Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích dao động tự do của kết cấu áp điện hai chiều bằng phương pháp không lười MGK

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA  TÔ HƯƠNG CHI PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA KẾT CẤU ÁP ĐIỆN HAI CHIỂU BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI MGK CHUYÊN NGÀNH: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP MÃ SỐ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA



TÔ HƯƠNG CHI

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA KẾT CẤU ÁP ĐIỆN HAI CHIỂU BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG

LƯỚI MGK

CHUYÊN NGÀNH: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP MÃ SỐ NGÀNH: 60.58.20

LUẬN VĂN THẠC SỸ

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 09 NĂM 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA-ĐHQG-HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

TS BÙI QUỐC TÍNH

Cán bộ chấm nhận xét 1: PGS TS BÙI CÔNG THÀNHCán bộ chấm nhận xét 2: TS LƯƠNG VĂN HẢI

Luận văn thạc sỹ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM, ngày 28 tháng 09 năm 2012

Thành phần hội đồng đánh giá luận văn thạc sỹ gồm: 1 PGS TS BÙI CÔNG THÀNH

2 PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG 3 GS TS PHAN NGỌC CHÂU

4 TS LƯƠNG VĂN HẢI 5 TS NGUYỄN MINH LONG

LÝ LỊCH SƠ LƯỢC

Họ và tên : TÔ HƯƠNG CHI Ngày sinh : 01/09/1979

Nơi sinh : Thái Bình

Thắng, Đại học Tôn Đức Thắng TPHCM Điện thoại : 01267010979

Thời gian học : 09/ 2010-07/2012 Nơi học : Trường Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh Chuyên ngành : Xây dựng dân dụng và công nghiệp

Tên luận văn : Phân tích dao động tự do của kết cấu áp điện hai chiều bằng phương pháp không lưới Moving Kriging Galerkin

Người hướng dẫn: PGS.TS.NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Từ 09/2003 đến 09/2004 : Công ty Tư vấn xây dựng Dầu khí Từ 09/2004 đến 06/2008 : Công ty Cổ phần đầu tư phát triển Sông Đà Từ 06/2008 đến 08/2011 : Trường Trung cấp xây dựng Thành phố Hồ Chí Minh

PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SỸ

I - TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA KẾT CẤU ÁP ĐIỆN HAI CHIỀU

BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI MGK

II - NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

Sử dụng phương pháp không lưới Galerkin Kriging (MGK) phân tích dao động tự do của kết cấu

áp điện hai chiều

IV - NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 30/06/2012

TS BÙI QUỐC TÍNH

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2

  

PGS TS Nguyễn Thị Hiền Lương TS Bùi Quốc Tính   CHỦ NHIỆM BỘ MÔN KHOA QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH QL CHYÊN NGÀNH

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đến thầy, cô hướng dẫn là TS Bùi QuTS Bùi QuTS Bùi Quốốốc Tínhc Tínhc Tính và PGS TS NguyPGS TS NguyPGS TS Nguyễễễn Thn Thn Thịịịị HiHiHiềềền Lươngn Lươngn Lương, những người đã đưa ra gợi ý để hình thành nên ý tưởng của đề tài, cung cấp những tài liệu quý báu, hướng dẫn tận tình, và luôn nhắc nhở, cổ vũ, động viên trong suốt quá trình làm luận văn, tổ chức những buổi hội thảo nhỏ về đề tài “không lưới” để tôi có dịp tham gia và học hỏi nhiều kiến thức bổ ích, giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến tập thể quý thầy, cô đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt những kiến thức và phương pháp học tập, nghiên cứu mới là PGS TS Bùi Công ThànhPGS TS Bùi Công ThànhPGS TS Bùi Công Thành (Cơ kết cấu nâng cao), PGS.TS CPGS.TS CPGS.TS Chu Quhu Quhu Quốốốc Thc Thc Thắắắngngng (Phương pháp phần tử hữu hạn và Kết cấu tấm vỏ), PGS TS NguyPGS TS NguyPGS TS Nguyễễễn Thn Thn Thịịịị HiHiHiềềền n Lương

Lương (Cơ học vật rắn biến dạng và Ổn định công trình), PGS.TS.ĐPGS.TS.ĐPGS.TS.Đỗỗỗ KiKiKiếếến Qun Qun Quốốốc c (Động lực học công trình), TS.HTS.HTS.Hồồồ HHHữữữu Chu Chu Chỉỉỉỉnhnhnh (Kết cấu Bêtông cốt thép nâng cao), TS NguyTS NguyTS Nguyễễễn Min Min Minh Longnh Longnh Long (Cơ học rạn nứt), GS TS Dương Nguyên VGS TS Dương Nguyên VGS TS Dương Nguyên Vũũũ (Phương pháp nghiên cứu khoa học)

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo cùng các anh chị đồng nghiệp Trường trung cấp chuyên nghiệp Tôn Đức Thắng, trực thuộc đại học Tôn Đức Thắng đã tạo điều kiện giúp tôi có những thời gian quý báu, cũng như những động viên về mặt tinh thần trong quá trình thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, cha mẹ, chồng và con trai nhỏ đã khắc phục nhiều khó khăn, tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

TÓM TTÓM TẮẮẮTTT

Phân tích

Phân tích dao đdao đdao độộộng tng tng tựựự do cdo cdo củủủa ka ka kếếết ct ct cấấấu áp điu áp điu áp điệệện hai chin hai chin hai chiềềều bu bu bằằằng phương pháp không ng phương pháp không

lưlướớới MGK i MGK ((((meshfree Galerkin Kriging method))))

Tô Hương ChiTô Hương Chi

Trong luận văn này, trình bày việc áp dụng một kỹ thuật không lưới mới

của kết cấu áp điện hai chiều Nội suy MK được sử dụng để xây dựng các hàm dạng thỏa mãn đặc tính Kronecker delta Do đó tránh được khó khăn của việc áp dụng các điều kiện biên như trong phương pháp bình phương tối thiểu động Chuyển vị cơ học, điện áp và tần số tự nhiên của kết cấu được khảo sát chi tiết thông qua một loạt các ví dụ số để chứng minh khả năng áp dụng và hiệu quả của phương pháp đề xuất Các kết quả thu được sau đó so sánh với những tác giả khác, tham khảo các giải pháp có sẵn với sự thống nhất tốt

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

A

ABBBSTRACTSTRACTSTRACT

Free vibration analysis of two

Free vibration analysis of two dimensional piezoelectric structures with the dimensional piezoelectric structures with the

meshfree Galerkin Kriging method.meshfree Galerkin Kriging method

To Huong ChiTo Huong Chi

Application of an efficient novel meshfree technique based on the

two-dimensional piezoelectric structures is presented The MK scheme is used for constructing the shape functions which satisfy the Kronecker delta property Hence, the burdensome task of enforcing the essential boundary conditions as in the moving least-squares approximation is avoided The mechanical displacements and the electric potential are primary variables and investigated in details through a series of numerical examples that is to demonstrate the applicability and the efficiency of the proposed method The results obtained are then compared with those of other available reference solutions

MMỤỤỤC LC LC LỤỤỤCCC

LỜI CẢM ƠN i TÓM TẮT ii MỤC LỤC iv DANH MỤC HÌNH VẼ vii DANH MỤC BẢNG BIỂU x CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU 1

1.1 Đặt vấn đề 1

1.2 Mục tiêu của của đề tài luận văn 3

1.3 Cấu trúc của luận văn 3

CHƯƠNG 2: TỔNG QUAN 5

2.1 Giới thiệu 5

2.2 Vật liệu áp điện 5

2.2.1 Khái niệm và đặc tính 5

2.2.2 Sơ lược về tình hình nghiên cứu vật liệu áp điện 6

2.2.3 Sơ lược nguồn gốc và sự phát triển của phép nội suy moving Kriging 9

2.3 Kết luận 10

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

3.1 Giới thiệu 11

3.2 Giới thiệu phương pháp không lưới Galerkin Kriging (MGK) 11

3.2.1 Phép nội suy moving Kriging (MK) 11

3.2.2 Tính chất toán học của phép nội suy Moving Kriging 15

3.2.3 Miền hỗ trợ, miền ảnh hưởng, 16

4.2 Sử dụng hàm Gauss thứ nhất phân tích dao động tự do của kết cấu 32

4.2.1 Phân tích giá trị riêng của đĩa áp điện 32

4.2.1.1 Ví dụ 1: So sánh tần số dao động riêng của đĩa áp điện trong hai trường hợp cộng hưởng điện và phản cộng hưởng điện 34

4.2.1.2 Ví dụ 2: Khảo sát ảnh hưởng của hệ số alpha (α) đến tần số dao động riêng của đĩa áp điện 37

4.2.1.3 Ví dụ 3: Khảo sát ảnh hưởng của hệ số theta (θ) đến tần số dao động riêng của đĩa áp điện 39

4.2.1.4 Ví dụ 4: Khảo sát ảnh hưởng của số nút đến tần số dao động riêng của đĩa áp điện 41

4.2.2 Phân tích giá trị riêng của bộ cảm biến điện 45

4.2.2.1 Ví dụ 1: Khảo sát ảnh hưởng của hệ số alpha (α) đến tần số dao động riêng của bộ cảm biến điện 46

4.2.2.2 Ví dụ 2: khảo sát ảnh hưởng của hệ số theta (θ) đến tần

số dao động riêng của bộ cảm biến điện 48

4.2.2.3 Ví dụ 3: Khảo sát ảnh hưởng của số nút đến tần số dao động riêng của bộ cảm biến điện 51

4.2.3 Phân tích giá trị riêng của dầm côngxon 55

4.2.3.1 Ví dụ 1: Khảo sát ảnh hưởng của số nút đến tần số dao động riêng của dầm côngxon ……55

4.3 Sử dụng hàm Gauss 2 phân tích dao động tự do của kết cấu 58

4.3.1 Ví dụ 1: Phân tích dao động tự do của đĩa áp điện sử khi dụng hàm Gauss 2 58

4.4 Kết luận 60

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

DANH DANH MMMỤỤỤC HÌNH VC HÌNH VC HÌNH VẼẼẼ

Hình 1.1: Phác thảo của một kết cấu cầu thông minh 1

Hình 1.2: Một dầm laminated áp điện (sandwich configuration) 2

Hình 2.1: Các hiệu ứng áp điện thuận và nghịch 6

Hình 3.1: Miền hỗ trợ 15

Hình 3.2: Miền ảnh hưởng 16

Hình 3.3: Sơ đồ khối 28

Hình 4.1: Đĩa áp điện 31

Hình 4.2: Cấu trúc Perovskite trong PZT 32

Hình 4.3: Mười hai mode dao động đầu tiên cho đĩa áp điện trong trường hợp cộng hưởng và phản cộng hưởng với 17x3 nút 23

Hình 4.4: Tần số dao động cộng hưởng điện và phản cộng hưởng điện của đĩa áp điện 25

Hình 4.5: Ảnh hưởng của hệ số α đến tần số dao động của tấm 38

Hình 4.6: Ảnh hưởng của hệ số θ đến tần số dao động riêng của đĩa áp điện 39

Hình 4.7: Background cell 17x3 nút và 33x5 nút của đĩa áp điện 41

Hình 4.8: Mười lăm mode dao động của đĩa áp điện 33x5 nút 41

Hình 4.9: Ảnh hưởng của số nút đến tần số dao động riêng ω1 của đĩa áp điện 41

Hình 4.10: Phác họa một piezoelectric tranducer 43

Hình 4.11: Mô hình tính toán piezoelectric tranducer 44

Hình 4.12: Ảnh hưởng của hệ số α đế tần số dao động riêng của

piezoelectric tranducer 46

Hình 4.13: Ảnh hưởng của hệ số theta đần tần số dao động ω1 của bộ cảm biến điện 48

Hình 4.14: Các trường hợp chia 57 và 96 nút cho bộ cảm biến điện 50

Hình 4.15: Sáu mode sao động đầu tiên của bộ cảm biến điện 175 nút 50

Hình 4.16: Ảnh hưởng số nút đến tần số dao động riêng ω1 của bộ cảm biến điện 50

Hình 4.17: Dầm côngxon ( A cantilever piezoelectric beam) 52

Hình 4.18: Chia nút 17x6 và 28x18 cho dầm côngxon 53

Hình 4.19: Hai mươi mode dao động đầu tiên của dầm 17x6 nút 53

Hình 4.20: Ảnh hưởng của số nút đến tần số dao động riêng của dầm 55

Tô Hương Chi-MSHV: 1021021

DANH DANH MMMỤỤỤC C C BBBẢẢẢNG BING BING BIỂỂỂUUU

Bảng 2.1: Tích phân Gauss hai chiều 19 Bảng 4.1: Hằng số vật liệu của PZT-4 32 Bảng 4.2: Tần số giao động cộng hưởng điện và phản cộng hưởng điện

của đĩa (kHz) 35 Bảng 4.3: Sai số tần số dao động của đĩa áp điện trong trường hợp cộng

hưởng điện với phản cộng hưởng điện của từng phương pháp CAX4E, PIM, RPIM và MGK 36 Bảng 4.4: Ảnh hưởng của hệ số α đến tần số dao động của đĩa áp điện 37

điện 39 Bảng 4.6: Ảnh hưởng của số nút đến tần số dao động riêng ω1 của đĩa áp

điện 42 Bảng 4.7: Ảnh hưởng của hệ số α đến tần số dao động riêng ω1 của bộ

cảm biến điện 46 Bảng 4.8: Ảnh hưởng của hệ số θ đến tần số dao động riêng của bộ cảm

biến điện 48 Bảng 4.9: Ảnh hưởng của số nút đến tần số dao động riêng ω1 của bộ cảm

biến điện 53

Bảng 4.10: Ảnh hưởng của số nút đến tần số dao động riêng của dầm

(kHz) 54 Bảng 4.11: Sai số tần số dao động của các trường hợp chia nút còn lại với

trường hợp 28x18 nút (%) 54Bảng 4.12: So sánh tần số bốn mode dao động đầu tiên của đĩa áp điện

khi sử dụng hàm Gauss1 và Gauss2 56 Bảng 4.13 So sánh tần số dao động của đĩa với CAX4E[18] 32x4 phần tử 56

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

CHƯƠNG 1CHƯƠNG 1

MMỞỞỞ ĐĐĐẦẦẦUUU

1.1 ĐĐĐặặặtttt vvvấấấn đn đn đềềề

Vật liệu mới kết hợp với công nghệ mới ứng dụng vào kết cấu đã được nghiên cứu rộng rãi và phát triển trong những năm gần đây Trong đó, một đề tài đặc biệt nổi bật được tập trung nghiên cứu là lĩnh vực kết hợp nhiều loại vật liệu Vật liệu thông minh với những thuộc tính đặc biệt có thể phát hiện lỗi hoặc các vết nứt do đó có tác dụng như một công cụ chẩn đoán Đặc tính này có thể sử dụng để kích hoạt các vật liệu thông minh được nhúng trong vật liệu chủ một cách thích hợp để khắc phục lỗi Hiện tượng này gọi là vật liệu có hiệu quả tự sửa chữa Bên cạnh đó, vật liệu thông minh cũng có thể thay đổi hình dạng khi bị tác dụng điện hoặc nhiệt hoặc có thể sản sinh ra điện khi bị thay đổi hình dạng…[35]

Hình 1.1 Phác thảo của một kết cấu cầu thông minh

Thiết bị truyền động SMA điều chỉnh để xử lý giải quyết sự thay đổi nhiệt độ và phụ thuộc thời gian tác dụng

Sợi SMA điều chỉnh ứng suất khi cần thiết và cũng cho phép sửa chữa tự các vết nứt

Một trong những vật liệu thông minh phải kể đến là vật liệu áp điện với khả năng ứng dụng cao do chi phí ít tốn kém hơn các loại vật liệu mới khác, trọng lượng nhẹ cũng như dễ dàng mô hình và thực hiện điều kiện biên Ứng dụng của vật liệu áp điện rất rộng rãi trong việc thiết kế kết cấu thông minh như trong kỹ thuật, y tế, quân sự và nhiếu lĩnh vực khoa học khác chẳng hạn như bộ cảm biến tự động, bộ phận truyền động, bộ biến năng, theo dõi và điều khiển dao động, tiếng ồn và hình dạng của một hệ thống kết cấu, vv [35]

Vật liệu áp điện có khả năng ứng dụng rất lớn nhưng lại là vật liệu có tính chất ứng xử vật lý phức tạp nên phương pháp tiếp cận giải tích nói

phương pháp tính toán số với tính chính xác, hiệu quả thường được áp dụng cho các bài toán vật liệu áp điện Trong hai thập kỷ qua, một phương pháp số khác mà không chia lưới được đặt tên là phương pháp meshfree hay meshless cũng đã được phát triển mạnh mẽ, rất hữu ích cho tính toán kết cấu nói chung và vật liệu áp điện nói riêng Có nhiều phương pháp không lưới khác nhau đã được sử dụng cho vật liệu áp điện, nhưng hầu hết các phương pháp này đều gặp khó khăn trong việc áp đặt điều kiện biên bởi vì hàm dạng không có đặc tính Kronecker delta, do đó nhiều kỹ thuật đặc biệt đã được áp dụng để khắc phục nhược điểm này Một trong những kỹ thuật rất hiệu quả được trình bày trong luận văn này là kỹ thuật

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

Galerkin Kriging), để phân tích dao động tự do của kết cấu áp điện hai chiều Phương pháp MGK là một phương pháp không lưới mạnh và hiệu quả, khắc phục được những khó khăn của các phương pháp không lưới trước đó

1.2 MMMụụục tiêu cc tiêu cc tiêu củủủa a a đđđềềề tài lutài lutài luậậận vănn vănn văn

Mục tiêu của luận văn này là áp dụng phương pháp không lưới MGK để phân tích dao động tự do của kết cấu áp điện hai chiều với các dạng hình học khác nhau, trong đó kỹ thuật nội suy động moving Kriging được sử dụng để xây dựng các hàm dạng

Các ví dụ số cho kết cấu hai chiều áp điện được trình bày và được tính toán lập trình trên ngôn ngữ Matlab để chứng minh khả năng áp dụng và hiệu quả của phương pháp MGK

Trong phân tích dao động tự do, tần số dao động được xem là nghiệm của bài toán có thể được so sánh với FEM, các cách tiếp cận khác của phương pháp không lưới như PIM, RPIM, cũng như so sánh với thực nghiệm để minh chứng cho tính chính xác, đáng tin cậy của phương pháp MGK, và sự thống nhất cao của MGK với các phương pháp số trước đó 1.3 CCCCấấấấu trúc cu trúc cu trúc củủủa a a lululuậậận vănn vănn văn

Trong luận văn này, tần số dao động tự do của một số kết cấu áp

phân tích bằng phương pháp không lưới MGK Trong đó, hàm dạng được xây dựng dựa trên kỹ thuật nội suy moving Kriging Hai hàm tương thích Gaussian khác nhau được áp dụng trong việc xây dựng hàm dạng, trong đó

thước miền hỗ trợ cũng được xem xét kỹ dựa vào khoảng cách trung bình

được thiết lập dựa trên nguyên lý Hamilton được biểu diễn dưới dạng phương trình Lagrange Ngoài ra, ảnh hưởng của điều kiện biên điện, hệ

được khảo sát một cách chi tiết

Luận văn gồm 5 chương, trong đó chương 1 nêu lên tính cấp thiết và lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu của đề tài luận văn và cấu trúc của luận văn Chương 2 giới thiệu tổng quan về tình hình nghiên cứu của những đề tài liên quan đến đề tài của luận văn Chương 3 trình bày cơ sở lý thuyết, giới thiệu phương pháp nội suy moving Kriging cũng như việc áp dụng phương pháp không lưới MGK cho vật liệu áp điện để thiết lập phương trình chủ đạo của bài toán dưới cả hai dạng ma trận và tường minh Để so sánh hiệu quả và sự thống nhất cao của phương pháp trong luận văn với các phương pháp số trước đó, trong chương 4, trình bày một số ví dụ số được thực hiện bằng ngôn ngữ lập trình Matlab Ngoài ra sự ảnh hưởng của điều kiện biên điện, các thông số và số nút đến tần số dao động riêng của kết cấu cũng được khảo sát chi tiết trong chương 4 này Chương 5 trình bày những kết luận và kiến nghị chung, hướng phát triển của đề tài Cuối cùng là danh mục các tài liệu tham khảo được trình bày ở cuối luận văn

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

CHƯƠNG CHƯƠNG 222

TỔTỔỔNG QUANNG QUANNG QUAN

2.1 GiGiGiớớới thii thii thiệệệuuu

được gọi là vật liệu áp điện Khái niệm, đặc tính và ứng dụng của vật liệu này được giới thiệu Ngoài ra trong chương này cũng tóm tắt quá trình nghiên cứu về vật liệu áp điện bằng nhiều phương pháp số khác nhau của nhiều nhóm tác giả trên thế giới Bên cạnh đó giới thiệu sơ lược nguồn gốc và sự phát triển của phép nội suy moving Kriging thông qua những tài liệu và các bài báo của nhiều nhóm tác giả đã được công bố trong thời gian từ năm 2003 trở lại đây Sự cải tiến phương pháp không lưới MGK trong luận văn so với các phương pháp không lưới trước đó cũng được đề cập trong chương này

2.2 VVVVậậậật lit lit liệệệu u u áp điáp điáp điệệệnnn 2.2.1 Khái niKhái niKhái niệệệm và đm và đm và đặặặc tínhc tínhc tính

Vật liệu áp điện là một loại vật liệu đặc biệt mà khả năng chuyển đổi năng lượng giữa điện và cơ thường được biết đến như một trong những tính năng thiết yếu:

- Hiệu ứng áp điện thuận (directpiezoelectric effect): vật liệu áp điện

trường điện tác dụng lên vật liệu áp điện sẽ tạo ra ứng suất và biến

Có nhiều loại vật liệu áp điện khác nhau như PZT4, PVDF27, PZT5 [9][10][35]…

2.2.2 Sơ lưSơ lưSơ lượợợc vc vc vềềề tình hình nghiên ctình hình nghiên ctình hình nghiên cứứứu vu vu vậậật lit lit liệệệu áp điu áp điu áp điệệệnnn

Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật, vật liệu thông minh xuất hiện và có xu hướng thay thế dần những vật liệu truyền thống do những đặc tính ưu việt của nó như trọng lượng nhẹ, khả

Hình 2.1 Các hiệu ứng áp điện thuận và nghịch

a Hiệu ứng áp điện thuận

b Hiệu ứng áp điện nghịch

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

năng điều khiển kết cấu, khả năng tự phát hiện lỗi và khắc phục lỗi…Do đó đề tài vật liệu thông minh nói chung và vật liệu áp điện nói riêng đang có một sức hấp dẫn lớn với các nhà nghiên cứu

Có nhiều cách tiếp cận khác nhau như phương pháp giải tích hoặc các phương pháp số Tuy nhiên, với bài toán thực tế phức tạp, phương pháp giải tích gặp rất nhiều khó khăn có khi không giải quyết được vấn đề Vì vậy việc áp dụng các phương pháp số cho vật liệu áp điện là quan trọng và cần thiết

Phương pháp phần tử hữu hạn với bề dày hình thành và phát triển trong nửa thế thế kỷ qua đã trở thành một phương pháp số mạnh, với độ tin cậy và tính ứng dụng cao, ngày càng được mở rộng nghiên cứu, phát triển một cách đa dạng, phong phú và hoàn thiện hơn như: phương pháp

- SFEM) [10], và gần đây, phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên

lưới được đặt tên là phương pháp meshfree hay meshless cũng đã góp phần vào sự lớn mạnh và đa dạng của phương pháp số Vẫn dựa trên nền tảng là phương pháp phần tử hữu hạn, nhưng không cần chia lưới mà sử dụng hệ thống nút Năm 2003 tác giả Liu G R với cuốn “Meshfree Methods, Moving beyond the Finite Element Method” đã giới thiệu và hướng dẫn một cách đầy đủ, chi tiết về phương pháp không lưới đồng thời chỉ ra sự tương đồng và tính kế thừa của phương pháp không lưới với phương pháp phần tử hữu hạn [12] Phương pháp không lưới được áp dụng cho

nhiều loại vật liệu khác nhau, nhiều bài toán khác nhau trong đó có vật liệu áp điện Cuốn sách của tác giả Liu G R là sự hệ thống những kiến thức về không lưới ra đời năm 2003, nhưng trước đó, từ năm 2001 hai tác giả Ohs R R và Aluru N R đã phân tích ứng xử của kết cấu áp điện bằng

là Dai K Y, Lim K M và Gu Y T cũng đã áp dụng phương pháp không lưới

tích tĩnh và tần số của kết cấu áp điện hai chiều vào năm 2002, trước khi cho ra đời cuốn sách về không lưới một năm [14] Cũng trong năm 2003, chính các tác giả Liu G R, Dai K Y, Lim K M và Gu Y T một lần nữa nghiên cứu đề tài phân tích tĩnh và tần số của kết cấu áp điện hai chiều nhưng sử

Y, Lim K M và Gu Y T áp dụng phương pháp nội suy vòng tròn điểm

(piezoelectric sensors)[17] Từ năm 2006 đến năm 2007, phương pháp

cũng được các tác giả ứng dụng trong lĩnh vực điều khiển kết cấu như: Sladek J, Sladek V, Zhang Ch, Garcia-Sanchez F và Wunsche M cho kết cấu

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

2.2.3 SSSSơ lươ lươ lượợợc nguc nguc nguồồồn gn gn gốốốc và sc và sc và sựựự phát triphát triphát triểểển cn cn củủủa phép na phép na phép nộộội suy moving Kriging i suy moving Kriging i suy moving Kriging

Hầu hết các phương pháp không lưới vừa nêu trong phần 2.2.2 đều gặp khó khăn trong việc áp đặt các điều kiện biên bởi vì hàm dạng không có tính chất Kronecker delta, vì vậy nhiều kỹ thuật đặc biệt đã được áp dụng để khắc phục nhược điểm này như: Phương pháp nhân tử Lagrange

mạnh và hiệu quả, khắc phục nhược điểm của các phương pháp không

phương pháp không lưới trước đó là chức năng xây dựng hàm dạng tự động thỏa mãn tính chất Kronecker delta bởi vì nó là nội suy qua nút và do đó rất dễ dàng cho việc áp đặt các điều kiện biên Nội suy MK có thể sao chép lại chính xác bất kỳ hàm nào chứa trong hàm cơ sở, và quá trình tính toán thuận tiện như FEM và có nguồn gốc từ FEM, nhiều chương trình con phát triển cho FEM có thể được sử dụng lại một cách dễ dàng Phương

Gu vào năm 2003 để giải quyết bài truyền nhiệt một chiều [26] Năm 2004, Tongsuk P và Kanok-Nukulchai W đã nghiên cứu các tham số của EFGM dựa trên nội suy MK, khảo sát kỹ hơn ảnh hưởng của các tham số, kích thước miền ảnh hưởng, số điểm Gauss cũng như tỉ lệ hội tụ của phương pháp MGK này đối với kết cấu một chiều và hai chiều [30] Năm 2007, Sayakoummane V và Kanok-NukulchaiW 2007 đã phân tích kết cấu vỏ dựa trên nội suy moving Kriging [31-32] Năm 2009 và 2010, Bui Q T và Nguyen N M đã khảo sát bài toán tấm Kirchhoff và phân tích dao động tự

do của tấm Kirchhoff dựa trên nội suy moving Kriging interpolation 28] Năm 2010, Bui Q T, Nguyen N M và Zhang Ch đã phân tích động lực học kết cấu có hình dạng phức tạp và không hoàn hảo như vách có đục lỗ bằng phương pháp MGK [29] Năm 2010, Bui QT và Nguyen NM phân tích ổn định và dao động tấm trực hướng bằng phương pháp MGK [38] Năm

tấm Reissner-Mindlin chịu tải trọng tác dụng trên cạnh trong mặt phẳng bằng phương pháp không lưới MGK trong đó có sử dụng phép nộn suy động MK để loại bỏ hoàn toàn hiện tượng shear-locking …

2.3 KKKKếếếết lut lut luậậậnnn

Chương này đã trình bày sơ lược về định nghĩa, đặc tính và lịch sử phát triển của vật liệu áp điện cũng như phương pháp không lưới MGK Đồng thời, qua đó mang lại một cái nhìn tổng quan về đề tài, tính kế thừa nhưng có sự phát triển, cải tiến làm nên sự khác biệt của đề tài luận văn với các nghiên cứu của các tác giả trước đó

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

CHƯƠNG CHƯƠNG 333

CƠ SCƠ SỞỞỞ LÝ THUYLÝ THUYLÝ THUYẾẾẾTTT

3.1 GiGiGiớớới thii thii thiệệệuuu

Chương này gồm hai phần chính: Phần thứ nhất giới thiệu về phương pháp không lưới MGK Trong đó có trình bày cụ thể phép nội suy moving

cơ bản của phép nội suy moving Kriging cũng được đề cập Trong nội suy MK, một vấn đề quan trọng là miền ảnh hưởng, miền hỗ trợ, và kích thước miền hỗ trợ cũng được trình bày trong phần thứ nhất của chương này Tích phân Gaussian, hay còn gọi là phép cầu phương Gauss được giới thiệu ở cuối phần thứ nhất Phần thứ hai là áp dụng phương pháp không lưới MGK cho phân tích dao động tự do của kết cấu áp điện hai chiều Trong phần này, phương trình động lực học áp điện chủ đạo của bài toán sẽ được thiết lập dựa trên nguyên lý Hamilton biểu diễn dưới dạng phương trình Lagrange Phần cuối là sơ đồ khối, biểu diễn trình tự thực hiện bài toán

3.2 GiGiGiớớới thii thii thiệệệu pu pu phương pháp không lưhương pháp không lưhương pháp không lướớới Galerkin Kriging i Galerkin Kriging (MGK) (MGK)3.2.1

3.2.1 Phép nộPhép nộội suy Moving Kriging i suy Moving Kriging (MK)[[[[12(MK) 1212]]]][28][41][28][41][28][41]

sub-domain) Ωݔ , Ωݔ ⊆ Ω được xấp xỉ bởi hàm uh(ݔ), các giá trị của uh(ݔ) được nội suy dựa trên giá trị các nút ݔi (i ∈ [1, n]), với n là số nút trong miền hỗ trợ Ωݔ

Hàm xấp xỉ uh(ݔ), ∀ ݔ ∈ Ωݔ được định nghĩa như sau:

đa thức của phương pháp MGK được chọn như trong phương pháp PTHH:

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

( , ) ( ,)1

- Hàm tương thích thHàm tương thích thứứứ nhnhnhấấấất t t (Gauss 1)(Gauss 1)(Gauss 1)[26][26][26][28][41][28][41][28][41]: : : :

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

3.3.2.22.22.2 Tính chấTính chấất toán ht toán ht toán họọọc cc cc củủủa phép na phép na phép nộộội suy Moving Kriging i suy Moving Kriging i suy Moving Kriging [28][40][28][40][28][40]

xác bất kỳ hàm nào trong cơ sở Nó sẽ tái tạo một đa thức tổng quát tuyến tính chính xác nếu đa thức cơ sở bao gồm tất cả các hằng số và đa thứ tuyến tính tuyến tính, nghĩa là:

3.2.3.12.3.12.3.1 MiMiMiềềềền hn hn hỗỗỗ trtrtrợợợ

Để nội suy chuyển vị của một điểm ݔ bất kỳ nào đó trong miền bài

vị của điểm ݔ thông qua chuyển vị của các nút trong miền hỗ trợ này Miền hỗ trợ có nhiều dạng hình học khác nhau hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn…[12]

3.3.2.3.22.3.22.3.2 MiMiMiềềềền n n ảảảảnh hưnh hưnh hưởởởngngng

Một trong những vấn đề quan trọng của phương pháp khơng lưới là

miền được gán để giới hạn số nút phân tán trong miền nội suy Khác với

hưởng là một cách khác để chọn nút cho việc nội suy, và nĩ hữu ích cho các nút phân bố khơng đều[12]

Hình 3.2 Miền ảnh hưởng Trong cùng một miền của bài tốn, mỗi nút khác nhau cĩ thể cĩ miền ảnh hưởng khác nhau như trong hình 3.2 Nút 1, 2 và 3 cĩ miền ảnh hưởng

3r1

r3

r2

x

xQ

Miền bài toán

Miền hỗ trợ

Nút trên biênNút bên trongx

Hình 3.1 Miền hỗ trợ

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

với bán kính r1, r2 và r3 khác nhau Điểm xQ nằm trong miền ảnh hưởng của nút x2 và x3, để xây dựng hàm dạng cho điểm xQ ta cần dùng nút 2 và nút 3 3

3.2.2.2.4 4 4 Kích thưKích thưKích thướớớc mic mic miềềền hn hn hỗỗỗ trtrtrợợợ[1[1[1222]]]][2[2[2888]]]][41][41][41]

Vì không có quy tắc chính xác cho tất cả các loại nút phân bố, công thức kinh nghiệm sau đây thường được dùng để tính toán kích thước của miền hỗ trợ [12][28][41]

α

)11

(21

−+−=

nHHnL

R, nR: bán kính miền bài toán, và số nút trên bán kính ntheta: số nút trên cung tròn

được xác định theo kinh nghiệm tính toán, với bài toán 2D:

3.3.2.2.2.555 Tích phân Gauss Tích phân Gauss (phép cầ(phép cầầầu u u phương Gauss)phương Gauss)[42]

Tương tự như trong phương pháp FEM, phương pháp MGK cũng chia miền bài toán thành các miền con Trong phương pháp MGK mỗi miền con là một tập các nút Khi tính toán ma trận cứng, véctơ tải trọng, ma trận khối lượng ta phải tích phân trên miền bài toán Do biểu thức dưới dấu tích phân phức tạp nên ta dùng tích phân số và tích phân số được dùng ở đây là tích phân Gauss để xấp xỉ hóa các đại lượng cần tìm trên mỗi miền con

3.3.2.4.12.4.12.4.1 Tích phân Gauss mTích phân Gauss mTích phân Gauss mộộột chit chit chiềềềềuuu

địa phương như sau:

1

11

i

IJG ξ dξ Jw G ξ

=−

wgi: trọng số Gauss

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

3.3.3.2.4.2 Tích phân Gauss2.4.2 Tích phân Gauss2.4.2 Tích phân Gauss hai chihai chihai chiềềềềuu

n: số điểm Gauss theo phương ݔ

wi, wj : các trọng số Gauss ,

Tọa độ điểm Gauss cho trong bảng 2.1 như sau

BBảảảng ng ng 222.1 Tích phân Gauss hai chi.1 Tích phân Gauss hai chi.1 Tích phân Gauss hai chiềềềuuu Số điểm Gauss

20.000000000000000

4

1ξ

,ξ4= ±0.8611363115940530.347854845147454

2ξ

,ξ3= ±0.3399810435848560.652145154862546

5

1ξ

,ξ5= ±0.9061798459386640.236926885056189

2ξ

,ξ6= ±0.9324695142031520.171324492379170

2ξ

,ξ5= ±0.6612093864662650.360761573048139

3ξ

,ξ4= ±0.2386191860831970.467913934572691

Trong luận văn này, sử dụng tích phân Gauss hai chiều

3.3 Áp dÁp dÁp dụụụng phương pháp không lưng phương pháp không lưng phương pháp không lướớới MGK cho phân tích dao đi MGK cho phân tích dao đi MGK cho phân tích dao độộộng tng tng tựựự do do ccccủủủa ka ka kếếết ct ct cấấấu áp điu áp điu áp điệệệnnn

3.33.3.1.1.1 Phân tích dPhân tích dPhân tích dao đao đao độộộng tng tng tựựự dododo::::

Xem xét một vật thể áp điện hai chiều miền giới hạn là Ω, bề mặt Γ với thành phần pháp vec-tơ đơn vị hướng ngoài ni Phương trình của chuyển động và luật Gauss được viết như sau [10]

Di :vector chuyển vị điện Trong suốt quá trình khảo sát, dấu phẩy là biểu thị đạo hàm cấp 1 liên quan đến biến không gian, dấu chấm phía trên là đạo hàm theo biến thời gian, và quy tắc lấy tổng của Einstein với các chỉ số lặp được áp dụng

Mối quan hệ giữa động học giữa ứng suất và biến dạng, cũng như miền điện được cho bởi công thức [10]

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

Quan hệ biến dạng chuyển vị trong phương trình 3.22 có thể được viết dưới dạng khai triển như sau:

== −

Và bản chất điều kiện biên cơ học và điện trên Γu và Γφ [1][10][32]

Trên Γσ (3.27) Trên Γq (3.28)

−−

==

Theo [10][32], hàm năng lượng tiêu chuẩn L được biểu thị như phép lấy tổng của động năng, năng lượng biến dạng, năng lượng điện môi, năng lượng điện áp và của sự tác động bên ngoài như sau:

Trong đó :

u

nó, nghĩa là vận tốc cơ học tương ứng

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

Trong đó:

Phương trình (3.33) có thể viết lại dưới dạng tường minh trong mặt

z

yz

xz

σσ

Nếu như hằng số ứng suất miền điện áp không có sẵn trong phương trình (3.34) và (3.35), ta có thể tìm được bằng việc sử dụng quan hệ sau đây:

e : ma trận hẳng số ứng suất điện áp Mối quan hệ của biến dạng và chuyển vị được đưa ra trong phương trình (3.22) và mối quan hệ của trường điện và điện áp trong phương trình (3.26) được viết dưới dạng ma trận như sau:

(3.39)(3.40)

s

= ∇= −∇

εuEφ

Trong đó:

gradient đối xứng được xác định bởi:

0

(3.41)0

zT

Tô Hương Chi-MSHV: 10210210

sử dụng phương pháp nội suy MK mô tả trong chương 2 Các chuyển vị cơ học và điện được nội suy tương tự như với các hàm dạng tương thích:

nIII

u

Trong đó:

Vì vậy, biến dạng được đưa ra trong phương trình (3.34) và các miền điện phương trình (3.35) có thể được viết lại như sau:

(3.44)(3.45)