Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích dao động dầm Euler-Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc ba chịu tải di động

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Tìm hiểu bài toán động lực học của dầm trên nền và xây dựng mô hình bài toán dầm trên nền đàn nhớt phi tuyến chịu tải di động - Thiết lập phương trình chuyển độn

GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

ĐẶT VẤN ĐỀ

Bài toán phân tích ứng xử động lực học của dầm trên nền đàn hồi chịu tải trọng chuyển động đã và đang thu hút đƣợc nhiều sự quan tâm nghiên cứu trong lĩnh vực kỹ thuật kết cấu Bài toán này mô tả cho nhiều kết cấu trong thực tế nhƣ kết cấu cầu, đường, mặt đường sân bay, ống dẫn chất lỏng theo phương ngang…

Mô hình nghiên cứu được sử dụng trong một số kết cấu trên để phân tích ứng xử là dầm trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động Trong đó, vận tốc tải trọng có thể là hằng số hoặc biến thiên theo thời gian Bài toán ứng xử động của dầm trên nền chịu tải di động đã nhận được sự quan tâm của nhiều nghiên cứu và thu được những thành tựu quan trọng.

Một trong những mô hình đơn giản đƣợc đƣa ra sớm nhất là mô hình nền đàn hồi Winkler Trong mô hình này, đất nền đƣợc xem là tập hợp của những vùng không gian gần nhau, tồn tại độc lập với nhau, mỗi vùng là một lò xo đàn hồi có quan hệ giữa nội lực và chuyển vị của lò xo là quan hệ tuyến tính Tuy nhiên ứng dụng của mô hình này chỉ được áp dụng hạn chế đối với môi trường đất rời do không xét đến sự liên tục, sự liên kết với nhau của đất nền Để khắc phục nhƣợc điểm của mô hình nền Winkler, một mô hình khác với sự bổ sung thông số thứ hai đƣợc đƣa ra bởi Filonenko-Borodich, Pasternak (còn gọi là mô hình Hetenyi) để kể đến sự tương tác giữa các lò xo tuyến tính Sự ra đời của thông số thứ hai này đưa ra mô hình gần giống thực tế hơn mô hình Winkler song vẫn chƣa đủ phức tạp để phản ánh ứng xử thật của nền đàn hồi liên tục Từ yêu cầu của thực tiễn đã dẫn đến sự phát triển của mô hình phức tạp hơn bao gồm nhiều thông số độc lập để mô tả ứng xử của đất nền bởi quan hệ giữa lực và chuyển vị của đất nền có thể là phi tuyến do tính chất hóa rắn của đất nền Từ đây một số mô hình phi tuyến đƣợc đề cập để mô tả ứng xử của nền và kết cấu bên trên chịu tải trọng động

Trong các mô hình phi tuyến thì mô hình của Dahlberg [9] có xét thông số thứ ba kết hợp với phi tuyến bậc 3 của độ võng qua khá nhiều thí nghiệm đƣợc sử dụng tương đối nhiều trong bài toán kết cấu chịu tải trọng động có xét đến sự tương tác giữa nền và kết cấu bên trên Luận văn áp dụng mô hình nền phi tuyến bậc 3 này để mô tả nền trong bài toán phân tích động lực học của dầm trên nền chịu tải di động

Hinh 1.1 Dầm chịu tải trọng di động trong thực tế

Hinh 1.1(tt) Dầm chịu tải trọng di động trong thực tế

1.2 MỤC TIÊU CỦA LUẬN VĂN

Mục tiêu của Luận văn là phân tích ứng xử động lực học của dầm trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 chịu tải di động Mô hình bài toán gồm có dầm một nhịp dựa trên lý thuyết Euler-Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 với 3 thông số độc lập và tải trọng là lực di động với vận tốc không đổi qua dầm Phương trình chuyển động của cả hệ đƣợc thiết lập dựa trên sự cân bằng động Sau khi rời rạc hóa biến không gian bằng phương pháp Galerkin kết hợp với phép cầu phương tích phân thu được một hệ phương trình vi phân phi tuyến bậc 3 của tọa độ suy rộng Hệ phương trình này được giải bằng phương pháp số Newmark trên toàn miền thời gian; từ đó ứng xử động lực học của dầm được tìm Một số thông số ảnh hưởng như thông số nền, vật liệu dầm, đặc trƣng dầm và tải trọng đến ứng xử động của dầm cũng đƣợc khảo sát Để thực hiện được mục tiêu này, một chương trình máy tính được viết để phân tích ứng xử động

Hình 1.2 Mô hình dầm Euler-Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 1.3 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn bao gồm năm chương sơ lược như sau Chương 1 giới thiệu về đề tài, về mục tiêu và cấu trúc của luận văn Chương 2 trình bày về tổng quan tình hình nghiên cứu liên quan gồm có giới thiệu một số nghiên cứu trong và ngoài nước và các mô hình nền được đề xuất qua từng giai đoạn Chương 3 nêu cơ sở lý thuyết của bài toán trong luận văn này gồm có: xây dựng mô hình, lập phương trình, lý thuyết của phương pháp Galerkin, phép cầu phương tích phân và phương pháp số Newmark làm cơ sở để giải quyết bài toán tìm ứng xử động lực học của dầm Euler- Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 chịu tải di động, thuật toán và sơ đồ khối của chương trình MATLAB cũng được trình bày trong chương này Chương 4 trình bày các ví dụ số và đánh giá kết quả Chương 5 rút ra các kết luận từ kết quả thu được của đề tài và đưa ra hướng phát triển trong tương lai Phần cuối cùng là tài liệu tham khảo và phụ lục là mã nguồn chương trình MATLAB.

CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn bao gồm năm chương sơ lược như sau Chương 1 giới thiệu về đề tài, về mục tiêu và cấu trúc của luận văn Chương 2 trình bày về tổng quan tình hình nghiên cứu liên quan gồm có giới thiệu một số nghiên cứu trong và ngoài nước và các mô hình nền được đề xuất qua từng giai đoạn Chương 3 nêu cơ sở lý thuyết của bài toán trong luận văn này gồm có: xây dựng mô hình, lập phương trình, lý thuyết của phương pháp Galerkin, phép cầu phương tích phân và phương pháp số Newmark làm cơ sở để giải quyết bài toán tìm ứng xử động lực học của dầm Euler- Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 chịu tải di động, thuật toán và sơ đồ khối của chương trình MATLAB cũng được trình bày trong chương này Chương 4 trình bày các ví dụ số và đánh giá kết quả Chương 5 rút ra các kết luận từ kết quả thu được của đề tài và đưa ra hướng phát triển trong tương lai Phần cuối cùng là tài liệu tham khảo và phụ lục là mã nguồn chương trình MATLAB.

TỔNG QUAN

GIỚI THIỆU

Bài toán phân tích dao động của dầm không nền chịu tải di động là bài toán quan trọng bởi việc giải quyết tốt bài toán này sẽ làm cơ sở cho việc phân tích ứng xử của các kết cấu công trình thực tế từ đó có tiêu chuẩn thiết kế cho phù hợp Lớp bài toán này đã có nhiều nghiên cứu trong thời gian gần đây và thu đƣợc nhiều kết quả đáng lưu ý Bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn khi kết cấu nằm trền nền đàn hồi

Mô hình tính toán của dầm hay tấm trên nền đàn hồi thường được sử dụng để mô tả nhiều bài toán cơ học trong thực tế và đƣợc ứng dụng rộng rãi trong địa kỹ thuật, đường, ray xe lửa, cơ học hàng hải và sinh học Với sự gia tăng của việc lưu thông xe cộ thì sự hư hại của các kết cấu đường lại càng đáng được quan tâm hơn bao giờ hết, nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng một trong những nguyên nhân gây phá hoại kết cấu đường quan trọng nhất là tải trọng xe cộ Hệ tương tác xe và mặt đường có thể đƣợc mô hình hóa là dầm nằm trên nền chịu tải trọng di động Do vậy, nghiên cứu về ứng xử động lực học của kết cấu dưới tải trọng di động thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trên toàn thế giới

Mô hình nền Winkler đàn hồi tuyến tính là mô hình tiêu biểu đại diện cho nền đàn hồi đƣợc đƣa ra đầu tiên do sự đơn giản về mặt toán học Trong mô hình này, nền đƣợc xem là hệ các lò xo tồn tại độc lập tuyến tính với nhau với giả thiết rằng độ võng tại bất kì điểm nào trên bề mặt nền đều tỉ lệ thuận với ứng suất tại điểm đó Tuy nhiên, mô hình này không thể mô tả tính chất liên tục của đất nền trong thực tế bởi sự tương tác của các lò xo không được kể đến trong mô hình Để tìm mô hình nền phù hợp với thực tế của đất nền cả về mặt vật lý cũng nhƣ đảm bảo sự đơn giản về toán thì nhiều nhà nghiên cứu đã đề xuất các mô hình nền hai thông số [11, 14] để kể đến sự tương tác giữa các lò xo Với sự phát triển của các nghiên cứu trong lĩnh vực ứng xử động lực học của dầm nằm trên nền tuyến tính thì các nhà nghiên cứu bắt đầu hướng sự chú ý đến bài toán dầm nằm trên nền phi tuyến mặc dù có rất nhiều sự phức tạp, khó khăn cần phải giải quyết trong bài toán phi tuyến

Chương này trình bày về các mô hình ứng xử của đất nền từ đơn giản đến phức tạp cũng như sơ lược tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về vấn đề dầm không nền và dầm trên nền đàn hồi từ đó lựa chọn mô hình đất nền phù hợp với thực tế để làm đề tài luận văn.

MỘT SỐ MÔ HÌNH NỀN ĐÀN HỒI

Mô hình nền đàn hồi tuyến tính do Winkler đề xuất dựa trên giả định rằng chuyển vị theo phương thẳng đứng tại một điểm trên nền đàn hồi tỉ lệ thuận với áp suất tại điểm đó, không phụ thuộc vào áp suất tại các điểm lân cận.

Hình 2.1 Mô hình kết cấu trên nền đàn hồi tuyến tính

( Trích dẫn từ [27] ) Nền đàn hồi tuyến tính được lý tưởng hóa xem môi trường đất nền là một hệ thống đồng nhất nhƣng độc lập tuyến tính bao gồm các vùng không gian gần kề nhau, rời rạc là các lò xo độc lập tuyến tính Dựa trên sự lý tưởng hóa này thì độ võng của vùng đất nền theo tải trọng chỉ phụ thuộc vào tải trọng nằm trong vùng đất nền này mà không phụ thuộc vào tải trọng nằm trong vùng đất nền khác Mối quan hệ giữa độ võng và áp lực tại một điểm bất kỳ đƣợc tính bởi công thức sau p=kw (2.1) trong đó p, k, w lần lƣợt là lực trong lò xo, độ cứng lò xo và chuyển vị nền Hình

2.1 thể hiện mô hình kết cấu trên nền Winkler tuyến tính

Nền Winkler giả sử rằng mô hình nền là tập hợp vùng không gian gần kề nhau là các lò xo tồn tại độc lập tuyến tính nên khi một vùng đất nền chịu tải trọng bề mặt riêng biệt phân bố đều q thì lò xo trong vùng đất nền này sẽ không bị ảnh hưởng bởi tải trọng của các vùng đất nền lân cận như trên hình 2.2 dưới đây

Hình 2.2 Vùng đất nền chịu ảnh hưởng của tải trọng phân bố đều

( Trích dẫn từ [27] ) Trong thực tế, một nền có biến dạng bề mặt nhƣ trên hình 2.3 Do đó bằng việc so sánh ứng xử của mô hình nền lý thuyết và mô hình nền thực tế có thể nhận thấy rất rõ rằng nền Winkler lý thuyết thiếu sự liên tục về độ võng trong môi trường đất nền, các điểm nằm trong vùng chịu tải trọng có độ võng nhƣ nhau trong khi thực tế thì độ võng các điểm này là khác nhau và có giá trị liên tục

Hình 2.3 Ứng xử nền Winkler (a) Theo lý thuyết (b) Trong thực tế

( Trích dẫn từ [27] ) Nếu nền chịu tải phân bố phân bố cục bộ q, lò xo sẽ không bị tác động bởi ngoại lực vƣợt quá vùng chịu tải trọng nhƣ hình 2.4

Hình 2.4 Vùng đất nền chịu ảnh hưởng của tải trọng phân bố cục bộ

( Trích dẫn từ [27] ) Năng lƣợng biến dạng của nền đàn hồi là

U f  kbw dx (2.2) trong đó b và l là chiều rộng và chiều dài vùng biến dạng còn w là chuyển vị theo phương thẳng đứng Từ trên có thể rút ra kết luận về giới hạn của mô hình nền Winkler nhƣ sau

- Các nghiên cứu trong lĩnh vực cơ học đất đã đƣợc tiến hành dựa trên giả thiết đƣợc đơn giản hóa của Winkler Vấn đề cơ bản ở đây là xác định độ cứng lò xo đại diện cho nền đàn hồi để thay thế cho vùng đất nền bên dưới Để tìm được giá trị của độ cứng lò xo này là khá khó khăn vì giá trị k không chỉ phụ thuộc vào đặc tính tự nhiên của đất nền mà nó còn phụ thuộc vào kích thước của vùng đất nền chịu tải trọng

Độ cứng nền k là thông số cốt yếu trong mô hình nền Winkler được sử dụng để mô phỏng hành vi của nền thực tế Do đó, việc xác định chính xác giá trị của k đóng vai trò quan trọng trong việc đảm bảo tính phù hợp giữa mô hình và ứng xử thực tế của nền.

2.2.2 Mô hình nền hai thông số

Mô hình nền đàn hồi hai thông số tái lập sự liên tục của nền đàn hồi bằng việc đƣa ra thêm thông số thứ hai Một số mô hình nền hai thông số tiêu biểu nhƣ: mô hình Filonenko-Borodich, mô hình Hetenyi, mô hình Pasternak, mô hình Reissner, mô hình Vlasov-Leontiev Mô hình nền hai thông số thể hiện tính liên tục của môi trường đất nền bằng việc thêm tính tương tác giữa các lò xo với nhau

Biểu thức tổng quát cho năng lƣợng biến dạng trong mô hình nền hai thông số nhƣ sau

U kbw dx Gb dw dx

  dx (2.3) tích phân thứ hai trong (2.3) bao gồm thông số thứ hai là Gđại diện cho độ cứng của lò xo xoay tổng quát

Nhìn chung, các mô hình nền hai thông số có thể cải thiện kết quả gần với thực tế hơn so với mô hình nền đàn hồi tuyến tính tuy nhiên việc xác định chính xác thông số thứ hai này là khá khó khăn do vậy mô hình nền hai thông số cũng có ít nghiên cứu sử dụng mô hình này Dưới đây là một vài mô hình nền hai thông số tiêu biểu a Mô hình nền Filonenko-Borodich

Hình 2.5 Dầm trên nền Filonenko-Borodich

( Trích dẫn từ [27] ) Mô hình này tạo nên sự liên tục giữa các phần tử lò xo trong mô hình nền Winkler bằng việc kết nối chúng với nhau bằng một tấm mỏng dưới tác dụng của lực kéo T là hằng số nhƣ trên hình 2.6 Chính sự thay đổi này đã cải thiện thiếu sót trong mô hình nền Winkler một thông số giúp các lò xo không còn làm việc độc lập mà đã có thể tương tác với nhau

Hình 2.7 Biến dạng của nền Filonenko-Borodich khi chịu tải

( Trích dẫn từ [27] ) b Mô hình nền Hetenyi

Mô hình Hetenyi đƣợc xem là sự thống nhất giữa nền Winkler và tính đồng nhất đẳng hướng Trong mô hình này thì sự kết hợp chặt chẽ của các lò xo được tạo ra bằng việc sử dụng dầm hay tấm đàn hồi liên kết các lò xo này lại, dầm hay tấm này chịu biến dạng uốn

Hình 2.8 Mô hình nền Hetenyi

( Trích dẫn từ [27] ) Mối quan hệ giữa áp lực và biến dạng đƣợc thể hiện nhƣ sau pkw D 4 w (2.4)

 (2.6) trong đó, D là mô men kháng uốn của dầm, plà áp lực bề mặt tấm, h p là chiều dày của tấm, E là mô đun đàn hồi Young và  p là hệ số Poisson c Mô hình nền Pasternak 2 thông số

Theo mô hình Pasternak, tương tác cắt ngang giữa các lò xo được thiết lập bằng cách kết nối các đầu lò xo bằng một dầm hoặc tấm chịu biến dạng cắt Mối quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị thu được bằng cách xét cân bằng góc của tấm chịu cắt.

Hình 2.9 Mô hình nền Pasternak 2 thông số

Mô hình nền Kerr dựa trên mô hình nền Winkler, bổ sung thêm lớp kháng cắt Lớp kháng cắt này được kẹp giữa hai hệ lò xo có độ cứng khác nhau Hệ lò xo trên lớp kháng cắt có độ cứng lớn hơn hệ lò xo dưới, phản ánh thực tế độ cứng của nền đất thường giảm dần theo chiều sâu.

Hình 2.10 Mô hình nền Kerr

( Trích dẫn từ [27] ) Biểu thức vi phân chủ đạo của mô hình này nhƣ sau:

      (2.7) trong đó, k 1 là hằng số độ cứng lò xo của lớp 1, k 2 là hằng số độ cứng lò xo của lớp 2, w là chuyển vị của lớp thứ nhất

2.2.3 Mô hình nền ba thông số

TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU NGOÀI NƯỚC

Bài toán dao động dầm không nền có các nghiên cứu nổi bật sau đây

Năm 1997, phương pháp phân tích mô hình được đưa ra bởi RT.Wang [31] để xác định ứng xử động lực học dầm Timoshenko liên tục nhiều nhịp Trong bài báo này tác giả đã chỉ ra tác động của số nhịp dầm, mô men quán tính, và biến dạng cắt lên giá trị mô men lớn nhất của dầm, độ võng lớn nhất của dầm cũng đƣợc tìm ra Các kết quả này đƣợc so sánh với mô hình dầm Euler-Bernoulli để so sánh sự giống và khác khi sử dụng hai mô hình dầm kể trên

Năm 2000, M Abul [1] đề xuất cách tiếp cận mới cho việc giải quyết bài toán dao động dầm Chuyển vị của dầm đƣợc phân tích thành tổng của chuỗi Fourier và chuỗi đa thức bổ trợ để khắc phục sự gián đoạn trong hàm chuyển vị và giá trị đạo hàm liên quan Ứng xử của dầm có thể đạt đƣợc một cách hệ thống thông qua lời giải bài toán trị riêng của ma trận chuẩn thay vì cách thức truyền thống là sử dụng hàm hyperbol phi tuyến Qua bài báo, tần số tự nhiên và mode dao động của dầm đƣợc xác định chính xác với các điều kiện biên khác nhau từ đó làm cở sở quan trọng cho việc mở rộng sang bài toán tấm

Nghiên cứu năm 2002 của GT.Michaltsos về tác động của gia tốc đến ứng xử dầm cho thấy sự thay đổi vận tốc ảnh hưởng đáng kể đến độ võng Phát hiện này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc xem xét vận tốc khi thiết kế các kết cấu thực tế.

Năm 2008, P.Sniady [25] phân tích dao động của dầm Timoshenko hữu hạn hai đầu tựa đơn chịu tải trọng di dộng Lời giải cổ điển cho chuyển vị đứng của dầm và góc xoay của mặt cắt ngang được phân tích dưới dạng tổng của hai chuỗi vô hạn

Trong nghiên cứu này tác giả đã đƣa ra dạng chính xác của chuỗi đại diện cho dao động phi chu kỳ của dầm qua đó khẳng định vai trò quan trọng của chuỗi khi tìm mô men uốn và lực cắt trong dầm

Dầm trên các loại đất nền khác nhau đã đƣợc nghiên cứu chuyên sâu từ khi Winkler đƣa ra mô hình mang tên ông vào năm 1867, sau đây là quá trình phát triển cùng với những nghiên cứu nổi bật đã đƣợc công bố

Năm 1867, E.Winkler [30] đƣa ra mô hình đất nền tuyến tính, tuy mô hình này khá đơn giản xong vẫn chứa đựng nhiều giá trị lý thuyết cũng nhƣ giá trị thực tiễn đƣợc sử dụng rộng rãi trong các nghiên cứu

Vào năm 2010, S.P.Yang, S.H.Li, Y.J.Lu [34] nghiên cứu tương tác động lực học giữa xe trọng tải nặng và nền đường, mô hình đưa ra là xe với bảy bậc tự do di động trên tấm mỏng chữ nhật tựa đơn trên nền đàn hồi tuyến tính xét đến hệ số cản, bằng phương pháp Galerkin và tích phân trực tiếp, qua các kết quả số đạt được tác giả kết luận rằng việc xem xét ứng xử động lực học của xe và nền đồng thời là cần thiết dựa trên hệ liên kết nền và xe

Năm 2004, T.X.Wu, D.J.Thompson [29] chỉ ra mô hình nền tuyến tính thì không phù hợp cho tác động nền-bánh xe bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Năm 2009, D.Younesian, M.H.Kargarnovin [33] nghiên cứu ứng xử của dầm vô hạn trên nền Pasternark đàn hồi tuyến tính xét đến hệ số cản chịu tải trọng di động điều hòa, bằng việc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn bậc một và xấp xỉ hàm Green ứng xử động lực học của hai mô hình dầm Euler-Bernoulli và Timoshenko đƣợc xác định Qua nghiên cứu cho thấy biên độ độ võng lớn nhất của dầm Timoshenko thì lớn hơn so với dầm Euler-Bernoulli trong khi biên độ mô men lớn nhất của dầm Timoshenko lại nhỏ hơn dầm Euler-Bernoulli, từ đó đƣa ra lựa chọn mô hình dầm phù hợp trong việc thiết kế dầm và nền

Năm 1986, V.Birman [4] dựa trên lý thuyết về nền đàn hồi phi tuyến bậc 3, đã xem xét sự dao động tự do phi tuyến của dầm có hai đầu khớp có xét đến ảnh hưởng lực dọc trong dầm

Năm 1999, I.Coskin, H.Engin [7] xem xét dao động phi tuyến của dầm trên nền đàn hồi phi tuyến bậc 3 chịu tải di động, lý thuyết nhiễu loạn đƣợc tác giả sử dụng để giải biểu thức chủ đạo phi tuyến của bài toán, từ đó bài toán phi tuyến trở thành hệ biểu thức vi phân riêng phần tuyến tính Qua các kết quả số thu đƣợc tác giả rút ra kết luận rằng chiều dài đoạn tiếp xúc giữa dầm và nền biến thiên theo biên độ của tải trọng bởi tính phi tuyến của đất nền và chuyển vị thẳng đứng của dầm thay đổi tỉ lệ với căn bậc hai của tải trọng trong trường hợp nền phi tuyến

Năm 2009, P.Malekzadeh, A.R.Vosoughi [18] nghiên cứu dao động tự do biên độ lớn của dầm mỏng composite trên nền đàn hồi phi tuyến bậc 3 với hai đầu liên kết chống xoay bằng phương pháp cầu phương vi phân, các kết quả thu được so sánh với kết quả nghiên cứu trước đó khẳng định sự hiệu quả và tiện lợi của phép cầu phương vi phân trong việc giải quyết bài toán phi tuyến

Năm 2002, T.Dahlberg [9] thông qua việc thí nghiệm đã chỉ ra rằng sự khác biệt về kết quả giữa mô hình tuyến tính và mô hình phi tuyến của đất nền đỡ đường ray là khá lớn và không thể bỏ qua

Năm 2010, M.Ansari, E.Esmailzadeh, D.Younesian [3] phân tích dao động của dầm trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 chịu tải di động có xét đến hệ số cản, sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để thu đƣợc các kết quả số sau khi rời rạc hóa biểu thức vi phân riêng phần phi tuyến bằng phương pháp Galerkin, nghiên cứu cho thấy ứng xử động lực học của dầm khá nhạy với hệ số nền phi tuyến hơn là hệ số cản hay vận tốc lực di động

Năm 2010, A.D.Senalp, A.Arikoglu, I.zkol,V.Z.Dogan [22] phân tích ứng xử của dầm Euler-Bernoulli trên nền đàn nhớt tuyến tính và phi tuyến bậc 3 chịu lực di động, phương pháp Galerkin được sử dụng để giải phương trình vi phân chủ đạo của bài toán, ở mô hình nền phi tuyến kết quả số đƣợc so sánh với các nghiên cứu trước sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và cho kết quả tương đồng Với mô hình nền phi tuyến các tác giả đã khảo sát sự tác động của thông số nền phi tuyến lên chuyển vị của dầm trong khi hệ số cản và vận tốc lực di động thay đổi và qua đó kết luận ở mô hình nền phi tuyến thì ứng xử động lực học của dầm luôn lớn hơn mô hình nền tuyến tính

TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG NƯỚC

Vấn đề “Dao động của dầm trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 ” chƣa có nghiên cứu trong nước đề cập đến Tuy nhiên có một vài nghiên cứu trong chương trình cao học đại học Bách khoa Tp.HCM sau đây đƣa ra các khái niệm liên quan

Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thế Trường Phong (2012) với đề tài "Phân tích dao động dầm phân lớp chức năng trên nền Winkler chịu tải trọng di động điều hòa" tập trung nghiên cứu dao động của dầm phân lớp chức năng khi chịu tác động của tải trọng di động điều hòa Nghiên cứu này sử dụng nền Winkler để mô hình hóa nền đất bên dưới dầm, giúp mô tả chính xác hơn tương tác giữa dầm và đất Luận văn này có ý nghĩa trong việc đánh giá độ bền và tuổi thọ của dầm phân lớp chức năng trong các công trình xây dựng dân dụng và công nghiệp.

Nguyễn Phương Lan [20]–Mô hình hỗn hợp cho dầm Timoshenko trên nền đàn hồi– Luận văn Thạc sĩ ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp Đại học Bách Khoa Tp.HCM năm 2010

Nguyễn Đăng Phong [21]- Phân tích dầm đơn giản chịu tải trọng điều hòa di động xét đến khối lƣợng vật di chuyển theo lý thuyết biến dạng trƣợt bậc cao– Luận văn Thạc sĩ ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp Đại học Bách Khoa Tp.HCM năm 2009

Trần Văn Sách [26]- Phân tích ổn định của tấm mỏng có chiều dày thay đổi trên nền đàn hồi– Luận văn Thạc sĩ ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp Đại học Bách Khoa Tp.HCM năm 2010.

KẾT LUẬN

Chương này trình bày tổng quan về các mô hình nền được đề xuất từ đơn giản đến phức tạp Mô hình nền tuyến tính đƣợc đƣa ra để giảm bớt sự phức tạp trong tính toán tuy nhiên ngày nay cũng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật đặc biệt là khoa học máy tính thì sự đơn giản hóa mô hình tính toán là không còn cần thiết mà đòi hỏi mô hình đủ độ phức tạp để phản ánh ứng xử thật của đất nền trong thực tế từ đó dẫn đến sự ra đời của mô hình nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 theo độ võng Sự hợp lý của mô hình nền phi tuyến đã đƣợc các nhà khoa học hàng đầu thế giới đề xuất, kiểm nghiệm và mô hình này cũng là cơ sở nghiên cứu đề tài luận văn tốt nghiệp.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

GIỚI THIỆU

Mô hình tính toán hệ dầm-nền-tải trọng di động được trình bày dựa trên mô hình dầm Euler-Bernoulli, nền phi tuyến bậc 3 theo chuyển vị với thông số nền khác nhau Phương trình vi phân chuyển động của hệ được thiết lập bằng phương pháp cân bằng động, được giải bằng phương pháp số Galerkin và Newmark Thuật toán giải quyết được trình bày chi tiết, tạo cơ sở cho việc xây dựng chương trình MATLAB để phân tích động lực học của dầm.

MÔ HÌNH KẾT CẤU

Hình 3.1 Mô hình dầm trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 chịu tải trọng di động

Mô hình của hệ kết cấu gồm có dầm một nhịp với các điều kiện biên hai đầu dầm khác nhau trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 chịu tải trọng di động nhƣ trên hình vẽ 3.1 Các đặc trƣng chi tiết của hệ đƣợc mô tả nhƣ sau

Để đơn giản hóa công thức và giải quyết bài toán, luận văn sử dụng mô hình dầm Euler-Bernoulli giả định rằng mặt cắt ngang vuông góc với trục dầm vẫn vuông góc sau khi biến dạng Mô hình nền đất sử dụng là nền đàn nhớt phi tuyến 3 thông số bậc 3 theo độ võng, mô phỏng ảnh hưởng của tính phi tuyến đất nền lên hành vi động lực học của dầm.

3.2.1 Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli Ở phần này lý thuyết dầm Euler-Bernoulli sẽ đƣợc trình bày từ đó làm cơ sở cho việc thiết lập phương trình vi phân chủ đạo cho bài toán dầm Euler-Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 chịu tải di động Nội dung cơ bản của lý thuyết dầm Euler-Bernoulli là giả thiết một mặt cắt ngang bất kì vuông góc với trục dầm vẫn vuông góc với trục dầm sau khi biến dạng, giả thiết này bỏ qua biến dạng cắt Đối với dầm có tỉ lệ chiều dài và chiều cao dầm đủ lớn thì giả thiết trên có thể chấp nhận đƣợc và biến dạng cắt không đáng kể nên có thể bỏ qua Xét đoạn dầm Euler- Bernouli sau khi chịu lực tác dụng có biến dạng nhƣ hình vẽ 3.2

Gọi w(X) là chuyển vị theo phương thẳng đứng của trục trung hòa Vì mặt phẳng AB vẫn vuông góc với CD sau khi biến dạng nên biến dạng theo phương ngang u X đƣợc tính theo biểu thức sau

Gọi  X X là biến dạng theo trục X và  X X ,  YY ,  Z Z lần lƣợt là các ứng suất theo trục

X, Y và Z thì biến dạng theo trục X đƣợc xác định bởi biểu thức

Vì  YY  Z Z 0 nên biến dạng theo trục X đƣợc tính bởi biểu thức sau

Giá trị mô men M tại mặt cắt ngang là

Mặt khác mối quan hệ giữa mô men M, lực cắt V(X) và lực q Z (X) tác dụng trên một đơn vị chiều dài dầm nhƣ sau dM (X) dX V và dV Z (X) dX q (3.6)

Kết hợp với (3.6) với (3.5) đƣợc

Trường hợp là bài toán động thì vế trái của (3.7) có thêm lực quán tính như sau

3.2.2 Mô hình nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3

Mô hình nền sử dụng trong luận văn là nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 theo chuyển vị của nền cho bởi biểu thức dưới đây

    (3.9) trong đó, P là lực sinh ra bởi đất nền trên một đơn vị chiều dài dầm (N/m) và các thông số k 1 là thông số nền tuyến tính (N/m 2 ) và k 3 là thông số nền phi tuyến tính

(N/m 4 ) và  là hệ số cản (Ns/m 2 ), T là thời gian (s) và giá trị Y

 là đạo hàm theo biến thời gian của Y trong đó Y là độ võng của dầm (m)

Lực di động trong mô hình kết cấu của bài toán f (X,T) đƣợc mô tả nhƣ sau

Hàm tải trọng phân bố theo hàm Dirac-Delta được biểu thị bởi: T x g T F z =   (3.10), trong đó  là hàm Dirac-Delta, X là tọa độ không gian dọc theo trục dầm (m) Đại lượng g(T) là đại lượng đại diện cho tính động học của lực di động được cho bởi g(T) = VT (3.11), với V là vận tốc lực di động (m/s) và T là đại lượng thời gian (s) Giá trị biên độ hằng số của lực di động là F z (N).

PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG

Xét dầm Euler-Bernoulli nằm trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 chịu tải trọng di động Dầm với tiết diện mặt cắt ngang là hằng số A, mô men quán tính I, chiều dài L, khối lƣợng riêng và mô đun đàn hồi E Nền ở đây là nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 theo độ võng có xét đến tính cản vật liệu cho bởi phương trình (3.9) Áp dụng biểu thức (3.8) thay w(X)= Y(X,T)=Y, q Z (X)là ngoại lực tác dụng trên một đơn vị chiều dài dầm theo phương đứng được phương trình sau

   (3.12) trong đó (X VT) là hàm Dirac delta dùng để mô tả lực tập trung di động, lúc này biểu thức (3.8) trở thành

Chuyển vế của (3.13) thu đƣợc

   (3.14) với ý nghĩa các đại lƣợng nhƣ sau: là khối lƣợng riêng của dầm (kg/m 3 ), A là tiết diện mặt cắt ngang dầm (m 2 ), EI là độ cứng kháng uốn của dầm (Nm 2 ), k 1 là thông số nền tuyến tính (N/m 2 ), Y=Y(X, T) là chuyển vị theo phương đứng của dầm (m), k 3 là thông số nền phi tuyến tính ( N/m 4 ),  là hệ số cản ( Ns/m 2 ), X là tọa độ không gian dọc theo trục dầm (m), ( X VT) là hàm Dirac delta dùng để mô tả lực tập trung di động, F Z là biên độ của tải trọng (N), V là vận tốc tải trọng (m/s) Để cho việc giải phương trình vi phân chủ đạo được thuận tiện ta đưa ra các thông số và các biến không thứ nguyên nhƣ sau y Y

3 EA k  k L ; (3.15) ở đây x là tọa độ không gian không thứ nguyên và t là thời gian không thứ nguyên

Từ đó ta chuyển biểu thức (3.14) về dạng biểu thức không thứ nguyên

Với dầm liên kết khớp hai đầu thì điều kiện biên ở đây là

Ngoài ra ban đầu hệ đứng yên với vận tốc và chuyển vị bằng không

Phương trình (3.16) là phương trình vi phân chuyển động của dầm trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3; đây là phương trình đạo hàm riêng với ẩn số là chuyển vị của dầm với các điều kiện biên và điều kiện ban đầu nhƣ (3.17) và (3.18).

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Phương pháp Galerkin là phương pháp hữu hiệu dùng để giải quyết các bài toán trong cơ học kết cấu, động lực học chất lỏng, thủy động lực học, dòng chảy, nhiệt học, âm thanh học,… Các bài toán được thiết lập dưới dạng phương trình vi phân thường, vi phân riêng phần, biểu thức tích phân và giải thông qua việc ứng dụng các công thức của phương pháp Galerkin Nói chung, bất cứ bài toán nào được thiết lập thành dạng biểu thức chủ đạo đều có thể áp dụng phương pháp này.

Phương pháp Galerkin thuộc lớp phương pháp phần dư có trọng (Methods of weighted residuals-MWR) Tên của lớp phương pháp này lần đầu tiên được giới thiệu bởi Crandall (1956), ý tưởng tương tự được xem xét bởi Collatz (1960) dưới cái tên nguyên lý phân phối sai số (error distribution principles ) Harrington

(1968) nghiên cứu khái niệm tương tự với tựa đề phương pháp mô men (Method of

Mô mens) nhưng giới hạn trong bài toán trường tuyến tính trong lý thuyết điện từ

Phương pháp phần dư có trọng được mô tả như sau Giả sử biểu thức vi phân đƣợc thiết lập có dạng

Biểu thức trên có thể đƣợc giải dựa vào điều kiện ban đầu I(u)=0 và điều kiện biên

S(u)=0 Lời giải xấp xỉ là u a , khi thế giá trị u a vào biểu thức vi phân, điều kiện ban đầu và điều kiện biên thì có đƣợc các giá trị sau

Lời giải xấp xỉ u a đƣợc xây dựng bởi Collatz (1960), theo đó

(i) Biểu thức vi phân thỏa mãn đúng điều kiện R=0 gọi là phương pháp biên

(ii) Điều kiện biên đƣợc thỏa mãn, Rb=0 gọi là phương pháp trong (interior method)

(iii) Biểu thức vi phân và điều kiện biên đều không thỏa mãn gọi là phương pháp hỗn hợp (mixed method)

Lời giải xấp xỉ u a được viết dưới dạng sau đây

  (3.21) trong đó  j (x)là hàm phân tích (analytic functions ) hay hàm thử (trial functions) và biểu thức (3.21) là lời giải thử (trial solution), các hệ số a j (t) là xác định,

0(x, t) u đƣợc chọn thỏa mãn điều kiện ban đầu và điều kiện biên càng chính xác càng tốt

Sử dụng biểu thức xấp xỉ (3.21) đƣa vào (3.19) thì (3.19) sẽ trở thành biểu thức vi phân thường theo biến t

Nếu  j  j (t) và a j a j (x)thì có đƣợc biểu thức vi phân riêng phần theo x , cách tiếp cận này đƣợc đƣa ra bởi Wadia và Payne (1979) nhƣng không thông dụng

Nếu  j  j (x, t)tức bài toán ổn định thì các hệ số a j là hằng số Để tìm đƣợc các biểu thức của a j thì tích trong (inner product) của phần dư có trọng (weighted residual ) đƣợc thiết lập bằng không

R  D R dx  k  (3.22) theo đó thì w k đƣợc gọi là hàm trọng số (weight function) hay hàm kiểm tra (test function)

Tổng quát hóa, việc lựa chọn hàm kiểm tra và hàm thử dựa trên cơ sở những lời giải chính xác của bài toán tương tự bài toán đặt ra sẽ giúp nâng cao tính hiệu quả của phương pháp Galerkin trong quá trình đi tìm lời giải

3.4.2 Phép cầu phương a Giới thiệu

Hầu hết các bài toán cơ học đều đƣợc biểu diễn qua tập hợp các biểu thức vi phân riêng phần (PDEs) kết hợp với các điều kiện biên hợp lý Ví dụ, dòng chảy Newonian đƣợc thể hiện thông qua biểu thức Naviers-Stokes, dao động của tấm mỏng đƣợc thể hiện bằng biểu thức vi phân riêng phần bậc bốn, sóng và vi sóng đƣợc mô phỏng bằng biểu thức Helmholtz

Xét về tổng thể thì lời giải chính xác cho các biểu thức vi phân này là rất khó khăn Trong hầu hết các trường hợp, lời giải xấp xỉ thể hiện qua giá trị của hàm tại điểm rời rạc hóa (grid points hay mesh points)

Một câu hỏi đƣợc đặt ra là mối quan hệ giữa tích phân (hoặc vi phân) của một hàm số và giá trị hàm tại điểm rời rạc là như thế nào, dường như có sự liên kết giữa chúng với nhau Hiện tại có nhiều kỹ thuật rời rạc số nhƣ: sai phân hữu hạn (FD), phần tử hữu hạn (FE), thể tích hữu hạn (FV)… thể hiện mối quan hệ này

Phương pháp cầu phương vi phân (DQ) và phép cầu phương tích phân (IQ) là các kỹ thuật rời rạc hiệu quả được Bellman và cộng sự (1971, 1972) phát triển để tìm lời giải gần đúng chính xác sử dụng số lượng điểm rời rạc nhỏ.

Năm 1997, Shu và Chew đã thành công trong việc phát triển các biểu thức đại số đơn giản để tính toán các hệ số trọng số của đạo hàm bậc nhất và bậc hai trong phương pháp cầu phương khi lời giải được xấp xỉ bằng chuỗi Fourier mở rộng.

Một vấn đề thường được nêu ra trong cơ học và khoa học là giá trị ước lượng của (x) b a f dx

 trong đoạn hữu hạn [a,b] Nếu tồn tại hàm F sao cho dF dx  f thì giá trị của tích phân sẽ là F(b)-F(a)

Trong thực tế thì rất khó khăn để có đƣợc biểu thức chính xác của F thêm vào đó giá trị của hàm f có thể được biết tại một số điểm rời rạc nên trong trường hợp này phương pháp số là thích hợp hơn cả

 chính là diện tích bên dưới đường cong f(x) Chính vì vậy có thể tính tích phân trên bằng việc đi tìm diện tích xấp xỉ của đường cong Sử dụng nguyên lý này nhiều phương pháp số đã được đề xuất và phát triển Tổng quát hóa (x) b a f dx

 có thể đƣợc tính gần đúng nhƣ sau

 (3.23) trong đó w 1 , w 2 , w 3 là hệ số trọng số, f 1 , f 2 , …, f n là giá trị của hàm tại các điểm rời rạc a=x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n =b Biểu thức (3.23) được gọi là phép cầu phương tích phân, sử dụng giá trị của hàm trên toàn miền tích phân để xấp xỉ tích phân trên miền hữu hạn Tổng quát hóa, điểm rời rạc đƣợc lựa chọn có phân bố đều x i =x i-1 +h, i=2, 3,

…, n, trong đó h được gọi là kích thước bước Các điểm cầu phương được lựa chọn phải đáp ứng đƣợc điều kiện biên của bài toán nhƣ sau

+Điều kiện biên hai đầu tựa đơn (SS) w=0 và

+Hai đầu ngàm (CC) w=0 và w dx 0

+Hai đầu tự do (FF)

Trong việc tìm lời giải theo phương pháp số, lời giải liên tục được xấp xỉ bằng giá trị hàm tại các điểm rời rạc Giả sử miền tính toán 0 x 1 đƣợc chia thành N-1 khoảng với tọa độ các điểm lưới là x 1 , x 2 , …, x n Các điểm lưới được đề xuất bởi Shu (1991)

3.4.3 Biến đổi thành hệ phương trình vi phân phi tuyến bậc 3

Sau khi phương trình vi phân chủ đạo không thứ nguyên (3.16) được thiết lập thì việc giải trực tiếp phương trình vi phân chủ đạo này rất khó khăn bởi giá trị hàm chuyển vị y= y(x,t) là một đại lƣợng phụ thuộc đồng thời hai biến không gian x và thời gian t Ý tưởng của phương pháp Galerkin là sự phân ly biến để biến hàm chuyển vị phức tạp y(x,t) ban đầu thành tích của hai hàm riêng biệt trong đó một hàm theo biến không gian và hàm còn lại theo biến thời gian Bằng việc lựa chọn hàm theo biến không gian hợp lý kết hợp phép cầu phương tích phân và cách lựa chọn hàm trọng số thích hợp thì phương trình vi phân chủ đạo không thứ nguyên ban đầu sẽ trở thành hệ phương trình vi phân phi tuyến bậc 3 theo tọa độ suy rộng, giá trị các tọa độ suy rộng này chỉ phụ thuộc vào thời gian t Đến đây vận dụng phương pháp số Newmark để giải hệ phương trình vi phân phi tuyến bậc 3 trên để tìm đƣợc giá trị tọa độ suy rộng tại các điểm rời rạc trên toàn miền thời gian từ đó tìm được ứng xử động của dầm Phần này sẽ trình bày cụ thể các bước kể trên a Rời rạc hóa biến không gian

Sử dụng phương pháp Galerkin phân tích hàm chuyển vị y(x,t) thành tổng các tích giá trị hai hàm số theo thời gian t và theo tọa độ x nhƣ sau

 là hàm dạng k ( ) q t là tập hợp các tọa độ suy rộng của dầm

Trong phương trình (3.28), việc sử dụng n phần tử đầu tiên của y(x,t) để xác định giá trị của y(x,t) là hợp lý vì khi n đủ lớn, giá trị hàm y(x,t) sẽ hội tụ, nghĩa là sự chênh lệch giữa việc phân tích hàm thành n phần tử và nhiều hơn n phần tử là không đáng kể Điều này giúp tiết kiệm thời gian và công sức tính toán.

Thay biểu thức (3.28) vào phương trình vi phân chủ đạo không thứ nguyên (3.16) dẫn đến

THUẬT TOÁN

Thuật toán để giải bài toán động lực học kết cấu có quan hệ giữa lực đàn hồi và chuyển vị phi tuyến bậc 3 theo độ võng đƣợc mô tả nhƣ sau

Thông số đầu vào

1 Khai báo các thông số đầu vào của dầm (bao gồm: E, A, I, L,), các thông số nền ( bao gồm: k 1 , k 3 , ), thông số tải trọng ( bao gồm: F z ,V )

2 Khai báo thời gian lực di động đi hết dầm t 1 , bước thời gian dt của phương pháp số Newmark, số điểm cầu phương N, điểm khảo sát có tọa độ x d trên dầm (x d =0.5 đối với điểm giữa dầm), số hạng Galerkin n cần khảo sát

3 Xác định ma trận khối lƣợng M và ma trận cản C trong (3.63)

4 Tính các hệ số không thứ nguyên k 1 , k 3 , , k f , F z , v, theo (3.15),  i lấy theo

(3.40), (3.44), hay (3.48), tính I j theo (3.37), F j theo (3.34) và giá trị w i (x j ) tại các điểm cầu phương 5 Tìm biểu thức của lực đàn hồi từ f 1 đến f n trong (3.54) và (3.55)

6 Dựa vào các biểu thức lực đàn hồi f 1 đến f n tìm ma trận độ cứng tiếp tuyến K i t bằng cách đạo hàm các biểu thức lực đàn hồi lần lƣợt theo các tọa độ suy rộng

Trong từng bước thời gian

1 Xác định vec tơ tải trọng tại hai thời điểm i và i+1 từ đó tính toán đƣợc số gia tải trọng P i giữa hai thời điểm trên Vec tơ tải trọng ở đây có đƣợc sau khi chuyển đại lƣợng mang dấu âm trong (3.54) và (3.55) sang vế phải Cụ thể tùy từng điều kiện biên mà P i  2 F z w vt i ( )hoặc P i F z w vt i ( )

2 Tính toán ma trận độ cứng tiếp tuyến dạng số K i t giữa hai thời điểm i và i+1 bằng việc thay các giá trị tọa độ suy rộng tại thời điểm i vào trong ma trận độ cứng tiếp tuyến đã đƣợc thiết lập dạng biểu thức biểu diễn theo các tọa độ suy rộng với lưu ý rằng thời điểm ban đầu hệ đứng yên nên giá trị các tọa độ suy rộng tại thời điểm ban đầu là 0

3 Tính toán số gia tải trọng hiệu dụng (P eff ) i theo (3.68) 4 Tính toán độ cứng hiệu dụng dạng số (K eff ) i theo (3.68)

5 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (3.67) thu được gia số chuyển vị giữa hai thời điểm i và i+1 từ đó tính đƣợc gia số vận tốc và gia số gia tốc theo (3.66)

6 Xác định giá trị chuyển vị, vận tốc và gia tốc tại thời điểm i+1 bằng cách cộng thêm vào cho chuyển vị, vận tốc, gia tốc tại thời điểm i các giá trị số gia tương ứng vừa tính đƣợc

Bước thời gian kế tiếp

Lặp lại quá trình B cho bước thời gian kế tiếp

Lưu đồ thuật toán như hình 3.4

Chương này đã trình bày cơ sở lý thuyết của luận văn Mô hình tính của hệ và phương trình vi phân chuyển động được xây dựng Phương pháp giải và thuật toán cũng đã mô tả Một chương trình máy tính để phân tích động lực học của hệ dựa vào thuật toán đã thiết lập trên đƣợc viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB và kết quả số được trình bày ở chương 4

Hình 3.4 Lưu đồ thuật toán

Thông số đầu vào của dầm, nền , tải trọng, t 1 , dt,

N, x d , n, M, C…, tìm các đại lƣợng cần thiết trong (3.54 ) và (3.55)

Số gia tải trọng P i giữa hai thời điểm i và i+1

Tính K i t dạng số bằng cách thay tọa độ suy rộng tại thời điểm i vào K i t

Số gia tải trọng hiệu dụng (P eff ) i theo (3.68)

Tính toán độ cứng hiệu dụng (K eff ) i theo (3.68)

Tìm biểu thức lực đàn hồi trong (3.54) và (3.55) Tìm biểu thức K i t bằng cách đạo hàm lực đàn hồi lần lƣợt theo các tọa độ suy rộng

VÍ DỤ SỐ

GIỚI THIỆU

Chương này trình bày hai phần, đầu tiên là phần kiểm chứng kết quả của chương trình máy tính đã viết thông qua phương pháp số Newmark, phương pháp trọng số Galerkin dùng trong luận văn để giải quyết bài toán dầm trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 chịu tải di động với kết quả của các bài báo đƣợc công bố gần đây để đánh giá độ tin cậy của chương trình này sau đó khảo sát sự hội tụ kết quả của bài toán, phần thứ hai là khảo sát các thông số tác động lên kết quả ứng xử động của dầm nhƣ: thông số nền, thông số của dầm, hệ số cản…Và cuối cùng là phần nhận xét kết quả trong quá trình khảo sát bài toán.

PHẦN KIỂM CHỨNG

Trong phần này, các đại lƣợng đặc trƣng của dầm lấy theo các thông số của dầm thanh ray đường sắt cao tốc UIC60 [8] Tính chất vật lý và tính chất hình học của đường ray, nền, và tải di động cũng như các hệ số không thứ nguyên tính toán theo biểu thức (3.15) đƣợc thể hiện ở bảng 4.1

Bảng 4.1 Các thông số đường ray, thông số nền và thông số tải trọng

Danh mục đại lƣợng Kí hiệu Giá trị Giá trị không thứ nguyên Đường ray (UIC60)

Mô đun đàn hồi Young E 201GPa -

Diện tích mặt cắt ngang dầm A 7.69x10 -3 m 2 -

Mô men quán tính dầm I 3.055x10 -5 m 4 - Đại lƣợng đặc trƣng cho dầm k f - 3.501x10 -3

Nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3

Hệ số nền tuyến tính k 1 3.5x10 7 N/m 2 7.3365 Hệ số nền phi tuyến k 3 4x10 14 N/m 4 2.7166x10 10

Tải trọng lực di động F z 65kN 4.2052x10 -5

Vận tốc lực di động V 10m/s 0.001933

Xét bài toán có các thông số của dầm và nền nhƣ trong bảng 4.1, điều kiện biên hai đầu tựa đơn, tiến hành giải bài toán trên toàn miền thời gian sử dụng phương pháp số Newmark tìm chuyển vị và mô men giữa dầm khi lực di động từ đầu dầm đến cuối dầm sau đó so sánh kết quả với bài báo [8] của Hu Din Các kết quả số này đƣợc thể hiện trên đồ thị hình 4.1 đến đồ thị hình 4.4 nhƣ sau

Hình 4.1 Chuyển vị giữa dầm khi lực di động theo [8] với n số hạng Galerkin

Hình 4.2 Chuyển vị giữa dầm khi lực di động theo Luận văn với n số hạng Galerkin

Hình 4.3 Mô men giữa dầm khi lực di động theo [8] với n số hạng Galerkin

Hình 4.4 Mô men giữa dầm khi lực di động theo Luận văn với n số hạng Galerkin

Bảng 4.2 Sự hội tụ của chuyển vị lớn nhất khi số hạng n tăng

- Khi tăng số số hạng Galerkin khảo sát từ n=4 lên đến n` thì giá trị chuyển vị lớn nhất của dầm cũng tăng theo, sai khác giá trị chuyển vị giữa n=4 và n là 27.65% nên với n=4 chƣa thể đủ độ chính xác để phân tính ứng xử động lực học của dầm trên nền phi tuyến Độ sai khác giá trị chuyển vị cũng giảm dần khi n tăng trong đó sai khác giá trị chuyển vị giữa n% và n là 0.36%, mặt khác ba đường màu đỏ, đen và xanh da trời ứng với n%, n5, n` là trùng nhau nên từ đây rút ra kết luận rằng giá trị chuyển vị của dầm có thể phân tích đạt độ chính xác khi xét với số số hạng Galerkin là n% hay nói cách khác với n% giá trị chuyển vị của dầm hội tụ

Chuyển vị giữa dầm khi lực di động theo công thức của Luận văn và theo tài liệu [8] tương đối giống nhau trong phạm vi hai phần ba đoạn dầm đầu tiên Sự sai khác chỉ xảy ra ở đoạn một phần ba đoạn dầm còn lại nhưng sai số này không đáng kể và giá trị chuyển vị khá nhỏ, không gây nguy hiểm cho kết cấu.

- Giá trị mô men uốn lớn nhất của điểm giữa dầm hội tụ chậm hơn chuyển vị theo giá trị số hạng Galerkin n Theo [8], thì n0, mô men M max vẫn chƣa hội tụ thực sự; theo Luận văn thì n` mô men là M max hội tụ chậm hơn [8] Với việc n tăng thì các đường biểu diễn mô men có xu hướng co lại như hình 4.4 và sẽ hội tụ khi n đủ lớn tuy nhiên để tìm ra giá trị n để hội tụ thực sự đòi hỏi phải tốn rất nhiều thời gian chạy chương trình của cả tài liệu [8] và Luận văn (Cấu hình máy tính sử dụng để làm luận văn: Intel(R) Core(TM)i5-4210U CPU @ 1.70GHz, RAM 4.00 GB, Window 7 Professional Với cấu hình máy trên thì với n` máy tính phải mất 10h để chạy ra kết quả với bước thời gian dt=2 )

Khảo sát sự hội tụ của bài toán khi một trong các thông số trong bảng 4.1 thay đổi còn các thông số còn lại không đổi, dầm hai đầu tựa đơn a Chiều dài dầm thay đổi

Bảng 4.3 Giá trị chuyển vị giữa dầm khi lực giữa dầm với chiều dài dầm thay đổi

Bảng 4.4 Tỉ số chuyển vị giữa dầm khi lực giữa dầm với chiều dài dầm thay đổi

Hình 4.5 Sự hội tụ khi chiều dài dầm thay đổi theo Luận văn

Hình 4.6 Sự hội tụ khi chiều dài dầm thay đổi theo [8] b Mô đun đàn hồi dầm thay đổi

Bảng 4.5 Chuyển vị giữa dầm khi lực giữa dầm với mô đun đàn hồi thay đổi

Hình 4.7 Sự hội tụ khi mô đun đàn hồi thay đổi theo Luận văn

Hình 4.8 Sự hội tụ khi mô đun đàn hồi thay đổi theo [8] c Hệ số cản thay đổi

Bảng 4.6 Chuyển vị giữa dầm khi lực giữa dầm với hệ số cản thay đổi

Hình 4.9 Sự hội tụ khi hệ số cản thay đổi theo [8]

Hình 4.10 Sự hội tụ khi hệ số cản thay đổi theo Luận văn d Hệ số nền tuyến tính k 1 thay đổi

Bảng 4.7 Chuyển vị giữa dầm khi lực giữa dầm với hệ số nền k 1 thay đổi

Hình 4.11 Sự hội tụ khi hệ số nền k 1 thay đổi theo Luận văn

Hình 4.12 Sự hội tụ khi hệ số nền tuyến tính k 1 thay đổi theo [8] e Hệ số nền phi tuyến tính k 3 thay đổi

Bảng 4.8 Chuyển vị giữa dầm khi lực giữa dầm với hệ số nền k 3 thay đổi

Hình 4.13 Sự hội tụ khi hệ số nền phi tuyến tính k 3 thay đổi theo Luận văn

Hình 4.14 Sự hội tụ khi hệ số nền phi tuyến tính k 3 thay đổi theo [8] f Hệ số đặc trưng cho dầm k f thay đổi

Bảng 4.9 Chuyển vị giữa dầm khi lực giữa dầm với hệ số k f thay đổi

Hình 4.15 Sự hội tụ khi hệ số k f thay đổi theo [8]

Hình 4.16 Sự hội tụ khi hệ số k f thay đổi theo Luận văn

Nhận xét kết quả phần kiểm tra:

Sự hội tụ của nghiệm chuyển vị động phụ thuộc vào các thông số hệ kết cấu nhƣ: mô đun đàn hồi của dầm, hệ số nền tuyến tính k 1 , hệ số nền phi tuyến tính k 3 , hệ số cản, chiều dài của dầm và đại lƣợng đặc trƣng cho dầm k f đƣợc thể hiện từ hình vẽ từ 4.5 đến hình 4.16 Trong đó trục hoành biểu diễn số số hạng Galerkin cần khảo sát, trục tung biểu thị chuyển vị giữa dầm khi lực di động ở vị trí giữa dầm Đồ thị hình 4.5 và đồ thị hình 4.6 thể hiện sự hội tụ giá trị chuyển vị giữa dầm khi lực di động ở vị trí giữa dầm Qua kết quả trên hai đồ thị này có thể nhận thấy khi tăng giá trị n lên thì giá trị chuyển vị tăng trong khi đó hệ số góc tiếp tuyến đồ thị sẽ có xu hướng giảm khi tăng n Đồ thị ứng với chiều dài dầm là Lm có xu hướng nằm ngang sớm nhất trong khi dầm với chiều dài Lm có xu hướng nằm ngang muộn nhất từ đó rút ra kết luận rằng với dầm càng ngắn thì tốc độ hội tụ chuyển vị sẽ nhanh hơn so với dầm càng dài

Kết quả số thể hiện từ đồ thị 4.7 đến 4.16 cho thấy giá trị chuyển vị thẳng đứng giữa dầm khi lực di động giữa dầm tăng khi tăng giá trị n song giá trị này lại giảm khi tăng giá trị mô đun đàn hồi dầm, giá trị hệ số nền tuyến tính k 1 , giá trị hệ số nền phi tuyến k 3 , giá trị hệ số cản và hệ số không thứ nguyên k f Các đồ thị này cũng thể hiện rằng sự hội tụ của nghiệm chuyển vị động nhanh hơn khi tăng giá trị mô đun đàn hồi dầm, hệ số nền phi tuyến, hệ số không thứ nguyên k f nhƣng sự hội tụ sẽ diễn ra chậm hơn với nền có hệ số nền tuyến tính và hệ số cản lớn hơn.

PHẦN KHẢO SÁT

Mô hình bài toán là dầm Euler-Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 liên kết tựa đơn hai đầu chịu tải trọng di động Thời điểm ban đầu hệ đứng yên với chuyển vị, vận tốc bằng không: y x t( , )0 tại t=0 và y( , ) 0 t x t

 tại t=0 Các đại lượng đặc trưng của dầm lấy theo các thông số của dầm thanh ray đường sắt cao tốc UIC60 [8] nhƣ ở bảng 4.10, sau đó tiến hành cho các hệ số nền k 1 và k 3 biến thiên để khảo sát ảnh hưởng của các hệ số này lên chuyển vị giữa dầm

Giá trị chuyển vị lớn nhất điểm giữa dầm khi k 1 và k 3 biến thiên đƣợc thể hiện ở bảng 4.11

Các kết quả đƣợc thể hiện trong các hình vẽ 4.17 đến 4.24

Nhận xét kết quả: Đồ thị hình 4.17 đến 4.24 thể hiện vai trò tác động của hệ số nền tuyến tính k 1 và hệ số nền phi tuyến k 3 lên trên chuyển vị giữa dầm khi lực di động ở giữa dầm Khi cho giá trị k 3 nhận giá trị thay đổi trong khoảng từ 0 đến 4x10 10 N/m 4 (từ hình 4.17 đến hình 4.20), ứng với mỗi giá trị k 3 lại cho giá trị k 1 biến thiên thì nhận thấy giá trị chuyển vị thay đổi đáng kể khi thay đổi giá trị k 1 với cùng giá trị k 3 song lại biến đổi khá ít khi k 3 thay đổi lúc k 1 không đổi mặc dù k 3 biến thiên trong phạm vị lớn Bốn hình 4.17, 4.18, 4.19, 4.20 gần nhƣ trùng nhau hay nói cách khác đại lƣợng hệ số nền tuyến tính k 1 nhạy với giá trị chuyển vị của dầm còn đại lƣợng hệ số nền phi tuyến k 3 trơ với chuyển vị

Tiếp tục cho giá trị k 3 thay đổi từ 4x10 12 N/m 4 đến 4x10 18 N/m 4 , tương ứng lại cho k 1 biến thiên, từ đồ thị hình 4.21 đến hình 4.24 có nhận xét rằng khi cho giá trị k 3 càng lớn thì xu hướng các đường chuyển vị ứng với giá trị k 1 biến thiên sẽ có xu hướng sít lại gần nhau hơn, xu thế các đường này sẽ trùng nhau khi giá trị k 3 đủ lớn hay nói cách khác khi k 3 càng lớn thì giá trị chuyển vị sẽ giảm dần sự phụ thuộc vào giá trị k 1 (các đường sít lại gần nhau hơn khi tăng k 3 )

Qua phân tích ta thấy Hệ số nền tuyến tính k1 là đại lượng nhạy cảm với chuyển vị dầm, trong khi đó hệ số nền phi tuyến tính k3 trơ hơn và tác động đến chuyển vị dầm không rõ ràng như k1.

Bảng 4.10 Các thông số đường ray, thông số nền và thông số tải trọng khi khảo sát tác động của k 1 và k 3

Danh mục Kí hiệu Giá trị Giá trị không thứ nguyên Đường ray (UIC60)

Hệ số nền tuyến tính k 1

~7.337x10 2 Hệ số nền phi tuyến k 3

Bảng 4.11 Giá trị chuyển vị lớn nhất điểm giữa dầm khi k 1 và k 3 biến thiên y max giữa dầm k 3 ~ 0 (N/m 4 ) k 3 4 (N/m 4 ) k 3 8 (N/m 4 ) k 3 10 (N/m 4 ) k 1 =3.5x10 3 (N/m 2 ) 3.8x10 -3 (m) 3.8x10 -3 (m) 3.8x10 -3 (m) 3.5x10 -3 (m) k 1 =3.5x10 5 (N/m 2 ) 3.5x10 -3 (m) 3.5x10 -3 (m) 3.5x10 -3 (m) 3.3x10 -3 (m) k 1 =3.5x10 6 (N/m 2 ) 2.7x10 -3 (m) 2.7x10 -3 (m) 2.7x10 -3 (m) 2.6x10 -3 (m) k 1 =3.5x10 7 (N/m 2 ) 0.94x10 -3

Hình 4.17 Chuyển vị giữa dầm khi k 3 xấp xỉ 0 và k 1 biến thiên

Hình 4.18 Chuyển vị giữa dầm khi k 3 =4x10 4 N/m 4 và k 1 biến thiên

Hình 4.22 Đồ thị chuyển vị giữa dầm khi k 3 =4x10 14 N/m 4 và k 1 biến thiên

4.3.2 Ảnh hưởng của hệ số cản

Mô hình bài toán là dầm Euler-Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 liên kết tựa đơn hai đầu chịu tải trọng di động Thời điểm ban đầu hệ đứng yên với chuyển vị, vận tốc bằng không: ( , )y x t 0 tại t=0 và y( , ) 0 t x t

 tại t=0 Các đại lượng đặc trưng của dầm lấy theo dựa theo các thông số của dầm thanh ray đường sắt cao tốc UIC60 [8] nhƣ ở bảng 4.12 Tiến hành cho hệ số cản biến thiên để khảo sát ảnh hưởng của các hệ số này lên chuyển vị giữa dầm

Kết quả đƣợc thể hiện trong các hình vẽ 4.25

Khi hệ số cản tăng, khả năng cản trở chuyển động của dầm cũng tăng Điều này dẫn đến giá trị chuyển vị giữa các dầm giảm dần theo đồ thị trong hình 4.25 Hiện tượng này phù hợp với bản chất vật lý của hệ số cản, là đại lượng biểu thị khả năng cản trở chuyển động của vật thể.

Hình 4.25 Ảnh hưởng của hệ số cản lên chuyển vị giữa dầm

Bảng 4.12 Các thông số đường ray, thông số nền và thông số tải trọng khi khảo sát tác động của hệ số cản

4.3.3 Ảnh hưởng của điều kiện biên

Mô hình bài toán là dầm Euler-Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 với điều kiện biên thay đổi lần lƣợt là: hai đầu tựa đơn, hai đầu ngàm và hai đầu tự do Thời điểm ban đầu hệ đứng yên với chuyển vị, vận tốc bằng không: ( , )y x t 0 tại t=0 và y( , ) 0 t x t

 tại t=0 Tiến hành khảo sát ảnh hưởng điều kiện biên lên chuyển vị giữa dầm với các thông số của hệ lấy theo bảng 4.13 dưới đây

Kết quả đƣợc thể hiện trên đồ thị hình 4.26

Nhận xét kết quả: Khi điều kiện biên thay đổi thì giá trị chuyển vị lớn nhất của điểm giữa dầm thay đổi không đáng kể nguyên nhân là do nền phi tuyến bậc 3 ở đây tương đối cứng nên yếu tố quyết định đến chuyển vị của dầm không phải là điều kiện biên mà là nền đàn hồi, giá trị chuyển vị lớn nhất khi hai đầu tựa đơn và khi hai đầu tự do thì giá trị chuyển vị này là nhỏ nhất

Hình 4.26 Ảnh hưởng của điều kiện biên lên chuyển vị giữa dầm

Bảng 4.13 Các thông số đường ray, thông số nền và thông số tải trọng khi xét ảnh hưởng của điều kiện biên

4.3.4 Ảnh hưởng của vận tốc

Trong phần này, các đại lƣợng đặc trƣng của dầm lấy theo các thông số của dầm thanh ray đường sắt cao tốc asphalt mixtures D-12 trong [8] Mô hình bài toán là dầm Euler-Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 liên kết tựa đơn hai đầu chịu tải trọng di động Thời điểm ban đầu hệ đứng yên với chuyển vị, vận tốc bằng không: ( , )y x t 0 tại t=0 và y( , ) 0 t x t

 tại t=0 Tính chất vật lý và tính chất hình học của đường ray, nền, và tải di động cũng như các hệ số không thứ nguyên tính toán theo biểu thức (3.15) được thể hiện ở bảng 4.14 dưới đây Tiến hành cho vận tốc lực di động thay đổi để khảo sát tác động của vận tốc lên chuyển vị lớn nhất của điểm giữa dầm

Nhận xét kết quả: Vận tốc lực di động tăng thì chuyển vị lớn nhất của điểm giữa dầm có xu hướng giảm dần, do đó khi lực di động với vận tốc càng lớn thì kết cấu càng ít nguy hiểm

Hình 4.27 Chuyển vị lớn nhất giữa dầm khi vận tốc lực di động thay đổi

Bảng 4.14 Các thông số đường ray, thông số nền và thông số tải trọng khi khảo sát với vận tốc thay đổi

Danh mục Kí hiệu Giá trị Giá trị không thứ nguyên Đường ray [asphalt mixtures(D-12)]

Mô đun đàn hồi Young E 6.998GPa -

Bề rộng dầm b 1m - Đại lƣợng đặc trƣng cho dầm k f - 5.41x10 -4

Hệ số nền tuyến tính k 1 8x10 6 N/m 2 97.552 Hệ số nền phi tuyến k 3 8x10 6 N/m 4 2.497x10 6

Tải trọng lực di động F z 212.6kN 1.013x10 -4

Tiêu đề	Phân tích dao động dầm Euler-Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc ba chịu tải di động
Tác giả	Lê Văn Thịnh
Người hướng dẫn	TS. Nguyễn Trọng Phước
Trường học	Trường Đại học Bách Khoa - Đại học quốc gia Tp. HCM
Chuyên ngành	Kỹ thuật xây dựng
Thể loại	Luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2015
Thành phố	Tp. Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	91
Dung lượng	3,21 MB