phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn thông qua dạy học chủ đề bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

LỜI CẢM ƠN Sau thời gian tìm hiểu, nghiên cứu và thực hiện đề tài Phát triển năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn thông qua dạy học chủ đề “bất phương trình và hệ bất phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Danh Nam

LỜI CẢM ƠN Sau thời gian tìm hiểu, nghiên cứu và thực hiện đề tài Phát triển năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn thông qua dạy học chủ đề “bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”, luận văn hoàn thành với sự hỗ trợ rất lớn đến từ thầy cô, nhà trường, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các em học sinh

Xin bày lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Danh Nam đã luôn tận tình hướng dẫn từ những ngày đầu hình thành và trong suốt quá trình hoàn thiện luận văn

Xin chân thành cảm ơn đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Sư phạm, quý thầy, cô trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã luôn tận tình hỗ trợ, giảng dạy trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu nhà trường, quý thầy, cô giáo và các em học sinh tại trường THPT Hòa Bình – La Trobe – Hà Nội và một số thầy, cô giáo tại THPT FPT đã sẵn sàng và nhiệt tình giúp đỡ

Sau cùng, không thể thiếu xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè, các anh chị học viên đã luôn đồng hành, động viên khích lệ và giúp đỡ trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn

Do khả năng và thời gian có hạn, mặc dù đã có gắng rất nhiều song bản luận văn này chắc chắn không thể tránh khỏi các sai sót Tôi rất mong tiếp tục nhận được sự chỉ dẫn, góp ý của các nhà khoa học, các thầy cô giáo và các bạn

Hà Nội, tháng 3 năm 2023 Tác giả luận văn

Trịnh Thu Vân

DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1 Bảng biểu thị các kiến thức, kĩ năng các cấp độ của trình độ

Bảng 2.1 Mô tả hoạt động hình thành khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 54

Bảng 3.1 Danh sách đối tượng tham gia thực nghiệm 71

Bảng 3.2 Kết quả kiểm tra trước thực nghiệm 75

Bảng 3.3 Kết quả kiểm tra sau thực nghiệm 77

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 1.1 Kết quả điều tra ý kiến của GV về vận dụng Toán học vào thực tiễn 29 Biểu đồ 1.2 Kết quả điều tra ý kiến của GV về việc giới thiệu ứng dụng Toán học 29 Biểu đồ 1.3 Kết quả điều tra GV về việc sưu tầm bài tập có chứa tình huống thực tiễn 30Biểu đồ 1.4 Kết quả điều tra GV về mức độ tự thiết kế bài tập có chứa tình huống thực tiễn 30Biểu đồ 1.5 Kết quả điều tra GV về mức độ đưa các bài toán/tình huống thực tiễn trong giảng dạy nội dung kiến thức bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 32Biểu đồ 1.6 Kết quả điều tra HS về mức độ tìm hiểu và giải bài toán 35thực tiễn 35Biểu đồ 1.7 Kết quả điều tra HS về sự hứng thú khi tìm hiểu và giải một bài toán có liên quan đến vấn đề thực tiễn 35

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

Sơ đồ 1.1 Các cấp độ của năng lực 6

Sơ đồ 1.2 Hai khía cạnh về khái niệm năng lực theo V.A Krutecxki 8

Sơ đồ 1.3 Toán học hóa trong quá trình mô hình hóa 10

Sơ đồ 1.4 Quá trình toán học hóa theo PISA 11

Sơ đồ 1.5 Vai trò của bài toán có nội dung thực tiễn 14

Sơ đồ 1.6 Các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn 15

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu 3

5 Vấn đề nghiên cứu 4

6 Giả thuyết khoa học 4

7 Phương pháp nghiên cứu 4

8 Cấu trúc của luận văn 5

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 6

1.1 Khái niệm năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn 6

1.1.1 Khái niệm năng lực, năng lực toán học 6

1.1.2 Khái niệm năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn 8

1.2 Quy trình toán học hóa tình huống thực tiễn 18

1.3 Vai trò của toán học hóa tình huống thực tiễn 20

1.4 Tổng quan các kết quả nghiên cứu về dạy học phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn 22

1.4.1 Tổng quan dạy học phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn một số quốc gia 22 1.4.2 Tổng quan dạy học phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực

1.5 Thực trạng dạy học toán học hóa tình huống thực tiễn ở trường phổ

thông 27

1.5.1 Mục đích điều tra 27

1.5.2 Phương pháp điều tra 28

1.5.3 Đối tượng điều tra 28

1.5.4 Kết quả điều tra 28

1.6 Kết luận chương 1 36

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM DẠY HỌC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC HÓA TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN” LỚP 10 37

2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học trong việc mô tả tình huống thực tiễn 37

2.3.3 Ví dụ minh họa 60

2.4 Kết luận chương 2 69

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 70

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 70

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 70

3.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 70

3.3.1 Phương pháp quan sát, phỏng vấn và viết 70

3.3.2 Phương pháp xử lí số liệu 71

3.4 Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm 71

3.4.1 Đối tượng và địa điểm thực nghiệm 71

MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài

Toán học và thực tiễn luôn đi đôi với nhau: Toán học xuất phát từ thực tiễn và sau đó quay lại thực tiễn để giải quyết chính các vấn đề đó Trong chương trình Tổng thể GDPT 2018 [1] đã nhấn mạnh “Nội dung chương trình môn Toán chú trọng tính ứng dụng, gắn kết với thực tiễn hay các môn học khác (đặc biệt với các môn học thuộc lĩnh vực giáo dục STEM)” tạo cơ hội giúp HS vận dụng kiến thức, kĩ năng toán học và kinh nghiệm của bản thân vào thực tiễn một cách sáng tạo Do.mối.quan hệ giữa toán học.và thực.tiễn được sử dụng.phổ biến, có tính chất toàn bộ, nhiều tình.huống trong đời sống không thể.vận dụng.trực tiếp các tri.thức toán học, mà phải.qua một bước trung.gian quan trọng.là toán học.hóa Vì thế, khi giảng dạy.Toán ở phổ thông, để làm sáng tỏ mối quan.hệ giữa toán học.và thực.tiễn, bên cạnh đó giúp học.sinh có thể vận.dụng được kiến.thức toán học vào thực.tế thì việc phát triển năng.lực toán học.hóa tình.huống thực tiễn.cho HS là một vấn.đề hết sức.cần thiết và quan trọng

Mặt khác, thực trạng trong các trường phổ thông hiện nay, phương pháp dạy học truyền thống vẫn là phổ biến, GV là người thuyết trình, giảng giải; HS ghi chép, làm theo và tiếp thu một cách thụ động Với phương pháp dạy học này sẽ làm mất đi động cơ học tập; hạn chế khả năng sáng tạo, tích cực, chủ động của HS Bên cạnh đó, thực trạng dạy và học toán hiện nay vẫn thiên về dạy/học các lý thuyết, các quy tắc, các kĩ năng giải nhanh các bài tập để phục vụ cho kiểm tra đánh giá và thi cử, không chú trọng vào việc áp dụng trong các bài toán thực tế Do đó, khả năng áp dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tiễn của đa phần HS đều chưa tốt Vì vậy, việc dạy cho HS phương pháp tư duy, có năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn là rất quan trọng và cần thiết Quá trình dạy học toán cần giúp HS hình thành được suy nghĩ: Toán học không xa rời cuộc

sống thực tiễn, gắn liền với cuộc sống thực tiễn và là công cụ phục vụ đời sống thực tiễn Do đó, cần rèn luyện cho HS khả năng khi đứng trước một tình huống thực tiễn có yếu tố toán học, HS biết liên tưởng đến kiến thức toán học phù hợp, từ đó đưa được về dạng toán học phổ thông để giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân mình

Trong chương trình toán học, chủ đề “bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” có rất nhiều bài toán quan trọng gắn với đời sống thực tế: các bài toán kinh tế, nông nghiệp, sinh học,… Do vậy, các kiến thức về bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã được đưa vào chương trình môn toán ở trườngTHPT và được trình bày một cách có hệthống, chi tiết và cẩn thận Các kiến thức này vừa rèn luyện.tư duy logic vừa.phát triển ngônngữ.toán học và ngôn ngữ tự.nhiên cho HS; tạo cơ sở cho người học biểu.diễn các tình huống.thực tế bằng các.biểu thức.chứa biến, giúp người học phát triển.năng lực.toán học.hóa tình huống.thực tiễn Bên cạnh đó, trong các tài liệu, việc nghiên cứu về phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS đã được quan tâm và có thể kể đến các nghiên cứu về Đại số và Giải tích nói chung (Luận án Tiến sĩ – Phan Anh), Xác suất và Thống kê (Luận văn Thạc sĩ – Đào Thị Liễu),… Luận văn này dựa trên tính kế thừa và phát triển của những tác giả đi trước và đi sâu vào tìm hiểu vấn đề phát triển toán học hóa tình huống thực tiễn với chủ đề “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu các lý thuyết năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn và đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực toán học

phương trình bậc nhất hai ẩn” lớp 10 trong chương trình GDPT 2018 ở trường THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu hệ thống lí thuyết về toán học hóa tình huống thực tiễn - Nghiên cứu năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của HS thông qua dạy học chủ đề “bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” lớp 10 trong chương trình GDPT 2018 ở trường THPT

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của HS thông qua dạy học chủ đề “bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” lớp 10 trong chương trình GDPT 2018 ở trường THPT

4 Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy học chủ đề “bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” lớp 10 trong chương trình GDPT 2018 ở trường THPT

5 Vấn đề nghiên cứu

- Nghiên cứu về lý thuyết toán học hóa tình huống thực tiễn - Tìm hiểu về năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của HS ở trường THPT

- Thiết kế một số biện pháp dạy học chủ đề “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” lớp 10 trong chương trình GDPT 2018 ở trường THPT

6 Giả thuyết khoa học

7 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số văn bản, tài liệu

triết học, tâm lí học, giáo dục học và lí luận dạy học bộ môn Toán có liên quan đến đề tài

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn Chương 2: Đề xuất một số biện pháp dạy học phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS thông qua dạy học chủ đề “bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” lớp 10

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1.1 Khái niệm năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn 1.1.1 Khái niệm năng lực, năng lực toán học

1.1.1.1 Khái niệm về năng lực

Thông thường, trong hoàn cảnh, điều kiện tương đương với nhau, một người được đánh giá là có “năng lực” nếu những kiến thức, kĩ xảo, kĩ năng của họ cao hơn mức độ trung bình của những người khác khi cùng thực hiện hoạt động Có 5 cấp độ của trình độ năng lực:

Sơ đồ 1.1 Các cấp độ của năng lực

Dưới đây là biểu hiện cụ thể về kiến thức, kĩ năng của các trình độ năng lực Bảng 1.1 Bảng biểu thị các kiến thức, kĩ năng các cấp độ của trình độ

năng lực

1.1.1.2 Khái niệm về năng lực toán học

Theo quan điểm của V.A Krutecxki [14] thì có hai khía cạnh để làm rõ khái niệm năng lực toán học:

Sơ đồ 1.2 Hai khía cạnh về khái niệm năng lực theo V.A Krutecxki

Như vậy, năng lực.toán học là các đặc.điểm tâm.lí cá.nhân (đặc biệt là các.đặc điểm về hoạt.động trí.tuệ) nhằm đáp.ứng các yêu.cầu của hoạt.động học.toán và trong các điều kiện như nhau, năng lực toán học sẽ tạo điều.kiện cho người học dễ dàng và nhanh chóng lĩnh hội.các kiến thức, kĩ.xảo, kĩ năng cần thiết

1.1.2 Khái niệm năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn 1.1.2.1 Khái niệm toán học hóa

Về khái niệm toán học hóa có nhiều quan điểm phân tích khác nhau, trong đó có ba quan điểm nổi bật như sau:

Quan điểm thứ nhất, theo tác giả Freudenthal cho rằng: “Toán học có

[18], [19] Vì vậy, việc tiếp nhận kiến thức có sẵn không phải là học toán mà là quá trình xuất phát từ các vấn đề thực tiễn hay xuất phát ngay từ trong toán học, sau đó người học thiết lập và giải quyết vấn đề đó rồi đi đến kết quả thiết lập lại kiến thức toán Ta gọi quá trình này là “toán học hóa” (mathematisation) Nói cách khác, học toán gắn với thực tiễn chính là thực hiện quá trình toán học hóa vì sự liên hệ mật thiết giữa toán học với thực tiễn cuộc sống

Thứ hai, Stillman, Galbraith, Brown và Edwards đã trình bày khái niệm này rõ ràng hơn bằng cách phân biệt hai hình thức khác nhau của toán học hóa đó là toán học hóa theo chiều ngang và chiều dọc [15] Toán học hóa theo chiều ngang chỉ quá trình mô tả một vấn đề thực tế theo ngôn ngữ toán học để có thể giải quyết vấn đề đó với công cụ toán Trong trường hợp này, toán học hóa là hoạt động chuyển đổi từ thế giới thực vào thế giới toán học Quá trình xảy ra trong nội bộ thế giới toán học được gọi là toán học hóa theo chiều dọc Thông qua quá trình này, HS đạt được một trình độ toán học cao hơn Như vậy, theo quan điểm này, quá trình toán học hóa xảy ra không chỉ khi giải quyết một vấn đề thực tế mà ngay cả khi giải quyết một vấn đề toán học, nhằm khám phá các cấu trúc toán học Các tình huống thực tế chỉ đóng vai trò là môi trường tạo động cơ hoặc minh họa cho sự xuất hiện các kiến thức toán Trong quá trình mô hình hóa, thực tế và toán học thường được xem như hai thế giới riêng biệt và có một số bước biến đổi giữa hai môi trường này cũng như trong mỗi môi trường để giải quyết tình huống đặt ra Theo Blum, Galbraith và Niss [19] thì bước biến đổi từ mô hình thực tế sang mô hình toán học trong quá trình mô hình hóa được gọi là toán học hóa Theo quan điểm này thì toán học hóa là một giai đoạn của quá trình mô hình hóa

Sơ đồ 1.3 Toán học hóa trong quá trình mô hình hóa

(Nguồn: Quá trình mô hình hóa của Blum (2006)) Khi chuyển sang giai đoạn toán học hóa, tình huống thực tế đã được lý tưởng hóa, HS chỉ cần chuyển đổi các đối tượng và quan hệ ngoài toán thành các đối tượng và quan hệ toán học, chuyển đổi câu hỏi đặt ra trong tình huống thực tế sang câu hỏi toán học, mục tiêu là biểu diễn mô hình thực tế bằng ngôn ngữ toán học Nói cách khác, toán học hóa theo quan điểm này là một giai đoạn gắn liền với quá trình mô hình hóa nhằm biểu diễn hoặc giải thích mô hình thực tế bằng các phương tiện và công cụ của toán học

Thứ ba, theo Chương trình đánh giá HS quốc tế (The Programme for International Student Assessment) – PISA, khái niệm toán học hóa (mathematisation) được mô tả là quá trình cơ bản mà HS sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tích lũy được từ trường học cùng với kinh nghiệm sống để giải quyết các vấn đề thực tế Quá trình toán học hóa bao gồm 5 bước, thể hiện trong sơ đồ sau đây:

Sơ đồ 1.4 Quá trình toán học hóa theo PISA

GV cần lựa chọn tình huống thực tế sao cho phù hợp với kiến thức HS lớp 10 (bao gồm phù hợp cả nội dung các môn khác nếu có), tình huống khi chuyển sang bài toán toán học phải chứa đựng kiến thức của Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn GV cần hướng dẫn HS xác định các yếu tố cần thiết, mối quan hệ giữa chúng, loại bỏ tham số phụ

GV định hướng HS xác định thông tin bài toán gồm: giả thiết bài toán là gì? Yêu cầu bài toán là gì? Những đại lượng nào được nhắc đến trong bài toán?

Bài toán được xây dựng là bài toán thuần túy toán học: Toán học hóa các

đại lượng và các mối quan hệ đó:chuyển bài toán với những ngôn ngữ, dữ kiện thực tiễn thành bài toán thuần túy toán học Sau đó thông qua các biểu thức, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình,… để thể hiện mối quan hệ giữa các yếu tố đó trong bài toán thực tiễn

 Bước 4: Giải.quyết bài toán: sử dụng.các kiến thức.toán học vào.giải bài toán

Như vậy, toán học hóa theo quan điểm của PISA là toàn bộ quá trình mô hình hóa, hay nói cách khác mô hình hóa là một giai đoạn của quá trình toán học hóa Trong phạm vi luận văn này, tôi quan tâm khái niệm toán học hóa theo quan điểm thứ ba, đó là toán học hóa bao gồm cả quá trình mô hình hóa

1.1.2.2 Khái niệm.tình huống.thực tiễn và bài.toán có nội.dung thực tiễn

Theo Nguyễn Bá Kim [7, tr.183]: “Một tình.huống là một.hệ thống phức.tạp bao gồm.chủ thể và khách thể, trong đó chủ.thể có thể là.người còn khách thể là.một hệ thống nào đó; Một tình huống mà.khách thể tồn tại.ít nhất có một.phần tử.chưa biết, được gọi là tình.huống bài toán.đối với chủ thể; Đứng trước.một tình.huống, chủ thể.đặt ra mục.đích tìm phần.tử chưa biết, dựa.vào các phần.tử khác của.khách thể thì.có một bài.toán đối với.chủ thể”

Một bài toán có phần giả thiết, phần đã cho hoặc phần cần đi tìm có chứa các nội dung liên quan đến thực tiễn được gọi là bài toán có nội dung thực tiễn Các tình huống trong cuộc sống, các sự việc xảy ra trong cuộc sống hay các tình huống xảy ra trong nội bộ các môn học khác như : Vật lý, Hóa học, Sinh học, Công nghệ,… đều được coi là yếu tố “thực tiễn”

Sơ đồ 1.5 Vai trò của bài toán có nội dung thực tiễn

1.1.2.3 Năng.lực.toán.học.hóa.tình.huống.thực.tiễn

Trong giảng dạy thực tế với HS, ngoài việc GV đưa kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo thì việc HS tự trang bị vốn văn hóa khác ngoài toán học cũng là yếu tố then chốt để đưa được toán học vào thực tiễn Vì thế, việc xây dựng mô hình toán học cho các tình huống thực tiễn là yếu tố chủ chốt cho hoạt động toán học

trọng là vốn văn hóa, hiểu biết của HS THPT về các vấn đề xã hội thì năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của HS được hình thành và phát triển một cách mạnh mẽ

Dựa trên các nghiên cứu đi trước, quá trình thực tiễn giảng dạy, tham khảo thêm ý kiến các chuyên gia và các GV, tác giả đề xuất các thành tố của năng lực toán học hóa hóa tình huống thực tiễn của HS THPT bao gồm:

Sơ đồ 1.6 Các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn

- Khả năng quan sát tình huống thực tiễn: HS rèn luyện khả năng quan sát các tình huống thực tiễn, thu nhận tất cả các thông tin có trong tình huống

thực tiễn (HS có thể gạch chân vào các từ khóa, các thông tin quan trọng trong tình huống thực tiễn)

- Khả năng liên tưởng, kết nối các ý tưởng toán học với các yếu tố thực tiễn: từ việc quan sát và thu nhận các thông tin có trong các tình huống thực tiễn, HS chọn lọc, thu nhận các thông tin có các yếu tố toán học và liên tưởng, kết nối các thông tin đó đến các ý tưởng toán học hoặc kết quả toán học đang hướng đến

- Khả năng ước tính, dự đoán các kết quả của tình huống thực tiễn: từ việc thu nhận và phân tích các thông tin có trong thực tiễn, HS đưa ra các dự đoán, các ước tính về kết quả có thể xảy ra của tình huống thực tiễn; phân tích, làm rõ các kết quả đó

- Khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học: ngoài việc diễn đạt tình huống thực tiễn bằng ngôn ngữ tự nhiên, HS biết cách sử dụng ngôn ngữ toán học (các kí hiệu, từ khóa, định lý toán học) để chuyển đổi từ ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ toán học và ngược lại, sau khi có kết quả bài toán theo ngôn ngữ toán học, HS chuyển đổi được kết quả đó về ngôn ngữ tự nhiên để trả lời được vấn đề mà tình huống thực tiễn đưa ra

- Khả năng phát hiện ra quy luật của tình huống thực tiễn: HS phân tích các giả thiết, các yếu tố mà tình huống thực tiễn đã cho, từ đó có đưa ra quy luật, mô hình của bài toán thực tiễn

- Khả năng biểu diễn các yếu tố thực tế bằng kí hiệu, khái niệm toán học: từ việc phân tích các giả thiết, các yếu tố thực tế mà tình huống thực tiễn đưa

học; kết hợp với quy luật của tình huống để xây dựng mô hình toán học hoàn chỉnh cho tình huống

- Khả năng biểu đạt các mối quan hệ bằng các mệnh đề toán học, các biểu thức chứa biến: ngoài việc biểu diễn riêng lẻ các yếu tố thực tiễn bằng các kí hiệu toán học, HS biết cách kết hợp các yếu tố riêng lẻ đó với nhau thông qua các mối quan hệ mà tình huống thực tiễn đã cho và biểu diễn chúng thông qua các mệnh đề toán học, các biểu thức và các kí hiệu toán học

- Khả năng biểu đạt các mối quan hệ bằng đồ thị, biểu đồ…: trong thành tố này, ngoài việc HS biểu diễn các mối quan hệ bằng ngôn ngữ toán học, mệnh đề toán học, để dễ dàng trong việc giải quyết bài toán và làm việc với mô hình, đôi khi HS còn có thể lập bảng, lập biểu đồ, lập đồ thị để biểu diễn các mối quan hệ đó

* Thành tố 4: Năng lực làm việc với mô hình toán học, bao gồm:

- Khả năng giải toán trên mô hình: sau khi đã có mô hình cho tình huống thực tiễn, HS chọn lọc và vận dụng các kiến thức toán học phù hợp để giải toán trên mô hình, từ đó có kết quả chính xác cho mô hình đã xây dựng

- Khả năng kiểm tra, đối chiếu kết quả: HS biết cách kiểm tra, đối chiếu kết quả của mô hình toán học đã phù hợp với vấn đề đặt ra của bài toán thực tiễn hay chưa, cần chỉnh sửa, bổ sung các yếu tố nào trong mô hình toán học hay không

- Khả năng phê phán, phát hiện hạn chế của mô hình: HS có thể tự phát hiện ra hoặc dựa vào việc so sánh với các mô hình của HS khác hoặc của GV để phát hiện ra hạn chế còn tồn tại của mô hình mà HS đã xây dựng Ngoài ra, HS còn được rèn luyện khả năng so sánh các mô hình, từ đó đưa ra các nhận xét, góp ý, chỉnh sửa cho các mô hình khác cho cùng một tình huống thực tiễn

Trong luận văn này, tôi đề xuất các biện pháp sư phạm tập trung vào bồi dưỡng thành tố số 1, thành tố số 2, thành tố số 3 và thành tố số 4

1.2 Quy trình toán học hóa tình huống thực tiễn

Trong quá trình toán học hóa, tình huống toán học hóa đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành động cơ và nhu cầu nhận thức của HS Tình huống toán học hóa là tình huống chứa những yếu tố thực tế nhưng để phù hợp với HS và giúp HS có thể mô tả được tình huống thì các tình huống này đã được đơn giản hóa, cụ thể hóa, đặc biệt hóa hoặc thêm các giả thiết phù hợp Tùy vào sự quan tâm của HS, kiến thức, kinh nghiệm của HS mà cùng một tình huống thực tế, có thể xây dựng được nhiều tình huống toán học hóa khác nhau Trong khuôn khổ luận văn này, tôi sử dụng quá trình toán học hóa gồm các giai đoạn sau đây:

Giai đoạn 1 (Thiết lập mô hình toán): Chuyển đổi từ tình huống toán học hóa sang mô hình toán học: HS xác định các thông tin cần thiết, sử dụng các cấu trúc, biểu diễn, đặc trưng toán liên quan để xây dựng tình huống đã cho theo ngôn ngữ toán học Quá trình này bao gồm các hoạt động: Nhận ra các yếu tố toán học và các biến quan trọng của tình huống; Nhận ra các cấu trúc toán trong tình huống như các quy tắc, các mối quan hệ toán học; Phân biệt giữa các thông tin liên quan và không liên quan đến yêu cầu của tình huống; Sử dụng các biến, kí hiệu, sơ đồ, đồ thị, hình vẽ phù hợp để biểu diễn tình huống một cách toán học; Chuyển các đối tượng, dữ liệu, mối quan hệ, điều kiện, giả thiết, yêu cầu của tình huống sang ngôn ngữ toán; Thiết lập mô hình toán từ tình huống toán học hóa

Giai đoạn 2 (Giải bài toán): HS phân tích, lựa chọn, sử dụng các công

và sản phẩm cuối cùng là một kết quả toán Quá trình này bao gồm các hoạt động: Lựa chọn và thực hiện một phương án giải; Sử dụng các công cụ toán học như khái niệm, quy tắc, công thức, thuật toán để tìm ra kết quả; Thực hiện các quá trình toán học như: các phép toán số học, giải phương trình, suy luận lôgic từ các giả thiết toán học, lấy thông tin từ bảng và đồ thị, phân tích dữ liệu; Sử dụng và chuyển đổi giữa các biểu diễn khác nhau trong quá trình tìm lời giải; Thiết lập các quy tắc, nhận ra các kết nối giữa các đối tượng toán học, tạo ra các lập luận toán học

Giai đoạn 3 (Chuyển đổi kết quả bài toán sang thực tế): Giải thích kết quả toán học trong ngữ cảnh của tình huống ban đầu Quá trình này bao gồm các hoạt động: Nhận ra các yếu tố thực tế tương ứng với kết quả toán có được; Hiểu được kết quả toán cho biết điều gì về tình huống ban đầu; Cố gắng giải thích kết quả toán theo ngôn ngữ thực tế thông thường; Đôi khi, một câu trả lời đầy đủ đòi hỏi sử dụng những lập luận để có được kết quả thực tế phù hợp

Giai đoạn 4 (Phản ánh): HS phản ánh quá trình toán học hóa và kết quả ngược trở lại tình huống ban đầu để xác định tính hợp lý và ý nghĩa của kết quả đối với tình huống Quá trình này bao gồm các hoạt động: Kiểm tra tính hợp lý, thỏa đáng của kết quả với thông tin được cho ban đầu; Xem xét ảnh hưởng của các yếu tố thực tế lên kết quả và các tính toán của mô hình để điều chỉnh hay áp dụng kết quả; Hiểu phạm vi và hạn chế của mô hình toán, phương pháp giải cũng như công cụ toán học được sử dụng trong quá trình giải quyết tình huống; Giải thích tại sao kết quả không phù hợp với tình huống được cho, xem lại một số bước hoặc thực hiện lại quá trình toán học hóa nếu kết quả không phù hợp với tình huống; Tìm kiếm các khả năng khác của tình huống (nếu có) Như vậy, thông qua quá trình toán học hóa, HS từng bước được làm quen, thích ứng với việc sử dụng kiến thức toán đã học vào giải quyết các tình huống toán

học hóa đặt trong ngữ cảnh thực tế ở mức độ vừa phải, đồng thời tạo cơ sở cho việc thực hiện dạy học toán học hóa ở những mức độ cao hơn

Khi dạy học Chủ đề Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, thì trong quá trình dạy học GV không nên bắt đầu ngay bằng bài toán chứa tình huống thực tế mà nên bắt đầu bằng bài toán chứa tình huống toán học hóa Nếu GV bắt đầu ngay với một tình huống thực tế, bài toán mở, các điều kiện ban đầu chưa rõ ràng và đi kèm với rất nhiều yếu tố phụ sẽ khó khăn với HS HS khó khăn trong việc loại bỏ, cắt tỉa các yếu tố phụ và nhận biết các yếu tố toán học Do đó, GV nên bắt đầu bằng tình huống toán học hóa, nghĩa là tình huống thực tế ban đầu nhưng đã được đơn giản hóa, thêm các giả thiết phù hợp, loại bỏ các yếu tố không cần thiết Khi HS đã quen thuộc với bài toán chứa tình huống toán học hóa, GV có thể đưa các bài toán chứa tình huống thực tế, bài toán mở

1.3 Vai trò của toán học hóa tình huống thực tiễn

Theo Blum và Niss (1991, [17]), trong dạy học toán việc giúp HS phát

tình huống thực tế sẽ luôn song hành cùng với việc cung cấp cho HS những kiến thức và kĩ năng liên quan đến toán học như khái niệm, định lý, công thức, quy tắc Toán học hóa tình huống thực tiễn và quá trình toán học hóa tình huống thực tiễn là những công cụ hết sức quan trọng và cần thiết khi sử dụng toán để giải quyết các vấn đề, tình huống trong các lĩnh vực ngoài toán

Trong những năm gần đây, việc sử dụng toán học hóa tình huống thực tiễn được nhấn mạnh rất nhiều Chương trình GDPT 2018 [1] cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của toán học hóa tình huống thực tiễn Trong yêu cầu và mục tiêu cần đạt của chương trình, trước khi giảng dạy một bài học chứa đựng các công thức, lý thuyết, quy tắc GV sẽ xuất phát (mở đầu, khởi động) bằng các bài toán thực tiễn, gợi vấn đề, gây sự tò mò để hướng HS hứng thú giải quyết bài toán, từ đó dẫn tới sự cần thiết học kiến thức toán học Hay trong bài tập luyện tập, các bài toán thực tế cũng được đưa vào nhiều hơn so với chương trình cũ

Từ các nhận định ở trên, có thể thấy việc sử dụng toán học hóa tình huống thực tiễn trong dạy học toán phổ thông có ý nghĩa quan trọng trong việc giúp

HS thấy rõ mối quan hệ giữa toán học và thực tế, nó cũng giúp cho HS phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo trong quá trình học tập môn Toán ở trường phổ thông Bên cạnh đó, toán học hóa tình huống thực tiễn giúp HS được hình thành và phát triển năng lực giải quyết các vấn đề trong cuộc sống thông qua việc ứng dụng các kiến thức và kĩ năng toán học

1.4 Tổng quan các kết quả nghiên cứu về dạy học phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn

1.4.1 Tổng quan dạy học phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn một số quốc gia

toán có nội dung thực tiễn như NAEP, NAPLAN, PISA

ba lĩnh vực chính là Đọc hiểu, Toán học và Khoa học và được tổ chức với chu kì 3 năm một lần PISA đưa ra cái nhìn tổng quan về khả năng thực tế phổ thông của HS mà không kiểm tra kiến thức HS được dạy tại trường học Bài thi quan tâm đến việc khi đối mặt với các tình huống và thử thách thì khả năng HS vận dụng kiến thức và kĩ năng của mình như thế nào PISA chú trọng đến việc đánh giá khả năng HS vận dụng kiến thức Toán học vào các tình huống thực tế có liên quan đến Toán học, các tình huống khoa học khác trong cuộc sống Cấu trúc bài thi PISA phải đảm bảo xác định rõ phạm vi của nội dung kiến thức, các kĩ năng liên quan đến từng ngành, lĩnh vực và có các mẫu câu hỏi để các nước xây dựng, đóng góp cho OECD nhưng vẫn phải tuân theo thiết kế khung đánh giá của OECD

Đánh giá quốc gia về tiến bộ giáo dục (NAEP ) là bài đánh giá liên tục và mang tính đại diện quốc gia lớn nhất về những gì sinh viên Hoa Kỳ biết và có thể làm trong các môn học khác nhau Các bài đánh giá NAEP chính được thực hiện trong nhiều môn học dành cho HS lớp 4, lớp 8 và lớp 12 trên toàn quốc Các bài đánh giá được đưa ra thường xuyên nhất trong các môn toán, đọc, khoa học và viết

NAEP đánh giá dựa trên quan điểm: HS Hoa Kỳ cần biết vận dụng kiến thức, kĩ năng để giải quyết các vấn đề trong thực tế bên cạnh việc tiếp thu các kiến thức, kỹ năng, thái độ Do đó có nhiều tình huống thực tế đã được sử dụng trong các đề khảo sát NAEP

Bên cạnh việc sử dụng các bài toán có nội dung thực tiễn trong các kỳ

đánh giá vừa nêu trên, thì trong chương trình GDPT môn Toán của một số quốc gia cũng đã chú trọng đến phát triển theo hướng tiếp cận năng lực, trong đó chú trọng đến việc giải quyết các vấn đề phát sinh trong đời sống hàng ngày Do đó, vấn đề gắn lý thuyết với thực tế nói chung và vận dụng Toán học vào thực tế nói riêng đang ngày được quan tâm trong giáo dục

Có thể thấy rằng các nước có nền giáo dục tiên tiến trên thế giới đều xác định phương châm trong dạy học đó là liên hệ đến thực tế: tiếp cận khái niệm từ thực tế, ví dụ minh họa từ thực tế, bài tập luyện tập có nội dung thực tế

1.4.2 Tổng quan dạy học phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn ở trường phổ thông

1.4.2.1 Về chương trình, sách giáo khoa môn Toán THPT

- Chưa thực sự chú trọng việc ứng dụng các tri thức toán học vào việc giải quyết các bài toán thực tế Chủ yếu chú trọng việc ôn tập lý thuyết để giải các bài toán trong phần ôn tập, kiểm tra

- Thiếu các tiết hoạt động ngoại khóa ngoài trời GV mới chỉ giảng dạy những kiến thức ở trong sách mà không cho HS có cơ hội quan sát và trải

nghiệm thực tế, nhất là những hoạt động thực nghiệm những tri thức toán học vào đời sống thực tiễn

- Nội dung toán ứng dụng trong sách giáo khoa được thiết kế một cách bao gồm các tri thức về xác suất, thống kê có nhiều ứng dụng trong đời sống Tuy nhiên, nhiều GV bỏ qua nội dung này vì không nằm trong nội dung thi

- Mục tiêu của nội dung chương trình là trang bị những tri thức toán học, từ đó dẫn đến việc ứng dụng, giải quyết các bài toán thực tế; tuy nhiên, các bài toán có nội dung thực tế chưa đủ nhiều, HS có ít cơ hội rèn luyện năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn

Trong chương trình Toán học theo chương trình GDPT 2006, mặc dù đã có một số bài toán có nội dung thực tế được đưa vào chương trình nhưng số lượng chưa nhiều và đa số được giới thiệu ở các bài đọc thêm chứ chưa được GV chú trọng sử dụng trong quá trình giảng dạy Đặc biệt, trong các đề thi môn Toán thường không hoặc ít xuất hiện bài toán có nội dung thực tế, điều này ảnh hưởng lớn đến việc dạy học các kiến thức hàn lâm mà ít kết nối với thực tiễn

1.4.2.2 Về dạy học phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn ở trường phổ thông

Việc thiết kế các bài toán có nội dung thực tiễn phục vụ cho việc dạy học môn Toán trong các trường THPT đến nay đã được chú trọng Với định hướng đổi mới của chương trình GDPT 2018, yêu cầu rõ cần tăng cường tính thực tiễn trong dạy và học, GV đã bước đầu chú trọng đến việc tìm hiểu các ví dụ, các tình huống thực tiễn gắn liền với kiến thức

Xu thế hiện nay của dạy học toán học là dạy học chú ý phát triển năng lực cho người học Với các yêu cầu về dạy học phát triển năng lực cho HS thì trong quá trình dạy học Toán, vấn đề về mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn lại phải được quan tâm hàng đầu Thông thường, khi học một nội dung toán học nào đó, HS thường có những băn khoăn như “Tại sao lại xuất hiện kiến thức này?” và “Kiến thức này để làm gì?” Về lý thuyết, GV có thể trả lời cho câu hỏi thứ hai là “kiến thức này để giải quyết các dạng bài tập này, hay là để xây dựng những kiến thức sau này của toán học” Tuy nhiên, cách trả lời như vậy chưa thực sự thỏa đáng và không phản ánh rõ mục tiêu của việc dạy học Toán Do đó, GV phải tổ chức các hoạt động, xây dựng các bài toán có nội dung thực tiễn để phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS, từ đó HS được giải quyết các băn khoăn “Tại sao lại xuất hiện kiến thức này”, sẽ giúp HS có động cơ học tập và đặc biệt thấy được ý nghĩa và sự cần thiết của việc học tập môn Toán

1.5 Thực trạng dạy học toán học hóa tình huống thực tiễn ở trường phổ thông

1.5.1 Mục đích điều tra

- Tìm hiểu nhận thức, thực trạng của GV về việc giảng dạy các bài toán có nội dung thực tiễn

- Tìm hiểu về thái độ của HS đối với việc học tập các bài toán có nội dung thực tiễn

1.5.2 Phương pháp điều tra

- Thực hiện điều tra thông qua quan sát - Khảo sát qua phiếu hỏi và qua phỏng vấn 1.5.3 Đối tượng điều tra

- HS lớp 10 thuộc trường THPT Hòa Bình – La Trobe – Hà Nội (215 HS) - Các GV trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán (24 GV) tại tại 02 trường THPT là THPT Hòa Bình – La Trobe – Hà Nội (7 GV) và trường THPT FPT (17 GV)

1.5.4 Kết quả điều tra

Theo kết quả khảo sát 24 GV tại 02 trường THPT là THPT Hòa Bình – La Trobe – Hà Nội (7 GV) và trường THPT FPT (17 GV) cho thấy:

- 100% GV đều đồng ý Toán học có ứng dụng trong thực tế và đa số GV (91,7%) cho rằng việc tăng cường vận dụng toán học vào thực tiễn nhằm phát triển năng lực giải quyết các bài toán thực tiễn của HS là rất cần thiết

Biểu đồ 1.1 Kết quả điều tra ý kiến của GV về vận dụng Toán học vào

thực tiễn

- 83,3% GV cho rằng việc giới thiệu một số ứng dụng toán học vào giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn là rất cần thiết Khi được hỏi về mức độ thường xuyên của việc sưu tầm các tình huống, bài tập có chứa tình huống thực tiễn trong dạy học, chỉ có 20,8% số GV được hỏi cho rằng thường xuyên thực hiện công việc này

Biểu đồ 1.2 Kết quả điều tra ý kiến của GV về việc giới thiệu ứng dụng

Toán học

- 68% GV sử dụng các nguồn tham khảo trên mạng internet, 37,5% GV

tham khảo từ sách tham khảo môn Toán và các môn học khác, 25% GV sưu tầm trong đề thi và đề kiểm tra trong nước, 12,5% GV sưu tầm trong sách giáo khoa của môn học khác

Biểu đồ 1.3 Kết quả điều tra GV về việc sưu tầm bài tập có chứa tình huống

thực tiễn

- 66,7% GV cho rằng thỉnh thoảng có tự thiết kế ví dụ, bài tập có chứa tình huống thực tiễn khi dạy học một chủ đề nào đó nhằm cho HS thấy được sự gắn kết giữa toán học với thực tiễn và chỉ có 16,7% thường xuyên thực hiện hoạt động này

Biểu đồ 1.4 Kết quả điều tra GV về mức độ tự thiết kế bài tập có chứa tình

huống thực tiễn