Bài tập nhóm môn xác suất thống kê

Tìm xác suất để: a Lấy được một chính phẩm.. a Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân, tính xác suất để bệnh nhân đó là kĩ sư.. b Chọn ngẫu nhiên được bệnh nhân không phải là kĩ sư, tính xác suất

lOMoARcPSD|39211872 BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN  BÀI TẬP NHÓM MÔN: XÁC SUẤT THỐNG KÊ NHÓM 8 Giảng viên : Trần Thị Hằng Lớp : 20223BS6008008 Thành viên : Trịnh Xuân Anh – 2020602280 (NT) Trần Hữu Nam - 2022600091 Nguyễn Thành Trung – 2022600243 Nguyễn Minh Hiếu - 2021605802 Hà Nội _ Năm 2023 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN NGƯỜI NHẬN XÉT Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 1 (Trịnh Xuân Anh) Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên ra 20 sản phẩm Tìm xác suất để cho trong 20 sản phẩm lấy ra: a) Có 5 phế phẩm b) Bị cả 10 phế phẩm c) Có đúng 5 chính phẩm Giải: 𝐶15 𝐶5 90 10 a) A là biến cố có 5 phế phẩm: P(A)= 20 = 0,0215 𝐶100 𝐶10 𝐶10 10 90 −8 b) B là biến cố bị cả 10 phế phẩm: P(B)= 20 = 1,067 10 𝐶100 c) C là biến cố có đúng 5 chính phẩm P(C)= 0 2 (Trịnh Xuân Anh) Một hộp để lẫn lộn 18 mẫu bê tông trụ cầu và 10 mẫu bê tông mặt cầu Một kỹ thuật viên lấy ngẫu nhiên 5 mẫu để kiểm tra Tính xác suất để: a) 5 mẫu lấy ra đều là mẫu bê tông của trụ cầu b) 5 mẫu lấy ra có 2 mẫu bê tông trụ cầu và 3 mẫu bê tông mặt cầu Giải: a) A là biến cố 5 mẫu lấy ra đều là mẫu bê tông trụ cầu 𝐶5 18 P(A)= 5 = 0,087 𝐶28 b) B là biến cố lấy ra có 2 mẫu trụ cầu và 3 mẫu mặt cầu 𝐶2 𝐶3 = 0,187 18 10 P(B)= 5 𝐶28 3 (Trịnh Xuân Anh) Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có 4 giỏi, 8 khá và 10 trung bình Chọn hú họa 3 sinh viên, tính các xác suất: a) Cả 3 đều là sinh viên yếu b) Có ít nhất 1 sinh viên giỏi c) Có đúng 1 sinh viên giỏi Giải: 𝐶3 8 a) A là biến cố chọn đc cả 3 sinh viên yếu P(A)= 3 = 0,0137 𝐶30 b) B là biến cố có ít nhất 1 sinh viên giỏi => 𝐵̅ là biến cố không có sinh viên giỏi P(B)= 1- P(𝐵̅ )= 1- 𝐶23 𝐶3360= 0,359 c) C là biến cố có đúng một sinh viên giỏi 𝐶41 𝐶2 26 P(C)= 3 = 0,32 𝐶30 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 4 (Trịnh Xuân Anh) Xác suất trúng đích của một lần bắn là 0,4 Cần phải bắn bao nhiêu phát để xác suất có ít nhất một viên bắn trúng sẽ lớn hơn 0,95 Giải: Gọi A là biến cố có ít nhất một viên trúng 𝐴̅ là biến cố không có viên nào trúng Nếu bắn n phát thì xác suất bắn trượt tất cả là: P(𝐴̅ ) = 0,6𝑛 Theo bài ta có: 0,6𝑛 ≤ 0,05 => n ≥ 6 Vậy ít nhất phải bắn 6 phát 5 (Trịnh Xuân Anh) Một gia đình có 6 con Giả sử xác suất sinh con trai là 0,5 Tính xác suất để trong 6 con đó có: a) Đúng 3 con trai b) Có không quá 3 con trai c) Có nhiều nhất 4 con trai Giải: Dùng công thức Bernouli: n= 6, p= 0,5 a) 𝑃6 (3, 0,5) = 𝐶3 0,53 (1 − 0,5)6−3 = 0,3125 6 b) 𝑃6 (0:3, 0,5)= 𝐶60 0,50 (1 − 0,5)6−0 + 𝐶61 0,51 (1 − 0,5)6−1 + 𝐶62 0,52 (1 − 0,5)6−2 + 𝐶63 0,53 (1 − 0,5)6−3= 0,65625 c) 𝑃6(0: 4, 0,5) = 𝑃6(0: 3,0,5) + 𝑃6(4,0,5)= 0,65625+ 𝐶64 0,54 (1 − 0,5)6−4 = 0,890625 6 (Trịnh Xuân Anh) Một xí nghiệp có 3 xe tải với xác suất hỏng trong ngày của mỗi xc tương ứng là 0,01; 0,005; 0,002 Tìm xác suất để trong ngày: a) Có 2 xe bị hỏng b) Có ít nhất một xe bị hỏng Giải: 𝐴𝑖 là biến cố xe thứ i bị hỏng a) A là biến cố có hai xe hỏng trong ngày A= 𝐴1 𝐴2 𝐴̅3 + 𝐴1 𝐴2 𝐴3 + 𝐴1 𝐴2 𝐴3 => P(A)= 0,01.0,005.0,998+0,99.0,005.0,002+0,01.0,995.0,002= 7,97.10−5 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 b) B là biến cố có ít nhất một xe bị hỏng 𝐵̅ là biến cố không có xe nào hỏng P(B)= 1- P(𝐵̅) = 1 −P(𝐴̅1) 𝑃(𝐴̅2).𝑃(𝐴̅3)=0,017 7 (Trịnh Xuân Anh) Một phân xưởng có 3 máy với xác suất trục trặc trong ngày của mỗi máy là 0,1; 0,05 và 0,2 Cuối ngày thấy có 2 máy trục trặc Tính xác suất để đó là máy thứ hai và máy thứ ba Giải: Ai là xác suất máy thứ i bị hỏng A là xác xuất có hai máy bị hỏng Xác xuất để máy thứ 2 và 3 bị hỏng là P(A2A3|A)= 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴2 𝐴3 𝐴)= 𝑃(𝐴1.𝐴2.𝐴̅̅̅3̅)+𝑃(𝐴̅̅̅1̅.𝐴2.𝐴3)+𝑃(𝐴1.𝐴̅̅̅2̅.𝐴3) 𝑃(𝐴2).𝑃(𝐴3).𝑃(𝐴̅̅̅1̅) = 0,05.0,2.0,9 0,1.0,05.0,8+0,9.0,05.0,2+0,1.0,95.0,2 = 0,2815 8 (Trịnh Xuân Anh) Để nhập được kho, sản phẩm của nhà máy phải qua 3 phòng để kiểm tra chất lượng, xác suất phát hiện ra phế phẩm ở các phòng theo thứ tự là 0,8; 0,9; 0,99 Tìm xác suất phế phẩm được nhập kho Giải: Gọi Ai là phế phẩm không bị phát hiện ở phòng thứ i A là xác xuất phế phẩm được nhập kho P(A)= (1-0,8).(1-0,9).(1-0,99)=0,0002 9 (Trịnh Xuân Anh) Một hộp chứa 3 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh Một hộp khác chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi xanh Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi Tìm xác suất để hai bi lấy ra cùng màu Giải: A1,B1,C1 lần lượt là biến cố lấy đc bi màu trắng, đỏ, xanh ở hộp 1 A2, B2, C2 lần lượt là biến cố lấy đc bi màu trắng, đỏ, xanh ở hộp 2 Vì các biến cố trên độc lập nên: A là biến cố lấy đc hai bi màu trắng P(A)= P(A1).P(A2)= 325 10 25= 6 125 B là biến cố lấy đc hai bi màu đỏ P(B)= P(B1).P(B2)= 725 625= 42 625 C là biến cố lấy đc hai bi màu xanh P(C)= P(C1).P(C2)= 35 925 = 27 125 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 D là biến cố lấy đc hai bi cùng màu P(D)= P(A)+P(B)+P(C)= 6 125 + 42 625 + 27 125= 0,3312 10 (Trịnh Xuân Anh) Có hai lô hàng Lô 1: có 90 chính phẩm và 10 phế phẩm Lô II: có 80 chính phẩm và 20 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng ra một sản phẩm Tìm xác suất để: a) Lấy được một chính phẩm b) Lấy được ít nhất một chính phẩm Giải: a) A là biến cố lấy đc một chính phẩm P(A)= 90 100 20 100 + 80 100 10 100 = 0,26 b) Gọi B là biến cố lấy ít nhất một chính phẩm 𝐵̅ là biến cố không lấy đc chính phẩm nào ̅ 10 20 P(B)=1 – P(𝐵)= 1 - = 0,98 100 100 11 (Trịnh Xuân Anh) Tỷ lệ hút thuốc ở một vùng là 35% Theo thống kê biết rằng tỷ lệ viêm họng trong số người hút thuốc là 60%, còn trong số người không hút thuốc là 30% Khám ngẫu nhiên một người thì thấy anh ta bị viêm họng Tìm xác suất để đó là người hút thuốc Nếu anh ta không bị viêm họng thì xác suất đó là bao nhiêu Giải: Gọi A1 là biến cố người đó hút thuốc A2 là biến cố người đó không hút thuốc B là biến cố người đó viêm họng P(B)= P(A1).P(B|A1) + P(A2).P(B|A2) = 0,35.0,6+ 0,65.0,3=0,405 P(A1|B)= 𝑃(𝐴1).𝑃(𝐵|𝐴1) 𝑃(𝐵) = 0,35.0,0,6 0,405 = 0,5185 Gọi 𝐵̅ là biến cố người đó không viêm họng P(𝐵̅)= 1- P(B)= 0,595 Xác xuất để người đó hút thuốc nhưng không viêm họng là ̅ 𝑃(𝐴1).𝑃(𝐵̅|𝐴1) 0,35.0,4 P(A1|𝐵)= 𝑃(𝐵)̅= 0,595 = 0,235 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 12 (Trịnh Xuân Anh) Trong một bệnh viện, tỷ lệ bệnh nhân của các tỉnh như sau: Tỉnh A: 25%; Tỉnh B: 35%; Tỉnh C: 40% Biết rằng tỷ lệ bệnh nhân là kĩ sư của các tỉnh như sau: Tỉnh A: 2%; Tỉnh B: 3%; Tỉnh C: 3,5% a) Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân, tính xác suất để bệnh nhân đó là kĩ sư b) Chọn ngẫu nhiên được bệnh nhân không phải là kĩ sư, tính xác suất để bệnh nhân đó là của tỉnh A Giải: a) Gọi A,B,C lần lượt là biến cố bệnh nhận thuộc tỉnh A,B,C D là biến cố bệnh nhân đó là kĩ sư P(D)= P(A).P(D|A) + P(B).P(D|B) + P(C).P(D|C) = 0,25.0,02 + 0,35.0,03 + 0,4.0,035= 0,0295 b) 𝐷̅ là biến cố bệnh nhân đó không phải kĩ sư => P(𝐷̅) = 1 − 𝑃(𝐷) = 1 − 0,0295 = 0,9705 Xác suất để bệnh nhân đc chọn không phải kĩ sư thuộc tỉnh A ̅ 𝑃(𝐴).𝑃(𝐷̅|𝐴) 0,25.(1−0,02) P(A|𝐷)= 𝑃(̅𝐷̅̅̅) = 0,9705 = 0,252 13 (Trịnh Xuân Anh) Một lô hàng gồm 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng X là số sản phẩm tốt lấy được Kỳ vọng E(X)bằng Giải: X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 0,1,2,3,4 P(X=0)=0, P(X=1)= 435 , P(X=2)=18 38, P(X=3)=12 35, P(X=4)= 135 E(X)=1 435 + 2 18 35 + 3 12 35 + 4 135 = 167 14 (Trịnh Xuân Anh) Một lô hàng gồm 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm từlô hàng X là số sản phẩm tốt lấy được Mốt m0 bằng Giải: X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0,1,2,3,4 P(X=0)= 0 , P(X=1)= 4 𝐶41 𝐶33 = 4 , P(X=2)= 4 𝐶42 𝐶32 = 18 , P(X=3)= 4 𝐶43 𝐶31 = 12, P(X=4)= 4 𝐶44 𝐶30 = 1 𝐶7 35 𝐶7 35 𝐶7 35 𝐶7 35 Tại X=2 thì xác suất lớn nhất => Mod=2 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 15 (Trịnh Xuân Anh) Một phân xưởng có hai máy hoạt động độc lập Xác suất trong một ngày làm việc các máy đó hỏng tương ứng là 0,1; 0,2 Gọi X là số máy hỏng trong một ngày làm việc Mốt m0 của X là: Giải: X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0,1,2 P(X=0)=0,9.0,8=0,72; P(X=1)=0,1.0,8+0,9.0,2=0,26; P(X=2)=0,1.0,2=0,02 Tại X=0 thì xác suất lớn nhất => Mod X= 0 16 (Trịnh Xuân Anh) Phải gieo ít nhất bao nhiêu con xúc xắc cân đối đồng chất để xác suất “có ít nhất 1 con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm” lớn hơn hay bằng 0,9 Giải: A là biến cố có ít nhất 1 xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm 𝐴̅ là biến cố không có xúc xắc nào xuất hiện mặt 6 chấm Nếu gieo n con xúc xắc thì xác suất không có mặt 6 chấm là P(𝐴̅ ) = 6𝑛 5𝑛 Theo đề bài ta có: 6𝑛 5𝑛 < 0,1 => 𝑛 > 12,6 Vậy phải gieo ít nhất 13 con xúc xắc 17 (Trịnh Xuân Anh) Một người bắn bia với khả năng bắn trúng của mỗi viên là 0,6 Người đó phải bắn ít nhất bao nhiêu viên để xác suất “có ít nhất 1 viên trúng bia” lớn hơn hay bằng 0,99 Giải: A là biến cố có ít nhất 1 viên trúng bia 𝐴̅ là biến cố khồn có viên nào trúng bia Nếu bắn n viên đạn thì xác suất không có viên nào trúng là: P(𝐴̅ ) = 0,4𝑛 < 0,01 => 𝑛 > 5,025 Vậy phải bắn ít nhất 6 viên 18 (Trịnh Xuân Anh) Gieo 6 lần một đồng xu cân đối đồng chất Xác suất để đồng xu sấp không quá 3 lần là bao nhiêu? Giải: Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 Dùng công thức Bernoulli: 𝑃6(0: 3,0,5) = 𝐶60 0,50 (1 − 0,5)6−0 + 𝐶61 0,51 (1 − 0,5)6−1 + 𝐶62 0,52 (1 − 0,5)2 6−3 21 33 + 𝐶6 0,5 (1 − 0,5) = 32 19 (Trịnh Xuân Anh) Một trò chơi có xác suất thắng ở mỗi ván là 1/50 Nếu một người chơi 50 ván thì xác suất để người này thắng ít nhất 1 ván là bao nhiêu? Giải: A là biến cố thắng ít nhất 1 ván 𝐴̅ là biến cố không thắng ván nào P(A)=1- P(𝐴̅) =1- 0,9850 ≈ 0,6358 20 (Trịnh Xuân Anh) Tổng đài điện thoại phục vụ 100 máy điện thoại Xác suất để trong mỗi phút mỗi máy gọi đến tổng đài là 0,02 Số máy gọi đến tổng đài trung bình trong 1 phút là? Giải: Số máy gọi đến tổng đài trung bình trong một phút là 𝜆 = 𝐸[𝑋] = 𝑛𝑝 = 100.0,02 = 2 21 (Trịnh Xuân Anh) Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh 1 con) Xác suất sinh con trai là 0,51 Gọi X là số con trai trong 2 lần sinh Tinh kỳ vọng của X Giải: X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0,1,2 P(X=0)=0,49.0,49=0,2401; P(X=1)=0,51.0,49+0,49.0,51=0,4998 P(X=2)=0,51.0,51=0,2601 E[𝑋]= 0.0,2401+1.0,4998+2.0,4998=1,02 22 (Trịnh Xuân Anh) Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu, mỗi câu có 4 lựa chọn và chỉ có 1 lựa chọn đúng Mỗi câu sinh viên làm đúng được 1 điểm Tính xác suất để sinh viên làm được đúng 5 điểm Giải: Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 Xác suất sinh viên làm đúng một câu là P=0,25 Gọi X là số câu sinh viên làm đúng X=0,1,2 X có phân phối nhị thức => xác suất sinh viên được đúng 5 điểm là: P(X=5)=𝐶150 0,255 (1 − 0,25)10−5 ≈ 0,0584 23 (Trịnh Xuân Anh) Xác suất để một người bị phản ứng từ việc tiêm huyết thanh là 0,001 Tìm xác suất để trong 2000 người tiêm huyết thanh, có đúng 3 người bị phản ứng Giải: Trung bình 2000 tiêm thì có 2 người bị =>λ = np = 2000.0,001 = 2 xác suất để có đúng 3 người bị phản ứng là P(X=3)=ⅇ−λ 𝜆𝑘 𝑘! = ⅇ−2 23 3! ≈ 0,1804 24 (Trịnh Xuân Anh) Trong kỳ thi trắc nghiệm môn Toán, mỗi thí sinh trả lời 10 câu, mỗi câu có 4 cách trả lời, trong đó chỉ có 1 cách trả lời đúng Kết quả trả lời các câu hỏi không ảnh hưởng đến các kết quả câu khác Điểm bài thi bằng tổng số câu trả lời đúng Thí sinh A trả lời các câu hỏi một cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để bài thi của thí sinh đó không quá 2 điểm Giải: Xác suất thí sinh làm đúng một câu là 0,25 X là số câu trả lời đúng 0,1,2 Xác suất để thí sinh được không quá 2 điểm là: P=𝐶100 0,250 (1 − 0,25)10−0 + 𝐶110 0,251 (1 − 0,25)10−1 + 𝐶120 0,252 (1 − 0,25)10−2 ≈ 0,5256 25 (Trịnh Xuân Anh) Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu có 4 cách trả lời, trong đó chỉ có 1 cách trả lời đúng Giả sử mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 4 điểm; mỗi câu trả lời sai, thí sinh bị trừ 1 điểm Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các câu trả lời Tìm xác suất để thí sinh được 13 điểm Giải: Giả sử để được 13 điểm thì số câu trả lời đúng là a, sai là 12-a Ta có 4a-1(12-a)=13=> a=5 Xác suất chọn đúng là 0,25, chọn sai là 0,75 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com)