Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích khớp dẻo khung phẳng bằng phần tử dầm-cột Timoshenko bằng phương pháp đồng xoay

TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH KHỚP DẺO KHUNG PHẲNG BẰNG PHẦN TỬ DẦM-CỘT TIMOSHENKO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG XOAY NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: 1 Tìm hiểu phương pháp phân tích đồng xoay dùng phần tử dầm Ti

Giới thiệu

Mục đích của phân tích kết cấu là xác định nội lực và chuyển vị của hệ dưới tác động của ngoại lực Để đơn giản ta thường cho rằng mối quan hệ giữa nội lực và chuyển vị là tuyến tính Tuy nhiên trong thực tế mối quan hệ này là phi tuyến

Phân tích phi tuyến hình học là phân tích có xem xét sự biến đổi hình học của hệ kết cấu nên ma trận độ cứng liên quan đến chuyển vị và phân tích này thường được gọi là phân tích chuyển vị lớn Phân tích phi tuyến vật liệu là phân tích có xem xét ứng suất dư ban đầu thường có sẵn trong tiết diện cấu kiện do quá trình chế tạo cấu kiện định hình hoặc quá trình tổ hợp hàn cấu kiện định hình và ứng xử ngoài miền đàn hồi của vật liệu Đối với kết cấu thép, hai tác động phi tuyến hình học và vật liệu ảnh hưởng rất lớn đến ứng xử của hệ kết cấu khi chịu ngoại lực nên cần phải được kể đến trong phân tích và được gọi chung là phân tích phi tuyến toàn phần Phân tích phi tuyến thường phải dùng phương pháp lặp gia tải từng bước do sự thay đổi hình học và tình trạng chảy dẻo của hệ kết cấu thép không được biết trước khi thành lập phương trình cân bằng và quan hệ động học Dạng hình học thay đổi và trạng thái chảy dẻo của kết cấu đạt được ở bước phân tích gia tăng trước được làm cơ sở để thành lập phương trình cân bằng cho bước tính toán tiếp theo

Phân tích phi tuyến thường được thực hiện theo hai phương pháp: phương pháp dầm-cột dùng hàm ổn định cùng với mô hình khớp dẻo và phương pháp phần tử hữu hạn dùng mô hình vùng dẻo

Phương pháp khớp dẻo sử dụng giả định về sự chảy dẻo cục bộ, tức là chỉ xảy ra ở hai đầu phần tử trong khi toàn bộ phần tử vẫn trong trạng thái đàn hồi Khi nội lực tại đầu phần tử đạt giá trị đủ lớn để vượt ngưỡng chảy dẻo quy định, một khớp dẻo hình thành tại vị trí đó.

Phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh dùng hai mặt chảy dẻo đồng dạng để kể đến sự chảy dẻo dần dần của khớp dẻo Ưu điểm của phương pháp khớp dẻo là khối lượng tính toán nhanh mà vẫn đạt độ chính xác cần thiết cho mục đích thiết kế kết cấu

Phương pháp vùng dẻo chia cấu kiện thành nhiều phần tử và mặt cắt ngang đại diện của từng phần tử được chia thành nhiều thớ để mô phỏng sự chảy dẻo dần dần qua mặt cắt ngang và dọc theo chiều dài cấu kiện Phương pháp này là phương pháp tốt nhất phản ánh chính xác ứng xử ngoài miền đàn hồi Tuy nhiên phương pháp này cần nhiều thời gian tính toán và cần nhiều dung lượng bộ nhớ để lưu trữ dữ liệu do cần phải quản lý và xử lý nhiều phần tử và thớ và từ đó khối lượng tính toán lớn hơn nhiều so với phương pháp khớp dẻo

Trong nghiên cứu này, phương pháp dầm-cột khớp dẻo được áp dụng để phân tích kết cấu khung phẳng với việc sử dụng một phần tử cho mỗi cấu kiện và từ đó bài toán sẽ được phân tích nhanh chóng do khối lượng xử lý được giảm tối đa

Phương pháp phần tử đồng xoay xét đến biến dạng của phần tử không chỉ do lực dọc mà còn do sự xoay ở hai đầu, cho phép mô phỏng chính xác hơn hành vi của các kết cấu mềm Ngoài ra, phương pháp này kết hợp ứng xử dầm Timoshenko bao gồm biến dạng cắt, giúp áp dụng được cho các bài toán tổng quát.

Tình hình nghiên cứu

Tình hình nghiên cứu trên thế giới

M.A Crisfield (1990) [1] xây dựng nội lực và ma trận độ cứng phần tử dầm đồng xoay không gian từ biến dạng tương ứng

Costin Pacoste và Anders Eriksson (1997) [2] xây dựng phần tử đồng xoay phẳng và không gian để phân tích sự mất ổn định của khung thép

Teh và Clarke (1999) [3] dùng công thức đồng xoay để xây dựng phần tử dầm-cột dùng cho phân tích khung không gian bằng phương pháp vùng dẻo

Gần đây Balling và Lyon (2010) [4] đã xây dựng phần tử đồng xoay kết hợp với việc mô phỏng khớp dẻo để áp dụng cho phân tích phi tuyến hình học và vật liệu cho khung thép phẳng Phương pháp này chỉ cần mô phỏng một phần tử cho một cấu kiện mà vẫn đạt kết quả chính xác cao

Jin Xu ,C K Lee và K H Tan (2012) [5] sử dụng phần tử đồng xoay kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn để mô phỏng khớp dẻo trong kết cấu thép.

Tình hình nghiên cứu trong nước

Tạ Văn Khoa (2006) [6] nghiên cứu mô hình dầm – cột theo lý thuyết dầm Timoshenko mở rộng cho phân tích chuyển vị lớn của khung thép phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn Vật liệu được giả thiết làm việc trong miền đàn hồi

Nguyễn Đình Kiên (2012) [7] phân tích chuyển vị lớn của dầm phẳng và khung phẳng bằng phần tử đồng xoay dầm Timoshenko có xem xét ảnh hưởng biến dạng cắt kết hợp thuật toán giải lặp chiều dài cung cầu để giải các bài toán phi tuyến đàn hồi Đặng Xuân Lam (2012) [8] sử dụng phương pháp phần tử đồng xoay kết hợp với lý thuyết khớp dẻo để phân tích phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu cho khung thép phẳng.

Mục tiêu của đề tài

Xây dựng ma trận độ cứng của dầm-cột Timoshenko dạng phần tử bằng phương pháp đồng xoay dựa trên phương pháp năng lượng, trong đó ứng xử phi tuyến của vật liệu được tính đến bằng phương pháp khớp dẻo.

-Phát triển một chương trình tin cậy cho phân tích phi tuyến khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh.

Nội dung đề tài

-Xây dựng ma trận độ cứng của phần tử khung thép phẳng

-Phát triển chương trình ứng dụng bằng MATLAB để tự động hóa quá trình tính toán bằng máy tính cá nhân

-Nghiên cứu các thuật toán giải lặp khác nhau từ đó so sánh lựa chọn thuật toán phù hợp cho bài toán phân tích phi tuyến

-So sánh kết quả đạt được với các kết quả nghiên cứu trước đó từ đó kiểm tra sự chính xác của chương trình

-Rút ra nhận xét và hướng phát triển của đề tài.

Cấu trúc luận văn

Chương I: Tổng quan Chương II: Cơ sở lý thuyết Chương III: Thuật toán và chương trình ứng dụng Chương IV: Ví dụ minh họa

Chương V: Kết luận và hướng phát triển đề tài

Chương II CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này trình bày cách sử dụng phần tử dầm Timoshenko dựa vào phương pháp đồng xoay được phát triển bởi Nguyễn Đình Kiên [7] để xây dựng ma trận độ cứng hiệu chỉnh cho phần tử thanh của khung phẳng có xét đến sự chảy dẻo ở 2 đầu phần tử để mô phỏng ứng xử phi tuyến vật liệu Đây chính là đóng góp mới của tác giả trong nghiên cứu này.

Giả thiết

Những giả thiết sau được sử dụng trong việc thành lập phần tử dầm-cột đồng xoay Timoshenko:

(1) Phần tử ban đầu thẳng và có tiết diện đều;

(2) Bỏ qua sự mất ổn định cục bộ và mất ổn định ngang của cấu kiện (xem như cấu kiện đã được gia cường và giằng ngang đầy đủ);

(3) Biến dạng của phần tử là nhỏ, nhưng biến dạng của hệ kết cấu có thể lớn;

(4) Bỏ qua tác động của sự chảy dẻo do tác động của lực cắt.

Phần tử đồng xoay có xét đến hiệu ứng phi tuyến hình học [7]

Công thức trong hệ trục địa phương

Biểu thức vòm thấp (shallow arch) [9] cho biến dạng dọc địa phương dựa vào lý thuyết dầm Timoshenko được dùng trong nghiên cứu này cho phân tích chuyển vị lớn của hệ kết cấu thép Biến dạng dọc và cắt địa phương  và  được biểu diễn như sau:

Hình II-1: Biến dạng dầm Timoshenko

Hình II-2: Biến dạng dầm Timoshenko sau biến dạng

Trong Phương trình (1), u o , w là chuyển vị dọc và ngang của trục dầm và x

 là độ cong dầm z là tọa độ thớ đang xét so với vị trí trọng tâm của tiết diện dầm Timoshenko Năng lượng biến dạng được thể hiện qua thành phần biến dạng (1) được tính bởi:

Trong đó: EA, EI và GA tương ứng là độ cứng dọc, độ cứng uốn và độ cứng cắt của dầm Timoshenko;  là hệ số hiệu chỉnh cắt (shear correction factor) Các hàm nội suy được dùng cho u o , w và  để biểu diễn U qua các chuyển vị nút địa phương (Hình II-3) Chú ý rằng các chuyển vị ngang địa phương tại hai đầu phần tử

1 2 0 w w  , chuyển vị ngang địa phương w và góc xoay  được nội suy từ:

Các hàm dạng đa thức bậc ba và bậc hai cho N w và N  của phần tử dầm Timoshenko đã được đề xuất bởi Luo [10] bằng phương pháp tương thích trường qua việc giải hệ phương trình cân bằng của phần tử dầm Dựa vào kết quả này Nguyễn Đình Kiên [7] đề xuất các hàm nội suy cho chuyển vị ngang w và góc xoay

 của phần tử dầm Timoshenko như sau:

Trong phương trình (4) và (5)  12EI / (l 2 GA) là hệ số biến dạng cắt

Để tránh hiện tượng khóa màng của phần tử thiết lập, biến dạng màng εo trong phương trình (1) được thay thế bằng biến dạng tính toán Biến dạng tính toán này được nội suy tuyến tính từ các giá trị dịch chuyển theo phương x của các nút u_l.

Biến dạng dọc tính toán trên có thể được viết theo chuyển vị nút như sau:

Từ phương trình (3)- (5) và (7) có thể viết năng lượng biến dạng U trong phương trình (2) như sau:

Vector lực nút f in và ma trận độ cứng tiếp tuyến k t địa phương có thể tìm được bằng cách đạo hàm bậc một hay bậc hai, tương ứng, hàm năng lượng biến dạng (8) đối với chuyển vị nút địa phương.

Mối quan hệ giữa hệ trục địa phương và hệ trục tổng thể

Hình II-3 biểu diễn một dầm phẳng hai nút và quan hệ động học của nó trong hệ trục tọa độ tổng thể ( X, Z ) Một hệ trục địa phương ( x,z ) được gắn với phần tử được chọn để sao cho gốc tọa độ luôn nằm tại nút một và trục x hướng tới nút hai

Bằng cách chọn hệ trục địa phương như vậy, chuyển vị dọc ở nút một và chuyển vị ngang ở cả hai đầu trong hệ trục địa phương luôn bằng 0

Hình II-3: Vị trí ban đầu và biến dạng dầm [7]

Vector chuyển vị nút địa phương và tổng thể được biểu diễn như sau:

Trong đó ký hiệu T biểu thị sự chuyển trí của một vector hoặc một ma trận, và dấu gạch ngang ở trên đầu ký hiệu chuyển vị được dùng để biểu thị rằng các biến đó được định nghĩa trong hệ tọa độ địa phương

Các vector lực và momen nút tương ứng với chuyển vị nút của phương trình (9) và (10) được biểu diễn như sau:

Các thành phần vector địa phương d trong phương trình (9) được tính như sau:

Chiều dài ban đầu của phần tử:

Chiều dài hiện tại của phần tử:

Thành phần vector địa phương:

Trong phương trình (13), các đại lượng l, l n và  r lần lượt là chiều dài ban đầu, chiều dài hiện tại và góc xoay cứng của phần tử Những đại lượng này có thể được tính toán thông qua tọa độ các nút.

Giả sử năng lượng biến dạng U của phần tử đã được xác định trước Vectơ lực nút f, độ cứng ma trận tiếp tuyến k của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể có thể tính toán được bằng cách tính đạo hàm của hàm năng lượng biến dạng theo chuyển vị nút.

Trong phương trình (14) và (15) f in U d

 là vector lực nút và ma trận độ cứng tiếp tuyến trong hệ trục địa phương

 Lực nút Xác định lực nút trong hệ tọa độ địa phương f in   N M M 1 2  T

Gọi S1, S2 là hàm ổn định phần tử dầm-cột

Khi các khớp tại đầu phần tử có độ cứng lần lượt là e1 và e2, với e1 = 0 ứng với khớp dẻo và e2 = 1 ứng với khớp đàn hồi, ta có thể biểu diễn lại các độ võng S1 và S2 theo phương pháp trong [11].

 Ma trận độ cứng Xác định ma trận độ cứng tiếp tuyến trong hệ tọa độ địa phương

 Ma trận chuyển T1, T2, T3 là ma trận chuyển có thể được tính toán từ phương trình

T u dxdw dzdu dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dz dxdxn d dxdw dzdu dx dz dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dxdxn dzdzn

2 zdzn dxdw dzdu dx dxdxn dzdzn

1 r dz dx dxdw dzdu dxdz

T u w dxdw dzdu dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dx dxdw dzdu dx d dz dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dxdxn dzdzn

2 xdxn dzdzn dxdw dzdu dz dxdxn dzdzn

T u u dxdw dzdu dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dz dxdw dzdu dx dxd dz dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dxdxn dzdzn

2 xn dzdzn dxdw dzdu dx dxdxn dzdzn

T w dxdw dzdu dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dx dxdw dzdu dz dxdx dx dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dxdxn dzdzn

2 n dzdzn dxdw dzdu dz dxdxn dzdzn

T w u dxdw dzdu dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu d dxdw dzdu dz dx dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dxdxn dzdzn

2 z dxdxn dzdzn dxdw dzdu dx dxdxn dzdzn

T w w dxdw dzdu dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dx dxdw dzdu dz dxdx dx dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dxdxn dzdzn

2 n dzdzn dxdw dzdu dz dxdxn dzdzn

T u dxdw dzdu dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dz dxdxn dxdw dzdu dx dz dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dxdxn dzdzn

2 dzdzn dxdw dzdu dx dxdxn dzdzn

T u dxdw dzdu dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dz dxdxn dxdw dzdu dx dz dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dxdxn dzdzn

2 dzdzn dxdw dzdu dx dxdxn dzdzn

T w dxdw dzdu dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dx dxdxn dxdw dzdu dz dx dxdxn dzdzn dxdxn dzdzn dxdw dzdu dxdxn dzdzn

2 dzdzn dxdw dzdu dz dxdxn dzdzn

Các phương trình (14), (15) và (16) cung cấp công thức tính toán lực nút, ma trận độ cứng tiếp tuyến và ma trận chuyển.

Phi tuyến vật liệu

Sự chảy dẻo do tác động của ứng suất dư

Liew và cộng sự [12] đưa ra giá trị mô-đun tiếp tuyến E t để kể đến sự chảy dẻo dần dần do ảnh hưởng của ứng suất dư trong mặt cắt của tiết diện dưới ảnh hưởng của lực dọc: t 1

Hội đồng nghiên cứu về cột (CRC) đưa ra giá trị mô-đun tiếp tuyến E t như sau: t 1

Hình II-4: Quan hệ E t /E và P/P y

Khớp dẻo

Khái niệm đường cường độ chảy dẻo được đưa ra kể đến ảnh hưởng đồng thời của lực dọc và momen uốn thông qua nội lực của phần tử Một số đường cường độ chảy dẻo được đề xuất: Đường cường độ chảy dẻo Orbison[13]:

(21) Đường cường độ chảy dẻo AISC-LRFD được phát triển bởi Liew [12]:

P  (23) Đường cường độ chảy dẻo do Balling [4]:

Khi nội lực trong phần tử tiến đến đường cường độ chảy dẻo thì khớp dẻo hình thành tại đó Phương pháp khớp dẻo cho khớp dẻo hình thành tại hai đầu phần tử, phần còn lại vẫn còn đàn hồi Có hai phương pháp khớp dẻo thường sử dụng là khớp dẻo cứng và khớp dẻo hiệu chỉnh Các phương pháp khớp dẻo phụ thuộc vào hệ số độ cứng hai đầu phần tử e

Phương pháp khớp dẻo cứng xảy ra khi nội lực tại hai đầu phần tử đạt tới đường cường độ chảy dẻo Phương pháp này chỉ tồn tại một trong hai trường hợp là hoàn toàn đàn hồi (e = 1) hoặc dẻo hoàn toàn (e = 0)

Phương pháp khớp dẻo được đề xuất bởi Liew [12] dùng hai đường cường độ chảy dẻo đồng dạng cho thấy sự chảy dẻo dần dần của hai đầu phần tử e = h(α) = h(M, P) Trong đó α là thông số dẻo được tính theo độ lớn của lực dọc và momen ở hai đầu phần tử theo đường cường độ chảy dẻo Orbison, AISC-LRFD hoặc Balling

Hình II-5: Đường cường độ chảy dẻo Orbison

Hình II-6: Đường cường độ chảy dẻo AISC-LRFD

Hình II-7: Đường cường độ chảy dẻo Balling

Khi nội lực đầu phần tử di chuyển bên trong hoặc ngay trên đường bắt đầu chảy dẻo (α=0.5) thì phần tử hoàn toàn đàn hồi (e=1) Khi nội lực đầu phần tử di chuyển trong miền giới hạn bởi đường bắt đầu chảy dẻo và đường chảy dẻo (0.5< α

< 1) thì đầu phần tử ở trạng thái chảy dẻo dần dần (e tính theo hàm đường cường độ chảy dẻo) Khi nội lực đầu phần tử nằm trên đường chảy dẻo (α = 1) thì đầu phần tử bị chảy dẻo hoàn toàn (e=0) Nội lực đầu phần tử không thể dịch chuyển ra ngoài phạm vi của đường chảy dẻo được vì vật liệu thép được giả thiết ứng xử đàn – dẻo tuyệt đối

Chương III THUẬT TOÁN VÀ CHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG

Giới thiệu

Ứng xử của kết cấu khi qua điểm giới hạn rất ít khi đúng với đường quan hệ tải trọng - chuyển vị Đối với phương pháp điều khiển lực (load control method) ta thường gặp hiện tượng nhảy đột ngột ngang (snap through) trong đường quan hệ tải trọng - chuyển vị

Hình III-1: Mối quan hệ tải trọng và chuyển vị phương pháp điều chỉnh lực Đối với phương pháp điều khiển chuyển vị (displacement control method) ta thường gặp hiện tượng nhảy đột ngột xuống (snap back) trong đường quan hệ tải trọng - chuyển vị

Để tránh các hiện tượng lệch chuẩn trong mối quan hệ tải trọng - chuyển vị, tác giả sử dụng phương pháp chiều dài cung tuyến tính (linear-arc length) để xác định đường cong quan hệ ứng xử này một cách chính xác hơn.

Thuật toán Arc-length

Hình III-3: Phương pháp linearized arc-length

Bước 1: Cập nhật trạng thái ban đầu cho vòng lặp ( d 0 , λ 0 )

Bước 2: Cập nhật ma trận độ cứng Kt -1 và ngoại lực qe

Bước 3: Xác định chuyển vị tiếp tuyến ban đầu δd t 0 từ phương trình δd t 0 =K t -1 q e (25)

Bước 4: Cập nhật giá trị Δl Bước 5: Tính các chuyển vị gia tăng và bước tải gia tăng Δd i , Δλ i

Bước 6: Tính các chuyển vị bước kế tiếp d i và bước tải λ i d i =d 0 +Δd i (28) λ i =λ 0 +Δλ i (29)

Bước 7: Cập nhật giá trị nội lực fin(d i )

Bước 8: Tính hệ số điều chỉnh a i , chuyển vị lặp thay đổi δd i và hệ số tải lặp thay đổi δλ i

Bước 9: Tính các chuyển vị gia tăng và bước tải gia tăng Δd i+1 , Δλ i+1

Bước 10: Lặp lại các bước 6 đến 9 cho đến khi hội tụ ( r i ≈0 )

Chương trình ứng dụng

Một chương trình phân tích phi tuyến được phát triển bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB để phân tích ứng xử đường quan hệ tải trọng - biến dạng của hệ kết cấu khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh

Chương IV VÍ DỤ MINH HỌA

Phân tích đàn hồi

Ví dụ 1 – Cột thép một đầu ngàm một đầu tự do

Phân tích phi tuyến cho cột thép chịu lực đứng V và lực ngang H tại đầu cột được phân tích bởi Lyon 2010 [4] Cột có thông số như sau: L o $0in, E)000ksi, A0 in 2 , I3.3in 4 Các lực tập trung V@0kip và HPkip

Hình IV-1: Cột thép chịu tải tập trung

Cột được mô phỏng bằng chương trình đề xuất với 01 phần tử cho cấu kiện

Kết quả chuyển vị nút 2 được thể hiện như sau:

Bảng 1: Kết quả chuyển vị nút 2

Chuyển vị Tác giả bỏ qua biến dạng cắt

Tác giả xét biến dạng cắt Lyon 2010

Sap2000 (200PT/1CK) Phương ngang 15.346 in 15.368 in 15.345 in 15.405 in

Phương đứng -0.625 in -0.627 in -0.625 in -0.633 in Góc xoay -0.098 rad -0.098 rad -0.098 rad -0.098 rad

Sai số của các phương pháp so với kết quả của phần mềm SAP2000 sử dụng 200 phần tử con trên một cấu kiện được thể hiện trong Bảng 2

Bảng 2: Sai số so với kết quả Sap2000 sử dụng 200 phần tử con

Chuyển vị Tác giả bỏ qua biến dạng cắt

Tác giả xét biến dạng cắt Lyon 2010

Kết quả chuyển vị cho thấy phương pháp đồng xoay dầm Timoshenko phản ánh tốt ứng xử phi tuyến hình học của hệ kết cấu đàn hồi Kết quả cho thấy nếu ta bỏ qua ảnh hưởng biến dạng cắt thì kết quả như Lyon làm ra trước đó Từ đó ta thấy rằng nếu xem xét thêm ảnh hưởng biến dạng cắt thì kết quả cho ra gần giống với sự làm việc trong thực tế của kết cấu.

Ví dụ 2 – Khung phẳng hai tầng chịu tải tập trung

Khung phẳng hai tầng chịu các tải tập trung được đánh số thứ tự nút và phần tử như hình IV-2 được phân tích bởi Lyon 2010[4] Khung có thông số như sau: mô đun đàn hồi E)000ksi, diện tích tiết diện cột A cột 0 in 2 , momen quán tính tiết diện cột Icột3.3in 4 , diện tích tiết diện dầm Adầm% in 2 , momen quán tính tiết diện dầm I dầm R.1 in 4 Chiều dài ban đầu L 1 0in, L 2 4in Các lực tập trung V@0kip và HPkip

Hình IV-2: Khung phẳng hai tầng chịu tải tập trung

Khung được mô phỏng bằng chương trình đề xuất với 01 phần tử cho cấu kiện

Kết quả chuyển vị các nút được thể hiện như sau:

Bảng 3: Kết quả chuyển vị các nút không xét ảnh hưởng biến dạng cắt

Kết quả Chuyển vị ngang Chuyển vị đứng Góc xoay Nút Tác giả Lyon 2010 Tác giả Lyon 2010 Tác giả Lyon 2010

1 0 in 0 in 0 in 0 in 0 rad 0 rad

3 6.316 in 6.317 in -0.199 in -0.199 in -0.068 rad -0.068 rad 4 6.262 in 6.263 in -0.213 in -0.213 in -0.068 rad -0.068 rad 5 17.102 in 17.105 in -0.619 in -0.619 in -0.071 rad -0.071 rad 6 17.044 in 17.047 in -0.642 in -0.642 in -0.071 rad -0.071 rad

Bảng 4: Kết quả chuyển vị các nút xét ảnh hưởng biến dạng cắt

Kết quả Chuyển vị ngang Chuyển vị đứng Góc xoay Nút Tác giả Lyon 2010 Tác giả Lyon 2010 Tác giả Lyon 2010

3 6.351 in 6.317 in -0.200 in -0.199 in -0.068 rad -0.068 rad 4 6.297 in 6.263 in -0.215 in -0.213 in -0.068 rad -0.068 rad 5 17.185 in 17.105 in -0.624 in -0.619 in -0.071 rad -0.071 rad 6 17.127 in 17.047 in -0.648 in -0.642 in -0.071 rad -0.071 rad

Bảng 5: Kết quả chuyển vị các nút của Sap2000 dùng 200 phần tử con

Chuyển vị ngang Chuyển vị đứng Góc xoay Nút

Bảng 6: Sai số kết quả xét biến dạng cắt so với Sap2000

Chuyển vị ngang Chuyển vị đứng Góc xoay Nút

Kết quả sai số lớn nhất là 0.8% là sai số rất nhỏ cho thấy phương pháp đồng xoay dầm Timoshenko phản ánh tốt ứng xử phi tuyến hình học của khung hai tầng chịu tải trọng tập trung Kết quả cho thấy nếu ta bỏ qua ảnh hưởng biến dạng cắt thì kết quả như Lyon Từ đó ta thấy ảnh hưởng biến dạng cắt ảnh hưởng đến kết quả bài toán.

Ví dụ 3 – Dầm consol chịu tải tập trung

Dầm consol chịu tải tập trung ngang được nghiên cứu trước đây bằng phương pháp phân tích bởi Mattiasson [14], phương pháp phân tích biến dạng lớn dầm Timoshenko bởi Nguyễn Đình Kiên [7] dùng phần tử 2B2CS và phương pháp số học bởi Nanakorn và Vu [15] Tác giả phân tích bài toán bằng một phần tử dầm Timoshenko sử dụng phương pháp phần tử đồng xoay Dữ liệu dầm: L0 cm, b=1 cm, h=1 cm (tiết diện hình vuông), E kN/cm 2

Hình IV-3: Dầm consol chịu tải tập trung ngang

Dầm được mô phỏng bằng chương trình đề xuất với 01 phần tử cho cấu kiện

Hình IV-4: Biểu đồ quan hệ giữa lực PL 2 /EI và chuyển vị u/L và v/L

Các tác giả Mattiasson, Nanakorn và Vu đã sử dụng 5 phần tử dầm Bernoulli cho một cấu kiện cho ra kết quả trên Nguyễn Đình Kiên với 2 phần tử 2B2CS cho một cấu kiện cũng cho thấy kết quả hội tụ Tác giả dùng 1 phần tử cho một cấu kiện cũng cho ra kết quả gần với các tác giả trước đó Phương pháp đồng xoay dầm Timoshenko với số lượng nhỏ phần tử cho ra kết quả phản ánh tốt ứng xử phi tuyến hình học của hệ kết cấu đàn hồi.

Ví dụ 4 – Dầm consol chịu tải tập trung dọc trục lệch tâm

Xem xét dầm côngxon chịu tải tập trung dọc trục lệch tâm được mô tả trong hình IV-5 Vấn đề này được nghiên cứu trước đây bởi Wood và Zienkiewicz [16] và Nguyễn Đình Kiên [7] Dữ liệu dầm: L0 cm, b=1 cm, h=1 cm (tiết diện hình vuông), E kN/cm 2

Hình IV-5: Dầm consol chịu tải tập trung dọc trục lệch tâm

Hình IV-6: Biểu đồ quan hệ giữa lực 4PL 2 / 2 EI và chuyển vị u/L và v/L

Wood và Zienkiewicz đã sử dụng 5 phần tử cho cấu kiện ra kết quả trên

Nguyễn Đình Kiên với 3 phần tử 3B2CS cho cấu kiện cũng cho thấy kết quả hội tụ

Tác giả sử dụng phương pháp đồng xoay dầm Timoshenko với 2 phần tử cấu kiện vẫn cho kết quả gần tương đương với các nghiên cứu trước Điều này cho thấy, phương pháp đồng xoay dầm Timoshenko khi dùng với số lượng phần tử nhỏ vẫn có thể mô tả tốt ứng xử phi tuyến hình học của hệ kết cấu đàn hồi.

Ví dụ 5 – Khung Wiliams

Xem xét khung William thể hiện trong hình IV-7 được nghiên cứu trong tài liệu Nanakorn và Vu [15], Wood và Zienkiewicz [16], M.A Crisfield [1] và Nguyễn Đình Kiên [7] Dữ liệu khung: L.943 cm, H=0.386 cm, b=0.753 cm, h=0.243 cm, E.3x10 6 kN/cm 2 Khung này được nghiên cứu là khung phẳng chịu tải trọng tập trung P Tác giả phân tích bài toán bằng hai phần tử dầm Timoshenko sử dụng phương pháp phần tử đồng xoay

Hình IV-8: Biểu đồ quan hệ giữa lực P( kN ) và chuyển vị w ( cm )

Wood và Zienkiewicz đã sử dụng 10 phần tử cho cấu kiện ra kết quả trên

Nguyễn Đình Kiên với 2 phần tử 2B2CS cho cấu kiện cũng cho thấy kết quả hội tụ

Kết quả tính toán của cấu kiện chỉ sử dụng 2 phần tử cũng cho kết quả gần với các tác giả trước đó Điều này được thể hiện rõ trên biểu đồ, kết quả tính toán từ 2 phần tử gần với kết quả của phương pháp phân tích từ các tác giả trước đó.

Phân tích khớp dẻo

Ví dụ 6 – Dầm consol chịu tải tập trung ngang

Dầm consol chịu tải tập trung ngang đã được Ngô Hữu Cường và S.E.Kim nghiên cứu vào năm 2009 bằng phương pháp khớp thớ, sử dụng mô hình một phần tử và ứng suất dư theo khuyến nghị của ECCS Trong nghiên cứu của mình, tác giả đã phân tích bài toán bằng một phần tử dầm Timoshenko cho một cấu kiện theo phương pháp khớp dẻo cứng, sử dụng mặt dẻo Orbison Các dữ liệu dầm được sử dụng bao gồm tiết diện W21×50, mô đun đàn hồi 200000MPa và giới hạn chảy của vật liệu thép là 248MPa.

Hình IV-10: Biểu đồ quan hệ giữa hệ số tải trọng λ=P/P u và chuyển vị v (mm)

Kết quả chuyển vị tại vị trí lực tập trung gần như trùng hoàn toàn với kết quả nghiên cứu trước của Ngô Hữu Cường và S.E.Kim Do đó phương pháp khớp dẻo cứng tác giả dùng phân tích cho ra kết quả phản ánh sự chảy dẻo của cấu kiện dầm chịu uốn Kết quả phân tích cho thấy hệ số tải trọng giới hạn  u của hai phương pháp là xấp xỉ nhau (u (tác giả_khớp dẻo cứng) = 0.998, u (NHC&Kim) = 0.977) Điều này cho thấy phương pháp đề xuất có độ chính xác cao trong việc tiên đoán khả năng chịu tải cực hạn của hệ Tác giả chạy bài toán trong vòng 30s.

Ví dụ 7 – Khung Vogel một nhịp một tầng liên kết cứng

Khung cổng ở Hình IV-11 được Vogel trình bày lần đầu tiên vào năm 1985 bằng hai phương pháp khớp dẻo và vùng dẻo và được hiệp hội công trình thép châu Âu (ECCS) lựa chọn làm cơ sở kiểm tra độ chính xác cho các chương trình phân tích phi đàn hồi phi tuyến hình học Các thông số của khung như sau: Mô-đun đàn hồi E = 205 GPa; Ứng suất chảy dẻo  y = 235 MPa; Góc lệch ban đầu  0 = 1/400

Tác giả phân tích bài toán bằng một phần tử dầm Timoshenko cho một cấu kiện bằng phương pháp khớp dẻo cứng dùng mặt dẻo AISC-LRFD

Bảng 7: Đặc trưng hình học của mô hình đề xuất bởi Vogel

Tiết diện b f (mm) t f (mm) d (mm) t w (mm)

Hình IV-11: Khung Vogel một nhịp một tầng liên kết cứng

Kết quả chuyển vị ngang tại nút 4 như Hình IV-12:

Hình IV-12: Chuyển vị ngang tại nút 4

So sánh hệ số tải trọng giới hạn cho thấy độ chính xác cao của phương pháp đề xuất trong việc dự đoán khả năng chịu tải cực hạn của hệ kết cấu Cả hai phương pháp cho kết quả gần tương đương (1,025 và 1,021), cho thấy phương pháp đề xuất có độ tin cậy trong việc ước tính khả năng chịu tải của kết cấu trong thời gian tính toán ngắn (60 giây).

Sự khác biệt đường quan hệ tải trọng – chuyển vị là do phương pháp phân tích khớp dẻo hiệu chỉnh chưa kể đến sự chảy dẻo phân bố dọc theo chiều dài cấu kiện.

Ví dụ 8 – Khung 2 nhịp 4 tầng Kukreti và Zhou (2006)

Khung 2 nhịp 4 tầng Hình IV-13 được Kukreti và Zhou (2006) [18] nghiên cứu để so sánh các loại liên kết nửa cứng với liên kết cứng trong khung thép phẳng

Trong nghiên cứu này, tác giả dùng phương pháp khớp dẻo cứng với việc sử dụng phần tử đồng xoay dầm Timoshenko để khảo sát, giả thuyết mẫu ứng suất dư ECCS

Tác giả dùng mặt dẻo Orbison để phân tích Đặc trưng vật liệu và tiết diện hình học khung vật liệu sử dụng có E = 200 GPa, ứng suất chảy dẻo của vật liệu  s = 250 MPa, cột sử dụng thép hình W12x79, dầm sử dụng thép hình W16x40 có thông số hình học tiết diện như sau: cột W12x79 có A = 14967.713 mm 2 , Wp = 1950060.60 mm 3 ; I = 2.755E+8 mm 4 ; bf = 307.34 mm; t f = 18.669 mm; d = 314.96 mm; h f = 11.938 mm; dầm W16x40 có A v12.888 mm 2 , Wp = 1196255.68 mm 3 ; I = 2.156E+8 mm 4 ; b f = 177.8 mm; t f 12.827 mm; d = 406.4 mm; hf = 7.747 mm

Hình IV-13: Khung 2 nhịp 4 tầng Kukreti và Zhou (2006)

Khung được mô phỏng bằng chương trình đề xuất với 01 phần tử cho cấu kiện cho cột, 02 phần tử cho cấu kiện cho dầm

Kết quả chuyển vị ngang tại đỉnh bên phải như trong Hình IV-14

Hình IV-14: Chuyển vị ngang tại đỉnh bên phải (nút 23)

Kết quả phân tích cho thấy hệ số tải trọng giới hạn  u của hai phương pháp là xấp xỉ với sai số nhỏ (u (tác giả_khớp dẻo cứng) = 1.844, u (Zhou_ khớp dẻo) = 1.831) Từ kết quả trên, ta thấy phương pháp đề xuất có thể tiên đoán được tải trọng giới hạn của hệ kết cấu với độ chính xác cao và thời gian phân tích giảm Tác giả chạy bài toán trong vòng 180s

Sự khác biệt đường quan hệ tải trọng – chuyển vị là do phương pháp phân tích khớp dẻo cứng chưa kể đến sự chảy dẻo dần dần ở hai đầu phần tử.

Ví dụ 9 – Khung 2 nhịp 1 tầng

Khung thép phẳng 2 nhịp 1 tầng, có kích thước và tiết diện như Hình IV-15

Bài toán này đã được McGuire và cộng sự [13] phân tích bằng phương pháp khớp dẻo hoàn toàn để so sánh phương pháp phân tích bậc nhất và bậc hai Tác giả sử dụng phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh sử dụng phần tử đồng xoay dầm Timoshenko, mô hình ứng suất dư theo ECCS Tác giả dùng mặt dẻo Balling để phân tích

Hình IV-15: Khung 2 nhịp 1 tầng của McGuire

Hình IV-16: Chuyển vị ngang tại nút 4 của khung

Kết quả phân tích cho thấy hệ số tải trọng giới hạn u của hai phương pháp là xấp xỉ với sai số nhỏ (u (tác giả_khớp dẻo hiệu chỉnh) = 0.98, u (McGuire) = 1.0) Từ kết quả trên, ta thấy phương pháp đề xuất có thể tiên đoán được tải trọng giới hạn của hệ kết cấu với độ chính xác cao và thời gian phân tích giảm Bài toán được tác giả phân tích với một phần tử cho mỗi cấu kiện của khung, nên thời gian tính toán được rút ngắn và kết quả đạt được so với kết quả chính xác của McGuire có sai số là 4% Tác giả chạy bài toán trong vòng 120s Sự khác biệt giữa hai đường cong là do tác giả chia ít phần tử do đó ma trận độ cứng sẽ cứng hơn nên chuyển vị nhỏ lại

Chương V KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Kiến nghị

Trong thực tế, các liên kết dầm-cột là liên kết bán cứng, việc phát triển phần tử dầm có xét tác động phi tuyến liên kết là điều cần thiết để cho ra kết quả chính xác hơn

Bài luận này tập trung vào bài toán khung phẳng chịu tải trọng tĩnh, từ đó phát triển việc xây dựng phần tử dầm Timoshenko không gian để phân tích bài toán khung thép không gian chịu tải trọng động.