Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Xác suất thống kê về Biến ngẫu nhiên gồm có những nội dung chính sau: Định nghĩa biến ngẫu nhiên, phân loại biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất, bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất, các tham số đặc trưng.
Outline BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa Định nghĩa Phân loại Phân loại Phân phối xác suất Phân phối xác suất Nguyễn Văn Thìn Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất BỘ MƠN THỐNG KÊ TỐN HỌC KHOA TỐN - TIN HỌC Các tham số đặc trưng Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM Outline Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Biến ngẫu nhiên: Định nghĩa Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Phân phối xác suất BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa Phân loại Phân loại Các tham số đặc trưng Tháng năm 2016 BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X ánh xạ từ không gian biến cố sơ cấp Ω vào R, X : Ω −→ R ω −→ X = X (ω) Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Người ta thường dùng chữ in hoa X , Y , Z , để ký hiệu biến ngẫu nhiên chữ in thường x, y , z, để giá trị biến ngẫu nhiên Outline Biến ngẫu nhiên: Ví dụ BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Ví dụ Xét phép thử tung hai đồng xu Không gian mẫu phép thử Ω = {SS, SN, NS, NN} Gọi X số mặt ngửa xuất Khi đó, X ánh xạ từ không gian mẫu Ω vào R sau: ω X (ω) SS NS SN NN Định nghĩa Định nghĩa Phân loại Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Biến ngẫu nhiên: Phân loại Biến ngẫu nhiên: Phân loại BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Dựa vào miền giá trị biến ngẫu nhiên mà người ta phân thành loại sau Nguyễn Văn Thìn Biến ngẫu nhiên rời rạc Phân loại Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên gọi rời rạc tập hợp giá trị mà nhận tập hữu hạn vô hạn đếm Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Định nghĩa Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Ví dụ Tung xúc sắc cân đối Gọi X số chấm xuất X biến ngẫu nhiên rời rạc tập giá trị mà nhận {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ví dụ Các biến ngẫu nhiên X sau biến ngẫu nhiên liên tục: Hàm mật độ xác suất Biến ngẫu nhiên liên tục Biến ngẫu nhiên gọi liên tục tập hợp giá trị mà nhận khoảng dạng (a, b) toàn R Các tham số đặc trưng (a) Chọn ngẫu nhiên thời điểm ngày đo nhiệt độ khơng khí (X ) (b) Chọn ngẫu nhiên bóng đèn điện tử đo thời gian hoạt động bình thường (X ) (c) Chọn ngẫu nhiên hợp chất hóa học đo độ pH (X ) Outline Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Định nghĩa Phân loại Định nghĩa Phân loại Phân loại Phân phối xác suất Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Kí hiệu Cho A ⊂ R Ta kí hiệu (X ∈ A) = {ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A} Chẳng hạn, ta viết Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng (X = a) = {ω ∈ Ω : X (ω) = a} (X ≤ a) = {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ a} Các tham số đặc trưng Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Hàm phân phối xác suất: Định nghĩa tính chất Bảng phân phối xác suất BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất BIẾN NGẪU NHIÊN Để mô tả biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị với xác suất tương ứng người ta dùng bảng phân phối xác suất Bảng có hai dịng sau - Dòng thứ giá trị mà biến ngẫu nhiên X nhận Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Cho biến ngẫu nhiên X , hàm thực Định nghĩa FX : R −→ [0, 1] x −→ P (X ≤ x) Phân loại Phân phối xác suất gọi hàm phân phối xác suất X Bảng phân phối xác suất - Dòng thứ hai xác suất biến ngẫu nhiên X nhận giá trị tương ứng X P x1 P(X = x1 ) x2 P(X = x2 ) ··· ··· xn P(X = xn ) ··· ··· Hàm phân phối xác suất Mệnh đề Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Hàm phân phối xác suất F (x) ≡ FX (x) có tính chất sau: (i) khơng giảm: x ≤ y ⇒ F (x) ≤ F (y ), (ii) liên tục phải: lim+ F (x) = F (x0 ) với số thực x0 , x→x0 (iii) F (−∞) = lim F (x) = 0, x→−∞ F (+∞) = lim F (x) = 1, x→+∞ (iv) P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) với a ≤ b Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Giả sử biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất X P x1 p1 x2 p2 ··· ··· x3 p3 xk pk xk+1 pk+1 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc BIẾN NGẪU NHIÊN ··· ··· Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Định nghĩa Phân loại Phân loại Phân phối xác suất Nếu x < x1 (X ≤ x) = Ø ta có F (x) = P(X ≤ x) = P(Ø) = Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Nếu xk ≤ x < xk+1 thì, Hàm mật độ xác suất (X ≤ x) = (X ∈ {x1 , x2 , , xk }) = (X = x1 )∪(X = x2 )∪ .∪(X = xk ) Các tham số đặc trưng Mặt khác, biến cố (X = xi ) xung khắc đôi nên F (x) = P(X ≤ x) = P(X = x1 ) + P(X = x2 ) + + P(X = xk ) = p1 + p2 + + pk Vậy hàm phân phối xác suất X p1 p + p FX (x) = p1 + p2 + + pk x < x1 x1 ≤ x < x2 x2 ≤ x < x3 xk ≤ x < xk+1 F (x) = P(X ≤ x) = P(X = x1 )+P(X = x2 )+ .+P(X = xk ) BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Ví dụ BIẾN NGẪU NHIÊN Tung đồng xu cân đối đồng chất Gọi X số mặt sấp xuất Hãy lập bảng phân phối xác suất X xác định hàm phân phối Bảng phân phối xác suất Gợi ý Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất X Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Hàm phân phối xác suất X P 0.5 0.5 Gọi X số nút xuất tung xúc sắc Hãy lập bảng phân phối xác định hàm phân phối xác suất X Định nghĩa Phân loại Phân loại Phân phối xác suất Nguyễn Văn Thìn Ví dụ Hàm mật độ xác suất Ví dụ 10 Tung đồng thời hai đồng xu cân đối đồng chất Gọi Y số mặt sấp xuất thực phép thử, lập bảng phân phối xác suất xác định hàm phân phối xác suất Y Các tham số đặc trưng Ví dụ 11 Hàm phân phối xác suất X x < F (x) = 0.5 ≤ x < x ≥ Một người thi lái xe, xác suất đậu lần thi 0.3 Anh ta thi đến đạt lái xe thơi Gọi Z số lần người dự thi Lập bảng phân phối xác suất Z Hàm mật độ xác suất: Định nghĩa Hàm mật độ xác suất: Tính chất BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa 12 Nguyễn Văn Thìn Cho biến ngẫu nhiên liên tục X Hàm số f (x) khơng âm, xác định R thỏa tính chất i) P (X ∈ I ) = Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất f (x)dx, ∀I ⊂ R Các tham số đặc trưng Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất BIẾN NGẪU NHIÊN Phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng f (u)du −∞ dF (x) = f (x) dx 4) Trong trường hợp liên tục, P(X = a) = a a f (x)dx = BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Ví dụ 14 Định nghĩa Cho hàm f (x) = 2x x ∈ [0, 1] x ∈ / [0, 1] Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất F (x) = P (X ≤ x) = F (x) = gọi hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X Phân loại x 3) −∞ Định nghĩa hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X 2) Từ định nghĩa hàm mật độ ta có hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) Các tham số đặc trưng ∞ f (x)dx = −∞ Hàm mật độ xác suất ii) f (x)dx = Nguyễn Văn Thìn ∞ 1) Mọi hàm f (x) không âm thỏa điều kiện Định nghĩa Hàm phân phối xác suất I Hàm mật độ xác suất Nhận xét 13 Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất a) Chứng tỏ f (x) hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X b) Tìm hàm phân phối xác suất F (x) X c) Tính xác suất P(0 < X ≤ 12 ) Ví dụ 15 Tuổi thọ Y thiết bị (đơn vị: giờ) có hàm mật độ xác suất có dạng a x ≥ 100 f (x) = x x < 100 Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng với a ∈ R a) Hãy xác định hàm phân phối Y b) Thiết bị gọi loại A tuổi thọ kéo dài 400 Tính tỉ lệ loại A Outline BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa Định nghĩa Phân loại Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Đặc trưng biến ngẫu nhiên: Kỳ vọng Phân loại Phân phối xác suất Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Bảng phân phối xác suất Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Một hộp chứa 10 viên bi, có viên bi nặng 10g, viên nặng 50g, viên nặng 20g Chọn ngẫu nhiên viên bi gọi X khối lượng viên bi Tính E(X ) Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các tham số đặc trưng Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Một chùm chìa khóa có chìa, có chìa mở cửa Thử chìa (thử xong bỏ ngồi) mở cửa Tìm số lần thử trung bình để mở cửa Ý nghĩa kỳ vọng • Là giá trị trung bình theo xác suất tất giá trị có biến ngẫu nhiên • Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm phân phối xác suất Kỳ vọng biến ngẫu nhiên liên tục BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Ví dụ 18 −∞ Hàm mật độ xác suất Kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 17 Kỳ vọng X , ký hiệu E (X ), số định nghĩa +∞ xP (X = x) X BNN rời rạc x E(X ) = +∞ xf (x)dx X BNN liên tục Hàm phân phối xác suất Các tham số đặc trưng BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa 16 Ví dụ 19 Cho X biến ngẫu nhiên có hàm mật độ 2x x ∈ [0, 1] f (x) = x ∈ / [0, 1] Tìm kỳ vọng X Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Ví dụ 20 Cho biến ngẫu nhiên Y có hàm mật độ xác suất g (y ) = Tìm E(Y ) y2 y ∈ [1, 2] y ∈ / [1, 2] Đặc trưng biến ngẫu nhiên: Phương sai BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Tính chất kỳ vọng Định nghĩa Cho X , Y hai biến ngẫu nhiên C ∈ R kỳ vọng biến ngẫu nhiên có tính chất sau i) ii) iii) iv) E(C ) = C E(CX ) = C E(X ) E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) Nếu hai biến ngẫu nhiên X Y độc lập E(XY ) = E(X )E(Y ) Độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên X , ký hiệu σ(X ), bậc hai Var (X ) Phân loại σ(X ) = Phân phối xác suất Var (X ) Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Tính chất phương sai Các tham số đặc trưng Var (X ) = E (X − E (X ))2 Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Lưu ý Trong tính tốn, để tính phương sai biến ngẫu nhiên X ta thường sử dụng công thức Var (X ) = E(X ) − (E(X ))2 Đơi người ta cịn kí hiệu D(X ) để phương sai X số giáo trình Ví dụ 23 Một hộp chứa 10 viên bi, có viên bi nặng 10g, viên nặng 50g, viên nặng 20g Chọn ngẫu nhiên viên bi gọi X khối lượng viên bi Tính E(X ), Var (X ) Ví dụ 24 Cho biến ngẫu nhiên Y có hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất Cho hai biến ngẫu nhiên X , Y số thực C ∈ R, phương sai có tính chất sau i) Var (C ) = ii) Var (CX ) = C Var (X ) iii) Nếu X Y độc lập Var (X + Y ) = Var (X ) + Var (Y ) (1) Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Nếu biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng E (X ) phương sai, ký hiệu Var (X ), định nghĩa Phân loại BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa 22 (Độ lệch chuẩn) Định nghĩa 21 Các tham số đặc trưng g (y ) = Tìm E(Y ), Var (Y ) y2 y ∈ [1, 2] y ∈ / [1, 2] Đặc trưng biến ngẫu nhiên: Mod Ý nghĩa Phương sai BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất • Phương sai kỳ vọng bình phương sai lệch X E(X ), nói cách khác phương sai trung bình bình phương sai lệch, phản ánh mức độ phân tán giá trị biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Mod biến ngẫu nhiên X , ký hiệu Mod (X ), giá trị mà biến ngẫu nhiên X nhận với xác suất lớn Định nghĩa Bảng phân phối xác suất Các tham số đặc trưng Định nghĩa 25 (Mod) Từ định nghĩa, biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X P Hàm mật độ xác suất • Trong cơng nghiệp phương sai biểu thị độ xác sản xuất Trong canh tác, phương sai biểu thị mức độ ổn định suất Các tham số đặc trưng x1 p1 x2 p2 ··· ··· xn pn ··· ··· Mod (X ) = xi ⇔ pi = P (X = xi ) = max {p1 , p2 } X có phân phối liên tục với hàm mật độ xác suất f (x) Mod (X ) = x0 ⇔ f (x0 ) = max f (x) x∈R Mod BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Đặc trưng biến ngẫu nhiên: Trung vị BIẾN NGẪU NHIÊN Ví dụ 26 (Trường hợp rời rạc) Tìm Mod biến ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc với bảng phân phối xác suất X P 0, 0, 25 0, 18 0, 14 0, 13 Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 28 (Trung vị) Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Nguyễn Văn Thìn Hàm mật độ xác suất Ví dụ 27 (Trường hợp liên tục) Các tham số đặc trưng Cho biến ngẫu nhiên X bất kỳ, trung vị X , ký hiệu Med (X ), giá trị m biến ngẫu nhiên X cho P (X ≤ m) ≥ P (X ≥ m) ≥ Tìm Mod biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất sau f (x) = x(2 − x) ta viết Med (X ) = m ≤ x ≤ nơi khác Đặc trưng biến ngẫu nhiên: Trung vị BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất BIẾN NGẪU NHIÊN Nhận xét 29 Khi X biến ngẫu nhiên liên tục trung vị X điểm chia phân phối xác suất thành hai phần Nghĩa P (X ≥ m) = P (X ≤ m) = 1/2 tương đương với P(X ≥ m) = 1/2 P(X ≤ m) = 1/2 Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Đặc trưng biến ngẫu nhiên: Trung vị Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Thật vậy, từ điều kiện P(X ≥ m) ≥ 1/2 suy P(X ≤ m) = P(X < m) ≤ 1/2 Kết hợp với điều kiện P(X ≤ m) ≥ 1/2 ta phải có P(X ≤ m) = 1/2 Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất sau X P 0.1 0.2 0.3 0.4 Tìm Med (X ) Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Chứng minh Ví dụ 30 (Trung vị phân phối rời rạc) Các tham số đặc trưng Ví dụ 31 (Trung vị phân phối rời rạc cho trường hợp không nhất) Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất sau X P 0.1 0.4 0.3 0.2 Tìm Med (X ) Đặc trưng biến ngẫu nhiên: Trung vị BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Ví dụ 32 (Trung vị phân phối liên tục) Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất cho 4x < x < f (x) = nơi khác Tìm Med (X ) Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng Ví dụ 33 (Trung vị phân phối liên tục cho trường hợp không nhất) Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất cho ≤ x ≤ f (x) = 2.5 ≤ x ≤ nơi khác Tìm Med (X ) ... trưng Biến ngẫu nhiên: Phân loại Biến ngẫu nhiên: Phân loại BIẾN NGẪU NHIÊN BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Dựa vào miền giá trị biến ngẫu nhiên mà người ta phân thành loại sau Nguyễn Văn Thìn Biến. .. phối xác suất biến ngẫu nhiên BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Định nghĩa Phân loại Định nghĩa Phân loại Phân loại Phân phối xác suất Phân phối xác suất. .. trưng biến ngẫu nhiên: Trung vị BIẾN NGẪU NHIÊN Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Phân loại Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất BIẾN NGẪU NHIÊN Nhận xét 29 Khi X biến ngẫu nhiên