phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh qua dạy học chủ đề hàm số lớp 9

Tất cả các môn học trong nhà trường đều có vai trò nhất định trong việc hình thành và phát triển năng lực đặc thù, riêng đối với môn Toán có thể phát triển được các năng lực như: tư duy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THẢO

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LỚP 9

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THẢO

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LỚP 9

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN HỌC Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Việt Cường

HÀ NỘI – 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài nghiên cứu: “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh qua dạy học chủ đề hàm số lớp 9” là của riêng tôi, không trùng với kết quả của các tác giả khác Các kết quả nghiên cứu trong luận văn có tính khách quan, trung thực và kết quả của tôi trong suốt quá trình

học tập, nghiên cứu vừa qua, dưới sự hướng dẫn của Thầy – PGS.TS Trần Việt Cường Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 30 tháng 03 năm 2023

Học viên

Nguyễn Thị Thảo

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trần Việt Cường, người đã luôn tận tình chỉ bảo hướng dẫn, dìu dắt, nhắc nhở tôi trong thời gian vừa qua

Tôi cũng xin trân trọng cám ơn sự giúp đỡ, hợp tác từ phía giáo viên, học sinh các trường THCS Tân Việt trong thời gian tôi thực nghiệm đề tài

Sau hết tôi xin được cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn này

Vì lý do khách quan và chủ quan nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi rất mong những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và các bạn đọc để tôi tiếp tục hoàn thiện, nâng cao chất lượng nghiên cứu của luận văn

Hà Nội, ngày 30 tháng 03 năm 2023

Tác giả

Nguyễn Thị Thảo

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu 5

5 Mẫu khảo sát 5

6 Vấn đề nghiên cứu 5

7 Giả thuyết khoa học 5

8 Phương pháp nghiên cứu 5

9 Cấu trúc của luận văn 6

CHƯƠNG 1 7

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 7

1.1 Năng lực, năng lực toán học 7

1.1.1 Khái niệm năng lực 7

1.1.2 Năng lực Toán học 8

1.2 Năng lực mô hình hóa toán học 11

1.2.1 Mô hình và mô hình hóa 11

1.2.2 Mô hình hóa toán học 14

1.2.3 Năng lực mô hình hóa toán học 24

1.3 Dạy học theo hướng phát triển năng lực cho học sinh 26

1.3.1 Định hướng dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh 26

1.3.2 Đặc điểm, yêu cầu và nguyên tắc trong dạy học phát triển năng lực học sinh 28

1.3.3 Dạy học theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh 30

1.4 Khảo sát thực trạng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 9 qua dạy học chủ đề hàm số 33

1.4.1 Mục đích khảo sát 33

1.4.2 Nội dung khảo sát 33

1.4.3 Đối tượng khảo sát 33

2.1.2 Định hướng 2: Tăng cường các hoạt động thực hành nhằm rèn luyện các kỹ năng thực hành toán học gần gũi thực tế 45

2.2 Một số biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa toán học của học sinh qua dạy học hàm số lớp 9 46

2.2.1 Biện pháp 1: Gợi động cơ ban đầu thông qua hoạt động mô hình hóa toán học từ các yếu tố gắn với thực tiễn trong dạy học chủ đề hàm số lớp 9 46 2.2.2 Biện pháp 2: Hướng dẫn học sinh xây dựng các bài toán gắn với các yếu tố thực tiễn trong dạy học chủ đề hàm số lớp 9 48

2.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện năng lực chuyển đổi từ tình huống thực tế sang tình huống toán học 53

2.2.4 Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh kĩ năng xây dựng mô hình toán học trong dạy học chủ đề “Hàm số lớp 9” 61

Kết luận chương 2 67

CHƯƠNG 3 68

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 68

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 68

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 68

3.3 Phương pháp và nội dung thực nghiệm sư phạm 68

3.3.1 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 68

3.3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 69

3.3.3 Nội dung kiểm tra đánh giá 70

3.4 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 73

3.5 Phân tích và đánh giá về kết quả thực nghiệm 73

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

1 THCS Trung học cơ sở 2 CTGDPT Chương trình giáo dục phổ thông

DANH MỤC CÁC HÌNH, BIỂU ĐỒ, SƠ ĐỒ Hình

Hình 1.1 Tám năng lực Toán học 10 Hình 3.1 Bước chân 70

Biểu đồ

Biểu đồ 3 1 So sánh kết quả kiểm tra 15 phút của lớp 9A và 9C 76 Biểu đồ 3 2 Tỉ lệ phần trăm kết quả kiểm tra 15 phút của lớp 9A và 9C theo

các mức độ của điểm số 76 Biểu đồ 3 3 So sánh kết quả kiểm tra 45 phút của lớp 9A và 9C 80 Biểu đồ 3 4 Tỉ lệ phần trăm kết quả kiểm tra 45 phút của lớp 9A và 9C theo

các mức độ của điểm số 80

Sơ đồ

Sơ đồ 1.1 Quy trình mô hình hóa 19 Sơ đồ 1.2 Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa 20

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1 1 Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên đưa những tình huống thực tiễn vào trong dạy học Toán 34 Bảng 1 2 Thống kê ý kiến của GV về mức độ quan trọng của việc đưa những

tình huống thực tiễn vào trong dạy học Toán 34 Bảng 1 3 Thống kê ý kiến của GV về mức độ quan trọng của việc đưa mô

hình hóa Toán học trong dạy học môn Toán ở cấp THCS nhằm phát triển năng lực cho học sinh 34 Bảng 1 4 Thống kê ý kiến của GV mức độ thường xuyên hướng dẫn học sinh

giải quyết các bài toán thực tiễn ngoài SGK trong dạy học nội dung hàm số 35 Bảng 1 5 Thống kê ý kiến của GV về những yếu tố cần để có thể vận dụng

dạy học thông qua mô hình hóa toán học 35 Bảng 1 6 Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên của việc thiết kế

các bài tập, bài kiểm tra theo hướng vận dụng mô hình hóa toán học để giải quyết các bài toán nảy sinh từ thực tiễn 35 Bảng 1 7 Thống kê ý kiến của GV về những thuận lợi và khó khăn gặp phải

trong quá trình tổ chức hoạt động dạy học mô hình hóa trong dạy học nội dung hàm số lớp 9 36 Bảng 1 8 Thống kê ý kiến của HS về mức độ thường xuyên tự tìm hiểu

những mô hình có kiến thức toán học trong thực tiễn đời sống 38 Bảng 1 9 Thống kê ý kiến của HS về mối liên hệ giữa tình huống thực tiễn

cuộc sống với toán học 38 Bảng 1 10 Thống kê ý kiến của HS về mức độ thường xuyên liên hệ các tình

huống thực tế vào trong tiết học của giáo viên 39 Bảng 1 11 Thống kê ý kiến của HS về khả năng của bản thân trong việc giải

quyết các tình huống thực tiễn bằng các kiến thức toán học được học trên lớp 39 Bảng 1 12 Thống kê ý kiến của HS về mối quan hệ giữa toán học với các

môn học khác 40 Bảng 3 1 Bảng kết quả học tập môn Toán của 2 lớp 69 Bảng 3 2 Kết quả kiểm tra 15 phút của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 74

Bảng 3 3 Kết quả kiểm tra 15 phút của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 75 Bảng 3 4 Phân phối các tham số có đặc trưng và kết quả kiểm tra sau thực

nghiệm bài kiểm tra 15 phút 77 Bảng 3 5 Kết quả kiểm tra 45 phút của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 79 Bảng 3 6 Kết quả kiểm tra 45phút của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng theo các mức độ của thang điểm 79 Bảng 3 7 Phân phối các tham số có đặc trưng về kết quả kiểm tra sau thực

nghiệm bài kiểm tra 45 phút 81

MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài

Nghị quyết số 29-NQ/TW của Ban Chấp hành Trung ương đã đánh dấu một bước quan trọng trong quá trình đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục Việt Nam Nội dung trọng tâm được thể hiện trong nghị quyết này là “chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực [2] Tất cả các môn học trong nhà trường đều có vai trò nhất định trong việc hình thành và phát triển năng lực đặc thù, riêng đối với môn Toán có thể phát triển được các năng lực như: tư duy và lập luận toán học; mô hình hóa toán học(MHHTH); giải quyết vấn đề toán học; giao tiếp toán học; sử dụng công cụ và phương tiện toán học[3]

Ngành Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác có phần thúc đẩy xã hội phát triển

Trên thế giới trong giảng dạy Toán nhiều nước đã chủ trương giản lược lý thuyết hàn lâm, tăng cường thực hành và không ngừng vận dụng vào thực tiễn trong các kỳ thi ở bậc phổ thông Trên con đường hội nhập, năm 2012 Việt Nam bắt đầu tham gia chương trình quốc tế đánh giá học sinh (HS) (PISA) do Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế (OECD) khởi xướng và chỉ đạo Một trong các năng lực được đánh giá trong PISA là năng lực toán học phổ thông Với năng lực này PISA đã đề xuất 8 năng lực toán học cơ bản trong đó có năng lực mô hình hóa toán học (MHHTH) với các tình huống đưa ra để đánh giá sẽ có liên quan mật thiết đến những vấn đề trong cuộc sống và toàn cầu.[4], [31], [32]

Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung, năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến

thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học giữa toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lý, Hóa học, Sinh học, Công nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM

Trong chương trình giáo dục phổ thông môn toán 2018 thì mục tiêu học sinh cần phải đạt đó là hình thành và phát triển năng lực Toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và năng lực lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ và phương tiện học toán.[5]

Trong số những năng lực này, MHHTH là năng lực đã được nhiều quốc gia trên thế giới đề cập đến từ hai thập niên trước (như Mĩ, Đức, Pháp, Anh, Trung Quốc, Nga,…) và là năng lực quan trọng của học sinh phổ thông Năng lực này được hình thành thông qua quá trình học sinh tìm hiểu khám phá các tình huống có tính thực tiễn được xây dựng trên các công cụ và ngôn ngữ toán học Mô hình hóa giúp học sinh nhận biết và hiểu được ý nghĩa, vai trò của toán học đối với đời sống thực tế, phát triển khả năng phân tích suy luận và giải quyết các vấn đề toán học, phát triển tư duy phê phán và khả năng liên hệ các kiến thức toán với các môn học khác Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin Quá trình này đòi hỏi học sinh cần có các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa [19], [20] Ở môn Toán cấp trung học cơ sở có mục tiêu là giúp học sinh góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt đó là nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề, thực hiện được việc lập luận hợp lý khi giải quyết vấn đề, chứng minh được mệnh đề toán học không quá

phức tạp; sử dụng được các mô hình toán học (công thức toán học, phương trình đại số, hình biểu diễn,…) để mô tả tình huống xuất hiện trong một số bài toán thực tế không quá phức tạp; sử dụng được ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường để biểu đạt các nội dung toán học cũng như thể hiện chứng cứ, cách thức và kết quả lập luận; trình bày được ý tưởng và cách sử dụng công cụ, phương tiện học toán để thực hiện một nhiệm vụ học tập hoặc để diễn tả những lập luận chứng minh toán học Ngoài ra kiến thức ở phần số và đại số trong chương trình giáo dục phổ thông cũng nêu rõ về việc sử dụng

ngôn ngữ hàm số để mô tả (mô hình hóa) một số quá trình và hiện tượng

trong thực tiễn Năng lực mô hình hóa toán học thể hiện qua việc sử dụng được các mô hình toán học (gồm công thức toán học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ, phương trình, hình biểu diễn…) để mô tả tình huống xuất hiện trong một số bài toán thực tiễn không quá phức tạp và giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập, thể hiện được lời giải toán học vào ngữ cảnh thực tiễn và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải

Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018 cũng nói rõ “hàm số cũng là công cụ quan trọng cho việc xây dựng các mô hình toán học của các quá trình và hiện tượng trong thế giới thực.[5]

Nội dung hàm số trong chương trình môn Toán lớp 9 là một nội dung

quan trọng trong chương trình toán trung học cơ sở, chiếm một phần kiến thức trong các đề thi vào 10 Nó cũng là một chủ đề khó, nhiều vấn đề liên

quan chưa gây được nhiều hứng thú với học sinh mặt khác nội dung hàm số

có nhiều ứng dụng vào thực tiễn mà học sinh chưa khám phá được nó có đặc tính biểu thị quan hệ biến thiên phụ thuộc giữa các đại lượng, đây cũng là quan hệ phổ biến phản ánh bản chất của hầu hết các hiện tượng khoa học cũng như trong tự nhiên xã hội Hàm số không chỉ xuất hiện trong toán học

mà còn được dùng như một công cụ để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn

trong vật lí, kinh tế, địa lý,… Trong chương trình giáo dục phổ thông hàm số

được xuất hiện trước hết với tư cách là đối tượng nghiên cứu sau đó là một công cụ để giải quyết nhiều bài toán liên quan như phương trình, bất phương trình,… chính vì vai trò quan trọng của nó mà hàm số là một chủ đề xuyên suốt trong chương trình môn toán từ cấp trung học cơ sở cho tới cấp học trung học phổ thông Tuy nhiên hiện nay việc tổ chức dạy học khái niệm hàm số ở trường trung học cơ sở còn chưa thực sự hiệu quả, học sinh còn khó vận dụng các khái niệm hàm số trong những tình huống thực tiễn Để nâng cao chất lượng giảng dạy cũng như tạo động lực và hứng thú cho học sinh giáo viên cần có các biện pháp phát triển năng lực người học trong đó việc phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh nhằm vận dụng các kiến thức hàm số vào thực tế đời sống là cần thiết Từ những lý do trên tôi chọn đề tài

“phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh qua dạy học chủ đề hàm số lớp 9” cho luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề hàm số lớp 9 ở trường trung học cơ sở

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu hệ thống lý thuyết về mô hình hóa và mô hình hóa toán học

- Nghiên cứu năng lực mô hình hóa toán học của học sinh thông qua dạy học nội dung hàm số trong chương trình lớp 9 ở trường trung học cơ sở

- Đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa toán học của học sinh thông qua dạy học chủ đề hàm số trong chương trình lớp 9 ở nhà trường trung học cơ sở

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu: Các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực

mô hình hóa toán học cho học sinh qua dạy học chủ đề hàm số lớp 9

- Thiết kế một số biện pháp dạy học nội dung hàm số lớp 9 theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học ở trường trung học cơ sở

7 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất và vận dụng được các biện pháp sư phạm theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa Toán học thông qua dạy học chủ đề hàm số trong chương trình môn toán lớp 9 thì sẽ góp phần phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán

8 Phương pháp nghiên cứu

8.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận:

Nghiên cứu một số văn bản, tài liệu liên quan đến phương pháp dạy học; các tài liệu triết học, tâm lý học, giáo dục học và lý luận dạy học bộ môn Toán có liên quan đến đề tài

8.2 Phương pháp điều tra, quan sát

Dự giờ, quan sát những biểu hiện của học sinh về nhận thức thái độ hành vi trong hoạt động học, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chuyên môn học hỏi kinh nghiệm của các thầy cô đi trước về phương pháp dạy học tích cực Lập các phiếu điều tra và tiến hành điều tra về tình hình dạy - học của giáo viên, học sinh về dạy học phát triển mô hình hóa toán học trong dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở

8.3 Thực nghiệm sư phạm

Tổ chức dạy học thực nghiệm tại trường Trung học cơ sở Tân Việt huyện Bình Giang, Hải Dương để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của đề tài

8.4 Phương pháp thống kê toán học

Phân tích và xử lý các số liệu sau khi điều tra

9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, các danh mục và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn Chương 2: Một số biện pháp sư phạm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung hàm số trong chương trình lớp 9

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực, năng lực toán học

1.1.1 Khái niệm năng lực

Năng lực (NL) là một khái niệm thuộc phạm trù tâm lý học Nhiều chuyên gia trong các lĩnh vực xã hội học, giáo dục học, triết học, tâm lý học và kinh tế học đã cố gắng định nghĩa khái niệm năng lực Ngày nay quan niệm về “năng lực” vẫn còn chắc chưa thống nhất trên phạm vi thế giới Tuy nhiên có thể kể đến một số quan niệm phổ biến về năng lực như sau:

- Theo Tâm lí học, năng lực là tổ chức các thuộc tính độc đáo của cá nhân

phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định và đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả [23]

- NL là “khả năng vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm, kỹ năng, thái

độ và để thực hiện một cách phù hợp và có hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống” dẫn theo [24]

- NL là khả năng làm chủ những hệ thống kiến thức, kỹ năng, thái độ và

vận hành kết nối chúng một cách hợp lý vào thực hiện thành công nhiệm vụ hoặc giải quyết hiệu quả vấn đề đặt ra của cuộc sống [16]

- Theo Xavier Roegiers khẳng định: Năng lực là sự tích hợp các kĩ năng

tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do những tình huống này đặt ra [25]

- Năng lực trong chương trình GDPT tổng thể 2018 là “thuộc tính cá nhân

được hình thành và phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”.[6]

Như vậy có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực nhưng đều có sự thống nhất như sau:

Về đặc điểm: NL được hình thành và bộc lộ trong hoạt động; năng lực

gắn với một hoạt động cụ thể; nó chịu sự chi phối của các yếu tố bẩm sinh di truyền, môi trường và hoạt động của bản thân

Về mối quan hệ với tri thức, kỹ năng: Tri thức, kỹ năng là điều kiện cần thiết để hình thành năng lực; năng lực góp phần cho quá trình lĩnh hội tri thức, kỹ năng trong lĩnh vực hoạt động nhất định được nhanh chóng, thuận lợi, dễ dàng; có năng lực hoạt động tức là có tri thức, kỹ năng trong lĩnh vực đó, nhưng ngược lại, có tri thức, kỹ năng không có nghĩa là có năng lực về lĩnh vực đó

Những đặc điểm và mối quan hệ nói trên của năng lực đã định hướng con đường hình thành, phát triển và bồi dưỡng năng lực (thông qua hoạt động) và đánh giá năng lượng (qua sự vận dụng kiến thức, kỹ năng trong tình huống cụ thể) “NL của mỗi người dựa trên cơ sở tư chất nhưng điều chủ yếu là năng lực hình thành, phát triển và thể hiện trong hoạt động tích cực của con người dưới sự tác động của rèn luyện dạy học và giáo dục” [24]

Hướng nghiên cứu của luận văn phù hợp với quan niệm về năng lực của Chương trình GDPT tổng thể Hiểu theo một cách khác: Năng lực là tập hợp các kỹ năng (các hoạt động) tác động lên các nội dung trong một tình huống có ý nghĩa đối với HS Ở đây, kỹ năng là một hoạt động được thực hiện trong những điều kiện cụ thể và kỹ năng đạt được dần dần trong suốt cả cuộc đời

1.1.2 Năng lực Toán học

Quan niệm về năng lực toán học của học sinh theo nghiên cứu của V.A Krutexki cho rằng: “ Năng lực học tập toán học là đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng nhu cầu hoạt động học toán

và giúp cho việc nắm giáo trình toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học”[26] Đây là cơ sở cho định hướng phát triển phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi toán của Phạm Văn Hoàn [11] và Hoàng Chúng [9] Ý tưởng này đã được cụ thể phần nào trong các nghiên kiến về năng lực toán học của Trần Luận [17] và của Trần Đình Châu [8]

Cho đến nay, quan niệm năng lực toán học đã có những thay đổi, phát triển đáng kể Một trong những nguyên nhân quan trọng cho sự thay đổi đó là do quan niệm về mục tiêu giáo dục toán học đã có sự điều chỉnh để phù hợp hơn với yêu cầu của sự phát triển kinh tế xã hội

Trong bối cảnh đó, Niss Mogens từ dự án nghiên cứu về năng lực toán học tại Đan Mạch cuối thế kỷ 20 đầu thế kỷ 21 đã đưa quan niệm về năng lực toán học được PISA lựa chọn([29], [30])

Theo PISA 2015 quan niệm rằng: “Năng lực toán học là khả năng cá

nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ) và giải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, công cụ toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng Nó giúp con người nhận ra vai trò của toán học trên thế giới và đưa ra phán đoán, quyết định của công dân biết góp ý, tham gia và suy ngẫm” ([10], [33]) Đây cũng là quan niệm về năng lực toán học được

chúng tôi sử dụng trong nghiên cứu của Luận văn

Theo OECD/PISA ( dựa trên công trình của Niss (1999) và các đồng nghiệp Đan Mạch của ông) có tám năng lực Toán học đặc trưng sau đây:

- Năng lực tư duy và suy luận toán học - Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề - Năng lực mô hình hóa toán học

- Năng lực lập luận toán học

- Năng lực giao tiếp toán học - Năng lực trình bày toán học - Năng lực sử dụng các công thức, kí hiệu, các yếu tố kĩ thuật - Năng lực sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ toán học

Hình 1.1 Tám năng lực Toán học

Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018 các em học sinh sẽ được hình thành và phát triển 10 năng lực thiết yếu để từ đó phát huy và vận dụng tối đa khả năng của mình vào thực tiễn

Như vậy có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực Toán học, nó là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học Từ những nghiên cứu về năng lực toán học, có thể thấy năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của học sinh, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán; Năng lực

Toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn liền với) các hoạt động của học sinh nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập

trong môn Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán… Như vậy có thể hiểu năng lực Toán học là tổ hợp các kĩ năng của một cá nhân đảm bảo thực hiện các hoạt động toán học

1.2 Năng lực mô hình hóa toán học

1.2.1 Mô hình và mô hình hóa

1.2.1.1 Mô hình

Mô hình có thể hiểu là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc của hệ thống, cách vận hành của một hoặc các sự vật, hiện tượng thuộc hệ thống [7] Theo ý nghĩa vật lý của nó, mô hình còn có thể hiểu là một bản sao nhỏ hơn của đối tượng, mang những đặc trưng (đặc điểm, màu sắc, chức năng) của đối tượng mà nó biểu diễn [1] và thông qua mô hình đó, ta có thể thao tác và khám phá thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật [19]

Về mặt trực giác, mô hình thường được hiểu là một đối tượng vật lý, một bản sao, khác về kích thước nhưng có cấu trúc, tính chất và cách thức vận hành như đối tượng gốc mà mô hình đó thể hiện (như mô hình không gian vũ trụ, mô hình tên lửa nước, mô hình thuyền buồm…) Tuy nhiên, mô hình còn có thể được hình thành trong trí não sử dụng với nhiều ngữ cảnh học tập khác nhau hoặc mô hình tổng quát (như hệ tiên đề của hình học Ơclít) Như vậy, mô hình là một hình thức mô tả, minh họa thay thế mà qua đó ta thấy được các đặc điểm, đặc trưng của vật thể thực tế Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật và đây cũng là hướng tiếp cận mô hình của tác giả trong nghiên cứu này

Như vậy, mô hình có một số đặc trưng cơ bản sau đây: - Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu - Về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy - Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc

- Thực tiễn cuộc sống luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình không

phải là cái bất biến Tác giả sẽ tập trung tiếp cận mô hình theo quan điểm trí não

1.2.1.2 Mô hình hóa

Mô hình hóa là một phương pháp khoa học để nghiên cứu các đối tượng, các quá trình … bằng cách xây dựng các mô hình của chúng (các mô

hình này bảo toàn các tính chất cơ bản được trích ra của đối tượng đang

nghiên cứu) và dựa trên mô hình đó để nghiên cứu trở lại đối tượng thực

Ý tưởng sử dụng mô hình và MHH trong dạy học được đề xuất bởi Aristides C Barreto từ giữa những năm 70 của thế kỉ trước, ông quan niệm: “MHH là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết một vấn đề nào đó” [35] MHH nhấn mạnh đến các quá trình chuyển đổi: xuất phát từ tình huống thực tế, tìm kiếm kiến thức toán để giải quyết, sau đó quay lại thực tế xem xét tính hiệu quả của mô hình đã sử dụng để mô tả và phân tích, đối chứng phương pháp giải quyết tình huống thực Sẽ có nhiều công cụ khác nhau hữu ích đối với mỗi tình huống, tùy thuộc vào cách phân tích tình huống đó, vì vậy đứng trước một nhiệm vụ MHH, câu hỏi đặt ra là: kiến thức nào phù hợp để giải quyết Từ quan điểm này, chúng tôi nghiên cứu MHH ở hai cách tiếp cận sau:

* MHH như một phương pháp dạy học

Cung cấp cho học sinh hiểu khái niệm của vấn đề; giúp học sinh đọc, hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình huống thực tế, phát triển tư duy sáng tạo và tư duy phê phán Để áp dụng phương pháp này, GV có thể lựa chọn các chủ đề thuộc bất cứ lĩnh vực nào mà học sinh quan tâm hoặc yêu thích (dựa trên nội dung kiến thức của bài học) và thiết kế các mô hình toán học để dạy Chúng tôi thiết kế 7 bước dạy học với MHH đó là:

- Đưa ra vấn đề: Đưa cho cả lớp mô tả ngắn gọn về chủ đề, hướng dẫn học sinh đặt câu hỏi về chủ đề đó

- Đơn giản hóa vấn đề: GV lựa chọn một hoặc vài câu hỏi để phát triển kiến thức Có thể khuyến khích HS tìm hiểu vấn đề, đọc lịch sử nghiên cứu hoặc phỏng vấn chuyên gia về vấn đề nghiên cứu

- Thiết lập vấn đề: GV bắt đầu thiết lập vấn đề bằng cách đưa ra giả thuyết, tính toán và sắp xếp dữ liệu theo cách mà HS có thể sử kiến thức toán học trong bài để giải quyết

- Phát triển kiến thức của bài học: GV đưa ra khái niệm, định nghĩa hay tính chất có liên hệ chặt chẽ với vấn đề vừa giải quyết

- Trình bày ví dụ tương tự: Ngay sau các bước trên, các vấn đề tương tự được nêu ra, trình bày ứng dụng Kích thích và hướng dẫn sử dụng các phương tiện kĩ thuật như máy tính cầm tay, máy vi tính để thực hành trong lớp

- Thiết lập mô hình và lời giải cho vấn đề xuất phát từ mô hình: GV đề nghị HS quay lại vấn đề và tổng quát hóa, giải nó

* MHH như một phương pháp nghiên cứu

Giúp HS biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào các lĩnh vực khác HS được làm việc theo nhóm tùy theo sở thích và thế mạnh cá nhân Có thể chia làm 5 giai đoạn sau đây:

- Lựa chọn chủ đề: Nhóm được tạo bởi ít nhất 4 HS và mỗi nhóm lựa chọn một chủ đề theo sở thích Các nhóm với sự hướng dẫn của GV, chịu trách nhiệm về sự lựa chọn và cách thức tổ chức nhóm GV gợi ý những dữ liệu có thể thu nhập qua lịch sử nghiên cứu hoặc qua phỏng vấn chuyên gia

- Làm quen với chủ đề mô hình: ở giai đoạn này HS làm quen với chủ đề và có dữ liệu GV hướng dẫn đặt các câu hỏi mà các em đã tổng hợp được từ dữ liệu Tổng hợp này cho phép các em học về chủ đề, khoảng 3 câu hỏi gợi ý cho nhóm

- Đơn giản vấn đề và thiết lập công thức: sau khi đơn giản vấn đề và lựa chọn câu hỏi để trả lời, GV bắt đầu thiết lập vấn đề từ câu hỏi để giải Khi nhóm có kiến thức cơ bản về chủ đề, phỏng vấn chuyên gia sẽ có hiệu quả

- Thiết kế mô hình, giải và đối chiếu: Khi vấn đề được thiết lập, nhóm cố gắng chi tiết mô hình làm cho lời giải cụ thể hơn cho từng câu hỏi, áp dụng lời giải để dự đoán các kết quả khác

- Tổ chức viết báo cáo của nhóm và thuyết trình Từ những cách tiếp cận trên, có hai hướng khai thác mô hình hóa Thứ nhất, mô hình được sử dụng để hiểu và giải quyết các vấn đề thực tiễn như là một phương tiện để dạy và học ở trường Thứ hai, mô hình được sử dụng để phục vụ nghiên cứu khoa học Tuy nhiên, các nhà nghiên cứu tập trung nhiều vào hướng khai thác thứ nhất Barbosa [28] cho rằng mô hình đóng vai trò quan trọng trong dạy học toán MHH là môi trường để học sinh tìm hiểu, khám phá các kiến thức toán học cũng như các kiến thức liên môn khác Đây là phương pháp tiếp cận tích cực, hướng HS làm trung tâm, kết nối với thực tiễn và rèn luyện các kĩ năng toán học, giải quyết vấn đề, lập giả thuyết, toán học hóa, biểu diễn bội và tư duy phê phán…Nó là một phương tiện để phát triển các ý tưởng toán học và giúp HS hiểu được bản chất các khái niệm toán học Tóm lại, có thể nói mô hình được dùng để mô tả một tình huống thực tiễn nào đó, mô hình toán học được hiểu là sử dụng công cụ toán học để thể hiện nó dưới dạng ngôn ngữ toán học, trong đó mô hình hóa là quá trình tạo ra mô hình nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề nào đó Quá trình này tuân theo một quy trình sử dụng các quy tắc đặc biệt để thành lập giả thuyết hay cấu trúc toán học như; công thức, thuật toán, bảng biểu, biểu đồ, biểu tượng để từ đó HS có cái nhìn rõ ràng hơn về các vấn đề tồn tại trong thực tiễn

1.2.2 Mô hình hóa toán học

1.2.2.1 Khái niệm mô hình hóa toán học

Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán học và ngược lại Cách tiếp cận này giúp việc học Toán của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học Toán Mô hình sử dụng trong dạy học Toán có thể là hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử MHH là quá trình tạo ra mô hình nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề và có thể coi

là một quá trình khép kín

Hiện nay có rất nhiều định nghĩa mô tả khái niệm Mô hình hóa toán

học được chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục toán học, tùy thuộc vào quan điểm lý

thuyết mà mỗi tác giả lựa chọn

Edwards và Hamson (2001) đưa ra khái niệm mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học thông qua việc thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [36] Nói cách khác, mô hình hóa toán học chính là quá trình giải quyết vấn đề thực tế bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Vấn đề của tình huống thực tiễn được chuyển đổi sang vấn đề toán học phù hợp và ngược lại

Theo Nguyễn Danh Nam [20, tr.16] về mô hình hóa toán học: “Để vận

dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống của thực tế, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống Quá trình này được gọi là mô hình hóa toán học.” Một vài cấu trúc toán học cơ bản có thể dùng

để mô hình hóa là các đồ thị, phương trình (công thức) hoặc hệ phương trình hay bất phương trình, chỉ số, bảng số hay các thuật toán Mô hình hóa toán học cho phép học sinh kết nối toán học nhà trường với thế giới thực, chỉ ra khả năng áp dụng các ý tưởng toán, đồng thời cung cấp một bức tranh rộng

hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa hơn Từ những định nghĩa về mô hình hóa toán học, chúng tôi có nhận xét: Mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó, từ bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý Tuy nhiên, nếu nói một cách ngắn gọn thì mô hình hóa toán học chỉ là quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ toán học Từ đó vận dụng kiến thức, kĩ năng toán học để giải quyết bài toán đặt ra

MHH toán học giúp HS phát triển sự thông hiểu giữa các khái niệm và quá trình toán học; phát triển các kĩ năng hợp tác và nhận thức ở mức độ cao Do đó, GV cần đưa ra các dạng bài tập thực tiễn gắn với hoạt động MHH

nhằm phát triển năng lực MHH cho HS

MHH toán học là một phương tiện phù hợp để phát triển các năng lực toán học của HS như suy luận, khám phá, sáng tạo và giải quyết vấn đề

1.2.2.2 Một số quy trình mô hình hóa toán học

Có nhiều nhà nghiên cứu đã đưa ra sơ đồ quy trình mô hình hóa Sau đây là một số ví dụ:

Theo tác giả Nguyễn Thị Tân An [1], quy trình mô hình hóa được mô tả qua 5 bước:

- Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tiễn Tinh huống thực tế giáo viên (GV) lựa chọn phù hợp kiến thức học sinh lớp 9, tình huống khi chuyển về bài toán toán học phải chứa đựng kiến thức của Hàm bậc nhất GV cần hướng dẫn HS xác định các yếu tố cần thiết, mối quan hệ giữa chúng, loại bỏ tham số phụ

- Bước 2: Nhận ra các kiến thức toán học phù hợp với vấn để, tổ chức

lại vấn đề theo các khái niệm toán học GV định hướng học sinh xác định

thông tin bài toán gồm: giả thiết bài toán là gì, yêu cầu bài toán là gì

- Bước 3: Không ngừng cắt tỉa các yếu tố thực tế để chuyển vấn để

thành một bài toán mà thể hiện trung thực tình huống Bài toán được xây

dựng là bài toán thuẩn thúy toán học

- Bước 4: Giải quyết bài toán: sử dụng các kiến thức toán học vào giải

bài toán

- Bước 5: Làm cho lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống

thực tế, xác định những hạn chế của lời giải Khi dạy học bài Hàm số bậc nhất, thì trong quá trình dạy học bằng mô hình hóa, nếu GV bắt đầu với một tình huống thực tế, bài toán mở, các điểu kiện ban đầu chưa rõ ràng sẽ là khó khăn với HS HS khó khăn trong việc cắt tỉa các yếu tố phụ, nhận biết các yếu tố toán học GV nên bắt đầu bằng tình huống toán học hóa, nghĩa là tình huống thực tế ban đầu nhưng đã được đơn giản hóa, thêm các giả thiết phù hợp, loại bỏ các yếu tố không cần thiết Khi học sinh đã quen thuộc với bài toán chứa tình huống toán học hóa, GV có thể đưa các bài toán chứa tình

huống thực tế, bài toán mở

Ví dụ: Hãng taxi A quy định giá đi xe như sau: giá mở cửa là 11000

đồng, giá cước 30 km đầu tiên là 15000 đổng/km, giá cước khi đi từ 31 km trở lên là 12000 đồng/km Khách hàng đi taxi quãng đường x (km), tính số

tiền hành khách phải trả

Khách hàng đi 35 km thì khách hàng trả bao nhiêu tiền Bài toán này

chưa có tình huống toán học hóa, để tổ chức hoạt động mô hình hóa bài toán này, quy trình mô hình hóa bài toán bắt đầu từ bước 2

- Bước 2: Lập giả thiết, quan sát và thu thập dữ liệu Học sinh cần xác

định thông tin của bài toán là gì? yêu cẩu của bài toán là gì?

Các thông tin của bài toán: Giá cước taxi: giá mở cửa là 11000 đồng, giá cước 30km đầu tiên là 15000 đổng, giá cước từ 31 km trở lên là 12000 đổng Yêu cẩu của bài toán: Tính số tiền phải trả khi khách hàng đi quãng đường x

- Bước 3: Xây dựng bài toán: Sau khi đã xác định các tham số đầu vào, đẩu ra ở

bước 2, HS xây dựng bài toán Gọi y là số tiền khách hàng phải trả cho hãng

taxi khi đi quãng đường x, với y 0 Biểu diễn y theo x

- Bước 4: Giải bài toán: Đây là bài toán thuần thúy toán học Nếu  thì : = y

Nếu  thì : y = 11000 + 30 1 15000 ( − ) + (x−30 12000) - Bước 5 : Đối chiếu đưa ra lời giải

Nếu khách hàng đi nhỏ hơn 1 km, số tiền phải trả là 11000 đồng Nếu khách hàng đi từ 1 km đến 30 km, số tiền phải trả là

- Bước 3 (diễn giải) : sử dụng kết quả thu được ở bước 2 để diễn giải thành lời giải thực tiễn

- Bước 4 (kiểm chứng) : so sánh, đối chiếu lời giải với bài toán thực tiễn

ban đầu xem có thật hợp lí hay không Trong khuôn khổ của bài viết này, chúng tôi vận dụng quy trình MHH của Nguyễn Phú Lộc vào quá trình dạy học Toán Quy trình này đảm bảo đầy đủ các bước của việc MHH, đồng thời giúp HS dễ hiểu và nắm vững kiến thức

Sơ đồ 1.1 Quy trình mô hình hóa

Mô hình hóa toán học có thể hiểu là quá trình đơn giản hóa các bài toán thực tế để có thể giải quyết bằng các phương pháp toán học sẵn có, là bước quan trọng giúp toán học gắn với thực tiễn, từ đó quay trở về giải bài toán thực tiễn

Theo tác giả, Nguyễn Danh Nam đưa ra quy trình 7 bước tổ chức hoạt động mô hình hóa trong dạy học môn Toán như sau [19]:

- Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xây dựng giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế

- Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các đại lượng, các giả thuyết đã nêu ra ở bước 1

- Bước 3: Xây dựng bài toán dựa trên các ngôn ngữ toán học để mô tả tình huống thực tế

- Bước 4: Sử dụng các công cụ và ngôn ngữ toán học để giải bài toán - Bước 5: Tìm ra được lời giải của bài toán, hiểu ý nghĩa của mô hình toán học đối với tình huống thực tiễn

- Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình, kiểm tra tính hợp lý và tính tối ưu của

mô hình đã xây dựng

- Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây

dựng mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn

Sơ đồ 1.2 Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa

(Nguồn: Báo cáo tổng kết đề tài khoa học và công nghệ cấp bộ năm

2016 của tác giả Nguyễn Danh Nam)

Ở đề tài này, tác giả vận dụng vào phạm vi và đối tượng giáo viên và học sinh trung học cơ sở, và giới hạn trong nội dung dạy học hàm số bậc nhất, tôi cụ thể hóa các hoạt động thực hiện MHH toán học theo các bước như sau:

- Giai đoạn 1: Toán học hóa: Học sinh hiểu được vấn đề thực tiễn, xác

định các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và thể hiện vấn đề bằng

công cụ và ngôn ngữ toán học Xác định các khái niệm, các biến số, mối liên hệ giữa các biến, từ đó biểu diễn vấn đề dưới ngôn ngữ toán học Quá trình này là quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán học

- Giai đoạn 2: Giải bài toán: Học sinh lựa chọn, sử dụng các công cụ

và phương pháp toán học thích hợp để xây dựng và giải quyết bài toán, có thể sử dụng sự hỗ trợ của công nghệ thông tin

- Giai đoạn 3: Thông hiểu bài toán: Học sinh hiểu lời giải của bài

toán đã được chuyển đổi từ tình huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu) và hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán trong hoàn cảnh thực tiễn, trong đó cần nhận ra những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào các tình huống thực tiễn

- Giai đoạn 4: Đối chiếu thực tế: Xem lại các giả thuyết, các hạn chế

của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng và tiến tới cải tiến mô hình cũng như lời giải của bài toán Giai đoạn này yêu cầu học sinh phải có hiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống

Ví dụ : Giá trị của một chiếc máy tính bảng sau khi sử dụng t năm được cho

- Bước 1 (Toán học hóa): Học sinh hiểu được vấn đề thực tiễn Xác

định các khái niệm, các biến số, mối liên hệ giữa các biến, từ đó biểu diễn vấn đề dưới ngôn ngữ toán học

GV hướng dẫn HS đọc đề và phân tích đề, xét xem bài toán liên quan đến kiến thức nào (hàm số bậc nhất) Từ đó HS thấy được mô hình toán học

trong bài và giải quyết vấn đề nêu ra Cụ thể là HS sẽ nhận ra được công thức

đề bài cho chính là hàm số bậc nhất và khi đó HS sẽ tính được V(2) bằng

cách:

- Bước 2 (Giải bài toán): Đây cũng là giai đoạn tạo tình huống có vấn

đề GV hướng dẫn HS cách tính V (2) GV đặt câu hỏi nêu vấn đề: “Khi biết

được giá trị của chiếc máy tính bảng thì ta có thể tính ra được thời gian sử dụng tương ứng của nó hay không?” Sau đó HS sẽ tìm ra được vấn đề và giải quyết được ý thứ 2 Cụ thể ta có lời giải bài toán như sau:

a) Thay t =2 vào công thức V t( )=9800000 – 1200000t, ta được:

Vậy sau 4 năm, giá của chiếc máy tính bảng là 5000000đồng

- Bước 3 (Thông hiểu): Sau khi hướng dẫn HS trả lời được câu hỏi

trên, nghĩa là chiếc máy tính mua sử dụng được 4 năm thì giá trị còn lại của

nó là 5 triệu đồng, GV hướng dẫn HS giải bài toán trên sử dụng kiến thức về hàm số bậc nhất

GV hướng dẫn HS hiểu và thông dịch bài toán

- Bước 4 (Đối chiếu): Ở bước này, GV cần làm rõ khả năng ứng dụng

lời giải của bài toán vào thực tế: Giúp các em tính được giá trị còn lại của sản phẩm sau thời gian sử dụng là t (năm)

1.2.2.3 Một số nguyên tắc mô hình hóa toán học

- Đảm bảo tính khoa học : Các mô hình được thiết kế cần đảm bảo tính khoa học, tính chính xác và mô tả được các tình huống trong thực tiễn HS sử

dụng các phương pháp toán học để giải bài toán, từ đó đối chiếu kết quả với

thực tiễn để điều chỉnh mô hình toán học cho phù hợp

- Làm rõ tính ứng dụng của toán học trong thực tiễn

- Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức tính khả thi của hoạt động MHH và hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được hiểu là khả năng thực hiện được (xây dựng được, sử dụng được) Điều này phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố : chương trình, sách giáo khoa, kế hoạch dạy học và quỹ thời gian thực hiện, trình độ, nhận thức chung của HS, khả năng và trình độ thực hiện của GV, sự tương hợp giữa các nội dung thực tiễn chứa đựng trong các tình huống Vì vậy, các hoạt động và hệ thống các bài tập MHH cần được chọn lọc phù hợp về mức độ và số lượng Các bài tập MHH tình huống thực tiễn cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Do đó, khi thiết kế

các hoạt động và hệ thống bài tập, GV cần chú ý đến các cấp độ sau đây [34] :

+ Cấp độ 0 : HS không hiểu tình huống + Cấp độ 1 : HS chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không biết cấu trúc và MHH tình huống

+ Cấp độ 2 : Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS tìm được mô hình thật thông qua cấu trúc, nhưng chưa biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học

+ Cấp độ 3 : HS có thể tìm ra mô hình thật, MHH thành vấn đề toán học, nhưng không giải quyết được vấn đề

+ Cấp độ 4 : HS thiết lập được vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn, giải bài toán và có kết quả cụ thể

+ Cấp độ 5 : HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm nghiệm lời giải bài toán trong mối liên hệ với tình huống đã cho Tùy từng đối tượng HS mà GV giao nhiệm vụ ở những cấp độ phù hợp, vừa sức với HS

nhằm nâng cao hiệu quả của hoạt động MHH toán học trong dạy học môn

Toán 1.2.3 Năng lực mô hình hóa toán học

Năng lực MHHTH là khả năng quan sát tình huống thực tiễn, lựa chọn và xác định các giả thiết, câu hỏi, mối quan hệ phù hợp để “phiên dịch” sang ngôn ngữ toán học ; giải bài toán bằng các thuật toán và kiểm chứng lời giải trong môi trường ban đầu ; phân tích và so sánh những mô hình đã có để tìm các các mô hình phù hợp hơn Hay nói đơn giản hơn, HS vận dụng những hiểu biết của bản thân để chuyển một tình huống thực tiễn về dạng toán học và từ kết quả toán học tìm được để quay trở lại giải quyết vấn đề của thực tiễn Khi đó, các kỹ năng làm việc nhóm, kĩ năng giao tiếp xã hội là rất cần thiết để thực hiện nhiệm vụ MHH.[37]

Trong chương trình GDPT 2018[6] thì năng lực MHH toán học thể hiện qua việc :

- Xác định được mô hình toán học gồm (công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị…) cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn

- Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập - Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Cụ thể trong chương trình cấp THCS thì năng lực mô hình hóa thể hiện qua việc sử dụng được các mô hình Toán học (gồm công thức toán học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ, phương trình, hình biểu diễn, …) để mô tả tình huống xuất hiện trong một số bài toán thực tiễn không quá phức tạp Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập Thể hiện được lời giải toán học vào ngữ cảnh thực tiễn và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải

Năng lực MHHTH được CTGDPT môn Toán mô tả thông qua 3 loại việc (hay hành động, thành tố) tương ứng với các cấp độ MHH của HS :

- Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn

- Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập - Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Cách diễn đạt năng lực MHHTH thể hiện thông qua “việc thực hiện các hành động” hoặc “thể hiện qua việc” trong nghiên cứu của Đỗ Đức Thái [22], ta có thể thấy việc mô tả năng lực MHHTH là không đơn giản Cũng có thể thấy năng lực MHHTH được thể hiện trong CTGDPT mới thông qua 3 loại việc có thể coi là 3 thành tố của năng lực Trong khi đó tác giả Nguyễn Danh Nam, Mogen Niss và Lê Văn Hồng đưa ra nhiều thành tố của năng lực MHHTH

Trong đề tài của Lê Văn Hồng đã giới thiệu 7 thành phần của năng lực MHHTH (từ mô tả của Niss) [13] là :

- Khả năng phân tích trên mô hình đã có, làm rõ được các yếu tố mô hình, tính chất mô hình và hiệu lực của mô hình

- Khả năng xác định ý nghĩa của của mô hình toán học hiện có, tức là giải thích ý nghĩa các yếu tố của mô hình và kết quả mô hình đối với hiện thực hay tình huống mà mô hình đó thể hiện

- Khả năng trừu tượng hóa, cấu trúc hóa hiện tượng, tình huống để làm xuất hiện mô hình toán học (Quá trình này còn gọi là quá trình toán học hóa hiện tượng hay tình huống Quá trình này cần sử dụng đến ngôn ngữ toán học)

- Khả năng làm việc trên mô hình thu được (bao gồm khả năng huy động và thực hiện các kiến thức, kĩ năng toán học nhất định là việc trên mô hình và khả năng xem xét chính công việc đó)

- Khả năng cải thiện mô hình nhờ xem xét việc làm trên mô hình và ý nghĩa của kết quả làm việc trên mô hình đối với hiện tượng, tình huống mà mô hình thể hiện (có phần liên quan tới khả năng 2)

- Khả năng giao tiếp về mô hình và kết quả mô hình đối với người khác

- Khả năng theo dõi và quản lí toàn bộ quá trình MHH Trong 7 thành phần trên ta thấy, thành phần ba gần với việc thứ nhất trong ba loại việc trong quan niệm CTGDPT môn Toán, các thành phần bốn và một gần với việc thứ hai, các thành phần hai và năm gần với việc thứ ba

Yêu cầu đặt ra đối với luận văn là bằng nội dung cơ bản vốn có ở CT và SGK hiện hành cần làm rõ mô hình toán học và quá trình MHHTH có thể có trong chương Hàm số bậc nhất Đồng thời, theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim, mỗi nội dung môn toán có những hoạt động tương ứng [14] Vấn đề là lựa chọn và tăng cường các hoạt động vừa tương ứng với nội dung vừa phù hợp với định hướng phát triển năng lực Với gợi ý từ CTGDPT mới 2018, luận văn sẽ chọn các hoạt động tương ứng với 3 việc của năng lực MHH đã nêu trên thông qua các ví dụ, câu hỏi, bài tập tương thích với các hoạt động đã chú ý Các câu hỏi, bài tập này có thể được lựa chọn từ các câu hỏi bài tập vốn có ở SGK hiện hành và có thể có câu hỏi bài tập bổ sung nhằm thể hiện rõ hơn loại hoạt động cần chú ý

1.3 Dạy học theo hướng phát triển năng lực cho học sinh

1.3.1 Định hướng dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh

Nội dung trọng tâm được định hướng là tích cực hóa các hoạt động học tập của HS, rèn luyện khả năng tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề của HS nhằm hình thành và phát triển ở HS tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo

GV là người thiết kế, tổ chức, hướng dẫn, điều khiển HS học tập và giữ vai trò chủ đạo HS là chủ thể nhận thức, biết cách tự học, tự rèn luyện để từ đó hình thành và phát triển nhân cách, các năng lực cần thiết của người lao động mới theo các mục tiêu đề ra Trong quá trình dạy học, GV nghiên cứu và sử dụng có hiệu quả SGK ; không nên áp đặt những hình thức tổ chức dạy học cứng nhắc mà phải dựa trên tính nguyên tắc nhưng có sự sáng tạo, mềm mại và linh hoạt

- Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động

Việc tổ chức cho học sinh tham gia vào các hoạt động học tập sẽ giúp việc học trở thành tự thân và đạt hiệu quả cao nhất Qua các hoạt động, học sinh sẽ ghi nhớ kiến thức được tốt hơn và phát triển năng lực học sinh toàn diện Cách dạy này giúp học sinh học tập và hoạt động dưới sự tổ chức, hướng dẫn và điều khiển của giáo viên trong suốt quá trình tiếp thu kiến thức, rèn luyện kỹ năng và hình thành hành vi hay thái độ học tập đúng đắn

- Dạy học thông qua tương tác và hợp tác

Trong dạy học theo định hướng phát triển năng lực sẽ có sự tương tác hai chiều, trong đó có hỏi đáp, tranh luận và phản biện giữa giáo viên và học sinh cũng như giữa học sinh với nhau Từ đó sẽ tạo nên mối quan hệ giao lưu, hòa đồng và hợp tác

- Dạy học phân hóa

Mỗi học sinh đều là một cá thể độc lập có sự khác biệt về năng lực, trình độ và sở thích nên không thể dạy học theo kiểu đồng loạt bằng một phương pháp duy nhất để áp dụng cho tất cả mọi học sinh mà cần tiến hành dạy học phân hóa và cho phép học sinh học tập theo tốc độ, khả năng riêng của mình

- Dạy học gắn với hướng dẫn tự học

Tự học chính là con đường phát triển nội sinh, phát triển năng lực bản thân Ngày này, việc dạy học đòi hỏi định hướng cho học sinh cách tự học để

học suốt đời Trong dạy học phát triển năng lực, cần hướng dẫn cho học

sinh tự học, tự khám phá để chiếm lĩnh kiến thức là một yêu cầu quan trọng và là cơ sở hình thành và phát triển năng lực tự chủ và tự học cho học sinh

- Dạy học đi cùng với đánh giá để thúc đẩy, điều chỉnh việc học

Trong dạy học theo định hướng phát triển năng lực, hoạt động dạy học và đánh giá luôn song hành cùng nhau trong mỗi tiết học Điều này sẽ giúp giáo viên đánh giá học sinh từ nhiều nguồn với các hình thức khác nhau, trong đó học sinh cũng tự đánh giá và đánh giá lẫn nhau Đánh giá sự tiến bộ của học sinh nhằm động viên và có những điều chỉnh để học sinh phát triển tốt hơn

- Dạy học gắn với thực tiễn

Mục tiêu của dạy học theo định hướng phát triển năng lực là hướng cho học sinh vận dụng kiến thức đã học vào trong cuộc sống Việc đưa bài học

vào cuộc sống là yêu cầu quan trọng trong dạy học phát triển năng lực Giáo

viên ngoài việc giảng dạy các kiến thức trong sách giáo khoa, cần đưa thêm các kiến thức từ thực tiễn vào cuộc sống để học sinh nhận thấy được giá trị thực của học tập

1.3.2 Đặc điểm, yêu cầu và nguyên tắc trong dạy học phát triển năng lực học sinh

Việc xây dựng hệ thống MHH trong dạy học môn toán cần tuân theo đặc điểm, yêu cầu và một số nguyên tắc trong dạy học theo tiếp cận phát triển triển năng lực [22]

* Về đặc điểm :

- Hoàn thiện năng lực toán học bao gồm cả kiến thức, kỹ năng, kĩ xảo, động cơ, thái độ, hứng thú và niềm tin trong học toán Cần tạo hoạt động để HS rèn luyện, thực hành, trải nghiệm trong học tập môn toán

- Kết quả học tập là khả năng thực tế của HS, khuyến khích HS tìm tòi, khám phá tri thức toán học và vận dụng vào thực tiễn

- Nâng cao yếu tố tự học và cách học của HS GV là người hướng dẫn, thiết kế, còn HS phải tự xây dựng kiến thức và hiểu biết toán học của riêng mình

- Môi trường dạy học mang tính tương tác tích cực giữa các cá nhân, cặp đôi, nhóm hoặc hoạt động chung của cả lớp, giữa GV và HS trong quá trình dạy học

- Ứng dụng công nghệ, thiết bị dạy học hiện đại nhằm tối ưu hóa việc phát triển năng lực của HS

* Về yêu cầu :

- Cần xác định các yêu cầu về năng lực toán học cần có của HS ở mỗi cấp học và ở từng lớp trong quá trình học tập trong nhà trường và hoạt động thực tế Xây dựng mục tiêu dạy học, nội dung dạy học, phương pháp, hình thức dạy học và các thức đánh giá kiểm tra phải phù hợp với yêu cầu đã đề ra cần đạt được

- Nội dung dạy học được lựa chọn dựa trên tính hệ thống logic của khoa học toán học, phù hợp với trình độ nhận thức của HS ở mỗi khối lớp cấp THCS, thiết thực với đời sống thực tiễn, có tính tích hợp liên môn…

- Phương pháp và hình thức tổ chức dạy học dựa trên cơ sở tổ chức các hoạt động trải nghiệm, khám phá, phát hiện, học tập độc lập, tích cực, tự học có hướng dẫn Tránh áp đặt, đọc – chép Tăng thực hành, vận dụng, tương tác tích cực Tập trung khai thác và sử dụng kinh nghiệm của HS trong đời sống hàng ngày