Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích dao động của tấm phân lớp chức năng trên nền đàn nhớt chịu vật thể chuyển động

TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA TẤM PHÂN LỚP CHỨC NĂNG TRÊN NỀN ĐÀN NHỚT CHỊU VẬT THỂ CHUYỂN ĐỘNG NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: Phân tích dao động của tấm phân lớp chức năng trên nền đàn n

TỔNG QUAN

Giới thiệu

Chương này giới thiệu tổng quan về vật liệu phân lớp chức năng (FGMs) với đặc tính thay đổi liên tục theo 1 phương và những tính năng ưu việt của loại vật liệu này Thêm vào đó, tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước về vật liệu FGMs và vấn đề kết cấu chịu tải trọng di động được trình bày Từ đó, ý nghĩa của đề tài và sự khác biệt của đề tài luận văn với một số nghiên cứu liên quan được làm rõ.

Tổng quan về vật liệu phân lớp chức năng (FGMs)

Con người luôn cố gắng tìm ra các loại vật liệu mới bền hơn, dẻo dai hơn để phục vụ cho những nhu cầu ngày càng đa dạng và phức tạp Trong quá trình đó, vật liệu composite được tìm tòi và phát triển Vật liệu composite theo lớp, do kết hợp nhiều loại vật liệu khác nhau, có thể đáp ứng tốt cho các yêu cầu của thiết kế về độ bền, cứng, dẻo dai và có trọng lượng nhẹ Tuy nhiên, do sự khác biệt về đặc tính giữa các loại vật liệu, vật liệu composite theo lớp thường bị phá hoại do sự tập trung ứng suất giữa các lớp, dẫn tới sự phá hoại và giảm tuổi thọ do bông tách giữa các lớp Để khắc phục vấn đề này, các nhà khoa học Nhật Bản đã chế tạo được loại vật liệu phân lớp chức năng (FGMs) vào năm 1984 trong một dự án phát triển tàu không gian FGMs là loại vật liệu kết hợp hợp từ hai loại vật liệu khác nhau và đặc tính vật liệu được thay đổi liên tục theo 1 phương (Hình 2.1), và thường gặp nhất là đặc tính thay đổi liên tục theo chiều dày Nhờ sự thay đổi liên tục đặc tính theo 1 phương mà FGMs tránh được sự tập trung ứng suất thường gặp trong vật liệu composite theo lớp Vật liệu phân lớp chức năng không phải chỉ mới tìm được trong thời gian gần đây mà rất thường gặp trong tự nhiên, như cấu trúc xương, răng, cấu trúc thân tre… với lớp vỏ bên ngoài cứng và thay đổi đặc tính liên tục đến cấu trúc mềm bên trong

Hình 2.1: Vật liệu FGMs với sự phân bố vật liệu theo 1 phương

FGMs kết hợp từ 2 loại vật liệu khác nhau, và thường gặp nhất là gốm (ceramic) ở một mặt và kim loại (metal) ở mặt còn lại Gốm có đặc tính chịu nhiệt độ cao, chống hao mòn, chống oxy hóa cao và dẫn nhiệt thấp; kim loại có khả năng chịu lực tốt, tính dẻo dai cao, và khả năng dẫn nhiệt cao FGMs kết hợp từ 2 vật liệu này có ưu điểm của cả 2 loại vật liệu và giảm nhược điểm của từng loại vật liệu Ngoài ra, sự thay đổi đặc tính vật liệu theo 1 phương có thể

Vùng vật liệu A với một số thành phần của vật liệu B

Vùng chuyển tiếp giữa 2 loại vật liệu

Vùng vật liệu B với một số thành phần của vật liệu A được điều chỉnh để phù hợp với nhiều yêu cầu thiết kế khác nhau Các điều này làm cho FGMs có tiềm năng ứng dụng lớn cho nhiều lĩnh vực khác nhau

Hiện tại, FGMs đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như hàng không, tàu vũ trụ, cấy ghép sinh học, thể thao, năng lượng, v.v… Vì khả ứng dụng rộng rãi của FGMs trong nhiều lĩnh vực, rất nhiều các nghiên cứu trong thời gian gần đây tập trung nghiên cứu ứng xử của các kết cấu sử dụng vật liệu FGMs.

Sơ lược tình hình nghiên cứu

Các kết cấu chịu tải trọng chuyển động gặp rất nhiều trong thực tế Các vấn đề này thường gặp trong các công trình giao thông như cầu, hầm, đường, đường băng, đường ray chịu tải trọng chuyển động là các phương tiện giao thông như xe tải, máy bay, tàu cao tốc,… Các bài toán chịu tải trọng chuyển động không thể được phân tích như bài toán tĩnh Các nghiên cứu về kết cấu dầm hoặc tấm chịu tải trọng chuyển động thường khảo sát với các điều kiện biên khác nhau hoặc phân tích dao động của kết cấu đặt khi trên nền đất Một số nghiên cứu về vấn đề này như Taheri và Ting (1990) [1] đã đưa ra mô hình phần tử hữu hạn giải quyết bài toán tấm chịu tải trọng chuyển động

Shadnama và các cộng sự (2001) [2] giải quyết bài toán dao động của tấm khi chịu khối lượng tương đối lớn chuyển động theo một đường bất kỳ Nghiên cứu này đã đưa ra kết luận rằng có sự khác biệt lớn khi mô hình tác nhân chuyển động là lực chuyển động hoặc khối lượng chuyển động, và nên mô hình tác nhân chuyển động là khối lượng chuyển động Shadnama và các cộng sự (2002) [3] giải quyết bài toán dao động của tấm phi tuyến mỏng chịu khối lượng chuyển động Seong-Min Kim (2004) [4] đã giải bài toán ổn định và dao động của tấm mỏng vô hạn trên nền đàn hồi Winkler chịu lực nén tĩnh trong mặt phẳng và tải trọng chuyển động với tốc độ không đổi Cũng cùng tác giả,

Seong-Min Kim (2004) [5] đã phân tích dao động của tấm mỏng trên nền đàn hồi, chịu lực cản ngang ở mặt dưới và tải trọng chuyển động với cường độ không đổi và dao động điều hòa Trong khi đó, Sang-Youl Leea và Sung-Soon Yhim (2004) [6] lại nghiên cứu dao động của tấm composite chịu nhiều tải trọng chuyển động dựa trên lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc 3 (TSDT) Jia-Jang Wu (2005) [7] đưa ra phương pháp dự đoán ứng xử của tấm dưới tải trọng dải chuyển động Lu Sun (2006) [10] phân tích dao động của tấm vô hạn chịu tải trọng tập trung và dải chuyển động bằng chuỗi Fourier Lawa và cộng sự (2007) [12] giải quyết bài toán dao động của tấm bản mặt cầu chịu tải trọng chuyển động mô hình như bánh xe.

Muscolino và Palmeri (2007) [13] đã phân tích dao động của dầm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng chuyển động là hệ gồm một khối lượng và lò xo - cản

Các nghiên cứu của Malekzadeh (2009), Rofooei (2009), Ghafoori (2010) và Mohebpour (2011) đã tập trung vào phân tích dao động của tấm composite nhiều lớp chịu tải trọng động, sử dụng các phương pháp như phần tử hữu hạn, kiểm soát dao động bằng tấm áp điện và lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất.

Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất (FSDT), và vật thể chuyển động trong được mô hình là một hệ gồm hai khối lượng và lo xo – cản Sapountzakis và Kampitsis (2011) [18] đã sử dụng phương pháp phần tử biên giải bài toán dao động của dầm phi tuyến hình học, có xét biến dạng cắt, chịu tải trọng chuyển động, đặt trên nền đàn nhớt phi tuyến không chịu kéo với ba thông số Jen-San Chen và Yung-Kan Chen (2011) [19] đã giải bài toán dao động và ổn định của dầm dài vô hạn trên nền đàn nhớt không chịu kéo chịu tải trọng điểm chuyển động với vận tốc nhỏ hơn vận tốc tới hạn (critical velocity) Zarfam và Khaloo (2012) [20] đã phân tích dao động của dầm trên nền đàn hồi chịu tác dụng của tải trọng chuyển động và khối lượng chuyển động; ngoài ra, còn có xét đến các tác nhân khác như gió, động đất

Vật liệu FGMs sở hữu nhiều tính chất vượt trội so với các vật liệu thông thường, bao gồm khả năng cách nhiệt, chống ăn mòn, chống mỏi, độ bền và độ cứng cao Do những ưu điểm này, FGMs đã trở thành chủ đề nghiên cứu sâu rộng, tập trung vào ứng xử và các ứng dụng tiềm năng của chúng.

Birman và Byrd (2007) [21] tổng kết các nghiên cứu từ năm 2000 đến 2007, cho thấy các nghiên cứu về vật liệu FGMs tập trung vào 8 vấn đề lớn, trong đó có vấn đề ứng xử của kết cấu FGMs chịu tải trọng tĩnh và chuyển động Tuy nhiên, các nghiên cứu về tấm FGMs đặt trên nền đất chịu tải trọng chuyển động vẫn còn ít Các nghiên cứu thường tập trung giải quyết bài toán chịu uốn với các trường hợp tải tĩnh khác nhau của tấm FGMs Một số nghiên cứu về các vấn đề này như Crocea và Venini (2004) [22] đã xây dựng mô hình phần tử hữu hạn cho tấm FGMs dựa trên lý thuyết tấm Reissner-Mindlin Ying và các cộng sự (2008) [23] đã giải bài toán phẳng của dầm FGMs chịu uốn và dao động tự do trên nền đàn hồi Winkler-Pasternak Panda và Ray (2008) [24] thiết lập mô hình phần tử hữu hạn cho bài toán tấm phi tuyến FGMs có xét đến nhiệt độ hoặc không Trong nghiên cứu này, có xét tấm áp điện gắn trên tấm, sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và quan hệ biến dạng chuyển vị Von-Karman Alinia và Ghannadpour (2009) [25] đã giải bài toán phi tuyến của tấm FGMs chịu áp lực phân bố Malekzadeh (2009) [26] đã giải bài toán dao động tự do của tấm FGMs dày trên nền đàn hồi hai thông số

Trong đó, tác giải giải bài toán theo lý thuyết đàn hồi, sử dụng phương pháp nửa ngược giải bài toán tấm với hai cạnh đối diện là tựa và hai cạnh còn lại với biên bất kỳ Simsek và Kocaturk (2009) [27] đã phân tích dao động tự do và dao động của dầm FGMs dưới tác dụng của tải trọng điều hòa chuyển động với lý thuyết dầm Euler-Bernoulli Shen và Wang (2010) [28] đã phân tích phi tuyến tấm FGMs chịu uốn tựa trên bốn cạnh và đặt trên nền đàn hồi Pasternak Trong nghiên cứu này, tấm được đặt trong môi trường nhiệt độ cao, chịu tải trọng phân bố theo hàm sin và chịu nén ở các cạnh Thêm vào đó, tác giả sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT) và quan hệ biến dạng chuyển vị Von-Karman Simsek (2010) [29] đã phân tích dao động của dầm FGMs tựa đơn dưới tác dụng của khối lượng chuyển động theo các lý thuyết dầm khác nhau Trong đó, tác giả đã sử dụng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, Timoshenko, và dầm biến dạng cắt bậc ba (TSDT) Yan và các cộng sự (2011) [30] đã giải bài toán dao động của dầm FGMs có vết nứt trên nền đàn hồi chịu tải trọng chuyển động với vận tốc không đổi dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko và mô mình tiết diện có vết nứt là một lò xo xoay Singha và các cộng sự (2011) [31] đã phân tích ứng xử phi tuyến của tấm FGMs chịu tác dụng của tải phân bố bằng phần tử tấm chịu uốn có độ chính xác cao Tác giả sử dụng lý thuyết tấm FSDT, có xem xét đến vị trí chính xác của trục trung hòa, và hệ số điều chỉnh cắt được xác định lại theo nguyên lý năng lượng

2.3.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Vấn đề kết cấu chịu tải trọng chuyển động cũng là đề tài của một số luận văn thạc sĩ ngành Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp tại trường ĐHBK Tp HCM Một số nghiên cứu gần đây như Khổng Trọng Toàn (1999) [32] đã phân tích dao động của tấm trên nền đàn hồi chịu tải trọng chuyển động Trong đó, tác giả đã sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) Nguyễn Đăng Phong (2009) [33] đã sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc ba (TSDT) phân tích ứng xử của dầm đồng nhất chịu tải trọng chuyển động Nguyễn Tấn Cường (2011) [34] đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và lý thuyết tấm Mindlin để phân tích dao động của tấm trên nền đàn nhớt chịu khối lượng chuyển động Nguyễn Thế Trường Phong (2011) [35] sử dụng lý thuyết dầm Timoshenko và quan hệ biến dạng chuyển vị Von-Karman để phân tích ứng xử phi tuyến của dầm FGMs trên nền đàn hồi Winkler chịu tải trọng điều hòa chuyển động.

Ý nghĩa của đề tài

Từ tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước, 2 vấn đề đang rất được quan tâm trong thời gian gần đây chính là vấn đề vật liệu FGMs và vấn đề tải trọng di động (được nghiên cứu rất nhiều trong một thời gian dài)

Vật liệu FGMs với nhiều tính năng ưu việt và tiềm năng ứng dụng lớn trong nhiều lĩnh vực, và do đó cần được nghiên cứu, phân tích ứng xử của các kết cấu với vật liệu này Tuy nhiên, FGMs có đặc tính thay đổi liên tục theo một phương, và do đó việc tính toán ứng xử của kết cấu với FGMs khác với các kết cấu sử dụng vật liệu đồng nhất thông thường, phức tạp hơn, và cần phải được làm rõ

Thêm vào đó, các nghiên cứu về kết cấu chịu tải trọng di động thường mô hình tải trọng là lực di động hoặc khối lượng di động; tuy nhiên, trong thực tế tải trọng di động là các vật thể di động bao gồm bánh xe, thân xe, và hệ cô lập dao động Do đó, ứng xử của kết cấu chịu vật thể di động với mô hình (dựa trên mô hình xe) là hệ gồm 2 khối lượng liên kết với nhau bằng hệ lò xo – cản (sprung mass) cần phải được phân tích

Qua tình hình nghiên cứu, các nghiên cứu về kết cấu vật liệu FGMs chịu tải trọng di động chỉ mới dừng lại ở kết cấu dầm (đơn giản hoặc trên nền đàn hồi) chịu tải trọng di động, và mô hình tải trọng là lực, lực điều hòa, hoặc khối lượng di động Do đó, việc nghiên cứu về đề tài “Phân tích dao động của tấm phân lớp chức năng trên nền đàn nhớt chịu vật thể chuyển động” mang tính thời sự, mới, và chưa có tác giả nào thực hiện Sự khác biệt của đề tài này với một số nghiên cứu gần đây được so sánh và tổng hợp trong Bảng 2.1 Trong đó, các nghiên cứu về tải trọng di động trên dầm FGMs đã được phân tích và các bài toán tấm FGMs chỉ mới dừng ở việc phân tích tĩnh

Bảng 2.1: So sánh sự khác biệt giữa đề tài luận văn và các nghiên cứu liên quan

Tác giả Cấu kiện Biến dạng –

Chuyển vị Tải trọng Nền Kết quả

J Ying và các cộng sự (2008) [23] Dầm FGMs Tĩnh Nền đàn hồi

Winkler- Pasternak Ứng xử chịu uốn và dao động tự do của dầm

Tấm FGMs vuông Phi tuyến Áp lực tĩnh (Không) Ứng xử của tấm (chuyển vị và nội lực)

(2009) [26] Tấm FGMs Phi tuyến Nền đàn hồi 2 thông số Dao động tự do của tấm

Dầm FGMs, sử dụng lý thuyết dầm Euler- Bernoulli Điều hòa di động (Không) Dao động tự do và ứng xử động của dầm

Luận văn Tấm FGMs, sử dụng lý thuyết FSDT

Tuyến tính Vật thể di động Nền đàn nhớt Ứng xử của tấm và vật thể

Tác giả Cấu kiện Chuyển vị Tải trọng Nền Kết quả

Hui-Shen Shen, Zhen-Xin Wang (2010) [28]

Tấm FGMs, sử dụng lý thuyết HSDT

Phi tuyến Tĩnh và nhiệt Nền đàn hồi

Pasternak Ứng xử của tấm (chuyển vị và nội lực)

Mesut Simsek (2010) [29] Dầm FGMs, sử dụng lý thuyết dầm Euler- Bernoulli, dầm Timoshenko, dầm TSDT

Tuyến tính Khối lượng di động (Không) Ứng xử của dầm (chuyển vị và nội lực)

M.K Singha và các cộng sự (2011) [31]

Tấm FGMs, sử dụng lý thuyết FSDT

Phi tuyến Tĩnh (Không) Ứng xử của tấm (chuyển vị và nội lực)

Luận văn Tấm FGMs, sử dụng lý thuyết FSDT

Tuyến tính Vật thể di động Nền đàn nhớt Ứng xử của tấm và vật thể

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Giới thiệu

Trong chương này, phương trình chuyển động của tấm FGMs trên nền đàn hồi nhớt được thiết lập dựa trên lý thuyết tấm Mindlin và phương pháp phần tử hữu hạn Mô hình vật thể và phương pháp số Newmark được áp dụng để giải phương trình chuyển động Các nội dung chính được trình bày tuần tự gồm: tổng quan về bài toán và giả thiết, mô hình tấm và đặc trưng vật liệu, lý thuyết tấm Mindlin và phương trình chuyển động, xử lý hiện tượng "khóa cắt", thiết lập phương trình chuyển động của vật thể, áp dụng phương pháp Newmark và giới thiệu kỹ thuật lập trình MATLAB.

Mô hình bài toán và đặc trưng vật liệu của tấm

Tấm FGMs chữ nhật có mặt trên bằng gốm và mặt dưới bằng kim loại, được bố trí trên nền đàn hồi, có thể dịch chuyển tự do trên chu vi và chịu tác động của vật thể di động với vận tốc V Đặc tính của vật liệu thay đổi liên tục theo chiều dày theo quy luật lũy thừa.

  (3.1) với Pc và Pm lần lượt là đặc tính của vật liệu của gốm (ceramic) và của kim loại (metal), n là hệ số mũ đặc trưng cho sự phân phối vật liệu theo chiều dày tấm Vật liệu sử dụng trong luận văn có các đặc tính được cho trong Bảng 3.1

Bảng 3.1: Đặc tính vật liệu

Trong luận văn này, giả thiết rằng:

• Ứng xử của vật liệu là tuyến tính và đẳng hướng

• Chuyển vị và biến dạng của tấm là bé

Hình 3.1: Mô hình tấm FGMs trên nền đàn nhớt x y b a

Tự do z x Gốm Kim loại h vw

• Trong quá trình chuyển động, vật thể luôn tiếp xúc với tấm (hay bánh không nhảy)

• Ứng xử của nền là tuyến tính và nền có chịu kéo

Tấm FGMs được khảo sát trong luận văn này gồm 3 dạng: (A) tấm FGMs thông thường với FGMs toàn bộ chiều dày tấm (Hình 3.2), (B) tấm sandwich FGMs với lõi là FGMs, mặt trên và dưới là vật liệu đồng nhất (Hình 3.3), (C) tấm sandwich FGMs với lõi là đồng nhất, mặt trên và dưới là FGMs (Hình 3.4) Trong trường hợp (B) và (C), tỷ lệ chiều dày tấm từ mặt dưới đến mặt trên được ghi (ví dụ) như sau 1-1-1 có nghĩa là chiều dày 3 lớp bằng nhau hay h 1 = − = −h 2 h/ 6

Hình 3.2: (A) Tấm với FGMs toàn bộ chiều dày

Hình 3.3: (B) Tấm với lõi là FGMs, mặt trên và dưới đồng nhất

Hình 3.5: Mô đun đàn hồi E theo chiều dày tấm

Sự thay đổi đặc tính vật liệu theo chiều dày tấm trong các trường hợp có dạng như sau:

• Trường hợp tấm sandwich FGMs (B)

Hình 3.4: (C) Tấm với lõi là đồng nhất, mặt trên và dưới là FGMs

• Trường hợp tấm sandwich FGMs (C)

= −  −  + , z h h∈ [ 2 , / 2] (3.4) Sự thay đổi mô đun đàn hồi E theo chiều dày tấm trong trường hợp (A) và (C) (1-1-1) được thể hiện trong Hình 3.5 Đồ thị từ Hình 3.5 cho thấy rằng với n = 0 nghĩa là tấm hoàn toàn là gốm và với n = ∞ nghĩa là tấm hoàn toàn là kim loại.

Lý thuyết tấm Mindlin cho tấm nhiều lớp

Lý thuyết tấm cổ điển cho tấm nhiều lớp (classical laminated plate theory - CLPT) là lý thuyết tấm Kirchoff áp dụng cho tấm nhiều lớp với các giả thiết (1) đường thẳng vuông góc với mặt trung bình sau khi biến dạng vẫn thẳng, (2) không có biến dạng theo phương chiều dày tấm, (3) đường thẳng vuông góc với mặt trung bình sau khi biến dạng vẫn vuông góc với mặt trung bình Các giả thiết này cho thấy εz =εxz =εyz = 0 Ngoài ra, khác với giả thiết

Kirchoff cho tấm đồng nhất, mặt trung bình tấm vẫn có biến dạng kéo nén do trong một số trường hợp đặc trưng vật liệu không phân bố đối xứng qua mặt trung bình nên mặt trung hòa không trùng với mặt trung bình Lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển phù hớp với các tấm có chiều dày mỏng hay tỷ số h/b (b là kích thước cạnh ngắn của tấm) nhỏ, khi tỷ số h/b lớn hơn thì sự bỏ qua các biến dạng ε xz và ε yz là không phù hợp Chuyển vị trong tấm theo lý thuyết này có dạng như sau

( , , , ) 0 ( , , ) w x y z t =w x y t (3.5) với (u v w 0 , , 0 0 ) là chuyển vị theo trục (x y z, , )

Lý thuyết tấm Mindlin cho tấm nhiều lớp, hay lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất cho tấm nhiều lớp (first-order shear deformation laminated plate theory – FSDT), bỏ đi giả thiết thứ 3 của lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển (CLPT) Theo lý thuyết này, đường thẳng vuông góc với mặt trung bình sau khi biến dạng vẫn thẳng nhưng không vuông góc với mặt trung bình Chuyển vị trong tấm theo lý thuyết này có dạng như sau (Hình 3.6)

( , , , ) 0 ( , , ) w x y z t =w x y t (3.6) với (φ φx , y ) là góc xoay của mặt trung bình quanh trục y và x Theo lý thuyết

FSDT, biến dạng cắt là hằng số suốt chiều dày tấm, nghĩa là ứng suất cắt cũng là hằng số suốt chiều dày tấm, điều này không phù hợp với thực tế Do đó, để tính lực cắt trong tấm cần có thêm hệ số điều chỉnh cắt K s Để khắc phục điều này, lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (higher-order shear deformation laminated plate theory – HSDT) kể thêm các thành phần bậc cao hơn của z trong hàm chuyển vị Mặc dù các lý thuyết này (HSDT) cho kết quả chính xác hơn nhưng làm cho phức tạp hơn nhiều về tính toán Lý thuyết tấm FSDT cho kết quả với độ chính xác phù hợp và không quá phức tạp về thuật toán nên được sử dụng nhiều trong tính toán Vì lý do trên, luận văn này sử dụng lý thuyết tấm FSDT để khảo sát ứng xử động của tấm

Hình 3.6: Sự thay đổi hình dạng của tấm trước và sau khi biến dạng theo lý thuyết FSDT [36]

3.3.1 Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị

Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị theo lý thuyết FSDT có dạng như sau

(0) (1) u x x x xx xx xx v yy yy y yy yz yz yz w y y xz xz xz w x x u v xy xy xy y x z z φ φ φ ε ε ε ε ε ε γ γ γ γ γ γ γ γ γ

(3.7) với (ε ε γ xx (0) , yy (0) , yz (0) ,γ xz (0) ,γ xy (0) ) là các biến dạng màng, và (ε ε γ γ γ xx (1) , , , , yy (1) yz (1) xz (1) xy (1) ) là các biến dạng do uốn

3.3.2 Quan hệ giữa ứng suất và nội lực

Theo định luật Hooke (dạng ngược), quan hệ giữa ứng suất và biến dạng có dạng như sau

0 0 0 0 xx xx yy yy yz yz xz xz xy xy

Q z Q z Q z= = = +ν (3.9) Từ đây, nội lực được tính như sau

2 2 xx h xx yy h yy xy xy

2 xx h xx yy h yy xy xy

∫ (3.10) với K s là hệ số điều chỉnh lực cắt, lấy bằng 5/6 Thay (3.7), (3.8) và (3.9) vào (3.10), nội lực được viết dưới dạng sau

0 0 0 0 xx xx xx yy yy yy xy xy xy

0 0 0 0 xx xx xx yy yy yy xy xy xy

Tùy thuộc vào từng loại tấm FGMs (mục 3.2) mà các hệ số A ij , B ij , và D ij có dạng như sau:

• (A) Tấm FGMs thông thường với FGMs toàn bộ chiều dày tấm

• (B) Tấm với lõi là FGMs, mặt trên và dưới là vật liệu đồng nhất

• (C) Tấm với lõi là đồng nhất, mặt trên và dưới là FGMs

Nguyên lý Hamilton có dạng như sau

Phương trình dao động của hệ dưới dạng phương trình Euler-Lagrange được thu được từ Đẳng thức (3.23), trong đó δU là biến phân thế năng biến dạng đàn hồi, δV là biến phân công của ngoại lực và δK là biến phân động năng của hệ Thông qua các phép biến đổi toán học, các phương trình từ (3.7) đến (3.13) được thế vào (3.23), sau đó bằng 0 hệ số của các biến phân δu0, δv0, δw0, δφx và δφy trên miền Ω0.

(trên toàn bộ diện tích tấm), có dạng như sau [36] u0 δ : Nx xx Ny xy I 0 2 tw 2 0 I 1 2 t 2 x

∂ ∂ ∂ ∂ v0 δ : Nx xy Ny yy I 0 2 tv 2 0 I 1 2 t 2 y φ

∂ ∂ ∂ δφx : Mx xx My xy Q x I 2 2 t 2 x I 1 2 tu 2 0

∂ ∂ ∂ ∂ δφy : Mx xy My yy Q I y 2 2 t 2 y I 1 2 tv 2 0

∂ ∂ ∂ ∂ (3.24) trong đó q là lực phân bố trên tấm và

∫ (3.26) với ρ ( ) z là khối lượng riêng của tấm, (I I I 0 , , 1 2 ) có dạng giống (A B D 11 , , 11 11 )

3.3.4 Thiết lập các công thức phần tử hữu hạn

Theo lý thuyết tấm Mindlin, các biến số chuyển vị (u, v, w0, φx, φy) là độc lập và được biểu diễn bằng hàm nội suy Lagrange Phần tử tấm chữ nhật 4 nút được sử dụng, với mỗi nút có 5 bậc tự do tương ứng với các biến chuyển vị Chuyển vị trong phần tử được mô tả như sau:

= ∑ (3.27) với ψ e j là hàm nội suy Lagrange (theo tọa độ tự nhiên) có dạng như sau

Hình 3.7: Phần tử tấm chữ nhật Ý tưởng của phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền Ω 0 mà chỉ trong từng miền con Ωe (miền phần tử) thuộc miền xác định Ω 0 Do đó, nhân các phương trình (3.24) với các biến phân tương ứng (theo (3.24)) rồi tích phân trên toàn miền phần tử Ω e , sau đó thế các phương trình (3.27) vào các tích phân này, phương trình chuyển động của phần tử theo PP PTHH được viết dưới dạng ma trận như sau y x y1 x1

Hình 3.8: Tọa độ tự nhiên của phần tử

Các ma trận con thành phần  K αβ  ,  M αβ  , và { }F α (α β, =1,2, ,5) trong (3.30) có dạng như sau [36]

= ∫ Ω (3.32) trong đó các hệ số N Ij α , M Ij α , và Q Ij α (α =1,2, 5 và I =1,2,6) có dạng như sau

=  ∫ Γ , F i 5 =  ∫ Γ e T dxdy y i ψ e (3.34) với P x và P y lần lượt là lực tác dụng trên phần tử theo phương x và y, q là lực phân bố theo phương z trên phần tử, Q n là lực phân bố theo phương z trên biên phần tử, T x và T y là mô men quanh trục y và x tác dụng trên phần tử.

Ảnh hưởng của nền

Tấm FGMs đặt trên nền đàn nhớt đặc trưng bằng 2 thông số với k f là hệ số độ cứng của nền, và c f là hệ số cản của nền Lực tác dụng lên tấm do nền đàn nhớt là lực phân bố theo phương z trên toàn diện tích tấm và phụ thuộc vào w và w Vec tơ lực nút { }F 3 (theo phương z) có thể tách thành 2 thành phần

{ } { } { }F 3 = F 3 p + F 3 f (3.35) với { }F 3 p là lực nút do tải ngoài (không phải nền) tác dụng lên tấm và { }F 3 f là lực nút do nền đàn nhớt tác dụng lên tấm Theo (3.34), { }F 3 f có dạng như sau

= ∫ Ω (3.36) trong đó q x y t f ( , , ) là lực phân bố trên phần tử và được xác định như sau

= −∑ −∑  (3.37) Đưa (3.37) vào (3.36), F i 3 f được viết lại như sau

Thế (3.38) vào (3.30) rồi chuyển vế, ma trận độ cứng phần tử  K e   khi có kể ảnh hưởng của nền có dạng

(3.39) trong đó  K 33 f   là ma trận độ cứng thêm vào khi có kể ảnh hưởng của nền và xác định như sau

Tương tự, phương trình (3.30) (hay (3.31)) thêm thành phần ma trận cản phần tử    C e có dạng như sau

(3.41) tương ứng với { { } { } { } u  e , v  e , w  e , { } { } S  1 , S  2 } T và C 33 f  được xác định như sau

Như vậy, phương trình chuyển động của phần tử theo PP PTHH (3.31) có kể đến ảnh hưởng của nền đàn nhớt được viết lại như sau

Hiện tượng “khóa cắt” (shear locking) và phép cầu phương Gauss

Khi chiều dày của tấm nhỏ hơn nhiều kích thước 2 cạnh còn lại của tấm, kết quả tính độ võng của tấm theo lý thuyết tấm Mindlin, về mặt lý thuyết, phải trùng với kết quả khi sử dụng lý thuyết tấm Kirchoff Tuy nhiên, kết quả tính toán số cho thấy độ võng của tấm (với lý thuyết tấm Mindlin) nhỏ hơn nhiều so với thực tế, hiện tượng này gọi là hiện tượng “khóa cắt” (shear locking) Về mặt lý thuyết, với tấm mỏng, biến dạng cắt γxz và γ yz bằng 0 hay x w 0 φ + ∂x ∂ , y w 0 φ + ∂y ∂ (3.44) và do đó trong biểu thức năng lượng không tồn tại phần năng lượng do biến dạng cắt Thành phần năng lượng do biến dạng cắt có dạng như sau

Hiện tượng “khóa cắt” cho thấy, trong tính toán số, biến dạng cắt γxz và γ yz không bằng 0 khi chiều dày của tấm mỏng Ngoài ra, hệ số D ij tỷ lệ với h 3 , trong khi A ij tỷ lệ với h, nên khi chiều dày của tấm nhỏ thì hệ số A ij lớn hơn rất nhiều so với D ij Điều này làm cho phần năng lượng do biến dạng cắt vẫn còn được kể đến trong biểu thức năng lượng của tấm, làm cho tấm trở nên rất cứng, và làm ảnh hưởng đến kết quả bài toán

Một cách thức đơn giản để giải quyết hiện tượng “khóa cắt” là sử dụng kỹ thuật tích phân thu gọn (reduced integration) Kỹ thuật tích phân thu gọn là sử dụng phép cầu phương Gauss để tính các ma trận thành phần trong phương trình chuyển động theo PP PTHH, trong đó các hệ số chứa A 44 và A 55 được tính với số điểm Gauss thấp hơn 1 bậc so với cần thiết Trong trường hợp với phần tử chữ nhật 4 nút như trên, các hệ số chứa A44 và A55 được tính với 1 điểm Gauss và các hệ số còn lại được tính với 2 điểm Gauss

3.5.2 Phương pháp cầu phương Gauss

Để sử dụng phương pháp Cầu phương Gauss, cần thực hiện các bước sau: xác định các ma trận thành phần trong phương trình chuyển động (3.30) bằng cách tính tích phân theo dạng đã cho.

Phương pháp Gauss áp dụng cho các tích phân có cận từ -1 đến 1, do đó, tích phân (3.46) được chuyển sang hệ trục tọa độ tự nhiên của phần tử như sau

= ∫ = ∫ = ∫ ∫ (3.47) trong đó J là định thức của ma trận Jacobi, và đạo hàm riêng hàm dạng theo x và y được chuyển sang tọa độ tự nhiên như sau

(3.48) với [ ]J là ma trận Jacobi và được xác định như sau

Theo phương pháp Gauss, tích phân (3.47) được xác định như sau

= ∑∑ (3.50) trong đó W i và W j là trọng số ứng với điểm Gauss thứ i và j, (ξ η i , i ) là tọa độ điểm Gauss thứ i Khi sử dụng 1 điểm Gauss, ξ η= =0 và W W i = j =2 Khi sử dụng 2 điểm Gauss, W Wi = j =1 và tọa độ các điểm Gauss như Hình 3.9.

Mô hình vật thể

Từ phần này về sau, ma trận, vec tơ cột, vec tơ hàng lần lượt được ký hiệu là [ ], { }, Mô hình vật thể dựa trên mô hình xe có dạng như Hình

3.10 Vật thể được xem gồm 2 phần Phần trên là thân xe không tiếp xúc với tấm gồm có k bậc tự do, thể hiện bằng vec tơ chuyển vị { } d u Phần dưới là n bánh xe tiếp xúc với tấm, mỗi bánh xe có một bậc tự do là chuyển vị đứng v wi , thể hiện bằng vec tơ { }d w = v w 1 v w 2 v wi v wn T Chuyển vị của tấm tại vị trí các bánh xe ký hiệu là v ci và được thể hiện bằng vec tơ ξ=-1/√3 ξ=1/√3 η=1/√3 η=-1/√3 ξ η

Hình 3.9: Tọa độ điểm Gauss

{ }d c = v v c 1 c 2 v ci v cn T Lực tiếp xúc giữa bánh xe và tấm được ký hiệu là V i và được thể hiện bằng vec tơ { }f c = V V 1 2 V i V n T

Chuyển vị của bánh xe và chuyển vị của tấm tại vị trí tiếp xúc có quan hệ như sau

{ } d w = Γ [ ] { } d c (3.51) với giả thiết bánh không nhảy thì [ ] Γ là ma trận đơn vị Phương trình chuyển động của vật thể có dạng như sau [39]

{ } u u uu uw uu uw wu ww w wu ww w d d m m c c m m d c c d

[ ] [ ] u { } u ue uu uw wu ww w we w c l d f k k f k k d f l

        (3.52) trong đó { }f ue và { }f we lần lượt là vec tơ ngoại lực tác dụng lên phần trên và dưới của vật thể, [ ]lu và [ ]lw là ma trận chuyển đổi do vec tơ { }f c có kích thước như { }d w Do phần trên của vật thể không tiếp xúc với tấm nên ma trận

Thân xe với k bậc tự do vwn vwn-1 vw2 vw1

Hình 3.10: Mô hình minh họa vật thể vcn vcn-1 vc2 vc1

Tùy theo trượng hợp mô hình tải trọng (hay vật thể), các ma trận thành phần trong (3.52) có dạng như sau:

• Lực di động (moving force) (Hình 3.11a)

Phương trình chuyển động của vật thể (hay tải trọng) (3.52) không có thành phần chuyển vị của phần trên (phần thân xe) Các thành phần của (3.52) như sau

• Khối lượng di động (moving mass) (Hình 3.11b)

Tương tự như lực di động (không có thành phần chuyển vị của phần trên), các thành phần của (3.52) như sau z x P V z x M V

Mv vu mw kv cv

V z x vw2 mw vw1 mw kv cv d kv cv ds vu ϕ u Mv, Iv

Trong mô hình tải trọng, khối lượng động (b) chuyển động gắn với lực động (a), hai khối lượng liên kết với nhau bằng hệ thống giảm chấn lò xo di động (c) Hệ thống này gắn với dầm cứng và hai bánh di động (d).

[m ww ] ≡M , [ ]c ww ≡0, [ ]k ww ≡0, { } f we ≡ − Mg, [ ]l w ≡1, [ ]Γ ≡1 (3.54)

• Hệ 2 khối lượng liên kết với nhau bằng hệ lò xo-cản di động (moving sprung mass) (Hình 3.11c)

Chuyển vị v u và v w được tính từ vị trí cần bằng của vật thể Tách vật thể (sprung mass) thành 2 phần như Hình 3.12

Các thành phần lực trong Hình 3.12 được được xác định như sau

( ) s v u w st f k z z= − − ∆ , f c z z d = v ( u −  w ), vg v f =M g, f vI =M z v v  , f wg =m g w , f wI =m z w w  , ∆ st v k M g= v (3.55) Xét cần bằng từng phần vật thể, phương trình chuyển động của vật thể có dạng như sau

(3.57) Mv fs fd fvg fvI fs fd fc fwI fwg

Hình 3.12: Hai phần của hệ sprung mass

• Hệ dầm cứng và 2 bánh (suspended rigid beam) (Hình 3.11d)

Thực hiện tương tự như đối với moving sprung mass, tách vật thể thành 2 phần như Hình 3.13

Các thành phần lực trong Hình 3.13 được xác định như sau vg v f =M g, f vI =M v v u  , m I =I v u ϕ , I v = M d d v ( +2 s ) 2 /12,

2 0.5 2 s v u u w st f =k v − ϕ d v− − ∆ , f d 2 =c v v ( u −0.5ϕ u d v−  w 2 ), v st 0.5 v k ∆ = M g, f wg =m g w , f wI 2 =m v w w  2 , f wI 1 =m v w w  1 (3.58)

Lấy tổng lực theo phương thẳng đứng cho phần trên và dưới, và tổng mômen quanh trọng tâm vật thể bằng 0, phương trình chuyển động thu được như sau

(3.59) hay mI fvI fs2 fvg fd2 fs1 fd1 fs2 fd2 fc2 fwI2 fwg fs1 fd1 fc1 fwI1 fwg

Hình 3.13: Hai phần của hệ suspended rigid beam

Trong luận văn này, ứng xử của tấm được khảo sát với mô hình vật thể là moving sprung mass, và có 1 phần so sánh các trường hợp tải.

Phương pháp số giải phương trình chuyển động

Phương trình chuyển động có dạng như

Mu t Cu t Ku t +  + =P t (3.61) có thể được giải bằng nhiều phương pháp Các phương pháp này được chia làm 2 nhóm, đó là nhóm các phương pháp giải thích và nhóm các phương pháp số

Các phương pháp giải tích cho kết quả chuyển vị, gia tốc, vận tốc dưới dạng hàm Trong khi các phương pháp số cho kết quả chuyển vị, gia tốc, và vận tốc là các số cụ thể tại từng thời điểm

Các phương pháp giải tích chỉ áp dụng được cho các bài toán đơn giản vì những khó khăn về mặt toán học Ngược lại, các phương pháp số có thể sử dụng được cho rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp với độ chính xác phù hợp, tận dụng được khả năng tính toán của máy tính, có thể lập trình tự động Ý tưởng của các phương pháp số là rời rạc phương trình chuyển động theo thời gian, nghiệm được tính toán tại từng thời điểm Các phương pháp số có thể được chia làm 2 dạng, đó là dạng tường minh (explicit) và dạng ẩn (implicit) Phương pháp dạng tường minh là các phương pháp trong đó vận tốc và chuyển vị tại thời điểm i +1 được giải từ nghiệm của thời điểm , 1, i i − thông qua các biểu thức dạng tường minh Phương pháp dạng ẩn là các phương pháp trong đó chuyển vị tại thời điểm i +1 được giải từ kết quả của thời điểm

Trong khi phân tích chuyển động của vật thể bằng phương pháp vi phân, ta thường dùng các công thức dạng ẩn để tìm giá trị của vận tốc, gia tốc tại thời điểm i +1 Các giá trị này là ẩn số cần tìm, do đó cần giải quyết thông qua các phương trình dạng ẩn.

Một số phương pháp dạng tường minh là phương pháp Euler, phương pháp Runge Kutta bậc 4, và phương pháp sai phân trung tâm Phương pháp Euler với thuật toán đơn giản nhưng cho kết quả sai số lớn, phương pháp Runge Kutte và phương pháp sai phân trung tâm cho kết quả với độ chính xác tốt nhưng thuật toán lại phức tạp hơn, khối lượng tính toán lớn

Một số phương pháp dạng ẩn là phương pháp Newmark, phương pháp Wilson, phương pháp HHT, phương pháp HHθ Phương pháp Newmak được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1959 Phương pháp này với thuật toán đơn giản, khối lượng tính toán vừa phải, áp dụng được cho nhiều bài toán, và cho kết quả với độ chính xác tốt nên được sử dụng rộng rãi Các phương pháp còn lại dựa trên cơ sở của phương pháp Newmark, cho kết quả với độ chính xác tương đương với phương pháp Newmark, thuật toán có phần phức tạp hơn và ít được sử dụng

Trong luận văn này, phương pháp Newmark với gia tốc trung bình được sử dụng vì phương pháp này cho kết quả có độ chính xác tốt, thuật toán không quá phức tạp, khối lượng tính toán vừa phải, không cần điều kiện ổn định và có khả năng áp dụng cho nhiều dạng bài toán [40]

Phương trình chuyển động (3.61) được rời rạc theo thời gian và viết ở thời điểm i +1 như sau

Trong phương pháp Newmark, hàm gia tốc giữa các thời điểm được xấp xỉ, vận tốc và chuyển vị của thời điểm sau thu được bằng cách tích phân hàm gia tốc xấp xỉ Chuyển vị và vận tốc tại thời điểm sau có dạng như sau

1 1 1 i i i 2 i i u + =u u t+ ∆ +  −β∆t u + ∆β t u + (3.63) trong đó ∆t là độ lớn của bước thời gian, γ và β là các thông số của phương phỏp Newmark và được lấy lần lượt bằng ẵ và ẳ trong phương phỏp gia tốc trung bình Biểu thức u i + 1 và u i + 1 được suy ra từ phương trình (3.63) có dạng như sau

1 5 1 6 7 i i i i i u + =a u+ −u −a u a u −  (3.64) với các hệ số ai trong (3.64) và các công thức sau này được xác định như sau

Thay các phương trình (3.64) vào (3.62), phương trình (3.62) được viết lại như sau eff i 1 eff

K u+ =P (3.66) trong đó K eff và P eff , lần lượt là ma trận độ cứng hiệu dụng và vec tơ tải hiệu dùng, có dạng như sau

P = P+ +M a u a u a u+  +  +C a u a u a u+  +  (3.67) Phương trình (3.66) có một ẩn là chuyển vị tại cuối bước thời gian ui + 1, và do đó có thể dễ dàng tìm được ẩn này Sau khi có được chuyển vị u i + 1 , vận tốc i 1 u + và gia tốc u i + 1 tại cuối bước thời gian được suy ra bằng cách thay u i + 1 vào các phương trình (3.64) Như vậy, từ nghiệm đã biết tại thời điểm i, nghiệm ở thời điểm i +1 được tìm

3.7.2 Áp dụng phương pháp Newmark

Phương trình chuyển động của vật thể (3.52) được rời rạc theo thời gian và viết ở thời điểm t+ ∆t như sau

{ } u u uu uw uu uw wu ww w t t wu ww w t t d d m m c c m m d +∆ c c d +∆

[ ] [ ] u { } u ue uu uw c t t wu ww w t t we t t w l d f k k f k k d +∆ f +∆ l +∆

Dòng trên trong phương trình (3.68) được viết lại như sau

[ ]muu { }d u t t +∆ + [ ] cuu { }d u t t +∆ + [ ] k duu { } u t t +∆ = { } fue t t +∆ − { } quc t t +∆ (3.69) trong đó

{ }quc t t +∆ = [muw ] { }d w t t +∆ + [ ] cuw { }d w t t +∆ + [ ] kuw { } dw t t +∆ (3.70)

Theo phương pháp Newmark, gia tốc { } d  u t t +∆ và vận tốc { } d  u t t +∆ (theo (3.64)) có dạng như sau

{ }d u t t +∆ =a d5 ( { } u t t +∆ − { } du t ) −a d6 { }  u t −a d7 { }  u t (3.71) Thay (3.71) vào (3.69), phương trình (3.69) được viết lại như sau

[ Ψ uu ] ( { }du t t +∆ − { }du t ) = { } fue t t +∆ − { } quc t t +∆ + { } qu t (3.72) trong đó

Giải phương trình (3.72), chuyển vị tại cuối bước thời gian { }d u t t +∆ có dạng như sau

{ }du t t +∆ = Ψ [ uu ] − 1 ( { }fue t t +∆ − { }quc t t +∆ + { }qu t ) + { } du t (3.74)

Vận tốc { } d  u t t +∆ và gia tốc { } d  u t t +∆ tại cuối bước thời gian được suy ra từ phương trình (3.71) có dạng như sau

Thay các phương trình (3.74) và (3.75) vào dòng dưới trong phương trình (3.68), vec tơ lực tiếp xúc dó dạng như sau

{ }fc t t +∆ = [ ]m dc { }  w t t +∆ + [ ] c dc { }  w t t +∆ + [ ] k dc { } w t t +∆ + { } pc t t +∆ + { } qc t (3.76) trong đó

{ }q w t = [m wu ] (a d 1 { }  u t +a d 2 { }  u t ) + [ ] c wu (a d 6 { }  u t +a d 7 { }  u t ) − [ ] k wu { } d u t (3.78) Với điều kiện bánh không nhảy (theo (3.51)), vec tơ lực tiếp xúc { }f c t t +∆ được viết lại theo chuyển vị { } d c t t +∆ , vận tốc { } d  c t t +∆ , và gia tốc { } d  c t t +∆ của tấm tại vị trí tiếp xúc như sau

{ }fc t t +∆ = [ ]m dc { }  c t t +∆ + [ ] c dc { }  c t t +∆ + [ ] k dc { } c t t +∆ + { } pc t t +∆ + { } qc t (3.79) Như vậy, lực tiếp xúc V i t t , +∆ của bánh xe thứ i (i =1, ,n) có dạng như sau

1 n i t t ci t t ci t cij cj t t cij cj t t cij cj t t

= + +∑  +  + (3.80) Đối với phần tử tấm có lực tiếp xúc V i t t , +∆ , phương trình chuyển động của phần tử (3.43) (đã có kể ảnh hưởng của nền đàn nhớt) có dạng như sau

Trong quá trình phân tích kết cấu, các nút của phần tử hữu hạn thường chịu tác dụng của các tải trọng bên ngoài (lực nút) được gọi là { }F i t t e +∆ Ngoài ra, các nút này còn chịu tác động của lực tiếp xúc V i t t , +∆ gây ra bởi sự tương tác giữa các phần tử với nhau Lực nút này thường được biểu thị bằng véc tơ { }f ci t t e +∆.

{ } e { } v , ci t t ci i t t f +∆ = N V +∆ (3.82) với { }Nci v là vec tơ hàm dạng (của chuyển vị w) ứng với vị trí của lực tiếp xúc trong phần tử Thay (3.80) và (3.82) vào (3.81), phương trình (3.81) được viết lại như sau

1 v n ci ci t t ci t cij cj t t cij cj t t cij cj t t

Các thành phần chuyển vị d cj t t , +∆ , vận tốc d cj t t , +∆ , và gia tốc d cj t t , +∆ tại vị trí lực tiếp xúc được xác định thông qua các chuyển vị, vận tốc, và gia tốc của nút phần tử như sau

, v { } e cj t t cj j t t d +∆ = N ∆ +∆ , , v { } e cj t t cj j t t d +∆ = N ∆ +∆ , , v { } e cj t t cj j t t d +∆ = N ∆ +∆ (3.84) Thay (3.84) vào (3.83), phương trình chuyển động của phần tử khi có lực tiếp xúc tác dụng có dạng như sau

1 n e e e cij j t t cij j t t cij j t t ci t t ci t t j m ∗ +∆ c ∗ +∆ k ∗ +∆ p ∗ +∆ q ∗ +∆

    , (3.86) và các vec tơ tải nút

Sau khi thiết lập phương trình chuyển động của phần tử có lực tiếp xúc (3.85), thực hiện ghép nối các phần tử, phương trình chuyển động của tấm ở thời điểm t+ ∆t có dạng như sau

Một kỹ thuật lập trình PP PTHH bằng MATLAB

Chương trình mô phỏng quá trình phản ứng tính chất nhiệt (PTHH) trong luận văn được lập trình trên phần mềm MATLAB 7.11.0 (R2010b) - một sản phẩm của công ty MathWorks Kỹ thuật lập trình PTHH trên MATLAB này được hướng dẫn bởi chuyên gia Loren (nhân viên thiết kế của MathWorks) nhằm giảm thiểu thời gian thiết lập ma trận hệ số thành phần trong phương trình chuyển động.

Thông thường, ma trận độ cứng tổng thể [ ]K (hay các ma trận thành phần khác trong phương trình chuyển động) trong PP PTHH được lập trình thiết lập bằng cách sử dụng ma trận chỉ số [ ]b (hay còn gọi là ma trận liên hệ

Boolean) Mỗi thành phần Kij e của ma trận độ cứng phần tử  K e   được gộp thêm vào thành phần K mn của ma trận độ cứng tổng thể [ ]K với m b= ei và n b= ej Ví dụ ma trận [ ]b có dạng như sau (Bảng 3.2)

Bảng 3.2: Ví dụ ma trận chỉ số [ ]b

Từ đây, K 35 được xác định như sau

Đầu tiên, ma trận chỉ số [ ]b được thiết lập và tạo ma trận [ ] [ ]K = 0 có kích thước đầy đủ Tiếp theo, lần lượt từng thành phần của ma trận độ cứng phần tử được cộng dồn vào ma trận [ ]K.

  được gộp thêm vào ma trận độ cứng tổng thể [ ]K với vị trí xác định dựa vào ma trận chỉ số [ ]b như sau

( , ) ( , ) i ik il ik il kl

Ma trận rời rạc trong MATLAB được lưu trữ theo cách đặc biệt làm tăng đáng kể thời gian tính toán Cụ thể, khi lưu trữ ma trận rời rạc, MATLAB chỉ lưu các phần tử khác 0 cùng với các chỉ mục của chúng, dẫn đến ma trận được lưu trữ dưới dạng một danh sách các cặp giá trị-chỉ mục Cách lưu trữ này tối ưu về dung lượng nhưng lại không phù hợp với các phép tính ma trận, vì MATLAB phải truy vấn toàn bộ danh sách cặp giá trị-chỉ mục để thực hiện mỗi phép tính.

MATLAB chỉ lưu các giá trị C ij ≠ 0 của [ ]C như sau:

Như vậy, MATLAB lưu [ ]C theo bằng 3 vec tơ p (chỉ hàng), i (chỉ cột), và x

Khi thêm vào C( )3,1 =C( )3,1 42+ , ma trận [ ]C lúc này trở thành:

Như vậy, việc thêm vào C ( )3,1 không chỉ là thêm vào 1 giá trị mới mà còn làm lưu lại tất cả các giá trị có thứ tự bên dưới nó Như vậy, việc lập trình PP PTHH trong MATLAB theo cách thông thường sử dụng câu lệnh dạng

( , ) ( , ) i ik il ik il kl

K b b =K b b +K làm thời gian tính toán tăng lên rất nhiều lần Với cách làm thông thường, thời gian tính toán của chương trình chủ yếu là thời gian thiết lập các ma trận thành phần Việc giải hệ phương trình tuyến tính

KX P= sau này không tốn nhiều thời gian vì MATLAB có hỗ trợ việc giải hệ phương trình này bằng dòng lệnh X K B= \ Trong một số trường hợp, thời gian thiết lập ma trận thành phần có thể hơn 100 lần thời gian giải hệ phương trình tuyến tính sau này (*) Để giải quyết vấn đề trên, lệnh sparse được sử dụng để thiết lập ma trận thành phần Lệnh sparse có cấu trúc như sau

( , , , , )S sparse i j s m n= trong đó i là vec tơ chỉ hàng, j là vec tơ chỉ cột, s là vec tơ chỉ giá trị tương ứng S i k j k( ( ) ( ), ) =s k( ), m và n chỉ số hàng và số cột của ma trận S cần khởi tạo Việc sử dụng lệnh sparse trong thiết lập ma trận thành phần [ ]K được mô tả như sau:

1 Thiết lập ma trận độ cứng phần tử  K e   và vec tơ chỉ số [ ]b 2 Tạo 3 vec tơ i, j, và s có số hàng = (số phần tử × (số bậc tự do trong 1 phần tử) 2 ) với tất cả giá trị là 0 với dòng lệnh như sau ntriplets=sophantu*sobactudotrong1phantu^2;

3 Gán giá trị vào vec tơ i, j, và s với dòng lệnh như sau for i=1:sophantu for krow=1:sobactudotrong1phantu for kcol=1:sobactudotrong1phantu ntriplets=ntriplets+1;

X(ntriplets)=Ke(krow,kcol); end end end

4 Thiết lập ma trận độ cứng tổng thể [ ]K bằng lệnh sparse như sau

K=sparse(I,J,X,sonut*sobactudotai1nut,sonut*sobactudotai1nut);

Việc thiết lập ma trận thành phần theo các bước trên tránh được việc sử dụng dòng lệnh dạng ( , ) ( , ) i ik il ik il kl

K b b =K b b +K Như vậy, thời gian thiết lập ma trận thành phần được cải thiện rất nhiều lần Trong một số trường hợp tốc độ thiết lập có thể nhanh hơn cách làm thông thường hơn 150 lần (*)

(*) (http://blogs.mathworks.com/loren/2007/03/01/creating-sparse-finite- element-matrices-in-matlab/)

VÍ DỤ SỐ

Giới thiệu

Trong chương này đưa ra các ví dụ kiểm chứng nhằm đánh giá tính chính xác của phương pháp dùng giải bài toán cụ thể và độ tin cậy của kết quả chương trình tính luận văn Tổng cộng có 7 ví dụ kiểm chứng.

- Xác định chuyển vị của tấm đồng nhất, tựa 4 cạnh, chịu tải trọng tập trung; kết quả được so sánh với kết quả từ chương trình SAP2000

- Xác định chuyển vị của tấm đồng nhất trên nền Winkler, tự do trên chu vi, chịu tải trọng tập trung; kết quả được so sánh với kết quả từ chương trình SAP2000

- Xác định chuyển vị của tấm FGMs chữ nhật, tựa 4 cạnh, chịu tải trọng phân bố đều; kết quả được so sánh với nghiên cứu của Singha et al [31]

- Xác định tần số dao động của tấm FGMs chữ nhật, tựa 4 cạnh; kết quả được so sánh với nghiên cứu của Zhu và Liew [37]

- Xác định tần số dao động của tấm sandwich FGMs chữ nhật, tựa 4 cạnh; kết quả được so sánh với nghiên cứu của Xiang S et al [38]

- Xác định độ võng của tấm đồng nhất trên nền đàn nhớt chịu lực di động; kết quả được so sánh với nghiên cứu của N T Cường [34]

- Xác định chuyển vị tại điểm đặt tải theo thời gian trong bài toán tấm đồng nhất trên nền đàn nhớt chịu khối lượng di động; kết quả được so sánh với nghiên cứu của N T Cường [34]

Thêm vào đó, nhiều ví dụ số được thực hiện để phân tích ứng xử động của tấm FGMs trên nền đàn nhớt chịu vật thể di động Các ví dụ số này gồm 12 ví dụ:

- Xác định tần số dao động của tấm FGMs và tấm sandwich FGMs tựa đơn trên chu vi

- Xác định tần số dao động của tấm FGMs trên nền đàn nhớt

- Khảo sát ảnh hưởng hệ số độ cứng nền đến dao động của tấm FGMs

- Khảo sát ảnh hưởng hệ số cản của nền đến dao động của tấm FGMs

- Khảo sát ảnh hưởng vận tốc chuyển động của vật thể đến dao động của tấm FGMs

- Khảo sát ảnh hưởng của hệ số phân phối vật liệu n đến ứng xử của tấm FGMs và tấm sandwich FGMs

- Khảo sát ảnh hưởng của chiều dày tấm FGMs đến ứng xử của tấm

- Xác định ứng suất ở tâm tấm khi vật thể đặt tĩnh ở tâm tấm trong trường hợp tấm FGMs và tấm sandwich FGMs

- Khảo sát ảnh hưởng của độ cứng của vật thể ( ) k v đến dao động của tấm FGMs và của vật thể

- Khảo sát ảnh hưởng khối lượng của vật thể (M v ) đến dao động của tấm FGMs

- Khảo sát ảnh hưởng của hệ số cản của vật thể ( ) c v đến dao động của tấm FGMs và của vật thể

- Ứng xử của tấm trong các trường hợp mô hình vật thể khác nhau

Các trường hợp tấm FGMs thông thường và tấm sandwich FGMs được ký hiệu như mục 3.2 Tấm được khảo sát trong chương này (khi không có thông tin nào thêm) là tấm FGMs thông thường.

Bài toán kiểm chứng

4.2.1 Tấm đồng nhất chịu tải tập trung

Cho tấm vuông, tựa trên 4 cạnh, có kích thước 1m x 1m, dày 0.02m Các thông số vật liệu tấm E = ×2 10 8 kN m/ 2 , ν = 0.3 Tấm chịu một lực tập trung

Kết quả dịch chuyển của tấm tính theo chương trình được trình bày trong luận văn và chương trình SAP2000 gần tương đương nhau Lưới phần tử được chọn là 10x10 Độ sai lệch được tính theo công thức: Sai lệch [%] = (Kết quả từ SAP2000 – Kết quả từ luận văn)/ (kết quả từ SAP2000) Độ võng của tấm trên đường y = 0,5m được thể hiện trên Hình 4.1 Kết quả phản ánh ma trận độ cứng được xây dựng trong chương trình tính của luận văn là hợp lý.

Hình 4.1: Độ võng của tấm khi chịu tải tập trung

Bảng 4.1: Chuyển vị đứng tại tâm tấm

Luận văn SAP2000 Sai lệch [%]

Chuyển vị đứng tại tâm (mm) -0.79 -0.81 2.12

4.2.2 Tấm đồng nhất trên nền Winkler chịu tải tập trung

Cho tấm vuông, tự do trên chu vi, có kích thước 5m m×5 , h =0.15m Các thông số vật liệu tấm E = ×2 10 7 kN m/ 2 , ν =0.2 Tấm chịu một lực tập trung P =10kN đặt tại tâm tấm Kết quả chuyển vị của tấm từ chương trình trong luận văn được so sánh với kết quả của chương trình SAP2000 Lưới phần tử được sử dụng là 20x20 Sai lệch [%] = (Kết quả từ SAP2000 – Kết quả từ luận văn)/ (kết quả từ SAP2000) Độ võng của tấm trên đường y =2.5m được thể hiện trong Hình 4.2 Kết quả cho thấy việc thiết lập ma trận độ cứng có kể đến ảnh hưởng của nền trong chương trình tính của luận văn là phù hợp

Hình 4.2: Độ võng của tấm (y = 0.5m) trên nền Winkler khi chịu tải tập trung

Bảng 4.2: Chuyển vị đứng tại tâm tấm

Luận văn SAP2000 Sai lệch [%]

Chuyển vị đứng tại tâm (mm) -0.173 -0.177 2.26

4.2.3 Tấm FGMs chịu tải phân bố đều

Cho tấm vuông tựa 4 cạnh chịu tải trọng phân bố đều Tấm làm bằng vật liệu FGMs với các thông số E t =380GPa (Alumia) và E b = 70GPa

(Aluminum), ν =0.3 cho cả hai loại vật liệu Tỷ lệ giữa kích thước cạnh trên chiều dày tấm là a/h = 100 Độ võng tại tâm tấm được thể hiện thông qua đại lượng không thứ nguyên w w D q a c = c t /( ) 0 4 với D E ht = t 3 / 12 1   ( − ν 2 )   Kết quả từ chương trình được so sánh với Singha et al [31] (Bảng 4.3)

Sai lệch [%] = (Kết quả từ nghiên cứu trước – Kết quả từ luận văn)/

(kết quả từ nghiên cứu trước)

Bảng 4.3: Chuyển vị không thứ nguyên tại tâm w w D q a c = c t /( ) 0 4 của tấm FGMs vuông với a/h = 100

Singha et al [31] Luận văn [%]

Bảng 4.4: Chuyển vị không thứ nguyên w c =10E h w q a t 3 c /( ) 0 4 của tấm FGMs vuông với a/h = 10

Singha et al [31] Luận văn [%]

Tỷ số a/h = 10 cho thấy độ dịch chuyển tại tâm bản được đặc trưng bởi số vô thứ nguyên wc = 10Ehwt3c/(qa04) Kết quả từ chương trình được so sánh với dữ liệu của Singha et al [31] (Bảng 4.4).

Kết quả cho thấy việc thiết lập ma trận độ cứng cho tấm FGMs trong chương trình của luận văn là phù hợp

4.2.4 Tần số dao động của tấm FGMs

Cho tấm FGMs vuông, tựa 4 cạnh Thông số vật liệu như mục 4.2.2, với 3800 / 3 t kg m ρ = , ρ b = 2702 /kg m 3 Tần số dao động tự do không thứ nguyên của tấm ω*=ωa h 2 / ρ t /E t Kết quả từ chương trình được so sánh với Zhu và Liew [37] và được trình bày trong Bảng 4.5 Kết quả cho thấy việc thiết lập ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho tấm FGMs trong chương trình của luận văn là phù hợp

Bảng 4.5: Tần số dao động không thứ nguyên ω* của tấm FGMs vuông, với a/h

Zhu và Liew [37] Luận văn Sai lệch

Liew [37] Luận văn Sai lệch

Zhu và Liew [37] Luận văn Sai lệch

Liew [37] Luận văn Sai lệch

Zhu và Liew [37] Luận văn Sai lệch

Liew [37] Luận văn Sai lệch

Zhu và Liew [37] Luận văn Sai lệch

Liew [37] Luận văn Sai lệch

4.2.5 Tần số dao động của tấm sandwich FGMs (C)

Cho tấm sandwich FGMs vuông, tựa 4 cạnh, có các thông số như mục 4.2.4, a h/ =10 Tần số dao động tự do không thứ nguyên của tấm

1 a h/ 10 ω ω= − Kết quả từ chương trình trong luận văn được so sánh với

Xiang S et al [39] và được trình bày trong Bảng 4.6

Ma trận độ cứng và ma trận khối lượng được thiết lập trong chương trình của luận văn là phù hợp với tấm sandwich FGMs, qua đó chứng minh tính chính xác của mô hình được sử dụng trong nghiên cứu.

Bảng 4.6: Tần số dao động không thứ nguyên ω của tấm sandwich FGMs với a h/ =10 n Kết quả 2-1-2 1-1-1 1-8-1

4.2.6 Tấm đồng nhất đặt trên nền đàn nhớt chịu lực di động

Cho tấm đồng nhất chữ nhật, biên tự do, có kích thước 5m x 10m, chiều dày h =0.15m, với thông số vật liệu tấm E = ×3 10 7 kN m/ 2 , ρ = 2500 /kg m 3 ,

0.35 ν = , thông số nền k f =10 5 kN m/ 3 , và hệ số cản c f Cho một lực F = 1kN di chuyển với vận tốc V =10 /m s, di chuyển trên đường y =2.5m như Hình 4.3

Hình 4.3: Đường di chuyển của tải trọng

Hình 4.4: Độ võng của tấm trên đường y = 2.5m khi lực F di chuyển đến tâm tấm với các giá trị c f khác nhau

Hình 4.5: Độ võng trên của tấm trên đường y = 2.5m khi lực F di chuyển đến tâm tấm với các giá trị c f khác nhau [34]

5.0E-07 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đ ộ v õn g (m ) y (m) cf = 0 kNs/m3 cf = 2000 kNs/m3 cf = 4000 kNs/m3

Kết quả mặt võng của tấm trên đường y = 2.5m khi lực F di chuyển đến tâm tấm được thể hiện trong Hình 4.4, Hình 4.5 là kết quả từ nghiên cứu của N T Cường [34] Sự phù hợp của 2 đồ thị này cho thấy kết quả tính toán tải trọng di động của chương trình trong luận văn là có thể tin cậy

4.2.7 Tấm đồng nhất đặt trên nền đàn nhớt chịu khối lượng di động

Dựa vào dữ liệu nghiên cứu trong phần 4.2.5, chương trình trong luận văn xử lý chuyển vị dưới điểm đặt tải khi có xét khối lượng vật thể rất phù hợp với kết quả nghiên cứu của N T Cường [34], thể hiện ở Hình 4.6 và Hình 4.7 Sự tương hợp này cho thấy tính đáng tin cậy của chương trình trong việc tính toán ứng xử của tấm khi chịu tải trọng di động, cụ thể là khối lượng di động.

Hình 4.6: Chuyển vị dưới điểm đặt tải khi không xét và có xét khối lượng chuyển động, kết quả từ chương trình tính của luận văn

Có xét khối lượng Không xét khối lượng

Hình 4.7: Chuyển vị dưới điểm đặt tải khi không xét và có xét khối lượng chuyển động, theo [34] (hình 6.20)

Các ví dụ số trên cho thấy rằng thuật toán thiết lập ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng, vec tơ tải và việc giải phương trình chuyển động bằng phương pháp Newmark của chương trình tính trong luận văn là hoàn toàn tin cậy.

Bài toán khảo sát

Các đại lượng không thứ nguyên được sử dụng trong mục này: f b k bE α = : Hệ số độ cứng nền không thứ nguyên

T VT SP = T = L : Hệ số vận tốc không thứ nguyên là tỷ số giữa chu kỳ dao động mode 1 của tấm (T p 1 ) và thời gian vật thể di chuyển trên tấm (T v ) với V là vận tốc di chuyển của vật thể, L là chiều dài đường di chuyển của vật thể

( ) max d / s DMF = W W : Hệ số động (dynamic magnification factor) với

Wd là chuyển vị tại điểm đặt tải trong bài toán động và W s là chuyển vị tại điểm đặt tải trong bài toán tĩnh v w p

M mM κ = + : Hệ số khối lượng vật thể không thứ nguyên với M p là khối lượng của tấm

= = : Tỷ số giữa tần số dao động của vật thể và của tấm với ωp 1 là tần số dao động mode 1 của tấm

Mc ξ = ω : Tỷ số cản của vật thể

4.3.1 Xác định tần số dao động của tấm FGMs thông thường và tấm sandwich FGMs tựa đơn trên chu vi

Xét tấm FGMs vuông tựa đơn trên chu vi, a h/ =10 Thông số vật liệu của tấm (Alumia) E t = 380 10× 6 kN m/ , 2 ρ t = 3800 /kg m 3 , (Aluminum)

Eb = × kN m , ρ b = 2702 /kg m 3 , hệ số Poisson ν =0.3 Tần số dao động cơ bản không thứ nguyên của tấm ω được xác định như mục 4.2.5 Đối với tấm sandwich (B) và (C), tỷ lệ chiều dày lấy là 1-1-1 Kết quả được trình bày trong Bảng 4.7

Bảng 4.7: Tần số dao động cơ bản không thứ nguyên ω trong trường hợp tấm FGMs thông thường và tấm sandwich FGMs n Tần số dao động cơ bản không thứ nguyên ω

Hình 4.8: Quan hệ giữa tần số dao động cơ bản không thứ nguyên ω và hệ số phân phối vật liệu n

Kết quả tần số dao động ω được trình bày trong Bảng 4.7 Hình 4.8 thể hiện quan hệ giữa tần số dao động ω và hệ số phân phối vật liệu n trong các trường hợp tấm khác nhau Kết quả cho thấy việc tăng hệ số phân phối vật liệu n (hay tăng thành phần kim loại có mô đun đàn hồi nhỏ hơn gốm) làm cho tần số dao động của tấm (tựa trên chu vi) giảm, hay độ cứng của tấm giảm

Thêm vào đó, kết quả cũng cho thấy rằng hệ số phân phối vật liệu n ảnh

𝜔𝜔� hưởng nhiều đến ω đối với tấm (A) và (C), và gần như không có ảnh hưởng đến ω trong trường hợp tấm (B) Điều này có thể được giải thích là do sự thay đổi đặc tính trong tấm (A) là trên toàn bộ chiều dày tấm, tấm (C) là trên 2/3 chiều dày tấm (lớp trên và dưới), và tấm (B) chỉ là 1/3 chiều dày tấm (chỉ phần lõi)

4.3.2 Xác định tần số dao động của tấm FGMs trên nền đàn nhớt

Xét tấm FGMs vuông tự do trên chu vi và được đặt trên nền có độ cứng nền là k f Thông số vật liệu của tấm (Alumia) E t = 380 10× 6 kN m/ 2 ,

3800 / 3 t kg m ρ = , (Aluminum) E b = 70 10× 6 kN m/ 2 , ρ b '02 /kg m 3 , hệ số Poisson ν = 0.3 Tần số dao động cơ bản không thứ nguyên *ω của tấm FGMs được xác định theo ω1 ∗ ω1a ρ t /E t Tần số dao động *ω trong các trường hợp b h/ và α khác nhau (b là kích thước cạnh ngắn tấm) được trình bày trong Bảng 4.8

Bảng 4.8: Tần số dao động không thứ nguyên ω1 ∗ theo α và b/h b/h α Tần số dao động không thứ nguyên ω 1 ∗

Kết quả từ Bảng 4.8 cho thấy rằng khi độ cứng của nền tăng lên thì tần số dao động của tấm tăng lên Ngoài ra, khi tăng hệ số phân phối vật liệu n, nghĩa là tăng thành phần kim loại (có mô đun đàn hồi nhỏ hơn gốm), thì tần số dao động cũng tăng lên Điều này là do mặc dù độ cứng của tấm giảm (do tăng thành phần kim loại có mô đun đàn hồi nhỏ hơn gốm) nhưng khối lượng của tấm giảm nhiều hơn nên tần số dao động của tấm tăng Thêm vào đó, Bảng 4.8 cũng cho thấy rằng khi tỷ số b/h tăng thì chu kỳ của tấm cũng tăng

Các điều này ngược với mục 4.2.4, đối với tấm tựa 4 cạnh thì việc tăng thành phần kim loại trong tấm làm cho tần số dao động của tấm giảm Sự khác biệt này là do điều kiện biên của bài toán

4.3.3 Khảo sát ảnh hưởng độ cứng của nền đến dao động của tấm

Xét tấm FGMs chữ nhật có kích thước a =2b=10m, b h/ =20 Thông số vật liệu như ở phần 4.3.1, hệ số phân bố vật liệu n =1, nền với

0 / 3 cf = kNs m Vật thể chuyển động với vận tốc V =20 /m s, đường di chuyển như Hình 4.3, κ = 0.2, mw  0.05ton, γ =0.5,  v  0kNs m/ Tấm được chia theo lưới phần tử là 20x21 Điều kiện ban đầu của bài toán là thuần nhất

Hình 4.9: Chuyển vị tại tâm tấm ứng với các vị trí khác nhau của tải trọng trong các trường hợp α khác nhau

Hình 4.10: Lực tiếp xúc trong các trường hợp độ cứng nền khác nhau

Hình 4.9 thể hiện chuyển vị tại tâm tấm trong các trường hợp độ cứng nền khác nhau Đồ thị cho thấy rằng với độ cứng nền lớn thì biên độ dao động của tấm bé và tần số dao động lớn Sau khi vật thể đã ra khỏi tấm (X/L > 1), tấm vẫn tiếp tục dao động không ngừng Điều này phù hợp với bản chất vật lý của hệ

Hình 4.10 thể hiện giá trị lực tiếp xúc theo vị trí vật thể trong các trường hợp độ cứng nền khác nhau Kết quả có ý nghĩa kiểm tra giả thiết bánh không nhảy, và cho thấy rằng giả thiết này là phù hợp

4.3.4 Khảo sát ảnh hưởng hệ số cản của nền đến dao động của tấm

Cho tấm FGMs, vật thể (đường di chuyển như ở Hình 4.3), và nền có các thông số như mục 4.3.3: a =2b=10m, b h/ = 20, n =1, α , κ = 0.2, w 0.05 m = ton, γ = 0.5, ξ v =0, V =20 /m s

Hình 4.11: Chuyển vị tại tâm tấm ứng với các vị trí khác nhau của tải trọng trong các trường hợp hệ số cản của nền khác nhau

Hình 4.11 thể hiện chuyển vị tại tâm tấm trong các trường hợp hệ số cản nền khác nhau Đồ thị cho thấy rằng với hệ số cản nền càng lớn thì chuyển vị của tâm tấm càng nhỏ Do có cản nên sau khi vật thể ra khỏi tấm thì dao động của tấm tắt dần Đối với trường hợp hệ số cản nền c f ≥100kNs m/ 3 thì dao động của tấm tắt rất nhanh khi vật thể ra khỏi tấm

Hình 4.12: Lực tiếp xúc trong các trường hợp hệ số cản nền khác nhau

Hình 4.12 thể hiện lực tiếp xúc theo vị trí của vật thể trong các trường hợp hệ số cản nền khác nhau Kết quả cho thấy giả thiết bánh không nhảy là phù hợp trong trường hợp này, và hệ số cản nền làm giảm lực tiếp xúc f c

4.3.5 Khảo sát ảnh hưởng của vận tốc chuyển động của vật thể đến dao động của tấm

Cho tấm FGMs, nền, và vật thể với các thông số như ở phần 4.3.3:

Hình 4.13: Chuyển vị của tấm trên đường y = b/2 (Hình 4.3) khi vật di chuyển đến tâm tấm ứng với các trường hợp SP khác nhau

Hình 4.14: Quan hệ giữa hệ số động DMF và SP (c f = 0kNs m/ 3 )

Hình 4.15: Hệ số động DMF theo V trong các trường hợp độ cứng nền khác nhau (c f = 0kNs m/ 3 )

Hình 4.13 là độ võng của tấm trên đường y b= / 2 khi vật thể di chuyển đến tâm tấm trong các trường hợp vận tốc không thứ nguyên SP khác nhau

Hình 4.14 cho thấy khi tốc độ không thứ nguyên SP tăng, hệ số động DMF sẽ giảm Đối với mỗi giá trị của góc tấn công α và góc lệch so với áp suất động α0, tồn tại một giá trị SP cụ thể (~0 < SP