Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp HS tìm hiểu,khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toánhọc như hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC ĐẠI SỐ 10
THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH
HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
Tác giả sáng kiến: Vũ Thị Hương Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Hồng Phong
Bộ môn: Toán
THANH HÓA, NĂM 2024
MỤC LỤC
Trang 2PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1
1 Lý do chọn đề tài 1
2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm 2
2.Những đóng góp của SKKN 2
2.1.Về mặt lí luận 2
2.2.Về mặt thực tiễn 2
PHẦN 2 NỘI DUNG 3
1.Cơ sở lí luận 3
1.1.Mô hình hóa toán học 3
1.1.1.Khái niệm mô hình hóa toán học 3
1.1.2.Quá trình mô hình hóa toán học 3
2.Cơ sở thực tiễn 4
2.Thiết kế các hoạt động mô hình hóa trong một số chủ đề Đại số 10 5
2.1 Hệ thống bài tập mô hình hóa chủ đề Hàm số 5
2.2 Hệ thống bài tập mô hình hóa chủ đề Phương trình và hệ phương trình 10
2.3 Hệ thống bài tập mô hình hóa chủ đề Bất phương trình và hệ bất phương trình (các bài toán tối ưu kinh tế) 15
PHẦN 3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19
1 Kết luận 19
2.Kiến nghị 19
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trang 3PHẦN 1 MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Thực hiện Nghị quyết số 29/NQ-TW của Ban Chấp hành Trung ươngĐảng Cộng sản Việt Nam (khóa XI), Nghị quyết số 88/2014/QH13 của Quốchội và Quyết định số 404/QĐ-TT của Thủ tướng Chính phủ, ngày 26 tháng 12năm 2018, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT về việc ban hành chương trình giáo dục phổ thông Theo đó, chươngtrình giáo dục phổ thông mới đã nêu rõ mục tiêu giúp HS làm chủ kiến thứcphổ thông, biết vận dụng hiệu quả kiến thức, kĩ năng đã học vào đời sống và
tự học suốt đời, có định hướng lựa chọn nghề nghiệp phù hợp, biết xây dựng
và phát triển hài hoà các mối quan hệ xã hội, có cá tính, nhân cách và đờisống tâm hồn phong phú, nhờ đó có được cuộc sống có ý nghĩa và đóng góptích cực vào sự phát triển của đất nước và nhân loại So với chương trìnhgiáo dục phổ thông hiện hành, chương trình giáo dục phổ thông tổng thể mới
có nhiều điểm khác biệt trong đó điểm khác biệt căn bản nhất chính là việcxây dựng chương trình theo mô hình phát triển năng lực, thông qua nhữngkiến thức cơ bản, thiết thực, hiện đại và các phương pháp tích cực hóa hoạtđộng của người học, giúp HS hình thành và phát triển những phẩm chất vànăng lực mà nhà trường, xã hội kỳ vọng
Riêng với chương trình toán học phổ thông hiện nay, mục tiêu quan trọngnhất đó là hình thành và phát triển cho HS khả năng vận dụng tri thức toán học
để giải quyết những tình huống nảy sinh từ thực tiễn cuộc sống Có 8 năng lựcđặc trưng của toán học đó là: Tư duy và lập luận; suy luận và chứng minh toánhọc; giao tiếp toán học; mô hình hóa; nêu và giải quyết vấn đề; biểu diễn; sửdụng kí hiệu và ngôn ngữ toán học; sử dụng công cụ tính toán Trong các nănglực trên, mô hình hóa là năng lực được nhiều quốc gia trên thế giới đề cập đến từhai thập niên trước và giữ vị trí ngày càng quan trọng trong chương trình mônToán phổ thông Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp HS tìm hiểu,khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toánhọc như hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, kí hiệu, sơ đồ, côngthức, Qua đó, việc học Toán của HS trở nên có ý nghĩa hơn, có động cơ vàniềm ham thích hơn với môn Toán Từ đây, HS cũng có thể tự mình tìm thêm
Trang 4những đáp án thuyết phục hơn cho câu hỏi: “Học Toán để làm gì?”, bên cạnhnhững đáp án mà bấy lâu nay ai cũng thường trả lời: Học Toán để thi, học Toán
để lên lớp; học Toán vì phải học; Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài sáng kiến
kinh nghiệm là: “Một số biện pháp dạy học Đại số 10 theo hướng phát triển
năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh”.
2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của phương pháp dạy học bằng môhình hóa; đề xuất các biện pháp sư phạm về dạy học một số chủ đề Đại số 10theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS, giúp HS rèn luyệnnăng lực mô hình hóa các bài toán có nội dung thực tế trong chương trình
2 Những đóng góp của SKKN
2.1.Về mặt lí luận
- Làm sáng tỏ quan niệm về năng lực mô hình hóa toán học của HS THPT,trên cơ sở phân tích hoạt động mô hình hóa toán học, mô tả hoạt động này đốivới HS THPT trong dạy học Toán, đồng thời xác định các thành tố và các cấpcấp độ của năng lực mô hình hóa toán học làm cơ sở cho việc hình thành và pháttriển năng lực này ở người học
- Cụ thể hóa về năng lực mô hình hóa toán học của HS trong học Đại số
10 ở trường THPT
2.2.Về mặt thực tiễn
- Đề xuất được một số biện pháp sư phạm khả thi và hiệu quả về dạy họccác chủ đề Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học choHS
- Xác định một số loại tình huống dạy học Đại số 10 có thể phát triển nănglực mô hình hóa toán học cho HS THPT
- Xây dựng các hướng dẫn dạy học một số nội dung cụ thể giúp GV THPTtrong thực tiễn dạy học Toán theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toánhọc
- Xây dựng hệ thống các bài tập Đại số nhằm hỗ trợ phát triển năng lực
mô hình hóa toán học cho HS THCS làm tư liệu cho GV trung học sơ sở thamkhảo, vận dụng vào thực tiễn dạy học Đại số
Trang 5PHẦN 2 NỘI DUNG
1 Cơ sở lí luận
1.1. Mô hình hóa toán học
1.1.1 Khái niệm mô hình hóa toán học
MHHTH là toàn bộ quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn đềtoán học và ngược lại, cùng với các yếu tố liên quan đến quá trình đó: từ bướcxây dựng lại tình huống thực tiễn, lựa chọn mô hình toán học phù hợp, làm việctrong một môi trường toán học, giải thích, đánh giá kết quả liên quan đến tìnhhuống thực tiễn và điều chỉnh mô hình cho đến khi có được kết quả hợp lý.Thông qua quá trình giải quyết mô hình toán học, HS tìm kiếm ra câu trả lời chotình huống ngoài toán học Quá trình này có thể được lặp lại nếu như HS nhậnthấy mô hình toán học hoặc cách giải quyết chưa phù hợp
Như vậy, mô hình hóa trong dạy học Đại số THPT là quá trình giúp HStìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngônngữ Đại số (hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, kí hiệu, sơ đồ, công thức, … và
đặc biệt là PT, HPT, BPT) Như vậy, MHH Đại số đi từ tình huống bài toán thực
tiễn chuyển thành bài toán Đại số thuần tuý và giải bài toán bằng công cụ Đại
số, sau đó quay lại trả lời cho yêu cầu ở bài toán thực tiễn
1.1.2 Quá trình mô hình hóa toán học
MHH có thể xem là một quy trình khép kín Nó được nảy sinh từ các tìnhhuống thực tiễn và kết quả của nó được dùng để giải thích và cải thiện các vấn
đề trong thực tiễn Có thể minh họa quy trình trên bằng sơ đồ dưới đây:
Sơ đồ Quy trình mô hình hóa khép kín
Trang 6Thực hiện quy trình trên, trong quá trình dạy học Toán, GV cần giúp HSnắm được yêu cầu cụ thể của từng giai đoạn:
Toán học hóa: Quan sát, hiểu tình huống thực tế, đơn giản hóa tình
huống bằng cách thành lập các giả thuyết, phát hiện các yếu tố quan trọng để mô
tả và diễn đạt lại tình huống bằng ngôn ngữ toán học
Giải bài toán: Áp dụng các phương pháp, công cụ Toán học phù hợp
để giải bài toán, đòi hỏi HS lựa chọn, sử dụng các phương pháp và công cụ toánhọc thích hợp để thành lập và giải quyết vấn đề sử dụng ngôn ngữ toán học
Thông hiểu: Hiểu lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực
tiễn (bài toán ban đầu) Ở bước này, HS cần hiểu được ý nghĩa lời giải của bàitoán trong thực tiễn, bao gồm cả việc HS nhận ra được những hạn chế và khókhăn có thể có khi áp dụng kết quả của bài toán này vào tình huống thực tiễnban đầu
Đối chiếu: Ở giai đoạn này, muốn đánh giá lại các giả thuyết, hạn
chế của mô hình và cải tiến mô hình đã xây dựng thì trước hết HS cần phải cónhững hiểu biết rõ về các công cụ toán học, đồng thời phải biết lựa chọn sử dụngcông cụ có chức năng phù hợp để giải quyết các vấn đề thực tiễn
2 Cơ sở thực tiễn
Những thuận lợi và khó khăn khi dạy học mô hình hóa toán học ở lớp 10
a) Thuận lợi
- Nhiều nội dung trong chương trình Đại số 10 có tính thực tiễn cao, nên
GV có thể soạn được hệ thống câu hỏi đa dạng
- Có nhiều công cụ CNTT hỗ trợ trong việc giải các bài toán thực tiễn,giải quyết nhanh với nhiều số liệu của một mô hình
Trang 7- Một tiết học theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cầnnhiều thời gian của cả giáo viên và học sinh.
- Chưa có nhiều tài liệu bồi dưỡng GV dạy học theo hướng phát triểnnăng lực mô hình hóa toán học
2. Thiết kế các hoạt động mô hình hóa trong một số chủ đề Đại số 10
2.1 Hệ thống bài tập mô hình hóa chủ đề Hàm số
Bài toán 1:
Lúc lên kế hoạch cho chuyến du lịch vào mùa hè tại Phú Quốc, nhóm bạn gồm An, Loan, Trang, Tú dự kiến di chuyển bằng taxi từ nhà đến sân bay Nội Bài như sau: An tự di chuyển ra sân bay với quãng đường 42km Loan tự di chuyển
ra sân bay với quãng đường 14km Trang qua đón Tú rồi cùng ra sân bay, biết nhà hai bạn cách nhau 8km, và nhà Tú cách Nội Bài 7km Để tiết kiệm chi phí, nhóm bạn đã nghiên cứu và chọn ra hai hãng xe phù hợp với bảng giá như sau:
Bảng giá cước Taxi Thủ Đô Bảng giá cước Taxi Mai Linh
Vậy mỗi bạn nên chọn taxi của hãng nào để di chuyển ra sân bay
với mức kinh phí tối ưu nhất?
Mục tiêu hoạt động:
- Giải thích được khái niệm “mức kinh phí tối ưu nhất” trong tình huốngtrên
- Lập được công thức tính chi phí cần thanh toán cho mỗi hãng taxi
- Vận dụng được cách tính giá trị của một hàm số để giải quyết bài toán
Tiến trình hoạt động:
GV chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm 6-8 HS và tổ chức cho các nhómgiải quyết bài toán theo 4 giai đoạn của quá trình mô hình hóa như sau:
Trang 8* Giai đoạn 1 (Toán học hóa tình huống thực tế): GV hướng dẫn HS lựa
chọn các tham số ảnh hưởng chính đến chi phí của chuyến đi: giá mở cửa, đơngiá trên từng mốc quãng đường và loại bỏ một số tham số phụ như: thuế VAT,phí cầu đường, thời gian chờ, Sau đó, GV yêu cầu HS xây dựng công thức tínhtoán, thử với một số giá trị để đưa ra dự toán ban đầu
Công thức tính số tiền cần thanh toán: Gọi số tiền y (nghìn đồng) cần
thanh toán cho x (km) di chuyển, ta có:
Di chuyển bằng Taxi Mai Linh
Giai đoạn 2 (Giải bài toán): HS sử dụng công thức tính ở bảng trên để đưa
ra mức chi phí cần thanh toán cho mỗi bạn nếu sử dụng một trong hai hãng taxitrên, từ đó đưa ra so sánh và lựa chọn hãng có mức thanh toán thấp hơn
Bạn Quãng đường
Giá taxi Thủ Đô (nghìn đồng)
Giá taxi Mai Linh (nghìn đồng)
Lựa chọn
Trang và Tú 8 + 7 = 15 227,56 228,220 Taxi Thủ Đô
Giai đoạn 3 (Khai thác kết quả của bài toán, giải thích, trả lời): Dựa vào
kết quả trên, ta đưa ra lựa chọn cho mỗi bạn như sau: An, Trang và Tú nên dichuyển bằng taxi Thủ Đô, Loan nên di chuyển bằng taxi Mai Linh để tiết kiệmchi phí nhất
Trang 9Giai đoạn 4 (Đối chiếu với thực tế): Thực tế, việc lựa chọn di chuyển taxi
còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác như chương trình khuyến mãi (đi theonhóm hoặc nếu di chuyển 2 chiều), dịch vụ của từng hãng, sở thích kháchhàng,
Bài toán 2: Cầu Trường Tiền còn có tên gọi khác là cầu Thành Thái, cầu
Nguyên Hoàng, cầu Clesmenceau, là chiếc cầu hình vành lược bắc qua sông Hương, ở ngay giữa thành phố Huế Cầu Trường Tiền có chiều dài 402,60m, chiều rộng 6m với 6 nhịp dầm thép hình vành lược, khẩu độ mỗi nhịp 67m.
Em hãy tính chiều cao của cầu Trường Tiền (tức là chiều cao của mỗi nhịp cầu), biết từ một vị trí trên cầu cách mặt cầu 5,45m, người ta thả một sợi dây thẳng đứng chạm mặt cầu thì thấy vị trí tiếp xúc cách chân nhịp cầu gần nhất một khoảng 20m.
- Lập được công thức của đường cong parabol: y ax 2 bx c a 0
- Vận dụng được cách tính giá trị của một hàm số bậc hai để tính chiềucao của cầu Tràng Tiền
Tiến trình hoạt động:
GV chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm 6-8 HS và tổ chức cho các nhómgiải quyết bài toán theo 4 giai đoạn của quá trình mô hình hóa như sau:
* Giai đoạn 1 (Toán học hóa tình huống thực tế): GV cho các nhóm thảo
luận và phản biện lẫn nhau để tìm ra các tham số quan trọng của bài toán (khẩu
Trang 10độ nhịp cầu, vị trí của một điểm trên nhịp cầu) Sau đó HS xác định được hìnhdạng của một nhịp cầu là đồ thị hàm số bậc hai y ax 2 bx c a 0, và phảitính chiều cao của một nhịp cầu.
Giả sử hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc O gắn với một chân của nhịp cầu:+ Khẩu độ nhịp cầu là 67m, vì vậy HS tìm được 2 điểm trên đồ thị hàm số
bậc hai là 0;0và 67;0.
+ Từ một vị trí trên cầu cách mặt cầu 5,45m, người ta thả một sợi dâythẳng đứng chạm mặt cầu thì thấy vị trí tiếp xúc cách chân nhịp cầu gần nhấtmột khoảng 20m, HS tìm được 1 điểm nữa trên đồ thị hàm số bậc hai là
20;5,45.
Giai đoạn 2 (Giải bài toán):
HS minh họa đồ thị của hàm số bậc hai trên hệ trục Oxy như sau:
Vì tọa độ các điểm O0;0 , A67;0 , B20;5,45 đều thuộc parabol
2
y ax bx c nên ta có hệ phương trình sau:
2 2 2
0
109 67 67 0 4489 67 0
Trang 11Chiều cao của một nhịp cầu chính là tung độ đỉnh của parabol này, vì vậy:
33,5 6,507 2
Giai đoạn 3 (Khai thác kết quả của bài toán, giải thích, trả lời): Dựa vào kết
quả trên, ta kết luận chiều cao của cầu Trường Tiền là khoảng 6,507 m
Giai đoạn 4 (Đối chiếu với thực tế): Thực tế, cầu Trường tiền cao 6,67 m.
Như vậy, kết quả tính được sai số 16,3 cm là ở mức chấp nhận được Sai số nàykhông phải do tính toán sai mà thông tin đề bài cung cấp có thể không chínhxác, cụ thể là phần đo đạc để xác định vị trí của một điểm trên nhị cầu
Một số bài toán chủ đề Hàm số được đề xuất có thể sử dụng mô hình hóa gắn với thực tiễn.
Bài toán 3:
Tàu khách SE12 đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Nha Trang có vận tốc trung bình khoảng 56km/h Khoảng cách từ ga Sài Gòn đến ga Nha Trang là 441km.
a) Viết công thức hàm số thể hiện đoạn đường còn phải đi sau một khoảng thời gian.
b) Tính giá trị của hàm số tại 1,5h và nêu ý nghĩa của số tìm được.
Trang 12Trong hình vẽ là quả bóng được đá lên từ mặt đất thực hiện bởi cầu thủ
Di Maria với vận tốc ban đầu là 20 (m/giây).
Cú sút bóng của cầu thủ Di Maria a) Tính chiều cao tối đa của quả bóng?
b) Sau thời gian bao lâu, quả bóng sẽ chạm mặt đất?
2.2 Hệ thống bài tập mô hình hóa chủ đề Phương trình và hệ phương trình
Bài toán 1:
Người lao động trong một cơ quan nhà nước được trả lương hàng tháng theo công thức S h c. , trong đó h là hệ số lương hiện hưởng của người lao động, c là mức lương cơ bản Biết năm 2020, chị Hiền vừa được tuyển dụng vào làm việc với hệ số lương khởi điểm là 2,34; mức lương cơ bản hiện tại là 1.490.000 đồng và cứ sau 3 năm không vi phạm kỉ luật thì người lao động sẽ được tăng hệ số lương thêm 0,3 Hỏi phải sau bao nhiêu năm gắn bó với nghề thì chị có thể nhận được 7 triệu tiền lương/tháng? (giả thiết không xảy ra vi phạm nào trong suốt quá trình làm việc)?
Mục tiêu hoạt động:
- HS hiểu được cách tính lương hàng tháng và sự thay đổi mức thu nhậptheo thâm niên (càng lâu năm càng thu nhập cao)
- Lập được công thức của tính lương tháng của một năm bất kì
- Vận dụng được công thức tính lương mỗi tháng của người lao động đểxác định được mốc thời gian mà mức thu nhập đạt đến 7 triệu đồng/tháng?
Tiến trình hoạt động:
GV chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm 6-8 HS và tổ chức cho các nhómgiải quyết bài toán theo 4 giai đoạn của quá trình mô hình hóa như sau:
Trang 13Giai đoạn 1 (Toán học hóa tình huống thực tế): GV cho các nhóm thảo
luận để đưa ra công thức tính lương mỗi tháng của người lao động Cụ thể, lựachọn biến số ở đây là gì (điều gì quyết định mức thu nhập tăng lên), khi lươnghàng tháng của người lao động vừa đạt mức 7 triệu đồng, đấy là năm thứ baonhiêu trong nghề? HS tiến hành tính thử lương của chị Hiền qua một số năm đểđưa ra cách tính tổng quan cho một năm bất kì:
- 3 năm đầu tiên: Thu nhập mỗi tháng là: 2,34.1,490 = 3, 4866 (triệu đồng)
- 3 năm tiếp theo: Thu nhập mỗi tháng là: (2,34+0,3).1,490 = 3,9336 (triệuđồng)
- 3 năm tiếp nữa: Thu nhập mỗi tháng là: (2,34+0,3+0,3).1,490 = 4,380(triệu đồng) …
Vậy tham số chính của bài toán này là số lần nâng lương theo chu kì 3năm được tăng một bậc
Giai đoạn 2 (Giải bài toán):
Gọi x là số lần được nâng lương của chị Hiền x 0
Thu nhập mỗi tháng của chị sau x lần được nâng lương sẽ là:
Giai đoạn 3 (Khai thác kết quả của bài toán, giải thích, trả lời): Dựa vào
kết quả trên, ta có thể xây dựng các câu hỏi mở rộng và bài toán thực tế mới nhưsau:
- Có nhận xét gì về quy luật thay đổi số tiền lương mỗi tháng của chị sauchu kì 3 năm? (là dãy số có tăng dần theo quy luật: số tiền sau hơn số tiền trước0,447 triệu đồng)
- Hãy dựa vào tổng thu nhập hàng năm của chị để lập mức tiết kiệm tối ưusao cho sau 4 năm thì chị có thể mua được một chiếc xe máy trị giá 40 triệuđồng?