Phân tích tính dương và tính Ổn Định của hệ cặp phương trình vi – sai phân với trễ phụ thuộc thời gian

Phân tích tính dương và tính Ổn Định của hệ cặp phương trình vi – sai phân với trễ phụ thuộc thời gian Phân tích tính dương và tính Ổn Định của hệ cặp phương trình vi – sai phân với trễ phụ thuộc thời gian

Phép biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.1 Biến đổi Laplace của hàm số f(t) với t ≥ 0 được định nghĩa bởi tích phân suy rộng

Phép biến đổi Laplace của hàm f(t) tồn tại nếu tích phân (1.1) hội tụ.

Trường hợp ngược lại ta nói biến đổi Laplace của hàmf(t) không tồn tại.

Bổ đề 1.2 (Boyce, Diprima và Meade, 2017) Giả sử (i) Hàm f liên tục từng khúc trên đoạn [0, A] bất kỳ, A > 0;

(ii) |f(t)| ≤Ke at , với t≥M, trong đó K >0, a, M >0.

Khi đó biến đổi Laplace (1.1) của hàm f(t) tồn tại với s > a.

Từ định nghĩa của biến đổi Laplace và tính chất tuyến tính của tích phân, ta dễ dàng chỉ ra được phép biến đổi Laplace có tính chất tuyến tính, nghĩa là, với c 1 , c 2 là các số thực, và tồn tại biến đổi Laplace của các hàm số f 1 (t), f 2 (t), ta có

L c 1 f 1 (t) +c 2 f 2 (t) =c 1 L f 1 (t) +c 2 L f 2 (t) Tính chất tuyến tính là một trong các tính chất cơ bản của phép biến đổiLaplace.

Bổ đề 1.3 (Boyce, Diprima và Meade, 2017) Giả sửf là hàm liên tục vàf ′ là hàm liên tục từng khúc trên mọi đoạn [0, A], A >0 Giả sử tồn tại các hằng số K, a, M sao cho |f(t)| ≤Ke at , với t≥ M Khi đó L f ′ (t) tồn tại với s > a, ngoài ra

Nếu các hàm f ′ và f ′′ thỏa mãn các điều kiện tương tự được áp đặt cho f và f ′ tương ứng trong Bổ đề 1.3, thì biến đổi Laplace của f ′′ cũng tồn tại với s > a và được cho bởi

Tương tự, với điều kiện hàm sốf và các đạo hàm của nó thỏa mãn các điều kiện thích hợp thì ta có thể đưa ra biểu thức biến đổi Laplace của f (n) bằng cách áp dụng liên tiếp bổ đề này Khi đó, ta có

L{f (n) (t)}=s n L{f(t)} −s (n−1) f(0)− ã ã ã −sf (n−2) (0)−f (n−1) (0). Định lý 1.4 (Định lý giá trị cuối) Giả sử tồn tại biến đổi Laplace của f(t) và f ′ (t), L{f(t)}= F(s) và tồn tại giới hạn lim t→∞f(t), thì t→∞lim f(t) = lim s→0sF(s).

Theo công thức biến đổi Laplace, ta có

Theo tính chất vi phân của biến đổi Laplace, ta có

Bằng cách lấy giới hạn khi s→ 0 hai vế của biểu thức trên, ta được lims→0

Khi đó t→∞lim f(t)−f(0) = lim s→0 sF(s)−f(0)

. Vì vậy, ta có t→∞lim f(t) = lim s→0sF(s).

Một số khái niệm về tính ổn định

Định nghĩa 1.5 Ma trận vuông A ∈ R n×n được gọi là Metzler nếu tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính của nó không âm, tức là a ij ≥ 0,

Bổ đề 1.6 (Kaczorek, 2002) Ma trận lũy thừa e At ⪰ 0 với mọi t ≥ 0 khi và chỉ khi A là ma trận Metzler.

Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử e At ⪰ 0, với mọi t ≥ 0, ta cần chứng minh A là ma trận Metzler.

Khai triển ma trận e At dưới dạng e At = I +At+ A 2 t 2

⪰0, với 0≤ t≪ 1 và A là ma trận Metzler. Điều kiện đủ: Giả sử A là Metzler, ta cần chỉ ra e At ⪰ 0, với mọi t≥0.

Do A là ma trận Metzler nên tồn tại λ > 0 sao cho A+λI ⪰ 0, ta có e At =e (A+λI )t−λIt =e (A+λI )t e −λIt =e −λIt e (A+λI)t

Do e (A+λI)t ⪰ 0 và e −λIt = e −λt I ⪰ 0, với mọi t≥ 0, nên ta có e At ⪰ 0, với mọi t≥ 0. Định nghĩa 1.7 Ma trận vuông A ∈ R n×n được gọi là ổn định Schur nếu tất cả các giá trị riêng của nó đều nằm trong hình cầu đơn vị mở, tức là ρ(A)< 1. Định nghĩa 1.8 Ma trận vuông A∈ R n×n được gọi là ổn định Hurwitz nếu tất cả các giá trị riêng của nó đều có phần thực âm, tức là s(A)< 0. Định lý 1.9 (Định lý Perron – Frobenius cho ma trận không âm, Meyer, 2000).

Cho ma trận M ∈R n×n , n ≥2 là ma trận không âm Khi đó, r :=ρ(M) là một giá trị riêng của M và tồn tại một véctơ x⪰ 0, x̸= 0 sao cho M x=rx.

Vì chứng minh của Định lý 1.9 tương đối dài và phức tạp nên ta sẽ không nêu chi tiết ở đây. Định lý 1.10 (Định lý Perron – Frobenius cho ma trận Metzler, Meyer, 2000).

Cho ma trận M ∈ R n×n , n ≥ 2 là ma trận Metzler Khi đó, r := ρ(M) là một giá trị riêng thực của M và tồn tại một véctơ x⪰ 0, x̸= 0 sao cho M x =rx.

Giả sử ma trận M ∈ R n×n , n ≥ 2 là ma trận Metzler Khi đó, tồn tại một số thực dương k sao cho M k := M +kI là ma trận không âm Gọi r := ρ(M), r k := ρ(M k ), suy ra r k =r+k. Áp dụng Định lí 1.9, ta có r k là một giá trị riêng của ma trận M k và tồn tại một véctơ x k ⪰ 0, x k ̸= 0 sao cho M k x k =r k x k Từ đó, ta suy ra

(M +kI)x k = (r+k)x k Do đó M x k = rx k Vậy r = ρ(M) là một giá trị riêng thực của M và x k ⪰ 0,x̸= 0 thỏa mãn M x=rx.

(i) Cho ma trận M ∈ R n×n là Metzler Khi đó, các khẳng định sau tương đương

(i 1 ) Ma trận M ổn định Hurwitz.

(i 2 ) Tồn tại véctơ q ∈R n + sao cho M q ≺ 0.

(ii) Cho ma trận M ∈ R n×n không âm Khi đó, các khẳng định sau là tương đương

(ii 1 ) Ma trận M ổn định Schur.

(ii 2 ) Tồn tại véctơ q ∈ R n + sao cho (M −I)q ≺ 0.

(i) Ta sẽ chứng minh (i 1 )⇒ (i 3 ), (i 3 ) ⇒ (i 2 ) và (i 2 ) ⇒(i 1 ).

"(ii 1 ) ⇒ (ii 3 )" Giả sử ma trận M là Hurwitz, tức là s(M) 0 (I −D) −1 Cx(t), nếu h(t) = 0 (3.21) Kết hợp (3.8) và (3.9) và (3.19)–(3.21), ta được y(t, p, q) ≺ (1−à)q, t≥ 0 (3.22)

Hơn nữa, từ Bổ đề 3.2, ta có s(A) 0, t≥Q k+1

Cho s = 0, kí hiệu k 1 = min{k∈ N: t 1 ≤Q k } và chọn T 1 =Q k 1 Khi đó, từ các bất đẳng thức (3.19) và (3.20) ta được (3.28) và (3.29) cho trường hợp s= 0.

Với s= 1, xét hệ sau ˙ x 1 (t) =Ax 1 (t) +By 1 (t−τ(t)), t≥Q k 1 +1 (3.30)

Tương tự như (ii) của Bổ đề 3.3, ta cũng chứng minh được rằng với ψ 1 (Q k 1 +1 ) ⪯ ψ 2 (Q k 1 +1 ) và ϕ 1 (s) ⪯ϕ 2 (s), s ∈[Q k 1 , Q k 1 +1 ), thì x 1 (t, ψ 1 , ϕ 1 ) ⪯x 1 (t, ψ 2 , ϕ 2 ), t≥Q k 1 +1 , (3.32) y 1 (t, ψ 1 , ϕ 1 ) ⪯ y 1 (t, ψ 2 , ϕ 2 ), t≥Q k 1 +1 (3.33) Đặt p 1 = (1−à ∗ )p, q 1 = (1−à ∗ )q (3.34) Kết hợp (3.15), (3.16), (3.32) và (3.33), ta được x(t, p, q)⪯ x 1 (t, p 1 , q 1 ), t≥Q k 1 +1 , (3.35) y(t, p, q) ⪯y 1 (t, p 1 , q 1 ), t≥ Q k 1 +1 (3.36)

Chú ý rằng, bởi tính tuyến tính, ta có thể xác minh được các bất đẳng thức (3.7)–(3.9) cũng thỏa mãn với p= p 1 và q =q 1 Vì vậy bằng cách thực hiện các dòng tương tự như trong Bước 1 cho hệ (3.30) và (3.31), ta cũng nhận được t 2 > Q k 1 +1 sao cho x 1 (t, p 1 , q 1 )⪯ (1−à ∗ )p 1 , t≥ t 2 , (3.37) y 1 (t, p 1 , q 1 ) ⪯(1−à ∗ )q 1 , t≥t 2 (3.38) Kết hợp (3.34)-(3.38), ta được x(t, p, q) ⪯ (1−à ∗ ) 2 p, t≥ t 2 , (3.39) y(t, p, q) ⪯ (1−à ∗ ) 2 q, t≥t 2 (3.40)

Kí hiệuk 2 =min{k ∈N: t 2 ≤Q k }và chọnT 2 =Q k 2 Khi đó, từ (3.39) và (3.40) ta được (3.28) và (3.29) cho trường hợp s= 1.

Tương tự ta cũng tỡm được T 2 < T 3 0 bất kì, kí hiệuN = max

N 2 Khi đó, với bất kì điều kiện ban đầu ψ, ϕ thỏa mãn

∥ψ∥ ∞ ≤δ và max s∈[− max t∈[0,T] max{ h(t),τ(t) } ,0) ϕ(s) ∞ ≤ δ, ta được ψ ⪯ ε

Np và max s∈[− max t∈[0,T] max{ h(t),τ (t) } ,0) ϕ(s) ⪯ ε

Do tính tuyến tính của hệ (3.1) và (3.19)-(3.20), ta có x(t, ψ, ϕ) ⪯ ε

Mặt khác, các bất đẳng thức (3.28)–(3.29) cho thấy các giới hạn t→∞lim x(t, p, q) = 0và lim t→∞y(t, p, q) = 0.

Kết hợp điều này với (3.41), (3.42), ta có t→∞lim x(t, ψ, ϕ) = 0và lim t→∞y(t, ψ, ϕ) = 0.

Từ tất cả các điều trên, ta có thể kết luận được rằng hệ (3.1) là ổn định tiệm cận.

Nhận xét 3.2 Theo Nhận xét 3.1 (i), tất cả các độ trễ bị chặn đều thỏa mãn điều kiện (3.2) Vì vậy, tính dương và tính ổn định của hệ cặp phương trình vi- sai phân có trễ phụ thuộc thời gian và bị chặn là trường hợp riêng của tính dương và tính ổn định của hệ cặp phương trình vi - sai phân có trễ phụ thuộc thời gian và không bị chặn nhưng có tốc độ tăng không quá tuyến tính (trongGiả thiết 3.1).

Ví dụ minh họa

Để minh họa cho kết quả trên, ta xây dựng một ví dụ về hệ cặp phương của hệ được cho trong ví dụ ở Chương 2 Trong đó, các hàm trễ phụ thuộc thời gian và không bị chặn thỏa mãn điều kiện (3.2) như sau τ(t) ( 2, nếu t∈ [0,1]

0.2t, nếu t >1 Ta có các kết luận sau

(i) Theo Định lí 3.4, hệ (3.1) là ổn định tiệm cận với trễ phụ thuộc thời gian và không bị chặn.

(ii) Với điều kiện ban đầu ψ(0) 

Quá trình mô phỏng trong Matlab (code ở Phụ lục 2) cho ta các quỹ đạo trạng thái trong Hình 3.1 Ta thấy rằng các quỹ đạo trạng thái là không âm và hệ (3.1) là ổn định tiệm cận.

Hình 3.1: Đồ thị x(t), y(t) của hệ (3.1)

Luận văn được hoàn thành dựa trên cơ sở của hai bài báo "Positivity and stability of coupled differential-difference equations with time-varying delays"của Shen & Zheng, 2015 và"Stability of coupled differential-difference equations with unbounded time-varying delays" của nhóm tác giả Pathirana, Nam & Hieu, 2018 về tính dương của nghiệm và tính ổn định tiệm cận của một lớp hệ cặp phương trình vi - sai phân tuyến tính có trễ phụ thuộc thời gian Kết quả chính của luận văn là

- Chứng minh lại điều kiện cần và đủ cho tính ổn định tiệm cận của hệ cặp phương trình vi - sai phân có đặc tính dương trong với trễ phụ thuộc thời gian và bị chặn Sử dụng lý thuyết so sánh và tính đơn điệu của quỹ đạo hệ có trễ hằng tương ứng (cùng với các điều kiện ban đầu phù hợp).

- Chứng minh lại tính ổn định tiệm cận bền vững của hệ cặp phương trình vi - sai phân có trễ biến thiên, không bị chặn nhưng có tốc độ tăng không quá tuyến tính (trong Giả thiết 3.1), cùng với các điều kiện ban đầu phù hợp.

Phương pháp được sử dụng là xây dựng chặn trên của hàm trạng thái thông qua việc đánh giá nghiệm của hệ trên các khoảng thời gian không đều Chặn trên đó có dạng là một hàm số giảm.

- Bổ sung các giải thích cho một số tính chất xuất hiện trong luận văn, đưa ra ví dụ số với kết quả mô phỏng để mô phỏng cho tính dương và tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi - sai phân có trễ phụ thuộc thời gian.

Trong thực tế, các hệ thống điều khiển nửa tuyến tính hay phi tuyến cũng xuất hiện rất nhiều, điều đó dẫn đến những câu hỏi mở tự nhiên, có thể là chủ đề nghiên cứu thích hợp tiếp theo, ví dụ như điều kiện cần và đủ cho tính dương và tính ổn định tiệm cận của các hệ cặp phương trình vi - sai phân phi tuyến.

Mặt khác, khái niệm ổn định được trình bày trong hai bài báo này là ổn định tiệm cận, điều đó dẫn đến một câu hỏi tiếp theo là tìm đặc trưng cho tính dương và tính ổn định mũ của các hệ cặp phương trình vi - sai phân.

[1] Aleksandrov, A Yu., & Mason, O (2014), Absolute stability and Lya- punov–Krasovskii functionals for switched nonlinear systems with time- delay, Journal of the Franklin Institute, 351(8), 4381–4394.

[2] Berman, A & Plemmons, R J (1994), Nonnegative Matrices in the Math- ematical Sciences, Academic Press.

[3] Boyce, W E., Diprima, R C & Meade, D B (2017), Elementary dif- ferential equations and boundary value problems, Hoboken, Nj: Wiley, pp.

[4] Farina, L & Rinaldi, S (2000), Positive Linear Systems, John Wiley &

[5] Haddad, W M., Chellaboina, V S., & Hui Q (2010), Nonnegative and Compartmental Dynamical Systems, Princeton University Press.

[6] Kaczorek, T (2002), Positive 1D and 2D systems, Springer Science and Business Media.

[7] Lax, P D (2002), Functional Analysis, John Wiley & Sons, pp 195-197

[8] Meyer, C D (2000), Matrix analysis and applied linear algebra, Philadel- phia: Society For Industrial And Applied Mathematics, pp 661-674.

[9] Ngoc, P H A & Hieu, T M (2016), Novel criteria for exponen- tial stability of linear neutral time-varying differential systems, IEEE transactions on automatic control, vol 61, no 6, pp 1590–1594, doi: https://doi.org/10.1109/tac.2015.2478125.

[10] Niculescu, S I (2001), Delay effects on stability: a robust control approach, In Lecture notes in control and information science, Vol 269 London:

[11] Pathirana, P N., Nam, P T & Hieu, T M (2018), Stabil- ity of coupled differential-difference equations with unbounded time-varying delays, Automatica, vol 92, pp 259–263, doi: https://doi.org/10.1016/j.automatica.2018.03.055.

[12] Pepe, P (2005), On the asymptotic stability of coupled delay differential and continuous time difference equations, Automatica, 41(1), 107–112.

[13] Shen, J & Zheng, W X (2015), Positivity and stability of coupled differential-difference equations with time-varying delays, Automatica, vol.

57, pp 123–127, doi: https://doi.org/10.1016/j.automatica.2015.04.007.

[14] Zhu, S., Han, Q L., & Zhang, C (2014), l 1 -gain performance analysis and positive filter design for positive discrete-time Markov jump linear systems:

Code chương trình Matlab function INT_DDAE

%PP HEMID New: ERK order 2 + Noi suy cho VD DDAE 1 clear all format short e; h = input(’nhap buoc thoi gian, h = ’); time = 120; no = fix(5/h);

% ========== He so cua PP Explicit Midpoint, 2 buoc, order 2

% ====== CHUONG TRINH TINH TOAN CHINH ====================

% tong so diem chia la M = fix(time/h);

% chia luoi thoi gian for k = 1:M+no+3 t(k) = (k - no - 3)*h; end;

% khoi tao gia tri ban dau tu [-5; 0] for k=1:no+3 X1(k) = 2; X2(k) = 1; X3(k) = 3;

Y1(k) = 1 + cos(pi*t(k)/10); Y2(k) = 1 + 3*cos(pi*t(k)/10); end;

% tinh nghiem xap xy tai tung diem mot for j = no+3:M+no+2

% Giai buoc thu nhat XTG1 = [X1(j); X2(j); X3(j)]; YTG1 = [Y1(j); Y2(j)];

% Giai buoc thu hai KNST1 = 4 + sin(TT1/10);

% Giai buoc cuoi INTYC(1) = noisuy23(4,KNSTC,TC,h,t,Y1);

%Do thi subplot(1,2,1); plot(t, X1); hold on; plot(t, X2); hold on; plot(t, X3); hold on; grid on; legend(’x1’,’x2’,’x3’); hold off; subplot(1,2,2); plot(t, Y1); hold on; plot(t, Y2); hold on; grid on; legend(’y1’,’y2’); hold off;

% Lap ham noi suy function KQ = noisuy23(sbns,kns,tns,h,t,y)

% sbns = so diem noi suy; kns = tau (t) la khoang noi suy;

% noisuy1(k,tau,Tns,h,t,U) = V(Tns - tau(t)). m0 = fix((tns - kns - t(1))/h); t0 = (tns - kns - t(m0))/h; for i = 1:sbns-1 D(i)= y(m0 + i)- y(m0 + i - 1); end ytg = y(m0)+ t0*D(1); tmoi=t0; for j = 2:sbns-1 for i = 1:sbns-j

D(i)= D(i + 1)- D(i); end tmoi = tmoi*(t0 - j + 1)/j; ytg = ytg + tmoi*D(1); endKQ = ytg;

Code chương trình Matlab function INT_DDAE

%PP HEMID New: ERK order 2 + Noi suy cho VD DDAE 2 clear all format short e; h = input(’nhap buoc thoi gian, h = ’); time = 120; no = fix(2/h);

% He so cua PP Explicit Midpoint, 2 buoc, order 2 a21 = 0.5; b1 = 0; b2 = 1;

% ====== CHUONG TRINH TINH TOAN CHINH ======

% tong so diem chia la M = fix(time/h);

% chia luoi thoi gian for k = 1:M+no+3 t(k) = (k - no - 3)*h; end;

% khoi tao gia tri ban dau tu [-2; 0] for k = 1:no+3 X1(k) = 1; X2(k) = 2; X3(k) = 2.5;

% tinh nghiem xap xy tai tung diem mot trong [0,1] for j = no+3:2*no+3 TT1 = t(j); TT2 = t(j)+ h/2; TC = t(j+1);

% Giai buoc thu nhat XTG1 = [X1(j); X2(j); X3(j)]; YTG1 = [Y1(j); Y2(j)];

% Giai buoc thu hai KNST1 = 2; KNST2 = 2; KNSTC = 2; %tau(t) KNSTT1 = 1; KNSTT2 = 1; KNSTTC = 1; %h(t) INTY1(1) = noisuy23(3,KNST1,TT1,h,t,Y1);

% Giai buoc cuoi INTYC(1) = noisuy23(3,KNSTC,TC,h,t,Y1);

% tinh nghiem xap xy tai tung diem mot t>1

% tau(t)= 0.5*t; h(t) = 0.2*t; for j = 2*no+3:M+no+2 TT1 = t(j); TT2 = t(j) + h/2; TC = t(j+1);

% Giai buoc thu nhat XTG1 = [X1(j); X2(j); X3(j)]; YTG1 = [Y1(j); Y2(j)];

% Giai buoc thu hai KNST1 = 0.5*TT1; KNST2 = 0.5*TT2; KNSTC = 0.5*TC; %tau(t) KNSTT1 = 0.2*TT1; KNSTT2 = 0.2*TT2; KNSTTC = 0.2*TC; %h(t) INTY1(1) = noisuy23(3,KNST1,TT1,h,t,Y1);

% Giai buoc cuoi INTYC(1) = noisuy23(3,KNSTC,TC,h,t,Y1);

Y1(j+1) = YC(1); Y2(j+1) = YC(2); end; subplot(1,2,1); plot(t, X1); hold on; plot(t, X2); hold on; plot(t, X3); hold on; grid on; legend(’x1’,’x2’,’x3’); hold off; subplot(1,2,2); plot(t, Y1);hold on; grid on; legend(’y1’,’y2’); hold off;

% Lap ham noi suy function KQ = noisuy23(sbns,kns,tns,h,t,y)

% sbns = so diem noi suy; kns = tau(t) la khoang noi suy;

% noisuy1(k,tau,Tns,h,t,U) = V(Tns - tau(t)); m0 = fix((tns - kns - t(1))/h); t0 = (tns - kns - t(m0))/h; for i = 1:sbns-1 D(i)= y(m0 + i)- y(m0 + i - 1); end ytg = y(m0)+ t0*D(1); tmoi = t0; for j = 2:sbns-1 for i = 1:sbns-j

D(i) = D(i + 1)- D(i); end tmoi = tmoi*(t0 - j + 1)/j; ytg = ytg + tmoi*D(1); end

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

GIẤY XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ của học viên cao học Trần Thị Mai

Tên tôi là: Trần Thị Mai, tác giả của luận văn với đề tài: "Phân tích tính dương và tính ổn định của hệ cặp phương trình vi - sai phân với trễ phụ thuộc thời gian", đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên ngày 17 tháng 5 năm 2024

Theo góp ý của Hội đồng, tôi xin bổ sung và chỉnh sửa các nội dung sau:

- Đã bổ sung Lời cam đoan vào luận văn

- Đã thực hiện thay “Không gian véctơ” bằng “Tập hợp” trong Bảng kí hiệu, trang iii.

- Đã bổ sung các tài liệu được trích dẫn trong phần mở đầu vào mục Tài liệu tham khảo; bỏ trích dẫn Wikipedia; thống nhất cách trích dẫn tài liệu tham khảo

- Đã bổ sung phần giới thiệu về phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii trong phần mở đầu (cuối trang 1).

- Đã bổ sung phần so sánh các kết quả đã được nghiên cứu ở hai chương vào Nhận xét 3.2 (cuối trang 34)

- Các hình vẽ minh họa đã được chú thích to và rõ ràng hơn (trang 24 và 35)

- Đã sửa lại tên Mục 2.1 và Mục 3.1 theo góp ý của hội đồng

- Đã thực hiện rà soát và chỉnh lại các lỗi chính tả và lỗi trình bày

Tôi xin trân trọng đề nghị Hội đồng xác nhận việc tôi chỉnh sửa, cho phép tôi được làm thủ tục xin cấp bằng Thạc sĩ khoa học.