Phân tích và mô phỏng một số bài toán thực tế bằng phương trình vi phân phi tuyến sử dụng excel

Phân tích và mô phỏng một số bài toán thực tế bằng phương trình vi phân phi tuyến sử dụng excel Phân tích và mô phỏng một số bài toán thực tế bằng phương trình vi phân phi tuyến sử dụng excel

Phương trình vi phân phi tuyến

Phương trình vi phân là một phương trình chứa biến độc lậpt, hàm cần tìmy(t) và các đạo hàm các cấp của nó Nói cách khác, một phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân Một phương trình vi phân cấpncó dạng y (n) (t) = f t,y,y ′ , ,y (n−1) trong đó f là một hàm của n+1 biến: t,y,y ′ , ,y (n−1) Để phù hợp với đối tượng là giáo viên và học sinh Trung học phổ thông, trong luận văn này chúng ta chỉ xét phương trình vi phân cấp 1 (tức là n= 1) Khi đó bài toán giá trị ban đầu (IVP) thường được quan tâm có dạng có dạng

( y ′ (t) = f(t,y(t)),∀t ∈ t 0 ,tf y(t 0 ) =y 0 (1.1) trong đóy:t7→y(t)∈Rlà hàm cần tìm, f là hàm hai biếnt,y(t)cho trước,t 0 ,tf ∈R. Trường hợp f là một hàm tuyến tính, tức là f có dạng f(t,y(t)) =a(t)ãy(t) +b(t) thì ta nói phương trình vi phân đã cho là tuyến tính Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân tuyến tính có công thức nghiệm tường minh y(t) =e t R t 0 a(s)ds y 0 + t

Phương trình vi phân không tuyến tính là phương trình vi phân phi tuyến Ví dụ phương trình(1−y)y ′ +2y=e t là phương trình vi phân phi tuyến bậc nhất Các phương trình vi phân phi tuyến hầu như không thể giải được chính xác, vì vậy cần các công cụ mô phỏng để xấp xỉ nghiệm một cách tốt nhất có thể Bên cạnh đó, các bài toán ứng dụng trong thực tiễn cũng chỉ yêu cầu chính xác đến một mức độ nào đó, và bên cạnh tính chính xác thì tốc độ tính toán cũng là một yếu tố quan trọng cần xem xét, xem [1] Vì vậy, ngay cả đối với các phương trình vi phân tuyến tính thì việc sử dụng các phương pháp xấp xỉ nghiệm cũng được quan tâm, bởi vì tính toán tích phân trong công thức nghiệm tường minh ở trên cũng không phải là đơn giản Trong mục tiếp theo chúng ta sẽ đi tìm hiểu về hai phương pháp số cơ bản và phổ biến để giải bài toán giá trị ban đầu

Phương pháp số giải phương trình vi phân

Phương pháp Euler tiến

Xét Bài toán (1.1) ở trên Mục đích của chúng ta là giải gần đúng bài toán này Ta thực hiện việc đó bằng cách sử dụng phương pháp Euler tiến Đây là một phương pháp cơ bản, tương đối đơn giản nhưng vẫn thường được sử dụng. Ý tưởng của phương pháp này là chia nhỏ đoạn t 0 ,t f thànhN đoạn nhỏ bằng nhau, mỗi đoạn có độ dàih(được gọi là bước) Đặttn=t 0 +nh, vớin=0,1,2,3 .ta mong muốn xấp xỉ nghiệm chính xácy(tn)bởiyn≈y(tn) Ở đâyy 0 =y(t 0 ).

Giả sử ta đã biếtyn, khi đó công thức Euler tiến để tính gần đúngy n+1 là y n+1 =y n +h.f (t n ,y n ).

Ta minh họa ý nghĩa hình học của phương pháp Euler tiến như sau

Hình 1.1 Minh họa phương pháp Euler.

Lấy tích phân từt n đếnt n+1 cả 2 vế của phương trìnhy ′ (t) = f(t,y(t))trong (1.1) ta được y(t n+1 )−y(tn) t n+1

Z t n f(t,y(t))dt bởi diện tích hình chữ nhậtABFE khitn+1−tn đủ bé, ta có y(t n+1 )−y(t n )≈hã f(t n ,yn) hay y n+1 ≈y n +hã f(t n ,y n ) (1.2)

Ví dụ 1: Để minh họa cho phương pháp này ta xét phương trình vi phân phi tuyến mô tả vận tốc rơi (ở đây ta kí hiệu lày(t))của một vật có khối lượngmchịu tác dụng của lực cản không khí Lực cản tỷ lệ với bình phương vận tốc tức thời, do đó phương trình có dạng my ′ (t) =mg−ky(t) 2 hay y ′ (t) =g− k my(t) 2 trong đóklà hằng số tỷ lệ vàglà gia tốc trọng trường Chiều dương củaylà đi xuống.

Giả sử rằng vận tốc rơi ban đầuy(0) =2(m/s),k=1,m=1, và ta muốn đi tìm vận tốc rơi của vật thể sau 1 giây Khi đó bài toán giá trị ban đầu có dạng

Với bướch=0,1, ta tính lần lượt các giá trị xấp xỉyn với n=1,2, sử dụng công thức Euler tiến (1.2) y n+1 =yn+hã g− k my 2 n

Tại mỗi thời điểmtn ta xác định công thức sai số như sau.

Sai số tuyệt đối tại thời điểmtn là

∆yn:=|y(t n )−yn|. Sai số tương đối tại thời điểmt n là δyn:= |y(t n )−yn|

Ta thực hiện quá trình xấp xỉ nghiệm như trên trong Excel và thu được kết quả như sau n n n ttt n n n Nghiệm xấp xỉ Nghiệm chính xác

Bảng 1 Bảng số liệu nghiệm xấp xỉ và sai số của bài toán trong Ví dụ 1.

Phương pháp Euler lùi

Đối với phương pháp Euler lùi ta không xấp xỉ tích phân t n+1

Z t n f(t,y(t))dt bằng cách sử dụng diện tích hình chữ nhậtABCD mà sẽ sử dụng diện tích hình chữ nhậtABFE trong Hình 1.1 Khi đó ta có y(t n+1 )−y(t n )≈hã f(t n+1 ,y n+1 ).

Suy ra y n+1 ≈y n +hã f(t n+1 ,y n+1 ) (1.3) Đối với phương pháp Euler lùi ta cần đi giải phương trình (1.3) để thu được ẩn số y n+1 (giả sử rằngyn đã biêt) Điều này đôi khi không thực hiện được đối với học sinh THPT, như trong Ví dụ 3 (mục 1.2.3).

Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp Euler, giải gần đúng bài toán

Ta có:t 0 =0,y 0 =2, f(t,y) =g− k my(t) 2 ,h=0,1,tn =t 0 +nh.

Theo lý thuyết Galois (xem [8]), thì nếu f(x)có dạng đa thức bậc ⩾5thì không có công thức nghiệm tổng quát cho phương trình (1.3) Trong trường hợp f là hàm siêu việt thì (1.3) lại càng khó giải chính xác được.

Ta có thể tính lần lượt các giá trị xấp xỉyn vớin=0,1,2, sử dụng công thức Euler lùi y n+1 =y n +hã f(t n+1 ,y n+1 ). Trong ví dụ này ta thu được y n+1 =yn+hã g− k my 2 n+1

Đối với phương trình này ta có thể rút ra công thức tường minh củay n+1 như sau y n+1 = m

Ta thực hiện quá trình xấp xỉ nghiệm như trên trong Excel và thu được kết quả như sau n n n ttt n n n Nghiệm xấp xỉ Nghiệm chính xác

Bảng 2 Bảng số liệu nghiệm xấp xỉ và sai số trong Ví dụ 2.

Biểu diễn bằng Excel

Excel là một phần mềm bảng tính nằm trong bộ Microsoft Office Phần mềm này giúp người dùng ghi lại dữ liệu, trình bày thông tin dưới dạng bảng, tính toán, xử lý thông tin nhanh chóng và chính xác với một lượng dữ liệu lớn Với các điều kiện của bài toán ban đầu, sử dụng phương pháp số xấp xỉ Euler ta có thể xây dựng công thức giữa các đại lượng đã biết để tính toán Phần mềm Excel có các tính năng: nhập, lưu trữ và tính toán dữ liệu để có thể mô tả phương pháp xấp xỉ Euler một cách dễ dàng.

Trong Excel, ta cũng có thể dề dàng biểu diễn biểu đồ để phân tích, đánh giá kết quả thu được từ mô hình Việc xây dựng công thức kết hợp thao tác "kéo-thả" trên bảng tính chính là lập trình đơn giản Cách làm này dễ làm, dễ hiểu và giúp học sinh phổ thông dễ dàng tiếp cận với lập trình, xây dựng tư duy lập trình.

Ví dụ 3: Số lượng cá thể của một quần thể động vật được mô tả bởi phương trình vi phõn phi tuyến: P ′ (t) =0,135ãP 1,01 , thời gian tớnh theo đơn vị ngày Biết tại thời điểm ban đầu khi nghiên cứu quần thể này, số lượng cá thế bằng 100 Tính số lượng cá thể của quần thể sau thời gian 20 ngày?

Trước hết, ta đi tìm công thức nghiệm chính xác cho bài toán

Xét phương trình vi phân

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được

Thayt =0vào (1.5) ta tìm đượcc0 −0,01 Do đó ta thu được công thức tổng quát để tính số lượng cá thể tại thời điểmt là

. Thayt , ta tính được sau 20 ngày, số lượng cá thể là

Sau đây ta đi giải gần đúng bài toán (1.4) bằng phương pháp xấp xỉ Euler tiến.

Xét bài toán (1.4), chọn bướch=0,5

Ta tính được nghiệm xấp xỉ P(n)vớin=0,1,2, theo công thức của phương pháp Euler tiến

Các bước tính toán và biểu diễn bằng Excel như sau

Bước 1: Nhập các tham số sử dụng trong công thức(h,n,P(0)).

Bước 2: Tạo bảng gồm các cột: n,tn, nghiệm xấp xỉ, nghiệm chính xác, sai số tuyệt đối, sai số tương đối.

Bước 3: Tính giá trị ở các cột.

Cộtn: Nhận các giá trị từ 0 đến 40 , cộttn được tính bằng công thức:tn:=t 0 +nh.

Cột f(P,t)được tớnh bằng cụng thức: f(P,t) =0,135ãP 1,01

Cột nghiệm xấp xỉ được tớnh bằng cụng thức: P(n) =P n−1 +hã f(P n−1 ).

Cột nghiệm chính xác được tính bằng công thức:P(t) = −0.00135t+100 −0.01 −100

Sai số tuyệt đối được tính bằng công thức nghiệm xấp xỉ - nghiệm chính xác

Sai số tương đối được tính bằng công thức

(sai số tuyệt đối : nghiệm chính xác) x 100%

Lựa chọn định dạng % cho giá trị của cột sai số tuyệt đối

Bước 4: Kéo- thả định dạng dọc cột, bắt đầu từ cột đầu tiên theo thứ tự từ trái sang phải, để xác định các giá trị tiếp theo

Ta trích xuất 1 bảng gồm các giá trị tương ứng với số thứ tự n chia hết cho 4 (ta sử dụng filter để lọc dữ liệu) n n n ttt n n n Nghiệm xấp xỉ Nghiệm chính xác

Bảng 3 Bảng số liệu giá trị nghiệm bài toán (1.5) khi dùng phương pháp Euler tiến với bướch=0,5. Đọc kết quả: Số lượng cá thể sau 20 ngày là giá trị của nghiệm xấp xỉ tại thời điểm t , số lượng cá thể theo số liệu của bảng giá trị nghiệm xấp xỉ là 1592 cá thể.

Bước 5 Vẽ đồ thịTừ bảng trích xuất ta vẽ đồ thị nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác trên cùng một hệ trục tọa độ: Chọn 3 cột gồm cộttn, cột nghiệm xấp xỉ và cột nghiệm chính xác → chọn Insert→chọn Chart→chọn dạng đồ thị phù hợp

Sau khi xử lý bảng các số liệu thể hiện trên biểu đồ, chỉnh sửa thông tin, thông số của biểu đồ ta được biểu đồ

Hình 1.2 Biểu đồ giá trị nghiệm và sai số với buớch=0,5. Để minh họa tính chính xác của phương pháp Euler tiến, ta sẽ đi tìm hiểu xem sai số của nghiệm sẽ giảm như thế nào khi ta giảm bước đi một nửa Kết quả được thể hiện trong bảng dưới đây.

Giá trị xấp xỉ tại ttt = = = 1 1 10 0 0

Giá trị chính xác tại ttt = = = 1 1 10 0 0

Bảng 4 Kết quả xấp xỉ tính bằng phương pháp Euler tiến với giá trị bước khác nhau.

Từ Bảng 4 ta thấy rằng khi bướchgiảm thì sai số của nghiệm xấp xỉ giảm Trong ví dụ này khi bướchgiảm đi một nửa thì sai số dường như cũng giảm đi một nửa Điều này phù hợp với kiến thức giảng dạy ở bậc đại học, tức là phương pháp Euler tiến có cấp chính xác là 1, xem [3].

Có rất nhiều phương pháp số khác nhau để giải bài toán, và không nhất thiết phải chọn bước h luôn là một hằng số Tuy nhiên để phù hợp với trình độ học sinh THPT, luận văn này được giới hạn ở phương pháp Euler với bướchlà hằng số Để tham khảo thêm các phương pháp khác, xem tài liệu [3], [1].

Chú ý rằng áp dụng phương pháp Euler lùi đối với bài toán giá trị ban đầu (1.5) là khá khó đối với học sinh THPT, vì cần giải xấp xỉ phương trình đại số

Chú ý: Trong lý thuyết giải tích số [2] thì sai số tuyệt đối của 2 phương pháp Euler lùi và Euler tiến đều có đánh giá

∆y n =|y n −y(t n )|⩽Cãh vớiClà một hằng sốC= (b−a)ãmax|y ′′ (t n )|

Mặc dù vậy, có 1 số lớp bài toán (thường được gọi là bài toán cương), mà phương pháp Euler lùi sẽ hiệu quả hơn phương pháp Euler tiến, xem [2].

PHÂN TÍCH VÀ MÔ PHỎNG MỘT SỐ MÔ HÌNH THỰC TẾ SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN 21

Mô hình Logistic

Xét mô hình tăng trưởng dân số theo cấp số nhân (mô hình Malthus).

NếuP(t)biểu thị dân số tại thời điểmt thì mô hình tăng trưởng theo cấp số nhân có dạngP ′ (t) =kP(t)vớiklà hằng số dương Trong mô hình này, tỉ lệ tăng trưởng định nghĩa bởi P ′ (t)

P(t) là một hằng sốk Trong thực tế, rất khó tìm thấy các trường hợp có sự tăng trưởng dân số theo cấp số nhân trong thời gian dài Vì các nguồn lực tài nguyên môi trường là hạn chế, tại một số thời điểm sẽ kìm hãm sự tăng trưởng của dân số.

Do đó, đối với một số mô hình khác, P ′ (t)

P(t) có thể được dự kiến sẽ giảm khi dân sốP tăng, ví dụ như mô hình logistic 2.3 dưới đây.

Giả định rằng tốc độ tăng (hoặc giảm) dân số chỉ phụ thuộc vào dân số hiện có và không phụ thuộc vào yếu tố thời gian (ví dụ như ảnh hưởng theo mùa) Khi đó ta có mối quan hệ của dân số và tốc độ tăng trưởng như sau

Phương trình vi phân (2.1) được gọi là mô hình tăng trưởng phụ thuộc mật độ.

Khi kể đến ảnh hưởng sức chứa của môi trường với các giả thiết như sau i) Khi dân số nhỏ (P(t)nhận giá trị nhỏ), tốc độ tăng trưởng dân số tỉ lệ thuận với số dân hiện tại. ii) Giả sử một môi trường không thể chứa quáK cá thể (đại lượngK được gọi là sức chứa tối đa của môi trường) Thông thường hàm f trong (2.1) thỏa mãn f(K) =0.

Dạng đơn giản nhất mà chúng ta có thể đưa ra là f(P)là tuyến tính, nghĩa là f(P) c 1 ãP+c 2 , trong đúc 1 ,c 2 là hằng số.

Giả sử rằng f(0) =r, sử dụng thêm các điều kiện f(K) =0, ta cóc 2 =r,c 1 = −r

K ãP Khi đó, phương trình (2.1) trở thành

K thìK= a b Phương trình phi tuyến (2.2) được viết lại dưới dạng

Khoảng năm 1840, nhà toán học-sinh vật học người Bỉ P F Verhulst (1804-1849) quan tâm đến các mô hình toán học để dự đoán dân số ở nhiều quốc gia khác nhau.

Một trong những phương trình ông nghiên cứu là (2.3), trong đó a> 0 và b >0.

Phương trình (2.3) được gọi là phương trình Logistic, nghiệm của nó được gọi là hàm Logistic, và đồ thị của hàm Logistic được gọi làđường cong Logistic.

Phương trình vi phân tuyến tính P ′ (t) =kP không cung cấp một mô hình chính xác cho dân số của một quần thể khi dân số của quần thể đó rất lớn Trong điều kiện quần thể quá đông đúc có thể dẫn đến ô nhiễm môi trường và nhu cầu cạnh tranh quá mức về thực phẩm, nhiên liệu Từ đó gây ra tác động kìm hãm sự gia tăng dân số.

Trong khi giải theo phương trình (2.3), ta có thể xét với thời giant rất lớn Nếu chúng ta viết lại (2.3) dưới dạngP ′ (t) =aP−bP 2 , số hạng phi tuyến −bP 2 (b>0)thể hiện sự "ức chế" hoặc "cạnh tranh" Chú ý rằng, trong hầu hết các tình huống thực tế, hằng sốa(a>0)lớn hơn nhiều so với hằng sốb.

Mô hình logistic đã được chứng minh là khá chính xác trong việc dự đoán các mô hình tăng trưởng trong một không gian hạn chế của một số loại vi khuẩn, động vật nguyên sinh, bọ chét nước (Daphnia) và ruồi giấm (Drosophila), xem [8].

Công thức nghiệm chính xác của phương trình Logistic Để phù hợp với giáo viên và học sinh THPT luận văn không trình bày chi tiết về cách giải mà chỉ xét công thức nghiệm chính xác, chi tiết xem tài liệu tham khảo [8].

Công thức nghiệm chính xác của bài toán (2.3) là

Xét đồ thị của hàmP(t) Từ (2.4) ta tìm được

Hay đồ thị hàmP(t)có đường tiệm cân ngang lày= a b. Đạo hàm hai vế của (2.3) ta được

Các điểm thỏa mãnP ′′ (t) ó thể là các điểm uốn của đồ thị Các điểmP=0,P=a b bị loại trừ Bởi vậy,P= a

2b là điểm uốn duy nhất.

Với giá trị ban đầu0

v r (20cm/s>10cm/s)nên theo kết quả của bài toán 2.4.1, ta kết luận rằng mô hình có thể đến được điểm đối diện mà đã được lập trình sẵn. b) Vớik= vr v s = 10 20 =0,5,c=d k 0 0,5

Từ công thức (2.18) ta có phương trình quỹ đạo của mô hình như sau y=5√ x−

Khi chiếc thuyền nhân tạo chỉ còn cách bờ bên kia 50 cm, khi đó xP, thay vào công thức ta thu đượcy≈17,68.

Vậy khi mô hình chỉ còn cách bờ bên kia một nửa khoảng cách giữa hai bờ, mô hình còn cách điểm đến53,03 cm.

Bài 2.4.3 Để tính toán được khoảng cách giữa 2 bờ của một con sông, người ta đã dùng một thiết bị AI Biết rằng thiết bị được lập trình để đi từ một điểm từ bờ bên này sang điểm đối diện của bờ bên kia Qua thực nghiệm, thiết bịAI đã đi lệch so với điểm đến dự định ban đầu tới3,6m. a) Hỏi chiều dài của con sông là bao nhiêum? b) Biết rằng vận tốc của thiết bị lúc đó đo được làv=0,5m/s Hỏi vận tốc của dòng sông là bao nhiêu?

Lời giải a) Gọidlà khoảng cách giữa 2 bờ và c=d k vớik= v r vs

. Ta xét bài toán với mô hình 2.18 y= cãx 1−k

2ãc. Do thiết bị đã đến được bờ bên này tại một khoảng cách hữu hạn so với điểm đến ban đầu nên theo kết quả của bài tập 1 , ta cók=1vày(0) = d

Vậy 2 bờ cách nhau 7,2 m b) Từ k=1ta suy ra vr =r=0,5m/s Vậy vận tốc của dòng sông là0,5m/s.

Bài 2.4.4 Một thiết bị AI thực hiện đo vận tốc của dòng sông Biết rằng thiết bị được lập trình để đi từ một điểm từ bờ bên này sang điểm đối diện của bờ bên kia Qua thực nghiệm, thiết bị AI di chuyển với tốc độ đều đặn3m/sthì thiết bị đo được khi chỉ còn cách bờ bên kia40 mthì khoảng cách giữa thiết bị và điểm đến là 42,92m.

Tính vận tốc của dòng sông biết rằng hai bên bờ sông cách nhau125m.

Lời giải Đặtc5 k vớik= v r vs

. Theo công thức (2.18) ta có phương trình y= cãx 1−k

Do khi chỉ còn cách bờ bên kia 40 m thì khoảng cách giữa thiết bị và điểm đến là 42,92m; theo kết quả bài 2.4.1 ta cóy(40) =p

Ta viết công thức quỹ đạo của thiết bị như sau y= 125 k ãx 1−k

Từ đó dễ dàng tìm được

Vậy vận tốc của dòng sông là1m/s.

Bài 2.4.5 Một vận động viên thực hiện thử nghiệm bơi từ bờ bên này sang điểm đối diện ở bờ bên kia cách đó20m của một bể bơi nhân tạo Bể bơi được tạo sóng dọc theo bờ với tốc độvr =4m/s Người đó muốn kiểm tra rằng tốc độ bơi của mình là bao nhiêu, biết rằng khi chỉ còn cách bờ bên kia5mthì người đó cách điểm đến tới 16,27m Hỏi tốc độ bơi của người đó là bao nhiêu và xác định xem người đó có bơi được đến điểm đối diện ở bờ bên này không?

Lời giải Đặtc k vớik= vr vs

Từ công thức (2.18) ta có phương trình y= cãx 1−k

2ãc. Do khi chỉ còn cách bờ bên kia 5m thì khoảng cách giữa thiết bị và điểm đến là 16,27m; nên ta cóy(5) =√

Ta viết công thức quỹ đạo của thiết bị như sau y= 20 k ãx 1−k

. Từ đó dễ dàng tìm được

Vậy vận tốc của người đó là3m/s Theo kết quả của bài tập 2.4.1, người đó sẽ không thể đến được điểm đối diện ban đầu ở bờ bên này.

Ta sử dụng phương pháp Euler lùi để mô phỏng cho Bài toán 2.4.2.

Mô hình bài toán có dạng

Chọn bước h=1, ta có công thức tính gần đúng bằng cách sử dụng phương pháp Euler lùi y n+1 =yn−h.f (y n ,xn).

Thực hiện quá trình xấp xỉ nghiệm như trên trong Excel ta có bảng số liệu sau (ta chỉ trích dẫn bảng số liệu với các giá trị của n chia hết cho10) n n n ttt n n n Nghiệm xấp xỉ Nghiệm chính xác

Bảng 16 Bảng số liệu tọa độ của của chiếc thuyền tính bằng phrơng pháp xấp xỉ

Euler lùi trong Bài toán 2.4.2.

Khi chiếc thuyền nhân tạo chỉ còn cách bờ bên kia 50cm, khi đóxP, theo bảng số liệu, ta tìm đượcy,798 Do đóp x 2 +y 2 ≈53cm Do đó, khi mô hình chỉ còn cách bờ bên kia một nửa khoảng cách giữa hai bờ, mô hình còn cách điểm đến53cm.

Hình 2.15 Biểu đồ mô tả quỹ đạo chuyển động của thiết bị AI trong Bài toán 2.4.2.

Mô hình đầu thu năng lượng mặt trời

Năng lượng mặt trời là nguồn năng lượng được phát ra hay cung cấp từ các bức xạ của mặt trời Và chính ánh sáng mặt trời đã mang lại cho con người sự sống cần thiết nhất, hơn thế đây còn là một nguồn năng lượng vô hạn, vô tận và có thể sử dụng lâu dài nếu chúng ta biết cách khai thác và sử dụng nó Trong phần này, ta sẽ tìm hiểu về mô hình mà năng lượng mặt trời được khai thác dưới dạng nhiệt năng.

Trong mô hình này ta có một đường congCtrong không gian 2 chiều, được thể hiện trong Hình 2.17 Đường cong này có vai trò làm phản xạ tất cả các tia tới L (song song với trục Ox) sao cho tia phản xạ đi qua điểm gốcO Sử dụng định luật trong vật lý đó là góc tới bằng với góc phản xạ, ta thu được một phương trình vi phân mô tả hình dạng của đường congCnhư dưới đây.

Hình 2.17 Mô hình đường cong phản xạ mô tả cho mô hình 2.5, xem [8].

Từ hình vẽ ta thấy y

Ta được phương trình bậc hai ẩny ′ y y ′ 2

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, vày ′ (x)>0ta được y ′ (x) = −x+p x 2 +y 2 y hay yãy ′ −p x 2 +y 2 +x=0.

Phương trình vi phân mô tả hình dạng của đường congCcó thể là mô hình cho gương của kính viễn vọng phản chiếu, ăng -ten vệ tinh hoặc bộ thu năng lượng mặt trời. y ′ (x) = −x+p x 2 +y 2 y (2.19)

Người ta còn có thể chứng minh được rằng đường congClà một parabol có tiêu điểm tại gốcO và đối xứng qua trụcOx, xem [8] Để giải (2.19) là tương đối khó với học sinh THPT, vì vậy để phù hợp với giáo viên và học sinh THPT luận văn không trình bày chi tiết hơn nữa về các bước chứng minh mà chỉ đưa ra kết quả cuối cùng về công thức nghiệm như sau y 2 ,x+c 2 (2.20)

Ví dụ: vớic=1, phương trình của đường congC:y,x+c 2 trở thành:y 2 =2x+1

Từ nguyên lý trên người ta phát minh bộ thu năng lượng mặt trời, đôi khi được gọi là máng parabol, sử dụng các vật liệu phản chiếu cao để thu thập và tập trung năng lượng nhiệt từ bức xạ mặt trời Bộ thu năng lượng này bao gồm các phần phản xạ hình parabol được kết nối thành một máng dài Một đường ống mang nước được đặt ở trung tâm của máng này để ánh sáng mặt trời được thu thập bởi vật liệu phản chiếu được tập trung vào đường ống, làm nóng nước bên trong.

Hình 2.19 Mô hình bộ thu năng luợng mặt trời,xem [5] Đây là những bộ thu được cung cấp năng lượng rất cao và do đó thường được sử dụng để tạo ra hơi nước cho các nhà máy nhiệt điện mặt trời và thường không được sử dụng trong các ứng dụng dân sinh Những máng này có thể cực kỳ hiệu quả trong việc tạo ra nhiệt từ mặt trời, đặc biệt là những máng có thể xoay tròn, theo dõi mặt trời trên bầu trời để đảm bảo thu thập ánh sáng mặt trời tối đa.

Bài toán 2.5.1 Một bộ thu năng lượng mặt trời để làm nóng nước được làm bằng một tấm thép không gỉ có mặt cắt hình parabol Nước sẽ chảy thông qua một đường ống nằm ở tiêu điểm của parabol. a) Viết phương trình chính tắc của parabol. b) Tính khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol.

Hình 2.20 Hình vẽ mô tả mô hình trong Bài toán 2.5.1, xem [2]

Lời giải a) Xây dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Hình 2.21 Đồ thị mô tả mô hình trong Bài toán 2.5.1.

Từ mô hình ta thấy đường cong parabol đi qua điểm

−c 2+1 thay vào phương trình (2.20) ta được

Từ đó ta suy ra2c=9hay c= 9

Vậy phương trình chính tắc của parabol lày 2 =9x+81

4 b) Ta thấy các tia sáng mặt trời chiếu tới sẽ hội tụ tại gốc tọa độ(0,0).

Trong khi đó đỉnh của parabol là

Vậy hai điểm trên cách nhau 9

Vậy khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh là 9

Bài tập 2.5.2 Một gương lõm có mặt cắt là hình parabol, có tiêu điểm cách đỉnh 5cm Cho biết bề sâu của gương là45 cm. a) Viết phương trình chính tắc của parabol. b) Tính đường kính của gương lõm.

Lời giải a) Xây dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Hình 2.22 Đồ thị mô tả mô hình trong Bài toán 2.5.2.

Từ mô hình ta thấy đường cong paraboly 2 ,x+c 2 đi qua điểm(−5,0)nên ta có

Từ đó ta suy rac 2 chayc.

Vậy phương trình chính tắc của parabol lày 2 x+100. b) Đường kính của gương là độ dài đoạn thẳngABở trong hình ThayxE−5@vào phương trìnhy 2 x+100ta được y 2 0⇔y=±30.

Vậy đường kính của gương là60cm.

Bài tập 2.5.3 Một ăng ten có dạng parabol có đường kính là 60 cm Biết rằng tín hiệu truyền đến được tập trung tại điểm chính giữa cách đỉnh của parabol một khoảng bằng50 cm Hỏi độ sâu của ăng ten là bao nhiêu cm.

Lời giải Ta xây dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Hình 2.23 Đồ thị mô tả mô hình trong Bài toán 2.5.3.

Từ mô hình ta thấy đường cong paraboly 2 ,x+c 2 đi qua điểm(−50,0)nên ta có

Từ đó ta suy rac 2 0chayc0.

Vậy phương trình chính tắc của parabol lày 2 0x+10000.

Từ mô hình ta thấy điểmAcó tung độ là 30 , thay vào công thức trên ta đượcx=−32.

Suy ra độ sâu của của ăng ten là50−32cm.

Bài tập 2.5.4 Một người muốn thiết kế kính thiên văn phản xạ, với gương của kính thiên văn có dạng parabol Biết độ sâu của gương là 2.5cmvà các tia sáng chiếu tới hội tụ về điểm chinh giữa cách đỉnh của parabol 40cm Hỏi vỏ kính thiên văn có đường kính bé nhất là bao nhiêu cm?

Lời giải Phương trình biểu diễn gương kính thiên văn có dạngy 2 ,x+c 2 Vì các tia sáng chiếu tới hội tụ về điểm chính giữa cách đỉnh của parabol40 cmnên parabol đi qua điểm(−40,0).

Thayx=−40,y=0vào phương trình ta được

Vậy phương trình biểu diễn gương kính thiên văn lày 2 0x+6400.

Vì độ sâu của gương là2,5cm nên A có hoành độ là −37,5 thay vào phương trình trên ta được y 2 0.(−37.5) +6400@0⇔y=±20.

Vậy vỏ của kính thiên văn phải được thiết kế với bán kính nhỏ nhất là 40 cm.

Ta sử dụng phương pháp Euler tiến để mô phỏng cho Bài toán 2.5.2.

Giả sử như nghiệm của bài toán đi qua điểm(x,y) = (0,10).

Ta xét bài toán sau

Chọn bướch=0.5, ta tính gần đúng bằng phương pháp Euler tiến với công thức y n+1 =y n +h.f(t n ,h n ).Thực hiện quá trình xấp xỉ nghiệm như trên trong Excel ta có bảng số liệu sau (ta chỉ trích dẫn các giá trị n chia hết cho 10) n n n xxx n n n Nghiệm xấp xỉ Nghiệm chính xác

Bảng 18 Bảng số liệu tọa độ các điểm thuộc đường congC trong Bài toán 2.5.2.

Theo kết luận ở mục 2.5.1, đường cong(C)mô tả cho mô hình là một parabol có tiêu điểm tại gốcOvà đối xứng qua trụcOx, ta có biểu đồ như sau.

Hình 2.24 Đường cong parabol của gương lõm trong bài tập 2.5.2

Ta sử dụng phương pháp Euler tiến để mô phỏng cho Bài toán 2.5.3.

Ta thấy nghiệm của bài toán đi qua điểm(x,y) = (−50,0).

Ta xét bài toán sau

Chọn bướch=1, ta tính giá trị nghiệm xấp xỉ bằng cách sử dụng phương pháp Euler tiến với công thức y n+1 =yn+h.f (x n ,yn).

Thực hiện quá trình xấp xỉ nghiệm như trên trong Excel ta có bảng số liệu sau (ta chỉ trích dẫn bảng số liệu với các giá trị củanchia hết cho10) n n n xxx n n n Nghiệm xấp xỉ Nghiệm chính xác

Bảng 19 Bảng số liệu tọa độ các điểm thuộc đường congCtrong Bài toán 2.5.3

Theo kết luận ở mục 2.5.1, đường cong(C)mô tả cho mô hình là một parabol có tiêu điểm tại gốcOvà đối xứng qua trụcOx, ta có biểu đồ như sau.

Hình 2.25 Đường cong parabol của gương lõm trong bài tập 2.5.3.

Sử dụng phương pháp xấp xỉ Euler tiến, ta mô tả được đồ thị đường cong (C)trongBài toán 2.5.2 Đồ thị đường cong(C)biểu diễn theo công thức nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ có dạng điệu gần trùng khít nhau Để có đồ thị đường cong(C)chính xác hơn, ta có thể lập bảng số liệu với bước hnhỏ hơn So với tính toán bằng công thức nghiệm, sử dụng phương pháp xấp xỉ cho ra kết quả có độ chính xác cao mà tiết kiệm được nhiều thời gian và dễ dàng đưa vào các mô hình.

Luận văn tập trung phân tích và mô phỏng một số bài toán thực tế bằng phương trình vi phân phi tuyến như mô hình sự phát triển của quần thể, phản ứng hóa học, lượng nước còn lại theo thời gian của bình nước bị rò rỉ, chuyển động băng qua dòng sông, và đầu thu năng lượng mặt trời.