phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua nội dung bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10

Theo [5], các thành tố của năng lực MHH trong dạy học Toán gồm: thứ nhất là đơn giản giả thiết toán học, loại bỏ các yếu tố phi toán học, xử lý điều kiện của bài toán; thứ hai là làm rõ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

BÙI THỊ PHƯƠNG CHI

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA NỘI DUNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN

TOÁN HỌC Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Vũ Đỗ Long

HÀ NỘI – 2023

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Vũ Đỗ Long vì đã luôn tận tình giúp đỡ, hỗ trợ tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành bài luận văn này

Tiếp theo tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các quý thầy cô của trường Đại học Giáo Dục, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên đã tham gia giảng dạy lớp cao học khoá 2020-2022 để tôi có hướng đi tốt nhất cho luận văn này

Tôi cũng xin dành lời cảm ơn đến các anh chị, các bạn học viên trong lớp cao học khoá 2020-2022 vì đã đồng hành, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn này

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu và các thầy cô trong trường THPT Dương Xá cùng toàn thể học sinh lớp 10A04, 10D5 đã đồng hành cùng tôi hoàn thiện luận văn này

Dù đã cố gắng, xong luận văn cũng không tránh khỏi những thiếu sót, vậy nên rất mong nhận được sự góp ý từ các thầy cô

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 02 tháng 3 năm 2023

Tác giả

Bùi Thị Phương Chi

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

5 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 5

5.1 Khách thể nghiên cứu 5

5.2 Đối tượng nghiên cứu 5

6 Phạm vi nghiên cứu 5

7 Giả thuyết nghiên cứu 6

8 Phương pháp nghiên cứu 6

8.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận 6

8.2 Điều tra quan sát thực tiễn 6

8.3 Phương pháp thực nghiệm 6

9 Cấu trúc luận văn 6

CHƯƠNG 1 8

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 8

1.1 Mô hình hoá toán học 8

1.1.1 Một số khái niệm 8

1.1.2 Quy trình mô hình hoá toán học 12

1.2 Dạy học phát triển năng lực mô hình hoá toán học 16

1.2.1 Năng lực 16

1.2.2 Năng lực mô hình hoá toán học 17

1.2.3 Một số kỹ năng của năng lực mô hình hoá toán học 19

1.2.4 Vai trò của mô hình hoá toán học trong việc phát triển năng lực học sinh 20

1.3 Thực trạng áp dụng mô hình hoá toán học trong dạy học bất phương trình và hệ bất phương bậc nhất hai ẩn trong chương trình toán 10 22

1.3.1 Nghiên cứu chương trình BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn trong toán lớp 10 22

1.3.2 Khảo sát thực trạng vấn đề dạy và học theo định hướng mô hình hoá toán học trong nội dung BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn 23

Kết luận Chương 1 30

CHƯƠNG 2 32

MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HOÁ TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG BẬC NHẤT HAI ẨN TOÁN 10 32

2.1 Biện pháp 1 Thiết kế một số hoạt động trong dạy học mô hình hoá trong chủ đề BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn 32

2.1.1 Nguyên tắc thiết kế hoạt động mô hình hoá toán học 32

2.1.2 Thiết kế một số hoạt mô hình hoá trong BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn ………33

2.1.3 Một số bài toán 42

2.2 Biện pháp 2 Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi các vấn đề trong tình huống thực tiễn dưới dạng ngôn ngữ toán học 46

Kết luận chương 2 72

CHƯƠNG 3 73

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 73

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 73

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 73

3.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm 73

3.4 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 74

3.4.1 Đối tượng của thực nghiệm sư phạm 74

3.4.2 Tiến trình của thực nghiệm sư phạm 74

3.5 Phân tích và đánh giá kết quả của thực nghiệm sư phạm 74

MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài

Đất nước Việt Nam ta đã và đang trong giai đoạn Công nghiệp hóa - hiện đại hóa với mong muốn là trở thành một đất nước công nghiệp theo hướng hiện đại, hội nhập được với cộng đồng quốc tế Đất nước muốn muốn đạt được mục tiêu đó cần phải có những con người phát triển toàn diện, thông minh sáng tạo, hoạt động có hiệu quả và để có những con người phát triển toàn diện như vậy thì nền giáo dục cần phải đổi mới thật mạnh mẽ và sâu sắc Chúng ta muốn thực hiện đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục đào tạo, đòi hỏi giáo dục phổ thông cần chuyển từ nền giáo dục từ hướng tiếp cận nội dung sang hướng tiếp cận năng lực cho người học Một định hướng quan trọng trong việc đổi mới phương pháp dạy học ở các trường phổ thông là phát huy được tính tích cực, tự giác và sáng tạo, rèn luyện năng lực hợp tác của học sinh

Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, trong dạy học Toán, một trong những năng lực cần hình thành cho học sinh là năng lực MHH toán học [2] Trong MHH toán học, người học sẽ tìm tòi, phát hiện, khám phá tri thức thông

qua môn Toán học hoặc các tình huống thực tế có tính chất liên môn khác Vì vậy,

tích hợp các tình huống thực tế nói chung, các tình huống thực tiễn nghề nghiệp nói riêng vào các tình huống dạy học đóng vai trò quan trọng, với mục đích cho người học thấy khả năng ứng dụng thực tiễn của toán học, sự phù hợp và gắn kết của môn Toán đối với mục tiêu đào tạo Theo [5], các thành tố của năng lực MHH trong dạy học Toán gồm: thứ nhất là đơn giản giả thiết toán học, loại bỏ các yếu tố phi toán học, xử lý điều kiện của bài toán; thứ hai là làm rõ mục tiêu bài toán, hiểu tính thực tế của bài toán; thứ ba là thiết lập vấn đề từ tình huống thực tế; thứ tư là xác định biến, tham số, hằng số liên quan, tìm mối liên hệ giữa các biến số; thứ năm là lựa chọn mô hình toán học; thứ sáu là biểu diễn mô hình bằng biểu đồ,

đồ thị, xử lí số liệu thực tế; thứ bảy là liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn Vậy những yêu cầu cần đạt của năng lực này được thể hiện thông qua những hoạt động như là: Một là: sử dụng các mô hình toán học (bao gồm các: công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, …) để mô tả các tình huống đặt ra trong bài toán thực tế Hai là giải quyết được các vấn đề toán học vừa được thiết lập Ba là thực hiện và đánh giá lời giải trong bối cảnh thực tiễn và cải tiến mô hình nếu như hướng giải quyết không phù hợp Vậy nên, trong quá trình thực hiện MHH toán học học sinh được phát triển năng tự tư duy toán học, lập luận, sáng tạo, giao tiếp, giải quyết vấn đề, …

Hiện nay, ngành Giáo dục đang triển khai chương trình SGK mới, áp dụng cho lớp 10 từ năm học 2022-2023 Trong chương trình SGK toán 10 mới cụ thể của bộ sách kết nối tri thức với cuộc sống, các bài tập thực tiễn không ngừng được đưa vào trong nội dung bài học cùng với những hình ảnh sinh động, kết hợp thêm kiến thức của những môn học khác những vấn đề khác trong cuộc sống giúp học sinh cảm thấy hứng thú và tạo động cơ học tập nhằm phát triển đẩy đủ các phẩm chất, năng lực cho học sinh Cụ thể đối với chuyên đề BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn có mối liên hệ chặt chẽ với các hiện tượng thực tiễn và có ứng dụng trong nhiều trong đời sống Chính vì vậy, trong SGK mới kết nối tri thức với cuộc sống nội dung này không được gộp chung với chương bất đẳng thức, bất phương trình nữa mà được tách riêng thành một chương và học sinh được học và thực hành ngay từ học kì 1 của năm học lớp 10

Xuất phát từ những lý do trên tôi đã chọn tên đề tài “Phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh thông qua nội dung bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10”

2 Lịch sử nghiên cứu

Vấn đề MHH và gắn toán học với thực tiễn rất được coi trọng trong chương trình SGK của nhiều nước trên thế giới Đặc biệt, ở các nước Mỹ, Úc, Đức, Canada và Anh, có rất nhiều tài liệu về dạy học MHH được chính thức phát hành ở tất cả các cấp độ từ tiểu học đến THPT và đại học Trong các tài liệu này đã xây dựng được những ví dụ, những tình huống cụ thể để hỗ trợ giáo viên trong việc triển khai dạy học MHH Tuy nhiên, trong SGK môn Toán của Việt Nam, việc thiết kế các mô hình toán học và các bài toán có nội dung thực tiễn phục vụ cho việc dạy học đến nay chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ Trong SGK và các sách tham khảo hay những tài liệu tham khảo phổ biến về bộ môn Toán họ thường chỉ chú ý tập trung làm rõ những vấn đề, những bài toán trong nội bộ toán học mà chứa ít yếu tố thực tiễn Một số bài tập MHH chỉ mang tính hình thức, không khuyến khích học sinh tìm tòi, khám phá vấn đề theo đầy đủ các bước của quá trình MHH mà chủ yếu tập trung vào bước giải bài toán trong ngữ cảnh toán học Hơn nữa, nhiều bài toán hầu như mới chỉ được xây dựng theo các tình huống giả định mà chưa xuất phát từ những tình huống thực tế sinh động [7]

MHH trong giáo dục môn toán xuất hiện lần đầu tiên tại Hội nghị của Freudenthal vào năm 1968 Tại đây, hội nghị đã đưa ra nhiều vấn đề liên quan đến MHH như là Tại sao phải dạy toán, tại sao hầu hết học sinh không thể sử dụng kiến thức toán đã học để thực hiện giải quyết các vấn đề thực tế mặc dù đạt được kết quả xuất sắc trong môn học này Vậy câu hỏi đặt ra là làm sao để dạy toán mà học sinh có thể áp dụng kiến thức toán vào những tình huống đơn giản trong cuộc sống hằng ngày [8]

Theo TS Nguyễn Danh Nam đã đề cập đến nhiều vấn đề của MHH toán

đến những thuận lợi những khó khăn mà giáo viên và học sinh sẽ gặp phải trong quá trình thực hiện [8], [9]

Tác giả Lê Thị Hoài Châu cũng chỉ ra đầy đủ khái niệm MHH toán học, đưa ra sơ đồ tóm lược các bước của MHH, phân biệt dạy học mô hình hoá và dạy học bằng mô hình hoá [3], [6]

Tác giả Phạm Thị Diệu Thùy và Dương Thị Hà cũng đã có bài viết về phát triển năng lực MHH toán học cho học sinh THCS trong dạy học giải toán bằng cách lập phương trình Trong đó các tác giả chỉ ra quan niệm về MHH, mối quan hệ giữa giải toán bằng cách lập phương trình và MHH toán học, đưa ra những đề xuất các bước MHH trong dạy học giải Toán bằng cách lập phương trình, Vận dụng các bước MHH trong dạy học giải Toán bằng cách lập phương trình nhằm phát triển năng lực MHH toán học cho học sinh bậc THCS [7]

Tác giả Lâm Thuỳ Dương, Trần Việt cường cũng có bài viết ứng dụng MHH trong dạy học toán ở tiểu học, tác giả Đỗ Thị Thanh có bài viết về dạy học giải bài toán xác suất nhằm phát triển năng lực MHH toán học cho sinh viên khối ngành kĩ thuật trường đại học công nghiệp Hà Nội, …

Như vậy ta có thể thấy rằng MHH toán học đã được nghiên cứu rất rộng rãi cả ở trong nước lẫn ngoài nước, từ các bậc tiểu học đến đại học Ngày nay MHH toán học đang ngày càng được chú trọng, không chỉ giáo viên áp dụng MHH toán học vào bài giảng của mình mà học sinh cũng đang tìm tòi, khám phá các bài toán thông qua thực tiễn

3 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí luận về dạy học MHH toán học từ đó đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển năng lực MHH toán học của học sinh thông qua nội dung BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn trong chương trình toán lớp 10 mới

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận về dạy học để phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông

Nghiên cứu khái niệm MHH toán học, quy trình xây dựng MHH cho một bài toán, những phương pháp MHH, …

Nghiên cứu nội dung của chủ đề BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn trong chương trình SGK lớp 10 mới

Nghiên cứu những thuận lợi và khó khăn của thầy và trò việc dạy và học MHH toán học của thầy cô và học sinh trong nội dung BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn

Đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển năng lực MHH cho học sinh thông qua việc dạy học BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn lớp 10

Tổ chức thực nghiệm sư phạm tại trường THPT Dương Xá lớp 10 để đánh giá tính hiệu quả và phù hợp của các biện pháp đã nêu trong đề tài

5 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

5.1 Khách thể nghiên cứu

Hoạt động dạy và học của giáo viên và học sinh trong quá trình dạy học MHH toán học chủ đề BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn với bộ sách toán lớp 10 mới – kết nối tri thức với cuộc sống

5.2 Đối tượng nghiên cứu

Các biện pháp nhằm phát triển năng lực MHH toán học trong quá trình dạy học chủ đề BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn toán lớp 10

6 Phạm vi nghiên cứu

Nội dung: Chủ đề BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn trong chương trình SGK Toán lớp 10 mới

Không gian: Lớp 10 của trường THPT Dương Xá tại Dương Xá, Gia Lâm, Hà Nội

Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 8/2022 đến tháng 1/2023

7 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu xây dựng và áp dụng được các biện pháp vận dụng mô hình hoá để giải bài tập toán gắn với yếu tố thực tiễn trong nội dung BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn thì sẽ góp phần nâng cao năng lực MHH toán học cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng giảng dạy của giáo viên

8 Phương pháp nghiên cứu

8.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Tìm hiểu thông tin, kiến thức từ sách, bài báo giáo dục, internet liên quan đến đề tài luận văn

8.2 Điều tra quan sát thực tiễn

Khảo sát thực trạng quá trình dạy và học chủ đề BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn trong chương trình Toán 10 ở trường THPT từ đó chỉ ra những thuận lợi và

khó khăn khi dạy học MHH toán học

Phỏng vấn, sử dụng phiếu điều tra ý kiến của giáo viên và học sinh về thực trạng và hiệu quả sử dụng MHH vào giải bài tập trong dạy học Toán 10 ở trường

THPT

8.3 Phương pháp thực nghiệm

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giả thuyết khoa học và đánh

giá tính hiệu quả, tính khả thi của các biện pháp đề xuất 9 Cấu trúc luận văn

Luận văn được trình bày trong 3 chương như sau: Chương 1 Cở sở lý luận của vấn đề nghiên cứu

Chương 2 Một số biện pháp phát triển năng lực mô hình hoá toán học trong dạy học bất phương trình và hệ bất phương bậc nhất hai ẩn toán 10

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Mô hình hoá toán học

1.1.1 Một số khái niệm

1.1.1.1 Khái niệm mô hình và mô hình toán học

Có rất nhiều khái niệm khác nhau về MHH như:

Theo từ điển Việt Nam [12, 638], mô hình mang ý nghĩa như sau: mô hình

là một vật cùng hình dạng nhưng kích thước lại bị thu nhỏ lại nhiều, mô phỏng lại cấu tạo, hoạt động của một vật khác để trình bày, nghiên cứu Mô hình cũng là một hình thức diễn đạt một cách ngắn gọn theo một ngôn ngữ khác mang đặc trưng chủ yếu của một đối tượng, để nghiên cứu đối tượng ấy

Mô hình là sự đơn giản hóa hay thu nhỏ hiện thực một cách có chủ định Cho phép nhà nghiên cứu bỏ qua các mặt thứ yếu khác nhằm tập trung vào phương diện chính, có ý nghĩa quan trọng đối với vấn đề nghiên cứu

Mô hình như là dạng trừu tượng hóa của một hệ thống thực Hay cũng có thể nói: mô hình là một hình ảnh hay một biểu diễn của một hệ thống thực, qua đó diễn tả hệ thống: ở một mức trừu tượng hóa nhất định; theo một quan điểm hay một góc nhìn; bởi một hình thức diễn tả hiểu được (văn bản, hình khối, phương trình, bảng, đồ thị,…)

Mô hình là một vật hay hệ thống giữ một vai trò là đại diện hay là một vật thay thế cho đối tượng mà ta đang quan tâm nghiên cứu

Như vậy tóm lại, mô hình giống như một vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng nhằm hướng tới mục đích nhất định nào đó Vậy còn mô hình toán học được định nghĩa như thế nào?

Như Tiến sĩ Katie Fowler của Đại học Clarkson cho rằng: “Mô hình toán học là một công cụ sử dụng toán học để biểu diễn một tình huống trong thế giới thực nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho việc định lượng, phân tích dự đoán và có cái nhìn sâu sắc hơn về tình huống đó.”

Tiến sĩ Joseph Malkevitch, Đại học York, tuyên bố: “Mô hình toán học là một nhánh của toán học liên quan đến việc sử dụng toán học để hiểu sâu hơn về các lĩnh vực và tình huống bên ngoài toán học”

Mô hình toán học được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật như ngành vật lý, ngành sinh học, kỹ thuật điện tử và một số ngành khác Đồng thời còn được dùng trong cả lĩnh vực khoa học xã hội (kinh tế, xã hội học và khoa học chính trị) Chẳng hạn như trong kinh tế có mô hình nghiên cứu và phân tích quá trình hình thành giá cả của một loại hàng hóa bất kỳ trên thị trường với giả định là điều kiện sản xuất, thu nhập, sở thích người tiêu dùng đã cho trước và không đổi; trong khoa học máy tính: các mô hình kiến trúc mạng, mô hình dữ liệu, mô hình toán trong đồ họa máy tính; trong điện tử: mô hình quang phổ, mô hình năng lượng, …

1.1.1.2 Khái niệm mô hình hoá

Theo từ điển Việt Nam [12, 638], “MHH là tạo ra mô hình để mô hình ấy

nghiên cứu một đối tượng nào đó MHH toán học là hệ thống các công thức, phương trình, kí hiệu toán học diễn đạt các đặc trưng chủ yếu của một đối tượng để nghiên cứu đối tượng ấy”

MHH là việc dùng các mô hình để làm sao nhận thức và diễn tả nên được hệ thống Những mục đích MHH được sử dụng như sau:

Một là để hiểu: Muốn không bị mơ hồ với những ý tưởng thì người ta cần hình dung được nó Ở đây “hiểu” tức là hình thành được một hình ảnh xác thực và đơn giản dù ở trong tưởng tượng hay đã được mô phỏng bên ngoài về đối tượng được tìm hiểu Ngược lại, cũng nhờ vào việc sử dụng các mô hình, ta có thể nhận thức được vấn đề dễ dàng và nhanh chóng hơn

Hai là để trao đổi: Khi nó giúp con người hiểu được, thì nó sẽ giúp ta có thể trao đổi Mô hình giống như một loại ngôn ngữ để giao tiếp giữa những người cùng quan tâm tới một vấn đề hay một hệ thống chung

Ba là để hoàn chỉnh: Nhờ sự minh bạch của mô hình vậy nên ta có thể dễ dàng nhận thấy hệ thống đã phù hợp với nhu cầu hay chưa, có chặt chẽ, đầy đủ chưa và từ đó có thể hoàn thiện thêm Ngoài ra, mô hình còn giúp ta kiểm định, mô phỏng và thực hiện

Do đó, yêu cầu đối với một mô hình tốt đó là phải: dễ đọc, dễ hiểu, dễ trao đổi, xác thực, chặt chẽ, đầy đủ, dễ thực hiện

1.1.1.3 Khái niệm mô hình hoá toán học

Trong giáo dục toán học, người ta có thể tìm thấy nhiều cách tiếp cận và quan điểm khác nhau về mô hình hoá toán học Chẳng hạn :

MHH trong dạy học Toán là quá trình học tập và tìm hiểu giúp học sinh tìm hiểu, khai phá các tình huống, vấn đề bên ngoài thực tế bằng công cụ, ngôn ngữ Toán học và biến nó thành ngôn ngữ toán học cùng với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin Để thực hiện được tốt quá trình này đòi hỏi học sinh cần phải trang bị đầy đủ các kĩ năng và thao tác tư duy Toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa Ở trường phổ thông, MHH thể hiện mối quan hệ giữa các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội với nội dung kiến thức Toán học

trong SGK thông qua ngôn ngữ Toán học như ký hiệu, phương trình, công thức, đồ thị, sơ đồ Như vậy, chúng ta có thể thấy những hoạt động MHH có thể rèn luyện cho học sinh những khái niệm và quá trình Toán học, hệ thống hóa được các khái niệm, ý tưởng Toán học và nắm được cách thức xây dựng, tìm mối quan hệ giữa các ý tưởng đó Như vậy học sinh sẽ cảm nhận được việc học toán có ý nghĩa hơn từ đó hình thành nên động cơ và niềm say mê học Toán [10]

Theo Lê Thị Hoài Châu (2014), “Mô hình toán học là sự giải thích bằng

toán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này Quá trình MHH toán học là quá trình xây dựng một mô hình toán học dành cho một vấn đề ngoài toán học Người thực hiện sẽ giải quyết vấn đề trong mô hình đó rồi thực hiện đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, dựa vào kết quả đánh giá để quay lại cải tiến mô hình nếu như cách giải quyết không thể chấp nhận” [3]

Trong cuốn sách Gaimme, MHH toán học là một quá trình sử dụng toán học

để biểu diễn, phân tích, đưa ra dự đoán hoặc cung cấp cái nhìn sâu sắc về các hiện tượng trong thế giới thực Mô hình toán học thể hiện mối quan hệ giữa mô hình hóa và thế giới xung quanh chúng ta Cụ thể: sử dụng ngôn ngữ toán học để định lượng các hiện tượng trong thế giới thực và phân tích; sử dụng toán học để khám phá và phát triển sự hiểu biết của chúng ta về các vấn đề trong thế giới thực; một quá trình giải quyết vấn đề lặp đi lặp lại trong đó toán học được sử dụng để nghiên cứu và phát triển sự hiểu biết sâu sắc hơn [13, 8]

Như vậy, ta có thể hiểu đơn giản MHH toán học là việc giải quyết những bài toán thực tiễn bằng công cụ toán học hay nói cách khác là quá trình chuyển

đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán học và ngược lại

1.1.2 Quy trình mô hình hoá toán học

Quá trình MHH các tình huống thực tế trong dạy học Toán được thực hiện bằng cách sử dụng các công cụ và ngôn ngữ Toán học phổ biến như là dùng các công thức toán học, những thuật toán, phương trình, hệ phương trình, BPT, hệ BPT, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu, … MHH đã được nhiều nhà toán học, khoa học, nhà giáo dục nghiên cứu và ứng dụng Họ đã đưa ra khá nhiều quy trình MHH toán học trong đó có một vài quy trình tiêu biểu như sau:

1.1.2.1 Sơ đồ Pollak (1979)

Hình 2.1 Sơ đồ Pollak Sơ đồ trên cho thấy, từ một mô hình trong thế giới thực người thực hiện cần chuyển sang thế giới toán học hoặc tạo ra một mô hình toán học, sau đó giải bài tập toán, áp dụng kết quả đối với tình huống ban đầu Chiều mũi tên biểu diễn một vòng lặp, thể hiện mối liên hệ giữa thế giới thực và thế giới toán học đồng thời cũng thể hiện quá trình này có thể lặp lại nhiều lần Sơ đồ Pollak này là một trong những sơ đồ xuất hiện đầu tiên và những sơ đồ sau sẽ tiếp nối tiếp

những ưu điểm của sơ đồ này và triển khai nó chi tiết hơn

1.1.2.2 Chu trình MHH 7 bước của Blum

Giữa sự biến đổi giữa toán học và thực tế MHH tập trung nhấn mạnh vào chiều từ thực tiễn đến toán học Xuất phát từ tình huống thực tiễn, lựa chọn sử dụng linh hoạt kiến thức toán học để giải quyết và sau đó trở lại xem xét tính hữu ích của mô hình toán học vừa sử dụng Quá trình này được cụ thể hoá bằng những bước như sau:

Bước 1: Xác định được tình huống được cho, xây dựng một mô hình cho tình huống đó

Bước 2: Đơn giản hóa tình huống đó và gọi các biến số phù hợp vào để được mô hình thực của tình huống Trong bước này người thực hiện cần hệ thống và xác định được các quy luật phải tuân theo để đưa ra được điều kiện, giả thiết sao cho phù hợp Điều này giúp tránh yếu tố phi thực tế dẫn tới việc giải sai, bài toán vô lý

Bước 3: Chuyển đổi từ mô hình thực tế sang mô hình toán học Người thực hiện cần thông dịch từ ngôn ngữ thực tế sang ngôn ngữ toán học Bằng cách sử dụng các kí hiệu của đại số như: dấu các phép toán, dấu bằng, dấu bất đẳng thức, dấu ngoặc, cùng với hệ thống chữ cái được gọi dùng làm biến hay tham số,để thiết lập mối liên hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết sau đó tính toán trên những mối liên hệ này đến khi nhận được kết quả cần tìm Tư tưởng tổng quát của nó là biểu thị đại lượng chưa biết bằng một chữ - gọi là ẩn (có điều kiện thích hợp cho ẩn) và biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng của bài toán bằng một hay nhiều phương trình, bất phương trình

Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học để thu được kết quả của biến số Ở đây người thực hiện cần giải bài toán vừa được mô hình hoá bằng những kiến thức toán học và người thực hiện cần xác định phương pháp giải bài toán sao cho thích hợp

Bước 5: Trình bày kết quả đó ứng với ngữ cảnh thực tế Từ kết quả vừa tìm được người thực hiện cần thể hiện, trình bày kết quả này bằng ngôn ngữ thực tế gắn với tình huống đề bài cho

Bước 6: Thực hành xem xét, kiểm tra lại tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện chu trình lần 2 Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước 4 và 5 Ở đây, ta phải xác định được mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế Có hai khả năng xảy ra trong quá trình thực hiện đó là:

Khả năng 1: Mô hình toán học và kết quả tính toán đưa ra phù hợp với thực tế Đối với trường hợp này ta chỉ cần chuyển sang bước thực hiện tiếp theo

Khả năng 2: Nếu như mô hình toán học và kết quả tính toán đưa ra là không phù hợp với tình huống thực tế thì khi đó ta cần xem xét lại các bước trên, dự đoán nguyên nhân: một là mô hình toán học được lựa chọn không phù hợp với tình

huống thực tế ban đầu; hai là số liệu đề bài cho không phù hợp; ba là quá trình tính toán gặp sai sót Khi xác định được nguyên nhân ta sẽ đưa được ra giải pháp để khắc phục

Bước 7: Trình bày cách giải quyết

1.1.2.3 Các giai đoạn của quy trình mô hình hoá toán học

Theo Swetz & Hartzler (1991) [10], quy trình MHH gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau:

Giai đoạn 1 là quan sát hiện tượng, tình huống và nhận ra các yếu tố quan trọng (như: biến số, tham số) có tác động đến vấn đề được nêu ra Giai đoạn này chính là toán học hoá để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học

Giai đoạn 2 là lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dưới góc nhìn của toán học, sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa hay nói cách khác là ta đang đi giải bài tập toán này

Giai đoạn 3 là việc người thực hiện cần diễn đạt, thể hiện kết quả vừa thực hiện ở giai đoạn 2 bằng ngôn ngữ thực tế ứng với tình huống đề bài cho

Giai đoạn 4 là đưa ra kết quả và thực hiện đối chiếu mô hình với tình huống thực tiễn và kết luận Người thực hiện cần kiểm tra lại các giả thuyết, tìm hiểu rõ những hạn chế của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng

Tóm lại, ta có thể thấy rằng quá trình giải quyết vấn đề và MHH có những đặc điểm tương tự nhau, rèn luyện cho học sinh các kĩ năng toán học cần thiết Từ đó cũng có thể coi MHH như là một quy trình khép kín, phát sinh ra từ các tình

huống thực tiễn và kết quả của nó được dùng để giải thích và cải thiện vấn đề thực tiễn

1.2 Dạy học phát triển năng lực mô hình hoá toán học

1.2.1 Năng lực

Giáo dục Việt Nam ta giai đoạn trước tập trung chú trọng vào phát triển nội dung, kiến thức và lấy kiến thức làm mục tiêu dạy học Tuy nhiên theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể do Bộ giáo dục và đào tạo ban hành năm 2018 đã cho thấy rằng xu hướng dạy học hiện đại đã chuyển hướng từ tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học Với xu hướng giáo dục đó thì vấn đề năng lực cũng được nhiều người quan tâm và nghiên cứu Có rất nhiều khái niệm về “năng lực” cụ thể là:

Theo từ điển tiếng Việt: Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự

nhiên sẵn có để thực hiện một hành động nào đó Năng lực là phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao [12, 660]

Theo Từ điển bách khoa Việt Nam, năng lực được hiểu là đặc điểm của cá

nhân thể hiện mức độ thông thạo, tức là có thể thực hiện một cách thành thục và chắc chắn một số dạng hoạt động nào đó

Trong Chương trình Giáo dục tổng thể năm 2018, năng lực là “thuộc tính cá nhận được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp kiến thức, kĩ năng và thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”

Vậy tóm lại, năng lực có thể hiểu đơn giản là tập hợp các kĩ năng, khả năng thực hiện hiệu quả nhiệm vụ, trách nhiệm được đặt ra Năng lực của con người có

thể được hình thành và phát triển dựa vào học tập, rèn luyện tích luỹ kinh nghiệm trong hoạt động thực tiễn

1.2.2 Năng lực mô hình hoá toán học

Trong một nghiên cứu của Kaitja Maaβ (2006) về khái niệm là năng lực mô hình hóa, dựa trên những cơ sở về mặt lí thuyết của Blum và Kaiser trước đó đã xác định được 5 năng lực thành tố sau đây [15, 116 - 117]:

Năng lực xác định được vấn đề thực tiễn và thiết lập được mô hình dựa trên thực tiễn bao gồm: việc tạo ra các giả thuyết hay giả định cho vấn đề và đơn giản hóa tình huống; nhận ra các đại lượng ảnh hưởng đến tình huống; đặt tên cho chúng và xác định các biến số chính (thường là x, y, z); xây dựng mối quan hệ giữa các biến số (thường là các phương trình hoặc BPT); tìm kiếm những thông tin có sẵn và phân biệt giữa những thông tin liên quan và không liên quan

Năng lực thiết lập một mô hình toán học từ mô hình thực tế gồm có: một là toán học hóa những đại lượng liên quan và thiết lập các mối liên hệ của chúng; hai là đơn giản hóa những đại lượng liên quan và mối quan hệ giữa chúng nếu cần thiết, giảm số lượng và đề phức tạp; ba là lựa chọn những khái niệm toán học thích hợp và trình bày tình huống bằng các đồ thị

Năng lực giải quyết vấn đề toán học trong mô hình toán học đã thiết lập bao gồm: thứ nhất là phân chia vấn đề thành các vấn đề nhỏ, thiết lập mối quan hệ với các vấn đề tương tự hoặc xem xét lại vấn đề, thay đổi số lượng hoặc dữ liệu có sẵn; thứ hai là sử dụng những kiến thức toán học để giải quyết vấn đề

Năng lực trình bày lời giải toán học trong tình huống thực tế bao gồm: giải thích lời giải toán học trong hoàn cảnh ngoài toán học; khái quát hóa được những cách thức, giải pháp được phát triển từ tình huống; xem xét các giải pháp cho một vấn đề bằng cách sử dụng ngôn ngữ toán học thích hợp hoặc diễn đạt giải

Năng lực xác nhận giải pháp bao gồm: kiểm tra và phản ánh những giải pháp được tìm thấy; xem xét một số bộ phận của mô hình hoặc một lần nữa thực hiện lại quá trình mô hình hóa nếu giải pháp không phù hợp với tình huống; đưa ra một cách làm khác để giải quyết vấn đề hoặc phát triển giải pháp một cách khác biệt; đặt câu hỏi tổng quát cho mô hình

Cụ thể, trong chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán (2018) cũng đã đưa ra những thành phần của năng lực mô hình hóa toán học:

Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…) cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn

Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình đã thiết lập Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Theo Blomhøj và Jensen (2006) năng lực là khả năng sẵn sàng hành động của một ai đó để phản ứng lại trong một tình huống nhất định Năng lực MHH toán học được cho là sự sẵn sàng của một ai đó để thực hiện tất cả các phần của quy trình MHH toán học trong một tình huống nhất định

Biểu hiện về năng lực MHH toán học của học sinh cũng có thể được phân chia theo từng cấp độ khác nhau Cụ thể, trong nghiên cứu so sánh năng lực MHH toán học của học sinh Đức và Trung Quốc, tác giả M Ludwig và B Xu (2009) [14] đã phân chia năng lực MHH toán học thành 6 cấp độ liên tiếp:

Cấp độ 0: Học sinh không thể hiểu tình huống và không thể phác thảo hoặc viết bất kỳ thứ gì trong vấn đề gặp phải

Cấp độ 1: Học sinh chỉ có thể hiểu được vấn đề thực tế đưa ra nhưng không thể cấu trúc và đơn giản hóa tình huống hoặc không tìm được sự kết nối nào đến những ý tưởng toán học

Cấp độ 2: Sau khi điều tra vấn đề thực tế được đưa ra, học sinh tìm thấy được mô hình thực tế thông qua việc cấu trúc và làm đơn giản hóa nó nhưng học sinh không biết làm thế nào để đưa nó trở thành vấn đề toán học

Cấp độ 3: Học sinh không chỉ tìm thấy được mô hình thực tế, mà còn chuyển được nó thành vấn đề toán học tuy nhiên lại không thể đưa ra hướng giải quyết một cách rõ ràng trong thế giới toán học

Cấp độ 4: Học sinh có thể giải quyết vấn đề toán học từ vấn đề thực tế, làm việc với bài toán thực tế này trong thế giới toán học và đưa ra được một kết quả toán học

Cấp độ 5: Học sinh có thể thực hiện toàn bộ quy trình MHH toán học và giải thích mối liên hệ giữa kết quả và tình huống đưa ra

1.2.3 Một số kỹ năng của năng lực mô hình hoá toán học

Dựa vào nghiên cứu đã đưa ra, những kĩ năng thành phần của năng lực MHH toán học đó là:

Thứ nhất là đơn giản giả thiết đưa ra Thông thường bài toán đưa ra với những dữ liệu dài, khó hiểu hay không rõ ràng Trong bước này học sinh phải hiểu, tóm tắt lại những dữ liệu nào mình có thể sử dụng để giải bài tập,

Hai là xác định được rõ ràng mục đích của bài toán hay yêu cầu của đề bài Ba là thiết lập vấn đề toán học

Bốn là Xác định các biến số, tham số hoặc hằng số cần dùng Lưu ý : học sinh cần đặt điều kiện cho những biến số được goi

Năm là xây dựng những mệnh đề toán học Sáu là lựa chọn mô hình phù hợp

Bảy là biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, BPT hay hệ BPT

Tám là quay lại vấn đề trong thực tiễn mà đề bài đưa ra

1.2.4 Vai trò của mô hình hoá toán học trong việc phát triển năng lực học sinh

Trong một nghiên cứu của tác giả Nguyễn Danh Nam, tác giả đã chỉ ra một số những vai trò tiêu biểu của việc áp dụng MHH trong dạy học Dạy học bằng MHH hay phương pháp MHH là một trong những con đường hiệu quả để nâng cao năng lực hiểu biết toán học và năng lực vận dụng toán học trong thực tiễn cho học sinh MHH cho phép học sinh kết nối được tri thức toán học ở nhà trường với cuộc sống thực tế, chỉ ra khả năng áp dụng các ý tưởng toán học, đồng thời cung cấp một bức tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên có ý nghĩa hơn Do đó, khái niệm MHH trong dạy học toán thường được sử dụng với hai mục đích cơ bản sau đây:

MHH để học toán: MHH là một phương tiện hỗ trợ việc học các ý tưởng và khái niệm toán học của học sinh, ví dụ như tạo động cơ, củng cố và vận dụng khái niệm MHH cũng giúp minh họa những đối tượng toán học trừu tượng, phức tạp và liên hệ với kiến thức của các môn học khác

Học toán để MHH: Ở đây MHH là một mục đích của việc học toán, qua đó bồi dưỡng cho học sinh năng lực giải quyết vấn đề, tư duy phê phán, sử dụng công cụ và ngôn ngữ toán học để mô tả tình huống trong những ngữ cảnh khác nhau của thực tiễn

Như vậy, dạy học bằng MHH trong lớp học sẽ giúp học sinh: (1) Phát triển khả năng vận dụng kiến thức toán học vào những vấn đề thực tế (2) Đưa toán học ra thế giới, thoát khỏi phạm vi lớp học

(3) Sử dụng ngữ cảnh thực tế là một thành phần then chốt trong quá trình MHH

(4) Thực hiện chuyển đổi từ môi trường thực tế sang môi trường toán học và từ môi trường toán học qua thực tế Từ đó, có thể nói phương pháp MHH là phương tiện giúp giáo viên truyền đạt tri thức toán học một cách tích cực, tạo động cơ học tập và học tập có ý nghĩa, tăng cường tính liên môn và tính ứng dụng của toán học trong dạy học toán ở trường phổ thông [11]

Bên cạnh việc vận dụng MHH toán học trong dạy học cung cấp kiến thức liên quan đến thực tiễn MHH còn nhằm mục đích sau đây:

Phát triển một số năng lực tư duy cho học sinh như : tư duy logic, tư duy sáng tạo, tư duy phản biện, vv Cùng với đó là rèn luyện kỹ năng phân tích tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá, so sánh và tương tự, hệ thống hóa và đặc biệt hoá

MHH tạo điều kiện cho học sinh tăng cường tham gia hoạt động nhóm từ đó nâng cao được tinh thần hợp tác, tăng cường tính tự lập cho học sinh

MHH tạo nên một bức tranh thể hiện được toàn diện về mọi lĩnh vực Với một chủ đề toán học sẽ có những bài toán thực tế đặc trưng như: với chủ đề hàm số bậc nhất học sinh được tiếp xúc với mô hình kinh tế (bài toán giá cả, doanh thu, lợi nhuận, cho thuê,…); với chủ đề diện tích và thể tích học sinh làm quen với bài toán tối ưu hoá thể tích, diện tích nhỏ nhất; với chủ đề xác suất có bài toán về loto, đánh bạc, sổ xố, xác định giá để kiểm nghiệm mẫu thuốc, kiểm tra mẫu máu; …

Tăng cường tính liên môn giữa các môn học như Sinh học, Hoá Học, Vật lý, Lịch sử, Địa lý, …

MHH cũng tạo nên sự mới lạ, hứng thú trong quá trình học tập, tạo cho học sinh thái độ tích cực đối với môn này từ đó thúc đẩy việc học toán của các em

1.3 Thực trạng áp dụng mô hình hoá toán học trong dạy học bất phương trình và hệ bất phương bậc nhất hai ẩn trong chương trình toán 10

1.3.1 Nghiên cứu chương trình BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn trong toán lớp 10

Theo chương trình sách giáo khoa môn Toán Đại số lớp 10 của tổng chủ biên Trần Văn Hạo [4], chuyên đề BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn nằm trong bài số 4 của Chương IV : Bất đẳng thức, bất phương trình Theo phân phối chương trình, nội dung này chỉ chiếm thời gian từ 1 đến 2 tiết ở học kì II Học sinh học 5 nội dung đó là : BPT bậc nhất hai ẩn, biểu diễn miền nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn, hệ BPT bậc nhất hai ẩn, áp dụng vào bài toán kinh tế, đọc thêm về bài toán tìm cực trị của biểu thức F ax by  trên một miền đa giác Tuy nhiên phần kiến thức áp dụng vào bài toán kinh tế nằm trong phần học sinh tự đọc, tự nghiên cứu, còn nội dung phương pháp tìm cực trị của biểu thức F ax by  nằm trong phần đọc thêm Sau khi học nội dung này học sinh có thể đạt được mục tiêu sau:

+ Trình bày được khái niệm BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn, nghiệm của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn

+ Xác định được miền nghiệm của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn + Giải được các bài toán có lời văn, các bài toán kinh tế

+ Giúp học sinh thấy được khả năng áp dụng thực tế của hệ BPT bậc nhất hai ẩn

Theo chương trình sách giáo khoa Toán lớp 10 mới được áp dụng từ năm học 2022-2023 của tổng chủ biên Hà Huy Khoái , nội dung này được thay đổi như sau:

Thứ nhất về vị trí và thời lượng: Nội dung này chuyển thành chương II Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Với 2 bài :

Bài 1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn Bài 2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Bài tập cuối chương II Thứ hai về mục tiêu: Trong chương này học sinh sẽ :

Nhận biết được BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn Biểu diễn được miền nghiệm của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ

Vận dụng kiến thức của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn vào giải các bài tập thực tiễn (ví dụ bài toán tìm cực trị của biểu thức F ax by  trên một miền đa giác,…) Nhìn chung so với sách giáo khoa cũ thì mục tiêu không có thay đổi nhiều nhưng sẽ chú trọng hơn vào bài toán vận dụng toán học vào thực tiễn

Thứ ba về bài tập: Với thời lượng tiết nhiều hơn nên những ví dụ, bài tập trong chương này được hướng dẫn cụ thể, chi tiết hơn Nếu như trong sách cũ cách tiếp cận, xây dựng tri thức đều xuất phát từ những ví dụ mang tính toán học thuần tuý thì trong sách mới sẽ tiếp cận và xây dựng tri thức toán học bằng những ví dụ thực tế Số lượng bài tập thực tế cũng nhiều và đa dạng hơn

Ở đây ta cũng có thể thấy rằng, SGK đã chú trọng và quan tâm đến vấn đề thực tế nhưng học sinh chỉ có thể thấy được nội dung này áp dụng vào những lĩnh vực gì trong cuộc sống, mà đôi khi không thực hành, không được luyện tập với những dạng bài tập cụ thể như: bài toán sản xuất đồng bộ, bài toán thực đơn, bài toán vận tải, bài toán pha trộn, … Với mục tiêu hướng tới gắn toán học với thực tiễn trong bộ sách giáo khoa mới đã khắc phục điều này với nhiều bài tập thực tế hơn, đa dạng hơn

1.3.2 Khảo sát thực trạng vấn đề dạy và học theo định hướng mô hình hoá toán học trong nội dung BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn

1.3.2.1 Mục đích khảo sát

Tìm hiểu về thực tế vẫn đề dạy học theo định hướng MHH toán học ở chương trình Toán lớp 10 nói chung và nội dung BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn nói riêng ở trường THPT để làm cơ sở thực tiễn đề xuất biện pháp sư phạm nhằm phát huy thuận lợi và khắc phục khó khăn trong quá trình giảng dạy

Nhận thức của giáo viên và học sinh về dạy và học theo định hướng MHH toán học, sự cần thiết trong việc phát triển năng lực MHH toán học cho học sinh

Thực trạng vấn đề phát triển năng lực MHH toán học cho học sinh trong nội dung BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn hiện nay

Những khó khăn và thuận lợi của cả giáo viên và học sinh trong việc dạy

và học theo môn toán theo định hướng MHH toán học 1.3.2.2 Đối tượng khảo sát

Đối với giáo viên, khảo sát 10 giáo viên trường THPT Dương Xá, 5 giáo viên tại trung tâm giáo dục thường xuyên Gia Lâm – cơ sở Đa Tốn

Đối với học sinh, khảo sát 60 học sinh tại các lớp 10A04, 10A05, 10D5 của trường THPT Dương Xá

1.3.2.3 Nội dung khảo sát

Khảo sát nhu cầu học tập và dạy học những bài toán có tính ứng dụng thực tế trong môn toán học của học sinh và giáo viên

Khảo sát tình trạng thực tế mức độ thường xuyên học sinh được tiếp xúc và thực hành những bài toán này theo định hướng MHH toán học

Khảo sát những thuận lợi và khó khăn trong quá trình dạy và học theo định hướng MHH toán học ở cả giáo viên và học sinh trong nội dung BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn

1.3.2.4 Phương pháp khảo sát

Điều tra bằng bảng hỏi Điều tra bằng cách quan sát khi dự giờ các giáo viên khác

Thu thập thông tin bằng chính quá trình trải nghiệm, thực dạy cho học sinh

1.3.2.5 Kết quả khảo sát

Đối với học sinh

Với 60 học sinh tham gia khảo sát thu được kết quả như sau:

Thứ nhất về nhu cầu và mong muốn học những bài toán thực tế của học sinh là rất cao đến 65% học sinh chọn rất muốn, 20% học sinh chọn bình thường và còn lại là không muốn học những bài toán này Tuy nhiên trái với nhu cầu mong muốn được tìm hiểu cao như vậy đó là tần suất tự học tập và nghiên cứu của học sinh là rất thấp, cũng như là thực tế tình trạng được học trên trường cũng thấp Cụ thể được thể hiện qua con số sau: phần lớn hơn 86% học sinh lựa chọn thỉnh thoảng và không bao giờ tự học và tự tìm hiểu vấn đề này Hơn 71% học sinh chọn không bao giờ và thỉnh thoảng được giải bài toán thực tế này trên lớp

Thứ hai về MHH toán học, học sinh khi giải toán bằng MHH toán học có sự phản hồi khá tích cực, phần lớn học sinh đều hiểu bài và thực hiện được những bài toán tương tự Một số học sinh có phản hồi những thuận lợi và khó khăn khi học MHH toán học đó là: không biết đặt ẩn, không biết tạo lập BPT, đôi lúc không biết yêu cầu bài toán là gì,… tuy nhiên một số học sinh lại cho rằng vận dụng MHH làm thay đổi bầu không khí, MHH giúp các em có nhiều hoạt động mới lạ hơn thay vì chỉ ngồi và giải toán thông thường

Vậy từ kết quả khảo sát trên cùng với quá trình quan sát học sinh trong quá trình thực dạy trên lớp, theo tôi việc thực hiện MHH toán học vào trong học tập còn gặp rất nhiều khó khăn bởi những nguyên nhân sau :

Thứ nhất đó chính là sự cản trở trong suy nghĩ của cả học sinh Các em học sinh đều quá quen với những bài toán truyền thống, các công việc giải toán thông

thường như tính toán, lập luận toán học được nhiều học sinh yêu thích hơn Đơn giản là bởi các em được thực hành quá nhiều trong quá trình học bộ môn này, hay cũng vì chúng tường minh hơn, học sinh dễ nắm bắt được giả thiết và yêu cầu bài toán hơn hơn

Thứ hai là những tình huống thực tiễn được đưa vào bài toán, đây là những tình huống xuất phát từ tình huống thực tế, nhu cầu giải quyết vấn đề trong thực tiễn, tất cả đều nằm ngoài toán học không có các đối tượng, kí hiệu và cấu trúc toán học Mỗi tình huống này sẽ đề cập về một vấn đề cụ thể (kinh tế, ý tế, môi trường, xã hội,…) hoặc môn học cụ thể (vật lý, hoá học, sinh học, lịch sử, địa lý,…) yêu cầu học sinh phải có những kiến thức liên quan đến những điều này để có thể chuyển đổi từ ngôn ngữ thực tế sang ngôn ngữ toán học một cách chính xác để kết luận được kết quả mình làm ra có phù hợp, khả thi trong thực tế hay không Thậm chí đối với những cấp độ MHH khó hơn, những tình huống được đưa vào bài tập còn không có đầy đủ thông tin, dữ liệu có thể quá nhiều hoặc quá ít yêu cầu người thực hiện cần chắt lọc và sử dụng kiến thức, trải nghiệm của bản thân để suy luận, đánh giá Hơn thế nữa yêu cầu đặt ra đôi khi không rõ ràng dẫn đến chỉ một tình huống mà lại có rất nhiều phương án để giải quyết vấn đề

Thứ ba là việc thực hiện MHH toán học nói chung và MHH toán học trong nội dung BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn nói riêng của học sinh phụ thuộc rất nhiều kinh nghiệm và những trải nghiệm trong cuộc sống của các em, phụ thuộc vào trình độ cá nhân, môi trường mà học sinh đang sống và học tập Chẳng hạn như đối với những học sinh vùng sâu vùng xa, các em giao tiếp hằng ngày bằng ngôn ngữ bản địa vì vậy học sinh nơi đây sẽ gặp khó khăn trong việc sử dụng ngôn ngữ tiếng Việt Điều này ảnh hưởng rất lớn đến việc đọc, hiểu các nội dung tình huống có yếu tố thực tiễn

Thứ tư, MHH toán học bao gồm nhiều giai đoạn liên tục, học sinh cần thực hiện đúng và đầy đủ từng bước mới dẫn đến kết quả chính xác Nói đến vấn đề gần gũi nhất với học sinh đó là việc giải toán, đôi khi học sinh quên kiến thức cũ và không linh hoạt sáng tạo trong phương pháp giải bởi các bạn quen với việc giải toán theo dạng Học sinh ít được trải nghiệm thực tiễn nên khả năng liên hệ kiến thức còn yếu Điều này cũng làm cản trở trong quá trình chuyển đổi giữa ngôn ngữ toán học và thực tế Một ví dụ điển hình trong chuyên đề BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn là bài toán về kinh tế, những học sinh đã đọc và biết một chút kiến thức liên quan đến phần này thì các em sẽ không bỡ ngỡ khi gặp một số từ ngữ chuyên ngành, sau khi thực hiện xong bài toán học sinh có thể nhận định được kết quả này phù hợp hay không phù hợp với thực tế để đi đến một kết luận hợp lý nhất

Đối với giáo viên

Dựa vào kết quả khảo sát, hầu hết các thầy cô giáo (90%) đều quan tâm đến việc dạy học theo hướng tăng cường thể hiện mối liên hệ toán học và thực tiễn Có 10% giáo viên không bao giờ quan tâm đến vẫn đề này, 30% giáo viên thỉnh thoảng tự tìm hiểu những ứng dụng toán học trong thực tiễn, còn lại thường xuyên tìm hiểu Đối với MHH toán học các thầy cô giáo phần lớn cho rằng nó khá quan trọng trong việc phát triển năng lực cho học sinh (71,6%), tuy nhiên thỉnh thoảng mới đưa MHH vào trong quá trình dạy học Về kiểm tra đánh giá đến hơn 50% không bao giờ cho kiểm tra giải toán MHH vào đề thi, 31,6 % thỉnh thoảng cho kiểm tra và còn lại là thường xuyên

Trong chủ đề BPT và hệ BPT bậc nhất hai đến 80% giáo viên thường xuyên vận dụng MHH vào giải toán thực tế Dựa vào khảo sát tôi tổng hợp được một số những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy như sau: khó khăn thứ nhất, học sinh thường rất ngại trong việc đọc những bài toán thực tế quá dài dẫn đến

việc không thích làm những bài toán thực tế trong nội dung này; khó khăn thứ hai, học sinh có thể giải được khá tốt những bài toán đã rõ ràng trong việc chọn biến số x, y nhưng lại rất lúng túng với những bài toán ứng dụng mà dữ kiện cho không rõ ràng; khó khăn thứ ba là khá nhiều học sinh không hiểu đề bài, không chuyển đổi được thành BPT bậc nhất hai ẩn Khó khăn nhiều nhưng thuận lợi cũng có bởi với nội dung này học sinh được rèn luyện tốt trong việc xác định miền nghiệm trong hệ trục Oxy, cùng với đó học sinh còn được thực hành vẽ hình trên các ứng dụng Geogebra, Desmos - đây là hai ứng dụng được học sinh sử dụng thường xuyên vì dễ dùng và có thể sử dụng dễ dàng mà không cần tải ứng dụng về máy Vì thế việc giải quyết bài toán trở nên dễ dàng hơn và học sinh có hứng thú học hơn

Cùng với kết quả khảo sát và quá trình dạy học nội dung này tôi nhận thấy rằng:MHH toán học không chỉ lạ lẫm, mới mẻ với học sinh mà ngay cả với giáo viên cũng có nhiều khó khăn khi tiếp cận và thực hiện nó Sau đây là một vài những khó khăn, thách thức đối với các thầy cô giáo khi giảng dạy:

Thứ nhất, nếu với học sinh đã quá quen với cách học cũ thì người giáo viên cũng quen với cách dạy cũ Giáo viên đôi khi rất ngại thay đổi phương pháp giảng dạy, ngại trong việc tiếp xúc với những cái mới

Thứ hai, việc đưa kiến thức ngoài toán học vào bài giảng không phải vấn đề dễ, với đề bài đa dạng, số liệu cồng kềnh, nhiều biến số dẫn đến học sinh không biết đặt biến số như thế nào và bao nhiêu là đủ Chính vì vậy giáo viên cần rất nhiều thời gian để đầu tư vào bài giảng của mình sao cho phù hợp với từng lớp học, từng đối tượng học sinh

Thứ ba, không chỉ học sinh gặp phải khó khăn với lượng kiến thức thực tế mà giáo viên đôi khi có kỹ năng giảng dạy cũng như trình chuyên môn rất tốt nhưng không đi kèm với đó là những kiến thức liên môn (vật lý, hoá học, sinh học,

những môn xã hội,…) cũng có Điều này dẫn đến những vấn đề như là: Khó khăn trong việc hướng dẫn và đánh giá, giải thích những tình huống mà học sinh đưa ra Bởi MHH được đặt trong môi trường thực tế thường lạ, phức tạp hơn bài toán thông thường, nên học sinh đưa ra nhiều phương án giải quyết Khó khăn trong việc phát triển và xây dựng những bài toán mới Việc khai triển, phát triển những tình huống mới trong toán học đôi khi dễ hơn là việc thay số liệu vào đề bài cho trước, bởi đề bài đưa ra cần hợp lý, phù hợp với thực tế

Ba là do không đủ thời gian học tập, học sinh không được giải bài tập chi tiết dẫn đến những bài tập sử dụng MHH toán học thường không có trong các kỳ thi, vì vậy học sinh không có động lực học tập

Bốn là thiếu tài liệu chuyên khảo về MHH cho cả giáo viên và học sinh dẫn đến việc tự mày mò, nghiên cứu mất rất nhiều thời gian cho cả thầy và trò

1.3.2.3 Những thuận lợi

MHH là một khái niệm còn khá mới đối với những thầy cô và các em học sinh tại các trường phổ thông vậy nên những khó khăn, cản trở có rất nhiều Tuy nhiên cũng có những thuận lợi giúp dạy học MHH toán học được sử dụng nhiều hơn như sau:

Như ta thấy theo khảo sát trên (khảo sát nhu cầu học mô hình hoá đối với giáo viên và học sinh) ta thấy rằng nhu cầu và mong muốn được dạy và học những bài học thực tế là rất lớn Đồng thời phần lớn giáo viên cũng đồng tình cho rằng MHH toán học giúp học sinh đến gần với thực tế hơn Đó là một trong những điều kiện cần để người giáo viên bắt tay vào xây dựng bài giảng có vận dụng quá trình MHH toán học

Hấu hết nhiều trường phổ thông đều đã chú trọng vào đầu tư cơ sở vật chất (tivi, máy tính, máy chiếu, dụng cụ thí nghiệm,…) Đồng thời hiện nay ta có thể thấy có rất nhiều những phần mềm, ứng dụng, công cụ để hỗ trợ dạy học, học sinh cũng là lứa tuổi có khả năng tiếp thu với công nghệ thông tin và đặc biệt các em rất hứng thú với nó

Ban giám hiệu nhà trường cũng tạo điều kiện tối đa để học sinh sử dụng công cụ học tập đa dạng, áp dụng những phương pháp học tập mới, tăng cường hoạt động nhóm, đẩy mạnh những hoạt động ứng dụng thực tế Giáo viên cũng được tạo điều kiện trong việc nghiên cứu và thực hành những phương pháp mới

Nhà trường và giáo viên cũng tăng cường những hoạt động thực tiễn trong những giờ học ngoại khoá nhằm khắc phục khó khăn về hạn chế thời gian trong khi học chính khoá

Kết luận Chương 1

Trong chương này, luận văn đã giới thiệu và trình bày những khái niệm mô hình hoá toán học, các năng lực mô hình hoá toán học của học sinh một số quy trình mô hình hoá toán học Chương I đã sơ lược nội dung BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn trong hai bộ SGK, đã điều tra thực trạng dạy và học của giáo viên và học sinh trong vận dụng MHH toán học nói chung và MHH toán học trong nội

dung BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn lớp 10 nói riêng Luận văn cũng chỉ ra một số những khó khăn, thuận lợi trong việc dạy và học MHH toán học hiện nay

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HOÁ TOÁN

HỌC TRONG DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG

BẬC NHẤT HAI ẨN TOÁN 10 2.1 Biện pháp 1 Thiết kế một số hoạt động trong dạy học mô hình hoá trong chủ đề BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn

2.1.1 Nguyên tắc thiết kế hoạt động mô hình hoá toán học

2.2.1.1 Đảm bảo tính khoa học

Các mô hình được thiết kế cần đảm bảo tính khoa học, tính chính xác và mô tả được các tình huống trong thực tiễn Học sinh sử dụng các phương pháp toán học để giải bài toán, từ đó đối chiếu kết quả với thực tiễn để điều chỉnh mô hình toán học cho phù hợp

2.2.1.2 Làm rõ tính ứng dụng của toán học trong thực tiễn

Toán học có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn, đời sống cũng như trong sự phát triển của các ngành như khoa học kĩ thuật Toán học là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản xuất Việc vận dụng toán học vào thực tiễn nghĩa là dùng những công cụ toán học thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm tìm những yếu tố chưa biết, biến đổi, sắp xếp các yếu tố đó nhằm đạt được mục tiêu đề ra

2.2.1.3 Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức

Tính khả thi của hoạt động MHH được hiểu là khả năng thực hiện được (xây dựng được, sử dụng được) trong thực tiễn Điều này phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố như :

Chương trình dạy học, SGK, kế hoạch dạy học và quỹ thời gian thực hiện Tuy rằng hiện nay Việt Nam đang phát hành nhiều bộ SGK và giáo viên được quyền lựa chọn bộ sách giảng dạy, được đa dạng phương pháp tổ chức giảng dạy nhưng

giáo viên vẫn cần tôn trọng, làm theo nội dung, mạch kiến thức của bộ sách đó bởi lẽ SGK được coi là xương sống của hệ thống kiến thức được nghiên cứu, tiếp thu, cải tiến từ các quốc gia tiên tiến khác trên thế giới và được xây dựng dựa trên khung chương trình qui định

Trình độ cùng khả năng nhận thức chung của học sinh, khả năng và trình độ thực hiện của giáo viên Giáo viên lựa chọn những tình huống thực tế cần chú ý phải đặt mình vào vị trí của học sinh lựa chọn những mô hình thực tiễn gần gũi, quen thuộc với cuộc sống hằng ngày của học sinh hay những tình huống dễ dàng khai thác thông tin để các em dễ hiểu và dễ giải quyết được mô hình Giáo viên có thế tham khảo các tài liệu nước ngoài, các địa phương khác nhưng cần phải sửa đổi sao cho phù hợp với địa phương mình đang công tác giảng dạy

2.2.1.4 Đảm bảo dụng ý sư phạm, đánh giá được học sinh

Giáo viên cần xác định rõ ràng rằng mình thiết kế MHH này để nhằm mục đích gì: Một là sử dụng MHH để học toán tức là dùng MHH để tạo động cơ, hình thành kiến thức mới, củng cố kiến thức,…Hai là học toán để MHH tức là dùng kiến thức toán học để giải quyết một vấn đề thực tiễn nào đó và từ đó giúp học sinh rèn luyện được những kĩ năng, năng lực nhất định

2.1.2 Thiết kế một số hoạt mô hình hoá trong BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn

Bài toán 1 Bài toán thực tế liên quan đến BPT bậc nhất hai ẩn

Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có tài xế lái xe ) trong thời gian một tuần với giá thuê xe được cho như bảng sau:

đường đi

(nghìn đồng/ngày) (nghìn đồng/km)

a) Gọi x là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và y là số

kilômét ông A đi trong hai ngày cuối tuần Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y sao cho tổng số tiền ông An phải trả không vượt quá 14 triệu đồng

b) Biểu diển miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ

a) Mục tiêu hoạt động - Học sinh xây dựng được BPT bậc nhất hai ẩn dựa vào tình huống thực tiễn - Học sinh thực hiện được bài toán xác định miền nghiệm của BPT bậc nhất hai

ẩn và tìm được nghiệm trong miền đó - Học sinh lựa chọn nghiệm phù hợp với thực tế và giải thích

b) Cách tiến hành:

Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm tương ứng với 4 tổ của lớp, yêu cầu thực hiện bài toán trên Với yêu cầu của bài toán đã gợi ý dẫn dắt cho học sinh thực hiện 4 bước trong quy trình MHH toán học Giáo viên thu thập kết quả của 4 nhóm và trình chiếu kết quả cùng nhận xét Đại diện một số kết quả thu được như sau:

Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn)

Thứ nhất, bài toán này đã nêu rất rõ ràng vấn đề thực tiễn đang nói đến: muốn thuê xe ô tô trong thời gian một tuần và với chi phí không vượt quá 14 triệu đồng Thứ hai, việc diễn đạt lại tình huống bằng ngôn ngữ toán học: bài toán đã yêu cầu sẵn học sinh phải đặt ẩn x, y vậy nên học sinh chỉ cần hoàn thiện việc tìm điều