Theo quy tắc nhân |B| = C32 C51 = 15 Vậy P (B) = |B| / |Ω| = 15/56 Ưu điểm nhược điểm • Ưu điểm : tính xác giá trị xác suất mà không cần tiến hành phép thử • Nhược điểm: địi hỏi phải có hữu hạn biến cố tính đồng khả chúng mà thực tế lại có nhiều phép thử khơng có tính chất Vì vậy, cần đưa định nghĩa khác xác suất để khắc phục hạn chế 2.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Thực phép thử n lần Giả sử biến cố A xuất m lần Khi m gọi tần số xuất biến cố A n phép thử, tỷ số m/n gọi tần suất xuất biến cố A n phép thử, kí hiệu: f(A) = m/n Thực phép thử vô hạn lần (n → ∞) người ta chứng minh tần suất xuất biến cố A dần số xác định gọi xác suất biến cố A P( A) = lim f ( A) = lim m n→ n→ n Ví dụ: Để nghiên cứu khả xuất mặt sấp tung đồng tiền, người ta tiến hành tung đồng tiền nhiều lần thu kết sau: Người làm thí nghiệm Số lần tung n Số lần nhận mặt sấp m Tần suất m/n Buffon 4040 2048 0.5069 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005 Bảng cho thấy, số lần tung lớn tần suất xuất mặt sấp m/n gần ½ Ưu điểm nhược điểm • Ưu điểm: khơng địi hỏi phép thử có hữu hạn biến cố đồng khả năng, tính xác suất dựa quan sát thực tế ứng dụng rộng rãi • Nhược điểm: đòi hỏi phải lặp lại nhiều lần phép thử Trong nhiều tốn thực tế điều khơng cho phép điều kiện kinh phí làm phép thử Nguyên lí xác suất nhỏ, xác suất lớn: • Ngun lí xác suất nhỏ: biến cố có xác suất nhỏ α (gần 0) cho thực tế khơng xảy phép thử (một lần thử) • Ngun lí xác suất lớn: biến cố có xác suất lớn β (gần 1) cho thực tế định xảy phép thử (một lần thử) Tính chất xác suất 1) Nếu A ⊂ B P (A) ≤ P (B) 2) P(Ā) = − P (A) 3) P(Ø) = 0, P() = 4) ≤ P (A) ≤ Các công thức xác suất 3.1 Công thức cộng xác suất Cho biến cố: 1) A, B tùy ý ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A.B) 2) A, B xung khắc: P(A + B) = P(A) + P(B) 3) Tổng quát: P(A1+A2+…+An) =  P(Ai) -  P(AiAj) +  P(AiAjAk) +…+(-1)n-1P(A1A2…An) Nếu A1, A2, …, An xung khắc đôi P(A1+A2+…+An) = P(A1)+P(A2)+…+P(An) Ví dụ: Qua điều tra sinh viên, ta biết 40% học thêm ngoại ngữ, 55% học thêm tin học 30% học thêm hai mơn Chọn ngẫu nhiên sinh viên Tính xác suất gặp được: a) Sinh viên học thêm (ngoại ngữ tin học) b) Sinh viên không học thêm môn Giải: A = "gặp sinh viên học thêm ngoại ngữ", B = "gặp sinh viên học thêm tin học" Khi A.B = A ∩ B ="gặp sinh viên học thêm hai môn ngoại ngữ tin học", P(A) = 0.4, P(B) = 0.55, P(A.B) = 0.3 1) Xác suất gặp sinh viên học thêm ( ngoại ngữ hay tin học) P(A+B) = P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A.B) = 0.4 + 0.55 − 0.3 = 0.65 2) Xác suất gặp sinh viên không học thêm môn là: P( A + B) = − P(A+B) = − 0.65 = 0.35 3.2 Công thức xác suất có điều kiện Cho hai biến cố A B với P(B) > Xác suất biến cố A với điều kiện biến cố B xảy là: P(A/B) = P(AB) / P(B) Ví dụ: Hộp có 10 viên bi có viên màu đỏ, viên màu trắng Lần lượt rút khơng hồn lại viên bi Giả sử lần thứ rút bi màu đỏ, tính xác suất để lần thứ hai rút bi màu đỏ Giải: Gọi Ai biến cố rút bi màu đỏ lần thứ i Ta có: (4 đỏ / 10 bi) → lần (1 đỏ) → (3 đỏ / bi) → lần (1 đỏ) P(A2 / A1) = 3/9 = 1/3 Ví dụ: Qua điều tra sinh viên, ta biết 40% học thêm ngoại ngữ, 30% học thêm ngoại ngữ tin học Chọn ngẫu nhiên sinh viên biết học thêm ngoại ngữ Tính xác suất sinh viên học thêm tin học Tính chất xác suất có điều kiện • ≤ P(A/B) ≤ • P(B/B) = • Nếu AC = Ø P[(A+C)/B] = P(A/B) + P(C/B) • P(Ā/B) = − P(A/B) 3.3 Công thức nhân xác suất Với biến cố tùy ý A B ta có: P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) Cơng thức nhân xác suất (tổng quát): Cho Ai (i = 1, , n) họ n biến cố đó: P(A1A2 An) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2) P(An/A1A2 An-1) Hai biến cố độc lập: Hai biến cố A B gọi độc lập với việc biến cố A xảy hay không xảy không ảnh hưởng đến việc biến cố B xảy hay không xảy ngược lại Hai biến cố A B gọi độc lập với  P(AB) = P(A)P(B) N biến cố độc lập: Các biến cố A1,A2, ,An gọi độc lập với chúng thỏa: P(AiAj ) = P(Ai )P(Aj ) P(AiAjAk ) = P(Ai )P(Aj )P(Ak ) P(A1A2 An) = P(A1)P(A2) P(An) (với tổ hợp chập hai (i , j), chập ba (i , j , k), n số) Ví dụ: Hai xạ thủ người bắn phát đạn vào bia Xác suất bắn trúng người thứ p1 = 0,9 ; người thứ hai p2 = 0,7 Biết hai người bắn độc lập với Tính xác suất: a) Cả hai bắn trúng b) Có viên đạn trúng bia c) Bia bị trúng đạn Giải: Gọi A biến cố xạ thủ I bắn trúng bia B biến cố xạ thủ II bắn trúng bia C biến cố hai xạ thủ bắn trúng bia D biến cố có viên đạn trúng bia E biến cố bia bị trúng đạn a) Xác suất để hai bắn trúng: Ta có C = AB P(C) = P(AB) = P(A) P(B) = 0,9 0,7 = 0,63 b) Xác suất để có viên đạn trúng bia: Ta có: D = AB + BA Vì AB BA xung khac voi  P(D) = P(AB) + P (BA) = P (A).P (B) + P (A).P (B)  P (D) = 0,9 0,3 + 0,1 0, = 0,34 c) Xác suất để bia bị trúng đạn: Ta có: E = A.B  P(E) = P(A.B) = P(A).P(B) = 0,3.0,1 = 0,03 P(E) = – 0,03 = 0,97 3.4 Công thức Bernoulli: Ta tiến hành n phép thử độc lập Giả sử phép thử xảy hai trường hợp: Hoặc biến cố A xảy với xác suất p biến cố A không xảy với xác suất q = – p Khi xác suất để n phép thử độc lập biến cố A xuất k lần ký hiệu: Pn(k) tính Pn(k) = Cnk pk qn−k Ví dụ: Hộp có 10 viên bi, có viên bi màu đỏ Lần lượt rút có hồn lại viên bi Gọi A biến cố rút viên bi màu đỏ lần rút Ta có: * Số phép thử độc lập: n = * P(A) = 6/15 Ví dụ: Trong phân xưởng có máy hoạt động độc lập, xác suất để máy bị hư ca sản xuất p = 0,1 Tính xác suất để ca có hai máy bị hư 3.5 Công thức xác suất đầy đủ Hệ đầy đủ biến cố: Dãy n biến cố A1 , A2 , , An gọi hệ đầy đủ biến cố nếu: Ai Aj = Ø (∀i ≠ j) A1 + A2 + · · · +An = Ω Công thức xác suất đầy đủ: Cho Ai (i = 1, , n) hệ đầy đủ biến cố, B biến cố thì: P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + + P(An)P(B/An) = ∑ P(Ai )P(B/Ai ) 3.6 Công thức xác suất Bayes Cho Ai (i = 1, , n) hệ đầy đủ biến cố, B biến cố Khi với i (i = 1, , n) P(Ai /B) = P(AiB) / P(B) = P(Ai )P(B/Ai ) / P(B) = P(Ai )P(B/Ai ) / ∑ P(Ai )P(B/Ai ) Ví dụ: Một cơng ty sản xuất bóng đèn có hai nhà máy sản xuất I II Biết nhà máy II sản xuất gấp lần nhà máy I Biết số phế phẩm (bóng đèn hỏng) tương ứng hai nhà máy 10% 20% a) Tính xác suất mua bóng đèn trúng phải bóng đèn hỏng b) Biết mua phải bóng đèn hỏng Tính xác suất bóng hỏng nhà máy I sản xuất BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Một tổ gồm có nam nữ Chọn ngẫu nhiên nhóm người Tính xác suất để nhóm: a Có nữ b Số nữ nhiều số nam Ở hội đồng nhân dân tỉnh có 20 đại biểu có người nữ Để điều hành cơng việc cần thành lập tiểu ban gồm người Tính xác suất cho tiểu ban có số lượng nam nhiều số lượng nữ chọn ngẫu nhiên đại biểu Một lớp có 30 học sinh, gồm: 10 học sinh giỏi toán, 10 học sinh giỏi văn, 10 học sinh giỏi ngoại ngữ Trong có học sinh vừa giỏi ngoại ngữ toán, học sinh vừa giỏi ngoại ngữ văn, khơng có học sinh giỏi văn tốn giỏi mơn Chọn ngẫu nhiên học sinh, tính xác suất để học sinh giỏi mơn nói Bắn liên tiếp vào mục tiêu viên đạn trúng mục tiêu hết đạn ngưng Xác suất bắn trúng mục tiêu lần bắn 0,6 a Nếu người có viên đạn Tính xác suất để bắn đến viên đạn thứ b Nếu người có số viên đạn khơng hạn chế Tính xác suất để việc bắn ngưng lại lần thứ tư Một lô hàng gồm 10 sản phẩm có lẫn lộn phế phẩm Người ta lấy sản phẩm từ lơ hàng để tìm phế phẩm a Tìm xác suất cho phế phẩm lấy lần sau b Giả sử lơ hàng có phế phẩm Người ta lấy sản phẩm phát hết phế phẩm dừng Tính xác suất cho việc kiểm tra dừng lại lần kiểm tra thứ Một sinh viên thi vào trường ngoại ngữ phải thi môn với xác suất đậu môn tương ứng là: 0,7; 0,6; 0,4; 0,8; 0,5 Tìm xác suất để sinh viên đó: a Đậu mơn b Đậu môn c Đậu nhiều môn Một trận không chiến máy bay ta máy bay địch Máy bay ta bắn trước với xác suất trúng 0,5 Nếu bị trượt máy bay địch bắn trả lại với xác suất trúng 0,4 Nếu không bị trúng đạn máy bay ta lại bắn trả lại với xác suất trúng 0,3 Trận không chiến đến kết thúc, máy bay bị rơi bị trúng Tìm xác suất: a Máy bay địch bị rơi không chiến b Máy bay ta bị rơi không chiến Trong kỳ thi sinh viên phải thi môn Giả sử bạn ước lượng rằng: Bạn có hy vọng đậu 80% môn thứ Nếu đạt môn thứ nhất, điều làm bạn phấn khởi bạn phấn khởi có hy vọng 60% đạt u cầu mơn thứ hai Nếu không đạt môn thứ nhất, điều làm bạn nản lịng làm cho hy vọng đạt mơn thứ hai cịn 30% Hãy tìm xác suất để bạn: a Đạt hai môn b Đạt môn thứ hai c Đạt mơn d Khơng đạt hai môn Nếu dùng loại thuốc A, B, C riêng lẻ để điều trị bệnh phổi tỉ lệ kháng thuốc theo thứ tự là: 15%, 20%, 25% Dùng phối hợp loại thuốc khả kháng thuốc vi trùng 10 Chọn ngẫu nhiên vé số có chữ số Tính xác suất để vé số khơng có số khơng có số 11 Chọn ngẫu nhiên vé số có chữ số Tính xác suất để vé số có số số chẵn 12 Một người bỏ ngẫu nhiên thư vào phong bì ghi địa Tính xác suất để có thư bỏ phong bì 13 Trong hộp đựng 30 ấm trà, có ấm bị sứt vịi, ấm bị mẻ miệng, ấm bị bể nắp, ấm vừa sứt vòi vừa bể nắp, ấm vừa sứt vòi vừa mẻ miệng, ấm vừa sứt vừa bể nắp vừa mẻ miệng a Lấy ngẫu nhiên ấm từ hộp Tính xác suất để ấm có nhượt điểm b Tìm xác suất để lấy ấm ấm bị sứt vịi bị bể nắp c Lấy ngẫu nhiên ấm Tính xác suất để ấm có ấm có nhượt điểm 14 Biết người có nhóm máu AB nhận máu nhóm máu Nếu người có nhóm máu cịn lại (A B O) nhận máu người nhóm với người có nhóm máu O Cho biết tỉ lệ người có nhóm máu A, B, O AB tương ứng là: 33,7%; 37,5%; 20,9%; 7,9% a Chọn ngẫu nhiên người cần tiếp máu người cho máu Tính xác suất để truyền máu thực 10