dạy học một số chủ đề giải tích lớp 12 theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh luận văn thạc sĩ sư phạm toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ CHÚC

DẠY HỌC MỘT SỐ CHỦ ĐỀ GIẢI TÍCH LỚP 12 THEO HƯỚNG PHÁT TRIẺN NĂNG Lực

MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC sĩ sư PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHUONG PHÁP DẠY HỌC Bộ MÔN TOÁN

Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: GS TS Lê Anh Vinh

HÀ NỘI - 2024

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành không chỉ có sự cố gắng, nỗ lực nghiên cứu, tìm tòi của bản thân mà tác giả còn nhận được sự giúp đỡ, hướng dẫn, động viên của các thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp và người thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến Ban giám hiệu cùng toàn thể quý Thầy cô trong khoa Toán, Bộ phận sau đại học - Phòng đào tạo - trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình giảng dạy và truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian học tập nghiên cứu tại trường.

Tiếp đến, tác giả cũng xin bày tở lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến GS.TS Lê Anh Vinh, thầy đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên cứu cho đến khi hoàn thành luận văn này.

Bên cạnh đó, tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy, cô giáo tổ Toán, các em học sinh trường THPT Yên Khánh A, huyện Yên Khánh, tỉnh Ninh

Bình đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tác giả có thể thực hiện đề tài và hoàn • • • • • thành khóa học.

Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng những thiếu sót trong luận văn là điều khó tránh khỏi Tác giả mong nhận được sự đóng góp ý kiến, trao đổi của các thầy cô giáo, đồng nghiệp và các bạn đọc quan tâm đế luận văn được hoàn thiện tốt hơn nữa.

Xin trân trọng cảm ơn!

MHHTH Mô hình hóa toán học

OECD Organization for Economic Cooperation and DevelopmentPISA Programme for International Student Assesment

SGK Sách giáo khoa

THPT Trung học phổ thông

IV

DANH MỤC CÁC BẢNG

TrangBảng 1.1 Bảng lãi suất ngân hàng A 20Bảng 1.2 Các cấp độ năng lực MHHTH của học sinh 25Bàng 1.3 Phân phối chương trình Giải tích 12 27Bảng 1.4 Kết quả khảo sát ý kiến của HS về thực trạng dạy học MHHTHở trường THPT 34

Bảng 1.5 Kết quả khảo sát ý kiến của GV về thực trạng dạy học MHHTHở trường THPT 37

Bảng 3.1 Bảng khái quát đối tượng thực nghiệm 76Bảng 3.2 Thống kê kết quả học tập môn Toán của học sinh lớp thực nghiệmvà lớp đối chứng trước khi thực nghiệm sư phạm 77

Bảng 3.3 Thống kê điểm của học sinh lớp thực nghiệm và lớp đối chứngqua bài kiếm tra sau thực nghiệm 80Bàng 3.4 Bảng thống kê mô tả các tham số đặc trưng 81

V

DANH MỤC CÁC sơ ĐỒ VÀ BIẾU ĐÒ

Sơ đồ

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Pollak 9

Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quy trình MHH theo Swetz và Hartzler (1991) 10

Sơ đồ 1.3 Sơ đồ quá trình MHH của Blum và LeiB (2006) 11

Sơ đồ 1.4 Sơ đồ quá trình MHH của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards(2007) 12

Sơ đồ 1.5 Sơ đồ chu trình MHH theo PISA 12

Sơ đồ 1.6 Quy trình mô hình hóa khép kín 13

Sơ đồ 1.7 Cơ chế điều chỉnh trong quá trình MHH 15

Biểu đồBiểu đồ 3.1 Chất lượng học tập môn Toán của lớp thực nghiệm và lớp đốichứng trước khi thực nghiệm sư phạm 78

VI

Hình 2.6 Hình ảnh mô tả minh họa cho bài toán 2 57

Hình 2.7 Hình ảnh mô tả minh họa cho bài toán 3 60

Hình 2.8 Hình ảnh minh họa thùng phi 60

Hình 2.9 Hình ảnh minh họa hàng rào chừ E 61

Hình 2.10 Hình ảnh xe bồn chở xăng dầu 66

Hình 2.11 Hình ảnh minh họa cho bài toán 4 72

Hình 2.12 Hình ảnh minh họa cho bài toán 5 73

vii

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN iii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT iv

DANH MỤC CÁC BẢNG VDANH MỤC CÁC so ĐỒ VÀ BIẺU ĐỒ vi

DANH MỤC CÁC HÌNH vii

MỞ ĐÀU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Khách thể, đối tượng nghiên cứu 3

5 Giả thuyết nghiên cứu 3

6 Phạm vi nghiên cứu 3

7 Phương pháp nghiên cứu 3

8 Cấu trúc của luận văn 4

CHƯƠNG 1 Cơ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỤC TIỀN 5

LI Tổng quan nghiên cứu và áp dụng mô hình hóa trong dạy học toán 5

1.1.1 Tổng quan nghiên cứu và áp dụng mô hình hóa trong dạy học toántrên thế giới 5

1.1.2 Tống quan nghiên cứu và áp dụng mô hình hóa toán học trong dạy

Vlll

học toán ở Việt Nam 6

1.2 Mô hình hóa toán học 7

1.2.1 Khái niệm mô hình hóa toán học 7

1.2.2 Quy trình và các hướng tiếp cận mô hình hóa toán học 8

1.2.3 Vai trò của mô hình hóa toán học 19

1.3 Năng lực và năng lực mô hình hóa toán học 21

1.3.1 Năng lực 21

1.3.2 Năng lực mô hình hóa toán học 22

1.3.3 Các cấp độ năng lực mô hình hóa toán học 24

1.3.4 Các yêu cầu cần đạt của năng lực mô hình hóa toán học 25

1.4 Phân tích nội dung chương trình Giẳi tích 12 26

1.4.1 Cấu trúc chương trình Giải tích 12 26

1.4.2 Nội dung, yêu cầu cần đạt cùa chương trình Giải tích 12 27

1.4.3 Một số biểu hiện năng lực MHHTH của học sinh trong dạy họcmột số chủ đề Giải tích 12 29

1.5 Thực trạng việc sử dụng mô hình hóa toán học trong dạy học mônToán và việc rèn luyện năng lực mô hình hóa của HS THPT 33

1.5.1 Mục tiêu 33

1.5.2 Hình thức điều tra 33

1.5.3 Nội dung điều tra 34

1.5.4 K.ết quả điều tra thực trạng về việc rèn luyện năng lực MHH choHS trong chương trình Giải tích 12 34

IX

— 1

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CÁC CHỦ ĐẺ GIẢI TÍCH 12 THEO HƯỚNG PHÁT TRIẾN NĂNG Lực MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH 41

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp412.2 Các biện pháp dạy học một số chủ đề Giải tích 12 theo hướng pháttriển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh 42“ • • •

2.3.1 Biện pháp 1 Rèn luyện cho HS năng lực chuyển đổi các vấn đề trong bài toán thực tiễn sang ngôn ngừ toán học 422.3.2 Biện pháp 2 Thiết kế những tình huống thực tiễn trong dạy học một số chủ đề Giải tích 12 để rèn luyện năng lực MHHTH cho HS 472.3.3 Biện pháp 3 Hướng dân HS thực hiện một sô hoạt động mô hìnhhóa trong dạy học một sô chù đê Giải tích 12 50

2.3 Thực hành thiết kế các hoạt động mô hình hóa toán học trong một • • • CT • •

2.3.1 Hệ thống bài tập mô hình hóa chủ đề Giá trị lớn nhất, giá trị nhở

r « « r

2.3.2 Hệ thông bài tập mô hình hóa chủ đê Hàm sô lũy thừa, hàm sô mũvà hàm số logarit 612.3.3 Hệ thông bài tập mô hình hóa chủ đê Nguyên hàm, Tích phân vàúng dụng

2.4 Kết luận chương 2 73

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiêm • • ♦ • ơ •

X

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 75

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 75

3.2 Đối tượng và thòi gian thực nghiệm 75

3.3 Nội dung thực nghiệm 76

3.4 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 77

3.4.1 Điều tra trước thực nghiệm 77

3.4.2 Dạy học thực nghiệm 78

3.4.3 Nội dung kiểm tra đánh giá 78

3.5 Phân tích kết quả thực nghiệm 79

XI

MỎ ĐẦU1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, vai trò của học sinh và giáo viên đang trải qua sự thay đổi theo định hướng cơ bản của các xu hướng đổi mới trong giáo dục Điều này bao gồm việc đối mới phương pháp giảng dạy và nội dung học để tăng cường chất lượng của quá trình giảng dạy Ngoài ra, sự chú trọng vào việc phát triển năng lực của học sinh trong quá trình học cũng được đật lên hàng đầu Theo đó, thay vì tiếp nhận kiến thức một cách hàn lâm như trước kia, người học cần chủ động tiếp nhận và lĩnh hội tri thức, tích cực khám phá, rèn luyện bản thân Thông qua đó, người học có khả năng nghiên cứu, phát hiện và giải quyết vấn đề, từ đó vận dụng kiến thức được học vào thực tiễn.

Định hướng chuyển đổi quá trình giáo dục hiện nay là đổi từ nền giáo dục trang bị kiến thức sang nền giáo dục chú trọng việc phát triển năng lực và phẩm chất người học, chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018 đã xây dựng mục tiêu hình thành và phát triển năng lực toán học Các môn học tại trường phổ thông đóng vai trò quan trọng như nhau trong quá trình cung cấp kiến thức, hình thành và phát triển các kĩ năng cho HS, từ đó giúp HS phát triển toàn diện các kĩ năng Tuy nhiên, riêng đối với môn Toán, ngoài việc góp phần hình thành và phát triển cho HS các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung giống như các môn học khác và thì môn Toán còn giúp cho HS phát triển được năng lực toán học Việc vận dụng MHH vào dạy học toán học được xem như là một bước tiến lớn trong đổi mới phương pháp dạy và học Vì thế, việc phát triển năng lực mô hình hóa toán học là cần thiết và việc tăng cường các hoạt động dạy học nhằm phát triển năng lực này ngày càng được quan tâm hơn Thông qua đó mà việc học Toán của học sinh thiết thực và trở nên có ý nghĩa hơn, góp phần giúp cho các em học sinh chủ động, sáng tạo, phát triển được tư duy, tìm được niềm vui, sự thích thú và thêm yêu thích bộ

1

Vai trò và các ứng dụng của mô hình hóa toán học đã được chỉ ra trong nhiều nghiên cứu trên thế giới cũng như trong nước Điển hình trên thế giới có thể kể đến như nghiên cứu của p Pollak (1970), Blum & Niss (1991), Werner Blum (1993), Trong nước cũng có nhiều công trình nghiên cứu như công trình của Nguyễn Thị Tân An, Nguyễn Danh Nam, Lê Hồng Quang,

Nhận thức được tầm quan trọng của mô hình hóa toán học, tôi đã ưăn trở và tìm giải pháp để làm thế nào thông qua việc dạy học giúp các em học sinh phát triển được năng lực này Nội dung kiến thức Giải tích 12 là nội dung vô cùng quan trọng, chứa nhiều chủ đề khó và rất thiết thực trong cuộc sống; hơn nữa nội dung kiến thức Giải tích 12 xuất hiện nhiều trong đề thi tốt nghiệp Trung học phố thông, các đề thi Đánh giá năng lực, nên được đại đa số học sinh dành sự quan tâm và chú ý.

Vì các lý do được trình bày, tôi đã quyết định lựa chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình là “Dạy học một số chủ đề Giải tích ló p 12 theo hướng

phát triển năng ỉực mô hình hóa toán học cho học sinh”.2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu để làm rõ những khía cạnh lý luận liên quan đến MHHTH và khía cạnh năng lực trong việc sử dụng MHHTH Qua đó, tác giả đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng năng lực MHHTH cho HS, bên cạnh đó

luận văn còn đề xuất các biện pháp về thiết kế một số hoạt động dạy học Giải tích 12 theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS Mục đích của luận văn là nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán, đồng thời giúp HS thêm yêu thích, hứng thú đối với bộ môn Toán; và HS được rèn luyện năng lực

MHH các bài toán có nội dung thực tế trong chương trình toán phố thông.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Những nhiệm vụ nghiên cứu được đề cập tới trong luận văn như sau:

+ Tìm hiểu và tiến hành hệ thống hóa các vấn đề về lí thuyết lý luận

2

liên quan đên MHH và MHHTH.

+ Nghiên cứu và đánh giá thực trạng của quá trình giảng dạy Toán học với mục tiêu phát triền năng lực sử dụng MHHTH tại trường THPT.

+ Xây dựng và đề xuất các biện pháp sư phạm về thiết kế một số hoạt động thông qua dạy học một số chủ đề Giải tích 12.

+ Thực hiện thực nghiệm để kiểm tra khả năng thực hiện của phương pháp đề xuất và đưa ra đánh giá về kết quả thu được.

4 Khách thể, đối tượng nghiên cứu

-Khách the nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán tại trường THPT.-Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học một số chủ đề Giải tích 12 theo hướng phát triển năng lực MHHTH cho HS.

5 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu đề xuất và thực hiện được việc thiết kế một số hoạt động dạy học • • • • • • • • •/ • và xây dựng được hệ thống bài tập mô hình hóa thông qua dạy học một số chủ đề Giải tích 12 thì HS sẽ được hình thành và phát triển được năng lực MHHTH; đồng thời HS sẽ nhận tìm ra được ý nghĩa của việc học Toán trong

cuộc sống.

6 Phạm vi nghiên cứu

Phát triển năng lực mô hình hoá Toán học qua một sổ chủ đề trong chương trình Giải tích 12.

7 Phương pháp nghiên cứu

-Nghiên cứu lí luận: tập trung nghiên cứu các văn kiện của Đảng, Nhà nước và của ngành Giáo dục, các bài báo khoa học, sách chuyên khảo, các luận án, luận văn về MHH, phương pháp dạy học bằng MHH, phát triển năng lực MHH trong việc dạy học một số chủ đề Giải tích 12.

- Điều tra, quan sát: dùng phiếu điều tra khảo sát, phỏng van GV, HS và tiến hành điều tra, qua đó nghiên cứu thực trạng việc dạy và học của GV, HS.

3

-Thực nghiệm sư phạm: tiến hành tồ chức thực nghiệm sư phạm có đối chứng để đánh giá tính khả thi, hiệu quả của các biện pháp đề xuất.

8 Cấu trúc của luận văn

Nội dung của luận văn được trình bày trong 3 chương (ngoài phần Mở

đầu, Ket luận và Tài liệu tham kháo), cụ thể như sau:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chương 2: Một số biện pháp dạy học các chủ đề Giải tích 12 theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh.

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

4

CHƯƠNG 1

Cơ SỎ LÝ LUẬN VÀ THỤC TIỄN

1.1 Tổng quan nghiên cứu và áp dụng mô hình hóa trong dạy học toán

1.1.1 Tổngquannghiên cứu và áp dụng mô hình hóa trong dạy học toán

trênthế giới

Trong thời gian qua, mối quan hệ giữa toán học với thực tiễn là một trong những vấn đề trọng tâm của giáo dục toán học mà trên toàn thế giới đang quan tâm Tại hội nghị Freudenthal năm 1968, các nhà khoa học đã đưa ra những vấn đề liên quan đến MHH và đây cũng là lần xuất hiện đầu tiên của MHHTH trong giáo dục Năm 1979 đánh dấu mốc quan trọng khi MHH được đưa vào nhà trường thông qua nghiên cứu của Pollak Trong nghiên cứu của mình, Pollak đã chỉ ra cho tất cả mọi người thấy vấn đề nổi cộm, đó là giáo dục toán học phải có trách nhiệm dạy cho HS cách sử dụng toán trong cuộc sống hàng ngày.

Lịch sử nghiên cứu cho thấy rằng đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về MHHTH trong những thập kỉ gần đây.

Các nước thuộc OECD (Organization for Economic Cooperation and Development) đặc biệt quan tâm đến mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn thông qua Chương trinh đánh giá HS quốc tế PISA (Programme for International Student Assesment) Ở nhiều nước trên thế giới, kết quả PISA được thảo luận để đối mới chương trình môn Toán trong các nhà trường, đặc biệt là vấn đề MHHTH Học sinh được hình thành và phát triển các kĩ năng qua việc học tập bằng hình thức dạy học MHHTH, từ đó các em có thể hệ thống hóa được các khái niệm, các ý tưởng toán học cũng như hiếu được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng đó Các kết quả đã cho thấy rằng qua những hoạt động đó, học sinh được tăng cường tính gắn kết hơn giữa không

5

gian học tập và thực tê xã hội, nhận ra giá trị và ứng dụng của toán học trong cuộc sống hàng ngày Điều này đã mở ra một cánh cửa mới đề học sinh hiểu và khám phá sâu hơn về vẻ đẹp và tính ứng dụng của môn toán Vì vậy mà trong nghiên cứu của mình, Blum đã cho chúng ta thấy “ việc dạy và học MHH trong nhà trường phổ thông đang trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi toàn cầu” (Blum, 2006, [14]).

Dựa trên mô hình “hình học” trực quan 3 chiều trong sách "Assessing mathematical modelling competency" của tác giả Jensen, T.H (2007, 141-148, Horwood, [20]), nghiên cứu cũng đã tập trung vào đánh giá năng lực MHHTH từ góc độ đa chiều Điều này bao gồm việc đánh giá khả năng giải quyết các khía cạnh của quá trình MHHTH, phạm vi ảnh hưởng của năng lực MHHTH và các cấp độ của năng lực MHHTH Ngoài ra phải kể đến công trình nghiên cứu về quá trình ứng dụng và mô hình hóa toán học ở Trung học Cơ sở của Gloria Stillman (2012) [18], Edward I (2007) Theo nghiên cứu của Obert J Marzano [11], một số quốc gia như Mỹ, úc, và nhiều quốc gia khác trên thế giới đã công bố nhiều tài liệu về việc giảng dạy mô hình hóa Các tài liệu này đã được chính thức phát hành và sử dụng ở mọi cấp độ giáo dục, từ tiểu học đến trung học phổ thông và đại học Mục tiêu là giúp học sinh phát triển khả năng áp dụng kiến thức toán học vào thế giới thực thông qua việc xây dựng mô hình để giải quyết vấn đề và tìm hiểu hiện tượng.

Việc nghiên cứu và áp dụng mô hình hóa toán học trong giáo dục toán trên thế giới mang lại nhiều kết quả tích cực, và những hiểu biết này có thể cung cấp cơ sở lý luận cho những nghiên cứu cụ thể hóa lý thuyết này trong giáo dục toán học tại Việt Nam.

1.1.2. Tổng quan nghiên cứu và áp dụng mô hìnhhóatoán học trongdạy học toánở Việt Nam

Ở trong nước đã có một số công trình nghiên cứu và áp dụng MHHTH trong

6

dạy học toán ở các cấp học cho học sinh.Tác giả Nguyễn Thị Tân An (2013) [2] trong nghiên cứu của mình cũng đã đưa ra một cách phân loại các tình huống toán học và xây dựng quá trình toán học hóa phù hợp với chương trình Trong các nghiên cúư của mình, tác giả Nguyễn Thị Tân An đã cung cấp hướng dẫn cụ thể tùng bước của quá trinh toán học hóa cũng như chỉ ra mối liên hệ giữa các năng lượng hiểu biết định lượng và quá trình toán học hóa Các công trình cùa tác giả Nguyễn Danh Nam (2015, 2016) [6], [7], [9], [8] đề cập nghiên cứu nhiều vấn đề về mô hình và MHHTH như phương pháp, quy trình, năng lực MHHTH, Từ đó, giúp HS hình dung ra được các bước chuyển từ tình huống thực tiễn sang mô hình toán học, từ mô hình toán học sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán Trong nghiên cứu của mình, tác già Hà Xuân Thành (2017) [15] đã xây dựng được một số biện pháp dạy học toán sử dụng bài toán chứa tình huống thực tiễn nhằm góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông và đưa ra đề xuất được cách thức khai thác và sử dụng những bài toán chứa tình huống thực tiễn đế GV, HS có thể tham khảo trong quá trình dạy và học toán.

1.2 Mô hình hóa toán học

1.2.1.Khái niệm mô hình hóa toán học

Hiện nay có rất nhiều định nghĩa, mô tả về khái niệm MHHTH được đưa ra bởi các nhà khoa học Theo Haines và Crouch (2007) [19] thì MHHTH là một quá trình tuần hoàn trong đó những vấn đề trong cuộc sống thực tế được chuyển tải sang ngôn ngừ toán học, giải quyết vấn đề theo hệ thống biểu tượng toán học và kiểm chứng kết quả trong hệ thống thực tế MHHTH là một quá trình sừ dụng toán học để biểu diễn, phân tích, đưa ra dự đoán hoặc cung cấp thông tin về thế giới thực (2016) [22], MHHTH là một quá trình trong đó các hệ thống khái niệm và mô hình hiện có được sử dụng đe tạo ra và phát triển các mô hình mới trong bối cảnh mới; các nhận định này được Maria và các cộng

7

sự trích dẫn trong nghiên cứu của họ Theo nghiên cứu của Nguyễn Danh Nam (2016) [8], quá trình MHHTH được mô tả như một quá trình phức tạp, liên quan đến sự chuyển đổi giữa lình vực toán học và thực tế, đồng thời diễn ra theo cả hai hướng Vì vậy, đòi hỏi học sinh phải có các kĩ năng toán học, kiến thức và công cụ toán học có liên quan đến giải quyết các bài toán trong thực tiễn cuộc sống Trong nghiên cứu của mình, tác giả Nguyễn Thị Tân An (2012) [ 1 ] đã cho rằng MHHTH bắt đàu bằng việc chuyển đổi một vấn đề thực tế, có thể là một tình huống trong thực tế, một vấn đề kỳ thuật, hoặc một thách thức cụ thể, thành một biểu diễn toán học Tác giả Nguyễn Thị Tân An đã mô tả MHHTH là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế cụ thể thành một vấn đề toán học; đóng vai trò quan trọng trong việc áp dụng toán học đế giải quyết các vấn đề thực tế, tạo ra các giải pháp cỏ ý nghĩa và ứng dụng trong thực tế.

Như vậy, có kết luận rằng MHHTH được hiểu là quá trình biến một vấn đề thực tế, một hệ thống hoặc một tình huống phức tạp thành một mô hình toán học và thông qua quá trình giải quyết mô hình toán học, HS tìm đưọc câu trả lời cho tình huống nêu ra Mục tiêu của MHHTH là giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và đặc điểm cơ bản của vấn đề, giúp dự đoán và giải quyết nó một cách hợp lý MHHTH cung cấp các quy tắc để nghiên cứu, phân tích và giải quyết các vấn đề khó khăn và phức tạp bằng cách sử dụng các phương pháp toán học

1.2.2 Quy trình vàcáchướng tiếp cận mô hình hóa toán học

a) Quy trình thực hiện MHHTH

Hiện nay, trên thế giới có nhiều quan niệm và phương pháp khác nhau về quy trình mô hình hóa toán học, và sự lựa chọn này phụ thuộc vào bản chất cụ thể của vấn đề cũng như mục tiêu của mô hình hóa Các nhà khoa học thường sử dụng những sơ đồ khác nhau, tùy thuộc vào cách tiếp cận, mục đích nghiên cứu, để chỉ ra bản chất của quá trình MHH.

8

* Quátrình MHHtheo nghiên cứu của Pollak

Sơ đồ MHH đầu tiên mô tả sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học và ngược lại đã được Pollak đưa ra vào năm 1970 trong nghiên cứu của mình như

Sơ đô 1.1 Sơ đô quá trình mô hình hóa của Pollak

Với mô hình này, Pollak mới chỉ mô tả được một cách khái quát quy trình MHHTH Trong sơ đồ này Pollak đã chia thành hai phần, phần thứ nhất là toán học bao gồm những kiến thức về toán từ đơn giản đến phức tạp, đặc biệt nhấn mạnh tính ứng dụng của toán nghĩa là sử dụng toán học để giải quyết các vấn đề thực tế Phần thứ hai là từ vấn đề ngoài toán học chuyển thành vấn đề toán học cơ bàn nhất, làm việc trong toán học và phản ánh lại thế giới ngoài toán học Pollak đã dùng kí hiệu chiều mũi tên biếu diễn một vòng lặp, cho thấy từ một vấn đề ngoài toán học chuyển qua vấn đề toán học, giải quyết trong toán học và phản ánh lại vấn đề ngoài toán học, chiều mũi tên thế hiện tính tuần hoàn, cho phép lặp lại một chu trình nếu chưa thỏa đáng Sơ đồ của Pollak đã cho thấy được mối quan hệ giữa toán học và vấn đề ngoài toán học ta cũng hiểu vấn đề ngoài toán học là những vấn đề thực tế trong cuộc sống hằng ngày.

* Quá trình MHHTH theo nghiên cứu của Swetz và Hartzler

Nhằm chi tiết hóa quá trình do Pollak đề xuất, Swetz và Hartzler (1991) [24] cho rằng có thể mô tả lại quá trình MHHTH một tình huống nào đó với

9

Sơ đô 1.2 Sơ đô quy trình MHH theo Swetz và Hartzler (1991)

Giai đoạn thứ nhất Tiến hành quan sát vấn đề hoặc hiện tượng từ tình

huống thực tiễn được đưa ra, hiểu và tìm các yếu tố quan trọng có tác động đến vấn đề thực tiễn Như vậy thông qua lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố bằng cách dùng ngôn ngữ toán học ta đã bước đầu xây dựng được mô hình toán học phù hợp với tình huống đưa ra.

Giai đoạn thứ hai Phân tích mô hình toán học phát hiện được ở giai đoạn

trước nhằm tìm cách giải quyết bài toán bằng các phương pháp lí thuyết và thực nghiệm khác nhau.

Giai đoạn thứ ba HS áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù

hợp với tình huống thực tiễn để giải quyết mô hình toán học; hiếu và thông dịch kết quả toán học mà các em đưa ra Tiếp theo GV hướng dẫn HS tiến hành đối chiếu mô hình với thực tiễn và rút ra kết luận.

Giai đoạn thứ tư Dựa trên mô hình toán học được chuyển đổi về đối tượng

nghiên cứu ban đầu, GV tiến hành thông báo kết quả thu được để đối chiếu và kết luận Từ đó, có thể điều chỉnh mô hình phù hợp với đối tượng và áp dụng vào thực tiễn dựa vào kết quả vừa thu được.

* Quá trình MHHTHtheo nghiêncứucủa Blum vàLeifi

Vào năm 2006, Blum và LeiB đã đề xuất mô hình bao gồm 7 bước được thể

10

A

hiện trong sơ đô sau.

toán học

Sơ đồ 1.3 Sơ đồ quá trình MHH của Bỉum và Leifi (2006)

Dựa trên sơ đồ trình bày, các giai đoạn được thực hiện chi tiết như sau:

Giai đoạn 1: Từ tình huống thực tiễn đã cho, ta cần hiểu tình huống đó để

bước đầu xây dựng một mô hình cho tình huống đó, sau đó thực hiện việc khám phá và xác định mục tiêu giải quyết cho tình huống.

Giai đoạn 2: Đơn giản hóa tình huống thực tế và áp dụng các biến phù hợp

để tạo ra mô hình thực cùa tình huống; chọn lọc các biến quan trọng để mô tả.

Giai đoạn 3: Thực hiện quá trình chuyển từ mô hình thực tế sang mô hình

toán học.

Giai đoạn 4: Tương tác, làm việc trong môi trường toán học để đạt được

kết quả cần tìm.

Giai đoạn 5: Trình bày kết quả thực trong ngữ cảnh thực tế.

Giai đoạn 6: Kiểm tra tính thích hợp của kết quả và xem xét cần thiết phải

thực hiện lại quá trình một lần nữa hay không.

Giai đoạn 7: Trình bày phương pháp giải quyết tình huống thực tế.

* Quá trìnhMHHTH theo nghiên cứu của Stillman, Galbraith, Brown

Vào năm 2007, Stillman, Galbraith, Brown đã cải tiến chi tiết sơ đồ của Blum và LeiB (2006) theo sơ đồ sau.

11

I.Hiều đơn giản hỏa xảy dựng lại tinh huống.2 Đặt giãỉbiêt, phâĩ biên mỏhinhtoán.

3.Giải toán

4.Giãi thích két qua toán.

5.So sánh, phê phân xemxétlinh hợp lý.

6 Chìa sè kẽl quàthực tễ (nêu mô hình thỏadáng).

7 Lập lại quá trinh (nếu móhinh không thỏa dâng).

Sơ đồ 1.4 Sơ đồ quá trình MHHcủa Stillman, Galbraith, Brown và Edwards (2007)

* Quá trình MHHTH của Chương trình đánh giá HS quốc tế PISA

Quá trình MHHTH này được thê hiện theo sơ đô sau

Sơ đồ 1.5 Sơ đồ chu trình MHH theo PISA

* Quy trình mô hình hóa khépkín

Quá trình giải quyết vấn đề và MHH có những đặc điểm tương tự và có thể hỗ trợ lẫn nhau trong việc rèn luyện kỳ năng toán học cần thiết cho học sinh; đều đem lại cơ hội cho học sinh phát triển và cải thiện kỹ năng toán học của họ thông qua việc áp dụng kiến thức vào thực tế và thách thức tư duy toán học Quy trình MHH được xem là khép kín vì nó tập trung vào việc mô tả và giải quyết các tình huống thực tế bằng cách sử dụng mô hình toán học Quy trình này đặc trưng bởi việc liên tục lặp lại các bước để tìm ra lời giải tốt nhất và áp dụng nó vào thực tế Mô hình toán học không chỉ là công cụ giải quyết vấn đề mà còn là cách để hiểu sâu hơn về tương tác và mối quan hệ trong thế giới thực.

Sơ đô 1.6 Quy trình mô hình hóa khép kín

Một điểm chung mà ta có thể nhận thấy ở các quy trình MHHTH giới thiệu phía trên đó là các quy trình đều gồm các yếu tố chính là một quá trình lặp gồm nhiều bước Đó là thường bắt đầu với một tình huống thực tế, đặt ra một vấn đề hoặc thách thức, và sau đó sử dụng kiến thức toán học đế xây dựng mô hình và tìm ra lời giãi cho vấn đề đó Ket quả của quá trình MHH có thể được kiểm chứng và đánh giá, và nếu cần thiết, quy trình có thể được lặp lại để cải thiện

lời giải Do đó, khi giảng dạy môn Toán, giáo viên cần hồ trợ học sinh hiểu rõ yêu cầu của từng giai đoạn Cụ thể như sau:

13

ị: Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Hiểu biết vấn đề về tình huống thực tiễn,

xây dựng giả thuyết và đơn giản hóa vấn đề, mô tả và trình bày vấn đề thực tế thông qua sử dụng công cụ và ngôn ngừ toán học Các em HS cần có những kĩ năng, phương pháp để chuyển những tình huống này về dạng toán học quen thuộc để giải quyết.

ị-Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Sử dụng liên kết các công cụ và phương

pháp toán học vào quá trình giải quyết vấn đề đã được chuyển đổi thành ngôn ngữ toán học trong bước trước đó Căn cứ vào mô hình vừa xây dựng ở giai đoạn đầu tiên, HS lựa chọn phương pháp phù hợp, lựa chọn được các công cụ toán học tối ưu đế xây dựng và giải quyết bài toán một cách nhanh chóng, hiệu

Đe đáp ứng sự hội nhập trong thời đại công nghệ và nâng cao trình độ công nghệ thông tin của HS, GV cần yêu cầu HS sử dụng sự hỗ trợ của công nghệ thông tin đế thành lập, giải quyết vấn đề sử dụng ngôn ngữ toán học.

4-7 Giai đoạn 3 (Thông hiểu bài toán): Hiểu được ý nghĩa của lời giải bài

toán đối với tình huống thực tiễn (bài toán gốc); trong giai đoạn này, cần nhận ra những hạn chế và thách thức có thế phát sinh khi áp dụng kết quả này vào

các tình huống thực tế khác.

ị, Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): Xem xét lại các giã thuyết, tìm ra

những hạn chế của mô hình toán học và giải pháp bài toán, đồng thời đánh giá các công cụ và phương pháp toán học đã được áp dụng Ở giai đoạn cuối này, quan trọng là phải đánh giá lại các giả định, tìm hiểu về các hạn chế cùa mô hình toán học và giải pháp của bài toán, xem xét lại các công cụ và phương pháp toán học đã được sử dụng Tiếp theo, so sánh với thực tế để nâng cấp và hoàn thiện các mô hình đã xây dựng.

Thực tế trong quá trình dạy học cho thấy, quy trình MHH thường được điều chỉnh để phù hợp với môi trường giáo dục, đặc biệt là ở trình độ trung học phổ

14

* « r « _ _

thông Mục tiêu chính của việc điêu chỉnh này là làm cho quy trình trở nên dê hiểu và thực hiện được hơn cho học sinh.

MÔI liên hệ toán

Sơ đồ 1.7 Cơ chế điều chỉnh trong quá trình MHH

Cơ chế trên bao gồm các bước sau:

+ Bước 1: Nghiên cứu, xây dựng câu trúc, làm rõ, phân tích, giảm đơn vân đề, xác định giả thuyết, tham số, và biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế;

+ Bước 2: Thiết lập, xây dựng các mối liên kết giữa các giả thuyết khácnhau đã được đưa ra;

+ Bước 3: Lựa chọn và áp dụng ngôn ngừ toán học đề mô tả tình huống thực tế và xây dựng bài toán;

tiên mô hình đê phù hợp với thực tiên;

+ Bước 6: Năm băt ý nghĩa của mô hình toán học trong bôi cảnh thực tê;

+ Bước 7: Kiêm tra tình hợp lí và tôi ưu của mô hình đã xây dựng.

15

Dựa theo nhận xét trên cùa MHH và từ quy trình MHH trên; dựa theo co chế tự điều chỉnh được nêu trên, trong luận văn, tác già đi theo hướng tổ chức hoạt động MHH trong dạy học môn Toán thông qua 4 bước.

Ví dụ 1 Một khối đá hình cầu với bán kính R cần được thợ thủ công mỹ

nghệ cắt và gọt để tạo thành một viên đá cành hình trụ Xác định thể tích lớn nhất của viên đá sau khi hoàn thiện quá trình cắt gọt.

Đối với tình huống trên, học sinh cần tìm ra bán kính đáy và chiều cao của khối trụ sau khi hoàn thiện sao cho khối trụ có thể tích lớn nhất Thông qua hoạt động này có thể đánh giá được kĩ năng sau: Tính được thể tích của khối trụ; Tìm được giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số; Liên hệ toán học với các vấn đề về kinh tế và tối ưu toán học GV hướng dẫn và yêu cầu học sinh giải quyết bài toán bằng cách tuân thủ bốn giai đoạn trong quá trình mô hình hóa như sau:

Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Giả sử ta cần gọt viên đá thành viên đá từ một khối hình cầu thành một khối hình trụ như được mô tã trong hình vẽ.

Hình 1.1 Hình ảnh minh họa cho viên đá khôi câu và viên đá khôi trụ

Gọi chiều cao của viên đá hình trụ sau khi cắt gọt là 2x (o < X < 7?).

16

Hình 1.2 Hình ảnh khôi câu

Khi đó, ta biểu diễn bán kính của viên đá sau cắt gọt (khối trụ) theo X, từ đó tính được thế tích của khối trụ là V • • 1 = 2ĩcx\R2 - f X2 I Sau đó, nhiệm vụ là cần X • •đi tìm giá trị lớn nhất của K là một hàm theo biến X.

Giai đoạn 2 (Giải bài toán).

Gọi chiều cao cùa viên đá hình trụ sau khi cắt gọt là 2x (o < X < 7?).Suy ra bán kính khối trụ là r = R2 - X2

Thể tích của khối đá hình trụ sau khi hoàn thiện là V = 2ĩĩx(r2 -X2).Xét hàm sổ V = 2ttx(t?2 -X2) với X e(0;7?).

Ta có V' = 2ĩỉ(r2 -3x2); (/' = 0ox = ^L

v 7 3Bảng biên thiên:

Giai đoạn 3 (Thông hiêu bài toán)

Yêu cầu của bài toán là tìm giá trị lớn nhất của thể tích của viên đá hình khối trụ sau khi đã được cắt từ một viên đá hình cầu có bán kính 7? Ta tìm được • • • •

thê tích lớn nhất của viên đá sau khi cắt gọt là V = —— -

Giai đoạn 4 (Đổi chiếu thực tế)

Trong thực tế, bài toán thường được áp dụng trong lĩnh vực nghệ thuật điêu khắc đá để tạo ra các săn phẩm có giá trị thẩm mỹ cao và phù hợp với nhu cầu của thị trường.

h) Các hướng tiếp cận MHHTH

Có rất nhiều hướng tiếp cận MHHTH khác nhau, tùy thuộc vào bối cảnh và mục tiêu cụ thể của vấn đề Mồi hướng tiếp cận có ưu điểm và nhược điểm riêng, và lựa chọn phụ thuộc vào bối cảnh và mục tiêu cụ thể của vấn đề cần giải quyết.

+ Tiếp cận theo quan điểm “Epistemology” của người Đức: đặc biệt là khi áp dụng vào quá trình phát triển cùa lí thuyết toán, thường có thể được mô tả thông qua bộ ba Tình huống - Mô hình - Lí thuyết Quan điểm này nhấn mạnh tính chất toàn diện, sự kết nối chặt chẽ giữa thực tế và mô hình, cũng như sự phát triến liên tục của lí thuyết toán dựa trên các hiểu biết mới từ tình huống và

mô hình.

+ Tiếp cận theo quan điểm “Pragmatism” của Pollak: khi áp dụng vào quá trình Mô hình Hóa Toán Học (MHH), tập trung vào khả năng áp dụng toán học để giải quyết những vấn đề thực tế xuất phát từ các lĩnh vực như khoa học, kinh tế, công nghiệp, và nhấn mạnh vào việc hiểu biết thế giới thực và thúc đẩy năng lực MHH của người học Người học được khuyến khích học toán bằng cách sử dụng nó đề giải quyết vấn đề thực tế, chứ không chỉ để nắm vững kiến thức lý thuyết.

18

+ Tiếp cận theo quan điểm “Education”: chủ trọng vào việc xây dựng mối quan hệ giữa toán học và thế giới thực thông qua các ví dụ thực tế Các ví dụ và tình huống thực tế được sử dụng để minh họa và giải thích các khái niệm toán học Nó không chỉ hồ trợ phát triển năng lực MHH mà còn tạo ra ý nghĩa và sự hứng thú trong quá trinh học toán Mục tiêu của quan điềm “Education” là phát triển năng lực MHH của học sinh thông qua việc thực hành và ứng dụng toán học vào thực tế.

+ Tiếp cận theo quan điểm “Context”: nhấn mạnh việc tạo ra ngữ cảnh thực tế cho học sinh, bằng cách sử dụng các tình huống thực tế và ví dụ phong phú từ cuộc sống hàng ngày Điều này giúp xây dựng sự kết nối mạnh mẽ giữa toán học và thế giới xung quanh học sinh Mục tiêu theo quan điểm này là kết nối toán học với thế giới thực thông qua việc áp dụng nó vào các tình huống và vấn đề mà học sinh thường gặp.

1.2.3. Vai trò của mô hình hóa toán học

a) Đối với giáo viên

Mô hình hóa toán học không chỉ là một công cụ giảng dạy mà còn là một phương pháp mạnh mẽ để tạo ra trải nghiệm học tập sâu sắc và ý nghĩa trong

lớp học toán.

ị- MHHTH hồ trợ đắc lực cho quá trình giăng dạy cùa giáo viên Nó giúp giáo viên minh họa các khái niệm phức tạp và mối quan hệ toán học một cách trực quan và sinh động, giúp học sinh hiểu sâu hơn.

ị Dạy học bằng MHHTH tạo ra cơ hội để thực hiện các hoạt động thực hành Giáo viên có thể sử dụng mô hình để tạo ra bài tập và hoạt động thực tế, giúp học sinh áp dụng kiến thức toán học vào các tình huống thực tế.

ị- MHHTH được áp dụng trong quá trình đánh giá và cung cấp phản hồi của GV Giáo viên có thế sử dụng kết quả từ mô hình để đánh giá cách học sinh áp dụng kiến thức và giải quyết vấn đề.

19

4 MHHTH đóng góp quan trọng trong quá trình phát triển kỹ năng tư duy toán học của học sinh Vi vậy, GV có thể thiết kế các hoạt động mô hình hóa để khuyến khích học sinh tìm hiểu và sáng tạo trong quá trình giải quyết vấn đề.

4- Giáo viên có thê sử dụng mô hình đê thực hiện các bài tập giải quyêt vânđề, khuyến khích học sinh phân tích vấn đề, xây dựng mô hình, và tìm ra lời

b) Đối vói học sinh

4- MHHTH mang lại nhiều lợi ích quan trọng cho học sinh, giúp HS thấyrõ môi liên hệ giữa toán học và cuộc sông xung quanh.

Ví dụ 2 Hiện tại chị Hải có số tiền 800 triệu đồng, chị muốn góp vốn đầu

từ vào công ty Xuân Thành, nhưng theo kế hoạch huy động vốn đầu tư của công ty Xuân Thành còn 54 tháng nữa mới đến kỳ hạn huy động Chị Hải dự kiến sẽ gửi tiết kiệm vào ngân hàng A theo hình thức tự động gia hạn gốc và lãi, đến kỳ hạn góp vốn sẽ rút tiền để đầu tư và được tư vấn về lãi

suất tiết kiệm ngân hàng A như sau:

BẢNG LÃI SUẤT NGÂN HÀNG A

Băng 1.1 Bảng lãi suât ngân hàng A

Hỏi chị Hải nên gửi tiết kiệm vào ngân hàng A theo kỳ hạn nào để số tiền cả vốn lẫn lãi cao nhất và kịp thời gian huy động vốn của công ty Xuân

20

4- Việc dạy học MHHTH mang lại nhiều lợi ích liên quan đến việc sử dụng biểu diễn dữ liệu và giải quyết bài toán thực tế.

ị, Việc áp dụng MHHTH trong quá trình dạy học giúp học sinh phát triến nhiều năng lực và kỹ năng quan trọng như năng lực phân tích vấn đề, năng lực giải quyết vấn đề, HS thực sự trải nghiệm, thay vì “được dạy” một cách khuôn mẫu, HS được khuyến khích làm việc nhóm thay vì làm việc độc lập, HS cố gắng thực hiện các mô tả toán học, thực hiện các chiến lược đế tìm lời giải, Những năng lực và kỹ năng này không chỉ hồ trợ học sinh trong môn toán mà còn chuẩn bị họ cho thế giới thực ngoài trường học, nơi mà khả năng giải quyết vấn đề, sáng tạo, và sừ dụng công nghệ có vai trò quan trọng.

1.3 Năng lực và năng lực mô hình hóa toán học

21

sinh của nhiều quốc gia (khoảng 70 quốc gia), trong đó có Việt Nam.

Tác giã Xavier Roegiers [13] đã nhấn mạnh sự tích hợp giữa các kỹ năng và khả năng tự nhiên của cá nhân để xử lý và giải quyết các vấn đề trong một tình huống cụ thể Quan điểm này thường được áp dụng trong các lĩnh vực như giáo dục và phát triển cá nhân, nơi mục tiêu là phát triển và đánh giá năng lực của cá nhân trong các tình huống thực tế.

Theo quan điểm của Boyatzis [16], Brophy và Kiely [17], năng lực được định nghĩa là nhũng điều hoặc tính chất mà cá nhân cần phải có, biết và làm được để đạt được kết quả cần thiết trong công việc của họ.

Theo Chương trình Giáo dục Phổ thông (GDPT) tổng thể năm 2018 [4], năng lực được mô tả như một đặc điểm cá nhân được hình thành và phát triển thông qua sự kết họp của tố chất tự nhiên và quá trình học tập, rèn luyện Khái niệm này nhấn mạnh sự toàn diện của năng lực và tầm quan trọng của sự phát triển liên tục thông qua quá trình học tập và rèn luyện.

Theo quan điểm của tác giả luận án, khái niệm năng lực được hiếu theo quan niệm của Chương trình GDPT tổng thể 2018 Tức là: năng lực không chỉ

là sự hiểu biết về kiến thức và kỳ năng, mà còn bao gồm các yếu tố khác như phẩm chất, thái độ, đạo đức, và hành vi xã hội Năng lực không nằm chỉ trong việc biết những thông tin chuyên sâu hoặc có kỹ năng chuyên môn, mà còn bao gồm sự kết hợp của nhiều yếu tố khác nhau như phẩm chất cá nhân, thái độ tích cực, và đạo đức làm việc Năng lực không chỉ được đo lường bằng thành tích chuyên môn mà còn phản ánh sự đồng nhất giữa kiến thức, kỹ năng, thái độ, và các giá trị đạo đức.

1.3.2 Năng lực mô hình hóa toán học

Năng lực MHHTH có thế được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau, linh hoạt và phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể mà bạn đang áp dụng nó.

22

Từ những kết quả nghiên cứu đã có, các tác giả Nguyễn Thị Nga (2014) [10]; Lê Thị Hoài Châu (2014) [4] coi năng lực MHHTH như là khă năng vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn, hay là khả năng áp dụng những hiểu biết Toán học để chuyển một tình huống thực tiễn về dạng toán học.

Theo Blum và Jensen (2007) [15], năng lực MHHTH là một khía cạnh quan trọng của quá trình giảng dạy và học toán Năng lực MHHTH là một quy trình phức tạp và đòi hỏi sự kết hợp của kiến thức toán học, sự sáng tạo và kỹ năng giao tiếp để giải quyết các vấn đề toán học trong môi trường giảng dạy và học tập Định nghĩa này rõ ràng đưa ra mối liên kết giữa năng lực MHHTH và quy trình MHH trong ngữ cảnh của dạy học toán và giải quyết vấn đề toán học.

Áp dụng nội dung Chương trình Giáo dục phổ thông môn toán năm 2018, năng lực MHHTH được thể hiện qua các bước cụ thể sau:

1) Xác định và xây dựng được mô hỉnh toán học.

+ Nắm bắt tình huống thực tế: Hiếu rõ ngữ cảnh và yêu cầu của tình huống thực tế.

+ Xây dựng mô hình toán học: Sử dụng công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, và các công cụ toán học khác để mô phỏng và biểu diễn tình huống.

2) Sử dụng các kiến thức và phương pháp toán học để xử lí những vấn đề toán học trong mô hình.

+ Áp dụng kiến thức toán học: Sử dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề được mô phỏng trong mô hình.

+ Thực hiện các bước giải quyết: Sử dụng các phương pháp, kỹ thuật và công cụ toán học để đưa ra giải pháp chính xác.

3) Thể hiện và đánh giá được lời giãi trong ngữ cảnh thực tế đồng nghĩa với việc biểu diễn và đánh giá lời giải trong bối cảnh thực tế của vấn đề được mô hình hóa.

23

+ Giao tiêp kêt quả: Trình bày lời giải một cách rõ ràng và logic, sử dụng ngôn ngừ toán học và không toán học

+ Đánh giá và cãi tiến: Kiểm tra tính hợp lý và chính xác của lời giải, điều chỉnh và cải tiến mô hình nếu cần thiết.

Như vậy, việc tập trung vào việc phát triền năng lực MHHTH trong giảng dạy toán học có thể mang lại lợi ích rất lớn cho sự hiểu biết và phát triển toàn diện của học sinh.

Như vậy, tôi cho rằng năng lực mô hình hóa toán học là khả năng của một người để biểu diễn một tình huống thực tế hoặc một vấn đề cụ thể dưới dạng mô hình toán học Nó bao gồm khả năng chuyển đổi một vấn đề không rõ ràng hoặc phức tạp thành một biểu đồ toán học, công thức, hoặc hệ thức toán học có thể giúp giải quyết vấn đề Năng lực mô hình hóa toán học không chỉ là kỳ năng chuyên sâu trong lĩnh vực toán học mà còn liên quan đến tư duy logic, sáng tạo, và khả năng áp dụng toán học vào thực tế Đây là một khía cạnh quan trọng của

giáo dục toán học và phát triển kỳ năng tư duy toán học của học sinh.

1.3.3 Các cấpđộ nănglựcmôhình hóa toán học

Để đánh giá khả năng mô hình hóa của học sinh trong quá trình học tập, nghiên cứu của Ludwig và Xu (2010) đã phân chia khả năng MHHTH thành 6

cấp độ liên tục Trong đó, cấp độ 0 đại diện cho học sinh không có khả năng MHHTH Cụ thể như sau:

24

Bảng 1.2 Các câp độ năng lực MHHTH của học sinh

HS chưa hiểu tình huống và không thể phác thảo hoặc viết được những gì liên quan đến vấn đề cụ thể HS ở cấp độ này có thể chưa có sự hiểu biết hoặc khả năng liên quan đến mô hình hóa toán học Chúng có thề gặp khó khăn trong việc áp dụng kiến thức toán học vào các tình huống thực tế.

HS chỉ có thể nắm bắt tình huống thực tế nhưng không thể tổ chức và đơn giản hóa tình huống hoặc không thể liên kết với bất kỳ ý tưởng toán học nào.

Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS có khà năng xác định một mô hình phù họp bằng cách phân tích cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng HS chưa biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học.

HS có thể tìm ra một mô hình phù hợp và chuyển thành một vấn đề toán học thích hợp, nhưng không thể làm việc với nó một cách rõ ràng trong thế giới toán học.

HS có khả năng tạo ra một bài toán dựa trên tình huống thực tế, giải quyết bài toán đó sử dụng kiến thức toán học và thu được kết quả cụ thể HS ở cấp độ này có thể tổng hợp thông tin từ nhiều nguồn khác nhau để tạo ra mô hình toán học đầy đủ và phức tạp.

HS có thể thực hành quá trình mô hình hóa toán học và kiểm tra giải pháp của bài toán trong ngừ cảnh tương tác với tình huống cụ thể.

1.3.4 Các yêu cầu cầnđạt của nănglực mô hình hóa toánhọc

25

Muốn giải quyết được một tình huống thực tế, HS cần có năng lực MHHTH Vì vậy các yêu cầu cần đạt của nãng lực MHHTH được đặt ra, bao gồm:

+ Có khả năng xây dựng mô hình toán học để diễn đạt tình huống được mô tả trong các bài toán thực tế.

+ Thực hiện một số bước cụ thể tùy thuộc vào loại vấn đề và phương pháp mô hình hóa để giải quyết những vấn đề toán học trong mô hình vừa được thiết lập cần chú ý lựa chọn được phương pháp phù hợp tùy thuộc vào loại mô hình và bài toán cụ thể đang giải quyết.

+ Lí giải được tính đúng đắn của lời giải; đảm bảo lời giải bài toán không chi là kết quả của tính toán chính xác mà còn là một diễn giải ý nghĩa và phù hợp với tình huống thực tế Đặc biệt, nhận biết và thực hiện các cách đơn giản hóa, điều chình yêu cầu thực tiễn để tạo ra những lời giải linh hoạt, hiệu quả và phản ánh đúng thực tế.

Các nghiên cứu đã chỉ ra các thành tố của năng lực MHHTH đó là:1) Đơn giản lí thuyết;

2) Làm rõ mục tiêu;3) Thiết lập vấn đề;

4) Xác định các yếu tố toán học: biến, tham số, hằng số;5) Thiết lập và phát biểu mệnh đề Toán học;

6) Lựa chọn mô hình;

7) Biểu diễn mô hình toán học thích hợp;

8) Kết nối lại bài toán với tình huống thực tế.

1.4 Phân tích nội dung chương trình Giải tích 12

1.4.1.Cẩutrúc chương trình Giải tích 12

Theo quy định về chương trình môn Toán THPT cho khối lớp 12, có 3 tiết học mỗi tuần và tổng cộng là 35 tuần học trong năm học Từ đó, số tiết Toán trong một năm học là 3 tiết/tuần * 35 tuần = 105 tiết Trong đó phần Giải tích

26

chiếm 78 tiết bao gồm 4 chương và 15 tiết ôn tập, kiểm tra và ôn tập thi tốt nghiệp Cụ thể như sau:

Bảng 1.3 Phân phổi chương trình Giải tích 12

1 Chương 1 ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị

2 Chương 2 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit 17

3 Chương 3 N guyên hàm, tích phân và ứng dụng 16

1.4.2 Nội dung, yêu câu cânđạt của chương trình Giải tích12

- Mục tiêu và yêu cầu cần đạt của chương "ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số" là xác định được khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số, xác định được điểm cực trị và cực trị, tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất (nếu có) của hàm số, xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số, và áp dụng kiến thức về đạo hàm đế khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Hiện nay, có một sự chú trọng lớn đối với ứng dụng của toán học trong giải quyết vấn đề thực tế Trong bối cảnh này, việc giải quyết các vấn đề liên quan đến giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số cũng như chủ đề đồ thị của hàm số trớ nên ngày càng quan trọng và đa dạng.

- Nội dung và yêu câu cân đạt của chương “Hàm sô lũy thừa, hàm sô mũ và hàm số logarit” là phát biếu được định nghĩa, biết tìm tập xác định, đạo hàm

27

và các tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit; giải được phương trình, bất phương trình mũ và logarit Ngoài ra, trong chương này còn

đề cập đến vấn đề vận dụng kiến thức về hàm số mũ, hàm số logarit để giải quyết các bài toán thực tiễn, liên môn.

- Mục tiêu và yêu cầu cần đạt của chương "Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng" là hiểu rõ định nghĩa về nguyên hàm và tích phân, cũng như có khả năng áp dụng các phương pháp đế tìm nguyên hàm và tính tích phân Bên cạnh đó, mục tiêu của chương này cũng yêu cầu HS sử dụng tích phân để tính diện tích bề mặt hình phẳng và thể tích của các vật thể Nội dung chương này được thiết kế để có mối quan hệ mật thiết với thực tế và thể hiện rõ ràng ứng dụng của Toán học đối với đời sống hàng ngày, nội dung của chương có thể được cấu trúc để tập trung vào các ví dụ và bài toán có liên quan đến các tình huống thực tế.

- Nội dung và yêu cầu cần đạt của chương “Số phức” là nhận biết được số phức, phần thực, phần ảo của số phức; biết thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia hai số phức và giải được phương trình bậc hai với hệ số thực.

Theo phân tích ờ trên, chương trình Giải tích 12 chứa đựng các nội dung không chỉ giúp học sinh xây dựng nền tảng chắc chắn về kiến thức toán học mà còn khuyến khích họ áp dụng những kiến thức này vào việc giải quyết vấn đề thực tế Sự kết hợp giữa lý thuyết và ứng dụng thực tế giúp học sinh nhận thức được ý nghĩa của toán học trong cuộc sống hàng ngày và phát triển kỳ năng giải quyết vấn đề Vì vậy, cơ hội để vận dụng phương pháp MHHTH trong dạy học một số chủ đề Giãi tích 12 khá thuận lợi, mặc dù thời gian trên lớp không nhiều, nhưng GV có thế lồng ghép thông qua việc hình thành khái niệm, ứng dụng của bài toán thực tiễn trong chủ đề, phần luyện tập, tiết tự chọn, để tăng cường hoạt động MHHTH cho HS.

28

1.4.3 Một sô biêuhiện năng lực MHHTH của học sinhtrong dạy học mộtsố chủ đềGiải tích12

Trên cơ sở các thành phân của năng lực MHHTH của học sinh phô thông và nội dung chương trình Giải tích 12, tôi xác định một số biều hiện năng lực MHHTH của HS trong dạy học một số chủ để Giải tích 12 như sau:

a) Thiêt lập được mô hình toán học cho tình huông xuât hiện trong bài toán thực tiên

- Quan sát hiện tượng thực tiên, tìm các yêu tô trọng tâm có ảnh hưởng đên vấn đề thực tiễn và xác lập những quy luật mà chúng phải tuân theo.

- Chuyên đôi được ngôn ngữ thực, tự nhiên của bài toán vê ngôn ngữ toán học, xác định biến số đặc trưng cho các yếu tố của tình huống, điều kiện của biến số, lập biểu thức hàm số Điều này dẫn đến việc xây dựng một mô hình toán học để thiết lập mối liên hệ giữa các biến và tham số cúa tình huống.

- Sử dụng các công cụ như công thức, phương trình, sơ đô, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, liên quan đến hàm số và đạo hàm của hàm số để mô tả tình huống

đặt ra trong bài toán thực tiên.

Ví dụ 3 Nhà bạn Hoa có 2 vườn rau ở hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông (như hình vẽ) Biết rằng khoảng cách từ vườn rau A và vườn rau B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m Bạn Hoa sau khi làm cỏ

xong ờ vườn rau A thì đến bờ sông để lấy nước mang về vườn rau B Tính đoạn đường ngắn nhất mà bạn Hoa phải di chuyển để lấy nước mang về vườn rau B.

29

Từ yêu cầu của bài toán, HS có thể thiết lập được mô hình toán học cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn như sau:

+ Vẽ hình mô tá đường đi từ A đến A/ (trên bờ sông) rồi về B.

+ Ta có CD = AH = ựóis2 - (487 -118)2 = 492 m.

+ Đặt CM = X, ta có A M = Vx2+1182 =>MB = ự(492-x)2+4872.

+ Đoạn đường bạn Hoa cần đi là

s(x) = AM + MB = 7x2+1182 + ự(492-x)2+4872

+ Bài toán chuyển về việc đi tìm giá trị nhỏ nhất cúa hàm số s(x).

b) Giải quyết những vẩn đề toán học trong mô hình được thiết lập

- Xác định bài toán toán học từ mô hình được thiết lập • • • • A

- Phân tích, tống hợp, dự đoán, liên tưởng kết nối tri thức cần tìm với kiến thức được học đề giải bài toán toán học trong mô hình được thiết lập.

Ví dụ 4 Một cái ly làm bằng thủy tinh, có hình dạng là khối nón cụt và có

các kích thước (như hình vẽ) Phần rỗng bên trong có thiết diện qua trục là parabol Phần thủy tinh của cái ly có thể tích bằng bao nhiêu?

30