Phương pháp khe cắt rời rạc trơn dựa trên phần tử cell-based smoothed discrete shear gap method – CS-DSG3 được kết hợp với chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai second-order cone opti
TỔNG QUAN
Giới thiệu
Việc tìm lời giải giải tích cho một bài toán kỹ thuật phức tạp thông thường rất khó khăn và đa phần không thể thực hiện đƣợc Với sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của khoa học máy tính cùng với các phương pháp tính toán số, việc tìm lời giải xấp xỉ cho các bài toán kỹ thuật ngày càng trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn Vì vậy, việc nghiên cứu và phát triển các phương pháp số cho tính toán xấp xỉ luôn rất cần thiết
Gần đây, để khắc phục các hạn chế của phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống sử dụng phần tử tam giác tuyến tính (FEM-T3), Gui Rong Liu và Nguyễn Văn Thắng đã đề xuất một phương pháp phần tử hữu hạn bậc cao mới sử dụng phần tử tam giác bậc cao để phân tích các vấn đề cơ học liên tục Phương pháp mới này cho phép mô hình hóa chính xác hơn các trường ứng suất và biến dạng trong các cấu trúc phức tạp, từ đó cải thiện độ chính xác của giải pháp tổng thể.
Thời Trung cùng các cộng sự [1] đã kết hợp kỹ thuật làm trơn biến dạng của phương pháp không lưới [2] vào trong phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống (FEM) để hình thành nên một chuỗi các phương pháp PTHH trơn (S-FEM) chẳng hạn như: phương pháp PTHH được làm trơn dựa trên phần tử (CS-FEM) [3], phương pháp PTHH được làm trơn dựa trên nút (NS-FEM) [4], phương pháp PTHH được làm trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) [5] và phương pháp PTHH được làm trơn dựa trên mặt (FS-FEM) [6]
Trần Nguyễn Thời Trung và cộng sự đã đề xuất phần tử tấm S-FEM lệch trượt rời rạc Mindlin (CS-DSG3) để khắc phục nhược điểm của phần tử lệch trượt gốc DSG Phần tử CS-DSG3 chia một phần tử tam giác thành 3 tam giác con, trong đó sử dụng phần tử DSG3 để tính biến dạng và khử khóa cắt Sau đó, áp dụng kỹ thuật làm trơn biến dạng trên toàn bộ phần tử tam giác bằng cách làm trơn hóa biến dạng trên 3 tam giác con.
CS-DSG3 vì vậy không những khử đƣợc hiện tƣợng khóa cắt mà còn cải thiện đƣợc độ chính xác cũng nhƣ sự ổn định của phần tử DSG3
Liên quan đến các bài toán kỹ thuật của kết cấu tấm, người thiết kế cũng quan tâm đến bài toán phân tích giới hạn tấm Phân tích giới hạn tấm là một phần của phân tích dẻo và có vai trò quan trọng trong việc thiết kế tải trọng giới hạn của kết cấu Trong lý thuyết cơ bản của phân tích giới hạn tấm, chúng ta không xem xét hoặc tính toán sự phát triển đàn hồi dẻo của tấm mà tập trung vào xác định trực tiếp tải cận trên hoặc cận dưới gây ra phá hủy dẻo trong kết cấu tấm Một khi các trường vận tốc biến dạng đã đƣợc thiết lập và các lý thuyết chảy dẻo đƣợc áp dụng, khi đó bài toán phân tích giới hạn trở thành một bài toán tối ƣu hóa để tìm cực tiểu công hao tán dẻo
Sử dụng các phương pháp giải tích và phương pháp số, cùng với các tiêu chuẩn chảy dẻo khác nhau, nhiều tác giả đã đƣa ra các lời giải giải tích và lời giải số cho phân tích tải giới hạn tấm Một số cơ sở lý thuyết của các phương pháp giải tích đã đƣợc trình bày trong các bài viết của các tác giả nhƣ Lubliner [31] và Yu cùng các đồng nghiệp [32], v.v Còn đối với phương pháp số, ta có thể liệt kê một số tác giả tiêu biểu nhƣ Hodge và Belytschko [33], Christiansen và Larsen [34], Emilio và Paola [35], Shutao Zhou cùng các đồng nghiệp [36], Capsoni và Corradi [37] và Capsoni và Silva [38] Tuy nhiên, do thiếu những thuật toán tối ƣu mới và giới hạn về tốc độ tính toán nên phương pháp số cho phân tích giới hạn của tấm dường như ít đƣợc quan tâm trong một thời gian
Gần đây, nhờ vào sự phát triển nhanh chóng của các thuật toán tối ƣu mới và tốc độ xử lý của máy tính nên nhiều phương pháp số cho phân tích giới hạn lại thu hút đƣợc sự quan tâm của các nhà nghiên cứu [40-46] Những nghiên cứu hiện nay đang tập trung vào phát triển các phương pháp số cho phân tích giới hạn đơn giản và hiệu quả Trong phương pháp số cho phân tích giới hạn, chúng ta áp dụng các định lý ràng buộc và xấp xỉ các trường vận tốc biến dạng hoặc các trường vận tốc chuyển vị Lúc này, phân tích giới hạn trở thành một bài toán tối ƣu hóa tuyến tính hoặc phi tuyến mà có thể đƣợc giải bằng các thuật toán tuyến tính hoặc phi tuyến có sẵn [47-55]
Tuy nhiên, để giải bài toán tối ƣu hóa trong phân tích giới hạn một cách chính xác và nhanh chóng đòi hỏi chúng ta phải chọn một thuật toán tối ƣu thích hợp Bởi vì, bài toán tối ƣu hóa là một bài toán lồi trong đó hàm mục tiêu là một hàm thuần nhất xác định dương bậc nhất và không khả vi tại những điểm trên miền không bị chảy dẻo Để khắc phục nhƣợc điểm này, một trong những thuật toán hữu hiệu nhất được đề xuất là thuật toán phi tuyến dựa trên phương pháp điểm trong chính – đối ngẫu (primal-dual interior point) đƣợc đề xuất bởi Andersen cùng các đồng nghiệp [56] Thuật giải này áp dụng tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises và có thể giải một số bài toán có các hàm dẻo phi tuyến Thuật toán này có thể đƣợc giải một cách hiệu quả bằng cách sử dụng chương trình hình nón bậc hai (SOCP) [58] và đã được tích hợp sẵn trong phần mềm MOSEK [59] Chương trình này đã được áp dụng để tìm tải giới hạn của tấm Kirchhoff bởi Lê Văn Cảnh cùng các đồng nghiệp [66-68]
Cho đến nay, trong so sánh giữa tấm Kirchhoff và Reissner-Mindlin, số bài báo liên quan đến phân tích giới hạn tấm Reissner-Mindlin vẫn còn khá ít Do đó, luận văn này nhằm mục đích đóng góp thêm một phương pháp số phân tích giới hạn của tấm Reissner-Mindlin bằng việc sử dụng phần tử tấm Mindlin CS-DSG3 [16] để phân tích giới hạn động học cho tấm Reissner-Mindlin dựa trên tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises Phần tử CS-DSG3 được kết hợp với chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP) để xác định tải giới hạn của tấm.
Tình hình nghiên cứu
1.2.1 Các công trình nghiên cứu trong nước
Cho đến nay, thế giới đã có khá nhiều nghiên cứu về phân tích giới hạn của tấm
Tuy nhiên, ở Việt Nam các nghiên cứu về lĩnh vực này vẫn còn khá khiêm tốn Qua tìm hiểu thông tin trên internet, các tạp chí khoa học-công nghệ và các hội nghị quốc tế, tác giả chỉ tìm thấy một vài công trình nghiên cứu về vấn đề này Điển hình, gần đây có hai công trình nghiên cứu đƣợc thực hiện bởi TS Lê Văn Cảnh và cộng sự
Le CV, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Dang H (2010), Upper and lower bound limit analysis of plates using FEM and second-order cone programming
[68] Trong bài báo này, tác giả sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và chương trình hình nón bậc hai để xác định tải giới hạn cận trên và cận dưới của tấm Kirchhoff.
Thuy M T Doan, Canh V Le, Thang Q Chu, Hung X Nguyen (2012),
Trong bài báo này, phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh và lập trình hình nón bậc hai được sử dụng để xác định tải trọng giới hạn cho tấm Mindlin-Reissner Tuy nhiên, số dạng bài toán tấm được xem xét vẫn còn hạn chế và chưa có đánh giá kỹ lưỡng về độ chính xác của phương pháp số.
1.2.2 Các công trình nghiên cứu ngoài nước
Các phương pháp số cho phân tích giới hạn đã được nghiên cứu rộng rãi trên thế giới Trong luận văn này, tác giả xin giới thiệu tóm tắt nội dung một số công trình tiêu biểu nhƣ sau
V F Gaudrat (1991), A Newton type algorithm for plastic limit analysis
[40] Trong bài báo này, tác giả đã sử dụng thuật toán Newton cho phân tích giới hạn dẻo của kết cấu tấm
Christiansen E, Kortanek KO (1991), Computation of the collapse state in limit analysis using the LP affine scaling algorithm [41] Trong bài báo này, tác giả xác định tải giới hạn cho kết cấu tấm bằng chương trình tuyến tính sử dụng thuật toán affine scaling
Zouain N, Herskovits J, Borges LA, Feijo RA (1993), An iterative algorithm for limit analysis with nonlinear yield functions [42] Trong bài báo này, tác giả đã sử dụng thuật toán lặp kết hợp với hàm dẻo phi tuyến cho phân tích giới hạn của kết cấu dầm, tấm dày dạng hình chữ nhật và hình ống
Liu YH, Zen ZZ, Xu BY (1995), A numerical method for plastic limit analysis of 3-D structures [43] Trong bài báo này, tác giả đã thiết lập chương trình tính tải giới hạn cận trên bằng phương pháp phần tử hữu hạn cho kết cấu 3D và sử dụng thuật toán lặp trực tiếp
Andersen KD, Christiansen E, Overton ML (1998), Computing limit loads by minimizing a sum of norms [53] Trong bài báo này, Andersen KD đã đề xuất phương pháp tính tải giới hạn bằng cách tối thiểu hóa một chuỗi tổng
Capsoni A, Vicente da Silva M (2011), A finite element formulation of
Mindlin plates for limit analysis [38] Trong bài báo này Capsoni A đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích giới hạn tấm Mindlin
Gắn liền với sự phát triển các bài toán phân tích giới hạn là sự phát triển của các giải thuật tối ƣu hóa mới Gần đây, một trong những thuật toán tối ƣu hóa mới rất hiệu quả đã được đề xuất là phương pháp điểm trong chính – đối ngẫu (primal-dual interior point) Hai công trình tiêu biểu về thuật toán này gồm có
Andersen KD, Christiansen E, Overton ML (2001), An efficient primal-dual interior-point method for minimizing a sum of euclidean norms [56] Trong bài báo này, tác giả đã đề xuất phương pháp đối ngẫu điểm trong bằng cách cực tiểu một chuỗi tổng Euclid
Andersen ED, Roos C, Terlaky T (2003), On implementing a primal-dual interior-point method for conic quadratic programming [58] Trong bài báo này, Andersen ED đã giới thiệu bài toán tối ƣu hóa bằng cách kết hợp chương trình hình nón bậc hai và phương pháp đối ngẫu điểm trong
Bài toán phân tích giới hạn có thể chuyển về bài toán cực tiểu hàm hao tán dẻo có điều kiện ràng buộc dạng phương trình hình nón, dạng tối ưu này được giải dễ dàng bằng thuật giải điểm trong đối ngẫu trong phần mềm Mosek Một số công trình nghiên cứu về phân tích giới hạn đã khai thác lợi thế này.
Krabbenhoft K, Lyamin AV, Sloan SW (2006), Formulation and solution of some plasticity problems as conic programs [61] Trong bài báo này tác giả sử dụng tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb, phương pháp phần tử hữu hạn và chương trình hình nón bậc hai để xác định tải giới hạn cho nền đất
Makrodimopoulos A, Martin CM (2007), Upper bound limit analysis using simplex strain elements and second-order cone programming [62] Trong bài báo này, tác giả sử dụng phần tử biến dạng đơn (1 chiều) kết hợp với chương trình hình nón bậc hai để xác định tải giới hạn cận trên
Le CV, Gilbert M, Askes H (2009), Limit analysis of plates using the EFG method and second-order cone programming [66] Trong bài báo này, tác giả sử dụng phần tử EFG (Element-Free Galerkin) kết hợp với chương trình hình nón bậc hai để phân tích giới hạn tấm Kirchhoff.
Phạm vi, phương pháp nghiên cứu và mục tiêu của luận văn
Mục tiêu của luận văn là phát triển một phương pháp số kết hợp để phân tích giới hạn động học của tấm Mindlin dựa trên tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises Phần tử tấm Mindlin CS-DSG3 được kết hợp với chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP) để xác định tải giới hạn cận trên của tấm Mindlin Các kết quả số sẽ đƣợc lập trình bằng ngôn ngữ Matlab và đƣợc so sánh với các kết quả tham khảo trong các bài báo liên quan
1.3.2 Phạm vi và phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu giới hạn trong phạm vi của tấm Mindlin, tiêu chuẩn chảy dẻo von- Mises và luật chảy cứng dẻo lý tưởng không có tái bền
Tác giả sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết và lập trình tính toán bằng ngôn ngữ Matlab Kết quả lập trình Matlab sẽ cung cấp dữ liệu đầu vào cho chương trình tối ƣu hóa hình nón bậc hai để tìm tải giới hạn cận trên của tấm Mindlin Các kết quả số từ chương trình sẽ được so sánh với kết quả tham khảo trong các bài báo liên quan
Nghiên cứu sẽ tiến hành thử nghiệm trên năm loại tấm có hình dạng khác nhau, bao gồm: tấm hình vuông, tấm hình chữ nhật, tấm hình thoi, tấm hình tròn và tấm hình tam giác đều.
Nội dung của luận văn
Luận văn trình bày gồm 5 chương, có nội dung như sau:
Chương 1 giới thiệu tổng quan về bài toán phân tích giới hạn tấm Midlin bằng phần tử CS-DSG3 và chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP), tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước, mục tiêu, phạm vi, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
Chương 2 trình bày một số kiến thức cơ sở của các mô hình tấm, dạng yếu của phương trình chủ đạo tấm Mindlin, phương pháp PTHH cho tấm Mindlin, các bước phân tích giới hạn và chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP)
Chương 3 trình bày công thức động học cho phân tích giới hạn của tấm Mindlin, công thức động học của tấm Mindlin sử dụng phần tử CS-DSG3 và cách chuyển bài toán phân tích giới hạn của tấm Mindlin thành dạng phù hợp để áp dụng chương trình SOCP tìm nghiệm tối ƣu
Chương 4 trình bày các ví dụ số tìm hệ số tải giới hạn cận trên cho tấm Mindlin
Dữ liệu đầu vào của bài toán tối ƣu đƣợc lập trình bằng ngôn ngữ Matlab và đƣợc chuyển sang chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP) để tìm tải giới hạn cận trên của tấm Mindlin Các kết quả số đạt đƣợc sẽ đƣợc so sánh với kết quả tham khảo trong các bài báo liên quan
Chương 5 đƣa ra một số kết luận quan trọng đạt đƣợc trong luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai
Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài
Phụ lục: thuyết minh chi tiết một số công thức toán học và các đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong Chương 4.
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
Phân loại tấm Kirchhoff và Reissener-Mindlin [23]
Tấm là vật thể lăng trụ có chiều cao h nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước của 2 phương còn lại Tấm có mặt phẳng trung hòa được quy ước là mặt phẳng cách đều mặt trên và bên dưới của tấm Khi chịu uốn mặt trung hòa sẽ bị cong như minh họa trong Hình 2.1
Hình 2.1 Chuyển vị và góc xoay trong các lý thuyết tấm [23] Đã có nhiều lý thuyết phân tích ứng xử của tấm đƣợc đƣa ra nhƣ: lý thuyết tấm Kirchhoff (The classical Kirchhoff plate theory – CPT), lý thuyết tấm Reissner- Mindlin (lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của tấm – The first-order shear deformation plate theory – FSDT), lý thuyết biến dạng cắt bậc cao của tấm (Higher- order shear deformation plate theory – HSDT) Tấm đƣợc xem là tấm dày hay tấm Reissner-Midlin, khi tỉ lệ chiều dày và kích thước cạnh ngắn nhất của tấm lớn hơn 1 5 hay theo tỷ lệ t b 1 5 Còn ngƣợc lại, tấm đƣợc xem là tấm mỏng, hay tấm b) Chuyển vị của tấm mỏng theo lyù thuyeát taám Kirchhoff c) Chuyển vị của tấm dày theo lyù thuyeát taám Reissner-Mindlin x,u 0 z,w 0 x u o
(u 0 ,w 0 ) a) Taỏm khi chửa chuyeồn vũ
Kirchhoff khi tỷ lệ chiều dày và kích thước cạnh ngắn nhất của tấm nằm trong khoảng 1 80 và 1 5 hay theo tỷ lệ 1 80 t b 1 5
2.1.1 Một số giả thuyết và công thức trong lý thuyết tấm Kirchhoff (CPT) [23,
Hình 2.1b minh họa chuyển vị của tấm mỏng theo lý thuyết tấm Kirchhoff Ta thấy, sau biến dạng, các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung hòa của tấm vẫn còn thẳng và vuông góc với mặt trung hòa và độ dài của chúng vẫn không đổi Từ giả thiết này ta có yz 0, xz 0 và z 0 Do đó chuyển vị và độ võng của tấm đƣợc tính bởi công thức
(2.1) với đạo hàm độ võng w 0 0 x
Sự tương tác giữa các lớp song song với mặt trung hòa được bỏ qua Tức là ứng suất pháp z có thể bỏ qua (vì chúng rất nhỏ so với x và y )
2.1.2 Một số giả thuyết và công thức trong lý thuyết tấm Reissner-Mindlin
Biến dạng của tấm theo lý thuyết tấm Reissner-Mindlin có đặc điểm là các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung hòa vẫn thẳng và giữ nguyên độ dài sau biến dạng Tuy nhiên, chúng không còn vuông góc với mặt phẳng trung hòa do biến dạng trượt trung bình gây nên bởi lực cắt Góc xoay tổng cộng bao gồm hai phần: góc xoay do độ võng của tấm khi các pháp tuyến còn vuông góc với mặt trung hòa và góc xoay do biến dạng trượt trung bình Do đó, chuyển vị và độ võng của tấm được tính bằng các công thức $\gamma_{yz} \neq 0, \gamma_{xz} \neq 0$ và $\varepsilon_z = 0$.
Các thành phần biến dạng trong tấm khi đó sẽ đƣợc tính bởi
0 xx yy zz xy xz yz z x x z y y x y z y x u w w z x x x w w z x y y
(2.3) hay có thể viết dưới dạng ma trận như sau
0 1 xx yy xy xz yz z x z y w z z x y x y x y
Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm Mindlin
Trong luận văn này, để đơn giản trong trình bày cho các phần tiếp theo, thuật ngữ
“tấm Reissner-Mindlin” đƣợc viết gọn bằng thuật ngữ “tấm Mindlin”
2.2.1 Dạng yếu phương trình chủ đạo của tấm Mindlin [16]
Xét một tấm Mindlin chịu biến dạng uốn, trong đó mặt phẳng trung hòa của tấm
R 2 đƣợc chọn làm mặt phẳng tham chiếu nhƣ chỉ trong Hình 2.2 Đặt w là độ võng, và β T x y là véc-tơ của góc xoay, trong đó x là góc xoay của mặt phẳng trung hòa quanh trục y và y là góc xoay của mặt phẳng trung hòa quanh trục x, ứng với chiều dương được định nghĩa như trong Hình 2.2
Hình 2.2 Tấm Mindlin và chiều dương quy ước của chuyển vị w và hai góc xoay
Véc-tơ u của 3 biến số độc lập w, x và y tại mọi điểm trong miền xác định của tấm Mindlin đƣợc viết theo biểu thức sau
u (2.6) Độ cong của mặt võng tấm (biến dạng uốn) κ và biến dạng cắt γđƣợc xác định bởi
w γ β (2.8) trong đó / x / y T , và L d là một ma trận toán tử vi phân có dạng
Dạng yếu Galerkin của phương trình cân bằng tĩnh học tấm Mindlin [24] được viết theo biểu thức d d d
κ D κ γ D γ u b (2.10) trong đó b b x y , 0 0 T , với b x y , là tải trọng phân bố đều tác dụng lên tấm; ma trận D b là ma trận vật liệu của biến dạng uốn đƣợc cho bởi công thức
D (2.11) với E là modul đàn hồi Young; t là chiều dày của tấm; ma trận D s là ma trận vật liệu của biến dạng cắt và đƣợc xác định bởi
là modul cắt và hệ số hiệu chỉnh cắt k 5 6
2.2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn bài toán tấm Mindlin [16]
Rời rạc hóa miền giới hạn thành n e phần tử hữu hạn, sao cho
Nghiệm phần tử hữu hạn u h w x y T của mô hình chuyển vị cho tấm Mindlin khi đó đƣợc xấp xỉ bởi công thức sau
(2.13) trong đó n n là tổng số nút của miền bài toán đƣợc rời rạc; N I ( )x là hàm dạng tại nút thứ I, và d I w I xI yI T là véc-tơ chuyển vị nút của u h tại nút thứ I
Biến dạng uốn và biến dạng cắt khi đó được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau
γ S d (2.15) trong đó các ma trận B I và S I đƣợc cho bởi công thức
Hệ phương trình đại số của tấm Mindlin sử dụng FEM cho phân tích tĩnh có thể đƣợc viết lại nhƣ sau
K d F (2.18) trong đó K là ma trận độ cứng tổng thể và đƣợc tính bởi d d
K B D B S D S (2.19) và Flà véc-tơ tải đƣợc biểu diễn bởi d b p
F N f (2.20) trong đó f b là phần còn lại của F chịu tải trọng trên biên.
Các bước phân tích giới hạn bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Tổng quát một bài toán phân tích giới hạn bằng phương pháp phần tử hữu hạn có thể được chia thành 4 bước như sau
Bước 1: Rời rạc miền bài toán thành các phần tử
Bước 2: Xây dựng hàm hao tán dẻo cho toàn hệ (tức cho tất cả các phần tử) dựa trên một tiêu chuẩn chảy dẻo phù hợp
Bước 3: Thiết lập bài toán tìm cực tiểu hàm hao tán dẻo, và chịu các điều kiện ràng buộc về công ngoại (gây hao tán dẻo) và các điều kiện biên
Bước 4: Giải bài toán cực tiểu ở Bước 3 bằng một phương pháp tối ưu hóa phù hợp để tìm tải giới hạn và đường hao tán dẻo của kết cấu
Chú ý rằng, trong Bước 2 ta giả thiết trước toàn bộ các phần tử đều chịu hao tán dẻo, nhƣng trong thực tế, kết cấu bị trƣợt dẻo khi chỉ cần một số phần tử chịu hao tán dẻo và kết nối với nhau thành một đường trượt ra biên kết cấu Trong trường hợp này, các phần tử còn lại vẫn còn trong trạng thái đàn hồi Do đó, bài toán tối ƣu ở Bước 3 được thiết lập nhằm mục tiêu xác định đúng các phần tử chịu hao tán dẻo thật sự
Trong nghiên cứu này, kết cấu phân tích giới hạn là tấm Mindlin và phần tử CS-DSG3 được dùng để phân tích động học của tấm Tiêu chuẩn chảy dẻo là tiêu chuẩn von-Mises Bài toán tối ưu được biến đổi về dạng cực tiểu của hàm tuyến tính với các ràng buộc, trong đó có ràng buộc hình nón bậc hai Bài toán này được giải bằng phương pháp tối ưu hóa điểm trong - chính đối ngẫu tích hợp sẵn trong phần mềm Mosek Lưu đồ thuật giải (Hình 2.3) thể hiện quá trình phân tích giới hạn tấm Mindlin bằng phần tử CS-DSG3 và chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP).
Hình 2.3 Lưu đồ thuật giải bài toán nhằm phân tích giới hạn tấm Mindlin bằng phần tử CS-DSG3 và chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP)
Dữ liệu đầu vào của bài toán
- Kích thước hình học - Thông số vật liệu - Tải trọng tác dụng,
Thiết lập các mối quan hệ động học bằng phần tử CS-DSG3
Thiết lập bài toán tối ƣu
- Xác định hàm mục tiêu - Xác định các điều kiện ràng buộc Đƣa bài toán về dạng có điều kiện ràng buộc hình nón bậc hai
Chương trình hình nón bậc hai (Mosek)
- Tải trọng giới hạn - Dạng năng lƣợng hao tán dẻo
Dạng cơ bản của chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP) [59, 60, 66]
Bài toán tối ưu được đề cập trong luận văn là một bài toán tối ưu phi tuyến có ràng buộc, đòi hỏi các thuật toán tối ưu phi tuyến chuyên biệt để giải quyết Các thuật toán này bao gồm thuật toán chuỗi bậc hai tuần tự (SQP) và thuật toán lặp trực tiếp, các thuật toán này được thiết kế để xử lý các vấn đề tối ưu hóa phi tuyến phức tạp.
[37] Tuy nhiên, bài toán tối ƣu hóa này có thể đƣợc giải đơn giản hơn bằng cách đƣa về bài toán tối ƣu một hàm tuyến tính [57] chịu các ràng buộc tuyến tính đẳng thức, bất đẳng thức và các ràng buộc dạng hình nón bậc hai Bài toán tối ƣu này sau đó có thể được giải nhanh chóng và chính xác bằng chương trình tối ưu hình nón bậc hai (SOCP) [58] đã đƣợc tích hợp sẵn trong phần mềm Mosek [59]
Tổng quát, một bài toán tối ƣu hóa hình nón bậc hai có dạng nhƣ sau min f x c x c T f và chịu các ràng buộc c c x x
Trong đó xR^n là vectơ biến tối ưu hóa; lu, c ∈R^m là các điều kiện ràng buộc bất đẳng thức; lx,ux ∈R^n là các điều kiện ràng buộc của biến; c^T,c^f ∈R^n là các thông số của hàm mục tiêu f (x) và A ∈ R^(mn×n) là ma trận hệ số của các ràng buộc; C là một tập hợp các hình nón được định nghĩa dưới dạng:.
Một ví dụ bài toán tối ƣu hóa hình nón bậc hai có dạng min f x 5x 5 7x 6 chịu các ràng buộc
(2.23) trong đó các điều kiện ràng buộc trong công thức (2.23)(a) và (2.23)(b) là ràng buộc có dạng hình nón bậc hai nhƣ đƣợc giới thiệu trong công thức (2.22).
PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM MINDLIN BẰNG PHẦN TỬ CS-DSG3 VÀ CHƯƠNG TRÌNH HÌNH NÓN BẬC HAI (SOCP)
Phân tích giới hạn tấm Mindlin – Công thức động học [37]
Xét một tấm Mindlin cứng dẻo lý tưởng có miền giới hạn , chiều dày h và biên u t
trong đó biên t chịu tác dụng lực bề mặt t, và biên u bị ràng buộc chuyển vị Đặt w là độ võng, và véc-tơ góc xoay β T x y , với x là góc xoay của mặt phẳng trung bình xung quanh trục y, y là góc xoay của mặt phẳng trung bình xung quanh trục x, ứng với chiều dương được định nghĩa như Hình 3.1
Hình 3.1 Tấm Mindlin và chiều dương quy ước của chuyển vị w và hai góc xoay
Véc-tơ vô hướng của 3 biến độc lập tại mọi điểm trong miền xác định của tấm Mindlin có thể đƣợc viết nhƣ sau
Biến dạng uốn κ và biến dạng cắt γ đƣợc định nghĩa nhƣ sau
, và L d là một ma trận toán tử vi phân đối xứng đƣợc xác định bởi
Vì vật liệu trong phân tích giới hạn được giả định là cứng dẻo lý tưởng, ứng suất uốn σ và biến dạng cắt τ đƣợc giới hạn trong miền lồi σ τ , 0, trong đó
σ τ là hàm chảy dẻo Áp dụng tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises, ta có
σ,τ σ P σ τ P τ (3.4) trong đó 0 là ứng suất chảy dẻo và các đại lƣợng P b và P s đƣợc cho bởi
Biến dạng dẻo không thể xảy ra khi σ τ , 0 Sự chảy dẻo sẽ xuất hiện khi
σ τ Trong trường hợp này tốc độ biến dạng ε và γ tuân theo quy luật chảy nhƣ sau
Công thức (3.7) đƣa ra điều kiện để giới hạn tốc độ biến dạng, bằng cách giới hạn chúng trong một miền lồi ε γ , , được tạo bởi các pháp tuyến hướng ra ngoài bề mặt chảy dẻo Đặt σ τ , là ứng suất cho phép chứa trong mặt phẳng dẻo lồi, và σ τ ˆ ˆ , là điểm ứng suất trên mặt phẳng giới hạn đƣợc kết hợp với tốc độ biến dạng ε γ , bởi điều kiện dẻo, khi đó năng lƣợng tiêu tán dẻo trên đơn vị thể tích d ˆ , ε γ theo nguyên lý cực đại Hill nhƣ sau
Năng lượng tiêu tán dẻo là hàm của tốc độ biến dạng và biểu thức tường minh của nó được biểu thị trong Lubliner [31] Cụ thể, áp dụng tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises như đề cập trong Capsoni và Corradi [37], năng lượng tiêu tán dẻo trong (3.8) có thể được viết lại thành dạng chuẩn do có mặt của áp suất trung bình trong các thành phần ứng suất Cauchy.
0 ˆ , T b T s d ε γ ε Γ ε γ Γ γ (3.9) với các đại lƣợng Γ b và Γ s đƣợc cho bởi
Sử dụng quan hệ của biểu thức εz κ giữa biến dạng màng ε với độ cong κ, công thức (3.9) có thể được viết lại dưới dạng
0 2 ˆ , b s d κ γ z c c (3.12) trong đó các đại lƣợng c b và c s đƣợc cho bởi công thức
T ; T b b s s c κ Γ κ c γ Γ γ (3.13) Tổng năng lƣợng tiêu tán dẻo cho tấm trên miền với chiều dày h đƣợc biểu diễn nhƣ sau
Trong phân tích giới hạn tấm Mindlin, chúng ta giả định tấm cứng dẻo lý tưởng và chịu tác dụng của lực thể tích b b 0 0 T trên mặt phẳng trung bình và lực bề mặt t trên biên t Biên ràng buộc u đƣợc cố định Tải đƣợc định nghĩa bằng hai giá trị cơ bản b và t , và đƣợc điều chỉnh bởi hệ số tải Áp dụng lý thuyết động học của phân tích giới hạn, giá trị giới hạn (hệ số giới hạn) là giá trị tối ƣu của bài toán tối ƣu hóa [37]
(3.15) và chịu các ràng buộc
Công thức (3.16)(a) và (3.16)(b) biểu diễn sự tương thích của biên bị ràng buộc và tốc độ biến dạng của trường vận tốc u, và công thức (3.16)(c) chỉ công ngoại đơn vị gây ra hao tán dẻo của tải trọng ban đầu
Chú ý rằng trong công thức (3.14), năng lƣợng tiêu tán dẻo D κ γ , là một hàm thuần nhất dương bậc nhất của tốc độ biến dạng và không khả vi tại điểm có tốc độ biến dạng bằng không Công thức (3.16) vì vậy ngụ ý rằng việc xác định hệ số tải giới hạn là giải bài toán tìm điểm cực tiểu một hàm lồi nhƣng không khả vi tại mọi điểm trong miền xác định Hàm tối ƣu hóa trong công thức (3.15) chỉ khả vi trong miền p có chảy dẻo, và không khả vi trong miền r không có chảy dẻo.
Công thức động học của phần tử DSG3 cho tấm Mindlin [16, 17]
Phần tử DSG3 [17], đƣợc xây dựng dựa trên khái niệm khe cắt (“shear gap”) của chuyển vị dọc theo cạnh của phần tử Trong phần tử DSG3, biến dạng cắt đƣợc nội suy tuyến tính từ chuyển vị của khe cắt bằng việc sử dụng các hàm dạng phần tử chuẩn Điều này dẫn đến, ma trận S liên quan đến biến dạng cắt sẽ đƣợc hiệu chỉnh Các thành phần của ma trận S là các hằng số và đƣợc tính từ tọa độ nút của phần tử Phần tử DSG3 khử đƣợc hiện tƣợng “khóa cắt” (“shear locking”) và có một số đặc tính riêng nhƣ trình bày trong tài liệu [17] Trong luận văn này, tác giả chỉ trình bày công thức động học của phần tử DSG3 mà cần thiết cho việc xây dựng công thức động học của phần tử CS-DSG3
Hình 3.2 Phần tử tam giác 3 nút
Sử dụng một lưới rời rạc gồm các phần tử tam giác 3 nút, hàm xấp xỉ h T x y w
u cho một phần tử tam giác 3 nút e của tấm Mindlin Hình 3.2 đƣợc viết lại nhƣ sau
(3.17) trong đó d eI w I xI yI T là véc-tơ vận tốc của bậc tự do nút tại nút I và
N x là những hàm dạng tuyến tính trong hệ tọa độ tự nhiên đƣợc xác định bởi
Tốc độ biến dạng uốn (độ cong của mặt võng) trong phần tử đƣợc tính bởi công thức h
e κ Bd (3.19) trong đó d e d e 1 d e 2 d e 3 T là véc-tơ vận tốc của chuyển vị nút phần tử và B là ma trận chứa đạo hàm của các hàm dạng và có dạng cụ thể nhƣ sau
(3.20) trong đó ax 2 x b 1 , y 2 y c 1 , y 3 y d 1 , x 3 x 1 nhƣ trình bày ở Hình 3.3; và
T i x i y i x , i1, 2,3 là tọa độ 3 nút của phần tử; A e là diện tích của phần tử tam giác; và B i , i 1, 2,3, chứa đạo hàm của các hàm dạng ở nút thứ i
Hình 3.3 Phần tử tam giác 3 nút và hệ tọa địa phương trong phần tử DSG3
Nhƣ trình bày trong nhiều tài liệu về phần tử tấm Mindlin, hiện tƣợng khóa cắt thường xảy ra khi tấm dày tiến đến giới hạn của tấm mỏng (nghĩa là bề dày tấm trở nên nhỏ) Hiện tƣợng này là do biến dạng cắt ngang không bị khử trong điều kiện uốn thuần túy Để khắc phục hiện tƣợng khóa cắt, Bletzinger cùng các đồng nghiệp [17] đã đề xuất phương pháp khe cắt độ lệch trượt rời rạc (discrete shear gap using triangular three node element method – DSG3) để thay đổi trường biến dạng cắt Áp dụng phương pháp này trong phân tích giới hạn, tốc độ biến dạng cắt được viết cụ thể dưới dạng h
1 2 e e e e c ac bc b bd bc b c A d ad bd a ad ac
(3.22) với S i , i 1, 2,3, là ma trận chứa đạo hàm của các hàm dạng ở nút thứ i; và A e là diện tích của phần tử tam giác
Từ các phương trình (3.20) và (3.22), ta nhận thấy rằng các ma trận B và S trong phương pháp DSG3 phụ thuộc vào thứ tự các nút trong phần tử, do đó lời giải của DSG3 sẽ bị ảnh hưởng khi thứ tự các nút thay đổi, đặc biệt là đối với các lưới thô và méo Do đó, phương pháp CS-DSG3 được đề xuất để khắc phục những hạn chế này và cũng để cải thiện độ chính xác cũng nhƣ sự ổn định của phần tử DSG3.
Công thức động học của phần tử CS-DSG3 cho tấm Mindlin
Trong CS-DSG3 [16], việc rời rạc miền bài toán thành n n nút và n e phần tử tam giác cũng tương tự như trong cách thành lập phần tử DSG3 [17] Tuy nhiên, trong việc thành lập công thức cho phần tử CS-DSG3 [16], mỗi phần tử tam giác đƣợc chia thành 3 tam giác con bằng cách nối trọng tâm tam giác với 3 nút tam giác nhƣ chỉ trong Hình 3.4
Hình 3.4 Ba tam giác nhỏ ( 1 , 2 và 3 ) đƣợc tạo ra từ tam giác 1-2-3 trong phần tử CS-DSG3 bằng cách nối trọng tâm O với ba nút 1, 2 và 3
Trong phần tử CS-DSG3, chúng ta giả định rằng véc-tơ vận tốc chuyển vị d e O tại trọng tâm O là trung bình cộng của 3 véc-tơ vận tốc chuyển vị d e 1 , d e 2 và
3 nút của phần tử tam giác e
Trên tam giác nhỏ thứ nhất 1 (tam giác O 1 2), trường vận tốc chuyển vị của tấm u e 1 w e ex ey T đƣợc xấp xỉ tuyến tính và đƣợc cho bởi công thức
u x d x d x d N x d (3.24) trong đó d 1 d eO d e 1 d e 2 T là véc-tơ vận tốc chuyển vị tại 3 nút O, 1 và 2 trong tam giác nhỏ 1 và N 1 N 1 1 N 2 1 N 3 1 chứa các hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên của tam giác nhỏ 1 được xác định bởi các phương trình (3.18)
Vận tốc biến dạng uốn κ 1 và biến dạng cắt γ 1 trong tam giác nhỏ 1 đƣợc tính bởi các công thức
(3.26) trong đó b 1 và s 1 lần lượt được tính toán tương tự như các ma trận B và S của phương pháp DSG3 [16] trong các phương trình (3.20) và (3.22) nhưng với 2 sự thay đổi nhƣ sau: 1) Tọa độ của 3 nút x i x i y i T , i1, 2,3 của phần tử tam giác
e đƣợc thay lần lƣợt bởi 3 nút x O , x 1 và x 2 của tam giác nhỏ 1 ; và 2) Diện tích
A e của phần tử tam giác e đƣợc thay bởi diện tích
Thay d eO trong công thức (3.23) vào các công thức (3.25) và (3.26), đồng thời sắp xếp lại, ta thu đƣợc công thức tính các vận tốc biến dạng nhƣ sau
Tương tự, cho tam giác nhỏ thứ hai 2 (tam giác O 2 3), vận tốc biến dạng uốn 2 và biến dạng cắt γ 2 đƣợc tính bởi công thức
(3.30) trong đó b 2 b 1 2 b 2 2 b 3 2 và s 2 s 1 2 s 2 2 s 3 2 lần lƣợt đƣợc tính toán tương tự như các ma trận B và S của phương pháp DSG3 [16] trong các phương trình (3.20) và (3.22) nhƣng với 2 sự thay đổi nhƣ sau: 1) Tọa độ của 3 nút
T , 1, 2,3 i x i y i i x của phần tử tam giác e đƣợc thay lần lƣợt bởi 3 nút
, 2 x O x và x 3 của tam giác nhỏ 2 ; và 2) Diện tích A e của phần tử tam giác e đƣợc thay bởi diện tích
A 2 của tam giác nhỏ 2 Đối với tam giác nhỏ thứ ba 3 (tam giác O 3 1), vận tốc biến dạng uốn 3 và biến dạng cắt γ 3 đƣợc tính bởi công thức
(3.32) trong đó b 3 b 1 3 b 2 3 b 3 3 và s 3 s 1 3 s 2 3 s 3 3 lần lƣợt đƣợc tính toán tương tự như các ma trận B và S của phương pháp DSG3 [16] trong các phương trình (3.20) và (3.22) nhƣng với 2 sự thay đổi nhƣ sau: 1) Tọa độ của 3 nút
T , 1, 2,3 i x i y i i x của phần tử tam giác e đƣợc thay lần lƣợt bởi 3 nút
, 3 x O x và x 1 của tam giác nhỏ 3 ; và 2) Diện tích A e của phần tử tam giác e đƣợc thay bởi diện tích
Bước kế tiếp, ta áp dụng kỹ thuật làm trơn vận tốc biến dạng dựa trên phần tử trong phương pháp CS-FEM [1, 3] Các vận tốc biến dạng uốn κ 1 , κ 2 , κ 3 trong các công thức (3.27), (3.29), (3.31) và vận tốc biến dạng cắt γ 1 , γ 2 , γ 3 trong các công thức (3.28), (3.30), (3.32) đƣợc sử dụng để xây dựng vận tốc biến dạng uốn trơn κ e và vận tốc biến dạng cắt trơn γ e trên toàn phần tử tam giác e nhƣ sau
(3.34) trong đó e ( )x là hàm trơn thỏa mãn điều kiện e
Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng hàm trơn bước loại Heaviside theo đề xuất của Giáo sƣ Gui Rong Liu và cộng sự [1] cho bởi công thức
x x x (3.35) trong đó A e là diện tích phần tử tam giác e Thay (3.35) vào (3.33) và (3.34), vận tốc biến dạng uốn trơn κ e và vận tốc biến dạng cắt trơn γ e đƣợc tính cụ thể bởi công thức
Thay κ j , j1, 2,3, đƣợc tính từ các công thức (3.27), (3.29) và (3.31) vào công thức (3.36), vận tốc biến dạng uốn trơn κ e có dạng e B d e e
(3.38) trong đó B e là ma trận gradient biến dạng uốn trơn của phần tử và đƣợc tính bởi
Thay γ j , j1, 2,3, đƣợc tính từ các công thức (3.28), (3.30) và (3.32) vào công thức (3.37), vận tốc biến dạng cắt trơn γ e có dạng e e e γ S d (3.40) trong đó S e là ma trận gradient biến dạng cắt trơn của phần tử và đƣợc tính bởi
Chú ý rằng, việc đƣa vào trọng tâm của phần tử tam giác trong phần tử CS-DSG3 chỉ là bước trung gian để thành lập công thức của các ma trận B e và
S e Sẽ không có thêm bậc tự do nào đối với trọng tâm, do đó ẩn số nút trong phần tử CS-DSG3 sẽ đúng bằng với ẩn số nút trong phần tử DSG3 với cùng một lưới rời rạc.
Dạng tường minh công thức động học của phần tử CS-DSG3
Trong công thức (3.14), khi c s trở nên nhỏ ở giới hạn tấm mỏng, số hạng cuối sẽ suy biến và vì vậy ta nên sử dụng tích phân số để tránh sự suy biến này Ngoài ra để đảm bảo tích phân số là chính xác, ta nên tính hai lần tích phân trên nửa chiều dày, khi đó công thức (3.14) có thể đƣợc viết lại nhƣ sau (Capsoni và Corradi) [37]
κ γ (3.42) trong đó 4z h1 và g , W g lần lƣợt là tọa độ và trọng số của điểm tích phân
Gauss; n G là số điểm tích phân Gauss; m 0 0 h 2 4 là môment chảy dẻo trên chiều dày h của tấm
Xét miền đƣợc rời rạc thành n e phần tử tam giác e , sao cho
, i j, và sử dụng công thức động học của phần tử CS-DSG3 nhƣ đƣợc trình bày ở phần 3.3, năng lƣợng tiêu tán dẻo trong công thức (3.42) đƣợc viết lại dưới dạng
(3.43) trong đó c b κ Γ κ T e b e và c s γ Γ γ T e s e với κ e x y xy T và γ e xz yz T đƣợc tính tại các điểm Gauss theo các công thức (3.38) và (3.40)
Kết hợp các công thức số (3.10), (3.11), (3.38) và (3.40), c b và c s được viết dưới dạng tường minh như sau
Khi đó năng lượng tiêu tán dẻo trong công thức (3.43) được viết lại dưới dạng
Công thức (3.49) có thể được biểu diễn gọn hơn dưới dạng ma trận như sau
T i x y xy xz yz y , tại điểm Gauss thứ i (3.52)
Kết hợp các công thức (3.38), (3.39), (3.40) và (3.41), véc-tơ y i trong công thức (3.52) có thể được viết lại dưới dạng véc-tơ vận tốc chuyển vị d i như sau i i i i i
(3.55) và những số hạng B imn , S imn , m n, 1,2 đƣợc rút ra từ ma trận B e và
S e tương ứng trong công thức (3.39) và (3.41)
Công thức (3.50) khi đó được viết lại dưới dạng
Tương tự, công ngoại W ex ( )u trong công thức (3.16)(c) và điều kiện biên của chuyển vị trong công thức (3.16)(a) được kết hợp và viết lại dưới dạng ma trận rút gọn của vận tốc d nhƣ trong bài viết của Lê Văn Cảnh và cộng sự [66] eq eq
Dạng chi tiết của công thức (3.57) đƣợc trình bày trong phần phụ lục A
Kết hợp công thức (3.47), (3.56) và (3.57), bài toán tối ƣu hóa (3.15) kết hợp với phần tử CS-DSG3 trở thành bài toán tìm nghiệm tối ƣu sao cho
z (3.58) và chịu các ràng buộc
Bài toán tối ƣu hóa (3.58) là một bài toán lồi trong đó hàm mục tiêu là một hàm thuần nhất xác định dương bậc nhất với biến là z i (vận tốc độ biến dạng), và không khả vi tại những điểm trên miền không bị chảy dẻo z i 0 Bài toán tối ƣu hóa (3.58) đƣợc xem thuộc nhóm bài toán tối ƣu hóa một chuỗi tổng Euclid [56] Để giải dạng bài toán này, một trong những cách giải quyết tốt nhất đƣợc dùng là thay thế số hạng z i trong hàm mục tiêu bằng đại lƣợng khả vi z i 2 2 , trong đó là một số dương Phương pháp này tốt nhưng hội tụ chậm khi 0 bởi vì số hạng z i trong hàm mục tiêu có giá trị bằng không đƣợc xem nhƣ là giá trị tối ƣu của chúng
Gần đây, bằng việc khai thác đặc tính đối ngẫu của phương pháp điểm trong,
Andersen cùng các cộng sự [56] đã đề xuất một phương pháp điểm trong chính – đối ngẫu dựa trên cơ sở phương pháp điểm trong của bài toán tuyến tính Trong phương pháp này, số hạng z i được thay thế bằng đại lượng z i 2 2 , nhưng đƣợc xem nhƣ là biến bổ sung Giá trị này đƣợc xác định bằng đánh giá đối ngẫu
Dùng phương pháp này, bài toán tối ưu hóa (3.58) có thể được giải nhanh chóng ngay cả cho trường hợp có nhiều biến và có nhiều giá trị của số hạng z i bằng không Đặc biệt gần đây, phương pháp điểm trong chính – đối ngẫu này đã được tích hợp vào phần mềm Mosek và đƣợc dùng để giải các bài toán tối ƣu hóa hình nón bậc hai (SOCP) [58]
Bài toán tối ưu hóa (3.58) vì vậy cần được viết lại dưới dạng hiện sao cho phù hợp với chương trình SOCP Điều này, được thực hiện bằng cách thêm biến bổ sung
(3.60) và chịu các ràng buộc
Bài toán tối ưu hóa (3.60) được giải một cách hiệu quả bằng phần mềm Mosek dưới dạng biểu thức tường minh phù hợp với chương trình SOCP, giúp xác định hệ số tải giới hạn của tấm Mindlin Công thức (3.61)(c) đóng vai trò ràng buộc hình nón bậc hai, đảm bảo rằng kết quả thu được là khả thi và có ý nghĩa vật lý.
Chú ý rằng, năng lượng tiêu tán dẻo trong bài toán tối ưu hóa của chương trình SOCP đã đƣợc trình bày trong tài liệu tham khảo bởi TS Lê Văn Cảnh [66, 68]
Tuy nhiên, dạng bài toán của chương trình SOCP trong tài liệu này chỉ dùng cho tấm mỏng Kirchhoff và các điều kiện ràng buộc cũng không đƣợc viết một cách chi tiết nhƣ trong công thức (3.61).
CÁC VÍ DỤ SỐ
Tấm hình vuông
Xét tấm vuông chịu tải phân bố đều (tải ban đầu pM p L 2 ) với hai điều kiện biên khác nhau: 1) ngàm trên tất cả các cạnh nhƣ Hình 4.1a; và 2) tựa đơn trên tất cả các cạnh nhƣ Hình 4.1b Tấm đƣợc rời rạc bằng các phần tử tam giác 3 nút nhƣ minh họa trong Hình 4.1c Nghiệm tham khảo cận trên bởi Capsoni [37, 38] đƣợc tính toán cho toàn tấm và sử dụng phần tử tứ giác với 867 bậc tự do
(a) (b) (c) Hình 4.1 Các mô hình tấm vuông và bốn lưới phần tử tam giác; (a) Tấm ngàm; (b)
Tấm tựa đơn; (c) Minh họa bốn lưới phần tử tam giác ba nút Để khảo sát sự hội tụ của tải trọng giới hạn ứng với số điểm Gauss khác nhau Ta chọn chiều dài của tấm L1m, chiều dày t 0.02m và lưới rời rạc thành 8 8 2 phần tử tam giác 3 nút với 243 bậc tự do Các đồ thị trong Hình 4.2 và Hình 4.3 trình bày sự hội tụ của hệ số tải giới hạn của tấm vuông ngàm và tựa đơn trên tất cả các cạnh ứng với số điểm Gauss khác nhau (thay đổi từ 1 đến 7 điểm Gauss dọc theo nửa chiều dày của tấm) bằng hai phần tử DSG3 và CS-DSG3 Các kết quả cho ta thấy khi tăng số điểm Gauss thì cả hai nghiệm sử dụng phần tử CS- DSG3 và DSG3 đều hội tụ về nghiệm cận trên tham khảo của Capsoni [38], nhƣng nghiệm của phần tử CS-DSG3 chính xác hơn nghiệm của phần tử DSG3 Điều này cho thấy rằng phần tử CS-DSG3 cho chúng ta hệ số tải giới hạn cận trên đáng tin cậy cho phân tích giới hạn tấm Mindlin khi dùng số điểm Gauss phù hợp dọc theo nửa chiều dày của tấm Ngoài ra, ta thấy rằng việc sử dụng 6 điểm Gauss là thích hợp nhất cho cả hai điều kiện biên và vì vậy sẽ đƣợc sử dụng cho các phân tích tiếp theo
Hệ số tải trọng giới hạn cho tấm vuông bốn cạnh được tính bằng hai loại phần tử DSG3 và CS-DSG3 chịu tải phân bố đều Kết quả cho thấy khi tăng số điểm tích phân Gauss, giá trị hệ số tải trọng giới hạn hội tụ về một giá trị gần đúng với giá trị chính xác.
Nghiem tham khao cua Capsoni (12.314)
Hình 4.3 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông tựa đơn trên tất cả các cạnh và chịu tải phân bố đều ứng với số điểm Gauss thay đổi từ 1 điểm đến 7 điểm Gauss bằng phần tử DSG3 và CS-DSG3
Hình 4.4 và Hình 4.5 trình bày sự hội tụ của hệ số tải giới hạn theo số bậc tự do bằng CS-DSG3 và DSG3 cho cả hai điều kiện biên Số bậc tự do của bài toán đƣợc thay đổi từ 75 (tương ứng với lưới 4 4 2 phần tử) đến 507 (tương ứng với lưới
12 12 2 phần tử) Các kết quả số cho cả hai điều kiện biên dùng phần tử CS- DSG3 và DSG3 đƣợc thống kê trong Bảng 4.1 Kết quả cho thấy rằng nghiệm của phần tử CS-DSG3 và phần tử DSG3 đều hồi tụ về nghiệm tham khảo khi tăng số bậc tự do, tuy nhiên nghiệm của phần tử CS-DSG3 chính xác hơn phần tử DSG3, đặc biệt là đối với lưới thô Hình 4.6 biểu diễn dạng năng lượng tiêu tán dẻo khi tấm bị chảy dẻo bằng phần tử CS-DSG3 cho cả hai điều kiện biên Kết quả cho thấy rằng các dạng đường chảy dẻo được xác định rõ ràng và hợp lý so với các mô hình hao tán dẻo đã biết
Các kết quả số này cho thấy rằng phần tử CS-DSG3 có thể cung cấp hệ số tải giới hạn cận trên đáng tin cậy cho tấm Mindlin với số bậc tự do phù hợp Ngoài ra,
Nghiem tham khao cua Capsoni (6.289) ta cũng thấy rằng kỹ thuật làm trơn biến dạng trong phần tử CS-DSG3 rất cần thiết để nâng cao độ chính xác trong phân tích giới hạn tấm Mindlin
Bảng 4.1 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông ngàm và tựa đơn chịu tải phân bố đều (tải ban đầu pM p /L 2 ) ứng với các bậc tự do khác nhau Điều kiện biên
Các bậc tự do (dofs) Nghiệm tham khảo ứng với 867 dofs
Hình 4.4 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông ngàm và chịu tải phân bố đều ứng với các bậc tự do khác nhau bằng phần tử DSG3 và CS-DSG3
Nghiem tham khao cua Capsoni (12.314)
Hình 4.5 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông tựa đơn và chịu tải phân bố đều ứng với các bậc tự do khác nhau bằng phần tử DSG3 và CS-DSG3
Hình 4.6 Dạng năng lƣợng hao tán dẻo khi tấm bị chảy dẻo của tấm vuông L t chịu tải phân bố đều bằng phần tử CS-DSG3; (a) Tấm ngàm; (b) Tấm tựa đơn
Chiều dày của tấm được chọn theo tỉ lệ L t và lưới được chia thành 12 12 2 phần tử tam giác 3 nút với 507 bậc tự do Các đồ thị trong Hình 4.7 và Hình 4.8 trình bày sự hội tụ của hệ số tải giới hạn ứng với các tỉ lệ độ mảnh khác nhau L t
So bac tu do DSG3 CS-DSG3
Nghiem tham khao cua Capsoni (6.289) bằng phần tử CS-DSG3 và phần tử DSG3 cho tấm vuông ngàm và tựa đơn Tỉ lệ độ mảnh L t được thay đổi từ 2 đến 100 với lưới chia là 12 12 2 phần tử tam giác 3 nút Nghiệm Kirchhoff tham khảo có thể tìm thấy trong nghiên cứu bởi Capsoni và Vicente [38]) Các kết quả số cho thấy rằng nghiệm của phần tử CS-DSG3 hội tụ về nghiệm tham khảo Kirchhoff (Capsoni và Vicente [38]) khi tỉ lệ độ mảnh tăng đến giới hạn của tấm mỏng Điều này cho thấy rằng phần tử CS-DSG3 tránh đƣợc hiện tƣợng khóa cắt (shear locking) trong phân tích giới hạn của tấm mỏng Chú ý rằng nghiệm của phần tử DSG3 hội tụ cao hơn nhiều so với giá trị mong đợi khi tỉ lệ độ mảnh tăng đến giới hạn của tấm mỏng Điều này một lần nữa khẳng định rằng kỹ thuật làm trơn biến dạng trong phần tử CS-DSG3 là rất cần thiết để đảm bảo sự hội tụ đúng trong phân tích giới hạn tấm mỏng
Hình 4.7 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông ngàm và chịu tải phân bố đều ứng với các tỷ lệ độ mảnh khác nhau (L t) bằng phần tử DSG3 và CS-DSG3
CS-DSG3 Nghiem tham khao cua Capsoni (12.314)
Tấm hình chữ nhật
Xét tấm hình chữ nhật tựa đơn trên tất cả các cạnh và chịu tải phân bố đều (tải ban đầu pM p ( )L H ) nhƣ minh họa trong Hình 4.9a Tấm đƣợc rời rạc bằng các phần tử tam giác 3 nút nhƣ minh họa trong Hình 4.9b
(a) (b) Hình 4.9 Mô hình tấm chữ nhật và bốn lưới phần tử tam giác; (a) Tấm chữ nhật tựa đơn; (b) Minh họa bốn lưới phần tử tam giác ba nút
CS-DSG3 Nghiem tham khao cua Capsoni (6.289)
Nghiệm tham khảo cận trên được tính toán cho toàn tấm và sử dụng phương pháp không lưới (meshfree) với 1350 bậc tự do [66]
Chiều dày của tấm đƣợc chọn là t0.01m, chiều rộng L2m và phụ thuộc theo tỉ lệ L H 2 Hình 4.10 và các kết quả đƣợc thống kê trong Bảng 4.2 trình bày sự hội tụ của hệ số tải giới hạn theo số bậc tự do bằng phần tử CS-DSG3 và phần tử DSG3 Hình 4.11 biểu diễn dạng năng lƣợng tiêu tán dẻo và chuyển vị khi tấm bị chảy dẻo bằng phần tử CS-DSG3 Các kết quả số cho thấy rằng nghiệm của phần tử CS-DSG3 và phần tử DSG3 đều hồi tụ về nghiệm tham khảo khi tăng số bậc tự do, tuy nhiên nghiệm của phần tử CS-DSG3 chính xác hơn phần tử DSG3, đặc biệt là đối với lưới thô
Các kết quả số này cho thấy rằng phần tử CS-DSG3 có thể cung cấp hệ số tải giới hạn cận trên đáng tin cậy cho tấm Mindlin với số bậc tự do phù hợp Ngoài ra, ta cũng thấy rằng kỹ thuật làm trơn biến dạng trong phần tử CS-DSG3 rất cần thiết để nâng cao độ chính xác trong phân tích giới hạn tấm Mindlin
Bảng 4.2 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình chữ nhật tựa đơn và chịu tải phân bố đều (tải ban đầu pM p /(LH)) ứng với các bậc tự do khác nhau
Số bậc tự do (dofs) Nghiệm tham khảo ứng với 1350 dofs
Hình 4.10 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình chữ nhật tựa đơn và chịu tải phân bố đều ứng với các số bậc tự do khác nhau
(a) (b) Hình 4.11 Mô hình của chuyển vị và dạng năng lƣợng hao tán dẻo khi bị phá hủy cho tấm hình chữ nhật tựa đơn và chịu tải phân bố đều sử dụng phần tử CS-DSG3;
(a) Chuyển vị; (b) Năng lƣợng hao tán dẻo
So bac tu do CS-DSG3
Nghiem tham khao cua Canh V.Le (29.88)
Tấm hình thoi
Xét tấm hình thoi ngàm trên tất cả các cạnh và chịu tải phân bố đều (tải ban đầu
Nghiệm tham khảo cận trên được tính toán cho toàn bộ tấm bằng cách sử dụng phần tử tứ giác với 867 bậc tự do, như minh họa trong Hình 4.12a Sau đó, tấm được rời rạc thành các phần tử tam giác ba nút, như minh họa trong Hình 4.12b.
(a) (b) Hình 4.12 (a) Tấm hình thoi; (b) Minh họa bốn lưới phần tử tam giác ba nút
Bán kính của tấm hình thoi đƣợc chọn là R0.5m và chiều dày của tấm là 0.02m t Các kết quả đƣợc liệt kê trong Bảng 4.3 trình bày sự hội tụ của hệ số tải giới hạn của tấm hình thoi ngàm theo số bậc tự do và các góc nghiêng khác nhau bằng phần tử CS-DSG3 và phần tử DSG3 Hình 4.13 và Hình 4.14 trình bày sự hội tụ của hệ số tải giới hạn theo số bậc tự do khác nhau ứng tương ứng với trường hợp góc 30 và 60 bằng phần tử CS-DSG3 và phần tử DSG3 Hình 4.16 biểu diễn dạng năng lƣợng tiêu tán dẻo khi tấm bị chảy dẻo bằng phần tử CS-DSG3 Qua các kết quả số thu đƣợc ta thấy rằng các nội dung nhận xét của tấm vuông và tấm hình chữ nhật về sự hội tụ và độ chính xác của nghiệm bằng phần tử CS-DSG3 trong phân tích giới hạn tấm Mindlin một lần nữa đƣợc khẳng định trong tấm hình thoi
Bảng 4.3 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình thoi ngàm chịu tải phân bố đều (tải ban đầu pM p /R 2 ) ứng với các số bậc tự do và góc nghiêng khác nhau
Số bậc tự do (dofs) Nghiệm tham khảo ứng với 867 dofs
Hình 4.13 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình thoi ngàm ứng với các số bậc tự do khác nhau với trường hợp góc nghiêng 30
Hình 4.14 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình thoi ngàm ứng với các số bậc tự do khác nhau với trường hợp góc nghiêng 60
Nghiem tham khao cua Capsoni (9.852)
Nghiem tham khao cua Capsoni (11.641)
Kết quả phân tích hệ số tải giới hạn của tấm hình thoi ngàm với các góc nghiêng α cho thấy nghiệm do phần tử CS-DSG3 tính toán rất gần với nghiệm tham khảo khi góc nghiêng α nhỏ Do đó, phần tử CS-DSG3 có thể cung cấp nghiệm tin cậy cho phân tích hệ số tải giới hạn của tấm hình thoi Mindlin.
Hình 4.15 Hệ số tải giới hạn của tấm hình thoi ngàm ứng với các góc nghiêng khác nhau sử dụng phần tử CS-DSG3 và DSG3
(a) (b) Hình 4.16 Dạng năng lƣợng hao tán dẻo khi bị phá hủy cho tấm hình thoi ngàm sử dụng phần tử CS-DSG3 trong 2 trường hợp góc nghiêng ; (a) 30 ; (b)
Nghiem tham khao cua Capsoni
Tấm hình tròn
Xét tấm tròn ngàm và chịu tải trọng phân bố đều (tải phân bố đều pM p R 2 ) Do tính đối xứng nên ta chỉ xét góc phần tƣ phía trên bên phải của toàn tấm và tấm đƣợc rời rạc thành 294 phần tử tam giác 3 nút ứng với 507 bậc tự do nhƣ minh họa trong Hình 4.17 Nghiệm tham khảo cận trên sử dụng phần tử tứ giác với 1041 bậc tự do [38]
Hình 4.17 minh họa góc phần tư phía trên bên phải của tấm tròn ngàm với biên chịu tải phân bổ đều Bảng gồm 294 phần tử tam giác.
Bán kính của tấm hình tròn đƣợc chọn là R1m và chiều dày của tấm là 0.01m t Hình 4.18 trình bày sự hội tụ của hệ số tải giới hạn theo số bậc tự do bằng phần tử CS-DSG3 và phần tử DSG3 Hình 4.19 biểu diễn dạng năng lƣợng tiêu tán dẻo và chuyển vị khi tấm bị chảy dẻo bằng phần tử CS-DSG3 Qua các kết quả số thu được ta thấy rằng các nội dung nhận xét của 3 ví dụ trước về sự hội tụ và độ chính xác của nghiệm sử dụng phần tử CS-DSG3 trong phân tích giới hạn tấm Mindlin một lần nữa đƣợc khẳng định trong tấm hình tròn
Hình 4.18 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm tròn ngàm trên biên và chịu tải phân bố đều ứng với các bậc tự do khác nhau
Mô hình chuyển vị và dạng năng lượng hao tán dẻo khi bị phá hủy của tấm tròn, có ngàm kẹp trên biên và chịu tải phân bố đều được mô tả trong Hình 4.19a bằng phần tử CS-DSG3.
Chuyển vị; (b) Dạng năng lƣợng hao tán dẻo
Nghiệm tham khảo của tấm mỏng (hệ số tải giới hạn bằng 13.231) có thể tìm thấy trong tài liệu [38] Thực hiện phân tích sự hội tụ của hệ số tải giới hạn với các tỉ lệ độ mảnh 2R t khác nhau bằng phần tử CS-DSG3 và DSG3 Kết quả số của
Nghiem tham khao cua Capsoni phần tử CS-DSG3 và DSG3 đƣợc liệt kê trong Bảng 4.4 và đồ thị Hình 4.20 Kết quả cho thấy rằng nghiệm của phần tử CS-DSG3 hội tụ về nghiệm tham khảo khi tăng tỉ lệ độ mảnh đến giới hạn của tấm mỏng Điều này tiếp tục cho thấy rằng phần tử CS-DSG3 tránh đƣợc hiện tƣợng khóa cắt (shear locking) trong phân tích giới hạn của tấm mỏng Chú ý rằng nghiệm của phần tử DSG3 hội tụ cao hơn nhiều so với giá trị mong đợi khi tỉ lệ độ mảnh tăng đến giới hạn của tấm mỏng Điều này một lần nữa khẳng định rằng kỹ thuật làm trơn biến dạng dựa trên phần tử trong phần tử CS-DSG3 rất cần thiết để khắc phục ứng xử không ổn định của phần tử DSG3 trong phân tích giới hạn tấm mỏng
Bảng 4.4 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm tròn ngàm (507 bậc tự do-dofs) trên biên và chịu tải phân bố đều (tải ban đầu pM p /R 2 ) ứng với các tỷ lệ độ mảnh khác nhau 2 / R t
Các phần tử Nghiệm tham khảo ứng với 1041 dofs
Hệ số tải giới hạn của tấm tròn ngàm trên biên và chịu tải phân bố đều hội tụ với sự gia tăng tỷ lệ độ mảnh (2R/t) Ở tỷ lệ độ mảnh (2R/t) lớn hơn 200, hệ số tải giới hạn đạt giá trị không đổi Điều này cho thấy rằng đối với tấm có tỷ lệ độ mảnh lớn, ứng suất sẽ tập trung tại các vùng ngàm, làm giảm khả năng chịu tải của tấm.
Tấm hình tam giác đều
Xét tấm tam giác đều ngàm trên biên và chịu tải phân bố đều (tải ban đầu
2 pM p R ) nhƣ minh họa trong Hình 4.21a Tấm đƣợc rời rạc bằng các phần tử tam giác 3 nút nhƣ minh họa trong Hình 4.21b Nghiệm tham khảo cận trên đƣợc tính toán cho toàn tấm có thể tìm thấy trong tài liệu [38]
Hình 4.21 (a) Tấm tam giác đều; (b) Mô hình chia lưới cho tấm tam giác đều sử dụng phần tử tam giác
Ty le do manh (2R/t)DSG3 Nghiem tham khao cua CapsoniCS-DSG3
Bán kính của tấm tam giác đều đƣợc chọn là R1m và chiều dày của tấm là 0.04m t
Bảng 4.5 và Hình 4.22 thể hiện sự hội tụ của hệ số tải giới hạn tương ứng với số bậc tự do khác nhau Hình 4.23 cho thấy hình dạng của chuyển vị và năng lượng tiêu tán dẻo khi tấm bị phá hủy bằng phần tử CS-DSG3 Các kết quả số cho thấy rằng cả phần tử CS-DSG3 và phần tử DSG3 đều hội tụ về nghiệm tham chiếu khi tăng số bậc tự do Tuy nhiên, nghiệm của phần tử CS-DSG3 chính xác hơn phần tử DSG3, đặc biệt là đối với lưới thô.
Các kết quả số này cho thấy rằng phần tử CS-DSG3 có thể cung cấp hệ số tải giới hạn cận trên đáng tin cậy cho tấm Mindlin với số bậc tự do phù hợp Ngoài ra, ta cũng thấy rằng kỹ thuật làm trơn biến dạng trong phần tử CS-DSG3 rất cần thiết để nâng cao độ chính xác trong phân tích giới hạn tấm Mindlin
Bảng 4.5 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm tam giác đều ngàm và chịu tải phân bố đều (tải ban đầu pM p /R 2 ) ứng với các bậc tự do khác nhau
Các bậc tự do (dofs)
Hình 4.22 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình tam giác đều bị ngàm dọc theo các biên và chịu tải phân bố đều ứng với các bậc tự do khác nhau
Hình 4.23 Mô hình chuyển vị và dạng năng lƣợng hao tán dẻo khi bị phá hủy cho tấm hình tam giác đều bị ngàm và chịu tải phân bố đều sử dụng phần tử CS-DSG3;
(a) Chuyển vị; (b) Dạng năng lƣợng hao tán dẻo
Nghiem tham khao cua Fox (9.61)