Một trong số các 0 phương pháp để tính toán hệ số này là sử dụng mô hình rời rạc dầm vi kết cấu.. Luận văn này tập trung vào việc phân tích dao động và mất ổn định của mô hình dầm vi kết
TỔNG QUAN
Giới thiệu
Công nghệ nano là lĩnh vực công nghệ tiên tiến tập trung vào thiết kế, phân tích, chế tạo và ứng dụng các cấu trúc, thiết bị cũng như hệ thống có kích thước nano (1 nanomet bằng 1 phần tỷ mét) Điều này cho phép các nhà nghiên cứu và kỹ sư kiểm soát hình dạng và kích thước của các vật liệu ở cấp độ nguyên tử và phân tử Kích thước cực nhỏ này mở ra cánh cửa cho những tính chất và chức năng mới, vượt xa những vật liệu thông thường.
Hình 1.1 So sánh kích thước của vật liệu nano cụ thông tin kỹ thuật có những chức năng mà trước kia chưa có Chúng có thể lắp ráp trong những vật liệu trung tâm cho điện từ và quang Những cấu trúc này là một trạng thái độc nhất của vật chất có những hứa hẹn đặc biệt cho những sản phẩm mới và rất hữu dụng
Nhờ vào kích thước nhỏ, những cấu trúc nano có thể đóng gói chặt lại và do đó làm tăng tỉ trọng gói Tỉ trọng gói cao có nhiều lợi điểm: tốc độ xử lý dữ liệu và khả năng chứa thông tin tăng Tỉ trọng gói cao là nguyên nhân cho những tương tác điện và từ phức tạp giữa những vi cấu trúc kế cận nhau Đối với nhiều vi cấu trúc, đặc biệt là những phân tử hữu cơ lớn, những khác biệt nhỏ về năng lượng giữa những cấu hình khác nhau có thể tạo được các thay đổi đáng kể từ những tương tác đó Vì vậy, chúng có nhiều tiềm năng cho việc điều chế những vật liệu với tỉ trọng cao và tỉ số của diện tích bề mặt trên thể tích cao, chẳng hạn như bộ nhớ
Những phức tạp này hoàn toàn chưa được khám phá và việc xây dựng những kỹ thuật dựa vào những vi cấu trúc đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc khoa học căn bản tiềm ẩn trong chúng Những phức tạp này cũng mở đường cho sự tiếp cận với những hệ phi tuyến phức tạp mà chúng có thể phô bày ra những lớp biểu hiện trên căn bản khác với những lớp biểu hiện của cả hai cấu trúc phân tử và cấu trúc ở quy mô micromet Khoa học nano là một trong những biên giới của khoa học chưa được thám hiểm tường tận Nó hứa hẹn nhiều phát minh kỹ thuật lý thú
Các thiết bị dựa trên công nghệ nano đều được tổ hợp từ các kết cấu mà có kích thước từ vi mô đến phân tử gọi là kết cấu nano Các kết cấu Nano được phân loại theo số phương mà theo đó kết cấu có kích thước nano Ví dụ như các bề mặt cấu trúc nano (Hình 1.2 thể hiện cấu trúc bề mặt của pin mặt trời) thì có kích thước theo một phương là nano, tức là chiều dày bề mặt khoảng từ 0.1 đến 100 nm Các ống nano có kích thước theo hai phương là nano, tức là đường kính ống trong khoảng 0.1 đến 100 nm (Hình 1.3 thể hiện các ống nano cacbon một lớp) Cuối cùng là các hạt cầu nano có kích thước theo ba phương là nano, tức là các hạt có kích thước trong không gian từ 0.1 đến 100 nm (Hình 1.4 thể hiện hạt nano ánh sáng trắng)
Hình 1.2 Bề mặt cấu trúc nano của pin mặt trời
Hình 1.3 Ống nano carbon đơn lớp
Hình 1.4 Hạt nano ánh sáng trắng
1.1.3 Lý thuyết phi cục bộ
Những kết cấu như dầm, tấm và màng với kích thước micro và nano được dùng phổ biến trong thành phần của các thiết bị MEMS và NEMS Cả thí nghiệm và mô phỏng nguyên tử đều cho kết quả chịu sự ảnh hưởng lớn từ kích thước trong đặc tính cơ học khi kích thước của những kết cấu này trở nên rất nhỏ Đàn hồi liên tục cổ điển, lý thuyết độc lập với quy mô, không thể dự đoán được ảnh hưởng của kích thước Mặt khác, các mô hình nguyên tử và phân tử thì bị hạn chế bởi khả năng tính toán và không phù hợp với mô hình MEMS/NEMS Vì vậy lý thuyết liên tục phụ thuộc vào quy mô nhận được đông đảo sự chú ý trong việc mô hình các kết cấu và thiết bị có kích thước nhỏ Trong đó, lý thuyết cơ học liên tục phi cục bộ khởi xướng bởi Eringen (1972) [1] được chấp nhận và ứng dụng rộng rãi
Lý thuyết đàn hồi phi cục bộ của Eringen (1972) [1] được áp dụng rộng rãi trong lĩnh vực cơ học nano nhờ vào khả năng tính toán có xét tới ảnh hưởng của chiều dài nhỏ của các dầm/cột nano, vòng nano, tấm nano, vỏ nano Điểm khác biệt cơ bản giữa lý thuyết đàn hồi cổ điển và lý thuyết đàn hồi phi cục bộ là định nghĩa của ứng suất:
- Lý thuyết đàn hồi cổ điển: ứng suất tại một điểm là hàm của biến dạng cục bộ tại điểm đó
- Lý thuyết phi cục bộ: ứng suất tại một điểm là hàm của biến dạng tất cả các điểm trong môi trường liên tục
Trong trường hợp vật liệu đàn hồi, đẳng hướng, quan hệ ứng suất biến dạng phi cục bộ được cho bởi
( ) 0 2 2 2 e a d E dx σ − σ = ε (1.1) trong đó σ là ứng suất pháp, ε là biến dạng, E là mô đun Young, e 0 là hệ số chiều dài nhỏ và a là chiều dài đặc trưng lấy bằng chiều dài giữa hai nguyên tử
Nếu cho e 0 =0 thì ta nhận được định luật Hooke thông thường Để tính toán hệ số ảnh hưởng quy mô nhỏ e , Wang (2013) [31] đã sử dụng mô hình dầm vi kết cấu 0 làm liên tục hóa bằng các phương pháp củng cố hệ rời rạc Sau đó so sánh với mô hình dầm phi cục bộ.
Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài
Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, nhiều nghiên cứu phân tích ứng xử của các cấu kiện nano như dầm, cột, tấm, vỏ sử dụng lý thuyết phi cục bộ
1.2.1 Các công trình nghiên cứu trên thế giới
Lý thuyết cơ học phi cục bộ, được Eringen đề xuất, giả định rằng ứng suất tại một điểm bị ảnh hưởng bởi biến dạng của toàn bộ liên tục Mô hình hóa theo lý thuyết này đưa vào mối quan hệ các lực tương tác nguyên tử và tỷ lệ chiều dài bên trong Phương trình cơ học phi cục bộ hữu ích trong nghiên cứu truyền sóng, cơ học nứt và sức căng bề mặt Peddieson và Sudak lần đầu áp dụng lý thuyết này vào mô hình dầm, mở đường cho nhiều nghiên cứu về đàn hồi phi cục bộ, mất ổn định và dao động trong hệ thống cơ học nano, bao gồm cả phân tích sự mất ổn định của ống nano carbon nhiều lớp.
Zhang et al (2005) [6], Ece và Aydogdu (2007) [7] đã phân tích dao động tự do của ống nano carbon lớp kép dựa vào lý thuyết phi cục bộ Sự truyền sóng trong các ống nano cacbon được nghiên cứu bởi Wang (2005) [8], Heireche (2008) [9] và Li (2008) [10] Lý thuyết phi cục bộ cũng được ứng dụng vào trong phần tử vỏ dựa trên lý thuyết vỏ trụ Donnell để khảo sát uốn dọc và rung động của các ống nano cacbon nhiều lớp được đề xuất bởi Zang (2004) [11], Li và Kardomatras (2007) [12] Wang et al (2006) [13] phân tích mất ổn định của ống nano trên mô hình dầm Timoshenko phi cục bộ Tiếp tục dao động của dầm Timoshenko phi cục bộ được khảo sát bởi Wang et al (2007) [14] Wang et al (2007) [15] khảo sát dao động dầm nano chịu ứng suất ban đầu Reddy (2007) [16] đã ứng dụng lý thuyết phi cục bộ vào các mô hình dầm khác nhau Challamel và Wang (2008) [17] đã tính toán hệ số quy mô nhỏ cho dầm công xôn phi cục bộ Tounsi et al (2008) [18] khảo sát ảnh hưởng của quy mô nhỏ trong lan truyền sóng trong ống nano lớp kép Zhang et al
(2010) [19] dựa trên mô hình dầm mới kết hợp phi cục bộ và lý thuyết Gradient để khảo sát uốn, dao động và mất ổn định Wang et al (2010) [20] đã đưa ra các nghiên cứu gần đây về mất ổn định của ống nano carbon Elishakoff et al (2012) [21] đã giới thiệu một số kết quả về dao động và mất ổn định của biến dạng cắt bậc cao của mô hình dầm phi cục bộ
Mặc dù các mô hình phi cục bộ được phát triển mạnh mẽ, việc tính toán hệ số ảnh hưởng quy mô nhỏ vẫn là một thách thức Lam et al (2003) đã cung cấp một số thử nghiệm để tính toán hệ số này Hệ số quy mô nhỏ được tính bằng cách lấy số bài báo trích dẫn chia cho số lượng tác giả của bài báo được trích dẫn.
Tổng quan 7 cách so sánh tương đương với các lời giải số được xem xét rộng rãi gần đây Một số so sánh mô hình đàn hồi phi cục bộ với mô phỏng phân tử động đã được tiến hành để tính toán hệ số quy mô nhỏ như Duan et al (2007) [23] và Narendar et al (2011) [24] Zhang et al (2009) [25] đã so sánh lực tới hạn có được từ cơ học phi cục bộ liên tục với một vài kết quả mô phỏng phân tử động đã xác định được hệ số này
Một nhánh khác cũng so sánh nhưng với mô hình rời rạc đơn giản Eringen (1987)
[26] đã xác định hệ số ảnh hưởng của quy mô nhỏ bằng cách so sánh với mô hình sóng phân tán của Born-Karman Lazar et al (2006) [27] sử dụng mô hình phi cục bộ của Helmholtz và cũng so sánh với mô hình sóng phân tán của Born-Karman
Trong nghiên cứu gần đây của Challamel et al (2013) [28], [29], dầm vi kết cấu, được mô hình bởi các phần tử lặp lại bao gồm các đoạn cứng và các lò xo xoay đàn hồi, được sử dụng để thiết lập hệ số quy mô nhỏ e Họ đã phát hiện ra rằng 0 e 0 có những giá trị khác nhau tuỳ thuộc vào loại phân tích Cụ thể là 0 1
2 3 e = ≈ cho phân tích mất ổn định dầm Euler phi cục bộ và 0 1
6 e = ≈ cho phân tích dao động của dầm Euler phi cục bộ Zhang et al (2013) [30] đã khảo sát ảnh hưởng của lực cắt trong mô hình rời rạc thiết lập mô hình tương đương với mô hình dầm Timoshenko phi cục bộ Wang et al (2013) [31], bằng cách so sánh mô hình dầm vi kết cấu được làm liên tục hoá bằng các phương pháp củng cố, đề xuất bởi Andrianov and Awrejcewicz (2003) [32], (2010) [33], với mô hình dầm phi cục bộ đã tính toán được hệ số chiều dài nhỏ biến thiên phục thuộc vào ứng suất ban đầu từ 0.289 đến 0.408 và không phụ thuộc vào loại phân tích Wang et al (2013) [31] cũng chỉ ra, hệ số ảnh hưởng của quy mô nhỏ e không phụ thuộc vào loại phân tích 0 mà phụ thuộc vào ứng suất dọc trục ban đầu trong dao động của dầm, mà mất ổn định là trường hợp đặc biệt của dầm dao động có ứng suất dọc trục khi tần số dao động riêng bằng 0 Điều này giải thích tại sao mỗi lại phân tích dao động hay mất ổn định lại cho một hệ số ảnh hưởng quy mô nhỏ khác nhau
Do ứng xử tương tự giữa dầm vi mô và dầm phi cục bộ, dầm vi mô trở thành một công cụ hữu ích và đơn giản để tính toán ứng xử của các cấu trúc phức tạp Sự tương đồng này giúp các kỹ sư xây dựng dễ dàng sử dụng dầm vi mô để phân tích và thiết kế các cấu trúc với các chi tiết nhỏ, tiết kiệm thời gian và công sức so với các phương pháp truyền thống.
0 trung phân tích dao động và mất ổn định của mô hình dầm vi kết cấu với các điều kiện biên và tải trọng khác nhau làm cơ sở để lý thuyết để phân tích dầm phi cục bộ
1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nước
Lê Minh Đức (2008) [34] đã tổng hợp vật liệu nano composite dạng vỏ lõi trên cơ sở polimer dẫn điện bằng phương pháp hóa học ở nhiệt độ phòng, áp suất thông thường Huỳnh Anh Hoàng et al (2010) [35] đã kết hợp các nghiên cứu thực nghiệm và ứng dụng qui hoạch thực nghiệm để xác định các giá trị tối ưu về nồng độ chất xúc tác, vận tốc dòng khí, nhiệt độ tổng hợp nhằm tối ưu hóa quá trình tổng hợp các ống nano cacbon Phạm Như Phương et al (2011) [36] đã tổng hợp được các nano TiO 2 dạng ống bằng phương pháp thủy nhiệt Có thể thấy thực tế nước ta chỉ mới làm quen với các khái niệm về công nghệ nano Các nghiên cứu thuộc lĩnh vực này chỉ mới ở nghiên cứu trong phòng thí nghiệm
Lý thuyết phi cục bộ có thể phản ánh chính xác ứng xử của các kết cấu nano, điều mà lý thuyết đàn hồi cục bộ cổ điển không làm được Hệ số ảnh hưởng của quy mô nhỏ e trong lý thuyết phi cục bộ được xác định bằng nhiều phương pháp như thí 0 nghiệm, mô phỏng phân tử, so sánh với mô hình sóng phân tán của Born-Karman
Mô hình vi kết cấu cung cấp phương pháp mới để tính hệ số ảnh hưởng quy mô nhỏ cho dầm, cho kết quả tổng quát không phụ thuộc vào loại phân tích Tuy nhiên, mô hình này mới chỉ được áp dụng cho dầm đơn giản hai đầu khớp chịu lực dọc trục Để đáp ứng điều kiện biên và dạng tải trọng đa dạng trong thực tế, luận văn tập trung ứng dụng mô hình vi kết cấu vào các loại dầm có điều kiện biên khác nhau như dầm cong xôn một đầu ngàm một đầu tự do, dầm hai đầu ngàm, dầm một đầu ngàm một đầu khớp để phân tích mất ổn định và dao động tự do.
Mục tiêu và hướng nghiên cứu
Mục tiêu của luận văn nhằm phân tích ứng xử mất ổn định và dao động của mô hình dầm vi kết cấu Nguyên lý Hamilton để rút ra phương trình đặc trưng, từ đó tính ra tần số dao động và lực mất ổn định Để đạt được mục tiêu trên, các vấn đề nghiên cứu trong phạm vi luận văn được thực hiện:
- Thiết lập các phương trình năng lượng như năng lượng biến dạng đàn hồi, thế năng do ứng suất ban đầu và động năng
- Áp dụng nguyên lý Hamilton để rút ra được phương trình đặc trưng, từ đó tính được tần số dao động và lực mất ổn định
- Phát triển thuật toán, sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để xây dựng chương trình tính toán
- Kết quả thu được so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống
- Khảo sát sự hội tụ của mô hình dầm vi kết cấu.
Cấu trúc luận văn
Nội dung trong luận văn được trình bày như sau:
Chương 1: giới thiệu tổng quan về mô hình dầm vi kết cấu, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước, cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài
Chương 2: trình bày cách thiết lập phương trình đặc trưng để rút ra tần số dao động và lực mất ổn định
Chương 3: trình bày các ví dụ số được tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab
Chương 4: đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai
Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài
Phụ lục: một số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong Chương 3.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Mô hình dầm vi kết cấu
Xem xét dầm đơn giản được mô hình bởi một số hữu hạn các đoạn cứng và các lò xo xoay đàn hồi có độ cứng là C Hình 2.1 là ví dụ một dầm có bốn đoạn Dầm chịu một ứng suất dọc trục ban đầu là σ 0 với hai đầu khớp
Hình 2.1 Mô hình dầm vi kết cấu bốn đoạn dưới tác dụng của ứng suất ban đầu σ 0 với hai đầu khớp σ 0 σ 0 a a a a
Biến dạng Chưa biến dạng
Lò xo xoay Khối lượng tập trung
Dầm được cấu thành từ n phần tử lặp lại có chiều dài là a , nên tổng chiều dài dầm có được là L= ×n a Chiều dài phần tử a liên quan đến khoảng cách giữa các nguyên tử về mô hình vật lý, vi kết cấu liên quan trực tiếp đến sự rời rạc của nguyên tử trong vật chất.
Giải pháp thực hiện
Để phân tích dao động và mất ổn định của mô hình dầm vi kết cấu, thiết lập các phương trình thế năng đàn hồi U , thế năng do ứng suất dọc trục ban đầu V và động năng do dao động T Sau đó áp dụng nguyên lý Hamilton để rút ra ma trận độ cứng K của dầm Giải phương trình đặc trưng Det K =0 để rút ra được tần số dao động và ứng suất mất ổn định của dầm.
Thế năng đàn hồi
Thế năng đàn hồi U sinh ra do biến dạng của các lò xo xoay trong mô hình dầm vi kết cấu cho bởi
= ∑ − (2.1) trong đó, độ cứng C =EI a / , θ j là góc xoay tại nút thứ j Vì góc xoay là rất nhỏ nên
− = sin ≈ ⇒ = − (2.2) trong đó w j là chuyển vị ngang tại nút j Thay (2.2) vào phương trình (2.1), ta được
Thế năng do ứng suất dọc trục ban đầu
Thế năng V do ứng suất dọc trục ban đầu trong mô hình dầm vi kết cấu được cho bởi
= −∑ (2.4) trong đó A là diện tích tiết diện dầm, ε j là biến dạng theo phương dọc trục của phần tử thứ j Vì góc xoay giữa các phần tử là rất nhỏ nên
Thay phương trình (2.6) vào phương trình (2.4)
∑ (2.7) Ứng suất σ 0 dương là ứng suất nén, còn ứng suất σ 0 âm là ứng suất kéo.
Động năng
Động năng T do dao động tự do của dầm vi kết cấu cho bởi
Tổng khối lượng M của dầm vi kết cấu phân bố như sau:- Các nút giữa: m j =M n / (n-1)- Hai nút ở đầu: m 1=m n + 1=M / (2n)
Áp dụng nguyên lý Hamilton
Áp dụng nguyên lý Hamilton:
Cơ sở lý thuyết 13 trong đó t và 1 t là thời gian ban đầu và thời gian kết thúc Bằng cách thế phương 2 trình (2.3), (2.7) và (2.8) vào phương trình (2.9) và xét chuyển động điều hòa, tức là
( ) ( ) w j x t , =w j x e − i t ω với i = −1 và ω là tần số góc của dao động:
5w n 4w n w n 2w n w n w n 0 j= −n , − − + − − −γ + − +β = (2.12) trong đó β = M ω 2 2 a / ( ) nC , và γ σ= 0 Aa C / Với n=3 phần tử, chỉ có hai phương trình đó là (2.10) và (2.12) Trong trường hợp này, dầm hai đầu khớp cho w1=0 và w n + 1 =0 Các phương trình (2.10), (2.11 ) và (2.12) có thể viết dưới dạng ma trận như sau
(2.13) trong đó h 1 =h n − 1=(β− +5) 2γ, h 2 =⋯h n − 2 =(β − +6) 2γ, g = −4 γ Để xác định tần số riêng ω của dao động dầm vi kết cấu dưới tác dụng của ứng suất ban đầu σ 0 , định thức của ma trận K phải bằng không
Giải phương trình đặc trưng (2.14) được nhiều nghiệm ω, và mỗi nghiệm tương ứng với một tần số dao động riêng của dầm vi kết cấu Để xác định ứng suất gây mất ổn định của dầm vi kết cấu, thiết lập ω =0 và giải phương trình đặc trưng (2.14)
Mô hình dầm Euler phi cục bộ
Dựa theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, quan hệ giữa ứng suất và chuyển vị cho như sau
2 2 w xx zd ε = − dx (2.15) trong đó x là tọa độ dọc trục, z là tọa độ tính từ trục trung hòa của dầm, w là chuyển vị ngang và ε xx là biến dạng
Năng lượng biến dạng ảo được cho bởi
U A dAdx δ =∫ ∫ σ δε (2.16) trong đó σ xx là ứng suất pháp, L chiều dài dầm và A là diện tích mặt cắt ngang của dầm
Bằng cách thế phương trình (2.15) vào phương trình (2.16) năng lượng biến dạng ảo được biểu diễn dưới dạng
∫ ∫ ∫ (2.17) trong đó M là mô men uốn được định nghĩa là
Tính toán dầm chịu ứng suất nén ban đầu σ 0 , thế năng ảo Vδ của ứng suất ban đầu cho bởi
Tính toán chuyển động điều hòa, biến phân động năng của dao động dầm cho bởi
T A dx δ =∫ ρ ω δ (2.20) trong đó ρ là khối lượng riêng của dầm và ω là tần số góc của dao động
Dựa vào nguyên lý Hamilton, Uδ +δV −δT phải bằng 0 , thế các phương trình (2.17), (2.19) và (2.20):
M A A dx dx dx dx dx δ +σ δ +ρ ω δ
Bằng cách tích phân từng phần:
Bởi vì wδ là tùy ý trong khoảng 0<