phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề ứng dụng tích phân

Đây là một trong các chủ đề giàu tiềm năng cung cấp cho học sinh những hiểu biết về mối liên hệ giữa toán học và các lĩnh vực khoa học khác trong cuộc sống, do đó tiềm ẩn cơ hội để hình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ MINH ANH

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ

"ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN"

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ MINH ANH

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ

"ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN"

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thanh Hồng

HÀ NỘI - 2023

i

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian tiến hành triển khai nghiên cứu, em cũng đã hoàn thành nội dung luận văn với đề tài “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN” Luận văn được hoàn thành không chỉ là công sức của bản thân tác giả mà còn có sự giúp đỡ, hỗ trợ tích cực của

nhiều cá nhân và tập thể

Trước hết, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Nguyễn Thanh Hồng - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, người hướng dẫn em trong suốt quá trình hoàn thành luận văn

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô khoa Sư phạm, Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc Gia Hà Nội, đã tạo môi trường học tập và rèn luyện rất tốt, cung cấp những kiến thức và kỹ năng bổ ích giúp em có thể áp dụng và thuận lợi thực hiện luận văn

Cuối cùng, em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu và đội ngũ giáo viên, học sinh của trường THPT Cổ Loa đã tạo cơ hội cho em được công tác tại trường để có những kiến thức, kinh nghiệm thực tế trong quá trình điều tra thực trạng và thực nghiệm sư phạm

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 7 năm 2023

Tác giả

Nguyễn Thị Minh Anh

ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

iii

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Mức độ cần thiết của việc rèn luyện năng lực MHH cho học sinh 28 Bảng 1.2 Các mức độ thường xuyên rèn luyện năng lực MHH cho học sinh 29

Bảng 1.3 Bảng thống kê ý kiến giáo viên về dạy học ứng dụng thực tiễn 31

Bảng 3.1 Bảng phân phối tần số điểm trước thực nghiệm 99

Bảng 3.2 Bảng phân phối tỉ lệ kiểm tra đầu vào theo mức độ đánh giá 100

Bảng 3.3 Các tham số đặc trưng của điểm lớp 12A7 và 12A6 trước TN 102

Bảng 3.4 Các tham số đặc trưng của điểm lớp 12A7 và 12A9 trước TN 103

Bảng 3.5 Tần số điểm kiểm tra sau thực nghiệm 107

Bảng 3.6 Tỉ lệ phần trăm theo mức độ đánh giá sau thực nghiệm 107

Bảng 3.7 Các tham số đặc trưng của điểm lớp 12A7 và 12A6 sau TN 109

Bảng 3.8 Các tham số đặc trưng của điểm lớp 12A7 và 12A9 sau TN 110

Bảng 3.9 Tỉ lệ phần trăm về năng lực MHH của học sinh sau thực nghiệm 111 DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 1.1 Mức độ cần thiết của việc rèn luyện năng lực MHH cho học sinh 28

Biểu đồ 1.2 Các mức độ thường xuyên rèn luyện năng lực MHH cho học sinh 29

Biểu đồ 1.3 Các chủ đề tích hợp mô hình hoá trong dạy học toán 30

Biểu đồ 1.4 Mong muốn tìm hiểu ứng dụng thực tiễn toán học của học sinh 32 Biểu đồ 1.5 Mức độ tự tìm hiểu ứng dụng thực tế toán học của học sinh 33

Biểu đồ 1.6 Mức độ thường xuyên giảng dạy ứng dụng thực tế của giáo viên 34

Biểu đồ 1.7 Học sinh đánh giá mức độ khô khan của toán học 35

Biểu đồ 3.1 Tỉ lệ phần trăm kiểm tra đầu vào theo mức độ đánh giá 100

Biểu đồ 3.2 Tỉ lệ phần trăm theo mức độ đánh giá sau thực nghiệm 108

iv

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH

Hình 1 Tám thành tố của năng lực toán học 17

Hình 2.1 Hình ảnh cái nêm 44

Hình 2.2 Hình mô phỏng khối trụ và mặt cắt tạo nêm 45

Hình 2.3 Cổng Parabol Đại học Bách khoa Hà Nội 52

Hình 2.4 Một số hình ảnh thực tế có dạng parabol 60

Hình 2.5 Kết quả đo được của học sinh 62

Hình 2.6 Hình ảnh khinh khí cầu tại lễ hội ở Cần Thơ 66

Sơ đồ 1.2 Chu trình mô hình hoá của Swetz và Hartzler 10

Sơ đồ 1.3 Chu trình mô hình hóa của Blum 11

Sơ đồ 1.4 Chu trình mô hình hoá của Stillman 12

Sơ đồ 1.5 Chu trình MHH theo PISA 12

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

5 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 4

5.1 Khách thể nghiên cứu 4

5.2 Đối tượng nghiên cứu 4

6 Giả thuyết khoa học 4

7 Phương pháp nghiên cứu 4

7.1 Nghiên cứu lý luận 4

7.2 Nghiên cứu thực tiễn 5

7.3 Thực nghiệm sư phạm 5

7.4 Phương pháp thống kê toán học 5

8 Đóng góp của đề tài 5

9 Cấu trúc luận văn 5

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Tổng quan về mô hình hóa toán học 6

1.1.1 Mô hình và mô hình hóa toán học 6

1.1.2 Quy trình mô hình hóa toán học 8

1.1.3 Cấp độ mô hình hóa 13

1.2 Năng lực mô hình hóa toán học 14

vi

1.2.1 Khái niệm năng lực 14

1.2.2 Năng lực mô hình hóa toán học 18

1.2.3 Dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học 20

1.2.4 Vai trò của mô hình hóa trong dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học 21

1.3 Mục tiêu và nội dung chủ đề "Ứng dụng tích phân" trong chương trình môn Toán 12 21

2.1 Định hướng dạy học chủ đề “Ứng dụng tích phân” 41

2.1.1 Định hướng 1: Chú trọng thực tiễn từ khâu đặt vấn đề 41

2.1.2 Định hướng 2: Tăng cường tổ chức các hoạt động thực hành nhằm đưa toán học đến gần với thực tiễn 48

2.2 Thiết kế hoạt động mô hình hóa cho học sinh lớp 12 trong dạy học chủ đề “Ứng dụng tích phân” 53

2.2.1 Nguyên tắc thiết kế 53

2.2.2 Thiết kế hoạt động mô hình hoá chủ đề “Ứng dụng tích phân” 55

KẾT LUẬN CHƯƠNG II 94

CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 96

3.1 Mục đích và đối tượng thực nghiệm sư phạm 96

3.1.1 Mục đích 96

3.1.2 Đối tượng 96

3.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 96

vii

3.2.1 Phương pháp quan sát, phỏng vấn 96

3.2.2 Phương pháp thảo luận 97

3.2.3 Phương pháp thống kê số liệu 97

3.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm 97

3.3.1 Tài liệu thực nghiệm sư phạm 97

3.3.2 Chọn mẫu và tiến trình thực nghiệm sư phạm 97

3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm 98

3.4.1 Phương thức và tiêu chí đánh giá 98

3.4.2 Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm 99

KẾT LUẬN CHƯƠNG III 114

KẾT LUẬN 116

TÀI LIỆU THAM KHẢO 118

Nhiều quốc gia trên thế giới nhận thức được tầm quan trọng của thực tiễn đã có xu hướng đổi mới nền giáo dục theo hướng giảm thiểu lý thuyết, tăng cường tính thực hành, ứng dụng Trong mấy năm trở lại đây, giáo dục Việt Nam cũng đang chuyển mình theo định hướng ấy, tập trung hướng đến nền giáo dục hiện đại, phát triển năng lực toàn diện cho học sinh Và một trong các năng lực được đánh giá là năng lực toán học, trong đó có năng lực mô hình hóa toán học với các tình huống đưa ra để đánh giá sẽ có liên quan mật thiết đến những vấn đề trong cuộc sống

Chương trình môn toán mới được xây dựng với quan điểm chủ đạo là ứng dụng toán gắn kết với đời sống thực tế và các môn học khác Để đáp ứng yêu cầu của chương trình mới, học sinh cũng cần phải được nâng cao cả về phẩm chất và năng lực chung, trong đó có năng lực toán học Như vậy, năng lực mô hình hóa toán học là một trong những năng lực cốt lõi, được đề cao trong tất cả các năng lực toán học mà học sinh cần có, giúp việc học toán của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê toán học Chương trình sách giáo khoa môn Toán ở trường Trung học phổ thông hiện hành được biên soạn với tinh thần tiếp cận trình độ giáo dục phát triển trên thế

2 giới gồm các kiến thức toán học cơ bản, thiết thực và tăng cường thực hành vận dụng vào thực tiễn

Tích phân cùng với ứng dụng của nó là mạch kiến thức có cả trong chương trình hiện hành (2006) và cả trong chương trình giáo dục phổ thông hiện hành mới (tháng 12/2018) Đây là một trong các chủ đề giàu tiềm năng cung cấp cho học sinh những hiểu biết về mối liên hệ giữa toán học và các lĩnh vực khoa học khác trong cuộc sống, do đó tiềm ẩn cơ hội để hình thành và phát triển một số năng lực chung, cốt lõi cần đạt ở học sinh như: năng lực giải quyết vấn đề, năng lực mô hình hóa toán học, Mô hình hoá toán học cũng được một số nhà khoa học trong nước quan tâm như Nguyễn Thị Tân An, Lê Thị Hoài Châu, Nguyễn Danh Nam, … [1, 6, 7, 16, 17, 18] Tuy nhiên, trong thực tế dạy học hiện nay tại các trường phổ thông, việc mô hình hóa toán học còn chưa thực sự được chú trọng, quan tâm một cách đúng mức và cũng ít có công trình nghiên cứu về việc rèn luyện năng lực mô hình hoá toán học thông qua chủ đề “Ứng dụng tích phân” Từ những lập luận nêu trên,

tôi quyết định lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề Ứng dụng tích phân”

2 Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Mô hình hóa toán học được so sánh như chiếc cầu nối giữa một bên là lý thuyết toán học, một bên là thực tiễn cuộc sống Qua tìm hiểu, tôi nhận thấy mô hình hoá toán học và dạy học phát triển năng lực mô hình hoá đã được các nhà toán học quan tâm và nghiên cứu lâu dài, phổ biến đối với các cấp bậc từ tiểu học, trung học cơ sở đến trung học phổ thông

Tác giả Nguyễn Thị Tân An (2012) đã trình bày sơ lược về quá trình tiếp cận lý thuyết mô hình hóa của các nhà giáo dục từ trước đến giờ, chỉ ra sự cần thiết phải dạy học mô hình hóa trong môn Toán [1]

3 Tác giả Nguyễn Danh Nam (2016) đi sâu tìm hiểu về cách thức tiến hành sử dụng mô hình hòa, phải trải qua những bước nào, cách vận hành ra sao Bên cạnh đó, tác giả cũng đưa nhiều bài tập và ví dụ về hàm số bậc nhất, bậc hai, hàm số mũ, xác suất thống kê, … ở các mức độ khác nhau, chúng được lồng ghép vào thực tiễn, đòi hỏi học sinh phải vận dụng các kiến thức kỹ năng toán đã học để xây dựng mô hình và giải quyết [16]

Tác giả Lâm Thùy Dương, Trần Việt Cường (2018) với đề tài nghiên

cứu vận dụng mô hình hóa trong giảng dạy toán ở bậc tiểu học, chỉ ra rằng,

trong dạy học toán hiện nay, việc sử dụng MHHTH mang lại hiệu quả dạy học cao, giúp học sinh phát triển các thao tác tư duy và kỹ năng giải quyết vấn đề [7]

Đối với cấp trung học cơ sở, có nghiên cứu của tác giả Phạm Thị Diệu Thùy, Dương Thị Hà (2018) với nội dung phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh qua giải toán bằng cách lập phương trình Hai tác giả đã chỉ ra rằng đây là chủ đề sáng, có nhiều ứng dụng trong thực tế và đưa ra một số cách vận dụng, lồng ghép trong quá trình dạy học [25]

Tác giả Nguyễn Dương Hoàng, Nguyễn Hiếu Nhi (2021) qua nghiên cứu đã chỉ ra các thành tố của năng lực mô hình hoá toán học gồm: thu nhận thông tin, xác định vấn đề toán học; sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học; xây dựng và giải quyết được tình huống bằng mô hình đã xây dựng; kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh, khai thác chức năng của mô hình Từ đó đưa ra biện pháp phát triển năng lực MHH trong dạy học nội dung “Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân” [12]

Tác giả Cao Thị Hà, Nguyễn Xuân Dung (2023) trình bày một cách có hệ thống các khái niệm liên quan đến mô hình hóa và năng lực mô hình hóa; đồng thời phân tích vai trò, tiềm năng của nội dung Hàm số trong việc phát triển năng lực mô hình hóa và đề xuất một số biện pháp để phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh khi dạy học Hàm số ở lớp 10 [11]

4

3 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là chỉ rõ tính cần thiết của dạy học MHH và thiết kế một số hoạt động mô hình hóa nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học qua dạy học chủ đề “Ứng dụng tích phân”

4 Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực trạng dạy học

- Nghiên cứu chủ đề “Ứng dụng tích phân” theo chương trình giáo dục phổ thông

- Thiết kế một số hoạt động mô hình hóa vận dụng trong dạy học toán chủ đề “Ứng dụng tích phân” ở trường phổ thông

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính hiệu quả của đề tài

5 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

5.1 Khách thể nghiên cứu

Tiến trình giảng dạy “Ứng dụng tích phân” môn Toán ở trường phổ thông

5.2 Đối tượng nghiên cứu

Dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh THPT

6 Giả thuyết khoa học

Nếu tiến hành những mô hình đã thiết kế để tổ chức các hoạt động học tập thì có thể phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh THPT, góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo định hướng phát triển

năng lực 7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu khái niệm, đặc trưng của mô hình hóa, năng lực mô hình hóa và cách thức để dạy học MHH

- Nghiên cứu nội dung, yêu cầu của chủ đề “Ứng dụng tích phân” Toán 12

5

7.2 Nghiên cứu thực tiễn

Điều tra thực tế tình hình dạy học phát triển năng lực tại trường THPT Cổ Loa qua các cách: phỏng vấn, trao đổi trực tiếp với giáo viên và học sinh; bảng hỏi điền thông tin; dự giờ quan sát

7.3 Thực nghiệm sư phạm

Tiến hành đứng lớp dạy thực nghiệm để kiểm chứng mức độ khả thi, hiệu quả của hoạt động thiết kế

7.4 Phương pháp thống kê toán học

Sử dụng để tính toán, xử lí số liệu, kết quả thu được từ bài làm của học sinh hai nhóm

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được chia làm 3 chương:

Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương II: Thiết kế hoạt động mô hình hóa trong dạy học chủ đề "Ứng dụng tích phân"

Chương III: Thực nghiệm sư phạm

6

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tổng quan về mô hình hóa toán học

1.1.1 Mô hình và mô hình hóa toán học

1.1.1.1 Mô hình và mô hình toán học

Khi đi sâu vào mô hình, các nhà toán học, nhà khoa học đã có nhiều định

nghĩ khác nhau về mô hình Theo Swetz và Hartzler, mô hình là một mẫu, bản

mô phỏng vật gốc Vật gốc có đặc điểm, hình dạng, màu sắc hay chức năng như thế nào thì bản mô phỏng cũng như vậy [37] Như vậy, khi sao chép gần như y nguyên bản chính thì ta sẽ thu được mô hình của nó, ví dụ như trong các bảo tàng lịch sử người ta tiến hành phục chế di vật khảo cổ để người dân đến quan sát, các mũi tên, giáo mác, tên lửa, xe tăng, … chính là mẫu mô hình

Tuy nhiên, trong luận văn tôi sử dụng định nghĩa mô hình theo cách khác: Mô hình là cái thu được qua việc mô tả tình huống cần nghiên cứu, sử dụng ngôn ngữ, công cụ biểu đạt [1] Loại mô hình này khác với định nghĩa nêu trên Cái gốc ban đầu không phải là một vật cụ thể, không có hình dạng, màu sắc để quan sát Mà nó là các tình huống gặp phải trong thực tiễn hoặc vấn đề đang cần nghiên cứu, để hình dung được thì phải thông qua diễn tả bằng ngôn ngữ hay công cụ thích hợp Ví dụ như mô hình bài toán dân số của Việt Nam, mô hình trồng cây lâu năm trên các nương đồi, … để trình bày được chúng phải cần các công thức, bảng biểu hay hình ảnh

Từ định nghĩa về mô hình đã có, mô hình toán học là mô hình dùng để

mô tả, giải thích bằng toán học cho các hiện tượng thế giới xung quanh, được biểu đạt thông qua ngôn ngữ toán học, có thể là các kí hiệu, thuật ngữ toán học, hình vẽ, bảng biểu, sơ đồ toán học hoặc thậm chí là các mô hình ảo trên máy vi tính,

7 Trong nội bộ môn Toán, có rất nhiều mô hình toán học tương ứng Ví dụ như:

- Mô hình số học bao gồm các quan hệ thứ tự, các phép toán cộng trừ nhân chia, nâng lũy thừa như bộ số tự nhiên, số hữu tỉ hay số nguyên, số thực, …

- Mô hình đồ thị được thể hiện thông qua đồ thị của các hàm số, như đồ thị hàm số bậc nhất có dạng một đường thẳng, đồ thị hàm số bậc hai có dạng hình ảnh parabol, đồ thị hàm số bậc ba có dạng đường cong cùng nhiều đồ thị hình elip, hình tròn hay hypebol, …

- Mô hình các hình học phẳng như mô hình hình tam giác, hình tứ giác, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi, …

- Mô hình các hình không gian như được biểu diễn thông qua các khối chóp không gian tương ứng, chẳng hạn như hình ảnh hộp phấn, hộp quà được biểu diễn bởi hình hộp chữ nhật, khối đồ chơi rubic bởi hình lập phương, quả bóng bàn, bóng đá bởi khối cầu hay lon nước ngọt bởi khối trụ, …

1.1.1.2 Mô hình hóa toán học

Mô hình hóa toán học là quá trình mà trong đó cần trải qua các giai đoạn thành phần: khởi điểm là từ vấn đề thực tiễn cần xem xét, thiết lập một mô hình toán học giả định tương thích; giải quyết bài toán trong mô hình vừa thiết lập rồi đưa lại đáp án để đánh giá trong ngữ cảnh thực tế Nếu phù hợp thì có thể chấp nhận cách giải quyết ấy, còn nếu không thể chấp nhận được thì phản hồi để quay lại từ bước đầu lập mô hình, xem dữ kiện nào cần thay đổi, biến nào xác định còn chưa sát với thực tế [1]

Thông qua MHH toán học, học sinh học và rèn luyện được nhiều kỹ năng, kỹ xảo Mỗi một khâu của MHH đòi hỏi học sinh phải huy động, tổng hợp không chỉ kiến thức nội hàm toán học mà còn cả kiến thức thực tế, kinh nghiệm bên ngoài của bản thân Đơn cử như mô hình hóa bài toán giá thành taxi, chọn đi theo hãng nào để tiết kiệm nhất, yêu cầu học sinh phải nghiên

8 cứu, tìm hiểu thực tế xem giá của mỗi hãng được tính như thế nào, phụ thuộc vào số ki-lô-mét đi đường ra sao? Có chương trình khuyến mại nào đang được triển khai hay không? Đây toàn là những kiến thức ngoài toán học mà các em phải tìm hiểu và lĩnh hội, đưa các em đến gần với thực tế, dần tạo nên sợi dây gắn kết toán học với cuộc sống, đúng theo quan điểm chỉ đạo của chương trình phổ thông mới hướng tới

1.1.2 Quy trình mô hình hóa toán học

1.1.2.1 Bài toán mô hình hóa

Trong đời sống hàng ngày, có vô vàn các tình huống cần xem xét và giải quyết Những tình huống này xuất hiện một cách tự nhiên, nếu học sinh không có tư duy mô hình hóa thì không thể hệ thống hay phân loại để đưa nó trở thành vấn đề toán học thuần túy, và như vậy kéo theo hệ quả không thể giải quyết được vấn đề

Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán hiện hành (2006), việc xuất hiện các bài toán thực tế cần giải quyết tương đối ít, chỉ xuất hiện ở phần mở đầu đặt vấn đề gợi mở cho kiến thức mới hoặc có trong phần luyện tập nhưng cũng ở mức độ áp dụng thuần túy, chưa có tính ứng dụng thực tế cao mà chỉ dừng ở mức lý tưởng hóa cho phù hợp với ngữ cảnh bài toán Ngay trong chính các bài tập ôn luyện cuối mỗi bài, lượng bài tập lý thuyết chiếm đại đa số, SGK hiện hành do được biên soạn từ trước nên vẫn bị chi phối bởi tư tưởng nặng lý thuyết, làm sao cho học sinh nhớ và giải được các bài tập thuần túy lý thuyết Về bài tập ứng dụng thực tế thường xuất hiện với số lượng rất ít, chỉ từ 1 – 2 bài, mà yếu tố thực tế đưa ra còn không sát sườn, phi thực tế, đưa vào chỉ mang tính hình thức, o ép dữ kiện thực tế phải theo đúng dạng lý thuyết, như: đo vận tốc phương tiện bằng m/s, đưa giả thuyết học sinh đi bộ đến trường nhưng kết quả tính ra khoảng cách em đi lại là hàng trăm ki-lô-mét, không có học sinh nào lại đi bộ một quãng đường xa như vậy được, và

9 còn nhiều bài toán dù có tính thực tế nhưng rất phi lý Ngoài ra, có đơn vị bài học không có bài tập nào là ứng dụng thực tế [23, 24]

Bài toán dạy học mô hình hóa ở Việt Nam vẫn còn là một vấn đề nan giải, làm nhiều nhà giáo dục phải lăn tăn Mặc dù biết học toán là phải ứng dụng được trong thực tế, phải để học sinh thấy được vì sao phải học toán, phải hiểu được tầm quan trọng của toán học với thực tiễn; trên lý thuyết là vậy nhưng khi áp dụng vào dạy học thì gặp phải rất nhiều rào cản Ví dụ như đây là phương pháp giảng dạy mới xuất hiện trong vài năm trở lại đây nên giáo viên còn nhiều bỡ ngỡ, chưa thực sự hiểu rõ nó, còn vận dụng một cách hình thức; giáo viên thường tuân theo nội dung học tập ở sách giáo khoa, ít chú trọng, xây dựng bài toán mô hình toán học thành tình huống thực tế cho các em khám phá; hoặc giáo viên chú trọng việc tìm ra được kết quả toán học của học sinh, ít chú trọng đến việc lật ngược vấn đề xem kết quả đó đã phù hợp với thực tế, mô hình xây dựng hay chưa Bên cạnh đó, một số trở ngại đối với việc dạy học theo mô hình hóa còn đến từ học sinh, như trình độ học sinh trong lớp không đồng đều, có em tiếp thu, tư duy tốt nhưng có em còn yếu nên khi dạy chung cả lớp gặp nhiều bất cập; học sinh vẫn còn theo lối tư duy cụ thể, khả năng tư duy trừu tượng chưa cao nên khi chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán học còn xác định sai biến, lựa chọn mô hình chưa đúng; chưa có ý thức tự giác, chủ động nghiên cứu bài học mà còn phụ thuộc nhiều vào sự giúp đỡ, hướng dẫn của giáo viên

Chương trình GDPT 2018 đã dần chuyển dịch việc học lý thuyết sang ứng dụng giải quyết vấn đề thực tiễn, vì cốt lõi toán học chính là từ thực tiễn mà ra Các bài toán MHH dự kiến được xuất hiện với tần suất cao và nâng dần từ những tình huống đơn giản cho đến các tình huống đòi hỏi liên hệ kiến thức tổng hợp Đây là tín hiệu tích cực trong chương trình mới, học sinh sẽ có thêm nhiều kỹ năng giải quyết vấn đề thực tế, học toán để ứng dụng chứ không chỉ là trên lý thuyết, sách vở

10

1.1.2.2 Quy trình mô hình hóa

a) Quy trình của Pollak (1979)

Sơ đồ 1.1 Quá trình mô hình hoá toán học của Pollak

Đây là một trong các sơ đồ của quá trình MHH đầu tiên được đề xuất bởi Pollak (1979) Sơ đồ thể hiện một cách giản đơn quy trình MHH, là sự luân chuyển qua lại giữa thế giới thực và thế giới toán học Khởi điểm là từ vấn đề thực tế, chuyển đến cho thế giới toán học làm việc và giải quyết, giải quyết xong thì gửi lại câu trả lời cho thực tiễn [32]

b) Quy trình của Swetz và Hartzler (1991)

Sơ đồ 1.2 Chu trình mô hình hoá của Swetz và Hartzler

Các mô hình được phát triển sau đó đã thừa kế những ưu điểm của mô hình đơn giản trên và chi tiết hóa các bước một cách cụ thể hơn Theo [37], MHH các tình huống gồm 4 giai đoạn:

Giai đoạn 1: Quan sát tình huống thực tiễn và phát hiện yếu tố quan trọng như biến số, tham số cần thiết của vấn đề đó;

11 Giai đoạn 2: Sử dụng ngôn ngữ toán học để biểu diễn quan hệ giữa các biến, tham số, sau đó xây dựng mô hình tương ứng;

Giai đoạn 3: Hiểu và thông dịch kết quả thu được ở giai đoạn 2 Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra kết luận

c) Quy trình của Blum và LeiB (2006)

Sơ đồ 1.3 Chu trình mô hình hóa của Blum

Sơ đồ trên cũng được xem là cơ sở cho phần lớn các hoạt động MHH và các phiên bản khác của sơ đồ hiện nay Trong sơ đồ trên, ta thấy rõ được các bước trong quá trình MHH và sự khác biệt hơn của nó là sự tách biệt giữa mô hình tình huống với tình huống thực tiễn và mô hình thực Các bước được trình bày rõ qua sơ đồ trên [28]

d) Quy trình của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards (2007)

12

Sơ đồ 1.4 Chu trình mô hình hoá của Stillman

Các mục từ A đến G, đi theo chiều mũi tên đậm thể hiện các bước của quá trình MHH Các mũi tên ngược lại màu nhạt hơn thể hiện việc kiểm định, đánh giá, có thể dừng lại ngay để quay về bước đầu nếu thấy đến bước đó vấn đề không thỏa đáng [36]

e) Quy trình theo PISA (2006)

Sơ đồ 1.5 Chu trình MHH theo PISA

Quá trình gồm 5 bước: Bước 1: Xuất phát từ một vấn đề thực tế; Bước 2: Phát hiện kiến thức toán ẩn chứa trong vấn đề; Bước 3: Tổng hợp, điều chỉnh, sắp xếp các yếu tố ở bước 2 để phiên dịch tình huống thành bài toán trong toán học;

Bước 4: Giải quyết bài toán;

13 Bước 5: Đối chiếu kết quả, chỉnh sửa để kết quả có ý nghĩa thực tế; phát hiện điểm chưa tốt của lời giải [34]

Như vậy, ta có thể thấy có khá nhiều sơ đồ về quá trình vận dụng MHHTH trong dạy học Trong luận văn này, tôi lựa chọn theo quy trình 5 bước, trải qua 4 giai đoạn của PISA (2006) vì đây là sơ đồ theo cá nhân tôi thấy là hoàn chỉnh và giản lược nhất, vừa có sự kế thừa tư tưởng của những nhà toán học đi trước, thể hiện ở việc vẫn bao gồm những bước cơ bản, chủ yếu: xác định yếu tố toán học xuất hiện trong tình huống, quy bài toán thực về bài toán toán học, giải toán, nghiệm chứng kết quả và điều chỉnh nếu cần; hơn nữa vừa có sự phát triển, hoàn chỉnh ở từng bước thực hiện cùng với cơ chế tự điều chỉnh Nếu kiểm chứng thấy kết quả có tính thực thi kém, mô hình sẽ đưa ra yêu cầu xác định lại giả thiết bài toán, chỗ nào còn xa rời thực tế để điều chỉnh lại nhằm tìm ra lời giải và hướng giải quyết tối ưu nhất

1.1.3 Cấp độ mô hình hóa

Dựa trên quan điểm định nghĩa năng lực MHH toán học của Blomhøj và Jensen (2006) và quy trình về mô hình hoá của Blum & Leiβ (2006) thì biểu hiện về năng lực MHH toán học của học sinh cũng có thể được phân chia theo từng cấp độ khác nhau, tùy thuộc và các bước trong quy trình mà học sinh thực hiện được Cụ thể, trong nghiên cứu so sánh năng lực MHH toán học của học sinh Đức và Trung Quốc, tác giả M Ludwig và B Xu (2009) [33] đã phân chia năng lực MHH toán học thành 6 cấp độ liên tiếp:

Cấp độ 0: HS không thể làm bất cứ thao tác nào để xử lý tình huống, đọc

vấn đề xong không biết làm thế nào, không hiểu được tình huống đang nói đến là gì

Cấp độ 1: HS nhận biết được tình huống, nhưng không tìm thấy mối liên

hệ nào của tình huống với toán học, không xây dựng được mô hình toán học nào

14

Cấp độ 2: HS xử lý dữ kiện bài toán, cấu trúc lại các giả thuyết và làm

đơn giản nó, phát hiện được mô hình thực tế nhưng không biết làm thế nào để đưa nó trở thành vấn đề toán học

Cấp độ 3: HS phát hiện và thiết lập được mô hình trong toán học nhưng

không xử lý được bài toán, không đưa ra được kết quả

Cấp độ 4: Học sinh có thể giải quyết vấn đề toán học từ vấn đề thực tế,

làm việc với bài toán thực tế này trong thế giới toán học và đưa ra được một kết quả toán học

Cấp độ 5: Học sinh hoàn thành toàn bộ các yêu cầu và làm rõ lời giải bài

toán trong tình huống thực tế đang xem xét

1.2 Năng lực mô hình hóa toán học

1.2.1 Khái niệm năng lực

1.2.1.1 Năng lực

Theo từ điển tiếng Việt “Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hành động nào đó Năng lực là phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao” [25]

Từ điển tâm lý học cho rằng, năng lực là tổng hợp các thuộc tính tâm lý cá nhân phù hợp với yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo thực hiện tốt hoạt động đó Năng lực con người không phải hoàn toàn tự nhiên có, phần lớn do công luyện tập mà có [8]

Theo Cosmovici thì: “năng lực là tổ hợp đặc điểm của cá nhân, giải thích sự khác biệt giữa người này với người khác ở khả năng đạt được những kiến thức và hành vi nhất định” [27] Mặt khác, A N Leonchiev cho rằng: “năng lực là đặc điểm cá nhân quy định việc thực hiện thành công một hoạt động nhất định” [14]

Nhà tâm lý học A Rudich cũng đưa ra quan điểm về năng lực [19] Đề cập thêm năng lực của con người không chỉ được tạo ra từ giáo dục mà còn là

15 kết quả hoạt động của các đặc điểm bẩm sinh, tự nhiên Khi sinh ra một số người đã có năng lực riêng nhất định Ví như trong một gia đình có truyền thống nghệ thuật hoặc gia đình có gen trội về một lĩnh vực nào đó, thì con cái khi sinh ra sẽ phần nào được di truyền từ bố mẹ những đặc điểm ấy, tuy nhiên tính bẩm sinh này có tần suất xuất hiện rất thấp

Như vậy, khi nói đến năng lực thì không phải là một thuộc tính tâm lý duy nhất nào đó mà là sự tổng hợp, thống nhất hữu cơ giữa các thuộc tính tâm lý cá nhân đáp ứng được những yêu cầu hoạt động và đảm bảo hoạt động đó đạt được kết quả mong muốn

Tóm lại, dựa trên quan niệm của nhiều tác giả đưa ra ở trên có thể định

nghĩa năng lực là khả năng thực hiện thành công hoạt động trong một bối

cảnh nhất định nhờ sự huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí… Năng lực của cá nhân được

đánh giá qua phương thức và khả năng hoạt động của cá nhân đó khi giải quyết các vấn đề của cuộc sống

Năng lực hiểu đơn giản chính là sự tổng hòa của kiến thức, kỹ năng và thái độ Khi học sinh lĩnh hội tri thức mới tức là đang học kiến thức, sau đó thì rèn các phương pháp làm bài toán để hình thành kỹ năng, trải qua nhiều lần gặp sẽ tạo thành thói quen và các em biết cách xử lý linh hoạt, khi đó có kỹ xảo làm bài Tuy nhiên, lúc đó chưa gọi là có năng lực Để biến những kỹ xảo ấy thành năng lực thì học sinh cần có thêm thái độ, sự hứng thú, sẵn sàng làm hay giải quyết bài toán xuất phát từ nhu cầu nội sinh của bản thân, các em phải tự nhận thấy rằng mình cần phải chủ động xử lý tình huống đó, phải biến cái phương pháp giải ấy thành của mình thì lúc đó mới hình thành được năng lực Bởi học sinh chính là chủ thể của năng lực, tình huống nào các em cũng ỷ lại, phụ thuộc vào giáo viên, các thầy cô chữa xong trên bảng chỉ việc chép lại cho đủ thì không thể nào hình thành được năng lực

16 Như vậy, năng lực không mang tính chung chung mà khi nói đến năng lực, bao giờ người ta cũng nói về một lĩnh vực cụ thể nào đó Năng lực phần lớn được hình thành‚ bồi đắp và có được qua quá trình học tập‚ rèn luyện tại cơ sở giáo dục; qua trải nghiệm thực tế, nỗ lực học hỏi, luyện tập, trau dồi kiến thức trong cuộc sống thường ngày Phần lớn khi sinh ra, không phải ai cũng may mắn có sẵn những tài năng, năng khiếu bẩm sinh, số lượng người được như vậy là rất ít; mà muốn có được năng lực thì mỗi người phải trải qua quá trình khổ luyện, tự trau dồi nâng cao giá trị bản thân, lúc đầu là học kiến thức, học lý thuyết nền tảng, sau là học thực hành thực tế, phải biết làm sao sử dụng cái đã học để giải quyết vấn đề đang xét Trong quá trình ấy, tự bản thân mỗi cá nhân phải không ngừng trau dồi, luôn sẵn sàng học hỏi bạn bè, thầy cô

Mức độ năng lực là hoàn toàn khác nhau giữa mỗi người và phụ thuộc vào vốn sống‚ sự tiếp thu kiến thức, vốn hiểu biết trong từng lĩnh vực của mỗi cá nhân Cá nhân nào không tự giác lĩnh hội tri thức, không trau dồi kỹ năng thì năng lực chỉ dừng ở mức thấp hoặc có khi không hình thành được; học sinh nào có kiến thức nền tảng chắc, lại thường xuyên học hỏi, va vấp với nhiều tình huống thực tiễn bên ngoài, có cơ hội mang kiến thức học được ra thực tiễn thì năng lực của HS ấy sẽ cao hơn nhiều

Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng đến việc lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân Ban đầu các em chưa có nhưng qua quá trình tích lũy, đồng hành giúp đỡ của giáo viên thì các em dần xây dựng cho mình một niềm hứng thú, say mê toán học, từ đó hình thành và phát triển cho bản thân năng lực

1.2.1.2 Năng lực toán học

Theo nghiên cứu của V.A Krutexki cho rằng: “Năng lực học tập toán học là đặc điểm tâm lý của cá nhân đáp ứng nhu cầu hoạt động học toán và giúp

17 cho việc học toán một cách sáng tạo, hiểu kiến thức tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc” [13]

Niss Mogens từ dự án nghiên cứu về năng lực toán học tại Đan Mạch cuối thế kỷ XX, đã đưa quan niệm về năng lực toán học được PISA lựa chọn [31]

Hình 1 Tám thành tố của năng lực toán học

Niss cũng xác định tám thành tố của năng lực toán học và chia thành hai phần chính như hình Phần thứ nhất gồm các loại năng lực: tư duy toán học; giải quyết vấn đề toán học; mô hình hóa toán học và suy luận toán học Phần thứ hai gồm các loại năng lực: biểu diễn; sử dụng ngôn ngữ kí hiệu; giao tiếp toán học; sử dụng công cụ, phương tiện học toán Tất cả những năng lực đó đều cần thiết, giúp ích cho học sinh trong quá trình học toán và vận dụng toán, chúng không tách rời nhau mà có mối quan hệ tương quan, tác động qua lại với nhau [31]

Cùng định hướng ấy, chương trình phổ thông 2018 tóm gọn lại năng lực toán học bao gồm 5 thành tố cốt lõi: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán Mỗi cấp

18 học có yêu cầu cần đạt riêng, tương xứng với trình độ nhận thức của học sinh cấp học đó [4]

1.2.2 Năng lực mô hình hóa toán học

Theo Blum và Jensen, năng lực MHH là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình MHH trong một tình huống cho trước [28] Maab lại cho rằng năng lực MHH là tổ hợp các kỹ năng và khả năng thực hiện quá trình MHH nhằm đạt được mục tiêu nhất định [30]

Như vậy có thể hiểu năng lực MHHTH là khả năng quan sát, phân tích tình huống thực tiễn, từ đó lựa chọn và xác định các giả thiết, mối quan hệ phù hợp để “phiên dịch” sang ngôn ngữ toán học; giải bài toán bằng các thuật toán và kiểm chứng lời giải trong môi trường ban đầu; phân tích và so sánh những mô hình đã có để tìm các các mô hình phù hợp hơn Hiểu đơn giản hơn thì năng lực MHHTH chính là khả năng học sinh thực hiện các giai đoạn của quá trình MHH Mỗi khi đi qua được một giai đoạn, HS đã có những kỹ năng, phương pháp để làm nó, từ sau khi gặp dạng ấy nhiều lần sẽ tạo thành kỹ xảo và cùng thêm đam mê biến thành năng lực của bản thân

Theo Qi Dan và Jinxing Xie [35] năng lực MHHTH (từ mô tả của Niss) bao gồm 8 thành tố như sau:

- Đơn giản hóa dữ kiện giả thuyết; - Xác định rõ mục tiêu tình huống đặt ra; - Đưa ra vấn đề mà tình huống cần giải quyết; - Xác định được các biến, tham số, hằng số từ giả thuyết bài toán; - Xây dựng được mệnh đề Toán học;

- Phác thảo và lựa chọn mô hình tương ứng cho bài toán; - Sử dụng biểu đồ, hình vẽ hay đồ thị để biểu diễn mô hình; - Kiểm chứng, liên hệ trở lại với tình huống thực tiễn Tùy theo từng cấp học, mức độ yêu cầu cần đạt của năng lực MHH sẽ tương ứng phù hợp với khả năng của học sinh

19 Ở cấp tiểu học, yêu cầu cần đạt đối với năng lực MHH ở mức đơn giản bao gồm lựa chọn được công cụ toán học để trình bày, diễn đạt; giải quyết được bài toán xuất hiện từ sự lựa chọn trên và nêu ra câu trả lời bài toán thực tiễn

Lên cấp trung học cơ sở, yêu cầu học sinh sử dụng được các mô hình toán học (gồm công thức toán học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ, phương trình, …) để mô tả tình huống xuất hiện trong một số bài toán thực tiễn không quá phức tạp; giải quyết được vấn đề toán học có trong mô hình và thể hiện được lời giải vào ngữ cảnh thực tế, bước đầu làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải

Yêu cầu cần đạt của năng lực MHH toán học được nâng cao hơn ở cấp trung học phổ thông, thể hiện ở các việc:

- Thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, ) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn Chẳng hạn như sử dụng ngôn ngữ hàm số, đồ thị hàm số để mô tả và phân tích một số quá trình và hiện tượng trong thế giới thực hay sử dụng tích phân để tính toán diện tích hình phẳng và thể tích vật thể trong không gian

- Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập - Lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá, ) để đưa đến những bài toán giải được

MHHTH là chuỗi các hoạt động có tính phức tạp, dạy học bằng MHH giúp học sinh đổi mới cách học, đòi hỏi học sinh phải tìm tòi, suy nghĩ, thực hành nhiều hơn, đồng thời, phải có nhiều năng lực khác nhau và các kiến thức liên quan đến các tình huống thực tiễn được đưa ra xem xét Quan trọng là phải hình thành cho học sinh năng lực giải quyết các vấn đề thực tiễn bằng

20 những kiến thức toán học mà học sinh đã được học mà trong đó MHH là phương pháp hiệu quả để nâng cao năng lực hiểu biết toán học và năng lực vận dụng toán học trong thực tiễn của học sinh MHHTH cũng là cơ hội để học sinh có thể khám phá tri thức, các tình huống thực tiễn có tính chất liên môn thông qua môn toán, từ đó, giúp học sinh thấy được tính ứng dụng của toán học trong cuộc sống

1.2.3 Dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học

Dạy học phát triển năng lực là mô hình giáo dục hiện đại, ra đời nhằm đáp ứng đúng mục tiêu giáo dục, lấy người học làm trung tâm, tập trung phát triển toàn diện cho học sinh Khác với phương pháp dạy học truyền thống trước đây là tiếp thu kiến thức thụ động từ một phía, phụ thuộc chủ yếu vào giáo viên, dạy học phát triển năng lực được thiết kế bài bản qua các hoạt động giảng dạy sáng tạo, học sinh được trực tiếp tham gia vào quá trình khám phá, phát hiện tri thức mới, mang kiến thức toán học đã học vào giải quyết vấn đề trong thực tiễn, giáo viên chỉ là người đồng hành, hỗ trợ các em

Như vậy, dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học là dạy học hướng đến phát triển những thành tố cốt lõi của năng lực toán học đã nêu trong mục 1.2.2, để từ đó phát triển năng lực mô hình hóa nói chung Mà cách thức dạy học phổ biến là xuất phát từ những tình huống thực tiễn gặp phải, hướng dẫn học sinh cách mô hình hóa (trong quá trình này đòi hỏi HS phải tập luyện các năng lực thành phần của mô hình hóa từ 1 đến 7), đưa nó trở thành vấn đề toán học để giải quyết trong môi trường toán (thành tố 8)

Dạy học phát triển năng lực MHH phải gắn liền với dạy học theo quy trình MHH, bởi qua mỗi giai đoạn của quá trình thì tự bản thân học sinh sẽ dần có được năng lực thành phần cho giai đoạn ấy Làm tốt từng bước là học sinh đã hình thành và rèn luyện được các năng lực riêng của MHH, để cuối cùng tổng hợp chúng thành năng lực MHH chung, thỏa mãn yêu cầu mà thực tiễn đặt ra cũng như yêu cầu của giáo dục

Mô hình hóa toán học được đem đến nhằm giúp học sinh nhận biết được ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; phát triển khả năng phân tích, suy luận, lập luận và giải quyết vấn đề toán học trong những tình huống, hoàn cảnh khác nhau; phát triển khả năng liên hệ kiến thức toán học với các môn học khác Song song với đó, mô hình hóa là công cụ đắc lực giúp tháo gỡ những khó khăn khi xử lý bài toán thực tế

Vận dụng mô hình hóa trong dạy học toán sẽ góp phần đưa ý tưởng toán học gắn liền với thực tiễn vào trong lớp học toán ở nhà trường Từ đó, hình thành và bồi dưỡng cho học sinh không chỉ năng lực mô hình hóa toán học, giúp các em biết vận dụng linh hoạt kiến thức toán học trong nhà trường để giải quyết các vấn đề nảy sinh từ thực tiễn cuộc sống - đó chính là năng lực giải quyết vấn đề

1.3 Mục tiêu và nội dung chủ đề "Ứng dụng tích phân" trong chương trình môn Toán 12

1.3.1 Cấu trúc chủ đề "Ứng dụng tích phân"

Lĩnh vực về Tích phân có vai trò rất đặc biệt trong toán học, nó không chỉ là đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Giải tích mà còn là một công cụ đắc lực trong nhiều lĩnh vực của lý thuyết hàm số và các ứng dụng liên quan Bản thân phép tính tích phân thường được sử dụng trong nghiên cứu vật lý,

22 thiên văn học, cơ học, y học, như một giải pháp hữu hiệu của các mô hình toán học cụ thể của các hoạt động thực tiễn

Theo khung phân phối chương trình Toán 12, nội dung Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng nằm ở chương III, với thời lượng 16 tiết, chia làm ba nội dung lớn Nội dung thứ nhất là Nguyên hàm chiếm 4 tiết, thứ hai là Tích phân chiếm 5 tiết, thứ ba là Ứng dụng tích phân chiếm 4 tiết và 2 tiết ôn tập cuối chương và 1 tiết kiểm tra kiến thức tổng hợp Như vậy, chủ đề "Ứng dụng tích phân" chiếm 25% tổng thời lượng cả chương, còn khá ít so với mục tiêu dạy học gắn toán học với thực tiễn

Ta có thể nhận thấy, mặc dù Nguyên hàm – Tích phân có tầm quan trọng trong các ngành khoa học trọng điểm (cơ học, y học, vệ tinh, …) của quốc gia nhưng thời lượng học cả chương so với các chủ đề khác còn ít, chỉ có 16 tiết, nên phần “Ứng dụng tích phân” cũng có ít thời lượng học, giáo viên có muốn ccho học sinh làm quen với các ứng dụng cũng không đủ thời gian

1.3.2 Mục tiêu cần đạt

Học sinh cần phải: + Nhận biết được khái niệm nguyên hàm của một hàm số + Giải thích được tính chất cơ bản của nguyên hàm

+ Xác định được nguyên hàm của một số hàm sơ cấp + Tính được nguyên hàm trong những trường hợp đơn giản + Nhận biết được định nghĩa và các tính chất của tích phân + Tính được tích phân trong những trường hợp đơn giản + Sử dụng được tích phân để tính diện tích của một số hình phẳng, thể tích của một số hình khối

+ Vận dụng được tích phân để giải bài toán có liên quan đến thực tiễn - Lý thuyết ứng dụng tích phân quan trọng cần lưu ý:

 Ứng dụng trong bài toán chuyển động

23 Cho vật chuyển động có phương trình vận tốc vv t  Quãng đường vật đi được từ thời điểm t đến 0 t là: 1

Định lý: Cho hàm số y f x  liên tục, không âm trên  a b;

Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số  

y f x , trục hoành và hai đường thẳng xa x, b là:

 d

b

a

Bài toán 1: Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn  a b ;

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x , trục hoành và hai đường thẳng xa x, b được xác định bởi:

 d

b

a

S   f x g xx,

25 trong đó x x tương ứng là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình 1, n

Giả sử S x  là một hàm liên tục trên đoạn  a b Khi đó, thể tích của vật ;H là:

 d

b

a

Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường  , 0, ,

y f xy xa xb quanh trục Ox được tính theo công thức:

26

Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f x( ),

( )

y g x và hai đường xa x, b (với f x   g x   0, x  a b; ) thì thể tích

khối tròn xoay sinh bởi D khi quay quanh trục Ox được tính theo công thức:

Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Oy

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường  , 0, ,

xg yx yc yd quanh trục Oy được tính theo công thức:

27 xác định được cơ sở thực tiễn cho việc xây dựng quy trình MHHTH trong dạy học ở cấp THPT

1.4.2 Nhiệm vụ

Những kết quả nghiên cứu đã có về mô hình hóa cả về lý luận và thực tiễn cho thấy năng lực mô hình hóa của học sinh phổ thông Việt Nam còn khá nhiều hạn chế, hầu hết các em chỉ đạt được năng lực này ở cấp độ thấp trong học toán Điều này chỉ ra những bất cập trong nội dung chương trình sách giáo khoa hiện hành, trong đó tính ứng dụng của toán học trong giải quyết các vấn đề của cuộc sống hằng ngày chưa được coi trọng

Để tiến hành khảo sát thực trạng sử dụng MHHTH trong dạy học ở cấp THPT, tôi đưa ra các nhiệm vụ khảo sát như sau:

- Chọn mẫu khảo sát: chọn 15 giáo viên môn Toán và 95 học sinh lớp 12A6, 12A7 tại trường THPT Cổ Loa

- Thiết kế bảng hỏi dành cho giáo viên, học sinh về sự hiểu biết MHHTH và khả năng sử dụng MHHTH trong dạy học ở cấp THPT

- Sử dụng phiếu bảng hỏi đã thiết kế để thu thập số liệu và phỏng vấn các giáo viên, học sinh trong việc sử dụng MHHTH

- Sau khi thu thập được số liệu, tiến hành thống kê và xử lý số liệu để đưa ra những nhận xét thực trạng và đề xuất biện pháp sát thực tế

Bảng 1.1 Mức độ cần thiết của việc rèn luyện năng lực MHH cho học sinh

Biểu đồ 1.1 Mức độ cần thiết của việc rèn luyện năng lực MHH cho học sinh

Dựa vào kết quả Bảng 1 và Biểu đồ 1, tôi nhận thấy rằng, 100% giáo viên đã nhận thức được sự cần thiết của việc rèn luyện năng lực MHH cho học sinh khi dạy học ở trường THPT Tuy nhiên, ở mức độ rất cần thiết thì chưa được nhiều giáo viên quan tâm (chỉ chiếm 20%) Điều này cũng phù hợp khi nghiên cứu cơ sở lý luận, ta đều nhìn thấy sự tích cực, cấp thiết của việc tăng cường rèn luyện MHH cho học sinh, nếu dạy được theo đúng lý tưởng ấy thì học sinh sẽ phát triển rất tốt và nền giáo dục cũng từ đó được củng cố và có bước tiến cao hơn

Kết quả các mức độ thường xuyên rèn luyện năng lực MHH cho học sinh ở trường THPT được phân tích và thể hiện dưới đây:

29

Bảng 1.2 Các mức độ thường xuyên rèn luyện năng lực MHH cho học sinh

Biểu đồ 1.2 Các mức độ thường xuyên rèn luyện năng lực MHH cho học sinh

Qua tổng hợp dữ liệu trên, tôi thấy rằng mặc dù giáo viên đã nhận thức được tầm quan trọng của MHHTH trong dạy học, đặc biệt là nội dung về ứng dụng thực tiễn, tuy nhiên việc thường xuyên ứng dụng lại không cao (chỉ chiếm 13,3%), đa số chỉ dừng lại ở mức độ thỉnh thoảng (chiếm 86,7%), tần suất dạy học có kết hợp mô hình hoá còn thấp Đúng là thực tế và lý thuyết còn cách nhau một khoảng xa, dù biết dạy học MHH tốt nhưng giáo viên lại chưa áp dụng thường xuyên Việc này do rất nhiều nguyên do chứ không phải chỉ riêng một phía từ giáo viên

Muốn tăng mức độ này phải thay đổi từ phía trên, từ khung phân phối chương trình, từ quan điểm dạy học của các trường, vì nếu thay đổi sẽ cần phải xây dựng lại hầu như mới, xác định chấp nhận mất một khoảng thời gian tương đối lớn để cả giáo viên và học sinh thich nghi được

30

Biểu đồ 1.3 Các chủ đề tích hợp mô hình hoá trong dạy học toán

Quan sát biểu đồ trên, giáo viên đã xác định được nhiều chủ đề phù hợp với việc dạy học tích hợp mô hình hoá xuyên suốt chương trình môn Toán cấp THPT, trong đó những chủ đề nổi bật, thuận lợi áp dụng nhiều như hàm số, phương trình, hệ phương trình, ứng dụng tích phân, hình không gian,…

Tếp theo tôi đưa ra bảng thống kê ý kiến giáo viên về những thuận lợi và khó khăn trong việc đưa tình huống thực tế vào quá trình giảng dạy bộ môn Toán

1 Cơ sở vật chất của nhà trường được đầu tư chú trọng, đảm bảo thực hiện tốt các hoạt động học tập

2 Đa số học sinh ngoan, có ý thức tự học và khả năng tiếp thu kiến thức nhanh, có trách nhiệm với nhiệm vụ được giao

3 Mỗi lớp đều có giờ học ngoại khoá, tăng cường tạo điều kiện tổ chức hoạt động, củng cố kiến thức cho học sinh

1 Hình thức đánh giá thi cử có vận dụng tình huống thực tiễn còn ít, chỉ chiếm khoảng 10-15% nội dung bài thi

2 Tiêu chí đánh giá hoạt động thực hiện giải quyết tình huống thực tiễn của học sinh còn chưa cụ thể, hoàn thiện, giáo viên khó đánh giá một cách chính xác

3 Khả năng liên hệ kiến thức toán

31 4 Giáo viên có nhu cầu tìm hiểu và đưa vấn đề thực tiễn vào giảng dạy 5 Công nghệ thông tin ngày càng phát triển cùng nhiều phần mềm hỗ trợ dạy học, là trợ thủ đắc lực cho giáo viên truyền tải hình ảnh, video minh hoạ thực tế đến học sinh một cách sống động, khơi gợi hứng thú học tập

6 Đội ngũ giáo viên nhiệt tình, tâm huyết, tự chủ động tìm hiểu và cùng nhau học tập, chia sẻ kinh nghiệm, giúp đỡ nhau trong quá trình ứng dụng mô hình hoá vào giảng dạy Toán

học với thực tế của học sinh còn hạn chế, gây cản trở việc tiếp cận dạy học

4 Bản thân trong thời gian đào tạo tại các trường sư phạm ít được học tập một cách có hệ thống về cách thức triển khai, tổ chức dạy học ứng dụng toán học vào thực tiễn

5 Dạy học mô hình hoá cần thời lượng tương đối lớn, trong một tiết học không đủ thời gian triển khai, nếu có cũng chỉ dạy một cách máy móc, học sinh ít có cơ hội tự tìm hiểu

6 Trình độ ứng dụng công nghệ thông tin của một số giáo viên còn hạn chế nên chủ yếu sử dụng các bài tập trong SGK, SBT

Bảng 1.3 Bảng thống kê ý kiến giáo viên về dạy học ứng dụng thực tiễn

Mặc dù phần lớn các thầy cô giáo đều nhận thức được tầm quan trọng của việc dạy học gắn liền với thực tiễn, cũng có tham gia các buổi tập huấn, hoặc tự tìm hiểu thông qua các phương tiện thông tin, tuy nhiên hầu hết giáo viên vẫn chủ yếu đang truyền thụ cho học sinh giải quyết bài toán bằng cách, khi gặp một bài toán cứ áp dụng theo từng bước đã được đưa sẵn là làm được nên vô hình chung khiến môn Toán vốn đã khó và khô khan trở nên thụ động, càng xa cách và trừu tượng hơn Giáo viên đang phụ thuộc nhiều vào SGK mà quên mất đây chỉ là tài liệu tham khảo để hỗ trợ quá trình giảng dạy; chưa