Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích vùng dẻo khung thép phẳng bằng phương pháp lực

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Áp dụng lý thuyết phương pháp lực để xây dựng một phần tử hữu hạn có khả năng mô phỏng sự lan truyền vùng dẻo, phi tuyến hình học, phi tuyến vật liệu, ứng suất

Tình hình nghiên cứu

Phân tích vùng dẻo bằng phương pháp chuyển vị

Hai nghiên cứu sớm nhất về phân tích vùng dẻo do Alvares và Birmstiel (1969), Latona (1970) thực hiện Sau đó các nhà khoa học khác đã áp dụng phương pháp này để nghiên cứu ứng xử của dầm, cột riêng lẻ và các khung đơn giản gồm có:

Vinnakota (1967,1971,1974), Vinnakota và Baddoux (1974), Meek và Lin (1990)

Volge (1985) [6], Ziemian(1990) cũng thực hiện phương pháp này để xác định đường biến dạng - tải trọng ở một số khung đề xuất Clarke (1994) phân tích lại các khung của Volge và Ziemian để so sánh kết quả đạt được của mình Foley và Vinnakota (1999) [7][8] đã sử dụng phương pháp vùng dẻo để khảo sát khung thép nhiều tầng nhiều nhịp bằng siêu máy tính đa xử lý với kỹ thuật véc tơ và xử lý song song để giảm thời gian tính toán Họ cũng dùng kỹ thuật chia nhỏ kết cấu lớn thành nhiều kết cấu con để khắc phục tình trạng thiếu bộ nhớ máy tính Teh và Clarke (1999) [9] sử dụng công thức đồng xoay từ lý thuyết cơ vật rắn để mô phỏng phần tử dầm cho khung phi đàn hồi 3 chiều tiết diện ống dùng phương pháp vùng dẻo, không xét đến độ mềm liên kết Torkamani và Sonmez (2001) đề xuất hai mô hình phần tử hữu hạn dầm – cột sử dụng lý thuyết dầm Timoshenko và Euler-Bernoulli để tìm mô hình ma trận độ cứng tiếp tuyến của kết cấu khung lớn bằng phương pháp vùng dẻo Chiorean (2009) [10] phân tích phi tuyến kết cấu khung không gian liên kết nửa cứng chuyển vị lớn bằng phương pháp vùng dẻo, sử dụng tích phân số Gauss-Lobatto trong thuật toán, do vậy tác giả chỉ dùng một phần tử cho một cấu kiện để giảm bộ nhớ máy tính và thời gian tính toán b Trong nước Ở Việt Nam, đã có các nghiên cứu về khung có kể đến phi tuyến hình học, phi tuyến vật liệu và sự ảnh hưởng của liên kết dầm cột và đã đạt được một số kết quả nhất định Tô Chiêu Cường (2001) đã dùng phương pháp phần tử hữu hạn với nguyên lý thế năng toàn phần dừng để thành lập ma trận độ cứng hình học của phần tử dàn theo mô hình biến dạng dọc trục - chuyển vị của Yang và Kou, phần tử dầm- cột theo mô hình Mallett và Marcal, mô hình bổ sung và mô hình mở rộng Nguyễn Đình Kiên (2000) sử dụng phương pháp năng lượng (phương pháp phần tử hữu hạn) và kỹ thuật tọa độ đồng xoay kết hợp với lý thuyết dầm cổ điển có kể đến ảnh hưởng của lực dọc trục để thành lập công thức tính ma trận độ cứng tiếp tuyến của kết cấu Ngô Hữu Cường (2003) sử dụng mô hình phần tử hữu hạn để phân tích vùng dẻo cho khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh, kết hợp xét cả phi tuyến hình học, phi tuyến vật liệu, ứng suất dư và liên kết nửa cứng, dùng mô hình vật liệu đàn dẻo tuyệt đối bỏ qua sự ảnh hưởng của tái bền Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm [11]

(2010) sử dụng mô hình phần tử hữu hạn để phân tích vùng dẻo cho khung thép phẳng chịu tải trọng động, xét đến phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu, dùng mô hình vật liệu đàn dẻo tuyệt đối xét sự ảnh hưởng của tái bền tuyến tính Đặng Ngọc Cảnh (2010) [12] sử dụng mô hình phần tử hữu hạn để phân tích vùng dẻo khung thép không gian, một phần tử thanh chia nhiều phần tử nhỏ và mặt cắt tiết diện chia thành nhiều thớ, ma trận độ cứng được thiết lập dựa trên phương pháp tích phân số, phi tuyến vật liệu, phi tuyến hình học và ứng suất dư được nghiên cứu

Trong nghiên cứu của Nguyễn Phú Cường năm 2010 [13], mô hình phần tử hữu hạn đã được sử dụng để phân tích phi tuyến của khung thép phẳng nửa cứng dưới tác động của tải trọng động đất Mô hình này tính đến ứng suất dư trong cấu kiện và áp dụng phương pháp vùng dẻo trong quá trình phân tích.

Phân tích phi tuyến kết cấu bằng phương pháp lực

Taucer (1991) [14] kết hợp ma trận độ cứng và độ mềm để phân tích phi tuyến kết cấu bê tông cốt thép chịu tải trọng động đất, tại mặt cắt khảo sát chia thành nhiều phần tử nhỏ để khảo sát sự lan truyền dẻo của mặt cắt, sử dụng tích phân số trong thuật toán phân tích Spacone (1992) [15] phát triển nghiên cứu của Taucer (1991) dùng mô hình phần tử dầm có liên kết hai đầu là 2 lò xo Neuenhofer và Filippou (1997) [16] sử dụng phương pháp ma trận độ mềm (phương pháp lực) để khảo sát phi tuyến của phần tử (bỏ qua phi tuyến hình học), so sánh kết quả phân tích với phương pháp chuyển vị và đưa ra những ưu điểm của phương pháp lực

Neuenhofer và Filippou (1998) [17] đã nghiên cứu mở rộng so với nghiên cứu trước là có kể đến phi tuyến hình học (bỏ qua phi tuyến vật liệu) của phần tử bằng cách nội suy chuyển vị dựa vào độ cong (CBDI) De Souza (2000) [18] xây dựng ma trận độ mềm có xét đến phi tuyến hình học và vật liệu dựa trên nguyên lý Hellinger - Reissner cho phần tử dầm cột Euler - Bernoulli chuyển vị lớn, ứng dụng kết quả đạt được tác giả đã phân tích phi tuyến các khung thép phẳng và không gian Scott (2004,2008) [19] [20] sử dụng phương pháp lực để xây dựng phần mềm khảo sát ứng xử phi tuyến của kết cấu bằng phương pháp khớp dẻo, sử dụng tích phân số và thuật toán giải lặp Newton trong quá trình phân tích, ứng dụng vào phân tích khung bê tông cốt thép Jafari và công sự (2010) [21] mở rộng nghiên cứu của De Souza (2000) và nghiên cứu Filippou (1998), xây dựng ma trận độ mềm có xét đến phi tuyến hình học phần tử dầm cột Timoshenko chuyển vị lớn, so sánh kết quả có được với các kết quả phần tử dầm cột Euler - Bernoulli Santos (2012) [22] xây dựng ma trận độ mềm có xét đến phi tuyến hình học dựa trên nguyên lý "Pure complementary energy principle" cho phần tử dầm-cột Euler - Bernoulli Santos (2012)[23] phân tích phi tuyến kết cấu bằng phương pháp lực có kể đến phi tuyến hình học, vật liệu và gradient chuyển vị của phần tử

Hiện tại tác giả chưa tìm thấy tài liệu nào ở Việt Nam nghiên cứu phi tuyến kết cấu bằng phương pháp ma trận độ mềm (phương pháp lực).

Mục tiêu của đề tài

Phương pháp vùng dẻo cho phép phân tích sự lan truyền dẻo của cấu kiện đúng với bản chất thực của nó và được xem là phương pháp đối chứng cho các phương pháp nghiên cứu khác Mặc dù khối lượng tính toán nhiều hơn, thời gian phân tích lâu hơn nhưng với sự phát triển của công nghệ máy vi tính như thời nay thì vấn đề này không còn là trở ngại Do vậy, phương pháp vùng dẻo cần được quan tâm nghiên cứu nhiều để khai thác khả năng tiên đoán chính xác ứng xử phi đàn hồi của kết cấu

Phương pháp chuyển vị áp dụng cho phần tử dầm có tiết diện lăng trụ và thuộc tính vật liệu là đàn hồi tuyến tính, giả sử miền chuyển vị theo các hàm Hermit Đối với các mặt cắt có tiết diện thay đổi dọc theo chiều dài; thuộc tính vật liệu (EI) thay đổi; chịu lực phân bố đều dọc theo phần tử thì lời giải bằng phương pháp chuyển vị sẽ có sai số lớn Để có lời giải chính xác cho bài toán, cần phải chia nhỏ phần tử để kết quả bài toán đạt độ chính xác cần thiết Cách làm này làm tăng bộ nhớ máy tính, tốc độ giải bài toán chậm, thời gian phân tích cho các kết cấu lớn sẽ rất lâu, người thực hiện phân tích khó kiểm soát do số lượng phần tử quá lớn

Một phương pháp khác được áp dụng để giải quyết các khó khăn trên là phương pháp lực (hay ma trận độ mềm) Phương pháp này cho phép xác định lực mặt cắt tại một điểm bất kỳ theo lực nút thông qua hàm nội suy lực Hàm nội suy lực này luôn chính xác bất kể thuộc tính vật liệu Điểm nổi bật của phương pháp lực là chỉ sử dụng một phần tử cho một cấu kiện nhờ vào phương pháp tích phân số Chính vì lẽ đó kết quả bài toán sẽ chính xác và giảm thời gian tính toán

Mục tiêu chủ yếu của luận văn này xây dựng một công cụ để khảo sát sự lan truyền dẻo của các cấu kiện trong hệ khung thép phẳng có kể đến các tác động phi tuyến hình học và ứng suất dư bằng phương pháp lực Cụ thể:

- Áp dụng lý thuyết phương pháp lực để xây dựng ma trận độ mềm phần tử có khả năng mô phỏng ứng xử phi tuyến hình học, phi tuyến vật liệu, ứng suất dư

- Xây dựng một chương trình ứng dụng bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để tự động hóa tính toán bằng máy tính

- So sánh kết quả đạt được với các kết quả đã nghiên cứu trước đó hoặc của phần mềm ABAQUS để kiểm tra độ tin cậy của chương trình được phát triển

- Thảo luận về những kết quả đạt được và đề ra hướng phát triển tiếp theo của đề tài trong tương lai

Trên thế giới, phương pháp tích phân số qua mặt cắt ngang thường được sử dụng trong phương pháp lực để mô phỏng sự lan truyền dẻo qua tiết diện và dọc theo chiều dài cấu kiện, điều này giúp làm tăng tốc độ xử lý của chương trình Tuy nhiên, do số điểm tích phân có hạn nên chưa phản ánh được tốt sự lan truyền dẻo này Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương pháp chia thớ tiết diện thay cho phương pháp tích phân số nêu trên để có thể mô phỏng chính xác hơn sự lan truyền dẻo trong cấu kiện kết cấu Đây là điểm nổi bật của nghiên cứu này Kết quả phân tích phi tuyến của chương trình máy tính đã phát triển được so sánh với kết quả của các tác giả khác qua các ví dụ số điển hình trên thế giới để minh họa độ tin cậy của thủ tục số áp dụng.

Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm có 6 chương:

Chương này giới thiệu các phương pháp khảo sát phi tuyến kết cấu hiện đại đang được sử dụng phổ biến bởi các nhà nghiên cứu Sau khi phân tích kỹ lưỡng ưu, nhược điểm của từng phương pháp, luận văn đã lựa chọn phương pháp phù hợp nhất để sử dụng trong quá trình nghiên cứu Việc lựa chọn phương pháp này dựa trên khả năng đáp ứng tốt các mục tiêu nghiên cứu, tính hiệu quả và mức độ phù hợp với đặc điểm của đối tượng nghiên cứu.

- Chương II: Mô hình phần tử hữu hạn

Trình bày mô hình phần tử hữu hạn trong hệ cơ bản được áp dụng; các giả thuyết được áp dụng; cách thành lập ma trận độ mềm phần tử có kể đến phi tuyến hình học, phi tuyến vật liệu

- Chương III: Thuật toán giải phi tuyến

Trình bày một số thuật toán giải phi tuyến thường được áp dụng như: thuật toán Euler, thuật toán Newton-Raphson (gồm thuật toán Newton-Raphson và Newton-Raphson hiệu chỉnh), nêu ra những ưu khuyết điểm của từng thuật toán và lựa chọn thuật toán cho phù hợp luận án này

- Chương IV: Chương trình ứng dụng

Trong chương này trình bày các nội dung cơ bản để thành lập chương trình khảo sát ứng xử phi tuyến của hệ kết cấu bằng máy tính như: mô tả cách chia thớ để khảo sát sự lan truyền dẻo trong mặt cắt, giới thiệu pháp tích phân Gauss có trọng số để mô tả sự lan truyền dẻo trong phần tử; các mô hình ứng suất dư được áp dụng; cách thêm chuyển vị cứng cố thể của phần tử vào hệ cơ bản; cách chuyển từ hệ trục tọa độ địa phương sang hệ tọa độ tổng thể Một nội dung khá quan trọng trong chương này này trình bày thuật toán của chương trình phân tích vùng dẻo bằng phương pháp lực

- Chương V: Ví dụ minh họa Để kiểm chứng tính chính xác của lý thuyết và chương trình tính toán, tác giả áp dụng chương trình tính toán để phân tích phi tuyến các hệ: Dầm consol chịu uốn, Dầm hai đầu ngàm chịu uốn, Cột hai đầu khớp chịu nén đúng tâm, Dầm đầu ngàm đầu khớp chịu uốn + nén, Khung cổng Vogel 1 nhịp 1 tầng, Khung cổng Vogel 2 nhịp 6 tầng, Khung 2 nhịp 4 tầng Kukreti và Zhou (2006), Khung 1 nhịp 4 tầng Kassimali (1983); vẽ đường quan hệ lực-chuyển vị và so sánh với các kết quả nghiên cứu trước đó

- Chương VI: Kết luận và kiến nghị

Chương này nêu những nhận xét rút ra được trong quá trình thực hiện luận án và nêu kiến nghị về các hướng phát triển tiếp theo của đề tài

Chương II MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN

Giới thiệu

Ứng xử của khung thép khi chịu tải phụ thuộc nhiều vào việc các cấu kiện đã chảy dẻo hay còn đàn hồi Trong một mặt cắt ngang của cấu kiện, có thể có những phần đã chảy dẻo trong khi những phần khác vẫn còn đàn hồi, nghĩa là sự chảy dẻo xảy ra trong một phần của tiết diện Sự chảy dẻo này có thể lan truyền dọc theo chiều dài cấu kiện, tuy nhiên trong hầu hết các mô hình phân tích chỉ giả thuyết sự chảy dẻo nằm tại các đầu mút cấu kiện (các khớp dẻo) Sự phát triển dẻo trong cấu kiện phụ thuộc vào cường độ tải trọng tác dụng và ứng suất dư Khi sự chảy dẻo xảy ra trong một tiết diện thì trục trung hòa của lõi đàn hồi còn lại bị dịch chuyển, do vậy tải trọng đúng tâm trước khi bị chảy dẻo bây giờ sẽ bị lệch tâm và gây chảy dẻo nhiều hơn

Trong chương này sẽ trình bày việc thiết lập một phần tử hữu hạn để mô tả ứng xử phi đàn hồi của kết cấu khung thép bằng phương pháp lực Phần tử này có kể đến sự chảy dẻo từng phần Xây dựng ma trận độ mềm phần tử dựa trên nguyên lý Hellinger - Reissner cho phần tử dầm cột Euler - Bernoulli.

Mô hình phần tử hữu hạn

Các giả thiết

Xét một phần tử dầm-cột có chiều dài L không đổi với những hợp lực phần tử như (Hình 1) Phần tử chịu tác dụng bởi một lực phân bố w và một lực tập trung Q

Những lực đầu mút phần tử là lực nén dọc trục, lực cắt và moment được biểu diễn theo chiều dương

Hình 1 Phần tử dầm-cột điển hình

Các giả thiết được áp dụng để triển khai phần tử hữu hạn phi đàn hồi:

(1) Phần tử ban đầu thẳng

(2) Mặt cắt ngang phẳng trước khi uốn và vẫn còn phẳng sau khi uốn

(3) Bỏ qua biến dạng ngoài mặt phẳng

(4) Bỏ qua biến dạng cắt

(5) Bỏ qua ảnh hưởng của hệ số Poisson

(6) Biến dạng phần tử là nhỏ, nhưng chuyển vị toàn hệ có thể lớn

(7) Sự chảy dẻo mặt cắt ngang chỉ chịu ảnh hưởng bởi ứng suất chính

(8) Tải tác dụng vào các phần tử là tải tĩnh

(9) Mô hình vật liệu là đàn dẻo tuyệt đối không có sự tái bền

(10) Mất ổn định cục bộ của những cấu kiện tấm không xảy ra

(11) Các đặc trưng mặt ngang (kể cả mô đun đàn hồi) được giả thiết là không đổi trong khoảng trọng số của điểm lấy tích phân.

Nguyên lý Hellinger - Reissner

Hàm năng lượng Hellinger - Reissner mô tả mối quan hệ năng lượng biến dạng và năng lượng bên ngoài tác dụng vào phần tử có thuộc tính vật liệu hyperelastic (hay Green elastic) Nhờ vào hàm này để tìm các biểu thức cân bằng và tương thích của phần tử, sau đó áp dụng các điều kiện biên để tìm mối quan hệ giữa lực mặt cắt - lực hai đầu nút, biến dạng mặt cắt - biến dạng hai đầu nút của phần tử.

Mô hình vật liệu

Vật liệu thép sử dụng mô hình đàn dẻo lý tưởng (Hình 2)(Prandtl 1928), bỏ qua sự ảnh hưởng của tái bền.

Ma trận độ mềm phần tử

The element-softening matrix formulation based on the Hellinger - Reissner energy functional was presented by Neuenhofer and Filippou (1998) [17] and De Souza (2000) [18] a Coordinate Systems:

Xét một phần tử dầm-cột trong khung phẳng, có hai đầu nút là I, J:

- Trong hệ tọa độ địa phương (x,y) (Hình 3): Phần tử có 3 bậc tự do: Một chuyển vị dọc trục uJ và hai góc xoay θI và θJ tương ứng với 3 lực ở đầu nút là P, MI, M J Biểu diễn các lực và chuyển vị này thành các vec tơ tương ứng là

Hình 3 Phần tử dầm-cột trong hệ tọa độ địa phương

 Đường dỡ/chất tải Neùn

Hình 2 Mô hình vật liệu đàn - dẻo tuyệt đối

- Trong hệ tọa độ tổng thể (X,Y) (Hình 4): Phần tử có 6 bậc tự do: hai chuyển vị theo trục Y, hai chuyển vị theo trục X và hai chuyển vị xoay tương ứng với 6 lực ở đầu nút Biểu diễn các lực và chuyển vị này thành các vec tơ tương ứng là:

Xét mặt cắt tại một điểm bất kỳ của phần tử dầm-cột như hình vẽ (Hình 5)

Hình 4 Phần tử dầm-cột trong hệ tọa độ tổng thể y  u(x) ysin y c o s   (x )

Hình 5 Biến dạng của mặt cắt

Với những giả thuyết được nêu trên thì biến dạng của phần tử phẳng (Hình 5) được viết:

(4) với u x( ), ( )x là chuyển vị dọc trục và chuyển vị đứng của mặt cắt

 là góc xoay do biến dạng của mặt cắt

Vì chuyển vị là nhỏ nên: sin tan và cos 1, công thức (4) được viết lại:

Dùng ten xơ biến dạng Green trong hệ tọa độ Lagrange, bỏ qua lực cắt và biến dạng xoắn của mặt cắt, chỉ có duy nhất một thành phần khác không là

(6) vì biến dạng nhỏ tỷ số u x 1 x

   được bỏ qua công thức (6) trở thành

Thay các thành phần từ công thức (5) vào (7) ta được thành phần biến dạng tại 1 điểm có tọa độ (x,y) của mặt cắt là:

  (10) là biến dạng dọc trục và biến dạng uốn cong của mặt cắt

Biểu diễn (8) dưới dạng ma trận ( , )x y a y d x( ) ( ) với d x( ) là biến dạng mặt cắt: d x( )  0( )x ( )x  T (11)

( ) 1 a y  y (12) là ma trận tương quan để xác định biến dạng tại 1 điểm của mặt cắt theo biến dạng mặt cắt c Dạng rút gọn công thức Hellinger - Reissner:

- Ngoại lực tác dụng vào phần tử dầm-cột được duy trì

- Thuộc tính vật liệu là hyperelastic (vật liệu đàn hồi Green)

Từ giả thuyết ngoại lực được duy trì ta có thế năng của ngoại lực được biểu diễn: ( ) t T ext u t ud

Với tlà lực tác dụng trên vùng  t của biên phần tử 

Từ giả thuyết thuộc tính vật liệu là Hyperelastic, nếu tồn tại một hàm năng lượng dự trữ W( ) thì ứng suất dọc trục  được biểu diễn

Nếu hàm W( ) luôn lồi,  ( )là duy nhất thì hàm mật độ năng lượng có dạng

       (15) lấy đạo hàm bậc nhất biểu thức (15) theo  ta được

Năng lượng biến dạng tổng cộng của phần tử:

Thế năng toàn phần của phần tử theo Hellinger-Reissner

 (17) với  là thể tích của phần tử lấy tích phân trên toàn bộ diện tích A và dùng chuyển vị ở trục tham chiếu

 (19) với L là chiều dài của phần tử và A T

N và M lần lượt là lực dọc và moment của mặt cắt khảo sát

P và D lần lượt là lực và chuyển vị ở hai đầu nút của phần tử không xét đến chuyển vị cứng

Hàm năng lượng Hellinger-Reissner đạt giá trị dừng khi đạo hàm bậc nhất theo từng biến độc lập bằng 0 ta có: 0

  (23) biểu thức trên thỏa khi 0

Hai biểu thức (24a) và (24b) lần lượt là hình thức yếu của phương trình cân bằng và phương trình tương thích

 (26) gọi là biến dạng mặt cắt ( )S d S

Vì thế (26) được viết lại

Hình thức yếu của phương trình cân bằng được viết lại khi thay các biểu thức (1) vào (25)

Tích phân công thức (29) bằng phương pháp tích phân từng phần và áp dụng các điều kiện biên u(0)(0)( )L 0(30) ta được:

Nếu (31) thỏa cho tất cả các biến thì ta thu được các biểu thức cân bằng:

( ) 0 dN x dx d M x d d x dx dx N x dx

     trong đoạn [0, L] (32) với các điều kiện biên của hệ cơ bản như Hình 3:

Từ (32) ta thấy giá trị N không đổi suốt chiều dài L của phần tử Giá trị M thu được bằng cách lấy tích phân 2 lần và áp đặt các điều kiện biên từ (33) ta có:

Lấy nguyên hàm lần 2:  M x( )N x( ) ( ) x CxD0 Thay các điều kiện biên tại hai đầu nút phần tử: tại x=0: M(0)N(0) (0) C.0D0 P 2 D 0 D P 2 tại x=L: M L( )N L( ) ( ) L C L P 2 0 P 3 P 1 0C L P 2 0

Viết dưới dạng ma trận thể hiện mối liên hệ giữa lực mặt cắt S x( ) và lực hai đầu nút phần tử: S x( )b x P( ) (35) với 1 0 0

    gọi là hàm nội suy lực (36) e Phương trình tương thích:

Hình thức yếu của phương trình tương thích được viết lại khi thay các biểu thức (1) và (11) vào (28)

Tích phân từng phần (37) và áp dụng các điều kiện biên (30) ta được

Hàm hàm năng lượng Hellinger-Reissner đạt dừng khi:

Từ (39) ta thấy giá trị lực ảo N x( )không đổi suốt chiều dài L của phần tử

Giá trị moment ảo M x( )thu được bằng cách lấy tích phân 2 lần và áp đặt các điều kiện biên ta có:

      Đối với hệ cơ bản như Hình 3, lựa chọn dạng lực ảo như dạng lực thật ta có:

(40) viết dưới dạng ma trận thể hiện mối tương quan giữa lực ảo mặt cắt S x( ) và lực ảo hai đầu nút phần tử P:

Thay (40) vào (38) ta được mối quan hệ:

Vì P có dạng giống như lực thật nên khác 0 nên đơn giản hai vế Pvà (44) trở thành

Biểu thức trên xác định biến dạng phần tử bằng tổng biến dạng của mặt cắt theo suốt chiều dài phần tử f Mối quan hệ cơ bản của mặt cắt:

Mối quan hệ phi tuyến giữa lực mặt cắt S(x) và biến dạng mặt cắt d(x) là mối quan hệ cơ bản của mặt cắt, được xác định bởi tích phân của mối quan hệ ứng suất - biến dạng trên cả mặt cắt

Thay công thức (10) vào công thức (20) được kết quả là mối quan hệ phi tuyến mặt cắt:

Ma trận độ cứng tiếp tuyến mặt cắt:

 (48) là mô đun tiếp tuyến vật liệu

Thay biểu thức (12) vào (47) ta được ma trận độ cứng tiếp tuyến mặt cắt

E x y dA yE x y dA x x k x M x M x yE x y dA E x y dA x x

Ma trận độ mềm tiếp tuyến mặt cắt ( )f x thu được bằng cách nghịch đảo ma trận độ cứng tiếp tuyến mặt cắt k x( )

(50) Để tính giá trị tích phân ở biểu thức (46) và (47), ta chia ra mặt cắt thành nhiều thớ sau đó áp dụng tích phân số, được trình bày ở phần sau g Ma trận độ mềm:

Ma trận độ mềm phần tử được xác định bằng cách lấy vi phân chuyển vị hai đầu nút D theo lực hai đầu nút P của phần tử, D

 Lấy vi phân lần lượt cho từng Pk ta được (với k=1,2,3):

T T ji T j ji T j i l ik j ji j ji k L k k L k l k b d b d

T ji T lm ik j ji il lk m k k

T ji T ji j ji il lk m k k

* T ik ji il lk lk

    (51) hay viết ở dạng ma trận: ( ) * ( ) T ( )  ( ) ( ) 

(55) được xác định bằng cách dùng phương pháp nội suy chuyển vị dựa vào độ cong CBDI (Curvature Based Displacement Interpolation ) sẽ trình bày ở phần sau

Tích phân trong công thức (52) không đối xứng Tuy nhiên, sử dụng tích phân Gauss để tính tích phân này kết hợp với phương pháp CBDI, kết quả ma trận độ mềm cuối cùng lại đối xứng với bậc tích phân lớn hơn 1 h Phương pháp nội suy chuyển vị dựa vào độ cong CBDI, được biểu diễn dưới dạng độ cong ( )x của phần tử dầm-cột Độ cong này là tập hợp các giá trị độ cong j x  j

  ở từng điểm lấy tích phân trên suốt chiều dài phần tử dựa trên chuỗi Lagrangian, cụ thể:

(57) gọi là chuỗi Lagrangian và phải thỏa điều kiện ( )l j   i j Để thuận tiện trong quá trình tính toán, chuỗi ( )l j  được biểu diễn dưới dạng:

Chuyển vị ( ) x được xác định nhờ vào mối quan hệ động học ( )x  " ( )x Do đó giá trị ( ) x thu được bằng cách lấy tích phân 2 lần độ cong ( ) x , ta được:

 (61) Áp dụng các điều kiện biên (x0)(xL)0 ta suy ra

Như vậy chuyển vị của phần tử tại một điểm tích phân  i được tính:

Chuyển vị dọc theo phần tử được biểu diễn là tập hợp tất cả các chuyển vị tại các điểm lấy tích phân được biểu diễn:

  (65) l * là ma trận ảnh hưởng CBDI

Ta thấy l * chỉ phụ thuộc vào  i do đó ma trận này chỉ tính một lần và nó không thay đổi trong suốt quá trình tính toán nếu phương pháp tích phân số không thay đổi

 trong (55) được tính ở những điểm tích phân, biểu diễn dưới hình thức ma trận như sau:

Lấy đạo hàm cho biểu thức (65) với lần lượt các lực nút P r (r=1,2,3) ta được:

Thay (69), (70), (71) vào (68) và đặt (v  j )v j ta có:

Với i=1 n, triển khai và nhóm các số hạng biểu thức (72) ta được:

( ) j ij ij j j j j j j ij ij j j j j j ij ij j j j j

(73) với A ij  i j l f ij * 22 ( j )P 1 (74) và  i j 1nếu i=j và bằng 0 nếu i≠j gọi là chỉ số Kronecker

Biểu diễn (74) dưới dạng ma trận là: Ba *

Kết luận

Chương này trình bày chi tiết về cách thành lập mối quan hệ giữa nội lực phần tử tại mặt cắt khảo sát và lực hai đầu nút, biến dạng phần tử tại một mặt cắt khảo sát và chuyển vị hai đầu nút; mối quan hệ ứng suất - biến dạng của mặt cắt; ma trận độ mềm phần tử có kể đến phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu trong hệ cơ bản không xét đến chuyển vị cứng Những mối quan hệ này dùng để phân tích ứng xử phi tuyến khung thép phẳng bằng phương pháp lực

Chương III THUẬT TOÁN GIẢI PHI TUYẾN

Giới thiệu

Ứng xử thực tế của kết cấu khi đến gần hoặc qua điểm tới hạn thường khác xa so với đường tải trọng - biến dạng giả định trong phân tích tuyến tính Khi áp dụng giả thuyết tuyến tính vào khung cổng có độ lệch bên $\delta$, ta có thể xác định độ lệch tương ứng với tải trọng $H$ là $\delta_{tt}$ thông qua phương pháp phân tích tuyến tính Tuy nhiên, độ lệch thực tế $\delta_{pt}$ của khung thường lớn hơn đáng kể so với kết quả tính toán dựa trên giả thuyết tuyến tính.

Sự phát triển của kỹ thuật phân tích phi tuyến xuất hiện từ nhu cầu giải toán với đường cong tải trọng - chuyển vị giống như biểu diễn ở Hình 6 Hầu hết các kỹ thuật giải phi tuyến đều thông qua việc tuyến tính hóa Do đó, bài toán phân tích phi tuyến được thực hiện bằng cách giải lặp Có 3 loại sơ đồ lặp chủ yếu được áp dụng

Sử dụng thuật toán Euler đơn giản, phương pháp Newton-Raphson và phương pháp Newton-Raphson hiệu chỉnh để phân tích phi tuyến khung cổng chịu tải trọng phân bố đều và tải trọng ngang, mối quan hệ tải trọng - chuyển vị thể hiện theo các đường cong như sau:

Thuật toán Euler

Thuật toán Euler hay còn gọi là thuật toán gia tăng đơn giản là nền tảng của hầu hết các phương pháp giải phi tuyến Phương pháp này được mô tả cho mô hình một bậc tự do ở Hình 7

Xét điểm A trên đường cong tải trọng - độ võng Gia tăng một bước tải, điểm B được xác định:

   (77) Điểm C được xác định theo cách tương tự Khi điểm C tiến đến điểm tới hạn, có một sai số tích lũy trong mỗi bước tăng tải Sai số này có thể rất lớn trừ khi độ lớn bước tải trọng tác dụng được điều chỉnh suốt các giai đoạn tăng tải trọng Khi có nhiều bước tải trọng thì sai số sẽ giảm đi Tuy nhiên, sẽ tốn nhiều thời gian để giải

Hình 7 Sơ đồ minh họa thuật toán Euler đơn giản hệ phương trình tuyến tính ở mỗi bước tải trọng Sai số trong thuật toán này có thể trở nên rất lớn và do đó, nó hiếm được sử dụng ở dạng không được điều chỉnh khi giải hệ phương trình phi tuyến.

Thuật toán Newton-Raphson

Kết quả sai số tích lũy của kỹ thuật gia tăng đơn giản Euler có thể được cực tiểu hóa qua việc lặp kết hợp trong mỗi bước tải trọng khi phân tích Việc lặp giúp cực tiểu hóa các lực không cân bằng giữa tác dụng bên ngoài và nội lực bên trong xảy ra ở mỗi bước tải trọng

Có hai phương pháp thường được dùng để lặp bên trong mỗi bước lặp Kỹ thuật thứ nhất là kỹ thuật Newton-Raphson đầy đủ biểu diễn ở Hình 8

Xét một điểm cân bằng hội tụ (D1, P 1 ), một xấp xỉ đầu tiên của biến dạng gia tăng D 1 được tính toán bằng ma trận độ cứng tiếp tuyến ở vị trí cân bằng hiện tại:

Hình 8 Sơ đồ minh họa thuật toán Newton-Raphson

Trạng thái hiện tại của biến dạng tương ứng với trạng thái của nội lực (điểm B) không cân bằng với tải trọng tác dụng bên ngoài (điểm A) Sự không cân bằng của lực có thể được tính như sau: P 1 P 2 P B (79)

Lực không cân bằng sau đó được cho tác dụng lại vào kết cấu để tìm một chuyển vị mới qua ma trận độ cứng tiếp tuyến ở trạng thái biến dạng hiện tại:

Biến dạng gia tăng mới là: D 2  D 1 D 2 (81)

Nội lực khi đó được tính với trạng thái biến dạng tương ứng tại điểm C trên đường cong tải trọng - chuyển vị Lực không cân bằng được tính lại và toàn bộ thủ tục được lặp lại cho đến khi giá trị lực không cân bằng đạt đến một giá trị mà sai số có thể chấp nhận được ở điểm E Do đó, điểm E tương ứng với biến dạng gia tăng

 là kết quả từ việc tác dụng tải trọng gia tăng P

Một kỹ thuật giải phi tuyến khác là kỹ thuật Newton-Raphson hiệu chỉnh được biểu diễn cho mô hình một bậc tự do đơn giản ở Hình 9

Hình 9 Sơ đồ minh họa thuật toán Newton-Raphson hiệu chỉnh

Rõ ràng là có sự giống nhau giữa kỹ thuật Newton-Raphson và Newton-Raphson hiệu chỉnh Sự khác biệt chủ yếu giữa hai phương pháp là việc tính ma trận độ cứng tiếp tuyến Như biểu diễn ở Hình 9, trái ngược với Hình 8, ma trận độ cứng tiếp tuyến được tính một lần dùng trạng thái biến dạng D 1 và không tính toán lại cho đến khi quá trình lặp hội tụ Kỹ thuật này giảm bớt khối lượng tính toán, do bỏ qua sự lắp ghép lại ma trận độ cứng tiếp tuyến Đối với kết cấu có nhiều bậc tự do, việc tính lại ma trận độ cứng tiếp tuyến tốn rất nhiều thời gian Tuy nhiên, như minh họa trong hình vẽ, thủ tục Newton-Raphson hiệu chỉnh không có cùng tỷ lệ hội tụ như kỹ thuật Newton-Raphson Nói chung, phương pháp này cần nhiều bước lặp hơn để đạt kết quả hội tụ so với kỹ thuật Newton-Raphson.

Giới thiệu

Điểm nổi bậc của phương pháp lực là sử dụng một phần tử dầm cột cho một cấu kiện của kết cấu nhằm giảm khối lượng tính toán mà vẫn khảo sát được sự lan truyền dẻo trong cấu kiện Tác giả đã lập trình thành công chương trình FBPZ (force-based plastic zone) bằng chương trình Matlab với mô hình phần tử dầm cột và thuật toán giải phi tuyến đã trình bày ở phần trước để phân tích vùng dẻo khung thép phẳng có liên kết cứng bằng phương pháp lực Khi phân tích phi đàn hồi thì kết quả của bài toán đàn hồi cũng nhận được bằng cách xuất kết quả tính toán ngay trước khi thớ đầu tiên trong cấu kiện kết cấu bị chảy dẻo Mã nguồn của chương trình được trình bày trong phần phụ lục.

Chi tiết quá trình phân tích

Mô hình phần tử

Mô hình phần tử cho cấu kiện dầm-cột trong khung được biểu diễn ở các hình dưới đây:

Hình 10 Phần tử dầm cột dùng trong bài toán

Hình 11 Mô hình điểm lấy tích phân Gauss-Lobatto để khảo sát sự chảy dẻo trong cấu kiện

Hình 10 mô tả phần tử dầm cột có sáu bậc tự do tương ứng với sáu thành phần chuyển vị

Hình 11 mô tả vị trí các điểm lấy tích phân  i và trọng số tích phân  i theo Gauss-Lobatto được áp dụng để khảo sát sự chảy dẻo của cấu kiện

Hình 12 thể hiện cách chia thớ mặt cắt tại mỗi vị trí lấy tích phân của cấu kiện Để theo dõi sự chảy dẻo trong mặt cắt ngang phần tử, tác giả chia mặt cắt khảo sát thành nhiều phần tử thớ Trong luận án này tác giả sử dụng thuật toán chia thớ tự động theo quy luật từ trái qua phải và từ dưới lên trên Để dễ dàng cho việc so sánh, tất cả các mặt cắt khảo sát của tất cả các bài toán được chia thành bảy mươi hai (72) phần tử thớ Mỗi phần tử thớ có diện tích A j , có tọa độ tại trọng tâm (z y j , j ) trong mặt cắt ngang khảo sát

Việc chia mặt cắt khảo sát thành nhiều phần tử thớ có ý nghĩa rất quan trọng trong quá trình phân tích Bởi vì, ta có thể xác định một cách dễ dàng các đặc trưng, mối tương quan ứng suất - biến dạng, ma trận độ cứng, ma trận độ mềm của từng mặt cắt khảo sát Hơn nữa trong trường hợp có xét đến ứng suất dư tồn tại trong cấu kiện ta có thể dễ dàng thêm vào ứng suất dư cho từng thớ theo một mô hình ứng suất dư cho trước nào đó x y z

Hình 12 Chi tiết cách chia phần tử thớ

Như vậy việc chia mặt cắt khảo sát thành nhiều phần tử thớ kết hợp áp dụng tích phân số cho phép ta khảo sát sự chảy dẻo trong mặt cắt và sự lan truyền dẻo dọc theo chiều dài của cấu kiện.

Thêm chuyển vị cứng của phần tử

Các công thức ma trận độ mềm phần tử trình bày ở chương II được thiết lập trên cơ sở không xét đến chuyển vị cứng Do đó, việc chuyển đổi chuyển vị, lực hai đầu nút và ma trận độ cứng phần tử từ hệ có xét đến chuyển vị cứng sang hệ không xét đến chuyển vị cứng và ngược lại là cần thiết để phù hợp với tính chất làm việc của hệ

- Trong hệ tọa độ địa phương (x,y) có xét đến chuyển vị cứng (Hình 13): mỗi phần tử có 6 thành phần chuyển vị, tương ứng với 6 thành phần lực được biểu diễn như sau:

Xét đến chuyển vị cứng Không xét đến chuyển vị cứng

Hình 13 Chuyển vị và lực hai đầu nút có xét đến chuyển vị cứng

Hình 14 Mối quan hệ chuyển vị giữa hệ xét và không xét đến chuyển vị cứng a Chuyển đổi chuyển vị

Từ Hình 14 ta có: vì xét hệ là chuyển vị bé nên D 1 D x D 4 ' D 1 ' (84) và L n L D x L (85) do đó: Góc xoay cứng

Từ (84), (87), (88) ta có mối quan hệ giữa chuyển vị của hệ cơ bản không xét đến chuyển vị cứng và có xét đến chuyển vị cứng như sau

   hay biểu diễn dưới dạng ma trận

Hình 15 Mối quan hệ lực nút giữa hệ xét và không xét đến chuyển vị cứng

(90) hay biểu diễn dưới dạng ma trận

(91) c Chuyển đổi ma trận độ cứng phần tử

Trong hệ cơ bản ta có mối quan hệ giữa lực phần tử gia tăng và chuyển vị phần tử gia tăng theo biểu thức

Ma trận độ cứng hình học KG phụ thuộc vào lực tại hai đầu nút phần tử (P1, P2, P3) trong hệ tọa độ cơ bản Theo công thức của Crisfield (1990), ma trận độ cứng KG được viết như sau:

Chuyển từ tọa độ địa phương sang tọa độ tổng thể

Phần tử hữu hạn đã triển khai trong Chương II được trình bày trong hệ tọa độ địa phương nhằm đơn giản hóa việc thiết lập các công thức Thông thường, hệ tọa độ địa phương đó không trùng với hệ tọa độ tổng thể Do đó, mỗi ma trận độ cứng và véc tơ tải phần tử trước khi ghép nối vào ma trận độ cứng và véc tơ tải kết cấu tổng thể cần phải chuyển sang hệ tọa độ tổng thể theo công thức sau:

(99) c=cosα và s=sinα và α là góc tạo bởi hệ tọa độ địa phương của phần tử và hệ tọa độ tổng thể.

Xác định trạng thái phần tử th ớ

Việc xác định trạng thái ứng suất và biến dạng của phần tử thớ là công việc quan trọng nhất trong bài toán phân tích phi tuyến có kể đến phi tuyến vật liệu Giả sử chuyển vị gia tăng và trạng thái hiện tại của mặt cắt khảo sát được xác định Khi đó biến dạng gia tăng của các phần tử thớ (e i : i=1 m) được xác định như sau: e d

Dựa vào mối quan hệ ứng suất - biến dạng của vật liệu xác định được ứng suất gia tăng  i của thớ thứ i tương ứng với e i là: i E e i

Cập nhật vị trí trục trung hòa lõi còn đàn hồi của mặt cắt

Đối với phương pháp lực, một bước khá quan trọng là tính toán độ mềm (độ cứng mặt cắt) tại vị trí điểm lấy tích phân Theo công thức (49), ma trận độ cứng mặt cắt phụ thuộc vào tọa độ yi của thớ thứ i (Hình 16) Do vậy, việc cập nhật lại vị trí trục trung hòa của lõi còn đàn hồi tại mặt cắt khảo sát là rất cần thiết

Giả sử y là độ dịch chuyển trục trung hòa của lõi đàn hồi

 là phần chênh lệch moment tĩnh quanh trục z do độ dịch chuyển trục trung hòa của lõi đàn hồi so với hệ trục trung hòa ban đầu

A là phần chênh lệch diện tích do độ dịch chuyển trục trung hòa của lõi đàn hồi so với hệ trục trung hòa ban đầu

 Iz(  A) z y d b f Phần đã chảy dẻo

Hình 16 Hình vẽ mô tả sự dịch chuyển trục trung hòa lõi đàn hồi

Ta có độ dịch chuyển trục trung hòa của lõi đàn hồi: 1

Cập nhật tọa độ phần tử

Trong phân tích phi tuyến kết cấu có xét đến ảnh hưởng hiệu ứng P , tọa độ phần tử được cập nhật lại sau mỗi bước gia tăng tải là rất cần thiết nhằm phản ánh chính xác hiệu ứng này đến hệ

Theo Hình 17, tọa độ phần tử được cập nhật như sau:

Ứng suất dư

Như đã trình bày ở trên, mặt cắt khảo sát được chia thành nhiều thớ nhỏ, nên việc mô phỏng ảnh hưởng của ứng suất dư là hoàn toàn khả dụng và chính xác Ứng suất dư được xem là ứng suất ban đầu của mỗi thớ

Hình 17 Hình vẽ mô tả sự thay đổi tọa độ của phần tử

Trong tính toán hiện nay, có hai mô hình ứng suất dư thường được sử dụng (Hình 18) Mô hình thứ nhất được Vogel (1985) đề xuất và sau đó được Hiệp hội công trình thép Châu Âu (ECCS) lựa chọn để áp dụng cho các bài toán phân tích kết cấu thép có kể đến ứng suất dư Mô hình thứ 2 được Galambos và Ketter (1959) đề xuất Trong luận án này, tác giả sử dụng mô hình 1 để phân tích trong các ví dụ số.

Tích phân Gauss

Một trong những điểm mạnh trong phương pháp lực là dùng tích phân Gauss để giảm bớt số lượng phần tử trong phân tích kết cấu Có 3 dạng tích phân Gauss thường được sử dụng là: Gauss-Legenre, Gauss-Lobatto và Gauss-Radau Mỗi phương pháp tích phân trên có những ưu và nhược điểm khác nhau và được áp dụng tùy theo bài toán cụ thể d b f

Hình 18 Mô hình ứng suất dư

Trong phạm vi nghiên cứu này, tác giả sử dụng tích phân Gauss-Lobatto (Hình 19) để phân tích bài toán, bởi vì: vị trí điểm tích phân có ở hai đầu, do đó phản ánh được moment lớn ở hai đầu, hơn nữa các điểm lấy tích phân là đối xứng

Từ công thức (45) (52), áp dụng tích phân Gauss ta có:

* sec sec sec sec sec sec sec 1

Hình 19 Hình vẽ minh họa điểm lấy tích phân Gauss-Lobatto

Thuật toán

Lưu đồ thuật toán được chia làm 2 lưu đồ:

- Lưu đồ 1: Xác định trạng thái kết cấu (Hình 20) - Lưu đồ 2: Xác định trạng thái phần tử (Hình 21)

Nhập dữ liệu k=1 Ghép ma trận độ cứng tiếp tuyến K s

Véc tơ tải gia tăng Q, véc tơ tải Q i=1

Giải hệ PTTT tìm chuyển vị nút gia tăng

Xác định trạng thái phần tử

Ghép ma trận độ cứng tiếp tuyến K s

Ghép nội lực kết cấu Q R

Tính lực không cân bằng Q u =Q-Q R

Kiểm tra điều kiện hội tụ ẹ u ựn g k=k+1 i=i+1

Sai Cập nhật tọa độ phần tử

Hình 20 Lưu đồ thuật toán - Lưu đồ 1

Tính véc tơ chuyển vị phần tử gia tăng trong hệ tọa độ địa phương D

Cập nhật véc tơ chuyển vị phần tử

Tính véc tơ lực phần tử gia tăng P

Cập nhật véc tơ lực phần tử

- Véc tơ lực mặt cắt gia tăng: S()=b()P - Cập nhật véc tơ lực mặt cắt: S()=S()+S() - Véc tơ biến dạng mặt cắt gia tăng: d()=r()+f()S() - Cập nhật véc tơ biến dạng mặt cắt: d()

- Ma trận độ cứng mặt cắt k() ở trạng thái mới - Ma trận độ mềm mặt cắt f() ở trạng thái mới - Moment quán tính, diện tích, tọa độ thớ của lõi đàn hồi - Véc tơ nội lực S r ()

- Véc tơ lực mặt cắt không cân bằng S u ()=S()-S r () - Véc tơ biến dạng dư mặt cắt: r()= f().S u ()

Tính biến dạng dư phần tử D R Tính ma trận độ mềm F, độ cứng K của phần tử trong hệ tọa độ địa phương

Kiểm tra điều kiện hội tụ ẹ uự ng

Ghép ma trận độ cứng tiếp tuyến K s j=j+1

D=-D R Cập nhật tọa độ phần tử

Hình 21 Lưu đồ thuật toán - Lưu đồ 2

Giới thiệu

Một phần rất quan trọng của luận án này là việc xác định độ chính xác và tính khả thi của phương pháp phân tích đề xuất cũng như chương trình phân tích vùng dẻo FBPZ đã viết Để kiểm tra và đối chứng kết quả xuất ra từ chương trình này, tác giả so sánh với các kết quả nghiên cứu trong các sách chuyên ngành, các bài báo và báo cáo đáng tin cậy đã xuất bản để kiểm tra

Bảng 1 Định dạng dữ liệu nhập vào của chương trình

STT Biến số Diễn giải

1 bf Chiều rộng cánh dầm I

2 tf Chiều dày cánh dầm I

4 tw Chiều dày dụng dầm I

5 E Mo đun đàn hồi của thép

6 fy Giới hạn chảy dẻo của thép

7 nogauss Số điểm lấy tích phân trong tích phân Gauss

8 noc Số bước chia ở bản cánh

9 nob Số bước chia ở bản bụng

10 tongfib Tổng số thớ của mặt cắt

11 noe Tổng số phần tử trong hệ kết cấu

12 Edof Bậc tự do của phần tử

13 Q Véc tơ lực ngoài tác dụng

14 incrQ Véc tơ bước tăng lực ngoài tác dụng

15 ex Tọa độ phần tử theo trục X

16 ey Tọa độ phần tử theo trục Y

17 ep Thuộc tính phần tử

18 bc Điều kiện biên của kết cấu

19 noicrele Số vòng lặp lớn nhất trong thuật toán Newton-

20 noicrsec Số vòng lặp lớn nhất trong thuật toán Newton-

Rhapson ở mặt cắt Để phân tích một khung nào đó, đầu tiên ta phải rời rác hóa kết cấu, đánh số thứ tự phần tử, số bậc tự do của kết cấu theo quy định [31][32] và các thông số đầu vào như Bảng 1 Chương trình sẽ tự động tính toán và sẽ xuất kết quả tính toán theo như định dạng của Matlab Mã nguồn chương trình được trình bày trong phụ lục.

Các ví dụ đã thực hiện phân tích

Dầm consol chịu tải trọng uốn

Bài toán dầm conson có tiết diện W21×50, vật liệu thép có mô đun đàn hồi 200000MPa và giới hạn chảy 248MPa Năm 2009, tác giả Ngô Hữu Cường và Kim SE đã áp dụng phương pháp khớp thớ, mô hình một phần tử, ứng suất dư theo ECCS để giải bài toán này Họ sử dụng chương trình vùng dẻo FBPZ, với một phần tử cho một cấu kiện và ứng suất dư theo ECCS.

Kết quả so sánh tải trọng giới hạn được thể hiện ở Bảng 2 cho thấy rằng sai số kết quả do chương trình FBPZ rất nhỏ so với kết quả từ Abaqus Để xem xét ảnh hưởng của điểm lấy tích phân đến kết quả phân tích của chương trình, tác giả đã phân tích dầm ứng với các trường hợp 5, 7, 9 và 11 điểm tích phân Kết quả thể hiện ở Hình 26, hệ số tải trọng và chuyển vị cực hạn ( u , v u ) ứng với các trường hợp lần lượt là:  1 =0,98135, v 1 Q3,704mm;  2 =0,9806, v 2 69,394mm; 3=0,98038, v 3 20,289mm, 4=0,98038, v 4 )9,98mm Từ kết quả ta nhận thấy rằng khi số lượng điểm tích phân càng tăng thì kết quả càng hội tụ

Tuy nhiên sự chênh lệch về hệ số tải trọng cực hạn trong trường hợp 9 điểm tích phân và 11 điểm tích phân là không nhiều, nhưng càng nhiều điểm tích phân thì càng tốn bộ nhớ máy tính và thời gian phân tích lâu hơn Do đó, tác giả chọn trường hợp 9 điểm tích phân để so sánh kết quả

Ứng suất dư có ảnh hưởng không đáng kể đến dầm vì hệ số tải giới hạn $\lambda_u$ vẫn là 0,98038 khi xét đến ứng suất dư và không xét trong trường hợp này Sự khác biệt chỉ nằm ở độ võng và vị trí rẽ nhánh của đường cong lực - chuyển vị.

Hình 23 Biểu đồ quan hệ lực - chuyển vị Dầm consol

Phần thớ chịu nén Phần thớ chịu kéo

Tổng phần trăm chảy dẻo ( )

Hình 24 Tỷ lệ chảy dẻo của mặt cắt ngang (%)- Dầm consol (11 điểm tích phân)

Bảng 2 So sánh kết quả dầm consol về hệ số tải tới hạn  u

STT Năm Xuất xứ Phương pháp u Sai số (%)

2 2009 Cường và Kim Khớp dẻo 0,977 -0,5496

3 2012 Tác giả FBPZ - Phương pháp lực 0,98038 -0,2056

Hình 25 Ảnh hưởng ứng suất dư trong Dầm consol

Hình 26 Ảnh hưởng điểm lấy tích phân trong Dầm consol

Hình 24 thể hiện tỷ lệ chảy dẻo tại mặt cắt dầm gần ngàm là 91,4%, giảm mạnh ở các mặt cắt tiếp theo, đến mặt cắt thứ 4 thì không còn thớ nào chảy dẻo Tổng chiều dài đoạn chảy dẻo khoảng 15,74% chiều dài dầm.

Dầm hai đầu ngàm chịu tải trọng uốn

Dầm hai đầu ngàm tiết diện W8×48, dài 3m, chịu tác dụng lực P như Hình 27 Liew và cộng sự phân tích vào năm 1992, sau đó Chan [24] phân tích lại bằng phương pháp khớp dẻo hoàn toàn và khớp dẻo hiệu chỉnh, mô đun đàn hồi E 5000MPa và f y #5MPa Tác giả phân tích bài toán bằng phương pháp vùng dẻo, dùng một phần tử, 9 điểm lấy tích phân, kết quả phân tích như Hình 28

Các thông số tiết diện W8×48: h=0,2159m, bf=0,206m, t f =0,0174m, t w =0,0102, Moment quán tính I=7,695×10 -5 m 4 , M p 8,705kNm

Hình 27 Dầm hai đầu ngàm chịu tải trọng uốn

Hình 28 Biểu đồ quan hệ lực - chuyển vị Dầm hai đầu ngàm

Bảng 3 So sánh kết quả Dầm hai đầu ngàm về hệ số tải tới hạn  u

STT Năm Xuất xứ Phương pháp u Sai số

(%) 1 1992 Liew và cộng sự Khớp dẻo hoàn toàn 8,91

2 1992 Liew và cộng sự Khớp dẻo hiệu chỉnh 8,91 0 3 2000 Chan and Chui Khớp dẻo hoàn toàn 8,99 +0,898

4 2000 Chan and Chui Khớp dẻo hiệu chỉnh 8,97 +0,6734 5 2012 Tác giả FBPZ - Phương pháp lực 8,895 -0,168

Từ Hình 28, kết quả đường quan hệ Lực - Chuyển vị của chương trình vùng dẻo FBPZ bám sát kết quả khớp dẻo hoàn toàn của Chan, nhưng hệ số tải trọng cực hạn thì nhỏ hơn 0,17% (u=8,895) Nguyên nhân là do tác giả sử dụng mô hình vật liệu là đàn - dẻo tuyệt đối không tái bền Sự hình thành khớp dẻo cũng diễn ra theo thứ tự từ điểm A, B, C như kết quả của Liew và sự lan truyền dẻo xảy ra trong phạm vi 20% L của phần tử Hình 29

Cột hai đầu khớp chịu nén đúng tâm

Bài toán cột hai đầu khớp như Hình 30, cột có tiết diện W8×31, bán kính quán tính theo phương trục phụ 51,2mm, mô đun đàn hồi và giới hạn chảy của vật liệu thép lần lượt là 200000MPa và 250MPa Bài toán này đã được Ngô Hữu Cường và Kim SE [4] thực hiện năm 2009 bằng phương pháp khớp thớ, sử dụng một phần tử cho một cấu kiện để khảo sát sự phụ thuộc tải tới hạn vào độ mãnh của cột theo phương trục phụ Tác giả phân tích lại bài toán bằng phương pháp vùng dẻo FBPZ,

Tổng phần trăm chảy dẻo ( )

Phần thớ chịu nén Phần thớ chịu kéo

Hình 29 TL chảy dẻo của mặt cắt ngang (%)- Dầm 2 đầu ngàm 9 điểm tích phân dùng một phần tử cho một cấu kiện, xét cho cả trường hợp ứng suất dư mô hình 2 và không ứng suất dư

Bảng 4 Bảng so sánh về tải tới hạn của cột hai đầu khớp

P/P y (Không xét ứng suất dư) P/P y (Có xét ứng suất dư) Cường và

Vùng dẻo Sai số (%) Cường và

Hình 30 Cột hai đầu khớp chịu nén đúng tâm

Hình 31 Đường cong cường độ của cột hai đầu khớp chịu nén đúng tâm

Đường tải trọng cực đại tính được không xét ứng suất dư gần trùng với kết quả phân tích của Ngô Hữu Cường và Kim SE (Hình 31), sai số lớn nhất chỉ là 1,39% Nếu xét đến ứng suất dư, kết quả phân tích vùng dẻo có một chút khác biệt so với kết quả của Ngô Hữu Cường và Kim SE trong đoạn hệ số độ mãnh λcy [0,25;1,25] với sai số lớn nhất là 6,67%.

Cột đầu ngàm đầu khớp chịu tải trọng uốn - nén đồng thời

Cột thép tiết diện W12x65, dài 2,4384m (24'), một đầu ngàm, một đầu khớp chịu lực tác dụng như Hình 32 Bài toán này đã được McGuire trình bày lại bằng phương pháp khớp dẻo hoàn toàn để so sánh hai phương pháp phân tích bậc nhất và bậc hai Tác giả sử dụng chương trình máy tính FBPZ để phân tích bài toán, ứng suất dư mô hình 1 (ECCS), sử dụng một phân tử cho một cấu kiện và chín điểm tích phân.

Hình 32 Cột đầu ngàm đầu khớp

Bảng 5 So sánh kết quả Cột đầu ngàm đầu khớp về tải tới hạn P u

STT Năm Xuất xứ Phương pháp P u Sai số (%)

1 2000 McGuire Second-order Inelastic 316 Giá trị chuẩn

3 2012 Tác giả FBPZ - Phương pháp lực 310,027 -1,890

Ta thấy rằng, kết quả đường quan hệ biến suất ứng dạng giải bằng phương pháp vùng dẻo bám sát theo phương pháp khớp dẻo hoàn toàn - phi tuyến bậc hai của McGuire, tải trọng cực hạn thì nhỏ hơn 1,890% (310,027