Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích dao động kết cấu áo đường bê tông dự ứng lực dưới tác dụng tải trọng tập trung điều hòa di động

 Thiết lập mô hình phân tích ứng xử kết cấu áo đường sử dụng mô hình tấm trên nền đàn hồi hai tham số dưới tác dụng tải trọng điều hòa di động, trong đó lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc

GIỚI THIỆU

ĐẶT VẤN ĐỀ

Các kết cấu chịu tải trọng di động gặp rất nhiều trong thực tế, thường gặp trong các công trình giao thông như cầu, hầm, đường, đường băng, đường ray chịu tải trọng chuyển động là các phương tiện giao thông như xe tải, máy bay, tàu cao tốc… Trong những năm gần đây sự phát triển của hệ kết cấu áo đường cứng đã kéo theo sự phát triển của rất nhiều mô hình tính toán nhằm dự báo các đáp ứng về dao động, ổn định dưới tác dụng của tải trọng giao thông Các nghiên cứu trước đây chủ yếu tập trung phân tích ứng xử tấm mỏng trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động trong đó bỏ qua hiệu ứng biến dạng cắt và lực dọc trục Tuy nhiên thực tế cho thấy rằng kết cấu áo đường rất nhạy với biến dạng cắt, đặc biệt đối mặt đường nhựa Mặt khác, khi kết cấu dự ứng lực được xem xét thì tải trọng dọc trục phải được kể đến

Mặc dù mô hình tấm biến dạng cắt bậc nhất được sử dụng phổ biến do tính đơn giản của nó trong tính toán và lập trình hóa, tuy nhiên do giả thiết biến dạng cắt là hằng số theo chiều dày kết cấu nên nó đòi hỏi một hệ số hiệu chỉnh cắt phù hợp nhằm tính toán lực cắt ngang Đề tránh nhược điểm này, các mô hình tấm biến dạng cắt bậc cao có thể được sử dụng trong đó ứng suất cắt ngang được cải biến theo chiều dày tấm và hệ quả là không cần sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt Qua phân tích ở trên và việc tìm kiếm các thông tin trên các tạp chí ISI và các nghiên cứu trong nước cho thấy việc nghiên cứu ứng xử kết cấu áo đường bê tông dự ứng lực sử dụng mô hình tấm biến dạng cắt bậc cao trên nền đàn hồi dưới tác dụng tải trọng điều hòa di động chưa được nghiên cứu Bài toán phức tạp này cần thiết phải được nghiên cứu nhằm đánh giá hiệu ứng biến dạng cắt ảnh hưởng đến tần số dao động và tải trọng ổn định tới hạn.

MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ CỦA LUẬN VĂN

Mục tiêu của Luận văn này là phân tích ứng xử động lực học của tấm chịu tải trọng điều hòa di động sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao trong đó hiệu ứng nền và lực dọc trục sẽ được kể đến Nội dung của luận văn bao gồm các phần chính sau:

- Tổng hợp các mô hình phân tích ứng xử động lực học kết cấu áo đường đã thực hiện trong nước và ngoài nước

- Thiết lập mô hình phân tích ứng xử kết cấu áo đường sử dụng mô hình tấm trên nền đàn hồi hai tham số dưới tác dụng tải trọng điều hòa di động, trong đó lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao sẽ được sử dụng

- Phương pháp giải bài toán động dưới tác dụng tải trọng điều hòa di động

- Các ví dụ số và phân tích kết quả.

PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN

Phương pháp thực hiện nghiên cứu này là:

- Xây dựng cơ sở lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao trên nền đàn hồi hai tham số chịu tải trọng tập trung điều hòa di động

- Thiết lập phương trình động lực học dựa trên phương trình Lagrange, lời giải được xấp xỉ theo không gian với các hàm dạng dạng lượng giác thỏa mãn điều kiện biên, phương trình chuyển động đặc trưng được giải lặp bằng phương pháp Newmark trên toàn miền thời gian

- Xây dựng chương trình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB để giải phương trình của bài toán, kiểm tra kết quả đạt được và so sánh với kết quả của những nghiên cứu của các tác giả khác.

CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn này bao gồm 5 chương: Chương 1 bao gồm phần giới thiệu, lý do chọn đề tài và mục tiêu của luận văn Tổng quan về tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước có liên quan tới đề tài được trình bày ở Chương 2 Chương 3 trình bày cơ sở lý thuyết, xây dựng các mối quan hệ giữa chuyển vị, biến dạng của tấm, và các thông số liên quan tới ứng xử của tấm thông qua các biểu thức năng lượng từ đó xây dựng phương trình động lực học chủ đạo của bài toán Tiếp theo là các ví dụ sẽ được khảo sát ở Chương 4 nhằm đánh giá mức độ tin cậy của nghiên cứu so với các nghiên cứu trước thông qua các bài toán khác nhau Chương 5 trình bày các kết luận và kiến nghị, hướng phát triển của đề tài Phần chương trình bằng ngôn ngữ Matlab và tài liệu tham khảo sẽ được trình bày vào cuối của luận văn.

TỔNG QUAN

GIỚI THIỆU

Chương này giới thiệu tổng quan về tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước liên quan đến đề tài trong đó sẽ làm rõ các nghiên cứu liên quan đến bài toán tấm chịu tải trọng di động Từ việc nghiên cứu tổng quan sẽ dẫn đến việc xác định rõ phạm vị và điểm mới của đề tài.

TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG NƯỚC

Kết cấu chịu tải trọng di động đã thu hút một số nghiên cứu trong nước trong đó phải kể đến nhóm nghiên cứu tại Bộ môn sức bền vật liệu - Trường Đại học Bách Khoa TPHCM Phần lớn các tác giả tập trung nghiên cứu dầm composite chức năng chịu tải trọng di động, một số ít tập trung phân tích bài toán tấm chịu tải trọng di động Phần này sẽ lược qua tình hình nghiên cứu trong nước thông qua việc giới thiệu và phân tích một số công trình tiêu biểu đặc trưng, các tài liệu tham khảo khác có thể tìm thấy thông qua các nguồn cơ sở dữ liệu khác nhau

Nguyễn Hoàng Lâm (2012) [1] phân tích dao động của tấm phân lớp chức năng trên nền đàn nhớt chịu vật thể di động sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và lý thuyết tấm Mindlin Tấm phân lớp chức năng và tấm sandwich chức năng được phân tích trong đó đặc trưng vật liệu của tấm phân lớp chức năng thay đổi liên tục theo chiều dày và được biểu diễn bằng quy luật lũy thừa Hệ gồm hai khối lượng riêng biệt liên kết với nhau bằng hệ lò xo và hệ cản nhớt, được dùng để mô hình vật thể chuyển động Bài toán được phân tích với các mô hình khác nhau như lực di động, khối lượng di động Phương trình động lực học của tấm được thiết lập dựa trên nguyên lý Hamilton và giải bằng phương pháp tích phân số Newmark Phân tích ảnh hưởng của nền, các thông số của tấm như sự phân phối vật liệu, chiều dày của tấm và vật thể di dộng đến ứng xử của tấm Nguyễn Thế Trường Phong (2012) [2] phân tích ứng xử phi tuyến của dầm phân lớp chức năng trên nền đàn hồi Winkler chịu tải trọng điều hòa di động dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko và quan hệ biến dạng chuyển vị phi tuyến Von- Karman Trong đó, đặc trưng của vật liệu chức năng được giả thiết tuân theo quy luật lũy thừa Phương trình động lực học của dầm được thiết lập dựa trên nguyên lý Hamilton dưới dạng phương trình Lagrange với điều kiện biên thõa mãn hệ số nhân Lagrange Phương trình động lực học được giải lặp theo thời gian sử dụng phương pháp Newmark Các ví dụ số phân tích ảnh hưởng của biến dạng lớn, sự phân phối vật liệu,vận tốc di chuyển của tải trọng, tần số lực kích thích, hệ số nền đàn hồi Winkler, tỉ số giữa chiều dài và chiều cao tiết diện đến chuyển vị và nội lực của dầm Nguyễn Văn Như (2014) [2] phân tích ứng xử nhiệt – cơ của dầm phân lớp chức năng chịu tải trọng điều hòa di động trong môi trường nhiệt dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko Luận văn này phân tích ứng xử động lực học của dầm chức năng một nhịp chịu tải trọng di động điều hòa trong môi trường có xét đến yếu tố nhiệt độ thay đổi Phương trình động lực học của dầm được thiết lập dựa trên nguyên lý Hamilton dưới dạng phương trình Lagrange với điều kiện biên thõa mãn hệ số nhân Lagrange Giải phương trình động lực học sử dụng phương pháp Newmark Các ví dụ số khảo sát các thông số ảnh hưởng đến cơ nhiệt của dầm.

TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU NGOÀI NƯỚC

Tổng quan về tình hình phát triển lý thuyết tấm, có thể tóm tắt như sau Vào khoảng giữa thế kỷ thứ 19 các nhà khoa học đã bắt đầu nghiên cứu và phát triển lý thuyết tấm Các nhà nghiên cứu đã phát triển 3 lý thuyết chính về tấm Khoảng năm 1850, Lý thuyết tấm Kirchoff hay còn gọi là lý thuyết tấm cổ điển (CPT) được đề xuất Tuy nhiên lý thuyết này chỉ phù hợp với tấm mỏng do bỏ qua hiệu ứng biến dạng cắt của tấm Khoảng năm 1950, lý thuyết tấm Mindlin ra đời còn được biết đến là lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) Đây là lý thuyết tấm đơn giản nhất kể đến hiệu ứng biến dạng cắt Lý thuyết này do đó dự báo ứng xử tấm tốt hơn lý thuyết tấm cổ điển Tuy nhiên, lý thuyết này đòi hỏi một hệ số hiệu chỉnh cắt phù hợp nhằm hiệu chỉnh sự phân bố không hợp lý của ứng suất cắt theo chiều dày tấm Để vượt qua khó khăn này, đến khoảng năm 1980, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) được phát triển Do ứng suất cắt được hiệu chỉnh theo chiều dày tấm, nên lý thuyết này không đòi hỏi hiệu chỉnh cắt và có ứng xử phù hợp hơn so với FSDT

Hình 2.1: Hình thái mặt cắt ngang sau khi biến dạng các lý thuyết tấm khác nhau [37]

Mô hình tấm trên nền đàn hồi chịu tải trọng điều hòa di động đã và đang được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực xây dựng cũng như trong các hệ thống cơ học, giao thông Bài toán này được ứng dụng trong tính toán nền móng cho nhà, hệ thống đường giao thông, hay các kết cấu đường ray xe lửa, hệ thống đường ống ngầm…

Những ứng dụng cụ thể như sau:

 Dự đoán sự phá hoại của mặt đường, hay mỏi

 Thiết kế móng băng chịu tải điều hòa di động

 Xác định sự ảnh hưởng động và va chạm của kết cấu đường ray

 Thiết kế kết cấu đường ray chịu mỏi

 Phân tích tiếng ồn và rung động do tàu gây ra

 Thiết kế sự ổn định và an toàn khi đoàn tàu vận hành…

Các nghiên cứu trước đây của tấm chịu tải di động chủ yếu dựa trên lý thuyết tấm cổ điển và lý thuyết biến dạng cắt bậc 1 trên nền đàn hồi như Chonan (1984) [4] phân tích phương trình động của tấm dự ứng lực, dùng tải trọng di động thẳng đứng đối với tấm dày dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Agrawal và cộng sự (1988) [5] phân tích phương trình động của tấm mỏng chịu tải trọng di động thẳng đứng sử dụng công thức Greens theo lý thuyết tấm cổ điển Taheri và Ting (1990) [6] đã phân tích mô hình phần tử hữu hạn giải quyết bài toán tấm chịu tải trọng chuyển động và phương pháp Newmark được sử dụng trong miền xác định thời gian Geannakakes và Wang (1990) [7] phân tích lại hàm B3-spline xác định bằng phương pháp dải và ứng dụng được mở rộng vào tải trọng di động để phân tích lực cắt của tấm mỏng định hình Zaman và cộng sự (2005) [8] dùng phần tử hữu hạn phân tích đặc trưng động học của tấm dày đẳng hướng trên nền dẻo chịu tải trọng di động Huang và Thambiratnam (2001) [9] phân tích độ võng của tấm chịu tác động của tải di động trên nền đàn hồi Kim và McCullough (2003) [10] phân tích dao động của tấm trên nền đàn nhớt chịu tác động của tải trọng di động có biên độ thay đổi lớn Zhu và Law (2003) [11] phân tích trạng thái động của tấm hình chữ nhật đặt trên gối tựa đơn và chịu tác động dưới một hệ thống của tải di động, dựa trên phương trình Lagrange De Faria (2004) [12] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và lý thuyết tấm cổ điển để xác định dao động bản hình trụ với lực di động hoặc khối lượng Bản này được giả thuyết là mỏng, ngoài mặt phẳng đang xét thì kết quả không được đánh giá tốt

Crocea và Venini (2004) [13] đã xây dựng mô hình phần tử hữu hạn cho tấm FGMs dựa trên lý thuyết tấm Reissner-Mindlin Seong-Min Kim (2004) [14] đã giải bài toán ổn định và dao động của tấm mỏng vô hạn trên nền đàn hồi Winkler chịu lực nén tĩnh trong mặt phẳng và tải trọng chuyển động với tốc độ không đổi Cũng cùng tác giả, Seong-Min Kim (2004) [15] đã phân tích dao động của tấm mỏng đặt trên nền đàn hồi, chịu lực cản ngang ở mặt dưới của tấm, và chịu tác dụng của tải trọng chuyển động với cường độ không đổi và dao động điều hòa Lee và Yhim (2004) [16] phân tích dao động của tấm composite một và hai nhịp chịu nhiều tải trọng chuyển động Trong nghiên cứu này, các tác giả đã sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc 3 (TSDT) và có kể đến quán tính xoay của tấm Zenkour (2005) [17] [18] phân tích toàn diện tấm sandwich vật liệu chức năng: Phần 1: Độ võng và ứng suất, Phần 2: Lực tới hạn và dao động tự do Sun (2005) [19] nghiên cứu chuyển vị của tấm mỏng bằng sự dịch chuyển của trục trung hòa và tải trọng phân bố, lời giải được biểu diễn bằng phương trình động học công thức Green của tấm Một cách gần đúng với giới hạn vận tốc, tải trọng và tần suất là có sẳn một biên độ Au và Wang (2005) [20] đã nghiên cứu bức xạ âm thanh từ lực dao động của tấm mỏng hình chữ nhật dưới tải trọng di động Jia-Jang Wu (2005) [21] đưa ra cách thức dự đoán ứng xử của tấm chịu tải trọng dải chuyển động thông qua bài toán dầm chịu tải trọng điểm chuyển động Lu Sun (2006) [22] đã phân tích dao động của tấm vô hạn trên nền đàn hồi chịu tải trọng tập trung và dải chuyển động với cường độ và vận tốc không đổi, biểu diễn bằng chuỗi Fourier Jia-Jang Wu (2007) [23] giải quyết bài toán tấm nghiên chịu khối lượng chuyển động Lawa và các cộng sự (2007) [24] giải quyết bài toán dao động của tấm bản mặt cầu khi chịu tải trọng chuyển động Trong đó, tải trọng được mô hình (như các bánh xe) gồm nhiều tải với khoảng cách không đổi và tấm được làm bằng vật liệu trực hướng Panda và Ray (2008) [25] thiết lập mô hình phần tử hữu hạn cho bài toán tấm phi tuyến FGMs có xét đến nhiệt độ hoặc không

Trong nghiên cứu này, có xét tấm áp điện gắn trên tấm, sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và quan hệ biến dạng chuyển vị Von-Karman Li và các cộng sự (2009) [26] đã phân tích dao động của tấm composite nhiều lớp chịu tải trọng chuyển động Trong nghiên cứu này, các tác giả sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, sử dụng phần tử khối (3D), tấm đặt tựa trên bốn cạnh, và chịu lực chuyển động Alinia và Ghannadpour (2009) [27] đã giải bài toán phi tuyến của tấm FGMs chịu áp lực phân bố Rofooei và Nikkhoo (2009) [28] đã phân tích dao động của tấm mỏng chịu khối lượng chuyển động và sử dụng tấm áp điện để kiểm soát dao động Singha và các cộng sự (2011) [29] đã phân tích ứng xử phi tuyến của tấm FGMs chịu tác dụng của tải phân bố bằng phần tử tấm chịu uốn có độ chính xác cao Tác giả sử dụng lý thuyết tấm FSDT, có xem xét đến vị trí chính xác của trục trung hòa, và hệ số điều chỉnh cắt được xác định lại theo nguyên lý năng lượng Zarfam và Khaloo (2012) [30] đã phân tích dao động của dầm trên nền đàn hồi chịu tác dụng của tải trọng chuyển động và khối lượng chuyển động; ngoài ra, còn có xét đến các tác nhân khác như gió, động đất Malekzadeh và các cộng sự (2011) [31] đã phân tích ứng của tấm phân lớp chức năng trong môi trường nhiệt độ chịu tác dụng của tải trọng di động đặt trên nền đàn hồi Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) Bessaim và các cộng sự (2013) [32] phân tích so sánh mô hình lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và bình thường của tấm sandwich phân loại chức năng đối với dao động tự do và trạng thái tĩnh

Tổng quan về tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước cho thấy, nghiên cứu ứng xử kết cấu áo đường cứng đã được nghiên cứu dựa trên mô hình tấm trên nền đàn hồi bởi một số tác giả trong và ngoài nước Tuy nhiên hầu hết các tác giả đều sử dụng mô hình lý thuyết tấm cổ điển, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất trên nền đàn hồi chịu tải trong di động Việc sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao vào mô hình chưa được nghiên cứu đầy đủ Cần thiết có những nghiên cứu chi tiết, bài toán phức tạp này với sự hiện diện của các biểu thức bậc cao nhằm đánh giá hiệu ứng biến dạng cắt đối với các đáp ứng tần số, tải trọng ổn định tới hạn, biến dạng và nội lực của kết cấu áo đường.

KẾT LUẬN

Qua tình hình nghiên cứu, các nghiên cứu chỉ mới dừng lại ở sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, kết cấu tấm trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động, và mô hình tải trọng là lực, lực điều hòa, hoặc khối lượng di động Chưa có nghiên cứu về lý thuyết biến dạng cắt bậc cao có xét đến lực dọc trục trên nền đàn hồi Do đó, việc nghiên cứu về đề tài “Phân tích dao động kết cấu áo đường bêtông dự ứng lực dưới tác dụng của tải trọng tập trung điều hòa di động” sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao mang tính thời sự, mới, và chưa có tác giả nào thực hiện Thông qua chương này sự khác biệt giữa luận văn và những nghiên cứu đó đã được so sánh chi tiết để chứng minh tính mới và ý nghĩa của đề tài.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

GIỚI THIỆU

Trong chương này, phương trình chuyển động của tấm bêtông có dự ứng lực đặt trên nền đàn hồi Winkler theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao được thuyết lập

Mô hình vật thể và phương pháp số Newmark để giải phương trình chuyển động được trình bày Chương này có 8 mục được trình bày theo trình tự sau : Tổng quan về mô hình bài toán và các giả thuyết, mô hình tấm và các vật liệu của tấm, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) và phương trình chuyển động của tấm được thiết lập, sau đó dùng phương pháp Newmark để giải bài toán, cuối cùng là sơ đồ khối tính toán tấm trên nền đàn hồi.

MÔ HÌNH BÀI TOÁN

Trong luận văn này tấm có tiết diện hình chữ nhật, có cạnh dài là a, cạnh ngắn b và chiều dày h, được đặt trên nền đàn hồi Winkler tự do (một cách tổng quát) trên chu vi và chịu tác dụng tải trọng tập trung di động điều hòa có dạng: P t =P 0 sin(Ωt) di chuyển với vận tốc không đổi v p như hình 3.1

Hình 3.1 Mô hình bài toán

Trong luận văn này giả thiết rằng:

- Ứng xử của vật liệu là đàn hồi, tuyến tính và đẳng hướng

- Trong quá trình chuyển động, tải trọng luôn tiếp xúc với tấm

- Nền đàn hồi Winkler được áp dụng, là tuyến tính và nền có chịu kéo

- Khi tần số lực kích thích  = 0, tải trọng xem như là lực P = P 0 di động

- Biến dạng của tấm là bé, tuân theo định luật Hooke

- Ứng suất  zz trong mặt cắt ngang là không đáng kể so với  xx và  yy trong cùng mặt phẳng (  zz =0)

Nền đàn hồi winkler chịu nén cục bộ: Giả thuyết của nền biến dạng cục bộ được viện sĩ Fuss kiến nghị từ năm 1801 và sau đó được Winkler, giáo sư người Đức áp dụng để tính toán các dầm trên nền đàn hồi năm 1807 Đặc điểm của lý thuyết này chỉ xét đến biến dạng đàn hồi ngay tại nơi tải trọng tác dụng, mà không xét đến biến dạng đàn hồi của đất tại vùng lân cận, bỏ qua đặc điểm của đất như một vật liệu có tính dính và ma sát Nền biến dạng cục bộ là một nền đàn hồi gồm một hệ lò xo được đặt thẳng đứng và hoàn toàn độc lập với nhau, hơn một nữa biến dạng lún của lò xo luôn tỉ lệ với áp lực tác dụng trên chúng

Hình 3.2 Nền đàn hồi Winkler [2]

Giả thuyết cơ bản của lý thuyết này cho rằng áp lực tại một điểm bất kỳ trên nền đàn hồi tỷ lệ mới độ lún cục bộ tại điểm ấy:

P x y f ( , )k w f 0 (3.1) trong đó, k f là hệ số phản lực của nền, w 0 là chuyển vị đàn hồi theo phương thẳng đứng đang xét

3.2.1 Trường chuyển vị và biến dạng

Căn cứ các giả thuyết trên, phạm vi chuyển vị có thể xác định bằng :

  [17] [18] là hàm dạng; u v w 0 , , 0 0 là chuyển vị màng và chuyển vị ngang tại mặt trung bình tấm;   x , y là hai góc xoay đối với trục x và y lần lượt

Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị theo lý thuyết HSDT có dạng như sau:

(0) (1) (2) xx xx xx xx yy yy yy yy xy xy xy xy z f

    γ γ (3.4) trong đó g z    f '   z Từ (3.3) và (3.4) có thể viết dưới dạng rút gọn:

 γ γ (3.6) trong đó ε   0 , ε   1 , ε   2 và  (0) là các thành phần biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng cắt của tấm Quan hệ giữa các thành phần biến dạng và chuyển vị được xác định như sau:

3.2.2 Nội lực và ứng suất

Theo định luật Hooke (dạng ngược), quan hệ giữa ứng suất và biến dạng có dạng như sau : x 11 12 x

0 0 0 0 x x yy yy yz yz x x xy xy c c c c c c c

Thay thế phương trình (3.9) vào phương trình (3.10) và tiếp tục thay vào phương trình (3.3) và (3.4), kết quả tổng hợp nội lực được diễn đạt trong điều kiện của ứng suất là:

0 0 0 0 0 0 s s xx xx xx xx s s yy yy yy yy s xy xy xy xy

0 0 0 0 0 0 s s b xx xx xx xx b s s yy yy yy yy b s xy xy xy xy

0 0 0 0 0 0 s s s s s s s xx xx xx xx s s s s s s s yy yy yy s s s s xy xy xy

3.13) trong đó A, B, D, B s , D s , H s lần lượt là các ma trận độ cứng của tấm được xác định bởi: s s s /2 2 2

A B D B D H C (3.14) Phương trình (3.11) - (3.13) có thể viết dưới dạng rút gọn: s (0) s (1) s s s s (2) b

Sử dụng phương trình (3.4) và (3.9) lực cắt theo phương ngang được suy ra từ phương trình kết cấu là:

(3.16) được viết rút gọn là Q A  s γ   0 , trong đó sức chống cắt A s của tấm được xác định:

Năng lượng toàn phần được cho bởi:

  U U F   V K (3.18) trong đó, U, U F , K, V lần lượt là năng lượng biến dạng, biến dạng của nền, công của tải trọng ngoài và động năng

Năng lượng biến dạng của tấm được thể hiện bởi:

2 h x x yy yy x xy x xz yz yz

  (3.19b) trong đó N, M và Q được xác định bằng:

( M b x , M yy b , M xy b )   h  h z (  x ,   yy , xy ) dz (3.20b)

( M x s , M yy s , M xy s )   h  h f (  x ,  yy ,  xy ) dz (3.20c)

( Q Q x , y )   h  h /2 g (   xz , yz ) dz (3.20d) Động năng của tấm được định nghĩa như sau:

        (3.21b) trong đó dấu “.” phía trên các giá trị được quy ước dùng để chỉ sự thay đổi của giá trị theo thời gian t, và các giá trị I 0 , I 1 , I 2 , J 1 , J 2 và K 2 được xác định bằng:

Công của lực P (t) di động tại thời điểm t bất kỳ và lực nén dọc trục N 0 (dự ứng lực) trong tấm:

               P w x y t c t t ( ) t ( , p p , )[ (  1 )  c t t (  2 )] (3.23) trong đó: (x p , y p ) là vị trí của lực P (t) tại thời điểm t bất kỳ, và được xác định như sau: p p 2 x v ta ;

   c t t t trong đó, t 1 là thời điểm lực đi vào tấm, t 2 là thời điểm lực đi ra khỏi tấm; N 0 là lực nén trong tấm, N 0 x x   N 0 ; N 0 yy    N 0 ; N 0 xy  0

Công do lực đàn hồi nền Winkler hai tham số:

3.2.4 Lời giải giải tích Phương trình động lực học

Các hàm chuyển vị u 0 , v 0 , w 0 , θ x , θ y được xấp xỉ bằng các hàm đa thức có dạng như sau:

( ) ( ) m mn n m n n mn m m n mn m n m n m x mn n m n n y mn m m n u u t X Y x v v t X Y y w w t X Y x t X Y x y t X Y y

Phương trình Lagrange (theo Chopra (1995) [39] ) được tính như sau:

Thay các phương trình (3.19b), (3.21b), (3.24) và (3.26) vào phương trình (3.18) và sử dụng phương trình Lagrange cho bởi phương trình (3.27) ta được phương trình động lực học như sau:

(3.28) trong đó K là ma trận độ cứng tổng thể, M là ma trận khối lượng, F(t) là véc tơ tải trọng phụ thuộc vào tải trọng di động

Các thành phần ma trận độ cứng được cho bởi:

0 0 xd b a mn   A mn xx  mn A  mn yy  mn d y

( ) xd b a mn   A  mn  mn xy A  mn  mn xy d y

( 2 ) xd b a mn    B  mn  mn x B  mn  mn xyy  B  mn  mn xyy d y

( ) xd b a s s mn   B  mn  mn xx B  mn  mn yy d y

( ) xd b a s s mn   B  mn  mn xy B  mn  mn xy d y

( ) xd b a mn   A  mn xy  mn A  mn xy  mn d y

( ) xd b a mn   A  mn xx  mn A  mn yy  mn d y

( 2 ) xd b a mn    B  mn  mn xxy B  mn  mn yyy  B  mn  mn xxy d y

( ) xd b a s s mn   B  mn  mn xy B  mn  mn xy d y

( ) xd b a s s mn   B  mn  mn yy B  mn  mn xx d y

( 2 ) xd b a mn    B  mn xxx  mn B  mn xyy  mn  B  mn xyy  mn d y

( 2 ) xd b a mn    B  mn xxy  mn B  mn yyy  mn  B  mn xxy  mn d y

( 2 4 ) xd b a mn   D  mn xxxx  mn  D  mn xxyy  mn D  mn yyyy  mn  D  mn xxyy  mn   d y

( 2 ) xd b a s s s mn    D   mn mn xxx D   mn mn xyy  D   mn mn xyy d y

( 2 ) xd b a s s s mn    D  mn x  mn y D  mn yy  mn y  D  mn xy  mn y d y

( ) xd b a s s mn   B  mn xx  mn B  mn yy  mn d y

( ) xd b a s s mn   B  mn xy  mn B  mn xy  mn d y

( 2 ) xd b a s s s mn    D  mn xx  mn D  mn xyy  mn  D  mn xyy  mn d y

( ) xd b a s s s mn   H  mn xx  mn H  mn yy  mn A  mn  mn d y

( ) xd b a s s mn   H  mn  mn xy H  mn  mn xy d y

( ) xd b a s s mn   B  mn xy  mn B  mn xy  mn d y

( ) xd b a s s mn   B  mn yy  mn B  mn xx  mn d y

( 2 ) xd b a s s s mn    D  mn x  mn D  mn yyy  mn  D  mn xxy  mn d y

( ) xd b a s s mn   H  mn xy  mn H  mn xy  mn d y

( ) xd b a s s s mn   H  mn yy  mn H  mn xy  mn  A  mn  mn d y

, x , f mn mn g mn x mn g mn yy mn k k k

, 2 , , xx mn xx mn xy mn xy mn yy mn yy mn

          ; Các thành phần ma trận khối lượng được cho bởi:

0 0 xd b a mn   I   mn mn I  mn xx  mn I  mn yy  mn d y

M ; trong đó  1 mn  x y ,  ,  2 mn  x y ,  ,  mn  x y ,  là các hàm dạng của tấm:

(3.31) với X m , Y n là các hàm dạng được chọn nhằm thỏa các điều kiện biên:

Trường hợp: bốn biên tựa đơn (SSSS): sin , sin m m n n

Trường hợp: bốn biên ngàm (CCCC):

  sin sinh cos cosh sin sinh cos cosh m m m m m m n n n n n n

  sin sinh 0.5 cos cosh , sin sinh 0.5 cos cosh , m m m m m m n n n n n n a a m a a a b b n b b b

Từ phương trình (3.28), phương trình động lực học của tấm được viết dưới dạng ngắn ngọn như sau:

Trong trường hợp bài toán dao động tự do, toạ độ suy rộng theo thời gian được cho dưới dạng q t n    q e n i t  trong đó  là tần số dao động riêng, i là số phức, khi k f =0 tương ứng với K F 0 thay vào phương trình (3.36) trờ thành:

 K L   2 M q   0 (3.36) Các tần số dao động riêng của tấm là nghiệm của phương trình đặc trưng:

K L  2 M 0 Tần số không thứ nguyên cơ bản thứ i được định nghĩa:

Trong trường hợp tổng quát khảo sát đáp ứng động học theo thời gian, trong luận văn này, phương pháp Nemark- được chọn đề giải phương trình động lực học (3.28) vì tính đơn giản và dễ sử dụng của phương pháp.

PHƯƠNG PHÁP NEWMARK-

Phương trình chuyển động tại thời điểm t kí hiệu chỉ số là i được viết lại dưới dạng sau: i  i  i

Phương trình số gia giữa 2 thời điểm i và i +1 được biểu diễn là:

q : vectơ số gia giữa hai thời điểm i và i+1 của gia tốc i :

 f s i  : số gia của lực đàn hồi s :

K i ma trận độ cát tuyến giữa 2 thời điểm i và i+1 i :

q là số gia của chuyển vị giữa 2 thời điểm i và i+1

Phương trình số gia cân bằng giữa 2 thời điểm này được viết lại dưới dạng đơn giản là: M q    i K q i s    i F i

Giá trị vận tốc chuyển vị tại cuối bước thời gian được xấp xỉ bởi các phương trình sau:

Biểu thức của số gia giữa hai thời điềm i và i+1của gia tốc    q q   i  1  q  i  theo các đại lượng còn lại như sau:

  q q       q  q  q   q  (3.44) Trong đó, các hệ số a i được cho như sau:

    (trường hợp gia tốc tuyến tính 1

Kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là số gia chuyển vị giữa hai thời điểm i và i+1, q có dạng:

 K eff  i    q i  F eff  i (3.45) trong đó, K eff là độ cứng hiệu dụng và F eff là số gia tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian chúng được xác định bởi:

Thuật toán để giải phương trình chuyển động trong bài toán động lực học kết cấu tấm được mô tả như sau:

1 Khai báo các ma trận khối lượng M, ma trận độ cứng K của hệ

2 Mô tả quan hệ lực đàn hồi và chuyển vị

3 Mô tả hàm tải trọng theo thời gian q q q 0 , ,   0 0 4 Khai báo điều kiện ban đầu

5 Chọn bước thời gian t 6 Rời rạc hóa vec tơ tải trọng theo thời gian

7 Xác định ma trận độ cứng tiếp tuyến tại i = 0, K 0

B Trong từng bước thời gian

1 Xác định ma trận độ cứng hiệu dụng theo (3.46)

2 Tính gia tốc vec tơ tải trọng hiệu dụng tại i + 1 theo (3.46)

3 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (3.46) để tìm số gia của chuyển vị

4 Tìm các giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm i +1 theo các phương trình …

5 Xác định ma trận độ cứng tiếp tuyến tại thời điểm i +1

C Lặp lại quá trình B cho bước thời gian kế tiếp.

KẾT LUẬN

Chương 3 đã thiết lập phương trình động lực học tấm bêtông dự ứng lực trên nền đàn hồi Winkler chịu tải trọng tập trung điều hòa di động sử dụng phương trình Lagrange và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Bỡi tính đơn giản và dễ sử dụng trong lập trình tính toán mà phương pháp tích phân từng bước Newmark - β được chọn để giải hệ phương trình động lực học Thuật toán của phương pháp này cũng được trình bày trong phần phụ lục ở cuối luận văn

Sơ đồ khối bài toán tấm bêtông dự ứng lực trên nền đàn hồi Winkler được tính như hình 3.3

Hình 3.3: Sơ đồ khối bài toán tấm trên nền đàn hồi Winkler

Dữ liệu bài toán a, b, h, P, Ω, vp Đặc trưng vật liệu E, ρ, ν

K, M, F t [theo 3.28-3.30] Điều kiện ban đầu q, q, q

Tổng chuyển vị q i  1 q i  q Tổng vận tốc [theo 3.41]

VÍ DỤ SỐ

GIỚI THIỆU

Trong chương này một số ví dụ sẽ được đưa ra và đem so sánh với các nghiên cứu trước đó để kiểm chứng độ tin cậy của kết quả số cũng như sự đúng đắn của phương pháp đã áp dụng cho mô hình bài toán này Những ví dụ này được trình bày ở mục 2 của chương gồm các bài toán:

 Kiểm tra độ chính xác chương trình của luận văn: trong thời gian gần đây các nghiên cứu về tấm FGM đã được thực hiện rất nhiều ở Việt nam Để kiểm tra độ tin cậy của lý thuyết đã phát triển và phương pháp giải, các kiểm tra sau được thực hiện:

- Xác định tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của tấm FGM trên gối tựa đơn, liên kết ngàm và so sánh với các nghiên cứu trước

- Xác định lực tới hạn không thứ nguyên của tấm FGM trên gối tựa đơn, liên kết ngàm và so sánh với các nghiên cứu trước

- Khảo sát độ võng của tấm FG, và so sánh với các nghiên cứu trước

 Khảo sát ảnh hưởng của các thông số đến ứng xử động tấm trên nền đàn hồi: Tỉ số chiều dài và chiều cao của tấm (a/h), vận tốc của tải trọng di động, tần số dao động kích thích, nền Winkler và lực nén dọc trục đến phân tích ứng xử động của tấm bê tông với các điều kiện biên khác nhau

- Khảo sát sự ảnh hưởng của nền Winkler và lực dọc trục đến chuyển vị tại giữa tấm với các điều kiện biên khác nhau

- Khảo sát sự ảnh hưởng của nền Winkler và lực dọc trục khi thay đổi độ lớn đến chuyển vị tại giữa tấm với các điều kiện biên khác nhau

- Khảo sát sự ảnh hưởng của tần số kích thích và tỉ số a/h đến chuyển vị lớn nhất tại giữa tấm

- Nghiên cứu sự ảnh hưởng của hệ số vận tốc đến chuyển vị tại giữa tấm

- Xác định ứng suất và mô men tại giữa tấm theo thời gian khi các thông số vận tốc, tần số kích thích và tỉ số a/h thay đổi

Trong các ví dụ số quy ước, chuyển vị đi xuống tương ứng với dấu dương (+), chuyển vị đi lên tương ứng với dấu (-) Vị trí mặt trên của tiết diện tấm so với trục thanh tương ứng với giá trị âm của z, vị trí mặt dưới của tiết diện tấm so với trục thanh ứng với giá trị dương của z.

SO SÁNH VỚI CÁC NGHIÊN CỨU

Xem xét tấm sandwich FGM có chiều cao h và các cạnh a và b (Hình 4.1) Tấm được hình thành từ hỗn hợp hai vật liệu ceramic và metal Hai lớp bề mặt của tấm được làm bằng vật liệu FGM với các đặc tính thay đổi liên tục theo hướng chiều dày, trong khi lớp lõi đồng nhất

(b) Lõi cứng đồng nhất (c) Lõi mềm đồng nhất

Hình 4.1: Dạng hình học tấm sandwich FGM và hai dạng lõi của tấm

Các đặc tính của tấm của lớp thứ n như Mô đun đàn hồi E, hệ số Poisson  , mật độ khối lượng  được xác định như sau:

P z  P  P  P (4.1) trong đó P t và P b lần lượt là các đặc tính vật liệu tại mặt trên, mặt dưới và tại lõi

Hàm mật độ thể tích V b ( ) n được xác định bởi:

(4.2) trong đó p là chỉ số vật liệu có giá trị dương

Ví dụ 1: Khảo sát tần số dao động tự nhiên và lực tới hạn của 2 trường hợp tấm sandwich FG theo hệ số phân phối vật liệu p và tỉ số a/h : với tấm có lõi cứng được làm bằng Al 2 O 3 ( E b , ,   b b ) , mặt trên và dưới của tấm FG được làm bằng Al ( E t , ,   t t ) , và tấm có lõi mềm được làm bằng Al ( E t , ,   t t ), mặt trên và dưới của tấm FG được làm bằng Al 2 O 3 ( E b , ,   b b ) Để kiểm tra độ chính xác của lý thuyết hiện tại, tần số dao động tự nhiên và lực tới hạn của tấm FG nhận được sẽ được so sánh với nghiên cứu của Li và cộng sự (2008) (3D) [26], Bessaim và cộng sự (2013) [33], Thai và cộng sự (FSDT) (2014) [34] , Nguyen và cộng sự (HSDT) (2014) [35]

Các thông số kích thước hình học và đặc trưng vật liệu được sử dụng trong tính toán: h=0.1m, a=1m, b=1 m Tấm FG được kết hợp từ 2 vật liệu Aluminum (Al) và Alumina (Al 2 O 3 ) Thông số vật liệu của Alumina : E b 80 MPa,  b  3800kg/m 3 ,

=0.3, và của Aluminum là E t p MPa,  t  2700 kg/m 3 , =0.3 Để thuận tiện trong so sánh kết quả, các biểu thức trực giao sau được sử dụng:

B ảng 4.1 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên  với trường hợp tấm sandwich lõi cứng, tỉ số (a/h)

Nguyen et al (HSDT) [36] 1.82489 1.82489 1.82489 1.82489 1.82489 Bessaim et al (Quasi-3D) [32] 1.82682 1.82682 1.82682 1.82682 1.82682 Li et al (3D) [26] 1.82682 1.82682 1.82682 1.82682 1.82682

Thai et al (FSDT) [33] 3.29360 3.29360 3.29360 3.29360 3.29360 Li et al (3D) [26] 3.13800 3.13800 3.13800 3.13800 3.13800

B ảng 4.2 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên  với trường hợp tấm sandwich lõi mềm, tỉ số (a/h)

Bessaim et al (Quasi-3D) [32] 0.92897 0.92897 0.92897 0.92897 0.92897 Li et al (3D) [26] 0.92897 0.92897 0.92897 0.92897 0.92897

Kết quả tần số dao động  được trình bày trong Bảng 4.1 (trường hợp tấm sandwich lõi cứng) thể hiện quan hệ giữa tần số dao động  và hệ số phân phối vật liệu p trong các trường hợp điều kiện biên tấm khác nhau Kết quả cho thấy việc tăng hệ số phân phối vật liệu p (hay tăng thành phần kim loại có mô đun đàn hồi nhỏ hơn gốm) làm cho tần số dao động của tấm giảm dần, hay độ cứng của tấm giảm dần, và ngược lại với bảng 4.2 (trường hợp tấm sandwich lõi mềm) ta thấy khi tăng hệ số phân phối vật liệu p (hay tăng thành phần gốm có mô đun đàn hồi lớn hơn kim loại) làm cho tần số dao động của tấm càng tăng, độ cứng của tấm càng tăng

B ảng 4.3 Lực tới hạn không thứ nguyên N c r ,với tải trọng nén hai trục của tấm sandwich lõi cứng, tỉ số (a/h)

Nguyen et al (HSDT) [36] 6.50566 6.50566 6.50566 6.50566 6.50566 Thai et al (FSDT) [33] 6.50220 6.50220 6.50220 6.50220 6.50220

(b) Tấm lõi mềm Hình 4.2 Đồ thị mối quan hệ giữa hệ số phân bố vật liệu p với tần số dao động không thứ nguyên w của tấm sandwich với điều kiện biên (SSSS)

(a) Tấm lõi cứng (b) Tấm lõi mềm

Hình 4.3 Đồ thị mối quan hệ giữa hệ số phân bố vật liệu p với tần số dao động không thứ nguyên w của tấm sandwich với điều kiện biên (CCCC)

(a) Điều kiện biên gối tựa đơn (SSSS)

(b) Điều kiện biên liên kết ngàm (CCCC) Hình 4.4 Đồ thị mối quan hệ giữa hệ số phân bố vật liệu p với lực tới hạn không thứ nguyên N c r của tấm sandwich lõi cứng Bảng 4.1, 4.2 và 4.3 thể hiện tần số không thứ nguyên và lực tới hạn của tấm sandwich có liên kết tựa đơn và liên kết ngàm Kết quả của nghiên cứu trong luận văn này cho thấy sự phù hợp với các nghiên cứu trước đó Kết quả hầu như gần giống so với nghiên cứu của Nguyen và cộng sự (2010) [36], Bessaim và cộng sự (2010) [32], Li và cộng sự (2010) [26] Và có một sự chênh lệch không đáng kể so với kết quả nghiên cứu của Thai et al (2009) [33], do nghiên cứu này sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Kết quả tần số dao động  được trình bày trong Bảng

4.1 (trường hợp tấm sandwich lõi cứng) thể hiện quan hệ giữa tần số dao động  và hệ số phân phối vật liệu p trong các trường hợp điều kiện biên tấm khác nhau Kết quả cho thấy việc tăng hệ số phân phối vật liệu p (hay tăng thành phần kim loại có mô đun đàn hồi nhỏ hơn gốm) làm cho tần số dao động của tấm giảm dần, hay độ cứng của tấm giảm dần, và ngược lại với bảng 4.2 (trường hợp tấm sandwich lõi mềm) ta thấy khi tăng hệ số phân phối vật liệu p (hay tăng thành phần gốm có mô đun đàn hồi lớn hơn kim loại) làm cho tần số dao động của tấm càng tăng, độ cứng của tấm càng tăng

Ví dụ 2: Khảo sát độ võng u 3 của tấm sandwich FG theo hệ số phân phối vật liệu p và tỉ số a/h: với tấm có lõi cứng được làm bằng ZrO 2 ( E b , ,   b b ) , mặt trên và dưới của tấm FG được làm bằng Al ( E t , ,   t t )

Với bài khảo sát độ võng không thứ nguyên u 3 của tấm FG đã được nghiên cứu của Nguyen và cộng sự (HSDT) (2014) [36], Zenkour (2005) [17]

Các thông số kích thước hình học, đặc trưng vật liệu: h=0.1 m, a=1m, b=1 m Tấm FG được kết hợp từ 2 vật liệu Aluminum và Alumina (Al 2 O 3 ) Thông số vật liệu, Zirconia (ZrO 2 ): E b 1 MPa,  b  3000 kg/m 3 , =0.3

Các công thức được sử dụng trong tính toán :

B ảng 4.4 Độ võng giữa tấm u 3 của tấm sandwich lõi cứng Al/ZrO 2 ,(K w =0) tỉ số (a/h)

Nguyen et al (HSDT) [36] 0.19607 0.19607 0.19607 0.19607 0.19607 Zenkour (HSDT) [17] 0.19606 0.19607 0.19607 0.19607 0.19607

Tiếp theo kết quả chuyển vị giữa tấm u 3 của sandwich lỗi cứng trong bảng 4.4 ta thấy rằng kết quả nghiên cứu tương tự như kết quả nghiên cứu của Nguyen và cộng sự (2014) [36] , Zenkour(2005) [17] Sự chênh lệch của luận văn với kết quả nghiên cứu này không vượt quá 0.5% , điều này cho thấy rằng kết quả của mô hình tấm sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao trong luận văn này cho kết quả có độ chính xác cao, có thể khảo sát các thông số còn lại của mô hình.

KHẢO SÁT CÁC THAM SỐ NGHIÊN CỨU

Xem xét tấm bêtông dự ứng lực có chiều cao h, với chiều dài cạnh a và b (Hình 4.5) Tấm được đặt trên nền đàn hồi Winkler và Pasternak tự do (một cách tổng quát) trên chu vi và chịu tác dụng tải trọng tập trung di động điều hòa có dạng:

P t =P 0 sin(Ωt) di chuyển với vận tốc không đổi v p

Hình 4.5 Mô hình tấm bêtông dự ứng lực đặt trên nền đàn hồi Winkler

Ví dụ 1: Khảo sát chuyển vị giữa tấm bêtông dự ứng lực với các điều kiện biên như đặt trên liên kết gối tựa đơn (SSSS), liên kết ngàm (CCCC), vừa liên kết gối tựa đơn, vừa liên kết ngàm (SCSC) nhằm đánh giá chuyển vị của tấm khi xét đến có sự tham gia của hệ số nền Winkler và lực tới hạn Với các thông số đầu vào như sau:

Thông số vật liệu :E (.5 MPa,   2500 kg/m 3 , =0.3 Vận tốc v p m/s, Omega=0 Hz, P 0 tấn

Dự ứng lực (DUL) được lấy bằng lực tới hạn không thứ nguyên N c r khi p=0 :

DUL 02: N x 0 x  0.1x N c r ; N xy 0  0 ; N 0 yy  0.8x N x 0 x ; DUL 03: N x 0 x  0.3x N c r ; N xy 0  0 ; N yy 0  0.8x N x 0 x ; DUL 04: N x 0 x  0.5x N c r ; N xy 0  0 ; N yy 0  0.8x N x 0 x ;

DUL 05: N x 0 x  0.7x N c r ; N xy 0  0 ; N yy 0  0.8x N x 0 x ; Trong đó, lực tới hạn theo các điều kiện biên như sau:

B ảng 4.5 Giá trị chuyển vị u 3 tại vị trí giữa tấm được đặt trên nền đàn hồi Winkler (k g =0) với các điều kiện biên khác nhau tỉ số (a/h@)

BC Hệ số nền kg Hệ số nền kf

DUL 1 DUL2 DUL3 DUL4 DUL5

Nếu nhìn vào kết quả thể hiện trong bảng 4.5, ta có thể nhận xét rằng khi tăng độ cứng của hệ số nền k f và dự ứng lực thì độ võng u 3 của tấm giảm dần Điều này có thể được giải thích rằng: nền đàn hồi và lực dọc trục làm tăng độ cứng của tấm – điều này là phù hợp với bản chất vật lý của hệ Đồng thời kết quả cũng cho thấy rằng: điều kiện biên gối tựa đơn cho chuyển vị độ võng u 3 có biên độ dao động lớn nhất, tiếp đến là 1 phương liên kết gối, phương còn lại liên kết ngàm và cho kết quả chuyển vị độ võng nhỏ nhất là liên kết ngàm Điều kiện bi ên g ối tựa đơn ( SSSS)

Hình 4.6 Đồ thị thể hiện mối quan hệ của chuyển vị u 3 của tấm theo thời gian, điều kiện biên gối tựa đơn (SSSS) Điều kiện bi ên v ừa g ối tựa đơ n, v ừa ngàm (SCSC)

Hình 4.7 Đồ thị thể hiện mối quan hệ của chuyển vị u 3 của tấm theo thời gian, điều kiện biên vừa gối tựa đơn, vừa ngàm (SCSC) Điều kiện bi ên ngàm (CCCC)

Hình 4.8 Đồ thị thể hiện mối quan hệ của chuyển vị u 3 của tấm theo thời gian, điều kiện biên ngàm (CCCC)

Từ các hình vẽ 4.6 – 4.7 - 4.8 và bảng 4.5 ta có thể thấy rằng sự ảnh hưởng của nền Winkler và lực dọc trục có tác động giảm đáng kể đến chuyển vị độ võng của tấm trong các điều biên khác nhau so với tấm không kể đến hệ số nền winkler và lực dọc trục Trong đó lực dọc trục (dự ứng lực) có ảnh hưởng rất lớn đến độ cứng của tấm

Ví dụ 2: Khảo sát chuyển vị giữa tấm bêtông dự ứng lực với các điều kiện biên như đặt trên liên kết gối tựa đơn (SSSS), liên kết ngàm (CCCC), vừa liên kết gối tựa đơn, vừa liên kết ngàm (SCSC) nhằm đánh giá chuyển vị của tấm khi xét đến có sự tham gia của hệ số nền Winkler và lực tới hạn Với các thông số đầu vào như sau:

Thông số vật liệu : E (,5 MPa,   2500 kg/m 3 , =0.3 Vận tốc v p m/s, Omega=0 Hz, h=0,1m, P 0 tấn Hệ số nền Winkler : k f 1  0 N/m 3 ; k f 2  1x10 5 N/m 3 ; k f 3  1x10 6 N/m 3 k f 4  1x10 7 N/m 3 ; k g =1x10 5 N/m 3 ; [35]

Dự ứng lực (DUL) được lấy theo ví dụ 1

B ảng 4 6 Giá trị chuyển vị u 3 tại vị trí giữa tấm được đặt trên nền đàn hồi Winkler hai tham số (k f và k g ) với các điều kiện biên khác nhau tỉ số (a/h@)

BC Hệ số nền kg Hệ số nền kf

DUL 1 DUL2 DUL3 DUL4 DUL5

Ví dụ 3: Khảo sát sự ảnh hưởng của nền Winkler và lực dọc trục đến chuyển vị của giữa tấm với các điều kiện biên gối tựa đơn (SSSS), ngàm (CCCC), vừa gối tựa đơn và vừa ngàm (SCSC) nhằm đánh giá chuyển vị u 3 của tấm khi tăng dần độ lớn của nền Winkler (k g =0) và lực dọc trục

Từ các hình vẽ 4.9 – 4.10 và 4.11 cho thấy rằng khi tăng hệ số nền, hệ số nền càng lớn thì độ võng u 3 của tấm càng giảm, đồng nghĩa với việc độ cứng của tấm tăng lên, và tương tự với dự ứng lực (tăng lực dọc trục) Điều kiện bi ên g ối tựa đơn ( SSSS) v p = 10 m/s, Omega=0 Hz

Hình 4.9 Đồ thị thể hiện sự ảnh hưởng của nền Winkler, dự ứng lực đến chuyển vị u 3 của tấm, điều kiện biên gối tựa đơn (SSSS) Điều kiện bi ên v ừa g ối tựa đơn, v ừa ngàm (SCSC) v p = 10 m/s, Omega= 0 Hz

Hình 4.10 Đồ thị thể hiện sự ảnh hưởng của nền Winkler, dự ứng lực đến chuyển vị u 3 của tấm, tấm vừa liên kết gối tựa đơn, vừa liên kết ngàm (SCSC) Điều kiện bi ên ngàm (CCCC) v p = 10 m/s, Omega=0 Hz

Hình 4.11 Đồ thị thể hiện sự ảnh hưởng của nền Winkler, dự ứng lực đến chuyển vị u 3 của tấm, liên kết ngàm (CCCC)

Ví dụ 4: Khảo sát chuyển vị của tấm bêtông dự ứng lực đặt trên nền đàn hồi Winkler với các điều kiện biên như đặt trên liên kết gối tựa đơn (SSSS), liên kết ngàm (CCCC) khi tỉ số a/h (kích thước tấm thay đổi) và tần số kích thích thay đổi

Với các thông số đầu vào như sau:

Vận tốc v p m/s, P 0 tấn, h=0.2 m Hệ số nền Winkler : k f 6 N/m 3 ; k g 5 N/m 3 ; [35]

Dự ứng lực được lấy bằng lực tới hạn không thứ nguyên N c r của tấm khi DUL : N x 0 x  0.5x N c r ; N 0 xy  0 ; N yy 0  0.8x N x 0 x ; [theo ví dụ 1] Điều kiện bi ên g ối tựa đơn ( SSSS)

Hình 4.12 Đồ thị thể hiện mối quan hệ của chuyển vị tấm đặt trên nền winkler chịu tác động của lực tập trung điều hòa di động theo thời gian với tần số dao động kích thích thay đổi, liên kết trên gối tựa đơn (SSSS) Điều kiện bi ên ngàm (CCCC)

Hình 4.13 Thể hiện quan hệ của chuyển vị tấm đặt trên nền winkler chịu tác động của lực tập trung điều hòa di động theo thời gian với tần số dao động kích thích thay đổi, liên kết ngàm (CCCC)