phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trong dạy học chủ đề đạo hàm lớp 11 trung học phổ thông

Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là vận dụng mô hình hóa Toán học góp phần nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề Đạo hàm cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông, giúp học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Trần Trung

Hà Nội – 2024

i

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn các quý thầy cô đang công tác tại trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô khoa Sư phạm đã tận tình giúp đỡ tôi, tạo điều kiện để tôi có cơ hội được học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần Trung đã tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình làm luận văn, chỉ bảo tôi nhiều kiến thức bổ ích về lý luận và phương pháp dạy học môn toán Trong quá trình làm luận văn, với kiến thức và vốn hiểu biết còn hạn chế của tôi, thầy đã tâm huyết chỉ bảo, góp ý để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn

Và cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các học viên trong cùng khóa học đã động viên, hỗ trợ tinh thần cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 28 tháng 03 năm 2024

Người hướng dẫn khoa học

GS TS TRẦN TRUNG

Tác giả luận văn

TRẦN THỊ NA

ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của GS TS Trần Trung, tôi không sao chép từ công trình nào khác Các số liệu, kết luận trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình nghiên cứu trước đó Các thông tin trích dẫn trong luận văn đều được ghi rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 28 tháng 03 năm 2024

Tác giả luận văn

TRẦN THỊ NA

iii

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ

Sơ đồ 1.1 Quy trình mô hình hóa của Pollak 18 Sơ đồ 1.2 Các giai đoạn chính trong mô hình hóa (phỏng theo Mason, 1988) 19 Sơ đồ 1.3 Quá trình mô hình hóa (phỏng theo Coulange, 1997) 20 Sơ đồ 1.4 Quy trình mô hình hóa (theo Swetz & Hartzler, 1991) 21 Sơ đồ 1.5 Quy trình mô hình hóa trong dạy học môn toán theo Nguyễn Danh Nam (2016) 23 Sơ đồ 1.6 Quá trình mô hình hóa toán học phỏng theo Coulange (1997) 24 Sơ đồ 1.7 Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa 28 Biểu đồ 3.1 Biểu đồ phân bố tầո số (ghép lớp) kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) 78

iv

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Thang đánh giá mức độ biểu hiện năng lực mô hình hóa Toán học của học sinh trong dạy học chủ đề Đạo hàm lớp 11 41 Bảng 1.2 Kết quả khảo sát học sinh về thực trạng dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học trong chủ đề Đạo hàm lớp 11 Trung học phổ thông 44 Bảng 1.3 Kết quả khảo sát giáo viên về thực trạng dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học trong chủ đề Đạo hàm lớp 11 Trung học phổ thông 46 Bảng 3.1 Bảng thống kê ý kiến của học sinh (Trường THPT Trần Quốc Tuấn) 75 Bảng 3.2 Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) 77 Bảng 3.3 Bảng phân bố tần số (ghép lớp) kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) 77 Bảng 3.4 Bảng phân bố tần suất (ghép lớp) kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) 78

v

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình vẽ 2.1 Bài toán 2.2 57 Hình vẽ 2.2 Bài toán 2.3 59 Hình vẽ 2.3 Mô phỏng bài toán 2.3 60

vi

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN I LỜI CAM ĐOAN II DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ III DANH MỤC CÁC BẢNG IV DANH MỤC HÌNH VẼ V MỤC LỤC VI

4 Giả thuyết nghiên cứu 3

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

6.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận 3

6.2 Phương pháp điều tra, quan sát 4

8 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Tổng quan nghiên cứu 5

1.1.1 Nghiên cứu ở ngoài nước 5

vii

1.1.2 Nghiên cứu ở trong nước 8

1.2 Mô hình hóa toán học và một số khái niệm liên quan 14

1.2.1 Mô hình hóa toán học 14

1.2.2 Quy trình mô hình hóa toán học 18

1.2.3 Cấp độ mô hình hóa 28

1.3 Năng lực mô hình hóa Toán học và dạy học phát triển năng lực mô hình hóa Toán học 29

1.3.1 Năng lực mô hình hóa Toán học 29

1.3.2 Dạy học phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh 34

1.4 Các mức độ biểu hiện năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh lớp 11 trong dạy học chủ đề Đạo hàm 40

1.5 Thực trạng dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học trong chủ đề Đạo hàm cho học sinh lớp 11 ở các trường trung học phổ thông hiện nay 43

1.5.1 Mục đích khảo sát 43

1.5.2 Đối tượng, phạm vi khảo sát 43

1.5.3 Nội dung khảo sát 44

2.1 Phân tích mục tiêu nội dung và đặc điểm dạy học chủ đề Đạo hàm lớp 11 50

2.2 Thiết kế và tổ chức một số hoạt động dạy học phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh trong dạy học chủ đề đạo hàm lớp 11 Trung học phổ thông 52

viii

2.2.1 Hoạt động 1: Khái niệm đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm 52

2.2.2 Hoạt động 2: Các quy tắc tính đạo hàm 61

2.2.3 Hoạt động 3: Đạo hàm cấp hai 66

Tiểu kết chương 2 70

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 71

3.1 Mục đích của thực nghiệm 71

3.2 Nội dung thực nghiệm 71

3.2.1 Nội dung thực nghiệm 71

3.2.2 Đối tượng và địa điểm thực nghiệm 71

1

MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài

Thế giới đã đi qua những năm đầu tiên thập niên thứ ba của thế kỉ XXI với những chuyển biến mạnh mẽ về mọi mặt Điều đó đã tác động không nhỏ đến sự phát triển Kinh tế- Xã hội của Việt Nam nói chung và sự phát triển của Giáo dục đất nước nói riêng Việc đổi mới giáo dục là thật sự cần thiết và đang là mối quan tâm của các cấp, các ngành, các nhà khoa học và toàn xã hội Trong đó, việc đổi mới nội dung, chương trình, đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới phương pháp kiểm tra đánh giá đang được Đảng và Nhà nước đặc biệt chú trọng

Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị lần thứ tám Ban

Chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam khóa XI đã nêu rõ: “…Phát

triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực người học Học đi đôi với hành; lí luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội…” Vì vậy với việc dạy học nói chung và dạy học môn toán nói riêng việc

vận dụng kiến thức vào thực tiễn và phát triển năng lực cho người học là cấp thiết và mang tính thời sự

Toán học và thực tiễn có mối liên hệ mật thiết với nhau Trên thực tế toán học được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như khoa học, công nghệ, sản xuất, đời sống Với vai trò quan trọng đó, Toán học góp phần làm cho đời sống phát triển, hiện đại và văn minh hơn Để tạo ra và theo kịp sự phát triển mạnh mẽ đó, chúng ta cần phải đào tạo những con người có hiểu biết, có kĩ năng và vận dụng những thành tựu của toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn

Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể 2018, trong dạy học Toán cần giúp cho học sinh hình thành và phát triển nhiều năng lực trong đó có năng lực mô hình hóa Toán học Mô hình hóa trong dạy học Toán là quá trình giúp học

2 sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ Toán học Quá trình đòi hỏi học sinh cần có các kĩ năng như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa Ở Trung học phổ thông, Toán học trong sách giáo khoa thông qua các ngôn ngữ toán học như đồ thị, sơ đồ, kí hiệu, công thức, phương trình Từ đó hoạt động mô hình hóa giúp học sinh thông hiểu và hệ thống hóa các khái niệm, cách tiếp cận này giúp việc học Toán của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê, yêu thích Toán học

Hiện nay ở trường Trung học phổ thông hoạt động dạy học phát triển năng lực mô hình hóa Toán học đã áp dụng trong các bài giảng của giáo viên Tuy vậy ở nhiều trường Trung học phổ thông, giáo viên chủ yếu quan tâm tới việc học sinh tìm ra lời giải của các bài toán thuần túy Có rất nhiều nội dung Toán học hay như hàm số, hệ thức lượng trong tam giác,….có thể giúp học sinh phát triển năng lực mô hình hóa Toán học Trong đó chuyên đề đạo hàm là một nội dung quan trọng và là nội dung mới trong chương trình lớp 11 Đặc biệt, trong đổi mới chương trình sách giáo khoa lớp 11 môn Toán nói chung và chuyên đề Đạo hàm nói riêng đã có sự khác biệt trong việc gắn liền Toán học với thực tiễn từ đó phát triển năng lực cho học sinh Ngoài ra, Đạo hàm là chủ đề xuyên suốt trong môn Toán Trung học phổ thông vì vậy việc tạo cho học sinh hứng thú, say mê, yêu thích kiến thức chuyên đề Đạo hàm thật sự cần thiết để học sinh chắc kiến thức vận dụng cho lớp 12

Chính vì những lí do trên tác giả đã thực hiện nghiên cứu đề tài: “Phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh trong dạy học chủ đề Đạo hàm lớp 11 Trung học phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là vận dụng mô hình hóa Toán học góp phần nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề Đạo hàm cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông, giúp học sinh rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức Toán học trong chủ đề Đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tiễn

3

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán chủ đề Đạo hàm lớp

11 ở trường Trung học phổ thông

3.2 Đối tượng nghiên cứu: Thiết kế và tổ chức dạy học phát triển năng lực

mô hình hóa trong dạy học môn Toán thông qua chủ đề Đạo hàm lớp 11

3.3 Phạm vi nghiên cứu: Quá trình dạy học chủ đề Đạo hàm lớp 11 Trung học

phổ thông tại Nam Định

4 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu thiết kế được các hoạt động có nội dung thực tiễn, vận dụng phương pháp mô hình hóa để tổ chức các hoạt động học tập thì học sinh sẽ nắm chắc kiến thức chủ đề Đạo hàm, cùng với đó giúp cho học sinh phát triển năng lực mô hình hóa Toán học, góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh trường Trung học phổ thông

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận và phương pháp mô hình hóa vận dụng trong các hoạt động dạy học trong chương trình Toán

- Điều tra đánh giá thực trạng vấn đề dạy học mô hình hóa qua dạy học Toán học trường Trung học phổ thông

- Nghiên cứu đặc điểm của chương trình sách giáo khoa Đại số lớp 11 và chủ đề Đạo hàm theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh

- Thiết kế và tổ chức dạy học phát triển năng lực mô hình hóa trong dạy học Đạo hàm lớp 11

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giả thuyết khoa học và đánh giá hiệu quả của việc vận dụng phương pháp phát triển năng lực mô hình hóa trong dạy học môn Toán Trung học phổ thông

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu, phân tích, tổng

hợp tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến đề tài luận văn

4

6.2 Phương pháp điều tra, quan sát: Quan sát, điều tra thực trạng vấn đề vận

dụng phương pháp phát triển năng lực mô hình hóa trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông qua các hình thức: Phiếu điều tra, dự giờ, phỏng vấn giáo viên ở trường Trung học phổ thông

6.3 Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số trường Trung

học phổ thông để đánh giá hiệu quả của nội dung nghiên cứu

6.4 Phương pháp thống kê: Sử dụng thống kê Toán học trong xử lí số liệu

- Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu rộng về những vấn đề có liên quan trong luận văn

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục và danh mục tài liệu tham khảo thì nội dung luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài Chương 2 Thiết kế và tổ chức dạy học phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh trong dạy học chủ đề Đạo hàm lớp 11 Trung học phổ thông

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

5

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tổng quan nghiên cứu

1.1.1 Nghiên cứu ở ngoài nước

Toán học gắn với thực tiễn là một trong những chủ đề được quan tâm rất nhiều trong thời gian gần đây: Mối quan hệ của toán học với thế giới bên ngoài; con người sử dụng toán học để giải quyết những vấn đề trong cuộc sống hằng ngày và cách giải quyết vấn đề đó,… Từ giữa những năm 70 của thế kỉ trước, ý tưởng về sử dụng mô hình hóa trong dạy học đã được đề xuất bởi Aristicdes C Barreto Mô hình hóa là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết vấn đề toán học Mô hình hóa Toán học được xây dựng bằng cách phiên dịch các vấn đề từ thực tiễn bằng phương tiện ngôn ngữ viết sang phương tiện ngôn ngữ biểu tượng, kí hiệu (dẫn theo [18])

Năm 1969, Pollak – một trong những người tiên phong trong lĩnh vực ứng dụng và mô hình hóa trong giáo dục toán học đã kêu gọi tích hợp ứng dụng và mô hình hóa vào việc dạy toán [25] Một dấu mốc quan trọng là việc mô hình hóa được đưa vào nhà trường sau nghiên cứu của Pollak năm 1979: Sự tương tác giữa Toán học và các môn học khác Theo Pollak, dạy toán chính là dạy cho học sinh vận dụng những kiến thức toán học phục vụ cho đời sống hằng ngày Từ đó, việc dạy học theo mô hình hóa trở thành một chủ đề được quan tâm trên phạm vi toàn cầu

Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA (The Programme for International Student Assessment) được tổ chức ba năm một lần đánh giá sự hiểu biết và khả năng vận dụng của học sinh về đọc hiểu toán và khoa học PISA không kiểm tra kiến thức học sinh thu được ở trường học, không chú trọng đến lý thuyết suông mà quan tâm đến việc học sinh thực hành sử dụng những kiến thức đó Đối với lĩnh vực toán, PISA tập trung đánh giá khả năng của học sinh vận dụng những kiến thức toán học trong thực tiễn

6 Ở nhiều nước, kết quả PISA được thảo luận để đổi mới chương trình môn Toán ở nhà trường, đặc biệt là vấn đề mô hình hóa toán học, ứng dụng toán học trong thực tiễn để hiểu thế giới tốt hơn, giải thích các hiện tượng, giải quyết vấn đề, ra quyết định [27]

Từ những năm đầu 1990, Singapore đã chú trọng vào quá trình giải quyết vấn đề trong chương trình môn Toán Bộ Giáo dục Singapore đã đưa ra khuyến nghị về dạy và học môn Toán là phải đặt trọng tâm vào việc lập luận và giao tiếp toán học, liên kết các ý tưởng toán học, xây dựng mô hình hóa và ứng dụng Trong đó, chủ đề mô hình hóa và ứng dụng phải được đưa vào tất cả các cấp học Chương trình môn Toán hiện hành của Singapore được cắt giảm 30% so với chương trình cũ, tập trung phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh Mô hình hóa được định nghĩa là một quá trình thiết lập và cải tiến các mô hình toán học để biểu diễn các vấn đề thực tiễn thông qua các công cụ toán học phù hợp với tình huống

Chương trình môn Toán ở Thụy Điển được bắt đầu đổi mới từ năm 1965 và mô hình hóa dần được đưa vào chương trình với mức độ tăng dần và thể hiện rõ nhất vào năm 1994 Điểm nhấn mạnh nhất đó là thiết kế, xây dựng và sử dụng mô hình toán học Mô hình toán học là khái niệm trọng tâm trong chương trình sách giáo khoa môn Toán ở Thụy Điển ở mọi cấp học Bloom (2007) phân biệt sự khác nhau giữa hai thuật ngữ mô hình hóa toán học và ứng dụng toán học Quá trình mô hình hóa tập trung vào sự chuyển đổi từ thế giới ngoài toán học vào thế giới toán học, trong khi đó ứng dụng toán học thì tập trung vào chiều ngược lại [18]

Đối với chương trình của Hà Lan, khoảng 30 năm trước, Viện Freudenthal đã phát triển chương trình môn Toán tiếp cận theo hướng gắn liền với thực tiễn Khung chương trình dựa trên quan niệm rằng toán học là hoạt động và học sinh cần được trải nghiệm để khám phá lại những tri thức toán học bằng cách của chính mình hay nói cách khác là toán học hóa suốt quá trình học Chương trình này nhằm mục tiêu

7 hỗ trợ phát triển và thực hiện chương trình hướng vào giải quyết vấn đề, đặc biệt là những vấn đề mở (xuất phát từ ngữ cảnh vấn đề) Tương tự như vậy, chương trình sách giáo khoa của Australia và Anh cũng chú trọng đến việc phát triển năng lực và hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức, kĩ năng và kinh nghiệm để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn Chương trình sách giáo khoa của Pháp định hướng cho học sinh thực hành “phương pháp tiếp cận khoa học”, trong đó học sinh phải biết: (i) quan sát, đặt câu hỏi, trình bày một giả thuyết và hợp thức hóa nó, tranh luận, mô hình hóa theo cách cơ bản; (ii) hiểu sự liên hệ giữa các hiện tượng tự nhiên và ngôn ngữ toán học được áp dụng ở đó và hỗ trợ mô tả các hiện tượng này” (dẫn theo [9]) Năm 2011, Peter Frejd & Jonas Bergman Ärlebäck đã nghiên cứu điều tra năng lực mô hình hóa toán học của học sinh trung học phổ thông Thụy Điển [21] Nghiên cứu sử dụng các phương pháp thống kê phi tham số, dữ liệu từ 381 học sinh được phân tích và năng lực mô hình hóa toán học của học sinh được mô tả theo bảy tiêu chí phụ Tác giả cũng đề cập đến các yếu tố ảnh hưởng đến năng lực mô hình hóa toán học của học sinh như: thái độ hứng thú đối với mô hình hóa, kinh nghiệm tích lũy, các khóa học trước đây, môi trường lớp học và đặc điểm giới tính,…

Năm 2012, bài viết về mô hình và mô hình hóa trong giáo dục toán học của

Mogens Niss đăng trên bản tin EMS Newsletter vào tháng 12 đã nhấn mạnh

mục đích, vị trí và vai trò của mô hình và mô hình hóa toán học Ông cho rằng mô hình hóa toán học có thể thúc đẩy động lực học tập của học sinh, hỗ trợ, củng cố việc hình thành khái niệm, khả năng cảm nhận và trải nghiệm về ý nghĩa của toán học trong thực tiễn Mô hình hóa Toán học có thể được dạy một cách hiệu quả cho học sinh ở các cấp khác nhau nhưng đòi hỏi sự đầu tư và nỗ lực cả về thiết kế bài giảng cẩn thận của giáo viên, sự tập trung của học sinh, môi trường lớp học cũng như đủ thời gian cho các hoạt động học tập diễn ra Vậy mô hình hóa Toán học cần được đưa vào giảng dạy một cách có bài bản, rộng rãi và hiệu quả [23]

8 Bài viết của RS Asempapa năm 2015 lập luận về việc triển khai các hoạt động mô hình hóa Toán học trong những năm tiểu học và trung học cơ sở tại Hoa Kỳ [17] Tác giả cũng bàn luận về những thách thức liên quan đến mô hình hóa Toán học từ góc nhìn của cả giáo viên và học sinh Các nhiệm vụ được minh họa trong bài viết đã cho thấy sự liên quan và tầm quan trọng của mô hình hóa Toán học Mô hình hóa Toán học là phương tiện để phát triển mạnh mẽ khả năng lý luận định lượng, kĩ năng giải quyết vấn đề và hình thành năng lực mô hình hóa trong những năm học đầu tiên Bài viết chứng minh rằng các nhiệm vụ mô hình hóa Toán học khuyến khích sự phát triển một loạt các thực hành toán học khác và kĩ năng học tập của thế kỷ XXI, đem lại sự hữu ích trong các tình huống thực tế và thế giới ngày nay

Các nghiên cứu, bài viết của các tác giả chủ yếu tập trung vào vai trò quan trọng của mô hình hóa Toán học, sự ảnh hưởng của mô hình hóa Toán học đến sự phát triển năng lực của học sinh, bàn luận và đưa ra các quy trình mô hình hóa Toán học khác nhau, nêu lên những khó khăn của học sinh khi gặp phải những bài toán thực tế để từ đó thiết kế và tổ chức hoạt động phát triển năng lực mô hình hóa Toán học của học sinh

1.1.2 Nghiên cứu ở trong nước

Năng lực mô hình hóa Toán học đang dần được quan tâm và chú trọng phát triển ở các cấp học Trong những bộ sách giáo khoa mới, những bài toán thực tế đã được đưa vào khá nhiều với mục đích khơi gợi hứng thú học toán của học sinh, giúp các em thấy được ứng dụng của toán học trong cuộc sống xung quanh, góp phần phát triển phẩm chất, năng lực cho các em Tuy nhiên việc đổi mới phương pháp dạy học để khai thác triệt để các bài toán thực tế ấy chưa được các thầy cô trú trọng và sử dụng có hiệu quả Do lượng kiến thức các em phải tiếp thu quá nhiều, bên cạnh đó áp lực về thời gian các tiết học, giáo án dạy học nên việc rèn luyện cho các em kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn còn khó khăn Những bài toán thực tế chỉ được các thầy cô giới thiệu hoặc

9 giải thích một cách qua loa cho học sinh mà chưa thực sự khai thác đúng vai trò của các bài toán ấy Chính vì vậy, năng lực mô hình hóa Toán học của học sinh chưa được phát triển đúng cách và triệt để

Dạy học theo định hướng phát triển năng lực mô hình hóa Toán học vẫn còn khá mới mẻ đối với giáo viên trong nhà trường ở Việt Nam, chưa có nhiều công trình nghiên cứu về việc dạy học theo định hướng phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh Cho đến bây giờ, các công trình nghiên cứu về mô hình hóa Toán học và phát triển năng lực mô hình hóa Toán học có thể kể đến một số tác giả với các công trình nghiên cứu dưới đây

Năm 2011, tác giả Trần Trung trong nghiên cứu “Vận dụng mô hình hóa vào dạy học môn Toán ở trường phổ thông” đã vận dụng quy trình mô hình hóa gồm 4 bước vào dạy học môn Toán Tác giả Trần Trung đã phân tích sự khác nhau khi sử dụng mô hình hóa ở cấp tiểu học và cấp trung học: Ở cấp tiểu học, mô hình hóa chủ yếu được sử dụng để giải các bài toán có lời văn, hoạt động mô hình hóa không thể hiện rõ nét; còn ở cấp trung học, với lượng kiến thức rộng, nhiều chủ đề thực tế, học sinh hoạt động nhóm và thảo luận tích cực hơn, hoạt động mô hình hóa thể hiện rõ ràng, góp phần kích thích khả năng sáng tạo, phát triển năng lực mô hình hóa của học sinh Tác giả cho rằng quá trình mô hình hóa là một vòng tròn khép kín, xuất phát từ việc chuyển các vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học, sau đó đánh giá kết quả của mô hình, điều chỉnh mô hình sao cho phù hợp với thực tiễn [16] Với sự phát triển của công nghệ thông tin và các thiết bị dạy học hiện đại ở trường học, giáo viên có thể dễ dàng thiết kế các hoạt động mô hình hóa trong mỗi tiết học, giúp học sinh có cơ hội thấy được mối liên hệ giữa toán học và thực tế cuộc sống, rèn luyện và phát triển năng lực toán học cho học sinh

Năm 2015, tác giả Nguyễn Danh Nam tìm hiểu về năng lực mô hình hóa trong học tập toán của học sinh phổ thông Tác giả khẳng định năng lực mô hình hóa của học sinh phổ thông Việt Nam còn nhiều hạn chế, đa số các em

10 chỉ đạt cấp độ thấp nhất Điều đó cho thấy chương trình giáo dục phổ thông hiện hành cần được chỉnh sửa phù hợp với nhu cầu phát triển năng lực toán học của học sinh, đặc biệt là năng lực mô hình hóa Toán học Những nội dung mang yếu tố thực tiễn cần được chú trọng và đưa vào chương trình nhiều hơn, giáo viên cần khai thác một cách bài bản và có hiệu quả ứng dụng của toán học trong cuộc sống, giúp học sinh thích thú với môn Toán và phát triển những năng lực quan trọng Nghiên cứu đã khẳng định việc đưa mô hình hóa vào dạy học là một phương pháp hiệu quả, phát triển năng lực mô hình hóa toán học của học sinh, giúp học sinh có cơ hội sử dụng những kiến thức toán học để giải quyết những vấn đề trong thực tiễn cuộc sống [7]

Năm 2019, tác giả Lê Hồng Quang đã có những nghiên cứu về “ Thực

trạng năng lực mô hình hóa toán học của học sinh trung học phổ thông” đã

chỉ ra rằng trong giảng dạy toán học, mô hình Toán học là một trong những công cụ mạnh mẽ thúc đẩy học tập hiệu quả Tác giả tìm hiểu thực trạng năng lực mô hình hóa Toán học của học sinh trung học phổ thông để đánh giá được những điểm mạnh và điểm hạn chế của của học sinh trong việc hình thành và phát triển năng lực quan trọng này Trong lúc giải quyết bài toán thực, học sinh đôi lúc quá tập trung vào các hiện tượng không phải bản chất, bỏ qua yếu tố bản chất của đối tượng dẫn đến việc chuyển đổi từ tình huống thực tiễn sang mô hình toán học còn gặp nhiều khó khăn Đa số học sinh thiếu tính kiên trì, không quyết tâm, lựa chọn dừng lại và bỏ qua; học sinh có vốn trải nghiệm nhưng thiếu kĩ năng vận dụng vốn trải nghiệm vào trong bài toán Thông qua bài nghiên cứu, có thể thấy việc đưa ra những biện pháp phát huy những điểm mạnh và khắc phục những khó khăn trên của học sinh trong việc rèn luyện và phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh là việc cấp bách và hết sức cần thiết [11]

Bài viết “Dạy học giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

theo phương pháp mô hình hóa” của tác giả Phan Văn Quynh đã chỉ ra

11 phương pháp mô hình hóa có vai trò quan trọng trong việc phát triển năng lực cho học sinh, đáp ứng được yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thông năm 2018, giúp nội dung giáo dục trở nên phong phú, gần gũi, gắn liền với đời sống thực tiễn, tạo hứng thú học tập cho học sinh Đồng thời, bài viết cũng đã đề xuất một số biện pháp sư phạm theo phương pháp mô hình hóa Các biện pháp được xây dựng xuyên suốt từ việc tạo động cơ mở đầu cho học sinh đến dạy học sinh hình thành kiến thức mới và cuối cùng là vận dụng kiến thức đó để giải quyết các bài toán thực tiễn Nghiên cứu của tác giả Phan Văn Quynh đã góp phần thúc đẩy việc áp dụng phương pháp mô hình hóa toán học vào giảng dạy môn toán một cách có hiệu quả và rộng rãi [12]

Năm 2020, trong nghiên cứu“Phát triển năng lực mô hình hóa toán học

cho học sinh thông qua dạy học nội dung Hình học 10” tác giả Trần Thị Hồng

Nhung đã thực hiện 3 biện pháp tại Trường Trung học phổ thông Bà Điểm gồm 44 học sinh hình thành tri thức mới cho học sinh thông qua hoạt động khảo sát một hay nhiều trường hợp riêng lấy từ thực tiễn, tăng cường xây dựng các tình huống gắn với đời sống thực tiễn để học sinh giải quyết tổ chức cho học sinh, khai thác vận dụng kiến thức đã học dựa trên các đồ dùng được làm từ vật liệu có sẵn trong cuộc sống thường ngày Nghiên cứu tập trung vào việc đưa các yếu tố thực tiễn vào trong dạy và học toán, tạo hứng thú cho học sinh, góp phần phát triển năng lực và phẩm chất của học sinh Kết quả nghiên cứu cho thấy học sinh phát huy được khả năng sáng tạo và vận dụng được vào thực tiễn hay nói cách khác năng lực mô hình hóa toán học của học sinh đã được cải thiện [10]

Năm 2020, trong bài báo “Thiết kế hoạt động mô hình hóa toán học trong

dạy học quan điểm “xấp xỉ x” của khái niệm giới hạn hàm số”, tác giả Phạm

Hoài Trung đã tổng hợp các khái niệm liên quan đến vấn đề mô hình hóa và định hướng thiết kế các hoạt động mô hình hóa trong dạy học toán, làm rõ ý nghĩa của khái niệm giới hạn hàm số Tác giả đã đưa ra định hướng thiết kế

12 hoạt động mô hình hóa Toán học như sau [15]:

- Xuất phát từ bài toán thực tế phải phù hợp với học sinh và chứa đựng những kiến thức toán học đã học

- Xác định danh mục kiến thức, kĩ năng toán học mà học sinh cần xây dựng mô hình toán học và giải quyết vấn đề bằng công cụ toán học

- Tạo mối liên hệ giữa các tình huống thực tế và toán học: làm rõ tình huống hơn (lý tưởng hóa, đơn giản hóa, chuyên biệt hóa), đưa ra các giả định phù hợp, xác định các biến trong một tình huống, thu thập dữ liệu thực tế về tình hình, mô tả chi tiết các tình huống mô hình hóa

Định hướng giúp giáo viên dễ dàng hơn trong việc thiết kế hoạt động mô hình hóa cho học sinh, phù hợp với mục đích và vai trò của mô hình hóa trong toán học Tác giả cũng đã xây dựng một số hoạt động minh họa dựa theo định hướng trên góp phần giúp học sinh được rèn luyện năng lực mô hình hóa Toán học: Khả năng vận dụng kiến thức giải các bài toán, khả năng vận dụng các kết luận toán học để giải thích chúng trong thực tế cuộc sống

Năm 2023, tác giả Cao Thị Hà trong bài viết “Phát triển năng lực mô hình

hóa cho học sinh trong dạy học Hàm số lớp 10 trung học phổ thông” đã trình

bày một cách có hệ thống các khái niệm liên quan đến mô hình hóa và năng lực mô hình hóa Bài viết cũng phân tích vai trò và tiềm năng của nội dung Hàm số trong việc phát triển năng lực mô hình hóa và đề xuất một số biện pháp để phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh: Rèn luyện cho học sinh kĩ năng chuyển ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ Toán học và kĩ năng xác định các biến số, tham số liên quan và mối liên hệ giữa các biến số; Tạo tình huống yêu cầu phân tích mô hình dựa trên biểu đồ, đồ thị với số liệu thực tế giúp học sinh thu nhận được những kiến thức cơ bản về hàm số, hiểu được giá trị của kiến thức hàm số, đồng thời phát triển được năng lực mô hình hóa, năng lực giải quyết vấn đề [4]

Ngoài những tác giả và bài nghiên cứu được nhắc đến ở trên, hiện nay, ở

13 Việt Nam còn rất nhiều luận văn, luận án nghiên cứu về năng lực mô hình hóa toán học của học sinh như:

- Nguyễn Thị Tân An (2012) với bài báo “Sự cần thiết của mô hình hóa trong

dạy học toán” trên Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh

- Nguyễn Thị Tân An (2013) với bài báo “Xây dựng các tình huống dạy học hỗ trợ quá trình toán học hóa” trên Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh

- Nguyễn Thị Nga (2014) với bài báo “Bàn về vấn đề dạy học mô hình hóa toán học ở trường phổ thông” trên Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Hà Nội

- Nguyễn Danh Nam (2015) với bài báo nghiên cứu “Quá trình mô hình hóa trong dạy học Toán ở trường phổ thông” trên Tạp chí Khoa học Đại học Quốc gia Hà Nội; bài báo “Năng lực mô hình hóa toán học của học sinh phổ thông” và “Thiết kế hoạt động mô hình hóa trong dạy học môn toán” trên Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Hà Nội

- Nguyễn Danh Nam (2016) với báo cáo tổng kết Đề tài khoa học và công nghệ cấp bộ nghiên cứu “Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán ở trường phổ thông”

- Lê Văn Hồng (2017) với đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường “Chuẩn bị của sinh viên sư phạm toán nhằm dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trung học cơ sở”

- Lê Văn Hồng (2018) với nghiên cứu “Hoạt động học tập toán học và phát triển năng lực toán học trong chương trình giáo dục phổ thông mới” trong Kỷ yếu Hội thảo Khoa học toàn quốc “Đổi mới công tác đào tạo bồi dưỡng đáp ứng chương trình giáo dục phổ thông mới, các chuẩn nghề nghiệp và nhu cầu sử dụng lao động ở các địa phương”

- Lê Thị Hoài Châu (2014) với bài báo “Mô hình hóa trong dạy học khái niệm Đạo hàm” trên Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh

- Trần Kiêm Minh (2015) với bài báo “Một cách tiếp cận mô hình hóa về dạy

14 học hàm số và đóng góp của công nghệ” trên Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Hà Nội

- Dương Hữu Tòng và Trần Văn Tuấn (2016) với bài báo “Dạy học bằng mô hình hóa toán học: một chiến lược dạy học khái niệm logarit ở trường phổ thông” trên Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ

- Luận văn thạc sỹ khoa học giáo dục của Phạm Việt Hà (2016) với đề tài “Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình” - Phạm Thị Diệu Thùy – Dương Thị Hà (2017) với bài báo “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trung học cơ sở trong dạy học giải toán bằng cách lập phương trình” trong Tạp chí Giáo dục số 422 (kì 2)

Tuy nhiên, để đi sâu vào phát triển năng lực mô hình hóa toán học trong nội dung Đạo hàm, đánh giá được mức độ biểu hiện của năng lực này đối với học sinh lớp 11, cung cấp đủ các cơ sở lí luận và thực tiễn, cũng như việc lựa chọn phương pháp dạy học để nâng cao năng lực toán học ở học sinh Vì vậy việc bổ sung các nghiên cứu và dạy học, đánh giá phát triển năng lực mô hình hóa Toán học ở học sinh trung học phổ thông là điều hết sức cần thiết

1.2 Mô hình hóa toán học và một số khái niệm liên quan

1.2.1 Mô hình hóa toán học 1.2.1.1 Mô hình, mô hình hóa

Mô hình là đồ vật thay thế hay ý niệm (tư duy có chủ định) phản ánh một

sự vật hay quá trình có thật đang tồn tại hoặc có thể sẽ xuất hiện trong thế giới, cho biết những thuộc tính bản chất nhất, những nguyên lí cơ bản nhất, những đặc điểm nổi bật nhất hiện có hoặc sẽ có của nó một cách tinh giản, khái quát và minh bạch

Hay mô hình là một vật thay thế hay làm đại diện cho sự vật, hiện tượng mà ta quan tâm [20]

Quan niệm khác lại cho rằng mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh

15 họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, một hệ thống hay một khái niệm Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ đến mô hình theo ý nghĩa vật lý, đó là bản sao, thường thì nhỏ hơn của một đối tượng [26]

Theo Đặng Thành Hưng (2017) [6], mô hình có hai chức năng chung: - Tái tạo sự vật, quá trình đang có thật hoặc đã từng tồn tại, ví dụ quả địa cầu là mô hình của trái đất, mô hình sản xuất thời phong kiến, v.v Chức năng này của mô hình được sử dụng để dạy học, đào tạo, minh họa, giải thích hoặc khái quát hóa để cho người khác hiểu sự vật khi nó không trực tiếp tồn tại trước mắt

- Phản ánh bằng dự báo, suy luận, giả tưởng về sự vật sẽ xuất hiện hoặc mong muốn sẽ có, ví dụ mô hình kinh doanh, mô hình phát triển bền vững v.v Chức năng này của mô hình được sử dụng trong nghiên cứu, nhận thức khoa học, chế tạo hay thiết kế kĩ thuật

Có thể thấy rằng, mỗi tác giả, mỗi nhà nghiên cứu lại định nghĩa mô hình theo một cách khác nhau nhưng nhìn chung mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu Thông qua việc nghiên cứu mô hình, ta có thể biết được các đặc điểm, tính chất của đối tượng mà không cần nghiên cứu trực tiếp vật thật Chính vì vậy mà mô hình phải bảo toàn được những thuộc tính bản chất, các mối quan hệ cơ bản của vật thật, lược bỏ đi những đặc điểm không bản chất, không phải là cốt lõi Mô hình sử dụng trong dạy toán có thể là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các mô hình ảo trên máy vi tính,… [9]

Mô hình hóa được biết đến như một phương pháp dạy học, cung cấp cho học

sinh hiểu khái niệm của vấn đề, giúp cho học sinh đọc hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên các tình huống thực tế Mô hình hóa còn giống như một phương pháp nghiên cứu khoa học, giúp học sinh biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào các lĩnh vực khác nhau Đây chính là

16 môi trường để học sinh khám phá các kiến thức toán học ( Nguyễn Danh Nam 2016) [9]

Tóm lại, mô hình được dùng để mô tả một thực tiễn nào đó, song mô hình không thể thay thế cho vật mẫu Mô hình hóa là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết vấn đề nào đó xuất phát từ tình huống thực tiễn

1.2.1.2 Mô hình hóa toán học

Edwards và Hamson (2001) đã định nghĩa mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi từ một vấn đề thực tiễn sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu các giải quyết không phù hợp (dẫn theo [9])

Nguyễn Danh Nam lại cho rằng mô hình hóa toán học là quá trình vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống của thực tế bằng cách toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống [8] Một vài mô hình toán học cơ bản có thể kể đến như: các đồ thị, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình hay hệ bất phương trình,

Theo OECD năm 2003, mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi từ tình huống thực tế thành cấu trúc toán học, giải thích các mô hình toán học theo nghĩa thực tế, làm việc với một mô hình toán học, làm cho mô hình phù hợp, phản ánh, phân tích và đưa ra sự phê phán cũng như các kết quả của nó (bao gồm hạn chế của các kết quả), giám sát và điều khiển quá trình mô hình hóa (dẫn theo [14])

Các định nghĩa trên đều có một điểm chung, chỉ ra mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học bằng cách xây dựng mô hình toán học mô tả lại tình huống thực tế, giải quyết mô hình toán học đó bằng công cụ toán học, đánh giá kết quả, kiểm tra độ phù hợp với tình huống thực tiễn để cải tiến và điều chỉnh mô hình, quá trình có thể phải lặp đi lặp lại cho đến khi có được một kết quả mong muốn

17 Ở bậc tiểu học, giáo viên sử dụng các hình vẽ, hình khối, vật liệu cụ thể, hình vẽ, sơ đồ và hình ảnh để trình bày các phép tính số học như: cộng, trừ, nhân, chia Ở bậc trung học, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh sử dụng đồ thị và các phương trình để biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng Ở trường trung học phổ thông, học sinh được dạy về các hàm tuyến tính, hàm số bậc hai, hàm số mũ, hàm số lượng giác, hàm số logarit, hình không gian, Những mô hình này thể hiện những tình huống hoặc hiện tượng phức tạp xung quanh cuộc sống của học sinh

Vậy mô hình hóa toán học đã giúp học sinh rèn luyện các kĩ năng: đơn giản hóa các giả thuyết, làm rõ mục tiêu, xác định các biến số và tham số, xây dựng bài toán, lựa chọn hoặc xây dựng mô hình toán học, biểu diễn đồ họa và liên hệ trở lại tình huống thực tiễn Vì vậy, giáo viên cần cung cấp cho học sinh câu hỏi hoặc gợi ý hỗ trợ học sinh trong quá trình mô hình hóa bài toán Giáo viên cần tìm kiếm các tình huống thực tế và đưa chúng vào lớp học nhằm giúp học sinh hiểu được bản chất của các khái niệm toán học cũng như ứng dụng của chúng trong cuộc sống

Việc đưa mô hình hóa Toán học vào giảng dạy và học tập là vô cùng cần thiết bởi những lý do sau:

- Mô hình hóa Toán học là một phương tiện góp phần phát triển năng lực và phẩm chất của học sinh như: năng lực giải quyết vấn đề (giải quyết vấn đề thực tiễn); năng lực tư duy và lập luận toán học (tìm ra hàm mục tiêu và mối liên hệ giữa các biến với yêu cầu của đề bài); năng lực sử dụng công cụ và phương tiện toán học (sử dụng bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn); năng lực mô hình hóa Toán học (mô hình tình huống thực tế thành bài toán giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn);…Đồng thời, mô hình hóa kích thích tính sáng tạo, tò mò, tính kiên trì, cẩn thận của học sinh trong quá trình mô hình hóa

- Mô hình hóa Toán học cho phép học sinh thấy được mối liên hệ giữa kiến

18 thức toán học trên lớp với những sự vật, hiện tượng của cuộc sống, giúp học sinh thấy việc học toán thực sự có ích

- Mô hình hóa hỗ trợ học sinh hình thành khái niệm, hiểu khái niệm…, tạo động cơ cho học sinh tham gia vào các hoạt động hình thành kiến thức, đặc biệt củng cố việc hiểu toán khi áp dụng vào những tình huống mới

Tóm lại, mô hình hóa toán học sẽ cung cấp cho học sinh cơ hội tiềm năng

để kết nối kiến thức toán học trên lớp với đời sống thực tế, xã hội của các em Học sinh sẽ sử dụng mô hình đã được tạo để giải thích các hiện tượng trong thế giới thực, đưa ra phỏng đoán, đưa ra lập luận và dự báo các tình huống trong tương lai Vì vậy chúng ta có thể coi mô hình hóa Toán học trong lớp học là một phương pháp giảng dạy tích cực và học sinh có thể học toán một cách có ý nghĩa nếu mô hình này được áp dụng phổ biến

1.2.2 Quy trình mô hình hóa toán học

Nhiều nhà khoa học đã tìm hiểu và đề xuất quy trình mô hình hóa Đầu tiên, có thể kể đến quy trình mô hình hóa của Pollak năm 1970 [25]:

Sơ đồ 1.1 Quy trình mô hình hóa của Pollak

Quy trình mô hình hóa của Pollak có thể coi là quy trình đầu tiên và sơ khai

nhất về mô hình hóa Sơ đồ trên thể hiện mối liên hệ theo hai chiều của thế giới toán học và thế giới thực Từ một tình huống trong thế giới thực, con người chuyển đổi sang bài toán toán học bằng ngôn ngữ toán học và công cụ toán học Tiếp theo, con người sẽ giải bài toán toán học đó bằng các kiến thức toán học, kết quả của bài toán sẽ được sử dụng để giải quyết vấn đề thực tiễn trong thế giới thực Thế giới thực sẽ phản ánh lại mô hình và kết quả toán học để điều chỉnh mô hình

19 phù hợp nhất Quá trình này lặp đi lặp lại cho đến khi tình huống trong thực tế được giải quyết một cách hiệu quả và hợp lí Vì vậy, thế giới thực và thế giới toán học có mối liên hệ tương tác qua lại, điều này chứng tỏ ứng dụng của toán học trong thực tế là rất quan trọng

Năm 1988, Mason đã đưa ra bảy giai đoạn chính trong mô hình hóa (dẫn theo [22]):

Sơ đồ 1.2 Các giai đoạn chính trong mô hình hóa (phỏng theo Mason, 1988)

Giai đoạn 1: Phân tích dữ kiện trong tình huống thực tế, hiểu rõ yêu cầu của tình huống thực tế

Giai đoạn 2: Diễn tả tình huống thực tế bằng cách lựa chọn các biến phù hợp, lựa chọn mô hình toán học

Giai đoạn 3: Xây dựng bài toán toán học dựa trên mô hình đã chọn bằng các công thức, các mối liên hệ giữa các biến, hàm mục tiêu

Giai đoạn 4: Giải bài toán toán học vừa thành lập bằng các công cụ toán học Giai đoạn 5: Diễn giải kết quả của bài toán toán học trong ngữ cảnh thực tế Giai đoạn 6: Xác thực tính phù hợp của kết quả và mô hình được thiết lập, nếu không phù hợp, quá trình mô hình hóa được lặp lại

Giai đoạn 7: Báo cáo, trình bày cách giải quyết và đưa ra dự đoán cho các tình huống thực tế tiếp theo

Sơ đồ mô hình hóa của Mason mở rộng hơn, hoàn thiện hơn so với quy trình

20 mô hình hóa của Pollak Cái cốt lõi vẫn là chuyển từ vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học nhưng sơ đồ thể hiện một cách chi tiết các giai đoạn, hỗ trợ học sinh mô hình hóa dễ dàng và hiệu quả hơn

Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) đã đưa ra quá trình mô hình hóa gồm 4 bước [3]:

Sơ đồ 1.3 Quá trình mô hình hóa (phỏng theo Coulange, 1997)

Bước 1: Xây dựng mô hình mô phỏng thực tiễn của vấn đề, xác định những yếu tố quan trọng của vấn đề và mục tiêu đặt ra của vấn đề

Bước 2: Diễn tả mô hình phỏng thực tiễn bằng ngôn ngữ toán học, thiết lập mô hình toán học cho vấn đề thực tiễn đó

Bước 3: Giải bài toán toán học bằng các công cụ toán học Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được của bài toán toán học; xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực

21 tiễn ban đầu Nếu kết quả không phù hợp thì quá trình phải lặp lại đến khi tìm được câu trả lời phù hợp cho vấn đề thực tiễn ban đầu

Một quy trình mô hình hóa nữa cũng được nhiều nhà nghiên cứu sử dụng, đó chính là quy trình mô hình hóa của Swetz & Hartzler (1991), quy trình này có những điểm khác với quy trình trên, nó gồm bốn giai đoạn [26]:

Sơ đồ 1.4 Quy trình mô hình hóa (theo Swetz & Hartzler, 1991)

- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Toán học hóa là quá trình người học chuyển

đổi vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học bằng cách thực hiện quy trình mô hình hóa các giả thiết tương ứng Học sinh phải thực sự hiểu mục tiêu của tình huống thực tiễn, các yếu tố bao hàm trong tình huống đó, phải xác định được các khái niệm toán học liên quan, mối quan hệ toán học giữa các biến Tiếp đó, học sinh sẽ thiết lập mô hình hóa tương ứng như phương trình, bất phương trình, đồ thị, hàm số, hình vẽ, biểu đồ,

- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Việc lựa chọn phương pháp giải toán nào cho

phù hợp với mô hình được thiết lập ở trên sẽ phụ thuộc vào trình độ và kinh nghiệm của các em học sinh Kiến thức được học trên lớp là như nhau, nhưng độ thành thạo và sáng tạo trong giải toán của mỗi cá nhân học sinh là khác nhau, nó phụ thuộc vào năng lực, tư duy và phẩm chất học tập của các em

- Giai đoạn 3 (Thông hiểu): Giai đoạn thông hiểu có vai trò rất quan trọng

trong quá trình mô hình hóa Bởi nó sẽ quyết định người học có tìm được ra

22 những hạn chế của mô hình đã thiết lập hay không, khi nhìn ra được hạn chế đó, người học mới có những bước tiếp theo để cải tiến mô hình phù hợp với yêu cầu của tình huống trong thực tiễn Điều đó sẽ quyết định mô hình sau khi cải tiến sẽ được ứng dụng trong thực tế

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu): Sau khi tìm ra những điểm hạn chế của kết quả

và mô hình toán học, người học sẽ xem xét lại giả thuyết, các bước giải toán, các khái niệm toán học, các biến số, các công thức đã sử dụng trong lời giải, điều chỉnh sai sót, cải tiến mô hình phù hợp với tình huống thực tiễn

Nhìn chung, các quy trình mô hình hóa của các nhà nghiên cứu trên đều có điểm chung là học sinh xuất phát từ tình huống thực tiễn, diễn đạt, mô tả tình huống đó bằng ngôn ngữ toán học (giả thuyết, phương trình, hàm số, biến, công thức, biểu đồ, ), chuyển đổi từ tình huống thực tế thành bài toán toán học Tiếp đó, học sinh sử dụng công cụ toán học và kiến thức toán học của mình để giải bài toán toán học vừa thành lập, đưa ra kết quả, hiểu ý nghĩa của lời giải và kết quả trong thực tiễn Cuối cùng, học sinh áp dụng mô hình và kết quả bài toán để giải quyết tình huống thực tiễn ban đầu, tìm ra những khó khăn và hạn chế của mô hình, điều chỉnh mô hình sao cho phù hợp ngữ cảnh thực tiễn nếu cần thiết Tác giả luận văn sẽ dựa trên sơ đồ 1.4 Quy trình mô hình hóa (theo Swezt & Hartzler, 1991) để cụ thể hóa quy trình mô hình hóa được sử dụng trong luận văn

Quy trình mô hình hóa Toán học được hiểu là quá trình thu thập, hiểu và

phân tích các thông tin toán học và áp dụng toán học để mô hình hóa các tình huống thực tiễn thông qua sử dụng các công cụ và ngôn ngữ Toán học phổ biến như công thức, thuật toán, phương trình, hệ phương trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu, để thiết lập sơ đồ quá trình mô hình hóa các tình huống thực tiễn trong dạy học môn toán [8]

23 Theo tác giả Nguyễn Danh Nam (2016), quy trình mô hình hóa được vận hành một cách linh hoạt, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được các yêu cầu cụ thể của từ giai đoạn sau đây [9]:

Sơ đồ 1.5 Quy trình mô hình hóa trong dạy học môn toán theo

Nguyễn Danh Nam (2016)

Giai đoạn 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn): Hiểu rõ vấn đề thực

tiễn, xây dựng giải thuyết sau đó mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Đây là quá trình chuyển đổi tình huống thực tiễn sang toán học bằng cách xây dựng mô hình hóa toán học tương ứng

Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Sử dụng kiến thức toán học thích hợp để giải

quyết bài toán đã được toán học hóa Để giải được bài toán, học sinh cần phải có phương pháp phù hợp, công cụ toán học tối ưu để xây dựng và giải quyết vấn đề toán học một cách hiệu quả

Giai đoạn 3 (Thông hiểu): Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán với tình

huống thực tiễn ban đầu Học sinh cần phát hiện được ưu - nhược điểm của kết quả toán học vào tình huống thực tiễn

Giai đoạn 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Đối chiếu với giả thuyết, tìm

hiểu những hạn chế của mô hình toán học, lời giải của bài toán, xem xét các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu để cải tiến mô hình, xây dựng mô hình mới Ở bước này, có thể xảy ra hai trường hợp:

24 Trường hợp 1: Mô hình và kết quả tính toán phù hợp với thực tiễn Khi đó, cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các công cụ toán học đã sử dụng và kết quả thu được

Trường hợp 2: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tiễn Khi đó, cần tìm hiểu nguyên nhân và hạn chế Mô hình toán học xây dựng đã phù hợp hay chưa, có phản ánh được đầy đủ thực tiễn hay không? Nếu chưa cần xây dựng lại, điều chỉnh sao cho phù hợp

Trong dạy học chủ đề Đạo hàm – Giải tích 11, việc thực hiện quy trình mô hình hóa luôn tuân theo một cơ chế linh hoạt, mềm dẻo và có sự điều chỉnh phù hợp với các bài toán thực tế để vấn đề trở nên đơn giản, dễ hiểu hơn đối với học sinh phổ thông, giúp toán học gần hơn với thực tiễn để học sinh có thể vận dụng các kiến thức toán học vào giải quyết các bài toán thực tiễn Do đó để phù hợp với thực tiễn dạy học, quá trình mô hình hóa một vấn đề thực tiễn phỏng theo Coulange (1997) được đề cập trong tài liệu bồi dưỡng giáo viên môn toán theo các yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thông tổng thể 2018 [2]

Sơ đồ 1.6 Quá trình mô hình hóa toán học phỏng theo Coulange (1997)

Quá trình này gồm 4 giai đoạn:

Giai đoạn 1: Chuyển hệ thống ngoài toán học thành mô hình trung gian Xây

dựng mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan

25 trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng ta phải tuân theo

Giai đoạn 2:Chuyển mô hình trung gian thành mô hình toán học (xây dựng mô hình toán học) Khi có mô hình trung gian ta chọn các biến đặc trưng cho

các yếu tố của hình huống Từ đó dẫn đến việc lập mô hình toán học thiếp lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham số của tình huống

Giai đoạn 3: Hoạt động toán học trong mô hình toán học (giải quyết bài toán toán học) Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết mô hình toán

Căn cứ vào bốn giai đoạn trên, người dạy có thể xây dựng các bước dạy học tương ứng để triển khai dạy học như sau:

(i) Đối với dạy học mô hình hóa:

Bước 1: Dạy học tri thức toán học (giới thiệu định nghĩa khái niệm, định lí,

hệ quả, công thức, )

Bước 2: Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các tình huống thực tiễn mà ở

đó cần đến MHH toán học (ii) Đối với dạy học bằng mô hình hóa:

26

Bước 1: Nêu vấn đề thực tiễn Bước 2: Xây dựng mô hình toán học Bước 3: Tìm kiếm câu trả lời cho vấn đề thực tiễn Bước 4 Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy (khái niệm, định lí, hệ quả, công

thức, ) sinh ra từ trong quá trình giải quyết vấn đề

Ví dụ 1 Một sợi dây không giãn có độ dài 16cm Hãy gấp sợi dây theo một

hình chữ nhật sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tính diện tích của hình chữ nhật đó

Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích đề bài

và học sinh mô hình hóa được chiều dài sợi dây là chu vi hình chữ nhật Từ đó tìm được tổng của chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật

Gọi x(cm)(0 x 8)là chiều dài của hình chữ nhật Do đó chiều rộng hình chữ nhật là 8-x (cm)

 Diện tích hình chữ nhật là: 2

S(x)x(8 x)(cm )

Giai đoạn 2 (Giải bài toán):

Để xác định diện tích lớn nhất của hình chữ nhật cần tìm giá trị lớn nhất của

S(x)  x8xHàm số bậc hai với hệ số a  1 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh

Giai đoạn 3 (Thông hiểu): Học sinh dựa vào kiến thức đã học đi tìm giá trị lớn

nhất của hàm số S(x) Từ đó tính được diện tích lớn nhất của hình chữ nhật bằng

2

16(cm ) khi chiều dài hình chữ nhật bằng 4cm và chiều rộng hình chữ nhật bằng 4cm

Giai đoạn 4 (Đối chiếu): Ở bước này, giáo viên cần làm rõ khả năng ứng

dụng vào các bài toán thực tế Vấn đề tìm được là kích thước của hình chữ nhật để hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

27

Ví dụ 2 Gia đình ông Quang nuôi tôm với diện tích ao nuôi là 2

100m Vụ tôm vừa qua ông nuôi với mật độ là 2

1kg / m tôm giống và sản lượng tôm khi thu hoạch được khoảng 2 tấn tôm Với kinh nghiệm nuôi tôm nhiều năm, ông cho biết cứ thả giảm đi 2

200g / m tôm giống thì sản lượng tôm thu hoạch được khoảng 2,2 tấn Em hãy tư vấn cho gia đình ông Quang để vụ tôm tới gia đình ông có thu hoạch là lớn nhất? (Giả sử không có dịch bệnh, hao hụt khi nuôi tôm giống)

Giai đoạn 1 (Toán học hóa):

Số tôm giống ông Quang thả trong vụ vừa qua là: 100x1 100kg

Sản lượng tôm thu hoạch được trong vụ vừa qua là: 2000kg

Số tôm giống theo kinh nghiệm của ông Quang là: 100 0,8 80kg 

Sản lượng tôm thu hoạch được theo kinh nghiệm là: 2200kg

Gọi x(kg) là số tôm giống cần thả ít đi trong vụ tới 0 x 100

Vậy sản lượng tôm thu hoạch trong vụ tới là: (100

Giai đoạn 3 (Thông hiểu): Học sinh dựa vào kiến thức đã học đi tìm giá trị

lớn nhất của hàm số f(x) Từ đó tính được để vụ tôm tới gia đình ông Quang thu hoạch lớn nhất thì ông Quang cần thả số tôm giống là: 1007076,67 kg

3

Giai đoạn 4 (Đối chiếu): Ở bước này, giáo viên cần làm rõ khả năng ứng

28 dụng vào các bài toán thực tế Vấn đề tìm được là số lượng tôm giống để vụ tôm tới gia đình ông Quang thu hoạch lớn nhất

Ngoài những quy trình mô hình hóa của các tác giả trên, tác giả Nguyễn Danh Nam còn đề xuất quy trình bảy bước tổ chức hoạt động mô hình hóa [9]:

Sơ đồ 1.7 Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa

Nội dung cụ thể từng bước như sau: Bước 1: Tìm hiểu, đơn giản hóa vấn đề thực tiễn, xác định giả thuyết đã cho, lựa chọn biến số phù hợp với yêu cầu của vấn đề thực tiễn

Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả tình huống thực tiễn

Bước 4: Sử dụng các công cụ toán học để giải bài toán Bước 5: Hiểu được lời giải của bài toán và ý nghĩa của mô hình toán học trong thực tiễn

Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình (phân tích ưu điểm và hạn chế của mô hình), kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng

Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình phù hợp với thực tiễn

1.2.3 Cấp độ mô hình hóa

Để học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức, các tình huống và bài tập mô hình

29 hóa cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh tự mình giải quyết được vấn đề của bài toán có ảnh hưởng rất lớn về mặt tâm lý Nếu học sinh gặp thất bại ngay từ bài toán đầu tiên dễ làm cho học sinh nản chí, dễ gây mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho quá trình học tập Chính vì vậy, khi thiết kế hoạt động mô hình hóa, bài tập mô hình hóa giáo viên cần chú ý đến các cấp độ mô hình hóa Theo Ludwig và Xu (2010) về các đánh giá cấp độ mô hình hóa (dẫn theo [6])

Cấp độ 0: Học sinh không hiểu tình huống, không thể phác thảo hay viết bất

cứ cái gì cụ thể về vấn đề

Cấp độ 1: Học sinh chỉ hiểu tình huống tình huống thực tiễn nhưng không

thể đơn giản hóa tình huống hoặc không thể tìm được mối liên kết đến một ý tưởng toán học nào

Cấp độ 2: Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được hai kĩ năng mô hình hóa đầu

tiên Tức là tìm hiểu được vấn đề thực tiễn xuất hiện trong tình huống, học sinh tìm mô hình thật qua cấu trúc và đơn giản hóa Tuy nhiên, học sinh không biết chuyển đổi thành một vấn đề hay bài toán toán học

Cấp độ 3: Học sinh tìm tòi xây dựng mô hình, biến mô hình từ thực tiễn sang

ngôn ngữ toán học Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được các kĩ năng mô hình hoá từ 1 đến 4

Cấp độ 4: Học sinh có thể xây dựng mô hình từ tình huống thực tiễn sang mô

hình toán học, sử dụng kiến thức toán học để giải bài toán và đưa ra kết quả cụ thể

Cấp độ 5: Học sinh có thể trải nghiệm quá trình mô hình hoá toán học và

kiểm nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được đầy đủ 8 kĩ năng mô hình hoá ở trên

1.3 Năng lực mô hình hóa Toán học và dạy học phát triển năng lực mô hình hóa Toán học

1.3.1 Năng lực mô hình hóa Toán học

1.3.1.1 Năng lực

30 Có nhiều các định nghĩa khác nhau về năng lực toán học:

- Theo Blum & Jensen (2007): Năng lực toán học là khả năng sẵn sàng hoạt động để đáp ứng với thách thức toán học của các tình huống nhất định (dẫո theo [13])

- Theo Niss (2001): “Năng lực toán học như khả năng của cá nhân để sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học (để hiểu, quyết định và giải thích)” [23]

Hiện nay, chương trình môn Toán cấp Trung học phổ thông ở Việt Nam được xây dựng theo định hướng phát triển năng lực của người học Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể 2018 đã chỉ ra năng lực toán học cần hình thành và phát triển cho người học qua dạy học môn Toán Trung học phổ thông bao gồm các thành tố: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học [2]

- Năng lực tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch; chỉ ra được những chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận; giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học

- Năng lực mô hình hóa toán học: Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế; giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập; thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu các giải quyết không phù hợp

- Năng lực giải quyết vấn đề toán học: Nhận biết, phát hiện được vấn đề giải quyết bằng toán học; đề xuất, lựa chọn được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề; sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra; đánh giá giải pháp đề ra và khái