Bài tập nhóm môn xác suất thống kê

Tìm xác suất để: a Lấy được một chính phẩm.. a Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân, tính xác suất để bệnh nhân đó là kĩ sư.. b Chọn ngẫu nhiên được bệnh nhân không phải là kĩ sư, tính xác suất

B Ộ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

Hà Nội _ Năm 2023

NH ẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN

NGƯỜI NHẬN XÉT

1 (Tr ịnh Xuân Anh) Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm Lấy ngẫu

nhiên ra 20 sản phẩm Tìm xác suất để cho trong 20 sản phẩm lấy ra:

𝐶10020 = 1,067 10−8 c) C là biến cố có đúng 5 chính phẩm P(C)= 0

2 (Tr ịnh Xuân Anh) Một hộp để lẫn lộn 18 mẫu bê tông trụ cầu và 10 mẫu bê tông mặt cầu

Một kỹ thuật viên lấy ngẫu nhiên 5 mẫu để kiểm tra Tính xác suất để:

a) 5 mẫu lấy ra đều là mẫu bê tông của trụ cầu

b) 5 mẫu lấy ra có 2 mẫu bê tông trụ cầu và 3 mẫu bê tông mặt cầu

Gi ải:

a) A là biến cố 5 mẫu lấy ra đều là mẫu bê tông trụ cầu

P(A)= 𝐶185

𝐶285 = 0,087 b) B là biến cố lấy ra có 2 mẫu trụ cầu và 3 mẫu mặt cầu

P(B)= 𝐶182 𝐶103

𝐶285 = 0,187

3 (Tr ịnh Xuân Anh) Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có 4 giỏi, 8 khá và 10 trung bình

Chọn hú họa 3 sinh viên, tính các xác suất:

a) Cả 3 đều là sinh viên yếu

b) Có ít nhất 1 sinh viên giỏi

c) Có đúng 1 sinh viên giỏi

Gi ải:

a) A là biến cố chọn đc cả 3 sinh viên yếu P(A)= 𝐶8

𝐶30 3 = 0,0137 b) B là biến cố có ít nhất 1 sinh viên giỏi

=> 𝐵̅ là biến cố không có sinh viên giỏi P(B)= 1- P(𝐵 ̅ )= 1- 𝐶263

𝐶303= 0,359 c) C là biến cố có đúng một sinh viên giỏi

P(C)= 𝐶4 𝐶262

𝐶303 = 0,32

4 (Tr ịnh Xuân Anh) Xác suất trúng đích của một lần bắn là 0,4 Cần phải bắn bao nhiêu

phát để xác suất có ít nhất một viên bắn trúng sẽ lớn hơn 0,95

Gi ải:

Gọi A là biến cố có ít nhất một viên trúng

𝐴̅ là biến cố không có viên nào trúng

Nếu bắn n phát thì xác suất bắn trượt tất cả là: P(𝐴̅ ) = 0,6𝑛

b) Có không quá 3 con trai

c) Có nhiều nhất 4 con trai

6 (Tr ịnh Xuân Anh) Một xí nghiệp có 3 xe tải với xác suất hỏng trong ngày của mỗi xc

tương ứng là 0,01; 0,005; 0,002 Tìm xác suất để trong ngày:

b) B là biến cố có ít nhất một xe bị hỏng

𝐵̅ là biến cố không có xe nào hỏng

P(B)= 1- P(𝐵̅) = 1 −P(𝐴̅1) 𝑃(𝐴̅2).𝑃(𝐴̅3)=0,017

7 (Tr ịnh Xuân Anh) Một phân xưởng có 3 máy với xác suất trục trặc trong ngày của mỗi

máy là 0,1; 0,05 và 0,2 Cuối ngày thấy có 2 máy trục trặc Tính xác suất để đó là máy thứ hai và máy thứ ba

Gi ải:

Ai là xác suất máy thứ i bị hỏng

A là xác xuất có hai máy bị hỏng

Xác xuất để máy thứ 2 và 3 bị hỏng là P(A2A3|A)= 𝑃(𝐴2 𝐴3 𝐴)

𝑃(𝐴) =

𝑃(𝐴2).𝑃(𝐴3).𝑃(𝐴1 ̅̅̅̅) 𝑃(𝐴1.𝐴2.𝐴3 ̅̅̅̅)+𝑃(𝐴1 ̅̅̅̅.𝐴2.𝐴3)+𝑃(𝐴1.𝐴2 ̅̅̅̅.𝐴3)= 0,05.0,2.0,9

0,1.0,05.0,8+0,9.0,05.0,2+0,1.0,95.0,2= 0,2815

8 (Tr ịnh Xuân Anh) Để nhập được kho, sản phẩm của nhà máy phải qua 3 phòng để kiểm

tra chất lượng, xác suất phát hiện ra phế phẩm ở các phòng theo thứ tự là 0,8; 0,9; 0,99 Tìm xác suất phế phẩm được nhập kho

Gi ải:

Gọi Ailà phế phẩm không bị phát hiện ở phòng thứ i

A là xác xuất phế phẩm được nhập kho

P(A)= (1-0,8).(1-0,9).(1-0,99)=0,0002

9 (Tr ịnh Xuân Anh) Một hộp chứa 3 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh Một hộp khác chứa 10

bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi xanh Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi Tìm xác suất để hai bi lấy

ra cùng màu

Gi ải:

A1,B1,C1 lần lượt là biến cố lấy đc bi màu trắng, đỏ, xanh ở hộp 1

A2, B2, C2 lần lượt là biến cố lấy đc bi màu trắng, đỏ, xanh ở hộp 2

Vì các biến cố trên độc lập nên:

A là biến cố lấy đc hai bi màu trắng P(A)= P(A1).P(A2)= 253 1025= 6

D là biến cố lấy đc hai bi cùng màu

a) A là biến cố lấy đc một chính phẩm P(A)= 10090 10020 +10080 10010 = 0,26

b) Gọi B là biến cố lấy ít nhất một chính phẩm

𝐵̅ là biến cố không lấy đc chính phẩm nào

P(B)=1 – P(𝐵̅)= 1 - 10010 10020 = 0,98

11 (Tr ịnh Xuân Anh) Tỷ lệ hút thuốc ở một vùng là 35% Theo thống kê biết rằng tỷ lệ viêm

họng trong số người hút thuốc là 60%, còn trong số người không hút thuốc là 30% Khám

ngẫu nhiên một người thì thấy anh ta bị viêm họng Tìm xác suất để đó là người hút thuốc

Nếu anh ta không bị viêm họng thì xác suất đó là bao nhiêu

Gi ải:

Gọi A1 là biến cố người đó hút thuốc

A2 là biến cố người đó không hút thuốc

B là biến cố người đó viêm họng

P(B)= P(A1).P(B|A1) + P(A2).P(B|A2) = 0,35.0,6+ 0,65.0,3=0,405

P(A1|B)= 𝑃(𝐴1).𝑃(𝐵|𝐴1)

𝑃(𝐵) =

0,35.0,0,6 0,405 = 0,5185

Gọi 𝐵̅ là biến cố người đó không viêm họng

P(𝐵̅)= 1- P(B)= 0,595

Xác xuất để người đó hút thuốc nhưng không viêm họng là

P(A|𝐵̅)=𝑃(𝐴1).𝑃(𝐵̅|𝐴1)= 0,35.0,4= 0,235

12 (Tr ịnh Xuân Anh) Trong một bệnh viện, tỷ lệ bệnh nhân của các tỉnh như sau:

Tỉnh A: 25%; Tỉnh B: 35%; Tỉnh C: 40%

Biết rằng tỷ lệ bệnh nhân là kĩ sư của các tỉnh như sau:

Tỉnh A: 2%; Tỉnh B: 3%; Tỉnh C: 3,5%

a) Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân, tính xác suất để bệnh nhân đó là kĩ sư

b) Chọn ngẫu nhiên được bệnh nhân không phải là kĩ sư, tính xác suất để bệnh nhân đó là

của tỉnh A

Gi ải:

a) Gọi A,B,C lần lượt là biến cố bệnh nhận thuộc tỉnh A,B,C

D là biến cố bệnh nhân đó là kĩ sư

13 (Tr ịnh Xuân Anh) Một lô hàng gồm 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm Chọn ngẫu

nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng X là số sản phẩm tốt lấy được Kỳ vọng E(X)bằng

35+ 2.1835+ 3.1235+ 4.351 =167

14 (Tr ịnh Xuân Anh) Một lô hàng gồm 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm Chọn ngẫu

nhiên 4 sản phẩm từlô hàng X là số sản phẩm tốt lấy được Mốt m0 bằng

15 (Tr ịnh Xuân Anh) Một phân xưởng có hai máy hoạt động độc lập Xác suất trong một

ngày làm việc các máy đó hỏng tương ứng là 0,1; 0,2 Gọi X là số máy hỏng trong một ngày làm việc Mốt m0 của X là:

16 (Tr ịnh Xuân Anh) Phải gieo ít nhất bao nhiêu con xúc xắc cân đối đồng chất để xác suất

“có ít nhất 1 con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm” lớn hơn hay bằng 0,9

Gi ải:

A là biến cố có ít nhất 1 xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm

𝐴 ̅ là biến cố không có xúc xắc nào xuất hiện mặt 6 chấm

Nếu gieo n con xúc xắc thì xác suất không có mặt 6 chấm là

P(𝐴̅ ) =56𝑛𝑛 Theo đề bài ta có: 56𝑛𝑛< 0,1 => 𝑛 > 12,6

Vậy phải gieo ít nhất 13 con xúc xắc

17 (Tr ịnh Xuân Anh) Một người bắn bia với khả năng bắn trúng của mỗi viên là 0,6 Người

đó phải bắn ít nhất bao nhiêu viên để xác suất “có ít nhất 1 viên trúng bia” lớn hơn hay bằng 0,99

Gi ải:

A là biến cố có ít nhất 1 viên trúng bia

𝐴 ̅ là biến cố khồn có viên nào trúng bia

Nếu bắn n viên đạn thì xác suất không có viên nào trúng là:

P(𝐴 ̅ ) = 0,4𝑛< 0,01 => 𝑛 > 5,025 Vậy phải bắn ít nhất 6 viên

18 (Tr ịnh Xuân Anh) Gieo 6 lần một đồng xu cân đối đồng chất Xác suất để đồng xu sấp

không quá 3 lần là bao nhiêu?

ải:

Dùng công thức Bernoulli:

𝑃6(0: 3,0,5) = 𝐶60 0,50 (1 − 0,5)6−0+ 𝐶61 0,51 (1 − 0,5)6−1+ 𝐶62 0,52 (1 − 0,5)2

+ 𝐶63 0,53 (1 − 0,5)6−3=2132

19 (Tr ịnh Xuân Anh) Một trò chơi có xác suất thắng ở mỗi ván là 1/50 Nếu một người chơi

50 ván thì xác suất để người này thắng ít nhất 1 ván là bao nhiêu?

Gi ải:

A là biến cố thắng ít nhất 1 ván

𝐴 ̅ là biến cố không thắng ván nào

P(A)=1- P(𝐴̅) =1- 0,9850≈ 0,6358

20 (Tr ịnh Xuân Anh) Tổng đài điện thoại phục vụ 100 máy điện thoại Xác suất để trong

mỗi phút mỗi máy gọi đến tổng đài là 0,02 Số máy gọi đến tổng đài trung bình trong 1 phút là?

Gi ải:

Số máy gọi đến tổng đài trung bình trong một phút là

𝜆 = 𝐸[𝑋] = 𝑛𝑝 = 100.0,02 = 2

21 (Tr ịnh Xuân Anh) Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh 1 con) Xác suất sinh con trai là

0,51 Gọi X là số con trai trong 2 lần sinh Tinh kỳ vọng của X

22 (Tr ịnh Xuân Anh) Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu, mỗi câu có 4 lựa chọn và chỉ có 1

lựa chọn đúng Mỗi câu sinh viên làm đúng được 1 điểm Tính xác suất để sinh viên làm được đúng 5 điểm

Gi ải:

Xác suất sinh viên làm đúng một câu là P=0,25

Gọi X là số câu sinh viên làm đúng X=0,1,2

X có phân phối nhị thức => xác suất sinh viên được đúng 5 điểm là:

P(X=5)=𝐶105 0,255 (1 − 0,25)10−5≈ 0,0584

23 (Tr ịnh Xuân Anh) Xác suất để một người bị phản ứng từ việc tiêm huyết thanh là 0,001

Tìm xác suất để trong 2000 người tiêm huyết thanh, có đúng 3 người bị phản ứng

Gi ải:

Trung bình 2000 tiêm thì có 2 người bị =>λ = np = 2000.0,001 = 2

xác suất để có đúng 3 người bị phản ứng là P(X=3)=ⅇ−λ.𝜆𝑘!𝑘 = ⅇ−2.23!3≈ 0,1804

24 (Tr ịnh Xuân Anh) Trong kỳ thi trắc nghiệm môn Toán, mỗi thí sinh trả lời 10 câu, mỗi

câu có 4 cách trả lời, trong đó chỉ có 1 cách trả lời đúng Kết quả trả lời các câu hỏi không ảnh hưởng đến các kết quả câu khác Điểm bài thi bằng tổng số câu trả lời đúng Thí sinh A

trả lời các câu hỏi một cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để bài thi của thí sinh đó không quá 2 điểm

25 (Tr ịnh Xuân Anh) Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu có 4 cách trả lời,

trong đó chỉ có 1 cách trả lời đúng Giả sử mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 4 điểm; mỗi câu trả lời sai, thí sinh bị trừ 1 điểm Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các câu

trả lời Tìm xác suất để thí sinh được 13 điểm

Gi ải:

Giả sử để được 13 điểm thì số câu trả lời đúng là a, sai là 12-a

Ta có 4a-1(12-a)=13=> a=5

Có 𝐶125 cách chọn 5 câu đúng và 7 câu sai

Vậy xác suất để được 13 điểm là: 𝐶125 0,255 0,757≈ 0,1032

26 (Tr ịnh Xuân Anh) Theo lý thuyết, nếu X và Y là hai ĐLNN độc lập có phân phối chuẩn

thì aX+bY cũng có phân phối chuẩn Cho X ∈N(7;0,04), Y ∈N(4;0,09) Tính xác suất P( 2X+ 3Y <25), P(10 ≤3X - 2Y ≤ 12)

27 (Tr ịnh Xuân Anh) Năng suất lúa ở một địa phương là biến ngẫu nhiên có phân phối

chuẩn với kỳ vọng 42tạ/ha và  = 3tạ/ha Tìm xác suất để khi gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng thì có 2 thửa có năng suất sai lệch so với trung bình không quá 1tạ/ha

Gi ải:

28 (Tr ịnh Xuân Anh) Một viên đạn có tầm xa trung bình là  = 300m Giả sử tầm xa đó là

một biến ngẫu nhiên tuân theo luật chuẩn với  = 10 Hãy tìm tỷ lệ đạn bay quá tầm xa trung bình từ 315 đến 330m

Gi ải:

P(315<X<330)=Ф0(330−30010 ) − Ф0(315−30010 )=Ф0(3) − Ф0(1,5)

= 0,4987 − 0,4332 = 0,0655

29 (Tr ịnh Xuân Anh) Trọng lượng các sản phẩm là một đại lượng ngẫu nhiên với trung

bình 5kg và phương sai 1002g2 Sản phẩm được đóng thành lô, mỗi lô 100 sản phẩm Lô có

trọng lượng trên 5,1kg là loại A Tính tỷ lệ lô loại A

𝑠2=𝑛 ∑ 𝑛1 𝑖 (𝑥𝑖)2

𝑘 𝑖=1

32 (Tr ịnh Xuân Anh) Đo chiều cao của 100 thanh niên từ 18 tuổi đến 22 tuổi ở tỉnh A, ta thu

được bảng số liệu sau:

Chiều cao xi

33 (Tr ịnh Xuân Anh) Điều tra doanh số hàng tháng của 100 hộ kinh doanh một ngành hàng,

ta thu được bảng số liệu sau:

𝑆′2 =𝑛 − 1 ∑ 𝑛1 𝑖 (𝑥𝑖− 𝑋̅)2

𝑘 𝑖=1

b) Hãy ước lượng doanh số trung bình hàng tháng của các hộ kinh doanh mặt hàng này với

độ tin cậy 95% Giả thiết rằng doanh số bán hàng của các hộ là BNN có phân phối chuẩn

Khoảng tin cậy: (11,755 − 1,96.√1000,14; 11,755 + 1,96.√1000,14) = (11,728; 11,782)

36 (Tr ịnh Xuân Anh) Năng suất của một giống ngô A ở một vùng được thống kê ở 25 điểm

thu hoạch có kết quả sau:

Năng suất(𝑡ạ ℎ𝑎⁄ ) 7 9 11 13 17

a) Tính 𝑋̅ ,s’

b) Với độ tin cậy 95%, hãy tính năng suất ngô tối thiểu của vùng này biết năng suất ngô của vùng là BNN có phân phối chuẩn

Vậy năng suất trung bình tối thiểu là 9,89

37 (Tr ịnh Xuân Anh) Để định mức thời gian gia công chi tiết máy, người ta theo dõi ngẫu

nhiên quá trình gia công 25 chi tiết và thu được bảng số liệu:

(-∞; 𝑋̅ + 𝑡𝛼 (𝑛 − 1).√𝑛𝑠′)

Độ tin cậy: 1-α=0,95=> α=0,05 => 𝑡0,05(24) = 1,711

Khoảng tin cậy bên trái: (-∞; 18+1,711.2,45√25)= (-∞; 18,84)

Vậy thời gian tối đa là 18,84 phút

38 (Tr ịnh Xuân Anh) Để ước lượng điểm thi đại học trung bình môn toán của học sinh

trường A, người ta theo dõi điểm thi (X) của 50 học sinh và thu được kết quả sau:

Độ rộng khoảng tin cậy hiên tại là 6,5742 − 5,2658 = 1,3084

Độ rộng khoảng tin cậy còn một nửa là 0,6542

 2 𝑢𝛼2.√𝑛𝜎 = 0,6542 => n= (2.𝑢𝛼⁄2 𝑠′

0,6542)2= (2.1,96.2,360,6542 )2≈ 200

 Vậy muốn độ rộng khoảng tin cậy giảm một nửa thì phải theo dõi 200 học sinh

39 (Tr ịnh Xuân Anh) Người ta điều tra mức thu nhập hàng tháng của một số người dân

trong một vùng và được số liệu sau:

Mức thu nhập trung bình trong khoảng: (6,2-1,96.2,68√50; 6,2 + 1,96.2,68√50) = (5,46; 6,94)

40 (Tr ịnh Xuân Anh)Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm do một nhà máy sản suất thấy có

160 sản phẩm loại một Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại một tối đa của nhà máy đó với độ tin cậy 95%

Khoảng tỷ lệ sản phẩm loại một tối đa: (0; 0,4 + 1,65 √0,4.(1−0,4)400 ) = (0; 0,44)

Vậy tỷ lệ sản phẩm loại một tối đa là 44%

41 (Tr ịnh Xuân Anh) Mở thử 100 hộp của một kho đồ hộp, người ta thấy có 10 hộp biến

chất Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỷ lệ hộp biến chất ở kho đồ hộp

Gọi p là “ tỷ lệ họp biến chất ở kho đồ hộp” Khoảng tin cậy cho p có dạng:

(𝑓 − 𝑢𝛼2 √𝑓(1−𝑓)𝑛 ; 𝑓 + 𝑢𝛼2 √𝑓(1−𝑓)𝑛 ) ; f=10010 = 0,1

Độ tin cậy: 1-α=0,95=> 𝛼 2⁄ = 0,025 => 𝑢𝛼

2= 1,96 Khoảng tin cậy:

(0,1 − 1,96 √0,1 ⋅ (1 − 0,1)100 ; 0,1 + 1,96 √0,1 ⋅ (1 − 0,1)100 ) = (0,041; 0,158)

Vậy tỷ lệ hộp biến chất ở kho trong khoảng 4,1% đến 15,8%

42 (Tr ịnh Xuân Anh) Gieo thử 400 hạt giống trong một bao bì thấy có 50 hạt không nảy

mầm Ước lượng xem tỷ lệ hạt không nảy mầm trong cả bao bì tối đa là bao nhiên với độ tin

Khoảng tin cậy tối đa: (0; 0,125+ 1,65.√0,125(1−0,125)400 ) = (0; 0,152)

Vậy tỷ lệ hạt không nảy mầm tối đa là 15,2%

43 (Tr ịnh Xuân Anh) Năng suất của một loại cây trồng là BNN có phân bố chuẩn Kết quả

thống kê của 25 mảnh vườn cho ta bộ số liệu:

44 (Tr ịnh Xuân Anh) Để kiểm tra chất lượng nền đường người ta lấy ngẫu nhiên 60 mẫu

bê tông từ quãng đường đang được nghiệm thu, đo mức độ chịu lực của chúng và thu được giá trị như sau:

Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng tỷ lệ mẫu bê tông trên quãng đường đang được nghiệm thu có độ chịu lực thấp hơn quy định Biết độ chịu lực quy định lớn hơn hoặc bằng 5,5

45 (Tr ịnh Xuân Anh) Lấy ngẫu nhiên 250 sản phẩm trong kho của một nhà máy nọ đem

cân thì được kết quả sau:

Trọng lượng X(Kg) 10 10,05 10,1 10,15 10.2 10,25 10,3

a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng trọng lượng trung bình của sản phẩm có trong kho

Biết trọng lượng của một sản phẩm trong kho là BNN có phân phối chuẩn

b) Với độ tin cậy 99%, có thể nói trọng lượng trung bình tối đa, tối thiểu của các sản phẩm trong kho bằng bao nhiêu?

c) Với độ tin cậy 99%, hãy ước lượng số sản phẩm có trọng lượng từ 10,1 đến 10,2 kg trong kho, biết rằng trong kho có 3000 sản phẩm

Khoảng tin cậy tối thiểu: (𝑋̅ − 𝑢𝛼⋅√𝑛𝑆′; +∞)

Độ tin cậy: 1-α=0,99=> α=0,01=> u0,01= 2,33

Khoảng tin cậy tối đa: (−∞; 10,14 + 2,33.0,097√250) = (−∞; 10,154)

Khoảng tin cậy tối thiểu: (10,14 − 2,33.0,097√250; +∞) = (10,126; +∞)

Vậy trọng lượng tối đa là 10,154kg, tối thiểu là 10,126kg

c) Gọi p là “tỷ lệ số sản phẩm có trọng lượng từ 10,1 đến 10,2 trong kho” Khoảng tin cậy có

Khoảng tin cậy có dạng: (168250− 2,58 √

Số sản phẩm có trọng lượng từ 10,1 đến 10,2 có trong kho là:

(0,595.3000; 0,749.3000)=(1758;2247)

46 (Tr ịnh Xuân Anh) Để kiểm tra chất lượng một lô lớn các màn hình máy tính xuất khẩu,

người ta đã lấy ngẫu nhiên 100 màn hình để kiểm tra chất lượng và thấy 4 màn hình có khuyết tật

1.Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng tỷ lệ màn hình có khuyết tật của lô hàng đó 2.Cũng với

độ tin cậy trên hãy ước lượng số màn hình có khuyết tật tối đa nếu lô hàng có 10000 màn hình

Khoảng tin cậy là: (0; 0,04 + 1,65 √0,04(1−0,04)100 ) = (0; 0,072)

Số màn hình có khuyết tật tối đa nếu lô hàng có 10000 màn hình là: 0,072.10000=723

47 (Tr ịnh Xuân Anh) Trong 500 viên thuốc được chọn ngẫu nhiên từ một máy dập tự động,

có 72 viên sứt mẻ Với độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng ước lượng cho tỷ lệ thuốc bị sứt mẻ trong lô thuốc do máy đó dập nên

Gi ải:

Gọi p là “tỷ lệ thuốc bị sứt mẻ trong lô thuốc” Khoảng tin cậy có dạng:

a) Tính các đặc trưng của mẫu

b) Ước lượng khoảng tin cậy thời gian trung bình hoàn thành sản phẩm với độ tin cậy 95%

Khoảng tin cậy: (15 − 2,064.2,236√25 ; 15 + 2,064.2,236√25) = (14,08; 15,92)

49 (Tr ịnh Xuân Anh) Trọng lượng sản phẩm (X) do nhà máy sản xuất ra là đại lượng ngẫu

nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn  = 2kg và trọng lượng trung bình là 20kg Nghi ngờ máy hoạt động không bình thường làm thay đổi trọng lượng trung bình của sản

phẩm Người ta cân thử 100 sản phẩm và thu được kết quả sau:

Chấp nhận H Vậy nghi ngờ trên là sai

50 (Tr ịnh Xuân Anh) Nếu máy móc hoạt động bình thường thì trọng lượng sản phẩm (X) là

đại lượng ngâu nhiên tuân theo quy luật chuẩn với kỳ vọng  =100gam , độ lệch chuẩn  = 2gam Qua một thời gia sản xuất người ta nghi ngờ trọng lượng của sản phẩm có xu hướng tăng Cân thử 100 sản phẩm thì được trọng lượng trung bình là 100,4gam Với mức ý nghĩa

 = 0,05 Hãy kết luận điều nghi ngờ nói trên

Bác bỏ H Vậy nghi ngờ trên là đúng

51 (Tr ịnh Xuân Anh) Trong điều kiện chăn nuôi bình thường, lượng sữa trung bình của một

con bò là 14kg một ngày Nghi ngờ điều kiện chăn nuôi bò kém đi làm cho lượng sữa giảm

xuống Người ta điều tra ngẫu nhiên 25 con bò và tính được lượng sữa trung bình của một con trong một ngày là 12,5 kg và độ lệch tiêu chuẩn hiệu chỉnh là S’= 2,5kg Với mức ý nghĩa

 = 0,05 , hãy kết luận điều nghi ngờ nói trên

Gi ải:

Gọi X là lượng sữa của một con bò hàng ngày có phân bố chuẩn X~N(µ; 𝜎2), µ=14 Đây là bt

kiểm định giả thuyết cho µ khi chưa bt phương sai và n<30

52 (Tr ịnh Xuân Anh) Định mức thời gian hoàn thành sản phẩm là 14 phút Có cần thay đổi

định mức không, nếu theo dõi thời gian hoàn thành một sản phẩm ở 25 công nhân ta thu được bảng số liệu sau:

Thời gian(phút) 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20

Yêu cầu kết luận với mức ý nghĩa  = 0,05 , biết rằng thời gian hoàn thành một sản phẩm (X)

là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn

𝑇𝑞𝑠 =15−14√5 √25= 2,236 ∈ 𝑊𝛼

Bác bỏ H Vậy cần phải thay đổi định mức hoàn thành sản phẩm

53 (Tr ịnh Xuân Anh) Tỷ lệ phế phẩm do một máy tự động sản xuất là 5% Kiểm tra ngẫu

nhiên 300 sản phẩm thấy có 24 sản phẩm là phế phẩm Từ đó có ý kiến cho rằng tỷ lệ phế

phẩm do máy đó sản xuất có chiều hướng tăng Hãy kết luận ý kiến nêu trên với mức ý nghĩa  = 0,05

Bác bỏ H Vậy ý kiến trên là đúng

54 (Tr ịnh Xuân Anh) Thông thường một máy đóng gói được coi là đạt yêu cầu nếu 90%

sản phẩm đạt một trọng lượng quy định nào đó Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm thì thấy 87 đạt trọng lượng quy định Hãy kiểm định xem với  = 0,05 máy hoạt động đạt yêu cầu hay không

𝑈𝑞𝑠=√0,9.(1−0,9)0,87−0,9 √100 = −1 ∉ 𝑊𝛼

Chấp nhận H Vậy máy hoạt động đạt yêu cầu

55 (Tr ịnh Xuân Anh) Đo chiều cao của 100 nữ sinh ta có kết quả sau:

Chiều cao(m) 1,52-1,56 1,56-1,60 1,60-1,64 1,64-1,68 1,68-1,70

Giả sử số đo chiều cao là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn

a) Với độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của chiều cao trung bình của nữ sinh

b) Theo anh (hay chị) với mức ý nghĩa  = 5% có thể chấp nhận ý kiến cho rằng chiều cao trung bình của nữ sinh là 1,58m được không?

𝑈𝑞𝑠=1,5978−1,580,0487 √100 = 3,66 ∈ 𝑊𝛼

Bác bỏ H Vậy không thể chấp nhận ý kiến trên

56 (Tr ịnh Xuân Anh) Trong một cuộc bầu cử tổng thống, khi thăm dò ngẫu nhiên 2500 cử

tri thấy có 1500 người nói sẽ bầu cử cho ứng cử viên A

a) Với độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng tin cậy của tỷ lệ phiếu bầu cho ứng cử viên A

b) Theo anh ( hay chị) có thể chấp nhận kết luận của một hãng điều tra cho rằng ứng cử viên

A sẽ thu được 63% số phiếu bầu với mức ý nghĩa  = 0,05 được không?

Gi ải:

a) Gọi p là tỉ lệ phiếu bầu cho ứng cử viên A Đây là bt ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ Do

đó khoảng tin cậy có dạng:

(𝑓 − 𝑢𝛼2 √𝑓(1−𝑓)𝑛 ; 𝑓 + 𝑢𝛼2 √𝑓(1−𝑓)𝑛 ) ; f=1500/2500=0,6

Độ tin cậy: 1-α=0,95=> α/2=0,025=> 𝑢0,025= 1,96

Khoảng tin cậy là: (0,6 − 1,96 √0,6(1−0,6)2500 ; 0,6 + 1,96 √0,6(1−0,6)2500 )

=(0,5808;0,6192)

Vậy tỷ lệ phiếu bầu cho ứng cử viên A trong khoảng từ 58,08% đến 61,92%

b) Gọi p là tỷ lệ phiếu bầu cho ứng cử viên A Đây là bt kiểm định giả thuyết cho tỷ lệ

57 (Tr ịnh Xuân Anh) Để ước lượng chiều cao trung bình của học viên, người ta đo chiều

cao của 100 học viên (giả sử chiều cao của học viên là biến ngẫu nhiên X có phân bố

chuẩn) và thu được kết quả sau:

a) Với độ tin cậy 95% chiều cao trung bình nằm trong khoảng nào?

b) Có người cho rằng chiều cao trung bình lớn hơn 1,7 m Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm

định xem khẳng định trên đúng hay sai

Gi ải:

a) Gọi X là chiều cao trung bình của học viên có X~N(µ; ; 𝜎2) Đây là bài toán ước lượng

khoảng tin cậy khi chưa bt phương sai và n>30 Do đó khoảng tin cậy có dạng: (𝑋̅ − 𝑢𝛼2.√𝑛𝑠′ ; 𝑋̅ + 𝑢𝛼2.√𝑛𝑠′)

Ta có: 𝑋̅ =15.1,625+40.1,675+⋯+10.1,775100 = 1,695

𝑠2=15 1,6252+ 40 1,6751002+ ⋯ + 10 1,77521− 1,6952= 0,00185

𝑠′2=10099 0,00185 = 0,00187 ; 𝑠′ = √0,00187 = 0,043

Độ tin cậy: 1 − 𝛼 = 0,95 =>𝛼2 = 0,025 => 𝑢0,025= 1,96

Khoảng tin cậy là: (1,695 − 1,96.0,043√100; 1,695 + 1,96.0,043√100) = (1,686; 1,703)

b) Gọi X là chiều cao trung bình của học viên có X~N(µ; ; 𝜎2) Đây là bt kiểm định giả thuyết

cho giá trị trung bình khi chưa bt phương sai và n>30

Chấp nhận H Vậy khẳng định trên là sai

58 (Tr ịnh Xuân Anh) Để điều tra thời gian hoàn thành một sản phẩm của công nhân người

ta chọn ngẫu nhiên 100 công nhân và thu được kết quả sau:

b) Có người nói thời gian trung bình hoàn thành một sản phẩm của công nhân là 15 phút Với

mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định xem điều đó đúng hay sai

Gi ải:

a) Gọi X là “thời gian trung bình công nhân hoàn thành xong một sản phẩm”, X~N(µ; ; 𝜎2) Đây

là bài toán ước lượng khoảng tin cậy khi chưa biết phương sai và n>30 Do đó khoảng tin cậy

Khoảng tin cậy là: (15,85 − 1,96.√1001,76; 15,85 + 1,96.√1001,76 ) = (15,5; 16,2)

b) Gọi X là “thời gian trung bình công nhân hoàn thành xong một sản phẩm”, X~N(µ; ; 𝜎2) Đây

là bt kiểm định giả thuyết khi chưa phương sai và n>30

59 (Tr ịnh Xuân Anh) Điều tra mức chi tiêu hàng năm của 100 công nhân ở một công ty thu

được số liệu sau:

b) Gọi X là mức chi tiêu trung bình của mỗi công nhân, có X~N(µ; ; 𝜎2) Đây là bt kiểm định

giả thuyết cho giá trị trung bình khi chưa bt phương sai và n> 30

𝑇𝑞𝑠 =16,6−160,581 √100 = 10,32 ∈ 𝑊𝛼

Bác bỏ H Vậy có thể nói mức chi tiêu trung bình của công nhân năm nay cao hơn

60 (Tr ịnh Xuân Anh) Quá trình sản xuất xà phòng tắm đóng chai được coi là bình thường

về mặt khối lượng nếu khối lượng trung bình các chai hoàn chỉnh là 20 (ounce) Mẫu 9 chai

được kiểm tra cho kết quả khối lượng là:

21,4; 19,7; 19,7; 20,6; 20,8; 20,1; 19,7; 20,3; 20,9

Giả sử rằng khối lượng của chai xà phòng có phân bố chuẩn

a) Hãy kiểm tra xem quá trình sản suất có bình thường không với mức ý nghĩa 5%?

b) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng khoảng cho khối lượng trung bình của các chai xà phòng

Gi ải:

a) Gọi X là khối lượng trung bình của các chai xà phòng có X~N(µ; ; 𝜎2) Đây là bt kiểm định

giả thuyết khi chưa biết phương sai và n<30

Chấp nhận H Vậy quá trình sản xuất bình thường

b) Gọi X là khối lượng trung bình của các chai xà phòng có X~N(µ; ; 𝜎2) Đây là bt ước lượng khoảng tin cậy khi chưa biết phương sai và n<30 Do đó khoảng tin cậy có dạng: (𝑋̅ − 𝑡𝛼2(𝑛 − 1).√𝑛𝑠′ ; 𝑋̅ + 𝑡𝛼2(𝑛 − 1).√𝑛𝑠′)

Ta có: 𝑋̅ = 20,36, 𝑠′ = 0,613, 𝑛 = 9

Độ tin cậy: 1- 𝛼 = 0,95 =>𝛼2 = 0,025 => 𝑡0,025(8) = 2,306

Khoảng tin cậy là: (20,36 − 2,306.0,613√9 ; 20,36 + 2,306.0,613√9 )

= (20,2; 20,5)

61 (Tr ịnh Xuân Anh) Một kho hạt giống có tỷ lệ nảy mầm là 90% Do điều kiện thời tiết thay

đổi, nên người ta kiểm tra lại chất lượng hạt giống bằng cách: gieo 200 hạt và thấy có 140

Bác bỏ H Vậy thời tiết ảnh hưởng xấu tới tỷ lệ nảy mầm của hạt giống

b) Gọi p là “tỷ lệ nảy mầm của hạt giống ” Đây là bt ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ Do

đó khoảng tin cậy có dạng:

(𝑓 − 𝑢𝛼2 √𝑓(1 − 𝑓)𝑛 ; 𝑓 + 𝑢𝛼2 √𝑓(1 − 𝑓)𝑛 )

Ta có: f=0,7, n=200

Độ tin cậy: 1- 𝛼 = 0,95 =>𝛼2= 0,025 => 𝑢0,025 = 1,96

=(0,636; 0,764)

Vậy tỷ lệ nảy mầm của hạt giống là từ 63,6% đến 76,4%

62 (Tr ịnh Xuân Anh) Khi thăm dò mức chi tiêu (triệu đồng) của khách hàng tại một siêu thị,

người ta thu được kết quả sau:

Bác bỏ H Vậy có thể nói tỷ lệ khách hàng mua sắm từ 1tr trở lên lớn hơn 30%

b) Gọi X là tiền mua sắm trung bình của khách hàng Đây bài toán ước lượng khoảng tin cậy khi chưa bt phương sai và n>30 Do đó khoảng tin cậy có dạng: