Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích dao động tự nhiên của hệ dàn phẳng xét kích thước nứt cứng và phi tuyến hình học

TÓM TẮT LUẬN VĂN Tên đề tài : PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ NHIÊN CỦA HỆ DÀN PHẲNG XÉT KÍCH THƯỚC NÚT CỨNG VÀ PHI TUYẾN HÌNH HỌC Trong thực tế, các phần tử trong kết cấu giao với nhau tại các

TỔNG QUAN

Đặt vấn đề

Trong thực tế ngành xây dựng hiện nay, việc sử dụng kết cấu thép ngày càng được áp dụng rộng rãi cho nhiều công trình trên thế giới Trong đó, việc áp dụng kết cấu dạng dàn thường được các kỹ sư sử dụng nhiều hơn hết

Dàn được định nghĩa là một tổ hợp gồm nhiều thanh thẳng liên kết với nhau tại các đầu thanh bằng các khớp lý tưởng (ideally pinned) được gọi là mắt dàn Hiện nay, vì trọng lượng nhẹ và thi công nhanh chóng và có thể vượt nhịp được khoảng cách dài nên dàn được ứng dụng cho nhiều dạng công trình như dàn mái, dàn cầu, dàn tháp đỡ,…

Thông thường, dù bất cứ hình dạng phức tạp như thế nào thì dàn thường được chia nhỏ thành các hình dạng tam giác Vì quy ước các đầu thanh quy tụ ở mắt dàn có thể xoay một cách tự do không ma sát nên điều này dẫn đến kết quả là thanh dàn chỉ có thành phần lực dọc Tuy nhiên, trong thực tế các thanh thường được nối với nhau bằng đinh tán hoặc mối hàn, rất ít khi bằng khớp (bulông, chốt…), những mối nối này không phải là khớp lý tưởng, mà nội lực thanh dàn có một giá trị momen nào đó, do đó nếu xem nút dàn là vùng cứng thì kết quả phù hợp với kết cấu thực tiễn hơn so với cách giải thông thường hiện nay

Trong phân tích kết cấu, việc lựa chọn sơ đồ tính là vô cùng quan trọng, chúng ta thường xem các phần tử của kết cấu được liên kết với nhau tại nút và chiều dài tính toán được tính từ trục thanh tới trục thanh (giao điểm các trục thanh) mà các phần tử được liên kết Trong thực tế, các phần tử trong kết cấu giao với nhau tại các vị trí “chồng lấp” và tạo nên một vùng cứng, hai đầu của phần tử được tính từ mặt của nút liên kết; do đó;,chiều dài của phần tử được tính từ mặt của nút liên kết mà không phải tính từ tâm của nút, dẫn đến độ cứng và nội lực của tại hai đầu mút của phần tử bị thay đổi Biến dạng giữa mặt và trục thanh do liên kết cứng là rất phức tạp và được định nghĩa như một vùng cứng (rigid zone)

Khi phân tích kết cấu, nếu các quan hệ cân bằng và động học được thiết lập theo dạng hình học không thay đổi (dạng hình học ban đầu) thì phân tích này gọi là phân tích bậc một Ngược lại nếu các quan hệ cân bằng và động học được thiết lập theo biến dạng hình học của kết cấu gọi là phân tích bậc hai, phân tích này luôn cần thiết khi xem xét sự ổn định của kết cấu, dưới tác dụng của tải trọng, trong các thanh chịu nén còn xuất hiện moment uốn phụ do lực tác động lên chuyển vị ngang của thanh, moment này nói chung tạo ra ảnh hưởng bất lợi đối với phần tử dạng mảnh chịu nén và làm giảm độ cứng chống uốn của phần tử Vì vậy, việc tính toán dàn phẳng có kể đến ảnh hưởng kích thước vùng cứng và phi tuyến hình học sẽ đem lại kết quả chính xác hơn.

Mục tiêu của luận văn

Mục tiêu của luận văn là phân tích ảnh hưởng kích thước vùng cứng và phi tuyến hình học đến tần số dao động tự nhiên của hệ dàn phẳng Phương pháp sử dụng để phân tích là phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với động lực học công trình để thiết lập các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của hệ dàn có kể đến ảnh hưởng kích thước vùng cứng và phi tuyến hình học, từ đó xác định tần số dao động tự nhiên của hệ dàn phẳng

Trong luận văn này khảo sát ảnh hưởng của kích thước vùng cứng và phi tuyến hình học đến hệ dàn phẳng, trong đó có xét ảnh hưởng chuyển vị đứng, chuyển vị ngang, chuyển vị xoay và kích thước vùng cứng thay đổi được xét đến Một chương trình Matlab: “Phân tích tần số dao động tự nhiên của hệ dàn có xét đến kích thước vùng cứng và phi tuyến hình học sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)” sẽ được thiết lập

Kết quả của luận văn sẽ được so sánh với kết quả của thực nghiệm và một số bài báo trên các tạp chí thế giới đáng tin cậy.

Tình hình nghiên cứu trên thế giới và ở Việt Nam

1.3.1 Giới thiệu một số công trình nghiên cứu trên thế giới

Năm 2003, Edward.L.Wilson nghiên cứu về độ cứng hình học và hiệu ứng P- delta, đăng trên tạp chí CSI Y.-H.Pao & G Sun, nghiên cứu biến dạng uốn động lực học trong hệ dàn phẳng có xét liên kết chốt hoặc mối nối cứng, đăng trên Tạp chí Kết cấu Công trình của Hội kỹ sư xây dựng ở Mỹ, ASCE Trong đó, tác giả sử dụng phần mềm Sap2000 để khảo sát hệ dàn đối với trường hợp chịu ảnh hưởng của hiệu ứng P- delta và trường hợp không xét đến hiệu ứng P-delta, so sánh kết quả hai trường hợp từ đó giúp hiểu rõ sự làm việc của hệ dàn [4]

Năm 2004, Finley A.Charney và cộng sự nghiên cứu quy trình theo mẫu cho biến dạng vùng cứng trong khung chịu uốn Bài báo này cung cấp gói lý thuyết cơ bản cho việc tính toán biến dạng vùng cứng và so sánh kết quả tìm thấy từ 2 mẫu cơ học đơn giản (mẫu Krawinler và Scissors), đồng thời kiểm chứng với kết quả phân tích thực nghiệm SAC [5]

Năm 2006, K.D Hjelmstad và cộng sự đã nghiên cứu Phân tích momen khung thép với biến dạng vùng cứng Trong đó, tác giả đã đưa phương pháp tiếp cận hoàn thiện cho mẫu mối nối dẻo trong phân tích phi tuyến của momen khung thép Vị trí dự kiến bao gồm cả vùng cứng và mối nối dẻo, vì vậy cho phép xử lý đồng thời tất cả các loại biến dạng trong mối nối thép để phù hợp với chương trình phân tích kết cấu hiện hữu dựa vào lý thuyết dầm Để xem xét ảnh hưởng của phi tuyến hình học tại vị trí liên kết, tác giả đã giả sử biến dạng là hữu hạn, cốt lõi là phân tích phi tuyến trong vùng cứng [6]

Năm 2009, Marcelo Greco cùng cộng sự đã nghiên cứu giải pháp cho hệ dàn phi tuyến hình học Trong đó, trình bày phương pháp phân tích hệ dàn với ứng xử phi tuyến hình học Mục đích chính là tìm kiếm giải pháp cho hệ dàn với tác dụng của lực dọc khác nhau lên từng thanh Phương pháp luận này dựa trên hệ dàn động học, định luật kết cấu đàn hồi và trạng thái cân bằng tại nút Tính toán theo công thức dự kiến có thể ứng dụng vào vật liệu siêu đàn hồi như mút cao su và mút đàn hồi [7]

Năm 2010, luận văn thạc sĩ của tác giả Ng Fook Heng nghiên cứu Phân tích phi tuyến hình học của kết cấu dàn phẳng; trong đó, tác giả đã sử dụng phương pháp chuyển vị để phân tích và so sánh kết quả ở 2 trường hợp tuyến tính và phi tuyến; dựa trên cơ sở đó, sử dụng phương pháp chuyển vị cát tuyến để phân tích sự ảnh hưởng của phi tuyến hình học đến hệ dàn Luận văn đã sử dụng phần mềm Mathcad, kết quả so sánh với kết quả phần mềm Staadpro, từ đó giúp các kỹ sư hiểu rõ sự làm việc của hệ dàn phẳng để kết cấu đảm bảo an toàn và ổn định [8]

Năm 2011, Giuseppe Brandonisio và cộng sự đã nghiên cứu Độ bền trượt của vùng cứng trong liên kết dầm – cột Trong đó, tác giả đã khảo sát việc ứng xử cơ học vùng cứng theo tiêu chuẩn Châu âu và Mỹ, kiểm tra và thảo luận, so sánh kết quả Sử dựng phương pháp phần tử hữu hạn phân tích và kiểm tra thực nghiệm khi xét đến phi tuyến, và kết quả cho thấy biến dạng bề mặt của vùng cứng là khá lớn (theo tiêu chuẩn Châu âu, cường độ chống cắt của vùng cứng chiếm khoảng 50-60%), nguyên nhân là do xuất hiện môment lực khung thép tại bề mặt vùng cứng[9]

Theo tài liệu Matrix structural analysis – William McGuire (pp 398, 399) [10] cho rằng, nút dàn không phải là khớp như giả định ban đầu, mà là vùng cứng được minh họa như hình vẽ và thể hiện qua 3 trường hợp sau:

Hình 1 1: Khung phẳng chịu uốn Hình 1 2: Sơ đồ tính vùng cứng với liên kết cứng

- Chiều dài nút cứng bằng 5-10% chiều dài thanh Vùng cứng này có độ cứng lớn hơn các mối nối của thanh

- Trong hệ sàn, đỉnh dầm và trục trọng tâm không giao nhau - Trong quan hệ hình học, trục trọng tâm của các thanh giằng không giao nhau tại một điểm và chịu tải trọng lệch tâm

1.3.2 Giới thiệu một số công trình nghiên cứu trong nước

Năm 2005, luận văn thạc sĩ của tác giả Vương Hoài Nam nghiên cứu về Ảnh hưởng của nút cứng và hiệu ứng P-∆ đến dao động của dàn (Theo mô hình chính xác) [11] Trong đó, tác giả trình bày lý thuyết phương pháp độ cứng động lực học

((the Dynamic direct Stiffness Method – DSM ) để tính toán dao động kết cấu thanh thẳng có kể đến ảnh hưởng của lực dọc Khảo sát những ví dụ tính toán cụ thể và rút ra nhận xét

ThS Nguyễn Quốc Hùng và PGS.TS Nguyễn Tiến Chương đã nghiên cứu và Tính toán khung thép có liên kết nửa cứng phi tuyến chịu tải trọng đứng và tải trọng ngang thay đổi Trong bài báo này sẽ xem xét khung thép phẳng không giằng, có các phần tử dầm có liên kết nửa cứng ở hai đầu tại nút liên kết dầm – cột Tải trọng tác dụng lên khung bao gồm tải trọng đứng và tải trọng ngang [12]

Năm 2007, luận văn tiến sĩ của tác giả Nguyễn Hồng Sơn – Trường Đại học kiến trúc Hà nội đã nghiên cứu Phân tích kết cấu khung thép phẳng có liên kết nửa cứng phi tuyến Lập trình tính toán để xác định độ cứng xoay đàn hồi, moment cực hạn của liên kết dầm cột và xây dựng đường đặc tính của liên kết nửa cứng nhằm làm rõ ảnh hưởng của tham số độ mềm liên kết, biến dạng dẻo của vật liệu đến trạng thái chuyển vị - nội lực và tần số dao động riêng của kết cấu khung thép khi chịu tác dụng của tải trọng tĩnh và động Ứng dụng kết quả của đề tài vào phân tích kết cấu khung thép thực tế [13].

Bố cục của luận văn

Luận văn gồm 4 phần, bao gồm:

Chương 1: Tổng quan Nêu nội dung tổng quát của đề tài được thảo luận Ngoài ra, một số nghiên cứu được cung cấp thông tin chi tiết về phương pháp khảo sát và phân tích của dàn xét đến kích thước vùng cứng và phi tuyến hình học, đã được nghiên cứu bởi các nghiên cứu khác nhau

Chương 2: Lý thuyết số Nêu cơ sở lý thuyết tính toán ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của dàn phẳng có xét kích thước vùng cứng và phi tuyến hình học được giới thiệu để thuận tiện trong việc so sánh kết quả số và tính dạng dao động

Chương 3: Ví dụ số Nêu các bước tính toán dạng dao động của hệ dàn phẳng xét kích thước vùng cứng và phi tuyến hinh học Lập trình máy tính được phát triển với sự giúp đỡ của phần mềm Matlab nhằm phân tích kết quả số và đánh giá độ chính xác của phương pháp hiện tại (FEM) kết quả được so sánh với một số kết quả trên các bài báo tin cậy, bên cạnh đó các điều kiện biên cũng được thay đổi

Chương 4: Kết luận và hướng phát triển trong tương lai.

LÝ THUYẾT SỐ

Ma trận độ cứng

2.1.1 Ma trận độ cứng biến dạng dọc trục

Xét một phần tử thanh trong hệ tọa độ địa phương như hình vẽ, có chiều dài L, diện tích tiết diện thanh A và modun đàn hồi vật liệu E, có 2 điểm nút chịu biến dạng dọc trục q 1 và q 4

Hình 2 1: Phần tử dàn phẳng

Theo [8], mối quan hệ giữa ứng suất pháp σ , độ giãn dài ε được cho bởi: σ = E ε (2.1)

Phương trình quan hệ giữa {P} và {q} cho bởi:

Với [K] e là ma trận độ cứng e

Sử dụng phương trình biến đổi về hệ tọa độ tổng thể để biến đổi thành ma trận độ cứng tổng thể: z y

[ ] [ ] [ ] [ ]K = T T K e T (2.5) Với [T] là ma trận chuyển đổi hay ma trận xoay, theo [34], ta có: cos sin 0 0

Sau khi tính toán, ta có ma trận độ cứng trong hệ tọa độ tổng thể là:

2 2 c cs - c - cs cs s - cs -s [K] = EA

Với c = cosα, s = sinα α: Góc nghiêng theo chiều ngược kim đồng hồ giữa trục x và trục phần tử

2.1.2 Ma trận độ cứng xét biến dạng uốn và thẳng

Xét một phần tử thanh trong hệ tọa độ địa phương như hình vẽ, có chiều dài L, diện tích tiết diện A, moment quán tính I và modun đàn hồi vật liệu E, chịu biến dạng ngang q 2 , q 5 và chịu biến dạng uốn q 3 , q 6

Hình 2 2: Phần tử khung phẳng

Theo [34], ta có ma trận độ cứng của thanh có biến dạng uốn và ngang là:

Theo lý thuyết cộng tác dụng, ta có thể coi trường hợp thanh biến dạng uốn và thẳng bằng tổng của trường hợp biến dạng uốn và ngang và trường hợp biến dạng dọc trục

Kết hợp (2.4) và (2.8) tại vị trí biến dạng, ta có: z y P x L z

Sử dụng phương trình biến đổi về hệ tọa độ tổng thể để biến đổi thành ma trận độ cứng tổng thể, theo [34]:

Với [T] là ma trận chuyển đổi hay ma trận xoay, theo [34], ta có: cos sin 0 0 0 0

AL c AL cs AL c AL cs

AL cs AL s AL cs AL s

L AL c AL cs AL c AL cs

AL s AL cs AL s c - -6 cL -12 cs+ 12 c + -6 Lc

2.1.3 Ma trận độ cứng xét biến dạng dọc trục chịu ảnh hưởng của phi tuyến hình học

Xét một phần tử thanh trong hệ tọa độ địa phương như hình vẽ, có độ cứng khi kéo là EA, chiều dài L, chịu lực dọc P, nội lực N

Hình 2 3: Phần tử dàn phẳng chịu ảnh hưởng của phi tuyến hình học

Theo [8], ma trận độ cứng phi tuyến hình học [K] của phần tử trong hệ tọa độ cục bộ:

Sử dụng phương trình biến đổi về hệ tọa độ tổng thể để biến đổi thành ma trận độ cứng tổng thể:

Với [T] là ma trận chuyển đổi hay ma trận xoay: cos sin 0 0

(2.15) α: Góc nghiêng theo chiều ngược kim đồng hồ giữa trục x và trục phần tử

Sau khi tính toán, ta có ma trận độ cứng phi tuyến hình học trong hệ tọa độ tổng thể là:

EAc + Ns EAcs- Ncs - EAc - Ns Ncs- EAcs EAcs- Ncs Nc + EAs Ncs- EAcs - Nc - EAs [K] = 1

L - EAc - Ns Ncs- EAcs - Nc - EAs EAcs+ Ncs Ncs- EAcs - Nc - EAs EAcs+ Ncs EAs - Nc

2.1.4 Ma trận độ cứng xét biến dạng uốn và thẳng chịu ảnh hưởng của phi tuyến hình học

Xét một phần tử thanh trong hệ tọa độ địa phương như hình vẽ, có độ cứng khi uốn là EI, độ cứng khi kéo hoặc nén là EA không đổi, chiều dài L, chịu lực dọc P, nội lực N

Hình 2 4: Phần tử khung phẳng chịu ảnh hưởng của phi tuyến hình học

Gọi {q} và {P} lần lượt là ma trận cột [6x1], là ma trận chuyển vị và nội lực tại nút của phần tử

Phương trình quan hệ giữa {q} và {P} có dạng:

Theo [27], ma trận độ cứng phi tuyến hình học [K] của phần tử trong hệ tọa độ cục bộ:

Sử dụng phương trình biến đổi về hệ tọa độ tổng thể để biến đổi thành ma trận độ cứng tổng thể:

Với [T] là ma trận chuyển đổi hay ma trận xoay: cos sin 0 0 0 0

Sau khi tính toán, ta có ma trận độ cứng phi tuyến hình học trong hệ tọa độ tổng thể là:

12 s Ac Acs 12 cs 6 s 12 s Ac 12 cs Acs 6 s

12 cs Acs 12 c As 6 c Acs 12 cs 12 c As 6 c

2.1.5 Ma trận độ cứng xét ảnh hưởng của phi tuyến hình học và kích thước vùng cứng

Trong phân tích hệ kết cấu, ta thường tính toán các phần tử thanh có liên kết với nhau tại các nút, và chiều dài phần tử thanh được tính toán từ khoảng cách giữa hai nút Trong thực tế, các phần tử thanh thường giao với nhau tại các nút và các điểm đầu của thanh được tính từ bề mặt “chồng lấp” giữa các phần tử thanh như liên kết nút các bản mã trong dàn Do đó, chiều dài của phần tử thanh khi tính toán nên tính từ bề mặt liên kết chứ không phải tính toán từ nút thanh Biến dạng giữa bề mặt và nút do độ cứng của liên kết là rất phức tạp, vì vậy, có thể định nghĩa mối quan hệ đó là vùng cứng (rigid zone)

Hình 2 5: Kích thước vùng cứng trong dàn

Xét một phần tử thanh trong hệ tọa độ địa phương như hình vẽ, có độ cứng khi uốn là EI, độ cứng khi kéo hoặc nén là EA không đổi, chiều dài L, chịu lực dọc P, nội lực N q e3 q e6 q e1 q e2 q e5 q e4

Hình 2 6: Phần tử khung phẳng xét kích thước vùng cứng.

Tách chi tiết vùng nút cứng tại 2 đầu phần tử thanh

Hình 2 7: Kích thước vùng cứng tại đầu thanh

Theo [10], ma trận độ cứng phi tuyến hình học khi xét kích thước của vùng cứng được tính toán theo công thức:

[K vc ] [= T cd ][T i j ] [ T K i j ] [ e T i j ] (2.24) Với [K i j ' ' ] e là ma trận độ cứng phi tuyến hình học (2.20) đối với phần không

“chồng lấp” kích thước vùng cứng

[T cd ] là ma trận chuyển đổi tính kích thước vùng cứng

[ ] cd ei ei ej ej

(2.25) α: Góc nghiêng theo chiều ngược kim đồng hồ giữa trục x và trục vùng cứng

[T ] i j ' ' là ma trận chuyển đổi hay ma trận xoay đối với phần không “chồng lấp” kích thước vùng cứng i'j' cos sin 0 0 0 0

(2.26) α: Góc nghiêng theo chiều ngược kim đồng hồ giữa trục x và trục phần tử không “chồng lấp” kích thước vùng cứng

Tính toán (2.24), ta có ma trận độ cứng trong hệ tọa độ tổng thể xét kích thước vùng cứng

12s Ac Acs 12cs 6s 12s Ac 12cs Acs 6s

12s Ac 12cs Acs 6s 12s Ac Acs 12cs 6s

2.2.1 Ma trận khối lượng của phần tử

2.2.1.1 Ma trận khối lượng trường hợp ảnh hưởng của lực dọc

Xét một phần tử thanh có chiều dài L, khối lượng trên đơn vị dài là m x ( ), chịu lực dọc P như hình vẽ q 1 (t) =1

Hình 2 8: Dao động phần tử dàn phẳng

Lực quán tính trên đơn vị dài của phần tử do gia tốc bằng đơn vị gây ra, theo [25], ta có:

Với u 1 (x) là hàm chuyển vị của thanh

Gán cho phần tử một chuyển vị ảo q2 = 1 Công của ngoại lực trên chuyển vị ảo là:

Công của nội lực trên đơn vị dài của thanh do lực quán tính f thực hiện trên chuyển vị ảo là:

Tổng công của nội lực là:

Cân bằng công nội lực và công ngoại lực, một cách tổng quát, khối lượng trên phần tử là:

Trường hợp thanh có tiết diện không đổi, ta có:

3 6 3 mL mL mL m = m =m = m Ma trận khối lượng [M] theo [25] là: e

Sử dụng phương trình biến đổi về hệ tọa độ tổng thể để biến đổi thành ma trận khối lượng tổng thể:

Với [T] là ma trận chuyển đổi hay ma trận xoay: cos sin 0 0

Sau khi tính toán, ta có ma trận khối lượng trong hệ tọa độ tổng thể là:

2.2.1.2 Ma trận khối lượng trường hợp biến dạng uốn và thẳng

Xét một phần tử thanh có chiều dài L, khối lượng trên đơn vị dài là m x ( ), chịu một góc xoay và chuyển vị ngang như hình vẽ

Hình 2 9: Dao động phần tử khung phẳng

Lực quán tính trên đơn vị dài của thanh do gia tốc trên gây ra, theo [25], ta có:

Gán cho phần tử một chuyển vị ảo q 2 =1 Công của ngoại lực trên chuyển vị ảo là:

Công của nội lực trên đơn vị dài của dầm do lực quán tính f thực hiện trên chuyển vị ảo là:

Tổng công của nội lực là:

Cân bằng công nội lực và công ngoại lực, một cách tổng quát, khối lượng trên phần tử là:

Ma trận khối lượng [M], theo [25] là:

Theo lý thuyết cộng tác dụng, ta có thể coi trường hợp thanh biến dạng uốn và thẳng bằng tổng của trường hợp biến dạng uốn và ngang và trường hợp biến dạng dọc trục

Kết hợp (2.33) và (2.41) tại vị trí biến dạng, ta có:

Sử dụng phương trình biến đổi về hệ tọa độ tổng thể để biến đổi thành ma trận khối lượng tổng thể:

[M] [ ] [= T T M] [ ] e T (2.43) Với [T] là ma trận chuyển đổi hay ma trận xoay: cos sin 0 0 0 0

140 c +156 s -16 cs -22 Ls 70 c + 54 s 16 cs 13 Ls -16 cs 156 c +140 s 22 Lc 16 cs 54 c + 70 s -13 Lc

2.2.1.3 Ma trận khối lượng xét kích thước vùng cứng

Xét một phần tử thanh có chiều dài L, khối lượng trên đơn vị dài là m x ( ), chịu một góc xoay và chuyển vị ngang như hình vẽ q e4

Hình 2 10: Dao động phần tử khung xét kích thước vùng cứng

Theo [29], ma trận khối lượng là: cd ' ' ' ' ' '

[M ] [T ][T ] [M vc = i j T i j ] [T ] e i j (2.46) Với [M] e là ma trận khối lượng (2.41) đối với phần không “chồng lấp” kích thước vùng cứng

[T cd ] là ma trận chuyển đổi tính kích thước vùng cứng

[ ] cd ei ei ej ej

(2.47) α: Góc nghiêng theo chiều ngược kim đồng hồ giữa trục x và trục vùng cứng

[T ] i j ' ' là ma trận chuyển đổi hay ma trận xoay đối với phần không “chồng lấp” kích thước vùng cứng i'j' cos sin 0 0 0 0

(2.48) α: Góc nghiêng theo chiều ngược kim đồng hồ giữa trục x và trục phần tử không “chồng lấp” kích thước vùng cứng

Tính toán (2.46), ta có ma trận khối lượng trong hệ tọa độ tổng thể xét kích thước vùng cứng

2.2.2 Dao động tự nhiên của phần tử

2.2.2.1 Quá trình dao động của kết cấu

Khi chịu tác dụng của tải trọng thì biến dạng, chuyển vị và nội lực trong kết cấu thay đổi Khi đó, khối lượng trên kết cấu được truyền một gia tốc nên phát sinh lực quán tính đặt tại các khối lượng Lực quán tính tác dụng trên kết cấu và gây ra hiện tượng dao động

2.2.2.2 Tần số dao động riêng

Phương trình độ cứng, theo [25], ta có:

Khi không kể đến lực cản, nghiệm của (2.47) là: sin( ) i i v =a ω αt− i=1, 2, 3, ,n (2.51)

Hoặc viết dưới dạng ma trận: { } { } v = a sin( ω α t − )

Với a i là biên độ dao động ở tọa độ thứ i và n là số bậc tự do

Kết hợp (2.47) và (2.48), ta có: Để tránh lời giải tầm thường, tức là { } a = 0, định thức của ma trận các thừa số của { } a phải bằng không:

Với [M]: Ma trận khối lượng

[ ]K : Ma trận độ cứng ω: Tần số tự nhiên

2.2.2.3 Chuyển vị Ứng với mỗi giá trị của ω 2 thỏa mãn phương trình đặc trưng, ta có thể giải phương trình (2.52) để được các giá trị chuyển vị {a}

VÍ DỤ SỐ

Trình tự chung

Trong phần lý thuyết đã trình bày ở các chương trước, ta đã dùng phương pháp Phần tử hữu hạn để xác định được ma trận độ cứng, ma trận khối lượng trọng hệ tọa độ địa phương của từng phần tử thanh có xét ảnh hưởng của trạng thái mất ổn định thứ 2 - ảnh hưởng của lực dọc, sau đó ghép nối tạo thành ma trận độ cứng, ma trận khối lượng của cả hệ thanh trong hệ tọa độ tổng thể, sau đó giải phương trình tần số để tìm các tần số dao động riêng

3.1.1 Dao động của dàn xét ảnh hưởng lực dọc, quan niệm liên kết nút thanh là nút cứng

Bước 1: Rời rạc hóa kết cấu

Trong hệ kết cấu đang xét, tiến hành rời rạc hóa kết cấu thành từng phần tử riêng rẽ, liên kết nhau thông qua các vùng cứng Đánh số nút, số phần tử Tại mỗi nút này sẽ có ba bậc tự do

Bước 2: Xác định thông số ban đầu

Dữ liệu cần thiết ban đầu:

+ Vị trí nút liên kết nối đất

+ Mỗi phần tử được xác định bằng hai nút, nút đầu i và nút cuối j, nút i và j đã khai báo tọa độ Từ đó, xác định được cosin chỉ phương của từng phần tử

+ Khai báo các loại đặc trưng vật liệu: E, I, A, m cho từng phần tử

+ Đối với dàn, tải trọng tác dụng lên các nút dàn

Bước 3: Thiết lập các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng

Thiết lập ma trận độ cứng, ma trận khối lượng của phần tử thanh trong hệ tọa độ địa phương Ở đây đang được tính toán cho hệ dàn có vùng cứng, do đó, ma trận độ cứng [ ]K e (2.19) và ma trận khối lượng [M] e (2.41), sử dụng ma trận chuyển đổi hay ma trận xoay [T], từ đó xác định ma trận độ cứng [ ]K và ma trận khối lượng [M] trong hệ tọa độ tổng thể

Bước 4: Áp đặt điều kiện biên và xây dựng phương trình để giải

Dựa vào điều kiện biên (liên kết ngoài) của hệ thanh, xây dựng ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của toàn hệ thanh bằng cách loại bỏ các hàng và cột tương ứng với bậc tự do tương ứng liên kết ngoài và có giá trị bằng không

Phương trình tần số xác định tần số dao động riêng:

Giải phương trình trên, ta tìm được các giá trị chuyển vị a tương ứng với tần số dao động ω Ứng với mỗi giá trị a, ta giải hệ phương trình:

Thay thế lần lượt các thành phần của a bằng 1, ta tìm được các thành phần chuyển vị còn lại cho từng dạng dao động

Sau khi xác định { } a tức là đã xác định được chuyển vị tại mọi nút của hệ thanh cho từng dạng dao động trong hệ trục tọa độ tổng thể

Thay { } a vào phương trình { } { } v = a sin( ω α t − ) và khử α , ta có phương trình dao động của hệ thanh theo tỷ số chuyển vị { } a

3.1.2 Dao động của dàn xét ảnh hưởng lực dọc, quan niệm liên kết nút thanh là khớp và cứng xét kích thước

Trình tự tính toán tương tự 3.1.1

Sơ đồ giải

SƠ ĐỒ KHỐI GIẢI THUẬT

TÍNH TOÁN GÓC HỢP GIỮA PHẦN TỬ VÀ TRỤC X

MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ

MA TRẬN KHỐI LƯỢNG PHẦN TỬ

MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ

MA TRẬN KHỐI LƯỢNG TỔNG THỂ

TẢI TRỌNG TỚI HẠN P cr

TÌM CHU KỲ T TẦN SỐ DAO ĐỘNG f

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÌM DẠNG DAO ĐỘNG

Tính toán khảo sát tần số

3.3.1 Tính toán khảo sát dàn khi chưa chịu ảnh hưởng của ngoại lực

Xét hệ dàn phẳng có các dữ liệu :

E = 2,15e11 kN/m 2 ; A = 0,0001 m 2 ; I = 8,333e-10 m 4 ; P = 1300 kN Trọng lượng riêng vật liệu rho = 1800 kN/m 3

Quan niệm các mắt dàn là liên kết có kể đến vùng cứng có chiều dài vùng cứng Le thay đổi từ 0 đến 0.15 m

Hình 3 1: Sơ đồ tính dàn xét kích thước vùng cứng

Sơ đồ nút, phần tử dàn

Hình 3 1:Đánh số hiệu phần tử dàn xét kích thước vùng cứng

Rời rạc hóa kết cấu

Hình 3 2: Rời rạc hóa kết cấu dàn xét kích thước vùng cứng.

Bảng 3 1: Giá trị chuyển vị tại nút dàn khi chịu ảnh hưởng của trọng lượng bản thân Đơn vị mm

KÍCH THƯỚC VÙNG CỨNG Le (m)

CHUYEN VI DAN PHANG TRUONG HOP KHOP

CHUYEN VI DAN PHANG TRUONG HOP KICH THUOC VUNG CUNG

Bảng 3 2: Giá trị nội lực của dàn khi chịu ảnh hưởng của trọng lượng bản thân Đơn vị: kN

Khớp 0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 Đầu Cuối Đầu Cuối Đầu Cuối Đầu Cuối Đầu Cuối Đầu Cuối Đầu Cuối

LUC DOC DAN PHANG TRUONG HOP KHOP TRUONG HOP KHOP

LUC DOC DAN PHANG TRUONG HOP VUNG CUNG

3.3.2 Khảo sát hệ dàn đơn giản có tải trọng P thay đổi xét trường hợp nút cứng

Xét hệ dàn như mục 3.3.1, quan niệm các mắt dàn là nút cứng

Hình 3 3: Sơ đồ tính dàn xét nút cứng

Hình 3 4: Đánh số hiệu phần tử dàn xét nút cứng

Hình 3 5: Rời rạc hóa kết cấu dàn xét nút cứng

Tính toán bằng phần mềm Matlab, ta thấy, tại hệ số δ= 1,5, hệ dàn bị mất ổn định, do đó, tải trọng tới hạn của hệ dàn là 1829,89 kN khi tính toán với hệ số δ 1,4

Khảo sát lực P thay đổi, ta có các giá trị khác nhau của giá trị tần số dao động tự nhiên ϖ 2

Bảng 3 3: Tần số dao động tự nhiên ϖ của dàn xét nút cứng (Đơn vị 1/s)

Bảng 3 4: Tần số dao động f 2ω

= π của dàn xét nút cứng Đơn vị: Hz DẠNG

TẢI TRỌNG BAN ĐẦU Đồ thị 3 1: Đồ thị biểu diễn tần số dao động f

P = 0 kN P = 651,34 kN P = 1305,1163 kN P = 1892,8918 kN Đồ thị 3 2: Đồ thị biểu đồ so sánh tần số dao động của các trường hợp tải trọng P

Bảng 3 5: Chênh lệch tần số dao động f giữa tải trọng P ban đầu và tải trọng tới hạn

DẠNG DAO ĐỘNG Đồ thị 3 3: Đồ thị biểu diễn chênh lệch tần số f dàn xét nút cứng

DẠNG DAO ĐỘNG 1 DẠNG DAO ĐỘNG 2 DẠNG DAO ĐỘNG 3 DẠNG DAO ĐỘNG 4 Đồ thị 3 4: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tần số f và tải trọng P dàn xét nút cứng

Bảng 3 6: Giá trị sai số (%) theo

DẠNG DAO ĐỘNG 4 Đồ thị 3 5: Đồ thị biểu diễn sai số tần số f dàn xét nút cứng

Nhận xét: Qua khảo sát trên ta thấy:

- Tần số khi tính toán cho tải trọng tới hạn gần như không thay đổi đối với các dạng dao động cao, chỉ thay đổi rõ rệt ở những dạng dao động thấp so với tải trọng ban đầu

- Tần số dao động khi kể đến ảnh hưởng của tải trọng nhỏ hơn tần số dao động khi chưa chịu tác dụng của tải trọng

- Độ chênh lệch tần số dao động f càng giảm dần với các dạng dao động cao, độ giảm rõ rệt trong vài mode đầu tiên, điều này cho thấy tải trọng ảnh hưởng đến tần số thấp, ít ảnh hưởng đến dạng dao động bậc cao

- Khi tăng tải trọng, tần số giảm dần, độ chênh lệch tần số dao động so với khi chưa gán tải trọng càng tăng khi tải trọng tăng, đặc biệt tại dạng dao động thứ 1

3.3.3 Khảo sát hệ dàn đơn giản có tải trọng P thay đổi xét trường hợp khớp

Xét hệ dàn như mục 3.3.1, quan niệm các mắt dàn là liên kết khớp

Hình 3 6: Sơ đồ tính dàn xét khớp

Hình 3 7: Đánh số hiệu phần tử dàn xét khớp

Hình 3 8: Rời rạc hóa kết cấu dàn xét khớp

Tính toán hệ dàn với các tải trọng như mục 3.3.1

Khảo sát lực P thay đổi, ta có các giá trị khác nhau của giá trị tần số dao động tự nhiên ω 2

Bảng 3 7: Tần số dao động tự nhiên ϖ của dàn xét khớp Đơn vị: 1/s DẠNG

Bảng 3 8: Tần số dao động f 2ω

= π của dàn xét khớp Đơn vị: Hz DẠNG

TẢI TRỌNG TỚI HẠN TẢI TRỌNG BAN ĐẦU Đồ thị 3 6: Đồ thị biểu diễn tần số dao động f

P = 0 kN P = 651.34 kN P = 1305.1164 kN P = 1829.8918 kN Đồ thị 3 7: Đồ thị biểu diễn biểu đồ so sánh tần số dao động đối với các trường hợp tải trọng P thay đổi

Bảng 3 9: Chênh lệch tần số dao động f giữa tải trọng ban đầu và tải trọng tới hạn Đơn vị: 1/s

DẠNG DAO ĐỘNG Đồ thị 3 8: Đồ thị biểu diễn chênh lệch tần số f của hệ dàn phẳng đối với trường hợp khớp

DẠNG DAO ĐỘNG 1 DẠNG DAO ĐỘNG 2 DẠNG DAO ĐỘNG 3 DẠNG DAO ĐỘNG 4 Đồ thị 3 9: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tần số dao động f và tải trọng P của hệ dàn phẳng trường hợp khớp.

Bảng 3 10: Giá trị sai số (%) theo

DẠNG DAO ĐỘNG 4 Đồ thị 3 10: Đồ thị biểu diễn sai số tần số dao động f của hệ dàn phẳng xét trường hợp khớp

Bảng 3 11: Bảng so sánh tần số dao động f đối với trường hợp khớp và nút cứng Đơn vị: Hz

Khớp Nút cứng Chênh lệch

TRƯỜNG HỢP NÚT CỨNG Đồ thị 3 11: Đồ thị so sánh tần số dao động của trường hợp khớp và nút cứng

- Tần số khi tính toán cho tải trọng tới hạn gần như không thay đổi trong các dạng dao động, cho thấy, khi ở trạng thái chịu lực tới hạn, hệ thanh sẽ ít dao động và dẫn đến mất ổn định

- Tần số dao động khi kể đến ảnh hưởng của tải trọng nhỏ hơn tần số dao động khi chưa chịu tác dụng của tải trọng

- Độ chênh lệch tần số dao động f càng giảm dần với các dạng dao động cao, độ giảm rõ rệt trong vài dao động đầu tiên, điều này cho thấy tải trọng ảnh hưởng đến tần số thấp, ít ảnh hưởng đến dạng dao động bậc cao

- Khi tăng tải trọng, tần số giảm dần, độ chênh lệch tần số dao động so với khi chưa gán tải trọng càng tăng khi tải trọng tăng, đặc biệt tại dạng dao động thứ 1

-Tần số dao động trong trường hợp khớp và nút cứng gần như tương đương nhau ở các dạng dao động cao, chênh lệch rõ rệt ở các dạng dao động thấp

3.3.4 Khảo sát hệ dàn đơn giản có tải trọng P thay đổi xét trường hợp vùng cứng

Xét hệ dàn như mục 3.3.1, quan niệm các mắt dàn là liên kết có kể đến vùng cứng có chiều dài vùng cứng Le thay đổi từ 0 đến 0.15 m

Hình 3 9: Sơ đồ tính dàn xét kích thước vùng cứng

Hình 3 10: Đánh số hiệu phần tử dàn xét kích thước vùng cứng

Hình 3 11: Rời rạc hóa kết cấu dàn xét kích thước vùng cứng.

Bảng 3 12: Tần số dao động tự nhiên ϖ đối với trường hợp tải trọng P ban đầu Đơn vị: 1/s

Bảng 3 13: Tần số dao động tự nhiên ϖ đối với trường hợp tải trọng P tới hạn Đơn vị: 1/s

Bảng 3 14: Tần số dao động tự nhiên ϖ của tải trọng P ở Delta = 1,4 Đơn vị: 1/s

Bảng 3 15: Giá trị tần số dao động f 2ω

= π của tải trọng ban đầu Đơn vị: Hz

= π của tải trọng tới hạn Đơn vị: Hz DẠN

= π của tải trọng ở Delta = 1,4 Đơn vị: Hz

Le = 0 m Le = 0.03 m Le = 0.06 m Le = 0.09 m Le = 0.12 m Le = 0.15 m Đồ thị 3 12: Đồ thị biểu diễn tần số dao động kết cấu dàn xét kích thước vùng cứng ở tải tới hạn

Le = 0 m Le = 0.03 m Le = 0.06 m Le = 0.09 m Le = 0.12 m Le = 0.15 m Đồ thị 3 13: Đồ thị biểu diễn tần số dao động kết cấu dàn xét kích thước vùng cứng ở tải có Delta = 1,4.

Bảng 3 18: Chênh lệch tần số dao động f giữa tải trọng P ban đầu và tải trọng tới hạn Đơn vị: Hz DẠNG

Le = 0 m Le = 0.03 m Le = 0.06 m Le = 0.09 m Le = 0.12 m Le = 0.15 m Đồ thị 3 14: Đồ thị biểu diễn chênh lệch tần số f giữa tải ban đầu và tải tới hạn

KÍCH THƯỚC VÙNG CỨNG Le (m) Đồ thị 3 15: Đồ thị biểu diễn độ ổn định của kết cấu dàn xét kích thước vùng cứng

- Khi tăng kích thước vùng cứng, độ ổn định của kết cấu cũng tăng Cho thấy, khả năng chịu tải trọng của kết cấu càng lớn, kết cấu ít chịu ảnh hưởng của biến dạng uốn phi tuyến hình học

- Khi tính toán trường hợp kích thước vùng cứng thay đổi, tần số khi tính toán và độ lệch của tần số trường hợp tải trọng tới hạn so với tải trọng ban đầu thay đổi nhanh ở vài kích thước đầu, sau đó gần như không thay đổi trong các kích thước còn lại Cho thấy, kết cấu có kích thước vùng cứng càng lớn thì càng ít dao động.

Tính toán khảo sát chuyển vị của dàn

Bảng giá trị chuyển vị của hệ dàn khi chịu tải trọng 1829,89 kN (đơn vị là mm).

Bảng 3 19: Giá trị chuyển vị của dàn khi chịu tải trọng ở Delta = 1,4 Đơn vị: mm

Nút 2 Nút 3 Nút 5 Nút 6 Nút 7 Nút 8 Đồ thị 3 16: Đồ thị biểu diễn giá trị chuyển vị đứng của nút dàn ở tải trọng trong trường hợp Delta = 1,4

- Khi tăng kích thước vùng cứng, chuyển vị đứng của nút kết cấu giảm

- Chuyển vị đứng tại vị trí đặt lực trong trường hợp xét kích thước vùng cứng nhỏ hơn trường hợp các nút là khớp

CHUYEN VI DAN PHANG TRUONG HOP KHOP

CHUYEN VI DAN PHANG TRUONG HOP KICH THUOC VUNG CUNG

Tính toán khảo sát lực dọc trong thanh

Bảng giá trị nội lực của hệ dàn khi chịu tải trọng 1829,89 kN (đơn vị là kN).

Bảng 3 20: Giá trị lực dọc của dàn khi chịu tải trọng ở Delta = 1,4 Đơn vị: kN

THANH 12 Đồ thị 3 17: Đồ thị biểu diễn lực dọc của dàn xét kích thước vùng cứng

THANH 5 Đồ thị 3 18: Đồ thị biểu diễn lực dọc của thanh số 5 xét kích thước vùng cứng

LUC DOC DAN PHANG TRUONG HOP KHOP TRUONG HOP KHOP

LUC DOC DAN PHANG TRUONG HOP VUNG CUNG

Bảng giá trị sai số lực dọc trong các thanh trường hợp xét kích thước vùng cứng so với trường hợp khớp vc khop 100 (%) khop

Bảng 3 21: Giá trị sai số (%) lực dọc của thanh xét kích thước vùng cứng so với dàn xét khớp

THANH 12 Đồ thị 3 19: Đồ thị biểu diễn sai số (%) lực dọc của thanh xét kích thước vùng cứng so với dàn xét khớp

- Lực dọc trong kết cấu với trường hợp khớp và trường xét kích thước vùng cứng là gần như không đổi và tăng dần khi tăng kích thước vùng cứng

- Lực dọc trong thanh số 5 trong trường hợp xét kích thước vùng cứng lớn hơn trường hợp các nút là khớp.

Kết quả tính toán bẳng Sap2000

Sử dụng Sap2000 để tính toán, ta có:

Bảng 3 22: Giá trị chuyển vị thẳng đứng của nút dàn (đơn vị: mm)

Nút 2 Nút 3 Nút 5 Nút 6 Nút 7 Nút 8

Bảng 3 23: Giá trị lực dọc của thanh số 5 (Đơn vị: kN)

Sap2000 Matlab Đồ thị 3 20: Đồ thị biểu diễn lực dọc trong 2 trường hợp

Bảng 3 24: Giá trị chuyển vị tại nút 6, 7 Đơn vị: mm

Sap2000 Matlab Chênh lệch Sap2000 Matlab Chênh lệch

Nút 6 - Sap2000 Nút 6 - Matlab Nút 7 - Sap2000 Nút 7 - Matlab Đồ thị 3 21: Đồ thị biểu diễn chuyển vị đứng tại nút 6 và nút 7

Nhận xét: Từ các bảng biểu và đồ thi khảo sát trên, ta thấy rằng: Giá trị chuyển vị thẳng ở các nút dàn, lực dọc thanh 5 và chuyển vị tại nút 6 - nút 7 được tính toán bằng phần mềm Matlab và phần mềm Sap2000 chênh lệch không nhiều, điều đó cho thấy rằng, các kết quả này tương đương nhau.

Tính toán khảo sát dạng dao động của dàn

Tính toán cho 3 dạng dao động đầu tiên của dàn (đồ thị dạng dao động của trường hợp khớp và xét kích thước vùng cứng)

Bảng 3 25: Giá trị đặc trưng ở dạng dao động 1

KÍCH THƯỚC VÙNG CỨNG Le (m) DẠNG DAO ĐỘNG THỨ 1 TẠI P = 1829,89 KN

Nút 1 Nút 2 Nút 3 Nút 4 Nút 5 Nút 8 Nút 6 Nút 7 Nút 8 Đồ thị 3 22: Đồ thị biểu diễn giá trị đặc trưng ở dạng dao động 1

Nút 8 Đồ thị 3 23: Đồ thị biểu diễn giá trị đặc trưng ở dạng dao động 2

Nút 8 Đồ thị 3 24: Đồ thị biểu diễn giá trị đặc trưng ở dạng dao động 3.

TRUONG HOP KHOP (Hz) THU 1, f = 353.8263

XET KICH THUOC VUNG CUNG (Hz)

Nhận xét: Qua khảo sát trên, ta thấy:

- Dạng dao động giảm dần khi tăng kích thước của vùng cứng, điều này cho thấy, kết cấu càng giảm dao động khi kích thước vùng cứng càng lớn.