dạy học chủ đề đại số tổ hợp theo hướng phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh lớp 10

Hiện nay, ở bậc học phổ thông đã triển khai thực hiện chương trình giáo dục phổ thông mới ban hành 2018, trong đó NL MHH toán học chính thức được đưa vào là một trong năm NL thành phần c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN LAN HƯƠNG

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2024

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN LAN HƯƠNG

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán học

Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGUYỄN ANH TUẤN

HÀ NỘI, 2024

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Sư phạm trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình giảng dạy và giúp chúng em có một môi trường học tập tốt nhất và thuận tiện nhất

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy PGS.TS.Nguyễn Anh Tuấn đã trực tiếp hướng dẫn, định hướng giúp em hoàn thành luận văn này

Mặc dù em đã rất nghiêm túc nghiên cứu và cố gắng hoàn thiện luận văn song vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót và những hạn chế Em rất mong được các thầy cô góp ý, chỉ bảo và bổ sung để bản luận văn của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 6 năm 2024

Học viên

Nguyễn Lan Hương

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CỤM TỪ VIẾT TẮT

Thứ tự Viết tắt Viết đầy đủ

1 DH Dạy học 2 ĐHSP Đại học Sư phạm 3 ĐC Đối chứng

4 ĐSTH Đại số tổ hợp 5 GV Giáo viêո 6 HS Học siոh 7 NL Năոg lực 8 MHH Mô hình hóa 9 NXB Nhà xuất bản 10 PPDH Phươոg pháp dạy học 11 SGK Sách giáo khoa

12 THCS Truոg học cơ sở 13 THPT Trung học phổ thông 14 TN Thực nghiệm

15 TNSP Thực nghiệm sư phạm

2 Mục tiêu nghiên cứu 2

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 2

4 Phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

7 Giả thuyết khoa học 3

8 Cấu trúc của luận văn 3

Chương 1 - CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu 4

1.1.1 Một số đề tài nghiên cứu về năng lực mô hình hóa Toán học 4

a) Trên thế giới 4

b) Ở Việt Nam 4

1.1.2 Một số kết quả nghiên cứu về dạy học Đại số tổ hợp ở trường THPT 6

1.2 NL và dạy học phát triển NL qua môn Toán 8

1.2.1 Khái niệm năng lực 8

1.2.2 Các NL cần phát triển cho HS THPT môn Toán 8

1.3 Năng lực mô hình hóa toán học 10

1.3.1 Mô hình hóa toán học 10

1.3.2 Phương pháp và quy trình MHH Toán học 11

1.3.3 Quan niệm, thành phần, biểu hiện NL MHH Toán học 14

1.4.1 Nội dung chủ đề ĐSTH lớp 10 (chương trình môn Toán 2018) 22

1.4.2 Tình hình dạy và học chủ đề ĐSTH với yêu cầu phát triển NL MHH toán học 23

1.4.2.1 Nội dung và phương pháp điều tra 24

1.4.2.2 Kết quả và nhận định 24

TIỂU KẾT CHƯƠNG 1 28

Chương 2 - BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MHH TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 10 29

2.1 Định hướng xây dựng biện pháp dạy học 29

2.2 Một số biện pháp dạy học chủ đề ĐSTH góp phần phát triển NL MHH Toán học cho HS 29

2.2.1 Biện pháp 1 29

2.2.2 Biện pháp 2 34

2.2.3 Biện pháp 3 37

TIỂU KẾT CHƯƠNG 2 61

Chương 3 - THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 63

3.1 Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng thực nghiệm sư phạm 63

3.1.1 Mục đích, nhiệm vụ 63

3.1.2 Đối tượng và kế hoạch thực nghiệm sư phạm 63

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 63

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 64

3 Hướng phát triển của đề tài 71

TÀI LIỆU THAM KHẢO 72

PHỤ LỤC 1

Phụ lục 1 - Phiếu hỏi giáo viên và cán bộ quản lý 1

Phụ lục 2 - Phiếu hỏi học sinh 2

Phụ lục 3 - Giáo án thực nghiệm 3

Phụ lục 4 - Bài kiểm tra thực nghiệm 55

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1 1 Kết quả khảo sát giáo viên và cán bộ quản lý 24Bảng 1 2 Kết quả khảo sát học sinh lớp 10 25

Bảng 3 1 Bảng thống kê các điểm số (Xi) bài kiểm tra của lớp ĐC và TN 68

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, BIỂU ĐỒ, ĐỒ THỊ

Biểu đồ 3 1 Biểu đồ tần số điểm kiểm tra của hai lớp ĐC và TN 68

MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài

Trong bộ sách giáo khoa (SGK) Kết nối tri thức với cuộc sống lớp 10 môn Toán (mới) được xuất bản và ban hành năm 2022 nội dung về Đại số tổ hợp (ĐSTH) được điều chỉnh từ SGK khối 11 (cũ) chuyển sang dạy cho học sinh (HS) khối 10 từ đó có nhiều thay đổi Giáo viên (GV) cần chú trọng thay đổi phương pháp dạy học (PPDH) để phù hợp với nội dung kiến thức mới, đặc biệt đối với nội dung kiến thức về ĐSTH - với đặc thù gắn liền với các hiện tượng tình huống thực tiễn thì năng lực (NL) quan trọng hàng đầu cần thiết với HS khi tiếp cận - chuyển đổi giữa hiện tượng thực tế và công cụ ĐSTH được đề cập ngay từ những bài học đầu tiên chính là NL mô hình hóa (MHH) toán học

NL MHH là một trong những NL cốt lõi được đề cao trong chương trình môn Toán giáo dục phổ thông 2018 ([9]) NL MHH giúp HS có cái nhìn bao quát đối với bài toán từ đó xác định được mô hình Toán học từ đó giải quyết các bài toán trong thực tiễn NL MHH toán học gắn liền với khả năng tư duy, sáng tạo và giải quyết vấn đề

Trong thực tế dạy học hiện nay tại các trường phổ thông, việc MHH toán học còn chưa thực sự được chú trọng, quan tâm một cách đúng mức do đó, việc hình thành và bồi dưỡng NL MHH Toán học cho HS qua môn Toán cần được chú trọng, trực tiếp phát triển NL vận dụng môn Toán vào thực tiễn, góp phần gắn quá trình dạy và học toán với cuộc sống

Đại số tổ hợp là một chủ đề nội dung liên quan đến cả ba mạch kiến thức Số - Hình học - Xác suất và Thống kê xuyên suốt chương trình môn Toán ở trường phổ thông Chủ đề “ĐSTH” được đưa vào nội dung môn Toán lớp 10,11 giúp HS giải quyết các bài toán đếm, tính xác suất của biến cố, tính biến cố hợp, biến cố giao, Vì thế kiến thức lý thuyết cũng như bài tập ở chủ đề này khá phong phú, đặc biệt là gắn với thực tiễn cuộc sống, tạo điều kiện để phát triển NL MHH Toán học cho HS

Từ những lí do trên, chúng tôi lựa chọn chọn nghiên cứu vấn đề: “Dạy học chủ đề Đại số tổ hợp (Toán 10) theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh”

2 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn về MHH toán học, NL MHH toán học, PPDH MHH, để xây dựng một số biện pháp DH nội dung ĐSTH (Toán 10) nhằm

phát triển NL MHH toán học cho HS lớp 10

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

Khách thể nghiên cứu: NL MHH Toán học thông qua dạy học chủ đề ĐSTH (Toán 10)

Đối tượng nghiên cứu: Biện pháp dạy học “ĐSTH” ở lớp 10 phát triển NL MHH toán học cho HS

4 Phạm vi nghiên cứu

Phát triển NL MHH Toán học cho HS trong dạy học chủ đề ĐSTH ở môn Toán lớp 10 (theo SGK mới) và nghiên cứu MHH toán học trong các bài toán thực tiễn

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận dùng để nghiên cứu những tài liệu có liên

quan đến MHHTH, PP và quy trình MHHTH, NL MHHTH và DH Toán theo hướng

phát triển NL cho HS

Phương pháp điều tra, quan sát dùng để tìm hiểu thực tiễn dạy và học ĐSTH lớp 10 ở trường THPT; xem xét, đánh giá tình hình và kết quả phát triển NL MHHTH của HS

Phương pháp thực nghiệm sư phạm dùng để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đề xuất trong việc áp dụng vào DH ĐSTH ở lớp 10

Phương pháp Thống kê Toán học dùng để thu thập và xử lý số liệu trong điều

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Những vấn đề cơ sở lí luận về phát triển NL MHH toán học qua môn Toán và thực trạng dạy và học chủ đề ĐSTH ở các trường phổ thông

- Xây dựng biện pháp phát triển NL MHH toán học cho HS lớp 10 khi DH “ĐSTH”

- Kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đề xuất

7 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định thành phần, biểu hiện của NL MHHTH của HS trong học tập ĐSTH; xây dựng và vận dụng BP tương thích thì sẽ góp phần phát triển NL MHHTH cho HS

Câu hỏi nghiên cứu: Cần thiết và có thể xây dựng, sử dụng biện pháp DH để phát triển NL MHH toán học cho HS trong DH ĐSTH ở lớp 10?

8 Cấu trúc của luận văn

- Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn - Chương 2: Biện pháp dạy học chủ đề “ĐSTH” ở lớp 10 THPT mới theo hướng phát triển NL MHH toán học

- Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1 - CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

1.1.1 Một số đề tài nghiên cứu về năng lực mô hình hóa Toán học

a) Trên thế giới

Trong công trình “Đánh giá NL MHH toán học”, tác giả Jensen, T H (2007) đã công bố một số kết quả nghiên cứu về nội dung và cách thức đánh giá NL MHH

toán học trong lĩnh vực Giáo dục, Kỹ thuật và Kinh tế ([49], 141-148)

Trong công trình ([50], trang 43- 59), tác giả Niss, M (2010) đã xem NL MHH toán học là một trong 8 thành phần của NL toán học Đồng thời tác giả phân tích làm rõ NL MHH toán học giữ vị trí quan trọng đối với HS trong học Toán, thực hiện định hướng gắn môn toán với thực tiễn cuộc sống Theo Niss, để phát triển NL này cho người học ta phải xây dựng một mô hình toán học thích hợp để giải quyết từng tình huống cụ thể

Trong công trình [44], các tác giả Borromeo Ferri, R., Kaiser, G., Blum, W., Stillman, G (Eds.) (2011) áp dụng mô hình hóa toán học trong dạy học

Còn vào 2010, tác giả Ang Keng Cheng tiếp cận giải quyết vấn đề sử dụng công nghệ hỗ trợ DH MHH toán học [41]

Các công trình [42], [43], [45], [46], [47], [48], [52], [53], [54], [55], [57], [58], nghiên cứu về việc vận dụng mô hình hóa toán học trong nghiên cứu khoa học và dạy học Môn Toán Mặc dù xuất phát từ những mục tiêu, nội dung, phạm vi và đối tượng khác nhau, nhưng đều khẳng định MHH toán học không chỉ là là một cách thức tiếp cận tích cực để nghiên cứu, học tập và giảng dạy Toán học mà còn là một mục tiêu quan trọng trong dạy và học môn Toán

b) Ở Việt Nam

i) Nghiên cứu về mô hình hóa Toán học

Trong công trình [1], trên cơ sở nghiên cứu các kết quả nghiên cứu về MHH trên thế giới, tác giả Nguyễn Thị Tân An (2012) đã nêu những lí do để khẳng định

sự cần thiết của MHH trong DH Toán; xác định, làm rõ những yếu tố trong quy trình MHH

Bắt kịp xu thế đổi mới giáo dục trên thế giới, từ trước và trong quá trình đổi mới toàn diện về giáo dục phổ thông (thể hiện ở chương trình trước 2018), trong môn Toán đã có những công trình nghiên cứu về phát triển NL HS, trong đó hàm chứa những yếu tố, thành phần liên quan đến NL MHH toán học (dưới dạng trực tiếp hoặc gián tiếp) - khi bàn đến dạy học Toán gắn với thực tiễn (thể hiện ở các công trình của tác giả Nguyễn Bá Kim ([23]), Bùi Huy Ngọc (2003, [29]), Nguyễn Anh Tuấn (2018, [56]), Phạm Việt Hà (2016, [13]), Bùi Văn Nam (2019, [24]), Nguyễn Danh Nam ([25], [26], [27], [28]),

Hiện nay, ở bậc học phổ thông đã triển khai thực hiện chương trình giáo dục phổ thông mới (ban hành 2018), trong đó NL MHH toán học chính thức được đưa vào là một trong năm NL thành phần của NL toán học cần thiết phát triển cho HS qua môn Toán: “NL tư duy và lập luận toán học; NL MHH toán học; NL giải quyết vấn đề toán học; NL giao tiếp toán học; NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán” [9] Vì thế đã có nhiều công trình tập trung nghiên cứu về việc phát triển NL MHH toán học ở các bậc học (từ phổ thông đến đào tạo nghề nghiệp ở các trường đại học và cao đẳng)

Tác giả Phạm Việt Hà (2016) đề xuất năm biện pháp dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình ở THCS góp phần bồi dưỡng cho HS NL MHH toán học các bài toán thực tiễn [13]

Trong luận văn Thạc sỹ của Lê Thị Vân Anh (2021, [6]), tác giả đã xác định

8 biểu hiện NL MHH toán học trong học Đại số: “Đơn giản giả thuyết; Làm rõ mục tiêu; Thiết lập vấn đề; Xác định biến số, hằng số, tham số; Xác lập các mệnh đề toán học; Lựa chọn mô hình; Biểu diễn mô hình bằng sơ đồ, biểu đồ, đồ thị; Đối chiếu lại vấn đề trong thực tiễn” Từ đó xây dựng biện pháp dạy học một số chủ đề

Đại số 10 theo hướng gắn với thực tiễn, nhằm bồi dưỡng NL MHH toán học cho HS

Tác giả Đỗ Mạnh Tuyển cũng nghiên cứu về MHH trong DH Toán với mục đích “rèn luyện kỹ năng MHH toán học” thông qua nội dung dạy học chủ đề đạo hàm và tích phân cho HS khá giỏi lớp 12 THPT Trong đó tác giả đã xây dựng 4 biện pháp dạy học “đạo hàm và tích phân”, tác động đến 3 nhóm kỹ năng MHH toán học [39]

ii) Nghiên cứu về mô hình hóa toán học ở chủ đề ĐSTH, Xác suất thống kê

Trực tiếp nghiên cứu vấn đề DH MHH môn Xác suất và Thống kê cho đối tượng sinh viên ngành Kinh tế và Quản trị kinh doanh, tác giả Đồng Thị Hồng Ngọc (2021) đã xây dựng 10 bước MHH Toán học trong môn xác suất thống kê,xây dựng quy trình dạy học MHH, xác định 11 thành tố của MHH Toán học trong môn xác suất thống kê Đề xuất 3 biện pháp để dạy học MHH toán học trong Xác suất và Thống kê cho sinh viên ngành Kinh tế và Quản trị kinh doanh, lấy ví dụ minh họa và bài tập về tình huống thực tiễn là tài liệu tham khảo cần thiết cho sinh viên [30]

1.1.2 Một số kết quả nghiên cứu về dạy học Đại số tổ hợp ở trường THPT

Đại số tổ hợp là một nội dung gần gũi và gắn bó với thực tiễn cuộc sống, nên đã được đưa vào chương trình môn Toán ở trường THPT qua các thời kỳ của cải cách giáo dục toán học trên thế giới và ở Việt Nam

Ở Việt Nam, Đại số tổ hợp là một nội dung nằm trong Đại số và Giải tích ở THPT được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu

Theo hướng tìm “các phương án gây nhiễu cho câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn”, các tác giả Nguyễn Thị Mỹ Hằng, Phạm Xuân Chung (2009) đã tìm hiểu, phân tích những sai lầm của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp [14]

Tác giả Trần Quốc Cường (2010) tiếp cận dạy học chủ đề nội dung này từ

yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh miền núi Sơn La [11]

Với nội dung dạy học Đại số tổ hợp, tác giả Phạm Thị Thanh Huyền (2014) đã xây dựng một phương án vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề nhằm nâng cao chất lượng DH chủ đề này cho HS lớp 11 THPT

Trước yêu cầu triển khai DH chủ đề đại số tổ hợp theo chương trình, SGK mới, tác giả Trần Huỳnh Mỹ Duyên (2023) đã khai thác sử dụng phương pháp vẽ sơ đồ dựa trên đặc điểm của phương pháp đếm ở nội dung liên quan đến quy tắc cộng, quy tắc nhân, tổ hợp và chỉnh hợp [59]

Nhóm tác giả Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2003) tổng hợp các

dạng toán và phương pháp giải toán tổ hợp để làm tư liệu tham khảo trong DH [12]

Ở nhiều công trình khác, các tác giả tiến hành nghiên cứu về những nội dung

DH rộng hơn, bao trùm cả “Đại số tổ hợp” như Tổ hợp và xác suất hoặc bao gồm cả Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân, chẳng hạn như trong một số luận văn Thạc sỹ

- Năm 2015, tác giả Phùng Đức Cường nghiên cứu phát triển NL giải quyết vấn đề

cho HS trung học phổ trong DH các bài toán có nội dung thực tiễn ở chủ đề tổ hợp và xác suất

- Tác giả Nguyễn Thị Khiến (2018) nghiên cứu giải pháp “dạy học chủ đề tổ hợp và xác suất cho học sinh lớp 11” bằng phương pháp kiến tạo

Như vậy, DH chủ đề nội dung này đã được nghiên cứu từ nhiều khía cạnh, mục đích và đối tượng HS ở những thời điểm với những chương trình SGK khác

nhau Khi đó, vấn đề “phát triển NL MHH toán học” chưa được đặt ra một cách riêng biệt, ẩn chứa vào NL toán học trong mục tiêu chung DH Toán

1.2 NL và dạy học phát triển NL qua môn Toán 1.2.1 Khái niệm năng lực

Theo [8], ở chương trình giáo dục phổ thông 2018, khái niệm NL được coi là những thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển dựa trên yếu tố bỏ bẩm sinh và quá trình học tập, rèn luyện, nhờ đó con người có khả năng huy động hiểu biết, kinh nghiệm để thực hiện thành công, đạt kết quả tốt một loại hoạt động nhất định

Trong khoa học Tâm lý, Trần Trọng Thủy cùng các tác giả đưa ra cách hiểu: NL là tổng hợp những thuộc tính cá nhân để đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo đạt được kết quả tốt [36]

Như vậy, xét trong phạm vi DH, NL có thể hiểu là tổng hợp những thuộc tính của HS được hình thành và phát triển trong quá trình học tập và rèn luyện, giúp các em có thể hoàn thành được những yêu cầu nhất định và đạt hiệu quả tốt trong một hoạt động học tập và thực hành vận dụng

1.2.2 Các NL cần phát triển cho HS THPT môn Toán

Trong NL, có thể chia thành hai loại chủ yếu là NL chung (phạm vi rộng) và NL chuyên biệt (phạm vi thu hẹp) ở đề tài này, từ mục tiêu DH Toán, chúng tôi dựa trên quan niệm và cách phân chia của chương trình giáo dục tổng thể 2018:

- NL chung gồm “NL tự chủ và tự học; NL giao tiếp và hợp tác; NL giải quyết vấn đề và sáng tạo” ([8]) Đồng thời môn Toán cũng góp phần phát triển năng lực tính toán (sử dụng các phương pháp, kỹ thuật và công cụ toán học để thực hiện các phép tính, ước lượng và tính toán nhanh), năng lực ngôn ngữ và các năng lực đặc thù (NL tin học, NL thẩm mỹ)

- NL chuyên biệt đối với môn Toán gồm “NL tư duy và lập luận toán học; NL MHH toán học; NL giải quyết vấn đề toán học; NL giao tiếp toán học; NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán” - tạo thành NL toán học

Trong đó, các thành phần của NL toán học được mô tả như sau:

- NL tư duy và lập luận toán học: Khả năng nhận dạng, xác định, phân tích, lập luận và lý giải

- NL MHH toán học: Khả năng xây dựng mô hình toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng thực tế, từ đó GQVĐ có tính thực tiễn Như vậy, NL MHH toán học là một thành phần của NL toán học cần thiết phát triển cho HS qua môn Toán

- NL GQVĐ toán học: tìm và trình bày cách thức GQVĐ, trả lời các câu hỏi, giải các bài toán

- NL giao tiếp toán học: Khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học để biểu đạt, giao tiếp, giải thích, chứng minh và lập luận toán học ở những tình huống trao đổi, thảo luận; đảm bảo trình bày các ý tưởng toán học một cách rõ ràng, chính xác và hiệu quả

- NL sử dụng công cụ phương tiện học toán: Thể hiện ở việc HS sử dụng đúng đắn, hợp lý những công cụ, phương tiện để hỗ trợ việc học toán

- NL sáng tạo toán học: Khả năng phát hiện, tạo ra các ý tưởng, giải pháp toán học mới; thể hiện ở cách nghĩ và làm mới, kết quả mới, nhiều cách giải quyết,

- GV thực hiện phát triển NL sử dụng ngôn ngữ toán học thông qua: + Tổ chức các hoạt động học tập để HS được sử dụng ngôn ngữ toán học để biểu đạt, giao tiếp, giải thích, chứng minh và lập luận toán học

+ Sử dụng các hình thức trình bày đa dạng để giúp HS hiểu và sử dụng ngôn ngữ toán học một cách chính xác và hiệu quả

- GV thực hiện phát triển NL tư duy và lập luận toán học thông qua: + Tổ chức các hoạt động học tập để HS được rèn luyện khả năng nhận dạng, xác định, phân tích, giải quyết và đánh giá vấn đề toán học và những tình huống xuất phát từ thực tiễn

- GV thực hiện phát triển NL MHH toán học thông qua: + Tổ chức các hoạt động học tập để HS được xây dựng mô hình toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng thực tế GV dạy cho HS biết cách sử dụng MHH toán học khi giải các bài toán có tính thực tiễn

- GV thực hiện phát triển NL tính toán thông qua: + Thiết kế, tổ chức các hoạt động tạo điều kiện cho HS rèn luyện các kỹ năng tính toán; Sử dụng các công cụ, phương tiện công nghệ để hỗ trợ HS tính toán nhanh và chính xác

- GV thực hiện phát triển NL sử dụng công cụ, phương tiện học Toán thông qua:

+ Thiết kế, tổ chức hoạt động tạo điều kiện cho HS sử dụng các công cụ, phương tiện học toán; GV hướng dẫn các em biết lựa chọn và sử dụng các công cụ, phương tiện học toán phù hợp

- GV thực hiện phát triển NL giao tiếp toán học thông qua: + Tăng cường thiết kế, tổ chức các hoạt động học tập tạo cơ hội cho HS có điều kiện trao đổi, thảo luận và trình bày các ý tưởng toán học một cách rõ ràng, chính xác và hiệu quả

- GV thực hiện phát triển NL sáng tạo toán học thông qua việc thiết kế, tổ chức hoạt động cho HS chủ động phát hiện và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo (chứa yếu tố mới, phương pháp mới, kết quả mới, )

1.3 Năng lực mô hình hóa toán học 1.3.1 Mô hình hóa toán học

Vào 1991, các tác giả Frank Swetz – J S Hartler đã đưa ra quan niệm về

MHH Toán học: Coi đó là quá trình xây dựng và sử dụng mô hình Toán học nhằm mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng, tình huống thực tiễn [55]

Như vậy, MHH Toán học bao trùm nhiều lĩnh vực: khoa học, kỹ thuật, kinh

bản chất hơn các hiện tượng thực tế, từ đó có những phỏng đoán khoa học và đưa ra quyết định hành động

Trong lĩnh vực DH, theo Niss [50], MHH toán học được hiểu là quá trình GV tổ chức và hướng dẫn giúp HS sử dụng kiến thức, công cụ (kể cả phương tiện công nghệ và phần mềm) và ngôn ngữ ký hiệu toán học để tìm hiểu, khám phá những tình huống có tính thực tiễn

Quá trình mô hình hóa Toán học trong dạy học ở trường phổ thông, cho thấy mối quan hệ giữa các kiến thức trong sách giáo khoa và thực tiễn Vì vậy, HS phải có các kỹ năng phân tích, tổng hợp, so sánh,… và giáo viên phải luôn thay đổi phương pháp dạy học qua những từng tình huống cụ thể để phù hợp và thích ứng với cuộc sống

Theo Nguyễn Danh Nam ([28]) và Trần Vui ([40]), mô hình hóa toán học được hiểu là quá trình thực hiện các bước: toán học hoá, giải bài toán (bằng công cụ Toán học), thông hiểu, đối chiếu và trả lời; nhằm giải quyết vấn đề được đặt ra ở tình huống có tính thực tiễn

Dựa trên kết quả nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước, ở đề tài này, chúng tôi hiểu “Mô hình hóa toán học là quá trình tìm hiểu, những tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học, nhằm giải quyết vấn đề”

1.3.2 Phương pháp và quy trình MHH Toán học

Theo Nguyễn Danh Nam (2016), “phương pháp MHH Toán học là một quá trình xây dựng và sử dụng mô hình Toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng thực tế Trong thực tế, có nhiều phương pháp để xây dựng mô hình Toán học:

- Phương pháp toán học: Phương pháp này sử dụng các công thức và phương trình toán học để mô tả vấn đề

- Phương pháp mô phỏng: Phương pháp này sử dụng các mô hình máy tính để mô tả vấn đề

- Phương pháp thống kê: Dùng để thu thập thông tin, mô tả vấn đề Lựa chọn phương pháp MHH phù hợp phụ thuộc vào nhiều yếu tố, chẳng hạn như bản chất của vấn đề, dữ liệu sẵn có và mục tiêu của mô hình” ([28])

Phương pháp MHH dùng trong DH Toán để thực hiện một quy trình MHH toán học

Theo quy trình của Swetz và Hartzler (1991), MHH toán học bao gồm 4 giai đoạn như sau:

“Giai đoạn 1: Con người quan sát hiện tượng, tìm hiểu tình huống để phát hiện các yếu tố có liên quan

* Bước 1: Tìm hiểu vấn đề thực tiễn

Giai đoạn 2: Xác lập dự đoán về mối quan hệ giữa các yếu tố và xây dựng mô hình toán học phù hợp

* Bước 2: Lập giả thuyết

Thu thập, thống kê những yếu tố để chuẩn bị cho việc thiết lập điều kiện ban đầu của bài toán

* Bước 3: Xây dựng bài toán

Sử dụng kiến thức, phương pháp và ngôn ngữ ký hiệu toán học để thiết lập

bài toán ở dạng thuần túy toán học

3 Giai đoạn 3: Sử dụng các phương pháp toán học để giải bài toán

* Bước 4: Giải bài toán bằng công cụ toán học * Bước 5: Hiểu rõ lời giải và kết quả của bài toán

4 Giai đoạn 4: Kết luận trả lời cho vấn đề thực tiễn đặt ra ban đầu

* Bước 6: Kiểm nghiệm lại mô hình và cách thức giải quyết * Bước 7: Đối chiếu với tình huống thực tiễn để đưa ra câu trả lời [55]

Theo Trần Vui (2009), quá trình toán học hóa được đặc trưng qua 5 khía cạnh (có thể coi như là 5 bước thực hiện MHH toán học):

“1 - Xâm nhập tình huống thực tiễn; 2 - Sử dụng phương pháp toán học để tổ chức sắp xếp vấn đề; 3 - Bỏ qua những yếu tố phụ để phát biểu bài toán toán học; 4 - Giải bài toán bằng công cụ toán học

5 - Chuyển kết quả bài toán về câu trả lời đối với tình huống thực tiễn” [40]

Theo Nguyễn Bá Kim (2014), giải quyết vấn đề thực tiễn bằng công cụ toán học được tiến hành theo 4 bước:

“- Bước 1: Xuất phát từ tình huống thực tiễn, xây dựng bài toán thực tiễn Chú ý

rằng: Tùy theo điều kiện và đối tượng học sinh, việc này có thể để HS tham gia một phần hoặc hoàn toàn do GV đưa ra

- Bước 2: Chuyển bài toán thực tiễn sang mô hình toán học để phát biểu bài toán - Bước 3: Dùng kiến thức và phương pháp toán học để giải bài tập toán

- Bước 4: Chuyển kết quả lời giải bài tập toán sang kết quả của bài toán thực tiễn (nếu có thì đưa ra câu trả lời cho tình huống ban đầu)” [23]

Theo Nguyễn Anh Tuấn (2018), quá trình vận dụng toán học vào giải quyết thực tiễn thường được tiến hành theo 4 bước: (Tiếp cận) Tình huống thực tiễn  (Toán học hóa) thông qua mô hình hóa toán học  (Giải quyết vấn đề toán học) bằng cách sử dụng các phương pháp toán học để giải quyết  (Kết luận) điều chỉnh các kết quả cho phù hợp với tình huống ban đầu và trả lời câu hỏi đặt ra [56]

Vận dụng vào DH môn Toán, Nguyễn Danh Nam (2015) xác định quy trình MHH Toán học có thể phân chia thành 4 giai đoạn với 7 bước tiến hành như sau: “Giai đoạn 1 Khảo sát hiện tượng thực tiễn

Bước 1: Tìm hiểu tình huống để loại bỏ những yếu tố phụ để đơn giản hóa, xác định cấu trúc vấn đề, đưa ra dự đoán về những mối liên hệ

Giai đoạn 2 Xây dựng giả thuyết và xác định mô hình toán học tương ứng Bước 2: Xác lập các mối liên hệ giữa các yếu tố toán học

Giai đoạn 3 Xây dựng và giải bài toán Bước 3: Phát biểu bài toán bằng ngôn ngữ ký hiệu toán học Bước 4: Giải bài toán bằng phương pháp toán học

Giai đoạn 4 Nghiên cứu kết quả bài toán và kết luận Bước 5: Hiểu rõ sự liên hệ giữa kết quả của bài toán với ý nghĩa thực tế Bước 6: Kiểm tra tính hợp lý, chính xác của mô hình và phương pháp toán học đã sử dụng

Bước 7: Chỉnh sửa mô hình toán học (nếu cần) hoặc tìm kiếm mô hình tối ưu hơn [25]

Vận dụng vào DH Đại số tổ hợp theo chương trình môn Toán 2018, chúng tôi áp dụng một quy trình MHH toán học “đơn giản” dành cho HS lớp 10, bao gồm 4 bước thực hiện như sau:

Bước 1 - Tìm hiểu tình huống thực tiễn và xác định vấn đề có mối liên quan

đại số tổ hợp

Bước 2 - Thu thập, xác định những yếu tố gần gũi với đại số tổ hợp để làm

căn cứ thiết lập mô hình bài toán

Bước 3 - Xây dựng và kiểm tra mô hình bài toán đại số tổ hợp Bước 4 - Sử dụng mô hình bài toán đại số tổ hợp và các phương pháp toán

học để giải quyết và trả lời vấn đề đặt ra ban đầu

1.3.3 Quan niệm, thành phần, biểu hiện NL MHH Toán học

Có nhiều cách hiểu về NL MHH toán học, ở luận văn này, chúng tôi tham khảo và dựa trên quan niệm của các tác giả Jensen, T H (2007, [49]) và Niss, M (2010, [50]); đối chiếu với kết quả vận dụng vào thực tiễn DH Toán ở Việt Nam của tác giả Nguyễn Danh Nam [26], chúng tôi thấy:

NL MHH Toán học là một NL phức hợp, bao gồm nhiều thành phần và biểu hiện khác nhau Có thể mô tả như sau:

- Kĩ năng xác lập vấn đề: Nhận dạng, mô tả được vấn đề cần giải quyết (câu hỏi và cấu trúc vấn đề)

- Kĩ năng thu thập thông tin, dữ liệu: Thu thập được những yếu tố trong tình huống và huy động những kiến thức liên quan đến vấn đề cần giải quyết

- Kĩ năng xây dựng và kiểm tra mô hình: Sử dụng kiến thức, phương pháp và ngôn ngữ ký hiệu toán học để xây dựng mô hình bài toán toán học Đồng thời được kiểm tra mô hình đã phù hợp hay chưa?

- Kĩ năng sử dụng mô hình: Sử dụng đúng đắn và hợp lý mô hình toán học để giải quyết vấn đề

NL MHH Toán học biểu hiện ở HS: - Khả năng nhận dạng và mô tả vấn đề thực tế: HS có thể nhận dạng và mô tả chính xác vấn đề thực tế cần giải quyết

- Khả năng thu thập dữ liệu: HS có thể thu thập và sử dụng dữ liệu một cách hợp lý để xây dựng mô hình

- Khả năng xây dựng bài toán: HS sử dụng được kiến thức, phương pháp, ngôn ngữ ký hiệu toán học để xây dựng mô hình bài toán phù hợp với vấn đề thực tế

- Khả năng kiểm tra mô hình: HS có thể kiểm tra mô hình để đảm bảo mô hình phù hợp với dữ liệu thực tế

- Khả năng vận dụng mô hình: HS biết sử dụng mô hình và phương pháp toán học để giải quyết vấn đề đặt ra

Để đánh giá NL MHH Toán học của HS, có thể sử dụng các bài tập, dự án hoặc tình huống thực tế yêu cầu HS sử dụng các kĩ năng MHH

Trên cơ sở này, đối chiếu với quy trình vận dụng các bước MHH toán học (đã xác định ở mục 1.3.2) chúng tôi rút ra một cách hiểu về NL MHH toán học ở

phạm vi DH Toán phổ thông, đồng thời lựa chọn, xác định 4 thành phần biểu hiện, làm cơ sở vận dụng ở đề tài này như sau:

NL MHH Toán học là khả năng sử dụng các phương pháp toán học để xây dựng mô hình Toán học nhằm giải quyết vấn đề thông qua các kỹ năng sau:

Kỹ năng 1 - Tìm hiểu tình huống và xác định vấn đề: thể hiện ở khả năng nhận

dạng, xác định và mô tả vấn đề cần giải quyết dưới dạng câu hỏi Ví dụ 1.1:

Ở tình huống giải bài toán ““Từ một nhóm 10 bạn học sinh, có bao nhiêu cách chọn 3 bạn đi học bơi?”, HS nhận dạng được ở đó có mặt “tổ hợp”: Chọn 3 đối tượng trong số 10 đối tượng, xác định cần tìm cách trả lời câu hỏi “Làm thế nào

để đưa về trường hợp vận dụng được công thức tính số tổ hợp đã biết?”

Kỹ năng 2 - Thu thập thông tin để xây dựng mô hình: thể hiện ở khả năng thu

thập thông tin dưới dạng dữ liệu cần thiết để giải quyết vấn đề Ví dụ 1.2:

Ở tình huống giải bài toán ““Từ một nhóm 10 bạn học sinh, có bao nhiêu cách chọn 3 bạn đi học bơi?”, HS xác định được những thông tin cần thiết có liên

quan đến mô hình bài toán tính số tổ hợp: Tổng số phần tử là 10, cần chọn ra 3 phần tử (không tính đến thứ tự chọn)

Kỹ năng 3 - Xây dựng và kiểm tra mô hình bài toán: thể hiện ở khả năng xây

dựng mô hình Toán học cho vấn đề cần giải quyết, bằng cách sử dụng các phương pháp thích hợp Đồng thời HS cần biết kiểm tra để đảm bảo mô hình toán học đã xây dựng phù hợp với thực tế; đủ điều kiện giải quyết vấn đề

Ví dụ 1.3:

Ở tình huống giải bài toán ““Từ một nhóm 10 bạn học sinh, có bao nhiêu cách chọn 3 bạn đi học bơi?”, HS sử dụng kiến thức về tổ hợp, ngôn ngữ ký hiệu

toán học để chuyển đổi câu hỏi “Làm thế nào trả lời được câu hỏi đặt ra?” về xây

dựng bài toán tính số tổ hợp như sau: Tính số tổ hợp chập 3 của 10?

Kỹ năng 4 - Sử dụng mô hình và phương pháp toán học trong giải quyết vấn đề: Khả năng sử dụng mô hình và các phương pháp toán học để giải quyết vấn đề,

trả lời câu hỏi Ví dụ 1.4:

Ở tình huống giải bài toán ““Từ một nhóm 10 bạn học sinh, có bao nhiêu cách chọn 3 bạn đi học bơi?”, HS nhận ra bài toán tính số tổ hợp chập 3 của 10

phần tử, từ đó nhớ lại và vận dụng đúng công thức:

(n 1) (n k 1)(k 1) 3.2.1

kn

nC

- Đánh giá được sự hợp lý, chính xác của cách thức, quá trình giải quyết Mức độ NL MHH Toán học của HS có thể được cải thiện qua quá trình học tập và rèn luyện

Giữa các mức độ có sự chuyển tiếp một cách “giao thoa”, GV cần thiết kế, tổ chức những hoạt động phù hợp để HS tập luyện MHH toán học, nâng cao dần mức độ của NL MHH toán học

1.3.5 Sự cần thiết và ý nghĩa của việc phát triển NL MHH Toán học cho HS phổ thông qua môn Toán

a) Vai trò của năng lực mô hình hóa toán học

Toán học xuất phát từ nhu cầu thực tiễn cuộc sống của con người, nên mục đích cuối cùng của việc học Toán là để giải quyết những vấn đề đặt ra trong thực tế cuộc sống - đây cũng là triết lý giáo dục toán học trên thế giới

Thực hiện nguyên lý “học đi đôi với hành”, nội dung và cách thức DH Toán

ở Việt Nam đã từ lâu hướng đến mục tiêu giúp cho người học hình thành phát triển NL vận dụng toán học vào thực tiễn

Một số công trình và kết quả cụ thể: Đối với môn Toán THPT, Nguyễn Ngọc Anh đã đề xuất giải pháp rèn luyện khả năng ứng dụng toán học cho học sinh lớp 12 THPT trong DH chủ đề nội dung “ứng dụng của phép tính vi phân để giải các bài toán cực trị có nội dung liên môn và thực tế” [4]

Đối với môn Toán THCS, tác giả Bùi Huy Ngọc tập trung nghiên cứu phát triển NL vận dụng toán học vào thực tiễn cho HS THCS trong DH Số học và Đại số ở THCS, bằng giải pháp giúp GV tăng cường khai thác nội dung thực tế khi thiết kế nội dung DH [29]

Rõ ràng là: Muốn thực hiện định hướng DH Toán gắn với thực tiễn và hướng đến NL vận dụng môn Toán của HS vào cuộc sống ([23], [40], [4], [29], [56]); trong đó có bước “chuyển đổi giữa tình huống vấn đề thực tiễn với mô hình, công

cụ và phương pháp toán học” tất yếu phải đặt ra và thực hiện mục tiêu phát triển một NL thành phần quan trọng ở HS - đó chính là NL MHH toán học

Như vậy, có thể thấy: NL MHH Toán học là một thành phần quan trọng trong NL toán học cần phát triển ở HS Bằng chứng là việc đưa NL MHH toán học vào một trong năm thành phần của NL toán học ở chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018 [9]

NL này giúp HS hiểu rõ hơn về các khái niệm Toán học, phát triển khả năng tư duy và giải quyết vấn đề, liên kết kiến thức Toán học với thế giới thực tế và phát triển NL sáng tạo

b) Việc phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS có tác dụng:

- Giúp HS hiểu rõ hơn về các khái niệm Toán học: MHH Toán học là một cách tiếp cận các khái niệm Toán học từ thực tế Thông qua quá trình xây dựng, sử dụng mô hình Toán học, GV làm cho HS nắm vững hơn các kiến thức môn Toán, mối quan hệ lôgic giữa các kiến thức lý thuyết môn Toán; đồng thời hình thành phát triển khả năng thực hành áp dụng vào giải quyết các vấn đề thực tế

- Phát triển khả năng tư duy và giải quyết vấn đề: MHH Toán học là một quá trình đòi hỏi HS phải vận dụng các kĩ năng tư duy như phân tích, tổng hợp, suy luận, sáng tạo, để xây dựng và sử dụng mô hình Việc phát triển NL MHH Toán học giúp HS phát triển khả năng tư duy và giải quyết vấn đề một cách hiệu quả

- Liên kết kiến thức Toán học với thế giới thực tế: MHH Toán học là một cách để ứng dụng Toán học vào giải quyết các vấn đề thực tế Việc phát triển NL MHH Toán học giúp HS liên kết kiến thức Toán học với thế giới thực tế, hiểu được vai trò của Toán học trong cuộc sống

- Phát triển NL sáng tạo: MHH Toán học đòi hỏi HS phải vận dụng khả năng sáng tạo để lựa chọn các phương pháp MHH phù hợp và xây dựng mô hình Toán học hiệu quả Việc phát triển NL MHH Toán học giúp HS phát triển NL sáng tạo, tư duy phản biện và giải quyết vấn đề một cách linh hoạt

Khi phát triển NL MHH Toán học cho HS qua môn Toán là một yêu cầu quan trọng nhằm đáp ứng yêu cầu của xã hội hiện đại Trong bối cảnh hiện nay, Toán học không chỉ là một môn học hàn lâm mà còn là một công cụ quan trọng để giải quyết các vấn đề thực tế Việc phát triển NL MHH Toán học cho HS sẽ giúp HS có được những kĩ năng và kiến thức cần thiết để thành công trong học tập, lao động và cuộc sống

1.3.6 Biểu hiện của NL MHH toán học cần hình thành cho học sinh

Biểu hiện 1: Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học, xây

dựng giả thuyết để giải quyết vấn đề, mô tả, diễn đạt lại bằng ngôn ngữ Toán học một cách đơn giản

Ví dụ 1.5: Trong bài học số 23: Quy tắc đếm nằm trong chương VIII ĐSTH ở phần 1 Quy tắc cộng và sơ đồ hình cây ở bài toán đầu tiên chọn chuyến đi:

Từ HN vào Vinh có 7 chuyến tàu hỏa và 2 chuyến máy bay (trong một ngày đêm) Bạn An muốn chủ nhật này đi từ HN vào Vinh bằng tàu hỏa hoặc máy bay Hỏi có bao nhiêu cách chọn phương tiện cho chuyến đi?

Ở bài toán này, HS nhận biết được nó chính là một bài toán đếm, nếu HS chưa phát hiện được GV cần đưa ra một số câu hỏi để gợi ý hướng HS đưa ra nhận biết và suy nghĩ hướng giải quyết bài toán

Biểu hiện 2: Xác lập được mô hình toán học (sự liên hệ giữa các yếu tố thông qua

công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, ) nhằm thể hiện đúng tình huống thực tiễn

Để giải quyết bài toán trên GV yêu cầu HS hiểu đề bài, và vận dụng những kĩ năng sẵn có làm thế nào đơn giản bài toán

Ở bài toán này HS từ các dữ kiện của bài toán biểu diễn, mô tả được bài toán dưới dạng sơ đồ (cụ thể là sơ đồ hình cây) dưới sự giúp đỡ của giáo viên và thu được kết quả như sau :

Hoạt động mô tả tình huống bằng hình vẽ, sơ đồ là hoạt động MHH toán học ở mức độ đơn giản mà HS có thể thực hiện được

Biểu hiện 3: Từ mô hình vừa xây dựng phân tích, lựa chọn các kiến thức,

công thức toán học phù hợp để giải quyết những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

Dựa vào sơ đồ vẽ được, HS có thể quan sát và đếm để đưa ra được kết quả: Từ Hà Nội đến Vinh có 7 + 5 = 12 cách chọn phương án giao thông

Qua bài toán trên và một vài ví dụ có thể lấy thêm GV và HS tổng kết, từ đó nhận xét, cùng nhau đi đến khái niệm Quy tắc cộng

Đây được coi là hoạt động thiết lập “QUY TẮC CỘNG, SƠ ĐỒ HÌNH CÂY” để mô tả giúp HS nhận dạng, MHH (vẽ sơ đồ) để đơn giản hóa bài toán, cũng như từng bước đưa ra được lời giải trong các bài toán thực tiễn về sau liên quan tới quy tắc cộng

Biểu hiện 4: HS giải thích được tính hợp lý, đúng đắn của lời giải, thông qua

việc đối chiếu những kết quả với với tình huống thực tiễn Nhờ việc đơn giản hóa tình huống bằng ngôn ngữ ký hiệu toán học, HS phát hiện bản chất toán học trong vấn đề, trong phương pháp giải quyết để tối ưu hóa

GV gợi mở, dẫn dắt để HS có thể chứng minh tính đúng đắn của bài toán mở đầu cũng như Quy tắc cộng bằng cách trả lời được các câu hỏi:

+ Nếu sử dụng phép nhân thay vì phép cộng lời giải bài toán có còn đúng hay không?

+ Đối với bài toán thực hiện một công việc qua hai giai đoạn, giai đoạn 1 có m cách, giai đoạn 2 có n cách vậy nếu áp dụng quy tắc cộng trong trường hợp này có còn

đúng nữa hay không? - Từ những ví dụ GV đưa ra, đưa ra kết luận: để giải một bài toán đếm ta hoàn toàn có thể đơn giải hóa nó bằng sơ đồ hình cây, sau đó phân tích tìm ra công thức, quy tắc phù hợp và giải bài toán một cách dễ dàng

Từ đây giáo viên có thể đưa ra thêm các ví dụ sử dụng quy tắc cộng tương tự và yêu cầu HS giải bài toán (vô hình chung HS đang tự suy nghĩ, vận dụng khả năng quan sát học hỏi từ ví dụ trước sử dụng NL MHH toán học, NL tự giải quyết vấn đề có sự hướng dẫn phân tích, dẫn đắt của GV tự làm các nhiệm vụ tương tự để đi đến lời giải cuối cùng của các bài toán liên quan) Chẳng hạn, có thể tham khảo

ví dụ 1 (SGK toán 10 tập 2 Kết nối tri thức với cuộc sống trang 61) để phát biểu bài toán tương tự: Một quán phục vụ ăn sáng có bán bún và phở, phở có 2 loại là phở bò và phở gà Bún có 3 loại là bún gà, bún ngan và bún cá rô Hãy sử dụng sơ đồ hình cây để minh họa và xác định xem có bao nhiêu cách chọn một món ăn sáng ở đó ([20])

1.4 Thực trạng dạy học chủ đề ĐSTH ở lớp 10 THPT 1.4.1 Nội dung chủ đề ĐSTH lớp 10 (chương trình môn Toán 2018)

Chủ đề nội dung ĐSTH ở lớp 10 là một phần kiến thức giữ vị trí quan trọng trong chương trình môn Toán THPT Đây là phần kiến thức giúp HS giải quyết các bài toán liên quan đến đếm số tổ hợp, số chỉnh hợp, số hoán vị,

Chủ đề ĐSTH ở lớp 10 được đưa vào CHƯƠNG VIII: ĐẠI SỐ TỔ HỢP với 11 tiết (bộ SGK Kết nối tri thức với cuộc sống, [20]) trong 3 bài dạy (23, 24, 25) và một tiết bài tập cuối chương, bao gồm các nội dung sau:

- Quy tắc cộng và quy tắc nhân: Quy tắc cộng và quy tắc nhân là hai quy tắc cơ

bản trong ĐSTH Quy tắc cộng được sử dụng để đếm số tổ hợp của một tập hợp khi có hai hay nhiều cách lựa chọn Quy tắc nhân được sử dụng để đếm số tổ hợp của một tập hợp khi các phần tử của tổ hợp có thể được lựa chọn theo nhiều cách khác nhau

Yêu cầu cần đạt: “Vận dụng được quy tắc cộng và quy tắc nhân trong 1 số tình huống đơn giản; Vận dụng được sơ đồ hình cây trong các bài toán đếm đơn giản” (SGV Toán 10, [21])

- Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp:

Đây là những khái niệm cơ bản trong ĐSTH và phản ánh những hiện tượng gần gũi trong cuộc sống: Hoán vị chính là số cách sắp xếp có tính đến thứ tự các phần tử trong một tập hợp Chỉnh hợp là số cách lựa chọn k phần tử từ một tập hợp có n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự sắp xếp của các phần tử đó Tổ hợp là số cách lựa chọn k phần tử từ một tập hợp có n phần tử mà quan tâm đến thứ tự sắp xếp của các phần tử đó

Yêu cầu DH đã được nêu trong SGK Toán 10 là: HS nhận biết và tính được các số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng công thức hoặc bằng máy tính cầm tay (SGV Toán 10, [21])

- Nhị thức Newton: Nhị thức Newton là một công thức quan trọng trong ĐSTH

Công thức này được sử dụng để tính giá trị của biểu thức (a+b)n, trong đó a và b là hai số thực và n là một số tự nhiên

Yêu cầu cần đạt: “Biết cách khai triển nhị thức Newton bằng cách vận dụng tổ hợp; Vận dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển một số biểu thức đại số và ứng dụng trong ước lượng một số biểu thức số” (SGV Toán 10, [21])

1.4.2 Tình hình dạy và học chủ đề ĐSTH với yêu cầu phát triển NL MHH toán

học

1.4.2.1 Nội dung và phương pháp điều tra

Để tìm hiểu thực trạng, chúng tôi sử dụng các phương pháp dự giờ, quan sát, nghiên cứu hồ sơ dạy và học của GV và HS, phỏng vấn trực tiếp và sử dụng phiếu hỏi (Các phiếu hỏi ở phụ lục 1 và 2)

Đối tượng: GV Toán, cán bộ quản lý và HS của trường THPT Hoàng Mai (Hà Nội) và của Hệ Giáo dục thường xuyên trong Trường Cao đẳng Cơ giới Ninh Bình

Nội dung 1 - Đối với 20 GV Toán và cán bộ quản lý (phiếu hỏi ở phụ lục 1)

Tìm hiểu nhận thức của GV và cán bộ quản lý một số vấn đề về MHH toán học (quan niệm, phương pháp và quy trình, NL MHH toán học), vai trò và sự cần thiết phát triển NL MHH toán học cho HS qua môn Toán Những khó khăn, thuận lợi khi DH chủ đề Đại số tổ hợp trước yêu cầu phát triển NL MHH toán học,

Nội dung 2 - Đối với 200 HS lớp 10 (phiếu hỏi ở phụ lục 2) Tìm hiểu nhận thức của HS lớp 10 một số vấn đề liên quan đến học Đại số tổ hợp và MHH toán học (quan niệm và hiểu biết về MHH toán học, NL MHH toán học), hứng thú và những khó khăn, thuận lợi khi học chủ đề Đại số tổ hợp và tập luyện kỹ năng MHH toán học,

0/20 0%

4/20 20%

16/20 80%

Câu 2

4/20 20%

8/20 40%

6/20 30%

2/20 10%

Câu 3

0/20 0%

6/20 30%

8/20 40%

4/20 20%

Câu 4

0/20 0%

10/20 50%

8/20 40%

2/20 10%

Câu 5

8/20 40%

10/20 50%

2/20 10%

0/20 0% Nhận xét: Như vậy có thể thấy mặc dù tất cả GV (100% ở câu hỏi 1) đều nhận thức được sự cần thiết phát triển NL MHH toán học cho HS qua môn Toán; nhưng do thiếu những hiểu biết cần thiết (vẫn có 60% GV nhận thức ở mức tương đối hạn chế - ở câu hỏi 2) cho nên họ gặp khó khăn trong việc phát triển NL MHH toán học cho HS khi dạy Toán (có tới 50% GV gặp nhiều khó khăn - ở câu hỏi 3) Đánh giá về HS, có 50% GV cho rằng các em gặp nhiều khó khăn khi học Đại số tổ hợp (ở câu hỏi 4) và nhất là mức độ HS đạt được NL MHH toán học trong học Đại số tổ hợp còn khá thấp (40% ở mức độ rất thấp, chỉ có 10% HS đạt mức khá ở câu hỏi 5)

Bảng 1 2 Kết quả khảo sát học sinh lớp 10

Câu 6

Khi học nội dung “Đại số tổ hợp”, các em gặp những khó khăn ở mức độ như thế nào?

30/200 15%

70/200 35%

80/200 40%

20/200 10%

Câu 7

Khi học và vận dụng “Đại số tổ hợp”, các em hiểu biết về hoạt động và năng lực mô hình hóa toán học ở mức độ như thế

50/200 25%

60/200 30%

70/200 35%

20/200 10%

nào?

Câu 8

Khi giải bài toán về vận dụng công cụ “Đại số tổ hợp”, các em tự đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của mình ở mức độ như thế nào?

60/200 30%

80/200 40%

50/200 25%

10/200 5%

Nhận xét: Tuy HS cũng không gặp quá nhiều khó khăn trong học Đại số tổ hợp (chỉ có 50% HS thấy có nhiều khó khăn - ở câu hỏi 6), nhưng hiểu biết của các em về NL MHH toán học còn khá hạn chế (có tới 75% HS gặp khó khăn nhận thức về NL MHH toán học - ở câu hỏi 7) Vì thế kết quả rèn luyện kỹ năng và phát triển NL MHH toán học ở HS còn nhiều hạn chế (ở câu hỏi 8: Có tới 70% tự đánh giá ở mức độ thấp)

Kết hợp với kết quả tìm hiểu bằng những phương pháp điều tra khác, chúng tôi nhận thấy:

 Tính số cách phân chia một tập hợp thành các phần sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

- Có nhiều ứng dụng trong các môn học khác: ĐSTH có nhiều ứng dụng trong các môn học khác, chẳng hạn như:

 Thống kê

 Xác suất

 Logic

 Tin học Hầu hết GV nhận thức được sự cần thiết và vai trò của NL MHH toán học trong DH Toán - đặc biệt là ở chủ đề Đại số tổ hợp (thể hiện ở bảng 1.1) Đối với HS, chủ đề này tuy khó, nhưng đã được làm quen từ tiểu học và THCS ở những nội

dung và mức độ đơn giản: phép đếm, phân chia các trường hợp và lựa chọn, tỷ số và tỷ số phần trăm, một số dạng bài toán số học có lời văn, một số yếu tố về thống kê và xác suất (thu thập, tổ chức, phân tích, biểu diễn số liệu); được sắp xếp nâng

cao dần về mức độ trừu tượng theo từng lớp và bậc học, thông qua những hiện tượng xảy ra xung quanh các em trong cuộc sống [9]

b) Khó khăn

Khó khăn về chủ đề nội dung Đại số tổ hợp: - Khái niệm trừu tượng: ĐSTH là một môn học trừu tượng, đòi hỏi HS phải có khả năng tư duy logic và suy luận Mặt khác, các hiện tượng tình huống thực tiễn đưa ra đòi hỏi các em phải có kỹ năng tư duy và ngôn ngữ chung ở phạm vi rộng lớn trong thực tế Vì thế các em thường gặp những khó khăn trong việc khái quát hóa, trừu tượng hóa để hình thành và nắm vững bản chất các khái niệm

- Cơ sở khoa học và kiến thức toán học có liên quan khá rộng; ĐSTH chứa đựng nhiều kiến thức, nhưng lại được “nén” vào và trình bày mang tính giới thiệu ở Toán 10 với thời lượng ít (11 tiết) Vì thế nhiều khái niệm khá khó được trình bày rất ngắn gọn, thậm chí không định nghĩa tường minh, Trong khi HS cần nắm vững, hiểu sâu sắc thì mới nhận diện và thể hiện đúng khi vận dụng

- HS gặp khó khăn về đọc hiểu đúng ngôn ngữ biểu đạt (do đề cập đến những tình huống thực tiễn rất đa dạng, với phạm vi hiểu biết thực tế phong phú), từ đó mới có thể chuyển đổi sang được đúng mô hình lý thuyết đã học về Đại số tổ hợp Các bài

tập ĐSTH thường có nhiều dạng khác nhau và đòi hỏi HS phải có khả năng tư duy linh hoạt và sáng tạo Do đó, HS thường gặp khó khăn trong việc giải các bài tập này

Khó khăn về nhận thức và kỹ năng dạy và học chủ đề này theo hướng phát triển NL MHH toán học của GV và HS: Cả GV và HS còn có những hạn chế nhất định về nhận thức, đặc biệt là cách thức dạy và học “Đại số tổ hợp” bám sát vào thành phần, biểu hiện của NL MHH toán học (kết quả và nhận xét ở các bảng 1.2)

TIỂU KẾT CHƯƠNG 1

Kết quả nghiên cứu lý luận và thực tiễn ở chương 1 thể hiện ở: - Làm rõ quan niệm, 4 thành phần, biểu hiện của NL MHHTH ở HS - Tìm hiểu thực trạng dạy và học ĐSTH: Những thuận lợi, khó khăn và phân tích nguyên nhân của những hạn chế về việc phát triển NL MHHTH cần được khắc phục

Từ đó có thể thấy: NL MHH toán học là một thành phần quan trọng trong mục tiêu DH Toán theo hướng phát triển NL HS ở trường THPT - đặc biệt với ý nghĩa quan trọng gắn môn Toán với ứng dụng thực tiễn của khoa học này Lý luận

về NL MHHTH và thực tiễn dạy và học “Đại số tổ hợp” ở lớp 10 THPT cho thấy:

Cần thiết và có cơ hội để xây dựng giải pháp phát triển NL MHHTH trong quá trình DH và vận dụng công cụ đại số tổ hợp vào môn Toán, môn học khác và thực tiễn cuộc sống

Chương 2 - BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MHH TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

LỚP 10 2.1 Định hướng xây dựng biện pháp dạy học

Để xây dựng giải pháp phát triển NL MHH toán học cho HS lớp 10 trong DH chủ đề ĐSTH, chúng tôi xác định một số định hướng làm căn cứ xây dựng các biện pháp dạy học

- Đảm bảo thực hiện mục tiêu DH đã được quy định trong chương trình, SGK Toán 10 Trong đó chú trọng làm rõ những biểu hiện của các thành phần NL MHH toán học ở HS trong học ĐSTH (các mục 1.3.3 và 1.3.4) Lấy đó làm điểm đến cho các biện pháp DH

- Đảm bảo những kiến thức cốt lõi trong chương trình SGK về Đại số tổ hợp, tất cả nghiên cứu SGK, sách bài tập, sách giáo viên và những tài liệu tham khảo để lựa chọn, chế biến nội dung DH Đại số tổ hợp theo hướng gắn với thực tiễn

- Đảm bảo phù hợp với trình độ nhận thức của HS và phù hợp với tình huống thực tiễn cuộc sống xung quanh các em

- Phối hợp sử dụng các PPDH trong đó chú trọng thiết kế tổ chức những hoạt động thực hành vận dụng cho HS

2.2 Một số biện pháp dạy học chủ đề ĐSTH góp phần phát triển NL MHH Toán học cho HS

2.2.1 Biện pháp 1: MHH bài toán bằng sơ đồ hình cây trong dạy học chủ đề ĐSTH

nhằm phát triển NL MHH toán học cho HS

2.2.1.1 Cơ sở và ý nghĩa của biện pháp:

- Thông qua MHH thiết lập được sơ đồ hình cây (là một mô hình toán học cụ thể) giúp HS đơn giản hóa, cô đọng các giả thuyết của bài toán ban đầu (kỹ năng 1 và 2), từ đó sâu chuỗi các dữ liệu quan trọng để có thể lựa chọn các kiến thức, công thức phù hợp để giải bài toán (kỹ năng 3 và 4)

- Biện pháp này trực tiếp tác động và ảnh hưởng nhiều nhất đến biểu hiện 1, 2 của NL MHH đã xác định ở mục 1.3.3 Để vẽ được sơ đồ hình cây từ đề bài HS phát hiện được các dữ kiện quan trọng của bài toán, từ đó xây dựng giả thuyết giải quyết vấn đề cuối cùng bằng sơ đồ hình cây để mô tả tình huống đặt ra trong bài toán giúp cho quá trình phân tích, lựa chọn nội dung kiến thức, công thức đã học (kỹ năng 3) để giải quyết bài toán trở nên dễ dàng hơn (kỹ năng 4)

2.2.1.2 Nội dung, cách thức thực hiện biện pháp:

- Để HS có thể vẽ được sơ đồ hình cây, giáo viên cần giúp HS hiểu được đề bài, đưa ra được các dữ kiện quan trọng bằng cách đặt câu hỏi liên quan đến dữ kiện bài toán, yêu cầu HS quan sát và trả lời từ đó MHH bằng sơ đồ, ngoài ra giáo viên có thể kết hợp sử dụng hình ảnh trực quan để HS tăng sự hứng thú

- Trước khi HS bắt tay vào vẽ sơ đồ hình cây GV có thể đưa ra một số ví dụ minh họa cũng sử dụng sơ đồ hình cây để HS hình dung ra cách làm

- Nhiệm vụ của HS là quan sát, lắng nghe, dưới sự định hướng của giáo viên nắm rõ đề bài từ đó có thể tự mình vận dụng MHH bài toán dưới dạng sơ đồ hình cây

Ví dụ 2.1: Để giúp HS có thể phát triển NL MHH bằng cách vẽ sơ đồ hình cây

trong giải bài Toán giáo viên có thể đưa ra bài toán sau:

Bạn Nam muốn di chuyển từ tầng 1 lên tầng 3 để vào lớp, biết từ tầng 1 lên tầng ba ta có thể chọn đi thang bộ hoặc thang máy Biết hiện nay nhà trường trang bị 1 thang máy có thể đi thẳng từ tầng 1 lên tầng 3 (không đi qua tầng 2), đối với thang bộ từ tầng 1 lên tầng 2 ta có 3 lối đi, từ tầng 2 lên tầng ba có 2 lối đi Hỏi có bao nhiêu cách để bạn Nam có thể di chuyển từ tầng 1 lên tầng 3?

Ở bài toán này giáo viên sau khi đưa ra đề bài yêu cầu HS đọc kĩ đề và suy nghĩ và trả lời được các câu hỏi:

+ Để đi từ tầng 1 lên tầng 3 ta có thể có những cách thức nào? (thang bộ hoặc thang máy)

+ Nếu lựa chọn đi thang máy bạn Nam có mấy cách ? (1 cách)

+ Nếu lựa chọn đi thang bộ sẽ có mấy cách để bạn Nam đi từ tầng 1 lên tầng 2, từ tầng 2 lên tầng 3?

Sau khi nhận được câu trả lời của HS, giáo viên nhận xét đưa ra kết quả cuối cùng, sau đó yêu cầu HS ghi chép lại câu trả lời, từ các câu trả lời trên MHH thành sơ đồ hình cây (sơ đồ 2.1)

Cuối cùng sau khi HS đưa ra lời giải giáo viên cùng với HS nhận xét phân tích, đưa ra lời giải cuối cùng

tự, mỗi kí tự là một chữ số có trên bàn phím ảo Với yêu cầu đó, có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?

b) Trường hợp thay điều kiện các kí tự là chữ số bởi điều kiện ký tự đầu tiên phải là một chữ cái tiếng Anh (có 26 chữ từ A đến Z); còn 2 kí tự sau chỉ là chữ số của bàn phím thì tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau? Nhiều hay ít hơn trước? Tại sao?

GV xây dựng và sử dụng hệ thống câu hỏi gợi ý hướng dẫn HS dùng sơ đồ hình cây để lập luận như sau:

a) Gọi số tự nhiên tạo ra mật khẩu có dạng: abc , với a, b, c thuộc tập hợp số

A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (chú ý rằng: ở đây không cần phải a khác 0) + Để chọn chữ số đầu tiên a, ta có bao nhiêu cách chọn: Rõ ràng là, từ tập hợp gồm 10 đối tượng, ta có 10 khả năng chọn a

+ Hoàn toàn tương tự, sau khi đã chọn a, để chọn được b, ta cũng có 10 khả năng (vì không bắt buộc b phải khác a)

+ Cũng như vậy đối với c, sau khi đã chọn a và b, ta có 10 khả năng chọn (vì không bắt buộc c phải khác a và b)

Đến đây, ta vẽ sơ đồ hình cây (sơ đồ 2.2) để tìm ra cách tính

Sơ đồ 2.2 Tổng hợp các cách chọn được a, b, c từ 10 chữ số {0, 1, , 9}