Phân tích ổn định và ứng xử sau mất ổn định tấm mỏng trên nền đàn hồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HỒ BÌNH PHƯƠNG ĐỀ TÀI : PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG XỬ SAU MẤT ỔN ĐỊNH TẤM MỎNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI Chuyên ngành : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP Mã số ngành : 23.04.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP.HỒ CHÍ MINH – tháng 12 năm 2005 Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên Ngày, tháng, năm sinh Chuyên ngành I- TÊN ĐỀ TÀI : HỒ BÌNH PHƯƠNG Phái: Nam : 04/08/1978 Nơi sinh: Vónh Long : Xây dựng DD&CN Mã số: 23.04.10 : PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG XỬ SAU MẤT ỔN ĐỊNH TẤM MỎNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: • Tổng quan • Cơ sở lý thuyết độ võng nhỏ, độ võng lớn đàn hồi: - Cơ sở lý thuyết có độ võng nhỏ đàn hồi - Cơ sở lý thuyết có độ võng lớn đàn hồi • Ổn định có độ cong ban đầu đàn hồi • Ứng xử sau ổn định có độ cong ban đầu đàn hồi hai thông số • Khảo sát số trường hợp với ví dụ số • Kết luận kiến nghị III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ V- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : 07/07/2005 : 07/12/2005 : PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG CHỦ NHIỆM NGÀNH BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH PGS.TS.Nguyễn Thị Hiền Lương PGS.TS.Chu Quốc Thắng Nội dung đề cương luận văn thạc só Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua Tp HCM, ngày PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH tháng năm 2005 KHOA QUẢN LÝ NGÀNH CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hùng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Cán chấm nhận xét 1: Cán chấm nhận xét 2: Luận văn Thạc só bảo vệ HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày …… tháng …… năm 2005 LỜI CẢM ƠN Trải qua thời gian học tập trường với hướng dẫn tận tình quý Thầy, Cô, Giáo sư kiến thức chuyên môn phương pháp nghiên cứu, hoàn thành luận văn cao học chuyên ngành Xây dựng Dân Dụng Công Nghiệp Đây phát minh hay nghiên cứu mà tổng hợp học được, đọc được, phát thời gian “học nghiên cứu” Tôi hy vọng luận văn bước khởi đầu cho nghiên cứu mang tính khoa học sau Chân thành cảm ơn Giáo sư, quý Thầy Cô tận tình dẫn thời gian học Xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Cao đẳng Xây dựng Miền Tây tỉnh Vónh Long tạo điều kiện thuận lợi cho làm việc học tập năm qua Chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Thị Hiền Lương hướng dẫn giúp đỡ tận tình cho hoàn thành Luận Văn tốt nghiệp Cuối xin chân thành cảm ơn Gia đình người thân, bạn bè đồng nghiệp động viên chia với lúc khó khăn công việc trình học tập nghiên cứu MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Chương 1: TỔNG QUAN 1.1 Lịch sử nghiên cứu đề tài 1.2 Nhiệm vụ luận văn ý nghóa thực tiễn Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA TẤM CHỊU UỐN 2.1 Lý thuyết đàn hồi đẳng hướng 2.1.1 Các khái niệm 2.1.2 Các mô hình lý thuyết 2.2 Lý thuyết mỏng cổ điển Kirchhoff 2.2.1 Giả thuyết Kirchhoff 2.2.2 Phương trình vi phân cân hệ tọa độ vuông góc 2.2.3 Quan hệ biến dạng chuyển vị (Quan hệ động học) 2.2.4 Quan hệ ứng suất biến dạng (Quan hệ ứng xử) 10 2.2.5 Tấm chịu tác dụng đồng thời lực ngang lực mặt phẳng 11 2.2.6 Năng lượng biến dạng 14 2.2.7 Tấm mỏng đàn hồi 15 a Các loại mô hình 15 b Phương trình vi phân đàn hồi 16 2.2.7 Điều kiện biên taám Kirchhoff 17 2.3 Lý thuyết mỏng độ võng lớn (Lý thuyết von Kármán) 18 2.3.1 Phương trình vi phân chủ đạo 18 2.3.2 Phương trình vi phân đàn hồi 20 2.3.3 Năng lượng biến dạng 20 2.2.7 Điều kiện biên độ võng lớn 21 2.4 Sơ lược chương trình tính toán Mathematica 21 Chương 3: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TẤM 23 3.1 Ổn định có độ võng nhỏ 23 3.1.1 Những khái niện ổn định 23 3.1.2 Phương trình cân ổn định 24 3.1.3 Phương pháp lượng phân tích 25 a Phương phaùp Rayleigh_Ritz 25 b Phương pháp Galerkin 26 3.1.4 Phân tích ổn định chữ nhật Winkler không xét độ cong ban ñaàu 27 a Tấm có bốn cạnh tựa đơn đàn hồi 27 b Tấm có hai cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn 28 c Tấm có bốn cạnh ngàm 29 3.1.5 Phân tích ổn định chữ nhật Winkler có xét độ cong ban đầu 31 a Tấm có bốn cạnh tựa đơn đàn hồi 31 b Tấm có hai cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn 32 c Tấm có bốn cạnh ngaøm 33 3.2 Ổn định có độ võng lớn 34 3.2.1 Phân tích ổn định chữ nhật Winkler không xét độ cong ban đầu 35 a Phương pháp Galerkin 35 b Tấm có bốn cạnh tựa đơn 36 c Tấm có hai cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn 37 d Tấm có bốn cạnh ngaøm 39 3.2.2 Phân tích ổn định chữ nhật Winkler có xét độ cong ban đầu 40 a Phương pháp Galerkin 42 b Tấm có bốn cạnh tựa đơn 42 c Tấm có hai cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn 43 d Tấm có bốn cạnh ngàm 45 3.3 So sánh ổn định độ võng nhỏ_ độ võng lớn Winkler 46 3.4 Nhận xét kết luận 47 Chương 4: ỨNG XỬ SAU MẤT ỔN ĐỊNH TẤM CHỮ NHẬT CÓ ĐỘ CONG BAN ĐẦU TRÊN NỀN ĐÀN HỒI HAI THÔNG SỐ 50 4.1 Cơ sở lý thuyết 50 4.2 Phương trình vi phân chủ đạo 51 4.3 Phương pháp kết hợp gần bước _ Galerkin 53 4.4 Phương pháp kết hợp nhiễu loạn _ Galerkin 55 4.5 Nhận xét kết luận 60 Chương 5: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA LUẬN VĂN 66 4.1 Kết luận 66 4.2 Hướng phát triển luận văn 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Chương TỔNG QUAN 1.1 Lịch sử nghiên cứu đề tài Tấm kết cấu giới hạn hai mặt phẳng song song cách khoảng h gọi chiều dày Chiều dày có ảnh hưởng đến tính chất chịu uốn kích thước khác [7] Kết cấu sử dụng nhiều công nghiệp xây dựng Nhiều nỗ lực để triển khai mô hình giải tích chịu uốn đánh dấu công trình nghiên cứu vào thập niên 80 kỷ 18 như: Sophie Germain(1776-1831), Lagrange (1736-1813) L D Poisson(1781-1840) Đáng kể vào năm 1823, báo mình, L Navier thành công việc áp dụng giả thuyết Bernoulli vào toán dầm chịu uốn cách xét tác động hai phương ứng suất biến dạng Ông định nghóa xác phương trình vi phân cân chủ đạo cho chịu lực ngang pz D( ∂4w ∂4w ∂4w ) = p z ( x, y ) + + ∂x ∂x∂y ∂y (1.1) Trong phương trình D độ cứng chống uốn tấm, tỷ lệ bậc ba với bề dày, w(x,y) chuyển vị mặt trung bình Đến năm 1850, G R Kirchhoff (1824-1887) phát triển lý thuyết chịu uốn “hoàn hảo” Ông dựa vào giả thuyết Bernoulli dầm thiết lập phương trình vi phân cân tương tự Navier sử dụng phương pháp biến thiên lượng [10] Sự đời lý thuyết cổ điển tuyến tính Kirchhoff đặt tảng cho việc nghiên cứu toán sau Tuy nhiên lý thuyết phải chấp nhận nhiều giả thiết : bỏ qua biến dạng mặt phẳng tấm, bỏ qua biến dạng trượt độ võng phải nhỏ so với bề dày Các điều kiện biên tương thích không triển khai đến năm 1850 Kirchhoff đưa ra.Ông cho lời giải xác ví dụ tròn Ông cho hai điều kiện biên thích hợp ba định nghóa lực cắt tương đương đặc biệt để giảm số lực biên tự xuống hai Sau đó, năm 1883, W Thomson(18241907) P G Tait(1831-1901) bổ sung biểu thức liên hệ lượng lực cắt tương đương với giải thích rõ ràng mặt vật lý [1,3] Lý thuyết mỏng cổ điển Kirchhoff lý thuyết đơn giản sử dụng rộng rãi để phân tích Do tính ứng dụng rộng rãi nó, ta tìm thấy lời giải toán với hình dạng điều kiện biên, tải trọng khác giáo trình Timoshenko W Krieger năm 1959 Tính đơn giản lý thuyết Kirchhoff chỗ giả thiết pháp HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG tuyến vuông góc với mặt phẳng thẳng vuông góc trước sau biến dạng Giả thiết không kể đến ảnh hưởng biến dạng trượt Điều dẫn đến kết sai lệch bề dày lớn Một số nghiên cứu cố gắng cải tiến giả thiết mỏng chịu uốn Kirchhoff nhằm kể tới ứng suất gây trượt thực D.H Donnell, A L Goldenweizer, E Reissner Mindlin Trong đó, lý thuyết công nhận rộng rãi lý thuyết tương đối dày Reissner-Mindlin Đầu tiên, Reissner xem góc xoay đoạn thẳng vuông góc mặt phẳng trung bình hai mặt phẳng lại hàm độ võng xem biến độc lập lý thuyết tính toán Nhưng sau đó, Mindlin đơn giản hóa giả thiết xem đoạn thẳng pháp tuyến trước sau biến dạng thẳng, sau biến dạng chúng không vuông góc với mặt trung bình [7] Khoa học kỹ thuật tiến đòi hỏi sử dụng nhiều kết cấu lớn kích thước phải chịu lực tốt nhẹ Chẳng hạn kết cấu ngành hàng không, vũ trụ, đóng tàu, …và công trình dân dụng đòi hỏi không gian lớn Tất kết cấu trước tiên phải mỏng để đạt yêu cầu nhẹ Điều tương đương với việc độ võng phải lớn (xem bậc với bề dày tấm) kéo theo biến dạng mặt phẳng lớn Lúc này, giả thiết Kirchhoff không thỏa mãn mà cần có lý thuyết khác thích hợp hơn, giả thiết Và lý thuyết phi tuyến Von Kármán đời năm 1910 Ông đưa hệ phương trình vi phân phi tuyến cho có độ võng lớn phương trình tương thích đưa vào Việc giải xác phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phương pháp giải tích phức tạp, khó tìm nghiệm tường minh Nên tác giả dùng nhiều phương pháp gần khác : phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp lượng, … Trong đó, phương pháp lượng sử dụng nhiều : Cox H L (1933), Timoshenko (1936), Marguerre vaø Trefftz (1937) Năm 1942 Levy sử dụng chuỗi Fourier để giải toán vuông độ võng lớn J C Brown J M Harvey (1969) dùng phương pháp sai phân hữu hạn để giải toán chữ nhật có độ võng lớn [13] Tấm độ võng nhỏ đàn hồi trình bày nhiều giáo trình tác giả: S P Timoshenko naêm 1971 [3], A C Ugural naêm 1999 [4], R Szilard năm 2004 [10],… Trái lại, có độ võng lớn đàn hồi đề cập đến Tuy nhiên, vấn đề quan tâm từ sớm dạng nghiên cứu đăng tạp chí chuyên ngành với nhiều phương pháp khác Năm 1963, S N Sinha [12] dùng phương pháp lượng để giải toán phi tuyến Winkler Một phương pháp khác sử dụng nhiều thời gian gần phương pháp phần tử biên Ưu điểm phương pháp giải toán có biên phức tạp Và HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG J T Katsikadelis (1991) [14] dùng phương pháp để phân tích phi tuyến Winkler Hầu hết, phân tích dầm chịu uốn đàn hồi dựa giả thiết tác động lên tỷ lệ với chuyển vị dầm điểm Giả thiết giới thiệu Winkler năm 1867 Mô hình Winkler đơn giản đặc điểm nhiều loại thực tế Một vài nghiên cứu cố gắng cải tiến mô hình Winkler mô hình hai thông số (Pasternak type) quan tâm nhiều nhất, đặc biệt phân tích đàn hồi Việc nghiên cứu chữ nhật nhiều lớp không đối xứng trục đàn hồi Pasternak thực Sharma (1980) Và năm 1998, Hui Shen Shen phân tích dày phi tuyến hai thông số phương pháp Galerkin kết hợp nhiễu loạn [19] Mặt khác, đặc tính đề cập phân tích trước tính không chịu kéo Khi chịu lực, có vị trí nhô lên không tiếp xúc với Bằng hổ trợ phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) A A Khathlan (1994) [16] vaø A R D Silva, R A M Silverira, P B Gonỗaves (2001) [20] ủaừ phaõn tớch độ võng lớn không chịu kéo với hai mô hình Winkler Bán không gian đàn hồi Khi có độ võng lớn vấn đề ổn định xem quan trọng hàng đầu phân tích Với phương pháp gần giống phương pháp nhiễu loạn Manuel Stein (1959) [11] vẽ dạng ổn định tác dụng tải nằm mặt phẳng nhiệt độ Việc nghiên cứu có ý nghóa ta xem xét ứng xử sau ổn định (Postbuckling behaviour) Đây vấn đề quan tâm nhiều thời gian gần ý nghóa thực tiễn tận dụng khả làm việc kết cấu Huang Yuying, Zhong Weifang and Qin Qinghua(1992) [15] phân tích ứng xử sau ổn định phương pháp phần tử biên (BEM) Năm 1997, Qing Hua Qin [18] dùng phương pháp lai PTHH -Trefftz để phân tích ổn định ứng xử sau ổn định Winkler với kết số khảo sát cho vuông tròn Gần nhất, năm 2003, A S de Holanda, P B Goncalves [23] với phương pháp PTHH giải toán không chịu kéo Winkler với việc giải toán tiếp xúc Những phân tích kể cho toán hoàn hảo Tuy nhiên, thực tế tính chất việc chế tạo, loại kết cấu không tránh khỏi có khuyết tật ban đầu mặt hình học : có bề dày thay đổi, có độ cong ban đầu… Do đó, vấn đề ổn định không hoàn hảo đàn hồi cần xem xét, nghiên cứu Về mặt lý thuyết có thông tin ổn định ứng xử sau ổn định đàn hồi có kể đến khuyết tật hình học ban đầu Năm 1995, với phương pháp nhiễu loạn, Hui Shen Shen [17] giải toán chữ nhật trực hướng tựa đơn đàn hồi hai HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Thay (4.37), (4.38), (4.39) vào phương trình (4.32) ⎡⎣ k1 + k2 (m + n β ) + (m + n β ) − A00 m β (1 + µ ) ⎤⎦ A11 sin mξ sin nη = (4.40) Để phương trình (4.12) không nhận nghiệm tầm thường (A11=0), nghóa k1 + k2 (m + n β ) + (m + n β ) − A00 m β (1 + µ ) = (4.41) Giải phương trình (4.41) A00 = k1 k2 ( m + n β ) ( m + n β ) + + 2 m β (1 + µ ) m β (1 + µ ) m β (1 + µ ) (4.42) Thay (4.37a), (4.38) vào vế phải phương trình (4.33) L1 ( f ) = 2 2 A11m n β (1 + µ ) [ cos(2mξ ) + cos(2nη ) ] (4.43) Đây phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc đối xứng theo f2 nên ta đặt f2 thoả mãn điều kiện biên sau f = B20 cos(2mξ ) + B02 cos(2nη ) − B00 η2 (4.44) Áp dụng phương pháp Galerkin ta hệ π π ⎧ ∫ ∫ ⎨⎩ L ( f )− 2 2 ⎫ A11m n β (1 + µ ) [ cos(2mξ ) + cos(2nη )]⎬ cos(2mξ )d ξ dη = (4.45) ⎭ )− 2 2 ⎫ A11m n β (1 + µ ) [ cos(2mξ ) + cos(2nη ) ]⎬ cos(2nη )d ξ dη = (4.46) ⎭ 0 π π ⎧ ∫ ∫ ⎨⎩ L ( f 0 Sau lấy tích phân xác định 32 B20 m − A112 n β (1 + µ ) = (4.47) 32 B02 β n − A112 m (1 + µ ) = (4.48) Giải ta B20 = A112 n β (1 + µ ) 32m (4.49a) B02 = A112 m (1 + µ ) 32n β (4.49b) Phương trình (4.44) viết lại sau A2 n β (1 + µ ) A112 m (1 + µ ) η2 f = 11 cos(2 m ) + cos(2 n ) − B ξ η 00 32m 32n β 2 (4.50) Thay (4.37), (4.38) vào vế phải (4.34) L1 (w3 ) + k1w3 − k2 L2 (w3 ) − β L (w3 , f0 ) = A11m β (1 + µ )( B00 − B20 n2 − B02 n2 )sin(mξ )sin(nη ) + +2 B20 A11m n β (1 + µ )sin(3mξ )sin(nη ) + B02 A11m n β (1 + µ )sin(mξ ) sin(3nη ) (4.51) HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 56 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Để phương trình vi phân đạo hàm riêng (4.51) có nghiệm w3 thoả điều kiện biên không trùng lại mode ban đầu số hạng thứ vế phải phương trình phải 0, tức A11m β (1 + µ )( B00 − B20 n2 − B02 n2 )sin(mξ )sin(nη ) = (4.52) Để phương trình (4.52) không nhận nghiệm tầm thường B00 − B20 n2 − B02 n2 = (4.53) Hay B00 = 2( B20 + B02 ) n = A112 (1 + µ )(m + β n ) 16m β (4.54) Chọn hàm độ võng w3 thoả điều kiện biên sau w3 = A31 sin(3mξ ) sin(nη ) + A13 sin(mξ ) sin(3nη ) (4.55) Thay (4.55) vaøo (4.51) áp dụng phương pháp Galerkin hệ π π ∫ ∫ [ pt (4.51)] sin(3mξ ) sin(nη )dξ dη = (4.56a) 0 π π ∫ ∫ [ pt (4.51)] sin(mξ ) sin(3nη )dξ dη = (4.56b) 0 Sau lấy tích phân xác định A31 ⎡⎣ k1 + k2 (9m2 + n β ) + (9m + n β ) − 9m β A00 ⎤⎦ − A11 B20 m2 n β (1 + µ ) = (4.57a) A13 ⎡⎣ k1 + k2 (m + 9n β ) + (m + 9n β ) − m β A00 ⎤⎦ − A11 B20 m2 n β (1 + µ ) = (4.57b) Giải ta A31 = A11 B20 m2 n β (1 + µ ) k1 + k2 (9m + n β ) + (9m + n β ) − 9m β A00 (4.58a) A13 = A11 B20 m n β (1 + µ ) k1 + k2 (m + 9n β ) + (m + 9n β ) − m β A00 (4.58b) Thay (4.37), (4.38), ( 4.55) vào vế phải phương trình (4.35) L1 ( f ) = − A11 A31m n β (1 + µ ) cos(2mξ ) − A11 A13 m n β (1 + µ ) cos(2nη ) + 4m n β (1 + µ ) A11 ( A31 + A13 ) cos(2mξ ) cos(2nη ) − m n β (1 + µ ) A11 A31 cos(4mξ ) cos(2nη ) − m n β (1 + µ ) A11 A13 cos(2mξ ) cos(4nη ) + 4m n β (1 + µ ) A11 A31 cos(4mξ ) + 4m n β (1 + µ ) A11 A13 cos(4nη ) (4.59) Đây phương trình vi phân đạo hàm riêng đối xứng theo f4 nên ta chọn f4 theo dạng vế phải thoả điều kiện biên nhö sau η2 f = −C00 + C20 cos(2mξ ) + C02 cos(2nη ) + C22 cos(2mξ ) cos(2nη ) + C42 cos(4mξ ) cos(2nη ) + C24 cos(2mξ ) cos(4nη ) + C40 cos(4mξ ) + C04 cos(4nη ) HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 (4.60) 57 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Thay (4.60) vào phương trình (4.59) áp dụng phương pháp Galerkin ta hệ π π ∫ ∫ [ pt (4.59)] cos(2mξ )dξ dη = (4.61a) 0 π π ∫ ∫ [ pt (4.59)] cos(2nη )dξ dη = (4.61b) 0 π π ∫ ∫ [ pt (4.59)] cos(4mξ )dξ dη = (4.61c) 0 π π ∫ ∫ [ pt (4.59)] cos(4nη )dξ dη = (4.61d) 0 π π ∫ ∫ [ pt (4.59)] cos(2mξ ) cos(2nη )dξ dη = (4.61e) 0 π π ∫ ∫ [ pt (4.59)] cos(4mξ ) cos(2nη )dξ dη = (4.61f) 0 π π ∫ ∫ [ pt (4.59)] cos(2mξ ) cos(4nη )dξ dη = (4.61g) 0 Sau laáy tích phân xác định 16m 2C20 + A11 A31β n + µ A11 A31β n = (4.62a) 16n 2C20 + A11 A13 β m + µ A11 A13 β m = (4.62b) 64m 2C40 − ( A11 A31n β + µ A11 A31n β ) = (4.62c) 64n 2C04 − ( A11 A13m β + µ A11 A13m β ) = (4.62d) (16m + 32m n β + 16n β )C22 − A11 ( A13 + A31 )m n β (1 + µ ) = (4.62e) (256m + 128m n β + 16n β )C42 + A11 A31m n β (1 + µ ) = (4.62f) (16m + 128m n β + 256n β )C24 + A11 A13 m n β (1 + µ ) = (4.62g) Giải hệ số A11 A31β n (1 + µ ) C20 = − 16m A11 A13 β m (1 + µ ) C02 = − 16n C40 = A11 A31n β (1 + µ ) 64m C22 = A11 ( A13 + A31 ) m n β (1 + µ ) 4(m + n β ) C42 = − C04 = A11 A13m β (1 + µ ) 64n A11 A31m n β (1 + µ ) A11 A13m n β (1 + µ ) C = − 24 16(4m + n β ) 16(m + 4n β ) HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 (4.63a) (4.63b) (4.63c) (4.63d) 58 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Thay f4 vừa nhận vào vế phải phương trình (4.36) L1 (w5 ) + k1w5 − k2 L2 (w5 ) − β L (w5 , f0 ) = D11 sin(mξ )sin(nη ) + + D31 sin(3mξ )sin(nη ) + D13 sin(mξ )sin(3nη ) + D15 sin(mξ )sin(5nη ) + D51 sin(5mξ )sin(nη ) + D33 sin(3mξ )sin(3nη ) + D35 sin(3mξ )sin(5nη ) + D53 sin(5mξ )sin(3nη ) (4.64) Trong D11 = m β (2n ( A31 B20 + A13 B02 ) + (1 + µ ) A11 (C00 − 2n (C20 + C02 ))) (4.65a) D13 = m β ( A13 ( B00 − 18n B20 ) − A11n (1 + µ )(4C22 − C24 − 2C02 + 8C04 )) (4.65b) D31 = m β (9 A31( B00 − 2n B02 ) + A11n (1 + µ )(4C22 − C42 − 2C20 + 8C40 )) (4.65c) D33 = 9m n β (2 A13 B20 + A31 B02 − A11 (1 + µ )(C24 + C42 )) (4.65d) D15 = m n β (2 A13 B02 − A11 (1 + µ )(9C24 − 8C04 ) (4.65e) D51 = m n β (2 A31 B20 − A11 (1 + µ )(9C42 − 8C40 ) (4.65f) D35 = m n β (1 + µ ) A11C24 (4.65g) D53 = m n β (1 + µ ) A11C42 (4.65h) Tương tự để phương trình (4.64) có nghiệm thoả điều kiện biên không trùng lại mode ban đầu D11 phải 0, tức m β (−2n2 ( A31B20 + A13 B02 ) + (1 + µ ) A11 (2n2 (C20 + C02 ) − C00 )) = (4.66) Suy C00 = 2n2 [ − A31B20 − A13 B02 + A11 (C20 + C02 )(1 + µ )] A11 (1 + µ ) (4.67) Cuối hàm độ võng hàm ứng suất viết sau w = ε [ A11 sin(mξ ) sin( nη ) ] + ε [ A31 sin(3mξ ) sin(nη ) + A13 sin( mξ ) sin(3nη ) ] + O(ε ) (4.68a) f = − A00 η2 ⎡ ⎤ η2 + ε ⎢ − B00 + B20 cos(2mξ ) + B02 cos(2nη ) ⎥ 2 ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ η2 C − + C20 cos(2mξ ) + C02 cos(2nη ) + C22 cos(2mξ ) cos(2nη ) ⎥ + O(ε ) + ε ⎢ 00 ⎢ ⎥ ⎣⎢ +C42 cos(4mξ ) cos(2nη ) + C24 cos(2mξ ) cos(4nη ) + C40 cos(4mξ ) + C04 cos(4nη ) ⎦⎥ (4.68b) Baèng việc thay (54b) vào (15c) λx = λx(0) + λx(2) + λx(4) + = HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 A00 B C + ε 00 + ε 00 + 4 (4.69) 59 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Xét độ co ngắn theo phương chịu nén (End-shortening) a b a b ⎧⎪ ⎡ ∂ F ∆x ∂U ∂ F ⎤ ∂W ∂ 2W ∂ 2W0 ⎫⎪ 1 = − ∫∫ − dxdy = − ∫ ∫ ⎨ ) − ν ⎬dxdy ⎢ ⎥− ( ∂ x ⎦ ∂x ∂x ∂x ⎭⎪ a ab 0 ∂x ab 0 ⎩⎪ Eh ⎣ ∂ y (4.70) Đặt 12(1 −ν ) b ∆ x δx = 4π h a (4.71) Đưa (4.70) dạng không thứ nguyên δx = − ⎧⎪ ⎡ ∂ f ∂2 f − β ν ⎨⎢ ∂ 2ξ 4π β ∫0 ∫0 ⎩⎪ ⎣ ∂ 2η π π ⎤ ∂w ∂ w ∂ w0 ⎫⎪ ⎬d ξ dη ⎥− ( ) − ∂ξ ∂ξ ⎭⎪ ⎦ ∂ξ (4.72) Thay (4.68) vaøo (4.72) δ x = λx + m A112 (1 + µ )ε + 32 β (4.73) Nếu gọi wm chuyển vị lớn tâm (ξ , η)=(π/2m , π/2n) Dựa vào phương trình (4.68a) ta viết A11ε = wm + A13 + A31 wm + A113 (4.74) Trong wm = Wm 12(1 −ν ) h (4.75) 4.5 Nhận xét kết luận - Các biểu đồ vẽ với hệ số Poisson υ = 0.3 hệ số K1 = k1β , K = k2 β - Các hình (4.4, 4.5, 4.6) cho ta thấy tỉ số cạnh β = - a định b dạng ổn định Nghóa là, tùy theo giá trị β mà ổn định dạng hay nhiều nửa bước sóng hình sin theo phương tác dụng lực Trong đó, phương lại (phương tác dụng lực) ổn định dạng nửa bước sóng hình sin (n =1) Ở hình 4.4 (K1 = K2 = 0) đưa toán khảo sát tài liệu [1], [7]: + Nếu β < : dạng ổn định theo phương chịu nén nửa bước sóng hình sin (m=1) + Nếu < β < : dạng ổn định theo phương chịu nén hai nửa bước sóng hình sin (m=2) + Nếu < β < 12 : dạng ổn định theo phương chịu nén ba nửa bước sóng hình sin (m=3) HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 60 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG λx 1 1 m=1 m=3 m=2 m =4 8 √2 √6 √ 12 β Hình 4.4: Quan hệ λx-β với giá trị m khác K1=K2=0, W/h = 0.1, K1=K2=0, W/h = 0, K1=K2=0, W/h = 0.1, K1=K2=0, W/h = 0, =0 =0 = 0.1 = 0.1 λx m =1 m =2 m =3 m=4 m =5 0 1 2 3 7 2 β Hình 4.5: Quan hệ λx-β với giá trị m khác tựa lên Winkler K1 =10, K2 = 0, W/h = 0.1, K1 = 10, K2 = 0, W/h = 0, K1 = 10, K2 = 0, W/h = 0.1, K1 = 10, K2 = 0, W/h = 0, HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 =0 =0 = 0.1 = 0.1 61 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG λx 4 4 m =1 m =2 m =3 m =4 m =5 m =6 √ 3 0 /√ √ 5 √3 √5 β Hình 4.6: Quan hệ λx-β với giá trị m khác tựa lên hai thông số K1 =10, K2 = 5, W/h = 0.1, K1 = 10, K2 = 5, W/h = 0, =0 =0 K1 = 10, K2 = 5, W/h = 0.1, K1 = 10, K2 =5, W/h = 0, = 0.1 = 0.1 λx 5 0 1 2 β Hình 4.7: Quan hệ λx-β với thông số khác 1.Tấm đàn hồi hai thông số (K1=10, K2=5) 2.Tấm đàn hồi Winkler (K1=10, K2=0) 3.Tấm không tựa lên (K1=0, K2=0) HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 62 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC - - GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Ở hình 4.5 đặt Winkler (K1 = 10, K2 = 0) với ảnh hưởng nền, trình chuyển từ dạng ổn định sang dạng ổn định khác nhanh β thay đổi + Nếu β < 0.777 : dạng ổn định theo phương chịu nén nửa bước sóng hình sin (m=1) + Nếu 0.777 < β < 1.345 : dạng ổn định theo phương chịu nén hai nửa bước sóng hình sin (m=2) + Nếu 1.345 < β < 1.902 : dạng ổn định theo phương chịu nén ba nửa bước sóng hình sin (m=3) + Nếu 1.902 < β < 2.456 : dạng ổn định theo phương chịu nén bốn nửa bước sóng hình sin (m=4) Ở hình 4.6 đặt hai thông số (K1 = 10, K2 = 5) + Nếu β < : dạng ổn định theo phương chịu nén nửa bước sóng hình sin (m=1) + Nếu 3 ảnh hưởng đến hệ số tải trọng λx nhỏ Điều thể rõ đặt đàn hồi Khi dài đến mức ảnh hưởng tỉ số cạnh β = - a với tải trọng tới hạn b nhỏ bỏ qua ( hình 4.7) Khi kể đến độ võng lớn hệ số tải trọng λx có lớn W = 0.1 ) Trong đó, độ cong ban đầu h ảnh hưởng nhiều đến hệ số tải trọng λx ,Với µ = 0.1 : không nhiều ( ∆λx ≈ 0.0072 + Trường hợp ( hình 4.4) : ∆λx = 0.088 + Trường hợp Winkler ( hình 4.5) : ∆λx = 0.193 + Trường hợp hai thông số ( hình 4.6) : ∆λx = 0.34 HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 63 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG λx (K , K )= (0 , ), (m , n )= (1 , ), µ = (K , K )= (0 , ), (m , n )= (1 , ), µ = (K , K )= (1 , ), (m , n )= (2 , ), µ = (K , K )= (1 , ), (m , n )= (2 , ), µ = (K , K )= (1 , ), (m , n )= (2 , ), µ = (K , K )= (1 , ), (m , n )= (2 , ), µ = 0 1 W m/h Hình 4.8: Quan hệ λx-Wm/h với thông số khác với β=1 1.Tấm đàn hồi hai thông số 2.Tấm đàn hồi Winkler 3.Tấm không tựa lên neàn λx ( K , K ) = ( , ) , ( m , n ) = (3 ), µ = ( K , K ) = ( , ) , ( m , n ) = (3 ), µ = , ( K , K ) = ( , ) , (m , n ) = ( ) , µ = ( K , K ) = ( , ) , (m , n ) = ( ) , µ = ( K , K ) = ( , ) , (m , n ) = ( ) , µ = ( K , K ) = ( , ) , (m , n ) = ( ) , µ = 3 0 1 W m/h Hình 4.9: Quan hệ λx-Wm/h với thông số khác với β=3 1.Tấm đàn hồi hai thông số 2.Tấm đàn hồi Winkler 3.Tấm không tựa lên HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 64 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC - - - GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Ở phần trước (chương 3) ta có hệ số tải trọng λx quan hệ với chuyển vị tâm quan hệ bậc hai Nghóa là, λx tăng W tăng tất trường hợp có Bởi lẽ, ta xét đến giai đoạn ổn định mà Tuy nhiên, nghiên cứu ứng xử sau ổn định ta thấy khác biệt rõ đặt đàn hồi không đặt (hình 4.8, 4.9) Đối với đặt đàn hồi sau ổn định, có khả chịu tải mãi Hệ số tải trọng λx tăng đến giá trị giảm nhanh Điều có ý nghóa nghiên cứu khả làm việc đàn hồi sau ổn định điểm phá hoại hoàn toàn ta tiếp tục tăng tải Các kết cho ta thấy Winkler (phân tích chương 3) không tựa lên trường hợp đặc biệt đàn hồi hai thông số (Pasternak) Đường biểu diễn có độ cong ban đầu nằm đường biểu diễn độ cong ban đầu Nghóa độ cong ban đầu làm giảm hệ số tải trọng λx Nhận xét hai cách giải: Hai phương pháp: kết hợp gần bước-Galerkin kết hợp nhiễu loạn-Galerkin cho kết bước đầu giống (khi ε=1) ⎡ k1 k2 (m + n β ) ( m + n β ) ⎤ A112 (1 + µ )( m + β n ) λ1x = λx(0) + λx(2) = + + ⎢ ⎥+ 4(1 + µ ) ⎣ m β m2 β 4m β ⎦ 64m β (4.76) Tuy nhiên phương pháp gần bước dừng lại bước gần thứ hai với phương pháp nhiễu loạn gần bước + Phương pháp kết hợp nhiễu loạn-Galerkin cho ta phân tích ứng xử sau ổn định khoảng xa giá trị tới hạn Cho ta thấy điểm phá hoại đàn hồi + Về mặt lý thuyết ta giải phương pháp kết hợp gần bước-Galerkin bước nhiên khó khăn mặt toán học lý luận thiết lập biểu thức tính HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 65 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Chương KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA LUẬN VĂN 5.1 Kết luận Phân tích sau ổn định kèm với độ võng lớn Cho nên, phương trình tuyến tính độ võng nhỏ không giải vấn đề ứng xử sau ổn định tấm, toán có độ cong ban đầu hai thông số Ổn định ứng xử sau ổn định chữ nhật có độ cong ban đầu đàn hồi hai thông số phân tích phương pháp kết hợp nhiễu loạn_Galerkin Các kết số cho ta thấy mối quan hệ mật thiết tỉ số hình dạng ( aspect ratios ) β với tải trọng tới hạn Tỉ số cạnh định dạng ổn định Nền đàn hồi ảnh hưởng cách có ý nghóa đến ổn định ứng xử sau ổn định Tấm không Winkler trường hợp đặc biệt đàn hồi hai thông số Có điểm lý thú phân tích ví dụ: đồ thị sau ổn định ( Postbuckling path) đàn hồi chuyển từ tăng sang giảm độ võng đủ lớn, đó, không có độ thị tăng Điều có ý nghóa phân tích ứng suất sau ổn định đỉnh đồ thị điểm phá hoại đàn hồi Các ví dụ xét hết trường hợp vấn đề Tuy nhiên, kết phân tích luận văn ảnh hưởng lý thú vấn đề ổn định ứng xử sau ổn định Ảnh hưởng độ cong ban đầu làm giảm giá trị lực tới hạn Tuy nhiên, không ảnh hưởng đến dạng ổn định 5.2 Hướng phát triển luận văn Bài toán đàn hồi hai thông số có độ cong ban đầu mở nhiều vấn đề cần xem xét nghiên cứu mở rộng: - Bên cạnh không hoàn hảo độ cong ban đầu, có khuyết tật hình học ban đầu : có bề dày thay đổi, có sườn dầm bị đặt sai lệch vị trí đề cập hai tài liệu [29], [30] Vậy vấn đề đàn hồi có bề dày thay đổi dầm bị đặt sai lệch vị trí cần xem xét, phân tích HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 66 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG - Trong luận văn xét tác dụng lực mặt phẳng phương, lực tác dụng hai phương ngyuên tắt phân tích tương tự nhiên vấn đề phức tạp - Các mô hình khác cần xem xét như: mô hình không chịu kéo đề cập tài liệu [20], [23]; mô hình phi tuyến bậc ba pzn = k1w − k2 w2 − k3 w3 xét phân tích tài liệu [8], [21] - Ảnh hưởng thay đổi nhiệt độ đến ổn định vấn đề thực tế cần xem xét Theo tài liệu [11] quan hệ lực biến dạng có kể đến ảnh hưởng thay đổi nhiệt độ sau: ( N x −ν N y ) + α T Eh εy = ( N y −ν N x ) + α T Eh 2(1 + ν ) N xy γ xy = Eh (5.1a,b,c) Eh [ε x +νε y − (1 + ν )α T ] −ν Eh [ε y + νε x − (1 +ν )α T ] Ny = −ν Eh γ xy N xy = 2(1 + ν ) (5.2a,b,c) εx = hay Nx = Trong đó: α hệ số giãn dài nhiệt độ HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 67 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S P Timoshenko, J M Gere, Theory of Elastic Stability , McGraw-Hill ,1961 [2] S P Timoshenko, J M Gere, Ổn Định Đàn Hồi , NXB Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội, 1976 [3] S P Timoshenko, Tấm Vỏ NXB Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội, 1971 [4] Ansel C Ugural, Stress in Plates and Shell, McGRAW-HILL, 1999 [5] Chia C.Y ,Nonlinear Analysis of Plates, New York ,McGRAW-HILL, 1980 [6] Nguyễn Thị Hiền Lương, Cơ sở vật rắn biến dạng, Giáo trình cao học XDDD&CN, 1996 [7]Chu Quốc Thắng, Bài giảng lý thuyết vỏ, Giáo trình cao học XDDD&CN [8] Isaac Elishakoff, Yiwei Li, James H Starnes, Jr., Non-Classical Problem in the Theory of Elastic Stability , Cambrigde, New York, 2001 [9] Y.B Fu, Nonlinear Elasticity, chap 10 : Pertubation methods and nonlinear stability analysis, p 345-391 Cambridge University Press, Cambridge, 2001 [10] Rudolph Szilard, Theories and Applications of Plate Analysis, John Wiley&Sons, Inc, Hoboken, New Jersey, 2004 [11] Manuel Stein, Loads and Deformations of Buckled Rectangular Plates, NASA, 1959 [12] S.N Sinha, Large Deflection of Plates on Elastic Foundations, Journal of Engineering Mechanics, February, 1963, p1-24 [13] J C Brown, J M Harvey, Large Deflections of Rectangular Plates Subjected to Uniform Lateral Pressure and Compressive Edge Loading, Journal Mechanics Engineering Science, Vol 11, No3, 1969 [14] J T Katsikadelis, Large Deflection Analysis of Plates On Elastic Foundation by Boundary Element Method, International Journal of Solids and Structures,Vol 27, No15, 1991, p 1867-1878 HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 68 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG [15] Huang Yuying, Zhong Weifang and Qin Qinghua, Postbuckling Analysis of Plates on Elastic Foundation by Boundary Element Method, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol 100, 1992, p315-323 [16] A A Khanthlan, Large Deformation Analysis of Plates on Unilateral Elastic Foundation, Journal of Engineering Mechanics,Vol 120, No8, August 1994, p 1820-1827 [17] Hui-Shen Shen, Postbuckling of Orthotropic Plates On Two-Parameter Elastic Foundation, Journal of Engineering Mechanics,Vol 121, No1, January 1995, p 50-56 [18] Qing Hua Qin, Posbuckling Analysis of Thin Plates On An Elastic By HT PE Approach, Appl Math Modelling,Vol 21, September 1997, p 547-556 [19] Hui-Shen Shen, Large Deflection of Reissner-Mindlin Plates on Elastic Foundation, Journal Of Engineering Mechanics, October 1998, p1090-1099 [20] Andreùa R.D Silva, Ricardo A.M Silverira, Paulo B Gonỗaves, Numerical Mathods For Analysis of Plates On Tensionless Elastic Foundations, International Journal of Solids and Structures,Vol 38, 2001, p 2083-2100 [21] M Khurram Wadee, Ciprian D Coman, Numerrical stability criteria for localized post-buckling solutions in a strut-on-foundation model, ASME J Appl Mech,17 September 2002, p 1-8 [22] Y Xiang, C M Wang, Exact Buckling Solutions for Rectangular Plates under Intermediate and End Uniaxial Loads, Journal of Engineering Mechanics, Vol 129, No7, July 2003, p 835-838 [23] A S de Holanda, P B Goncalves, Postbuckling Analysis of Plates resting on a Tensionless Elastic Foundation, Journal of Engineering Mechanics, Vol 129, No8, April 2003, p 438-448 [24] Young W Hwon, Hyochoong Bang, The Finite Element Method using Matlab, New York, CRC Press, 1997 [25] Duane Hanselman, Bruce Littlefield, Mastering Matlab 5, New Yersey, Prentice Hall, 1996 [26] Nguyễn Hoài Sơn, Bùi Xuân Lâm , Ứng dụng Matlab tính toán kỹ thuật, NXB Đại học Quốc Gia Tp.HCM, 2000 HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 69 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC GVHD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG [27] Nguyễn Hoài Sơn, Vũ Như Phan Thiện, Đỗ Thanh Việt , Phương pháp PTHH với Matlab, NXB Đại học Quốc Gia Tp.HCM, 2001 [28] Hồ Anh Tuấn, Trần Bình , Phương pháp PTHH, NXB Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội, 1978 [29] Trần Hữu Trí, Khảo sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định đàn hồi, Luận Văn Thạc Só, Trường ĐHBK Tp Hồ Chí Minh, 2003 [30] Đặng Thụy Minh Tường , Nghiên cứu ổn đinh kết cấu dạng không hoàn hảo có độ võng lớn có chiều dày thay đổi, Luận Văn Thạc Só, Trường ĐHBK Tp Hồ Chí Minh, 2004 [31]Lê Hùng Sơn , Lập trình tính toán với Mathematica 4.0 , T1, 2004 NXB Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội, 2002 HỒ BÌNH PHƯƠNG – XDDD13.017 70 ... Mã số: 23.04.10 : PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG XỬ SAU MẤT ỔN ĐỊNH TẤM MỎNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: • Tổng quan • Cơ sở lý thuyết độ võng nhỏ, độ võng lớn đàn hồi: - Cơ sở lý thuyết... là: Phân tích so sánh ổn định đàn hồi Winkler trường hợp: Tấm mỏng chữ nhật độ võng nhỏ, Tấm mỏng chữ nhật độ võng lớn có độ cong ban đầu với điều kiện biên khác Phân tích ứng xử sau ổn định mỏng. .. Qinghua(1992) [15] phân tích ứng xử sau ổn định phương pháp phần tử biên (BEM) Năm 1997, Qing Hua Qin [18] dùng phương pháp lai PTHH -Trefftz để phân tích ổn định ứng xử sau ổn định Winkler với kết