[Ngọc huyền lb] nhập môn hàm số toán 12

[Ngọc huyền lb] nhập môn hàm số toán 12 [Ngọc huyền lb] nhập môn hàm số toán 12 [Ngọc huyền lb] nhập môn hàm số toán 12 [Ngọc huyền lb] nhập môn hàm số toán 12 [Ngọc huyền lb] nhập môn hàm số toán 12 [Ngọc huyền lb] nhập môn hàm số toán 12 [Ngọc huyền lb] nhập môn hàm số toán 12

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Ví dụ 9 Cho hàm số y  f x   liên tục trên Hàm số f x    có đồ thị như hình vẽ bên a) f     1  f 2 b) f     2  f 3 c) f     3  f 4 d) f     4  f 8

Dạng thức 3 Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Tại thời điểm t nào đó, một người chơi đá cầu lên cao với độ cao tuân theo quy luật h(t) = -t^2 + 4t + 0,5 (m), trong đó t tính bằng giây Trong khoảng thời gian từ lúc cầu rời chân người đá đến 5 giây sau, để xác định khoảng thời gian cầu đi lên, cần tìm vị trí cực đại của hàm số h(t) trong khoảng thời gian này.

Ví dụ 11 Một học viên tại học viện quân sự thực hiện ném lựu đạn theo yêu cầu của giáo viên Biết phương trình đường đi của quả lựu đạn là một parabol được cho bởi hình vẽ bên Trong khoảng thời gian từ 3 đến 7 giây, tổng thời gian quả lựu đạn bay hướng xuống mặt đất là bao nhiêu?

Ví dụ 12 Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox Tọa độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi hàm số x t     t 3 12 t 2  21 t  3 với t  0 Khi đó v t      x t  là vận tốc của chất điểm tại thời điểm t

Trong khoảng thời gian t 1 đến t t 2  1  t 2  thì vận tốc chất điểm luôn luôn giảm Giá trị lớn nhất của t 2  t 1 bằng bao nhiêu?

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Dạng thức 1 Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

đề thi TN THPT năm 2020 – đợt 1)

Cho hàm số f x   có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

đề thi THPT QG năm 2017 – mã đề 104)

Cho hàm số y  f x   có bảng xét dấu đạo hàm sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 2  B Hàm số đồng biến trên khoảng   2;0 

C Hàm số đồng biến trên khoảng   ;0  D Hàm số nghịch biến trên khoảng   0; 2

BON 4 Cho hàm số y  f x   có đạo hàm f x    trên Biết đồ thị hàm số y  f x    được cho như hình vẽ

Hàm số y  f x   nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

đề thi TN THPT năm 2022 – mã đề 104)

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm f x      x 1 với mọi x  Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

đề thi THPT QG năm 2017 – mã đề 123)

 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau

Hàm số g x     f x   nghịch biến trên khoảng nào?

Hàm số

  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Dạng thức 2 Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) thí sinh chọn đúng hoặc sai.

đề thi THPT QG năm 2018 – mã đề 102)

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau: a) Hàm số y  f x   đồng biến trên khoảng   1; 2 b) Hàm số y  f x   nghịch biến trên khoảng   1;1  c) f     0  f 1 d) f       4 f  2

BON 10 Cho hàm số y  f x   xác định trên có đạo hàm f x      x  2   2 x  3   x 2  4   x  1  5 a) f x   đồng biến trên khoảng   1; 2 b) f x   nghịch biến trên khoảng   1;0  c) f x   có giá trị tăng trên khoảng   3; 4 d) f x   có giá trị giảm trên khoảng    2; 1  x f’(x)

BON 11 Cho hàm số y  f x   có đạo hàm f x    liên tục trên Hàm số f x    có đồ thị như hình vẽ a) f x   nghịch biến trên khoảng   0;1 b) f x   đồng biến trên khoảng   1;0  c) f x   đồng biến trên khoảng   1; 2 d) f x   nghịch biến trên khoảng    ; 1 

BON 12 a) y x  3  x đồng biến trên b) y    x 3 x nghịch biến trên c) y x  4  2 x 2 đồng biến trên d) y x  3  2 x đồng biến trên

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cho hàm số y  x 2  6 x  5

a) f x   đồng biến trên khoảng  3;   b) f x   nghịch biến trên khoảng   1; 3 c) f x   nghịch biến trên khoảng   ;1  d) f x   đồng biến trên khoảng  5;  

Cho hàm số 1

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 1

Một chất điểm chuyển động với phương trình   1 3 2 24 1  0 ,

x t   3 t   t t  t  v t      x t  là phương trình vận tốc của chất điểm tại thời điểm t (giây) Trong khoảng 10 giây đầu tiên, có bao nhiêu giây, chất điểm có vận tốc giảm dần?

BON 18 Một doanh nghiệp kinh doanh mặt hàng A thu được lợi nhuận hàng tháng được biểu thị bởi hàm số h x     10 x 2  120 x  180 ( : x tháng) (triệu đồng) Hỏi trong 1 năm, doanh nghiệp đó có bao nhiêu tháng có lợi nhuận ít hơn so với lợi nhuận tháng liền trước đó?

BON 19 Một cửa hàng bán đồ dùng học tập đã thống kê số lượng bút bán ra trong 1 ngày tuân theo quy luật logistics được mô hình hóa bởi hàm số f x    x 2  4 x  5 với x là ngày thứ x trong tháng Hỏi có bao nhiêu ngày trong tháng có số lượng bút bán ra nhiều hơn ngày hôm trước?

BON 20 Chú Bon có nông trại nuôi gà lấy trứng Sau nhiều năm nuôi, thu hoạch trứng, kiểm tra và thống kê số trứng hàng tháng Chú Bon nhận thấy số trứng của nông trại tuân theo quy luật t x    50cos     x 200 ( x là tháng thứ x trong năm) Sau tháng 4/2024, tháng gần nhất trong năm 2024 có số lượng quả trứng gà giảm so với tháng liền trước là tháng mấy?

Cực trị của hàm số

Cực đại, cực tiểu của hàm số

Xét hàm số y  f x   liên tục trên   a b ; và xét    a b ;

Với h  0 ta xét khoảng  x 0  h x ; 0  h  gọi là khoảng lân cận với x 0

 Nếu f x      f    , x  x 0  h x ; 0  h  thì f x   đạt cực đại tại x   và f    là giá trị cực đại của hàm số y  f x   Điểm   ; f     là điểm cực đại của đồ thị hàm số y  f x  

 Nếu f x      f    , x  x 0  h x ; 0  h  thì f x   đạt cực tiểu tại x   và f    là giá trị cực tiểu của hàm số y  f x   Điểm   ; f     là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  f x  

 Nếu hàm số f x   đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại  thì x    điểm cực đại (cực tiểu) của hàm số

  f   giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số f CĐ f CT

M  f   điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số

 Cỏc điểm cực đại và điểm cực tiểu  gọi chung  điểm cực trị

Giỏ trị cực đại (giỏ trị cực tiểu)  gọi chung  cực trị của hàm số gọi tắt: cực đại (cực tiểu)

Với hàm số liên tục thì hàm số sẽ đạt cực trị tại điểm làm cho y  0 hoặc y  không xác định

(được thể hiện ở hình bên dưới)

[Ví dụ] Cho đồ thị hàm số f x    x như hình vẽ

Mặc dù f    0 không xác định nhưng hàm số vẫn đạt cực tiểu tại x  0.

O y x điểm cực tiểu điểm cực tiểu điểm cực đại giá trị cực tiểu → điểm cực đại giá trị cực đại → giá trị cực tiểu → giá trị cực đại →

O y x điểm cực đại f’(c) = 0 c O y x điểm cực đại f’(c) không xác định c

Cực trị của hàm số

Xét hàm số f x   liên tục trên K và có đạo hàm trên K hoặc trên K \   

 Đồ thị hàm số đổi chiều từ đi lên sang đi xuống khi qua x a    x a là điểm cực đại của hàm số

 Đồ thị hàm số đổi chiều từ đi xuống sang đi lên khi qua x a    x a là điểm cực tiểu của hàm số.

Từ REMARK 4 ta có

Quy tắc tìm cực trị

 Bước 1: Tìm tập xác định

 Bước 2: Tính f x    Tìm các điểm tại đó f x     0 hoặc không xác định (điểm tới hạn) (các điểm x i )

 Bước 3: Xét sự đổi dấu của f x   qua các x i và kết luận

 f x    đổi dấu từ “ + ” → “ – “   x x i là điểm cực đại của hàm số f x  

 f x    đổi dấu từ “ – ” → “ + “   x x i là điểm cực tiểu của hàm số f x  

Các điểm x i phải thuộc tập xác định của hàm số

Như vậy để kiểm tra xem x a  có là điểm cực trị của hàm số f x   không ta kiểm tra 3 yếu tố

(1)  thuộc tập xác định của y  f x  

Luôn kiểm tra xem f x    có đổi dấu khi qua x   hay không

[Ví dụ] Hàm số f x    x 3 có f x     3 x 2

  0 f x   nhưng f x    không đổi dấu khi qua x  0 nên x  0 không là điểm cực trị của hàm số f x    x 3

Cực trị của hàm số

2.1 Sử dụng quy tắc tìm cực trị

Ví dụ 1 Tìm các điểm cực trị cùa hàm số   3 2 3 5

3 f x  x  x  x  Xác định điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số; điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm số 1 4 1 3 5 2

Ví dụ 3 Xác định các điểm cực trị của các hàm số sau: y x  4  2 x 2  5 ; y x  4  4 x 2  24.

Ví dụ 4 Xác định các điểm cực trị của các hàm số sau: 2

Cực trị của hàm số

Dạng thức 1 Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án

Ví dụ 5 Điểm cực trị của hàm số f x    x 3  3 x 2  3 x  5 là

C x  2; x  5 D Hàm số không có điểm cực trị

Ví dụ 6 Giá trị cực đại của hàm số

Ví dụ 7 Cho hàm số y  x 2  4 x  3 Kết luận nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực tiểu tại x  2 B Hàm số đạt cực đại tại x  1.

C Hàm số đạt cực đại tại x  3 D Hàm số có giá trị cực tiểu là y CT  0.

Ví dụ 8 Xét hàm số y x   2sin x Trên   0; 2    , hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

Cực trị của hàm số

2.2 Xác định cực đại, cực tiểu dựa vào f’(x) Dạng thức 1 Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án

Ví dụ 1 Cho hàm số y  f x   có đạo hàm f x      16  x 2   x  7  Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Ví dụ 2 Cho hàm số y  f x   liên tục trên và có đồ thị hàm số y  f x    như hình vẽ Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm

Ví dụ 3 Cho hàm số y  f x   xác định trên và có bảng xét dấu f x    như sau:

Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số có 2 điểm cực trị B Hàm số đạt cực tiểu tại x  0.

C Hàm số có giá trị cực đại bằng f   4 D x   2 là một điểm cực trị của hàm số đã cho x f'(x)

Dạng thức 2 Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) thí sinh chọn đúng hoặc sai

Ví dụ 4 Cho hàm số y  f x   liên tục trên và có biểu thức đạo hàm

  3  2028  2023   2 2  3  2 4  f x   x x  x  x  x  a) Hàm số đã cho có 2 cực tiểu b) Hàm số đã cho có 2 cực đại c) Hàm số đã cho đạt cực đại tại x  0. d) f    2 là một giá trị cực tiểu của hàm số đã cho

Ví dụ 5 Cho hàm số y  f x   liên tục trên và có biểu thức f x      x  1   2 x  1   3 x  2  x  5  4 a) Hàm số đã cho có 3 cực trị b) Hàm số đã cho có 1 cực tiểu c) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  1. d) Hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng f    1

Cực trị của hàm số

Hàm số y = f(x) có 2 cực đại; nghịch biến trên khoảng (0; 2); đạt cực đại tại x = -2 Hai giá trị cực đại của hàm số là f(5) và f(0).

Ví dụ 7 Cho hàm số y  f x   liên tục trên và có đồ thị của hàm số trên như hình vẽ a) Hàm số f x   có 1 điểm cực đại. b) Hàm số f x   có 1 điểm cực tiểu. c) x  0 là cực tiểu của hàm số đã cho. d) Hàm số f x   có x   2 là điểm cực đại x f'(x)

Dạng thức 3 Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (ứng dụng thực tiễn)

Cho hàm số y  f x   xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau

Hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng

Cho hàm số y  f x   liên tục trên và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ sau

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Cực trị của hàm số

Cho hàm số y  f x   liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm

BON 6 Cho hàm số y  f x   liên tục trên và có đồ thị hàm số y  f x    như hình vẽ bên Hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực trị?

BON 7 Cho hàm số y  f x   có f x     x x  2  1  x 3  1  Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

BON 8 Cho hàm số y  f x   có f x      x  2   10 x  3  2024  x 4  2  Số điểm cực đại của hàm số là

Cực trị của hàm số

Dạng thức 2 Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) thí sinh chọn đúng hoặc sai

BON 9 Cho hàm số y  f x   xác định trên \ 1 ,    liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: a) Hàm số đạt cực tiểu tại x   1. b) Hàm số đạt cực đại tại x  0. c) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1 d) Hàm số đạt cực tiểu tại x  1.

Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên

a) Hàm số đã cho có 2 điểm cực đại b) Hàm số đã cho có điểm cực tiểu x  1. c) Giá trị cực đại của hàm số bằng 2 d) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng   1; 2 x y’

Cho hàm số y  f x   liên tục trên và có bảng xét dấu của f x    như sau

a) Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị b) x   2 là cực đại của hàm số đã cho c) f   1 là giá trị cực tiểu của hàm số đã cho d) f     0  f 3

Cho hàm số y  f x   liên tục trên và có đồ thị hàm số y  f x

như hình vẽ a) Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị b) Hàm số f x   có đúng 1 điểm cực đại c) x  0 là điểm cực tiểu của hàm số f x   d) f x   nghịch biến trên khoảng    ; 1  x f'(x)

Cực trị của hàm số

BON 13 Cho hàm số y  f x   có đạo hàm f x     x x  2  3 x  2  x 2  1  a) Hàm số có 4 điểm cực trị b) x  1 là cực trị của hàm số đã cho c) Hàm số f x   có 2 điểm cực tiểu d) Tổng các giá trị cực đại của hàm số là f     0  f 2

Cho hàm số y x  3  3 x 2  9 x  8

a) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   3;1  b) Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị c) Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là x  1. d) Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 35

Cho hàm số y    x 3 3 x  4

a) Hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu b) Hàm số đã cho giảm trên khoảng   1;1  c) Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 1  d) Điểm cực đại của hàm số là x   1.

Dạng thức 3 Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (ứng dụng thực tiễn).

Một cửa hàng có thu nhập mỗi ngày được ước tính theo công thức l x     x 8  x  triệu đồng với x

là thứ x trong tuần Cửa hàng trên có thu nhập nhiều nhất vào ngày thứ mấy trong tuần?

Cực trị của hàm số

BON 17 Anh B muốn xây một bể bởi có dạng hình chữ nhật trong sân vườn nhà mình Biết dự tính của anh là bể phải luôn có đường chéo bằng 10m và diện tích mặt bể phải lớn nhất có thể Chiều rộng của bể bằng bao nhiêu?

BON 18 Một người lái ô tô với quãng đường đi được tuân theo quy luật s t     t 3 3 t 2   9 t 10 với t (giây) là thời gian đi được Vận tốc nhỏ nhất mà ôtô đạt được trong 4 giây đầu bằng bao nhiêu?

BON 19 Giáo viên Toán yêu cầu bạn Bin cắt tờ giấy là một tam giác vuông để tổng hai cạnh góc vuông luôn bằng 8 nhưng diện tích của nó phải lớn nhất Theo em, bạn Bin nên cắt tam giác với cạnh huyền bằng bao nhiêu?

BON 20 Tại một vùng X có người sinh sống Biết mỗi tháng trong năm 2023 của vùng X số lượng người tăng thêm hoặc rời đi của vùng tuân theo quy luật logistics được mô hình hóa bởi hàm số k x    2 6 x   x  Tháng nào trong năm 2023, người sinh sống trong vùng X tăng thêm nhiều nhất?

Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số

Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D

Cho hàm số f x   xác định trên tập D

• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f x   trên tập D nếu f x    M với mọi x D  và tồn tại x 0  D sao cho f x   0  M Kí hiệu M  max x D  f x   hoặc M  max D f x  

• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f x   trên tập D nếu f x    m với mọi x D  và tồn tại x 0  D sao cho f x   0  m Kí hiệu M  min x D  f x   hoặc M  min D f x  

[Ví dụ 1] Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f x    4  x 2

Lời giải

Trong trường hợp ta có sẵn đồ thị hàm số y  f x

 Nếu xét trên   a b ;   thì ta thấy trong tất cả các giá trị f x   khi x    a b ;  thì f    là tung độ y cao nhất trên Oy ứng với x    a b ; 

 Tương tự nếu xét trên   a b ;   thì f    là tung độ thấp nhất trên Oy ứng với x    a b ; 

O x y f(a) f( α ) a b α y = f(x) giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [a; b]

Ví dụ 1 Cho hàm số y  f x   liên tục trên đoạn    2;6   có đồ thị như hình vẽ bên Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f x   trên đoạn    2;6   Giá trị của 2 M  3 m là bao nhiêu?

Ví dụ 2 Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên

Giả sử kí hiệu M max  1;5  f x   ; m min  1;5  f x  

Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 2] Giải ví dụ 1 bằng cách lập bảng biến thiên

Các bước tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm

Tìm GTLN- GTNN trên đoạn   a b ;   Tìm GTLN – GTNN trên khoảng   a b ;

Xét hàm số y  f x   liên tục trên đoạn   a b ;   và có đạo hàm trên khoảng   a b , , có thể trừ một số hữu hạn điểm

Nếu f x     0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng   a b ; thì ta có quy tắc sau

Quy tắc tìm GLTN, GTNN trên đoạn

Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các

Trong trường hợp đề yêu cầu tìm GTLN, GTNN trên một khoảng   a b ; thì ta thực hiện vẽ bảng biến thiên của hàm số, rồi từ đó so sánh và xác định GTLN và GTNN.

Quy tắc tìm GLTN, GTNN trên khoảng

Vẽ bảng biến thiên trên   a b ;

Điền các điểm x x 1 ; 2 ; ; x n trên khoảng   a b ; vào bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm, và vẽ bảng biến thiên.

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó

REMARK 2 Nếu hàm số y  f x   xác định trên   a b ;   và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên   a b ; thì hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các điểm mút của đoạn   a b ;  

Cụ thể

Hàm số không có GTLN, GTNN trên   5; 5

Ví dụ 7 (đề tham khảo năm 2017)

Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2

Ví dụ 8 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  4   x 3 trên tập xác định của nó là

Dạng thức 2 Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) thí sinh chọn đúng hoặc sai

Ví dụ 9 Cho hàm số y    x 2 2 x  3. a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên    1;3   bằng 2 b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 0 c) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 2 d) Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x   1.

Ví dụ 10 Cho hàm số   3

 trên   0; 2   a) Giá trị lớn nhất của f x   bằng 0,6 b) Giá trị nhỏ nhất của f x   bằng 5

9 c) Giá trị lớn nhất của f x   đạt được tại x  2

Biết tốc độ cano di chuyển trên biển là 12km/h và tốc độ đi xe trên đất

Quãng đường AB dài 20km, quãng đường CA dài 6km Người đi xe máy xuất phát từ C, đi đến A rồi quay lại B Quãng đường CA bằng 1/3 quãng đường AB Để đến được B trong thời gian ngắn nhất, người đi xe máy phải đi theo quãng đường ngắn nhất Quãng đường ngắn nhất chính là quãng đường CA cộng với quãng đường AB Tổng quãng đường người đi xe máy phải đi là: 6km + 20km = 26km Vận tốc trung bình của người đi xe máy là: 40km/h Thời gian đi hết quãng đường 26km là: 26km / 40km/h = 0,65 giờ = 39 phút.

Ví dụ 16 Tại một nông trường thu hoạch khoai mì Người ta ước tính sản lượng khoai mì thu hoạch được theo công thức k t     t 3 3 t 2  7 với 1   t 3 là sản lượng thu hoạch được của một nhóm công nhân trong từng giờ lao động (tính theo đơn vị tạ) Nhóm công nhân đó thu hoạch được sản lượng lớn nhất trong 1 giờ là bao nhiêu tạ khoai mì?

Ví dụ 17 Cho một tấm bìa hình chữ nhật chiều dài AB  80 cm chiều rộng BC  60 cm Người ta cắt 6 hình vuông bằng nhau như hình vẽ, mỗi hình vuông cạnh bằng x cm , rồi gập tấm bìa lại như hình vẽ dưới đây để được một hộp quà có nắp

Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất

Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số

Dạng thức 1 Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án

BON 1 Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số y  f x   trên là

BON 2 Cho hàm số y  f x   liên tục trên    2;1   và có đồ thị như hình vẽ bên Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f x   trên đoạn    2;1   Khi đó giá trị 3 M  2 m bằng

BON 3 Cho hàm số f x    x 3  3 x 2  9 x  19 Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn    2; 2   bằng

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x   x 2 2

BON 5 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x      x 2 4  x 2 Tính M m 

Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số

BON 6 Trên đoạn    1; 2 ,   hàm số y    x 3 3 x đạt giá trị lớn nhất tại điểm

BON 7 Cho hàm số y  f x   liên tục trên và có đồ thị hàm số y  f x    như hình vẽ Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn    2;1   bằng

Dạng thức 2 Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số y  f x   liên tục trên và có bảng biến thiên như sau

a) Hàm số đã cho có 2 điểm cực đại b) Giá trị lớn nhất của f x   trên đoạn    1; 3   bằng 3,5 c) Giá trị nhỏ nhất trên của f x   bằng 1  d) Trên đoạn 1;2    

BON 9 Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên dưới Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f x   trên đoạn    2; 3   a) M  2. b) m   2. c) Giá trị nhỏ nhất đạt được tại x  1. d) M  2 m  8. x y’

Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số

BON 10 Xét hàm số y    x 3 18 x trên đoạn    3; 2   a) Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 27  b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 29 c) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x   6. d) Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bằng 0

BON 11 Trên khoảng   1; 3 ,  cho hàm số y x  3  3 x 2 a) Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị b) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 0 c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại x  2. d) Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 4

Cho hàm số 2

 trên đoạn   0; 5   a) Hàm số đã cho đồng biến trên   0; 5 b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại x  0. c) Giá trị lớn nhất của hàm số không lớn hơn 1 d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là một số nguyên âm.

Xét hàm số

 trên đoạn   1; 4   Gọi M m , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (nếu có) a) M  2. b) m  11. c) M  2 m  7. d) Có 1 số nguyên thuộc khoảng  m M ; 

Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số

BON 14 Trên đoạn    2; 2 ,   xét hàm số y x  3  3 x a) Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x  1. b) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  0. c) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho không phải số nguyên d) Tổng bình phương của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho lớn hơn 8

BON 15 Cho hàm số y  f x   liên tục trên có đạo hàm f x      x x  1   2 x  2  x  3 ,    x a) Hàm số đã cho có 4 điểm cực trị b) Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x  2. c) f   1 là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho d) Giá trị lớn nhất của hàm số là f   0

Dạng thức 3 Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương A được mô hình hóa bằng hàm số

N t    t t   t trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng chục người) và t là thời gian (ngày)

Số người bị lây nhiễm nhiều nhất trong một ngày ở địa phương A là bao nhiêu người?

BON 17 Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích cần sử dụng là 72 cm 2 Thể tích lớn nhất có thể của chiếc hộp bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn hai chữ số thập phân)

Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số

BON 18 Một nhà máy sản xuất những chiếc lon dạng hình trụ với dung tích 500ml Mặt trên và mặt dưới của lon được làm bằng vật liệu có giá 1,5 nghìn đồng/ cm 2 , mặt bên của lon được làm bằng vật liệu có giá 1 nghìn đồng/ cm 2 Chi phí thấp nhất để sản xuất ra 100 chiếc lon là bao nhiêu nghìn đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

BON 19 Trong một trận đấu cầu lông giữa hai vận động viên A và B Vận động viên B đã đánh cầu bay lên với quỹ đạo được tính toán và mô hình hóa bởi hàm số h t     8 t 2   8 t 2 với t là thời gian tính bằng giây Tính độ cao cao nhất của chiếc cầu trong pha cầu này?

Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài 18 cm và chiều rộng 9 cm Thực hiện thao tác gấp góc dưới

bên phải sao cho đỉnh được gấp nằm trên cạnh chiều dài còn lại (như hình vẽ)

Hỏi chiều dài L tối thiểu của nếp gấp là bao nhiêu?

Tiệm cận của đồ thị hàm số 1 Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Định nghĩa

Cho hàm số y  f x   xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng  a ;     , ; b  hoặc    ;  ) Đường thẳng y  y 0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f x   nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim   0 ; lim   0 x f x y x f x y

REMARK 1 Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang nếu tập xác định của nó không chứa khoảng vô hạn (  hoặc  )

[Ví dụ] Hàm số g x    5   x x  3 có tập xác định là D     3;5  không chứa khoảng vô hạn nên đồ thị hàm số g x   không có đường tiệm cận ngang

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số f x   (dạng phân thức hữu tỉ)

Khi bậc của tử thức bằng bậc của mẫu thức thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang tại giá trị được xác định bởi hệ số bậc cao nhất của tử thức chia cho hệ số bậc cao nhất của mẫu thức.

 Khi (bậc của tử thức) < (bậc của mẫu thức) thì đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y  0.

 Khi (bậc của tử thức) > (bậc của mẫu thức) thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Ví dụ]

  có tiệm cận ngang y  0 (do bậc tử < bậc mẫu).

Lí giải

Suy ra y  0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số  

  có tiệm cận ngang y  2 (do bậc tử = bậc mẫu)

Suy ra y  2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

c) Đồ thị hàm số

   không có tiệm cận ngang

(do bậc tử > bậc mẫu)

Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

tiệm cận ngang

Tiệm cận của đồ thị hàm số 2 Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Về cách làm nhanh tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f x   (phân thức hữu tỉ)

 Nếu x  x 0 là nghiệm của mẫu thức mà không là nghiệm của tử thức thì x  x 0 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f x  

 Nếu x  x 0 là nghiệm bội n của mẫu thức và cũng là nghiệm bội m của tử thức:

TH1: n  m thì x  x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f x  

TH2: n m  thì x  x 0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f x  

[Ví dụ] a) Đồ thị hàm số 2 1

  có x  2 là tiệm cận đứng ( x  2 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử) b)

  ( x  2 là nghiệm bội hai của mẫu và là nghiệm đơn của tử)

  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số c) Đồ thị hàm số      3 

   có x  2 không là tiệm cận đứng

   ta có x  2 là nghiệm bội ba của tử thức và là nghiệm bội hai của mẫu thức

 3 2     x 2 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số f x  

  x 2 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số f x  

   Ta có x  2 là nghiệm kép của tử thức và cũng là nghiệm kép của mẫu thức 2

  x không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số f x  

   x 2 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x  

Muốn tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ta thực hiện các bước

 Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

 Bước 2: Tìm những điểm mà hàm số không xác định nhưng có lân cận trái hoặc lân cận phải của điểm đó nằm trong tập xác định

 Bước 3: Tính các giới hạn một bên của hàm số tại các điểm ở bước 2 và kết luận theo định nghĩa nêu trên

Tiệm cận của đồ thị hàm số

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

        Định nghĩa Đường thẳng y ax b a     0  được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số

[Ví dụ] Xét hàm số 2 2 x y x

  y x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Muốn tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ta thực hiện các bước

 Bước 2: Tìm b  x lim    f x    ax   hoặc b  x lim    f x    ax  

 Bước 3: Kết luận: y  ax b  là một tiệm cận xiên của y  f x  

Đồ thị hàm số y ax 2 bx c  ad 0

 có một đường tiệm xiên là a bd ae 2 y x d d

Tiệm cận của đồ thị hàm số

Dạng thức 1 Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án

Ví dụ 1 Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên:

Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f x  

Ví dụ 2 Cho hàm số y  f x   xác định, liên tục trên \ 1   và có bảng biến thiên như sau:

Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho?

Ví dụ 3 Cho hàm số y  f x   xác định trên \ 0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên   như sau:

Hỏi đồ thị hàm số trên có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và ngang?

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số y = f(x) có 3 tiệm cận đứng tại x = 0, x = 2, x = 4 Tiệm cận ngang tại y = 3 Vậy để đồ thị hàm số y = f(x) có 3 đường tiệm cận đứng và ngang thì hàm số phải có 3 tiệm cận đứng trùng với 3 đường thẳng x = 0, x = 2, x = 4 và 1 tiệm cận ngang trùng với đường thẳng y = 3 Trong bảng biến thiên, chỉ có 1 tiệm cận ngang trùng với đường thẳng y = 3 nên giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng và ngang là m = 3.

Tiệm cận của đồ thị hàm số

Ví dụ 5 Đồ thị hàm số

  có đường tiệm cận xiên là đường thẳng nào sau đây?

Dạng thức 2 Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) thí sinh chọn đúng hoặc sai

Ví dụ 6 a) Đồ thị hàm số 1

 có đường tiệm cận đứng x   3. b) Đồ thị hàm số

 có đường tiệm cận ngang y  1. c) Đồ thị hàm số

 có đường tiệm cận xiên y  3 x  3. d) Đồ thị hàm số 5 1

 có đúng hai đường tiệm cận

Ví dụ 7 a) Đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 7

2 4 y  x  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

  có ba đường tiệm cận d) Giả sử 2 1

 có hai đường tiệm cận x a  và y  b Giá trị của a b  bằng 6

Tiệm cận của đồ thị hàm số

Ví dụ 8 Cho hàm số   f x   y  g x là hàm phân thức hữu tỉ với bậc của f x   không lớn hơn bậc của g x   và có bảng biến thiên như hình vẽ sau: a) Đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 tiệm cận xiên b) Đồ thị hàm số đã cho có đúng 2 tiệm cận đứng c) Đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận d) y  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ví dụ 9 a) Đồ thị hàm số

 có tiệm cận xiên là đường thẳng y  2 x  3. b) Đồ thị hàm số 2 1

 có hai đường tiệm cận c) Hai đồ thị hàm số

  có cùng đường tiệm cận xiên d) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số   3 8

 và đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

  cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 4

Tiệm cận của đồ thị hàm số

Dạng thức 3 Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Ví dụ 10 Một công ty sản xuất giấy ước tính chi phí sản xuất x (cuộn giấy) là C x    1000 x  500 (đồng) Khi đó   C x   f x  x là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi cuộn giấy Giả sử công ty đó sản xuất vô hạn cuộn giấy trên thì chi phí sản xuất mỗi cuộn giấy là bao nhiêu nghìn?

Ví dụ 11: Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kg sản phẩm thì chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) cho một sản phẩm được cho bởi công thức \(C(x) = \frac{80000}{x} + 25\).

  Xét trong một thời gian dài, xưởng sản xuất đã sản xuất được một khối lượng sản phẩm “khổng lồ” Vậy cho đến nay, chi phí cho mỗi sản phẩm là bao nhiêu nghìn đồng?

Ví dụ 12 Anh A có 1 chiếc xe máy và anh luôn dùng nó để di chuyển đi làm, đi chơi,… mỗi ngày Biết rằng tổng quãng đường xe đi được, được tính theo công thức   4 2 5 2 ,

  trong đó x  1 và là số ngày anh

A đã đi xe Sau một thời gian dài, ta thấy tổng quãng đường anh A đã đi xe được biểu diễn bởi đồ thị hàm số

Q x tiệm cận với đường thẳng y ax b   Giá trị của a b  bằng bao nhiêu?

Tiệm cận của đồ thị hàm số

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Dạng thức 1 Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 1

 là đường thẳng có phương trình

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 8 3

 là đường thẳng có phương trình

Đồ thị hàm số

  có phương trình đường tiệm cận xiên là

Cho hàm số ax b

 có bảng biến thiên như hình vẽ Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là

Đồ thị hàm số

 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng, ngang và xiên?

Tiệm cận của đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số

 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng, ngang và xiên?

Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng x a  và tiệm cận ngang y  b Giá trị của a  3 b bằng

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

Đồ thị hàm số

  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng, ngang và xiên?

Tiệm cận của đồ thị hàm số

Dạng thức 2 Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Xét hàm số 2 3

 có đồ thị   C a)   C có 1 tiệm cận đứng x   3. b)   C không có tiệm cận xiên c) y  2 là tiệm cận ngang của   C d) Khoảng cách từ O   0;0 đến tiệm cận đứng của   C bằng 5

Xét đồ thị hàm số 5 2

a) Đồ thị hàm số đã cho có đúng 3 đường tiệm cận

Xét đồ thị hàm số

   a) Đồ thị hàm số đã cho có 3 tiệm cận đứng b) Đồ thị hàm số đã cho có duy nhất tiệm cận ngang y   1. c) Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận xiên d) Đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Xét hàm số ax b

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = -1 và tiệm cận đứng x = -4 Tiệm cận xiên của đồ thị là y = 4x - 1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường tiệm cận và hai trục tọa độ bằng 4.

Tiệm cận của đồ thị hàm số

Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận: tiệm cận ngang y = 0 và tiệm cận xiên y = x Điểm giao nhau của hai tiệm cận có tung độ là 1.

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số đã cho có tổng cộng 4 tiệm cận gồm 2 tiệm cận ngang và 2 tiệm cận đứng Trong đó, không có tiệm cận xiên Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất bằng 2, với M, N lần lượt nằm trên 2 tiệm cận đứng của đồ thị.

Tiệm cận của đồ thị hàm số

Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên dưới

a) x   1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số b) I  3; 1   là tâm đối xứng của đồ thị hàm số c) y x  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số d) Tổng khoảng cách từ điểm A   4;2 đến hai đường tiệm cận bằng 4

Dạng thức 3 Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

BON 17 Một công ty sản xuất vải ước tính chi phí sản xuất x (tấm vải) là C x    6 x  5 (nghìn đồng) Khi đó   C x   f x  x là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi tấm vải Giả sử công ty đó sản xuất vô hạn tấm vải trên thì chi phí sản xuất mỗi tấm vải là bao nhiêu nghìn?

Tiệm cận của đồ thị hàm số

Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x chiếc cầu lông thì chi phí trung bình (tính bằng

nghìn đồng) cho một chiếc cầu lông được cho bởi công thức C x   3 x 200 x

  Xét trong một thời gian dài, xưởng sản xuất đã sản xuất được “vô hạn” chiếc cầu lông Vậy cho đến nay, chi phí sản xuất mỗi chiếc cầu lông là bao nhiêu nghìn đồng?

Trong một khu vườn được trồng rất nhiều cây có rất nhiều lá Tổng số lượng lá cây rụng xuống sau

x ngày được biểu diễn bởi đồ thị hàm số R x   900 x 2 3 , x 1

   x  Sau thời gian dài, quan sát đồ thị R x   , thấy đường đi của nó tiệm cận với đường thẳng y ax b   Giá trị của a b  bằng bao nhiêu?

Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm số

Các bước để khảo sát hàm số y  f x  

 Bước 1: Tìm tập xác định

 Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

 Tìm đạo hàm của hàm số f x   

 Tìm nghiệm của phương trình f x     0 và tìm các điểm tại đó f x    không xác định (tất cả các điểm này đều phải thuộc tập xác định ở bước 1)

 Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)

 Lập bảng biến thiên của hàm số

 Bước 3: Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Cấu trúc của bảng biến thiên

Bước 1: Điền miền xác định của hàm số

Bước 2: Điền các điểm vừa tìm ở bước 2 (nghiệm của phương trình f x     0 và các điểm tại đó f x    không xác định) (điền theo thứ tự trục số từ bé đến lớn)

  f x Sự biến thiên của hàm số, mô phỏng đồ thị hàm số dựa vào bảng xét dấu dòng trên

REMARK 2 Trong bước 2: Tìm nghiệm của phương trình f x     0 và tìm các điểm tại đó f x    không xác định, các điểm này đều phải thỏa mãn điều kiện thuộc tập xác định của hàm số

REMARK 3 Dòng f x   mô phỏng dáng điệu đồ thị hàm số dưới dạng bảng Dựa vào dòng f x   ta có thể giải quyết bài toán tương giao ngay trên bảng biến thiên mà không cần vẽ đồ thị hàm số

1 Tại dòng f x   tại các điểm cụ thể tương ứng với dòng x thì ta điền các giá trị của hàm số tại điểm đó

2 Nếu tại điểm x 0 xuất hiện trên dòng x mà hàm số không xác định thì, trong trường hợp:

 Hàm số vẫn xác định tại lân cận phải hoặc lân cận trái thì ta tìm  

 Ở vị trí tiến ra vô cực   ; thì ta điền tương ứng x lim  f x   hoặc x lim  f x  

2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba

Xét hàm số bậc ba y ax  3  bx 2   cx d a ,   0 

0 3 2 2 0 * y    ax  bx c   (đây là phương trình bậc hai nên nghiệm sẽ phụ thuộc vào biệt số   )

a) Trường hợp   0

Đồ thị hàm số

Vì    0 nên phương trình y  0 vô nghiệm

Dẫn đến y  không đổi dấu trên

• y   0;   x (do a  0;    0 ) suy ra hàm số đồng biến trên    ; 

• Hàm số không có cực trị

• Giới hạn tại vô cực lim ; lim x y x y

Vì    0 nên phương trình y  0 vô nghiệm

Dẫn đến y  không đổi dấu trên

• y   0;   x (do a  0;    0 ) suy ra hàm số nghịch biến trên    ; 

• Hàm số không có cực trị

• Giới hạn tại vô cực lim ; lim x y x y

95 c) Xét tương tự với trường hợp    0 ta sẽ có đồ thị

Phương trình y   0 có nghiệm kép (hàm số không có cực trị)

REMARK 1 Đồ thị hàm số y ax  3  bx 2   cx d a ,   0  (có đạo hàm y   3 ax 2  2 bx c  ) hoặc là có hai điểm cực trị, hoặc là không có điểm cực trị nào

 Đồ thị hàm số có điểm cực trị    y   b 2  3 ac  0

 Đồ thị hàm số không có điểm cực trị  b 2  3 ac  0.

Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Như vậy, nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì hai điểm đó đối xứng nhau qua điểm uốn.

Điểm I x y  0 , 0  được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y  f x   nếu tồn tại khoảng

  a b ; chứa x 0 sao cho: trên một trong hai khoảng  a x ; 0  và  x b 0 ;  , tiếp tuyến của đồ thị tại I nằm phía trên đồ thị, còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

 Ta nói tiếp tuyến xuyên qua đồ thị hàm số

Nếu hàm số y  f x   có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa

0 f x f x đổi dấu qua x thỡ I x f x  0 ;   0  là một điểm cuốn của đồ thị hàm số y  f x  

Suy ra: Hàm số bậc ba y ax  3  bx 2   cx d a   0  luôn có một điểm uốn và điểm đó là tâm đối xứng của đồ thị

hàm số

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ y ax b , c 0;ad bc 0

Trường hợp ad bc   0 Trường hợp ad bc   0

Tập xác định \ d

• Hàm số đồng biến trên các khoảng ; d c

• Hàm số không có cực trị

• Tiệm cận: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x d

  c và tiệm cận ngang là đường thẳng a y  c

• Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; d c

• Hàm số không có cực trị

• Tiệm cận: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x d

  c và tiệm cận ngang là đường thẳng a y  c

Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Hàm số có

 luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định, hay nói cách khác là đồng biến hoặc nghịch biến trên các khoảng ; d c

Hàm số ax b

REMARK 2 Hàm số ax b y cx d

Đồ thị hàm số ax b

 có đường tiệm cận đứng là đường thẳng d x   c và tiệm cận ngang a y  c

Đồ thị hàm số ax b

  của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

Ví dụ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) 2 1

4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm phân thức y  ax 2 px q  bx c   , a 0;p 0    

đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

Sự biến thiên của hàm số

a) Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận Ta viết hàm số đã cho dưới dạng 1

    nên đường thẳng x   1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho (khi

        nên đường thẳng y   x 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x   và khi x   ) b) Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng    ; 2  và  0;   , nghịch biến trên mỗi khoảng    2; 1  và   1;0  Hàm số đạt cực đại tại điểm x   2 với giá trị cực đại y      2 2 và đạt cực tiểu tại điểm x  0 với giá trị cực tiểu

Đồ thị

Đồ thị cắt trục tung tại điểm   0; 2

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I   1;0  của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

[Ví dụ 2] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Lời giải 1 Tập xác định D  \ 2   x – ∞

Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Sự biến thiên của hàm số a) Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận

Do đó, đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho (khi x  2  và x  2  )

 với mọi x  2 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 2  và  2;  

Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm 3

Vậy đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm   1;0  và   3;0

Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm I   2; 2 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

REMARK

Đồ thị của hàm số phân thức

 đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu):

 Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng

 Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng

Ví dụ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a)

Dạng thức 1 Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án

Ví dụ 1 (đề thi TN THPT năm 2021 đợt 1 – mã đề 103) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

Ví dụ 2 (đề thi TN THPT năm 2023 – mã đề 103)

Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?

Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 3 (đề tham khảo năm 2019) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Ví dụ 4 (đề thi THPT QG năm 2017 – mã đề 105) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số ax b y cx d

 với a b c d , , , là các số thực

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Ví dụ 5 Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

Ví dụ 6 Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Dạng thức 2 Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) thí sinh chọn đúng hoặc sai

Ví dụ 7 Cho các hàm số

  có đồ thị là các đường cong sau:

Hình 1 Hình 2 Hình 3 a) Hình 1 là đồ thị của hàm số y x  3  3 x  1. b) Hình 3 là đồ thị của hàm số

  c) Hình 2 là đồ thị của hàm số 1

d) Cả ba đồ thị hàm số đều có tiệm cận đứng

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng là đường cong trong hình bên?

Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng là đường cong trong hình bên?

Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?

Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng là đường cong trong hình bên dưới?

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng là đường cong trong hình bên?

Dạng thức 2 Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) thí sinh chọn đúng hoặc sai

BON 7 Cho các hàm số f x    x 3  3 , x   2 1 ,   2 4 1

Đồ thị (C1) biểu diễn hàm số y = gx(x), đồ thị (C2) biểu diễn hàm số y = fx(x), đồ thị (C3) biểu diễn hàm số y = hx(x) Thứ tự các đồ thị (C1), (C2), (C3) tương ứng với thứ tự các hàm số y = fx(x), y = hx(x), y = gx(x).

Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Cho các hàm số   1 ,   2 1

  , h x      x 3 3 x 2  1 và các đồ thị của ba hàm số được cho trong hình vẽ sau: a) y  f x   có đồ thị   C 1 b) y g x    có đồ thị   C 3 c) Đồ thị   C 2 là của hàm số y h x    d) Đồ thị       C 1 , C 3 , C 2 theo thứ tự là đồ thị của các hàm số y  f x y h x y g x   ;    ;   

Dạng thức 3 Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Một người điều khiển ô tô với chi phí tiền xăng cần sử dụng phụ thuộc vào tốc độ trung bình xe di

chuyển và được cho bởi hàm số: C v   12000 3 v

 v  ( 0   v 150) (đồng) Khảo sát hàm C v   , giá trị cực tiểu của

Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

BON 10 Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được x mét vải lụa ( 1   x 20 ) Tổng chi phí sản xuất x mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng được cho bởi hàm chi phí: C x    x 3  6 x 2  60 x  600 Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 240 nghìn đồng/mét Gọi L x   biểu diễn cho lợi nhuận thu được Khảo sát hàm L x   , giá trị cực đại của L x   bằng bao nhiêu?

BON 11 Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình chữ nhật có nắp với thể tích V  240 cm 3 Biết đáy của hình hộp chữ nhật được yêu cầu phải là hình vuông Gọi S x   là hàm biểu diễn diện tích vật liệu cần dùng

Khảo sát hàm S x   , hàm số đạt cực tiểu tại x bằng bao nhiêu?

Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Trong 30 phút theo dõi, lưu lượng nước của một con sông được tính theo công thức

Q t   6 t  t  trong đó Q tính theo m 3 /phút, t tính theo phút, 0   t 30 Khảo sát hàm số Q t   , hàm số đạt cực đại tại t bằng bao nhiêu?

Một nhóm người cùng nhau tham gia chuyến leo núi cuối tuần Quãng đường họ đi được trong t

thời gian được tính bởi hàm số   2 3

  0   t 4  Khảo sát hàm số Q t   , hàm số luôn tăng và có giá trị lớn nhất tại t bằng bao nhiêu?