Trong phần tử đồng xoay, yếu tố phi tuyến hình học do sự tương tác giữa lực dọc và mô-men uốn được tính đến bằng việc sử dụng các hàm ổn định từ lời giải của phương trình vi phân cân bằn
Giới thiệu
Phi tuyến hình học (geometric nonlinearity)
Phân tích phi tuyến hình học là phân tích có kể đến ảnh hưởng do sự biến đổi hình học và sự phân bố ứng suất dư ban đầu trong cấu kiện và do vậy ma trận độ cứng nhận được sẽ khác hẳn so với ma trận độ cứng thông thường vì có thêm các ẩn số chuyển vị Khác với phân tích tuyến tính, mà lời giải có thể tìm được một cách đơn giản và trực tiếp, phân tích phi tuyến hình học thường phải dùng đến một thủ tục lặp gia tải từng bước do sự thay đổi hình học của kết cấu không được biết trước khi thành lập phương trình cân bằng và quan hệ động học Dạng hình học thay đổi của kết cấu đạt được ở bước tính toán trước sẽ là cơ sở cho việc thành lập phương trình cân bằng và quan hệ động học cho bước tính toán hiện tại và kết quả của bước tính hiện tại sẽ là điều kiện ban đầu của bước kế tiếp sau đó
Có hai phương pháp phân tích phi tuyến hình học thường được sử dụng: (i) phương pháp dầm – cột dùng hàm ổn định dựa vào lời giải giải tích; (ii) phương pháp phần tử hữu hạn dùng phương pháp năng lượng.
Phi tuyến vật liệu (material nonlinearity)
Phân tích phi tuyến vật liệu là phân tích có kể đến ứng xử ngoài miền đàn hồi của vật liệu Hai phương pháp cơ bản thường được các nhà nghiên cứu sử dụng khi phân tích kết cấu thép phi đàn hồi là phương pháp khớp dẻo (dẻo tập trung) và phương pháp vùng dẻo (dẻo phân bố)
Phương pháp khớp dẻo là mô hình đơn giản, dễ sử dụng và thông dụng nhất Phương pháp khớp dẻo giả thiết sự chảy dẻo chỉ xảy ra trong một vùng nhỏ ở hai đầu phần tử, phần còn lại giữa hai đầu được giả thuyết vẫn còn đàn hồi Một khi giá trị nội lực tại đầu nào của phần tử đạt tiêu chuẩn dẻo, một khớp dẻo được hình thành đột ngột tại vị trí đó từ trạng thái đàn hồi Khớp dẻo này được xem là “khớp lý tưởng” với ý nghĩa là không tiếp nhận được thêm nội lực được nữa trong bước gia tải kế tiếp và được gọi là phương pháp khớp dẻo cứng Gần đây phương pháp khớp dẻo đã được cải tiến thành phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh (refined plastic- hinge) dùng hai mặt chảy dẻo đồng dạng để kể đến sự chảy dẻo dần dần của khớp dẻo để mô phỏng quá trình chảy dẻo dần dần của tiết diện chịu lực trong thực tế Ưu điểm nổi bật của phương pháp khớp dẻo là tính phù hợp với phương pháp dầm-cột đã trình bày ở trên dựa trên nguyên tắc không chia cấu kiện kết cấu thành quá nhiều phần tử nên khối lượng tính toán và lưu trữ của máy tính cần ít mà vẫn đạt độ chính xác cần thiết cho mục đích thiết kế kết cấu
Phương pháp vùng dẻo (plastic-zone) hay còn gọi là phương pháp dẻo phân bố (distributed plasticity) là phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) dựa trên sự chia phần tử dọc theo chiều dài cấu kiện và chia mặt cắt ngang tiết diện thành nhiều thớ Phương pháp này có thể: (i) mô phỏng sự lan truyền dẻo (spread-of-plasticity) qua mặt cắt ngang và dọc theo chiều dài cấu kiện; (ii) dễ dàng kể đến tác động tương hỗ giữa các biến dạng dọc trục, uốn và xoắn; (iii) dễ dàng mô phỏng sự tái bền, ứng suất dư, ứng xử trễ của vật liệu Việc áp dụng phương pháp này là cách chính xác nhất để tiên đoán cường độ khung do nó có thể mô phỏng ứng xử của khung thép gần giống như những gì xảy ra thực trong cấu kiện kết cấu thép khi chịu tải Tuy nhiên khối lượng tính toán và lưu trữ trong phương pháp này là khá lớn do phải chia nhiều phần tử nên số ẩn số trong hệ phương trình tuyến tính là khá lớn, đòi hỏi máy tính phải có cấu hình mạnh và dung lượng lưu trữ lớn Do vậy, phương pháp này thường chỉ được dùng trong nghiên cứu để kiểm tra độ tin cậy các phương pháp phân tích khác
Bảng 1.1 Bảng so sánh các phương pháp phân tích phi tuyến vật liệu
Phương pháp khớp dẻo cứng
Phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh
Tình hình nghiên cứu
Tình hình nghiên cứu trên thế giới
Trên thế giới, với tính hiệu quả về mặt tính toán trong khi kết quả phân tích cũng đạt độ chính xác đủ cho thiết kế thực hành, phương pháp dầm – cột đã được nghiên cứu sâu rộng để phát triển các thủ tục phân tích cho khung thép nửa cứng chịu tải trọng tĩnh Phương pháp này dựa vào việc mô phỏng cấu kiện bằng một phần tử do đó nó có những thuận lợi trong việc gắn thêm hai lò xo xoay ở hai đầu dầm để giả lập ứng xử phi tuyến của quan hệ mô-men – góc xoay liên kết
Lui và Chen (1986) [1] trình bày một phương pháp phân tích ứng xử của khung thép phẳng dùng phương pháp khớp dẻo Ứng xử phi tuyến của liên kết được mô phỏng bằng hàm mũ và có kể đến sự gia tải và dỡ tải của liên kết Kỹ thuật lặp gia tăng điều khiển tải trọng Newton – Raphson được áp dụng để giải bài toán Bài báo kết luận rằng độ mềm liên kết gây ảnh hưởng lớn đến phản ứng tổng thể của khung
Lui và Chen (1987) [4] đã thảo luận về các mô hình toán học khác nhau được đề xuất để mô phỏng ứng xử mô-men – góc xoay phi tuyến của liên kết dầm-cột Một phương pháp phân tích khung thép có liên kết mềm được đề xuất trong đó liên kết cột nối cột được xem là cứng hoàn toàn và phương trình độ dốc – độ võng cho dầm được hiệu chỉnh để kể đến các lò xo xoay thể hiện cho liên kết nửa cứng Bài báo cũng khảo sát ảnh hưởng của liên kết mềm đến cường độ, độ võng và sự phân bố nội lực trong khung thép
Hsieh và Deierlein (1991) [6] đã phát triển một phương pháp phân tích phi tuyến khung không gian có liên kết nửa cứng có giao diện đồ họa nhằm ứng dụng cho việc thiết kế theo trạng thái giới hạn của kết cấu Ứng xử phi tuyến vật liệu được kể đến bởi việc sử dụng phương pháp khớp dẻo có ma trận giảm dẻo dựa trên mặt dẻo ba tham số để mô phỏng sự chảy dẻo của mặt cắt ngang do tác động của lực dọc trục và mô-men uốn theo hai phương
Teh và Clarke (1999) [8] dùng công thức đồng xoay (corotational formulation) từ lý thuyết cơ vật rắn để thiết lập phần tử dầm cho phân tích khung không gian bằng phương pháp vùng dẻo
Foley và Vinnakota (1999) [9][10] đã phát triển một phần tử hữu hạn phi tuyến để áp dụng trong phân tích tải cực hạn phi đàn hồi bậc hai của khung thép Đây là lần đầu tiên ứng xử tải – chuyển vị phi tuyến toàn phần kể cả ứng xử dỡ tải của khung thép cứng và nửa cứng lớn được tính toán dùng mô hình vùng dẻo và sự dịch chuyển vị trí trục trung hòa được kể đến trực tiếp trong ma trận độ cứng
Liew cùng cộng sự (2000) [11] đã phát triển phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh dùng hai mặt chảy dẻo đồng dạng cho phép mô phỏng sự chảy dẻo dần dần của đầu mút phần tử thay vì sự chảy dẻo đột ngột của thường thấy trong phân tích khớp dẻo đơn giản
Kim và Choi (2001) [12] trình bày một phương pháp phân tích nâng cao khung thép không gian có xét đến các yếu tố phi tuyến hình học, vật liệu và liên kết bằng cách dùng hàm ổn định và phương pháp khớp dẻo
Foley (2001) [13] đề xuất quy trình xử lý song song và vec-tơ để phân tích các khung thép phẳng cực lớn bằng phương pháp rút gọn tĩnh có kể đến sự lan truyền dẻo và tác động phi tuyến hình học
Jiang cùng cộng sự (2002) [14] phát triển một chương trình phân tích dẻo phân bố bậc hai cho khung thép không gian Ứng xử phi tuyến vật liệu được mô phỏng bằng tiêu chuẩn dẻo von Mises cùng với luật chảy kết hợp và giả thiết tái bền đẳng hướng Sự chảy dẻo dần dần được mô phỏng bởi các điểm tích phân số dọc theo chiều dài cấu kiện và trên mặt cắt ngang
Ngô Hữu Cường cùng cộng sự (2008) [15] đề xuất phương pháp khớp dẻo thớ có chiều dài khớp thớ bằng không và dùng hàm ổn định để phân tích phi tuyến hình học và vật liệu cho khung không gian
Chiorean 2009 [16] đã đề xuất một phương pháp dầm cột mới cho phân tích phi tuyến khung thép không gian có liên kết nửa cứng Quan hệ lực – biến dạng phi đàn hồi phi tuyến và hàm ổn định được dùng để mô phỏng tác động phi tuyến vật liệu và hình học Ưu điểm của phương pháp này là khả năng mô phỏng sự lan truyền dẻo dọc theo chiều dài cấu kiện và chỉ cần mô phỏng một phần tử dầm – cột cho một cấu kiện là có kết quả đủ chính xác Tuy nhiên, việc sử dụng các tham số hình dạng và của mô hình Ramberg-Osgood và mô hình Albermani hiệu chỉnh của tác giả cho quan hệ lực – biến dạng của mặt cắt ngang để mô phỏng ứng xử phi đàn hồi chưa được thống nhất
Ngô Hữu Cường và Kim Seung-Eock (2009) [17] đã phát triển một phần tử dầm-cột khớp thớ phi tuyến mới cho mô phỏng khung thép không gian Để mô phỏng tác động phi đàn hồi dựa vào phương pháp khớp dẻo, cấu kiện được chia thành ba phần tử gồm hai phần tử khớp thớ hai đầu và một phần tử đàn hồi ở giữa Hàm ổn định từ lời giải giải tích chính xác của một cấu kiện dầm cột chịu lực dọc trục và mô-men uốn ở hai đầu được sử dụng để mô phỏng ứng xử bậc hai
Gần đây, Balling và Lyon (2010) [18] đã phát triển một phần tử đồng xoay kết hợp lý thuyết khớp dẻo cứng để áp dụng cho phân tích phi tuyến hình học và vật liệu cho khung thép Phần tử đồng xoay được phát triển có ưu điểm là chỉ cần mô phỏng một phần tử cho một cấu kiện mà vẫn đạt độ chính xác cao.
Tình hình nghiên cứu trong nước
Trần Tuấn Kiệt và Bùi Công Thành (2003) [19][20] xét đến ảnh hưởng của liên kết nửa cứng thông qua việc đưa độ cứng tiếp tuyến liên kết vào phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh
Phạm Minh Vương (2006) [22] mô phỏng ứng xử không đàn hồi của khung thép phẳng liên kết cứng chịu tải tĩnh dùng phần tử ba khớp dẻo Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm (2010)[24] đã nghiên cứu về ứng xử phi tuyến của khung thép phẳng liên kết cứng dùng phương pháp phần tử hữu hạn Cấu kiện dầm – cột thép được mô phỏng bằng nhiều phần tử hữu hạn và mặt cắt ngang giữa chiều dài phần tử được chia thành nhiều thớ để mô phỏng sự lan truyền dẻo dọc theo chiều dài cấu kiện và qua mặt cắt ngang phần tử Thuật toán tích phân số từng bước
Newmark – với phương pháp gia tốc trung bình được áp dụng để giải hệ phương trình chuyển động của hệ kết cấu Tiếp theo đó, Nguyễn Phú Cường (2010) [25]đã phát triển tiếp phương pháp này cho bài toán phân tích động khung thép phẳng có liên kết nửa cứng Đặng Ngọc Cảnh (2010) [23] đã dùng phương pháp vùng dẻo để áp dụng phân tích phi tuyến toàn phần cho khung thép nửa cứng không gian chịu tải trọng tĩnh
Trương Thị Mỹ Hạnh (2011) [27] phân tích phi tuyến khung phẳng bằng phương pháp điều chỉnh trực tiếp ma trận độ cứng bằng cách đưa vào các hệ số giảm độ cứng có xét đến ảnh hưởng của lực dọc, lực cắt và mô-men.
Mục tiêu của đề tài
Vật liệu thép kết cấu ngày càng được sử dụng nhiều cho các công trình dân dụng và công nghiệp trong nước và trên thế giới Có rất nhiều nghiên cứu về ứng xử thực tế của kết cấu thép Phương pháp chính xác thường được sử dụng để phân tích kết cấu thép là phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên phương pháp này mất nhiều thời gian cho phân tích kết cấu do số lượng phần tử rất lớn Do vậy việc tìm ra một phương pháp vừa mô phỏng chính xác ứng xử của kết cấu thép vừa giảm thời gian tính toán là điều rất cần thiết Việc sử dụng một phần tử cho mỗi cấu kiện trong phương pháp đồng xoay (co-rotation method) để mô phỏng phần tử thanh trong khung phẳng sẽ giảm đáng kể khối lượng tính toán mà vẫn có độ chính xác cao Có rất ít đề tài trong nước nghiên cứu về vấn đề này Từ đó tác giả rút ra mục tiêu đề tài như sau:
Mục tiêu chính của nghiên cứu này là sử dụng phương pháp đồng xoay (co- rotation method) kết hợp với lý thuyết khớp dẻo để phát triển một chương trình phân tích ứng xử phi tuyến của kết cấu khung phẳng Mặc dù phương pháp đồng xoay đã được phát triển và công bố trên tạp chí Journal of Structural Engineering ASCE bởi Balling và Lyon (2010) [18] nhưng mới chỉ dừng lại ở việc áp dụng mô hình khớp dẻo cứng đơn giản do đó luận văn này sẽ phát triển thêm mô hình khớp dẻo hiệu chỉnh để có thể nhận được kết quả phân tích chính xác hơn Nội dung cụ thể như sau:
- Sử dụng phần tử đồng xoay (co-rotation element) để xây dựng ma trận độ cứng của phần tử thanh cho khung phẳng
- Xây dựng chương trình ứng dụng CORP (CO-Rotation refined Plastic hinge program) bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB để tự động hóa quá trình phân tích
- So sánh các kết quả đạt được với các nghiên cứu trước đó và phần mềm thương mại ABAQUS để kiểm tra độ tin cậy của phương pháp nghiên cứu và chương trình phân tích
- Rút ra nhận xét và kết luận về khối lượng công việc đã thực hiện được
- Đề xuất hướng phát triển của đề tài.
Cấu trúc luận văn
Luận văn có cấu trúc các chương như sau:
Chương 2: Cở sở lý thuyết
Chương 3: Thuật toán giải phi tuyến
Chương 4: Chương trình ứng dụng
Chương 5: Ví dụ minh họa
Chương 6: Kết luận và hướng phát triển của đề tài
Chương II CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Giới thiệu
Chương này trình bày cách xây dựng một phần tử đồng xoay (co-rotation element) để mô phỏng ứng xử phi tuyến của kết cấu khung thép phẳng với việc mô phỏng một phần tử cho mỗi cấu kiện Phần tử này không những xét đến ảnh hưởng của lực dọc trên mô-men uốn (hiệu ứng P-Delta) mà còn xét đến biến dạng dọc trục do sự xoay ở 2 đầu phần tử Balling và Lyon (2010) [18] đã sử dụng phần tử đồng xoay (co-rotation element) kết hợp lý thuyết khớp dẻo cứng để áp dụng cho phân tích phi tuyến hình học và vật liệu cho khung thép Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phần tử đồng xoay được phát triển bởi Balling [18] nhưng phát triển với mô hình khớp dẻo hiệu chỉnh để có thể mô phỏng sự chảy dẻo dần dần của tiết diện cấu kiện nhằm đạt độ chính xác cao hơn trong tiên đoán ứng xử chịu tải của hệ kết cấu Đây là đóng góp chính của luận văn này.
Giả thiết
Những giả thiết sau được sử dụng trong việc thành lập phần tử dầm-cột đồng xoay (co-rotation element):
(1) Phần tử ban đầu thẳng và có tiết diện đều
(2) Mặt cắt ngang trước và sau biến dạng luôn phẳng và vuông góc với trục thanh
(3) Sự mất ổn định cục bộ của cấu kiện và sự mất ổn định tổng thể của dầm không xảy ra
(4) Biến dạng của phần tử là nhỏ, nhưng biến dạng của hệ kết cấu có thể lớn (5) Mô hình khớp dẻo của tiết diện dùng đường cường độ của Orbison, LRFD và Balling, sẽ được trình bày sau.
Phần tử đồng xoay có xét đến hiệu ứng phi tuyến hình học
Véc-tơ nội lực phần tử
Xét phần tử đồng xoay (co-rotation element) điển hình chịu lực dọc trục và mô-men uốn ở hai đầu như trong Hình II-1
Hình II-1 Phần tử đồng xoay (co-rotation element) điển hình
Các đường nét đứt thể hiện dạng biến dạng của phần tử Phương trình vi phân bậc 4 của dầm được viết như sau:
Giải phương trình vi phân (1) và áp dụng điều kiện biên ta được quan hệ giữa mô-men – góc xoay:
Giá trị A G , B G và C G được xác định như sau:
Các góc xoay 1 và 2 trong phương trình (2), (3) là chuyển vị của phần tử như Hình II-2 Trong đó cho thấy tính chất hình học của một phần tử dầm-cột ở vị trí ban đầu và sau khi biến dạng
Hình II-2 Vị trí ban đầu và vị trí biến dạng của phần tử
Nếu gọi e 1 và e 2 tương ứng là độ cứng của 2 đầu phần tử, có giá trị bằng 0 nếu là khớp dẻo được hình thành tại vị trí đó và bằng 1 nếu vị trí đó hoàn toàn đàn hồi Phương trình (2), (3) có thể được hiệu chỉnh lại như sau:
Lực dọc F được tính theo công thức sau:
Chiều dài ban đầu của phần tử:
Chiều dài của phần tử khi biến dạng do sự dịch chuyển của các nút:
Góc xoay của phần tử khi biến dạng:
Véc-tơ nội lực nút phần tử theo tọa độ địa phương có thể được viết dưới dạng như sau:
Véc-tơ nội lực nút phần tử theo tọa độ tổng thể: zT zT (23)
Ma trận chuyển đổi T và T T cho khung phẳng: cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0
Thiết lập ma trận độ cứng phần tử
Ma trận độ cứng tiếp tuyến của phần tử đồng xoay được đưa ra bằng cách lấy đạo hàm bậc nhất của nội lực nút phần tử theo chuyển vị (K T Z
) Lấy đạo hàm bậc nhất này cũng bao gồm lấy đạo hàm ma trận chuyển đổi từ tọa độ địa phương sang tọa độ tổng thể (do véc-tơ nội lực phần tử tổng thể là: z T z T
Véc-tơ nội lực nút phần tử được xác định trong các mục trước Lấy đạo hàm véc-tơ nội lực nút phần tử tổng thể theo véc-tơ chuyển vị phần tử tổng thể để được ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử tổng thể
Ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử tổng thể sẽ được xác định bởi mối quan hệ đối xứng sau đây:
Đối với chiều dài L của phần tử, ta lấy đạo hàm phương trình (18):
Đối với các hàm lượng giác:
1 2 3 cos sin cos cos sin cos
4 5 6 cos sin cos cos sin cos
1 2 3 sin cos sin sin cos sin
4 5 6 sin cos sin sin cos sin
Đối với các ma trận chuyển T và T T :
Thế phương trình (30) vào phương trình (27) ta được:
(31) Đối với góc chỉ phương , ta lấy đạo hàm phương trình (21):
Đối với góc xoay của phần tử, ta lấy đạo hàm phương trình (20):
Đối với lực dọc F của phần tử, ta lấy đạo hàm phương trình (17):
Công thức của ma trận độ cứng tiếp tuyến được hiệu chỉnh theo công thức của ma trận độ cứng đàn hồi và ma trận độ cứng hình học truyền thống Như vậy ta được ma trận độ cứng tiếp tuyến có dạng như sau:
Trong ma trận độ cứng tiếp tuyến trên nếu L được lấy bằng L0 thì k , kˆ E ˆ G trở thành các ma trận độ cứng đàn hồi và ma trận độ cứng hình học thường được tìm thấy trong các tài liệu (ví dụ Lui và Chen (1987) [4]) Ma trận thứ ba, ˆk là một ma trận độ cứng hình học bậc cao của phần tử Lưu ý ˆk là không đối xứng bởi vì lực dọc không tính đến chiều dài của hình dạng cong trong Hình II-1 và Hình II-2 theo các góc xoay ở 2 đầu, θ1 và θ2 Với là chuyển vị dọc trục và là chuyển vị vuông góc với trục phần tử dầm-cột Một đa thức được sử dụng để xấp xỉ hình dạng biến dạng của phần tử theo các góc xoay ở 2 đầu để tính toán lực dọc theo các biểu thức sau đây: d 1 d 2
Lực dọc trong công thức (40) được dùng để tính toán lại mô-men M 1 , M 2 và véc-tơ nội lực phần tử z, sau đó lấy đạo hàm lại tương tự như các bước trên ta sẽ được ma trận độ cứng tiếp tuyến mới Trong đó k , kˆ E ˆ G không đổi, còn ma trận độ cứng hình học bậc cao ,ˆk thay đổi thành ma trận đối xứng như sau:
Phi tuyến vật liệu
Sự chảy dẻo do tác động của ứng suất dư
Để kể đến sự chảy dẻo dần dần do ảnh hưởng của ứng suất dư trong mặt cắt tiết diện dưới tác dụng của lực dọc, Liew và cộng sự (1993) [11] đã đưa ra giá trị của mô-đun tiếp tuyến Et theo công thức sau:
Hội đồng nghiên cứu về cột (Column Research Council – CRC) dựa trên giá trị mô-đun tiếp tuyến Et đã thông qua công thức tính cho cột như sau:
Hình II-3 Quan hệ (E t /E và P/P y )
Sự chảy dẻo do mô-men uốn
Mô-đun tiếp tuyến Et chỉ kể đến ảnh hưởng của lục dọc trong phần tử mà chưa kể đến ảnh hưởng đồng thời của lực dọc và mô-men uốn Việc hình thành khớp dẻo trong phần tử thì chịu ảnh hưởng nhiều từ mô-men uốn Khái niệm đường cường độ chảy dẻo được đưa ra để kể đến ảnh hưởng đồng thời của lực dọc và mô-men uốn trên cơ sở nội lực của phần tử Một số đường cường độ chảy dẻo điển hình đã được đề xuất như sau: Đường cường độ chảy dẻo Orbison được đưa ra bởi Orbison và các đồng sự (1982) [1]:
(45) Đường cường độ chảy dẻo song tuyến tính AISC-LRFD được phát triển bởi Liew cùng cộng sự (1993) [11]: y y
P (47) Đường cường độ chảy dẻo do Balling (2010) [18] đề xuất:
Khi nội lực trong phần tử tiến đến đường cường độ chảy dẻo thì khớp dẻo được hình thành Phương pháp khớp dẻo là một phương pháp đơn giản và hiệu quả trong việc phân tích phi đàn hồi cho kết cấu khung phẳng Phương pháp này giả định rằng khớp dẻo có chiều dài bằng không và chỉ tập trung ở hai đầu của cấu kiện, trong khi phần còn lại của cấu kiện được giả định là đàn hồi trong suốt quá trình phân tích Có hai phương pháp khớp dẻo thường được sử dụng là phương pháp khớp dẻo cứng và phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh
Trong phương pháp khớp dẻo cứng, mặt cắt tiết diện ở hai đầu cấu kiện được giả định rằng là hoàn toàn đàn hồi trước khi nội lực trong phần tử tiến đến đường cường độ chảy dẻo Khi khớp dẻo được hình thành thì những khớp dẻo này được xem là khớp lý tưởng, trong thuật toán gia tăng với mô-men uốn không đổi trong bước tải kế tiếp Với e là hệ số độ cứng của tiết diện ở hai đầu phần tử Mặt cắt tiết diện được giả định rằng chỉ tồn tại một trong hai trường hợp là hoàn toàn đàn hồi (e
= 1) hoặc hoàn toàn chảy dẻo (e = 0) Do sự xuất hiện đột ngột của khớp dẻo từ trạng thái đàn hồi, phương pháp này được gọi là phương pháp khớp dẻo cứng Mặc dù phương pháp này đơn giản trong quá trình tính toán nhưng nó chưa kể đến được quá trình chảy dẻo của tiết diện và chưa cho ra được kết quả lý tưởng
Phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh được phát triển bởi Liew cùng cộng sự (2000) [11] dùng hai đường cường độ chảy dẻo đồng dạng cho phép mô phỏng sự chảy dẻo dần dần của đầu mút phần tử thay vì sự chảy dẻo đột ngột của thường thấy trong phân tích khớp dẻo cứng Với e là hệ số độ cứng: e = h( ) = h(M, P) (49)
Trong đó là thông số dẻo được tính theo độ lớn của lực dọc và mô-men ở hai đầu của cấu kiện theo đường cường độ chảy dẻo Orbison, hoặc AISC-LRFD, hoặc Balling được trình bày bên trên
Mặt bắt đầu chảy dẻo (=0.5) thì đồng dạng với mặt chảy dẻo (=1) Để tính đến quá trình chảy dẻo từ, hệ số độ cứng e được tính như sau:
Khi 0.5 1thì e được tính theo công thức sau:
Hình II-4 Đường cường độ chảy được phát triển bởi Orbison
Hình II-5 Đường cường độ chảy được phát triển bởi Liew cùng cộng sự
Hình II-6 Đường cường độ chảy được phát triển bởi Balling
Khi nội lực phần tử di chuyển bên trong hoặc bên trên đường cường độ bắt đầu chảy dẻo ( 0.5) thì phần tử hoàn toàn đàn hồi Khi nội lực phần tử di chuyển bên ngoài đường cường độ bắt đầu chảy dẻo và bên trong đường cường độ chảy dẻo (0.5 1) phần tử bắt đầu chảy dẻo và độ cứng e giảm, độ cứng e được tính theo công thức (50) Khi nội lực phần tử di chuyển bên ngoài đường cường độ chảy dẻo ( > 1) phần tử hoàn toàn chảy dẻo và nội lực phần tử được đưa trở về mặt chảy dẻo trong những lần gia tăng tải tiếp theo
Chương III THUẬT TOÁN GIẢI PHI TUYẾN
Giới thiệu
Ứng xử của kết cấu khi đến gần hoặc đi qua điểm tới hạn rất ít khi đúng theo đường tải trọng-biến dạng được giả thiết trong kỹ thuật giải tuyến tính Xét phản ứng tải trọng – chuyển vị của khung cổng được biểu diễn ở hình bên dưới Dưới tác dụng của tải trọng, khung bị lệch bên một đoạn, tương ứng với điểm A trên đường cong tải trọng – chuyển vị phi tuyến.Nếu giả thiết ứng xử của khung là tuyến tính và áp dụng kỹ thuật phân tích tuyến tính, ta được độ lệch tương ứng với tải trọng H có giá trị là xấp xỉ Tuy nhiên , trong thực tế cho thấy rằng, độ lệch thật thật lớn hơn nhiều so với kết quả của ứng xử tuyến tính đã giả thiết
Hình III-1 Ứng xử tải trọng – chuyển vị của khung
Sự phát triển của kỹ thuật phân tích phi tuyến xuất hiện từ nhu cầu giải bài toán với đường quan hệ tải trọng – chuyển vị giống như bài toán trên Hầu hết các kỹ thuật phân tích phi tuyến đều thông qua việc tuyến tính hoá Sự chuyển đổi qua ứng xử tuyến tính làm cho việc phân tích bài toán phi tuyến được thực hiện qua việc ứng dụng các bước tải trọng gia tăng
Những thuật toán giải phi tuyến thông dụng là thuật toán gia tăng đơn giản Euler và thuật toán Newton-Raphson Trong các phương pháp trên thuật toán Newton-Raphson là thuật toán có độ hội tụ cao do lực dư giữa ngoại lực tác dụng và nội lực được khử trong từng bước tăng tải và do đó được áp dụng trong nghiên cứu này.
Thuật toán Newton-Raphson
Newton-Raphson là thuật toán giải lặp lâu đời nhất và ngày nay vẫn còn được sử dụng rộng rãi trong phân tích phi tuyến kết cấu Có vài dạng Newton-Raphson khác nhau, trong đó có hai dạng phổ biến nhất là Newton-Raphson đầy đủ và hiệu chỉnh Trong thuật toán Newton-Raphson đầy đủ, ma trận độ cứng của phần tử được cập nhật sau mỗi vòng lặp nên cho độ hội tụ rất cao Trong khi đó, thay vì phải cập nhật ma trận độ cứng phần tử sau mỗi vòng lặp, thuật toán Newton-Raphson hiệu chỉnh sử dụng ma trận độ cứng không đổi Tuy thuật toán Newton-Raphson hiệu chỉnh đơn giản hơn trong các bước tính toán, nhưng cho tốc độ hội tụ chậm hơn thuật toán Newton-Raphson đầy đủ do cần nhiều bước lặp con hơn
Trong thuật toán giải lặp đòi hỏi phải giải phương trình cân bằng phi tuyến giữa véc-tơ ngoại lực F và véc-tơ nội lực Z, với Z là một hàm phi tuyến của véc-tơ chuyển vị U: F = Z(U)
Các bước lặp của thuật toán lặp Newton-Raphson đầy đủ:
Bước 0: Cập nhật trạng thái ban đầu cho vòng lặp mới
Bước 1: Nhập véc-tơ ngoại lực F và véc-tơ chuyển vị ban đầu {U} = 0
Bước 2: Tính véc-tơ nội lực Z(U)
Bước 3: Tính ma trận độ cứng tiếp tuyến kết cấu T
Bước 4: Giải phương trình tuyến tính K T U F Z để tìm {U} và cập nhật {U} = {U} + {U}
Bước 5: Dừng vòng lặp nếu đạt sai số cho phép, {U}[]; ngược lại, quay về thực hiện Bước 2
Trong thuật toán Newton-Raphson hiệu chỉnh các bước lặp đều tương tự thuật toán Newton-Raphson đầy đủ ngoại trừ Bước 3 dùng cập nhật lại ma trận độ cứng không được sử dụng trong các vòng lặp con từ thứ hai trở đi
Thuật toán lặp Newton-Raphson đầy đủ và hiệu chỉnh được minh họa như trong Hình III-2
Hình III-2 Thuật toán Newton-Raphson và Newton-Raphson hiệu chỉnh
Lưu đồ thu ật toán
Hình IV-1 Lưu đồ thuật toán của chương trình
Ngôn ngữ lập trình MATLAB được tác giả sử dụng để xây dựng chương trình ứng dụng CORP (CO-Rotation refined Plastic hinge program) trong phân tích phi tuyến khung thép phẳng
Chương V VÍ DỤ MINH HỌA
Phân tích đàn hồi
Ví dụ 1 – Cột thép một đầu ngàm một đầu tự do chịu tải tập trung
Phân tích phi tuyến hình học được thực hiện cho cột thép một đầu ngàm một đầu tự do chịu các lực đứng V và lực ngang H tại đầu cột, được đánh số nút và phần tử như Hình V-1, (Lyon 2010) Các thông số về kích thước, tiết diện và vật liệu được cho như sau: chiều dài ban đầu L 0 = 240 in; mô-đun đàn hồi E = 29000 ksi; tiết diện cột A = 100 in² ; mô-men quán tính tiết diện I = 833.3 in 4 Các lực tập trung V = 400 kip và H = 50 kip
Hình V-1 Cột thép chịu tải tập trung
Kết quả chuyển vị tại nút 2 được thể hiện như trong Bảng 1
Bảng 1 Kết quả phân tích ví dụ 1
Chuyển vị PP đề xuất Lyon 2010 ABAQUS
Sai số của các phương pháp so với kết quả của phần mềm ABAQUS sử dụng
200 phần tử con trên một cấu kiện được thể hiện trong Bảng 2
Bảng 2 Sai số so với kết quả ABAQUS sử dụng 200 phần tử con
Sai số PP đề xuất Lyon 2010 ABAQUS (01 PT/CK)
Ví dụ 2 – Khung phẳng hai tầng chịu tải trọng tập trung
Xét khung thép phẳng hai tầng chịu các tải tập trung, được đánh số nút và phần tử như Hình V-2, (Lyon 2010) Các thông số tiết diện, vật liệu của các cấu kiện như sau: mô-đun đàn hồi E = 29000 ksi; tiết diện cột Acột = 100 in², mô-men quán tính tiết diện cột Icột = 833.3 in 4 ; tiết diện dầm Adầm = 25 in², mô-men quán tính tiết diện dầm I dầm = 52.1 in 4 Chiều dài ban đầu L 1 = 120 in, L 2 = 144 in Các lực tập trung V = 400 kip và H = 50 kip
Hình V-2 Khung phẳng hai tầng chịu tải trọng tập trung
Kết quả chuyển vị tại các nút được thể hiện như trong Bảng 3
Bảng 3 Kết quả phân tích ví dụ 2
Kết quả Chuyển vị ngang Chuyển vị đứng Góc xoay
Kết quả của phương pháp đề xuất so với kết quả của phần mềm ABAQUS sử dụng 200 phần tử con trên một cấu kiện được thể hiện trong Bảng 4
Bảng 4 Sai số so với kết quả ABAQUS sử dụng 200 phần tử con
Kết quả Chuyển vị ngang Chuyển vị đứng Góc xoay
Sai số của PP đề xuất
Sai số của PP đề xuất
Từ kết quả trên ta thấy sai số lớn nhất so với kết quả của ABAQUS sử dụng
200 phần tử con trên một cấu kiện là 1.292% Bên cạnh đó, bài toán hội tụ chỉ sau 7 bước lặp theo thuật toán Newton-Raphson.
Ví dụ 3 – Cột thép một đầu ngàm một đầu tự do chịu tải đẩy dần
Phân tích phi tuyến hình học được thực hiện cho cột thép một đầu ngàm một đầu tự do chịu các lực đứng V đẩy dần và lực ngang H tại đầu cột, được đánh số nút và phần tử như Hình V-3 Các thông số về kích thước, tiết diện và vật liệu được cho như sau: chiều dài ban đầu L0 = 100 in; mô-đun đàn hồi E = 30000 ksi; tiết diện cột
A = 1.0 in² ; mô-men quán tính tiết diện I = 50 in 4 Lực ngang H = 20 kip và lực đẩy dần ban đầu V = 1 kip và khảo sát cho đến V = 1000 kip
Hình V-3 Cột thép chịu tải đẩy dần
Kết quả quan hệ lực – chuyển vị ngang và đứng tại nút 2 như Hình V-4 cho thấy rất sát với kết quả trước đó của Balling (2010):
Hình V-4 Chuyển vị ngang và đứng tại nút 2
Từ kết phân tích đàn hồi của các ví dụ trên ta thấy phương pháp phần tử đồng xoay phản ánh rất tốt hiệu ứng phi tuyến hình học của hệ kết cấu đàn hồi
Từ đó, ta có thể kết hợp phần tử đàn hồi đồng xoay này với các khớp dẻo ở hai đầu phần tử để kể thêm ảnh hưởng phi tuyến vật liệu trong phân tích đàn-dẻo.
Phân tích khớp dẻo cứng
Ví dụ 4 – Khung phẳng hai tầng một nhịp không giằng
Phân tích khung 2 tầng 1 nhịp liên kết cứng được Balling trình bày ở tài liệu Computer Structural Analysis như trong Hình V-5, (Balling 2010) Khung có thông số vật liệu, tiết diện như sau: Mô-đun đàn hồi E = 29000 ksi; ứng suất chảy dẻo y 50 ksi; Dầm W14×30 (A = 8.85 in², Z = 47.3 in³), Cột tầng dưới W10×54 (A = 15.8 in², Z = 66.7 in³), Cột tầng trên W10×33 (A = 9.71 in², Z = 38.8 in³)
Hình V-5 Khung phẳng hai tầng, một nhịp không giằng
Các tải đứng tác dụng lên dầm bằng 1.2 kip/ft Các tải ngang ban đầu là 0.3 kip ở điểm F và 0.2 kip ở điểm C Đẩy dần các tải ngang cho đến khi khung phá hoại
Phân tích phi tuyến vật liệu của khung theo phương pháp khớp dẻo cứng với mặt dẻo được thiết lập như sau:
Hình V-6 Chuyển vị ngang tại nút F trong khung Balling không giằng
Kết quả chuyển vị tại nút F và thứ tự xuất hiện các khớp dẻo gần như trùng hoàn toàn với kết quả nghiên cứu trước của Balling Bước gia tải và mode phá hủy của kết cấu được trình bày trong Bảng 5
Bảng 5 Bước gia tải và mode phá hủy
Bước tải Mode phá hủy
97 Khớp dẻo hình thành ở nút E trong thanh DE
121 Khớp dẻo hình thành ở nút C trong thanh CD
124 Khớp dẻo hình thành ở nút H trong thanh EH
126 Khớp dẻo hình thành ở nút A,B trong thanh AC, BE
127 Khớp dẻo hình thành ở nút F trong thanh GH
128 Cơ cấu bị phá hoại
Ví dụ 5 – Khung phẳng hai tầng một nhịp có giằng
Phân tích khung 2 tầng 1 nhịp liên kết cứng có giằng, các thanh giằng có liên kết khớp ở 2, đầu được Balling trình bày ở tài liệu Computer Structural Analysis như trong Hình V-7, (Balling 2010) Khung có thông số vật liệu, tiết diện như sau: Mô-đun đàn hồi E = 29000 ksi; ứng suất chảy dẻo y = 50 ksi; Dầm W14×30 (A 8.85 in², Z = 47.3 in³), Cột tầng dưới W10×54 (A = 15.8 in², Z = 66.7 in³), Cột tầng trên W10×33 (A = 9.71 in², Z = 38.8 in³) Thanh giằng dạng ống có tiết diện 6×4×5/16 (A = 5.61in 2 , I weak = 13.8in 4 , E)000 ksi, y = 46 ksi)
Các tải đứng tác dụng lên dầm bằng 1.2 kip/ft Các tải ngang ban đầu là 0.3kip ở điểm F và 0.2 kip ở điểm C Đẩy dần các tải ngang cho đến khi khung phá hoại
Phân tích phi tuyến vật liệu của khung theo phương pháp khớp dẻo truyền thống với mặt dẻo được thiết lập như sau:
Hình V-7 Khung phẳng hai tầng, một nhịp có giằng
Hình V-8 Chuyển vị ngang tại nút F trong khung Balling có giằng
Bảng 6 Bước gia tải và mode phá hủy
Bước tải Mode phá hủy
551 Khớp dẻo hình thành ở nút E trong thanh DE
580 Khớp dẻo hình thành ở nút A trong thanh AC
583 Khớp dẻo hình thành ở nút B trong thanh BE
589 Khớp dẻo hình thành ở nút C trong thanh CD
611 Khớp dẻo hình thành ở nút C và E trong thanh AC và BE
611 Cơ cấu bị phá hoại
Kết quả chuyển vị tại nút F như trong Hình V-8 và thứ tự xuất hiện các khớp dẻo như trong Bảng 6 rất sát với kết quả nghiên cứu trước của Balling.
Phân tích khớp dẻo hiệu chỉnh
Ví dụ 6 – Cột hai đầu khớp chịu tải tập trung
Phân tích phi tuyến được thực hiện cho cột thép hai đầu khớp chịu các lực đứng P như như Hình V-9 được Kim và cộng sự [17] trình bày vào năm 2009 Trong phân tích Kim và cộng sự sử dụng phương pháp khớp thớ (cấu kiện được chia làm 3 phần tử: phần tử đàn hồi ở giữa, sử dụng hàm ổn định truyền thống; 2 phần tử khớp thớ ở hai đầu) Các thông số về kích thước, tiết diện và vật liệu được cho như sau: Mô-đun đàn hồi E = 29000 ksi; Ứng suất chảy dẻo y = 36 ksi; Cột sử dụng tiết diện W8×31 (A = 9.12 in², ry =2.0169, Z = 14.1 in³, I = 37.1 in 4 ) Lực tập trung P tăng dần đến khi cột phá hoại, chiều dài L của cột được thay đổi để có độ mảnh cột c thay đổi tương ứng trong các trường hợp khác nhau
Hình V-9 Cột hai đầu khớp chịu tải tập trung
Kết quả đường quan hệ (P/Py – c) của cột trùng sát với kết quả của đường lý thuyết Euler, CRC, Kim (2009) khi không và có xét đến ứng suất dư ban đầu trong cấu kiện
Hình V-10 Quan hệ (P/P y – c ) so với Euler, CRC và Kim (2009)
Ví dụ 7 – Khung phẳng hai tầng, một nhịp không giằng
Sử dụng lại mô hình ví dụ 4 ở trên, nhưng cải tiến phương pháp phân tích phi tuyến vật liệu bằng phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh
Hình V-11 Chuyển vị ngang tại nút F trong khung Balling không giằng
Khi phân tích hệ kết cấu bằng khớp dẻo hiệu chỉnh ta thấy đường quan hệ lực – chuyển vị liên tục và nằm bên dưới so với kết quả phân tích bằng phương pháp khớp dẻo cứng như trong Hình V-11 Khác với phương pháp khớp dẻo cứng (sự hình thành khớp dẻo xảy ra đột ngột), kết quả của phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh phản ánh sự chảy dẻo dần dần tại vị trí xuất hiện khớp dẻo Do đó, phương pháp này phản ánh chính xác hơn ứng xử phi tuyến của hệ kết cấu.
Ví dụ 8 – Khung phẳng hai tầng, một nhịp có giằng
Sử dụng lại mô hình ví dụ 5 ở trên, nhưng cải tiến phương pháp phân tích phi tuyến vật liệu bằng phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh
Kết quả phân tích cho thấy đường quan hệ lực – chuyển vị ở giai đoạn ban đầu (chưa chảy dẻo) của hai phương pháp phân tích là trùng nhau Khi hệ kết cấu bắt đầu chảy dẻo, ta thấy rõ sự khác biệt của hai phương pháp phân tích phi tuyến vật
1 2 f t 1 2 f t liệu Đường quan hệ lực – chuyển vị của phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh liên tục và nằm bên dưới so với kết quả phân tích bằng phương pháp khớp dẻo cứng Một lần nữa, ta thấy phương pháp đề xuất phản ánh chính xác hơn ứng xử phi tuyến của hệ kết cấu
Hình V-12 Chuyển vị ngang tại nút F trong khung Balling có giằng
Ví dụ 9 – Khung Vogel một nhịp một tầng liên kết cứng
Khung cổng ở Hình V-13 được Vogel trình bày lần đầu tiên vào năm 1985 bằng hai phương pháp khớp dẻo và vùng dẻo và được hiệp hội công trình thép châu Âu (ECCS) lựa chọn làm cơ sở kiểm tra độ chính xác cho các chương trình phân tích phi đàn hồi phi tuyến hình học Các thông số của khung như sau: Mô-đun đàn hồi E = 205 GPa; Ứng suất chảy dẻo y = 235 MPa; Góc lệch ban đầu 0 = 1/400
Bảng 7 Đặc trưng hình học của mô hình đề xuất bởi Vogel
Tiết diện bf (mm) t f (mm) d (mm) t w (mm)
Hình V-13 Khung Vogel một nhịp một tầng liên kết cứng
Kết quả chuyển vị ngang tại nút 4 như trong Hình V-14
Hình V-14 Chuyển vị ngang tại nút 4
Kết quả phân tích cho thấy hệ số tải trọng giới hạn u của hai phương pháp rất sát nhau (u (tác giả_khớp dẻo cứng) = 1.046 , u (tác giả _khớp dẻo hc) = 1.016, u (Vogel_vùng dẻo) 1.022) Điều này cho thấy phương pháp đề xuất có độ chính xác cao trong việc tiên đoán khả năng chịu tải cực hạn của hệ
Sự khác biệt giữa các đường quan hệ tải trọng – chuyển vị là do phương pháp phân tích khớp dẻo hiệu chỉnh chưa kể đến sự chảy dẻo phân bố dọc theo chiều dài cấu kiện (đặc biệt, trong trường hợp này cột chịu lực nén rất lớn, nên có sự chảy dẻo phân bố dọc theo chiều dài phần tử cột).
Ví dụ 10 – Khung Vogel hai nhịp sáu tầng liên kết cứng
Khung 2 nhịp 6 tầng liên kết cứng chịu lực phân bố đều trên dầm và lực tập trung tại các nút như Hình V-15 và có các đặc trung như trong Bảng 9 được Vogel trình bày vào năm 1985 Khung được giả sử có độ lệch ban đầu là = 1/300 từ tầng 1 đến tầng 6
Bảng 8 Đặc trưng vật lý của mô hình khung Vogel 2 nhịp 6 tầng Đặc trưng vật lý Giá trị Môdun đàn hồi (E) 205 (GPa)
Bảng 9 Đặc trưng hình học của mô hình đề xuất bởi Vogel
Tiết diện b f (mm) t f (mm) d (mm) t w (mm) A f (mm 4 ) I x (mm 4 )
Hình V-15 Khung Vogel hai nhịp sáu tầng liên kết cứng
Kết quả chuyển vị ngang tại đỉnh bên phải như trong Hình V-16
Hình V-16 Chuyển vị ngang tại đỉnh bên phải
Kết quả phân tích cho thấy hệ số tải trọng giới hạn u của hai phương pháp là sát nhau (u (tác giả_khớp dẻo cứng) = 1.148, u (tác giả_khớp dẻo hc) = 1.125, u (Vogel_vùng dẻo) 1.111) Sự khác biệt giữa các đường quan hệ tải trọng – chuyển vị là do phương pháp phân tích khớp dẻo hiệu chỉnh chưa kể đến sự chảy dẻo phân bố dọc theo chiều dài cấu kiện Từ kết quả trên, ta thấy phương pháp đề xuất có thể tiên đoán được tải trọng giới hạn của hệ kết cấu với độ chính xác cao Đặc biệt, việc chỉ sử dụng một phần tử trên một cấu kiện, phương pháp đề xuất tiết kiệm được nhiều thời gian và khối lượng tính toán
Chương VI KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI
Hướng phát triển của đề tài
Phương pháp phân tích đề xuất có thể mở rộng cho phân tích phi tuyến khung thép phẳng có liên kết nửa cứng bằng việc hiệu chỉnh ma trận độ cứng phần tử có kể đến liên kết nửa cứng ở đầu phần tử
Việc xây dựng phần tử dầm-cột đồng xoay với tải phân bố dọc theo chiều dài cấu kiện được quy về các tải nút ở hai đầu phần tử như đã thực hiện trong luận văn này chưa phản ánh chính xác ứng xử của cấu kiện Trong trường hợp này, ta phải chia cấu kiện nhiều hơn một phần tử con Do đó, để đảm bảo ưu điểm của phương pháp là sử dụng một phần tử con trên một cấu kiện, ta có thể phát triển hướng nghiên cứu bằng việc xây dựng lại ma trận độ cứng phần tử có kể đến tải phân bố dọc theo chiều dài cấu kiện
Việc sử dụng các phương pháp trung gian để kể đến sự chảy dẻo dần dần và ứng suất dư ban đầu của tiết diện trong phương pháp phân tích khớp dẻo hiệu chỉnh như mặt chảy dẻo, mô-đun tiếp tuyến E t chỉ mang tính chất gần đúng Mặt chảy dẻo không thể nào phản ánh đúng cường độ cực hạn của tiết diện và sự chảy dẻo dần dần trong quá trình chịu tải cho tất cả các tiết diện khác nhau, nên ta có thể phát triển hướng phân tích theo hướng thay thế phương pháp khớp dẻo bằng phương pháp khớp thớ (fiber hinge) để mô tả chính xác hơn tác động phi tuyến vật liệu đồng thời vẫn giữ được ưu điểm nổi bật của phương pháp phần tử đồng xoay
Từ các kết quả tin cậy của bài toán phân tích tĩnh, ta có thể phát triển phân tích phi tuyến toàn phần cho bài toán khung thép phẳng chịu tải trọng động Đặc biệt, trong bài toán động, khối lượng tính rất lớn nên phần tử dầm-cột đồng xoay đề xuất sẽ rất khả thi và hữu ích khi áp dụng vào phân tích động
Luận văn này chỉ xét đến bài toán khung thép phẳng, ta có thể phát triển hướng phân tích cho bài toán khung thép không gian chịu tải trọng tĩnh và động.