Để minh họa cho kết quả trên, ta xây dựng một ví dụ về hệ cặp phương
của hệ được cho trong ví dụ ở Chương 2. Trong đó, các hàm trễ phụ thuộc thời gian và không bị chặn thỏa mãn điều kiện (3.2) như sau
τ(t) =
( 2, nếu t∈ [0,1]
0.5t, nếu t > 1 , h(t) =
( 1, nếu t∈[0,1]
0.2t, nếu t >1 . Ta có các kết luận sau
(i) Theo Định lí 3.4, hệ (3.1) là ổn định tiệm cận với trễ phụ thuộc thời gian và không bị chặn.
(ii) Với điều kiện ban đầu
ψ(0) =
1 2 2.5
, ϕ(s) =
"
2 1
# , với mọi s∈[−2,0).
Quá trình mô phỏng trong Matlab (code ở Phụ lục 2) cho ta các quỹ đạo trạng thái trong Hình 3.1. Ta thấy rằng các quỹ đạo trạng thái là không âm và hệ (3.1) là ổn định tiệm cận.
Hình 3.1: Đồ thị x(t),y(t)của hệ (3.1)
KẾT LUẬN
Luận văn được hoàn thành dựa trên cơ sở của hai bài báo "Positivity and stability of coupled differential-difference equations with time-varying delays"của Shen & Zheng, 2015 và"Stability of coupled differential-difference equations with unbounded time-varying delays" của nhóm tác giả Pathirana, Nam & Hieu, 2018 về tính dương của nghiệm và tính ổn định tiệm cận của một lớp hệ cặp phương trình vi - sai phân tuyến tính có trễ phụ thuộc thời gian. Kết quả chính của luận văn là
- Chứng minh lại điều kiện cần và đủ cho tính ổn định tiệm cận của hệ cặp phương trình vi - sai phân có đặc tính dương trong với trễ phụ thuộc thời gian và bị chặn. Sử dụng lý thuyết so sánh và tính đơn điệu của quỹ đạo hệ có trễ hằng tương ứng (cùng với các điều kiện ban đầu phù hợp).
- Chứng minh lại tính ổn định tiệm cận bền vững của hệ cặp phương trình vi - sai phân có trễ biến thiên, không bị chặn nhưng có tốc độ tăng không quá tuyến tính (trong Giả thiết 3.1), cùng với các điều kiện ban đầu phù hợp.
Phương pháp được sử dụng là xây dựng chặn trên của hàm trạng thái thông qua việc đánh giá nghiệm của hệ trên các khoảng thời gian không đều. Chặn trên đó có dạng là một hàm số giảm.
- Bổ sung các giải thích cho một số tính chất xuất hiện trong luận văn, đưa ra ví dụ số với kết quả mô phỏng để mô phỏng cho tính dương và tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi - sai phân có trễ phụ thuộc thời gian.
Trong thực tế, các hệ thống điều khiển nửa tuyến tính hay phi tuyến cũng xuất hiện rất nhiều, điều đó dẫn đến những câu hỏi mở tự nhiên, có thể là chủ đề nghiên cứu thích hợp tiếp theo, ví dụ như điều kiện cần và đủ cho tính dương và tính ổn định tiệm cận của các hệ cặp phương trình vi - sai phân phi tuyến.
Mặt khác, khái niệm ổn định được trình bày trong hai bài báo này là ổn định tiệm cận, điều đó dẫn đến một câu hỏi tiếp theo là tìm đặc trưng cho tính dương và tính ổn định mũ của các hệ cặp phương trình vi - sai phân.
Tài liệu tham khảo
[1] Aleksandrov, A. Yu., & Mason, O. (2014), Absolute stability and Lya- punov–Krasovskii functionals for switched nonlinear systems with time- delay, Journal of the Franklin Institute, 351(8), 4381–4394.
[2] Berman, A. & Plemmons, R. J. (1994), Nonnegative Matrices in the Math- ematical Sciences, Academic Press.
[3] Boyce, W. E., Diprima, R. C. & Meade, D. B. (2017), Elementary dif- ferential equations and boundary value problems, Hoboken, Nj: Wiley, pp.
305-315.
[4] Farina, L. & Rinaldi, S. (2000), Positive Linear Systems, John Wiley &
Sons.
[5] Haddad, W. M., Chellaboina, V. S., & Hui Q. (2010), Nonnegative and Compartmental Dynamical Systems, Princeton University Press.
[6] Kaczorek, T. (2002), Positive 1D and 2D systems, Springer Science and Business Media.
[7] Lax, P. D. (2002), Functional Analysis, John Wiley & Sons, pp. 195-197.
[8] Meyer, C. D. (2000), Matrix analysis and applied linear algebra, Philadel- phia: Society For Industrial And Applied Mathematics, pp. 661-674.
[9] Ngoc, P. H. A. & Hieu, T. M. (2016), Novel criteria for exponen- tial stability of linear neutral time-varying differential systems, IEEE transactions on automatic control, vol. 61, no. 6, pp. 1590–1594, doi:
https://doi.org/10.1109/tac.2015.2478125.
[10] Niculescu, S. I. (2001), Delay effects on stability: a robust control approach, In Lecture notes in control and information science, Vol. 269. London:
Springer.
[11] Pathirana, P. N., Nam, P. T. & Hieu, T. M. (2018), Stabil- ity of coupled differential-difference equations with unbounded time-varying delays, Automatica, vol. 92, pp. 259–263, doi:
https://doi.org/10.1016/j.automatica.2018.03.055.
[12] Pepe, P. (2005), On the asymptotic stability of coupled delay differential and continuous time difference equations, Automatica, 41(1), 107–112.
[13] Shen, J. & Zheng, W. X. (2015), Positivity and stability of coupled differential-difference equations with time-varying delays, Automatica, vol.
57, pp. 123–127, doi: https://doi.org/10.1016/j.automatica.2015.04.007.
[14] Zhu, S., Han, Q. L., & Zhang, C. (2014), l1-gain performance analysis and positive filter design for positive discrete-time Markov jump linear systems:
A linear programming approach, Automatica, 50(8), 2098–2107.
Phụ lục 1
Code chương trình Matlab
function INT_DDAE
%PP HEMID New: ERK order 2 + Noi suy cho VD DDAE 1 clear all
format short e;
h = input(’nhap buoc thoi gian, h = ’);
time = 120; no = fix(5/h);
% ========== He so cua PP Explicit Midpoint, 2 buoc, order 2
==================
a21 = 0.5;
b1 = 0; b2 = 1;
% ====== CHUONG TRINH TINH TOAN CHINH ====================
% tong so diem chia la M = fix(time/h);
% Nhap ma tran A; B; C; D;
A = [-3 0.1 0; 0.2 -1 0.6; 0.1 0.1 -3]; B = [0.5 0.1; 0.2 0.3; 0 0.2];
C = [0.4 0.3 0.1; 0.1 0.5 0]; D = [0.1 0.5; 0.1 0.2];
% chia luoi thoi gian for k = 1:M+no+3
t(k) = (k - no - 3)*h;
end;
% khoi tao gia tri ban dau tu [-5; 0]
for k=1:no+3 X1(k) = 2; X2(k) = 1; X3(k) = 3;
Y1(k) = 1 + cos(pi*t(k)/10); Y2(k) = 1 + 3*cos(pi*t(k)/10);
end;
% tinh nghiem xap xy tai tung diem mot for j = no+3:M+no+2
TT1 = t(j); TT2 = t(j)+ h/2; TC = t(j+1);
% Giai buoc thu nhat XTG1 = [X1(j); X2(j); X3(j)]; YTG1 = [Y1(j); Y2(j)];
% Giai buoc thu hai KNST1 = 4 + sin(TT1/10);
KNST2 = 4 + sin(TT2/10);
KNSTC = 4 + sin(TC/10);
INTY1(1) = noisuy23(4,KNST1,TT1,h,t,Y1);
INTY1(2) = noisuy23(4,KNST1,TT1,h,t,Y2);
XTG2 = XTG1 + a21*h*(A*XTG1 + B*(INTY1’));
INTY2(1) = noisuy23(4,KNST2,TT2,h,t,Y1);
INTY2(2) = noisuy23(4,KNST2,TT2,h,t,Y2);
YTG2 = C*XTG2 + D*(INTY2’);
% Giai buoc cuoi INTYC(1) = noisuy23(4,KNSTC,TC,h,t,Y1);
INTYC(2) = noisuy23(4,KNSTC,TC,h,t,Y2);
XC = XTG1 + h*(A*XTG2 + B*(INTY2’));
YC = C*XC + D*(INTYC’);
X1(j+1) = XC(1); X2(j+1) = XC(2); X3(j+1) = XC(3);
Y1(j+1) = YC(1); Y2(j+1) = YC(2);
end;
%Do thi subplot(1,2,1);
plot(t, X1); hold on;
plot(t, X2); hold on;
plot(t, X3); hold on;
grid on;
legend(’x1’,’x2’,’x3’);
hold off;
subplot(1,2,2);
plot(t, Y1); hold on;
plot(t, Y2); hold on;
grid on;
legend(’y1’,’y2’);
hold off;
% Lap ham noi suy function KQ = noisuy23(sbns,kns,tns,h,t,y)
% sbns = so diem noi suy; kns = tau (t) la khoang noi suy;
% noisuy1(k,tau,Tns,h,t,U) = V(Tns - tau(t)).
m0 = fix((tns - kns - t(1))/h);
t0 = (tns - kns - t(m0))/h;
for i = 1:sbns-1 D(i)= y(m0 + i)- y(m0 + i - 1);
end ytg = y(m0)+ t0*D(1);
tmoi=t0;
for j = 2:sbns-1 for i = 1:sbns-j
D(i)= D(i + 1)- D(i);
end tmoi = tmoi*(t0 - j + 1)/j;
ytg = ytg + tmoi*D(1);
end KQ = ytg;
Phụ lục 2
Code chương trình Matlab
function INT_DDAE
%PP HEMID New: ERK order 2 + Noi suy cho VD DDAE 2 clear all
format short e;
h = input(’nhap buoc thoi gian, h = ’);
time = 120; no = fix(2/h);
% He so cua PP Explicit Midpoint, 2 buoc, order 2 a21 = 0.5;
b1 = 0; b2 = 1;
% ====== CHUONG TRINH TINH TOAN CHINH ======
% tong so diem chia la M = fix(time/h);
% Nhap ma tran A; B; C; D;
A = [-3 0.1 0; 0.2 -1 0.6; 0.1 0.1 -3]; B = [0.5 0.1; 0.2 0.3; 0 0.2];
C = [0.4 0.3 0.1; 0.1 0.5 0]; D = [0.1 0.5; 0.1 0.2];
% chia luoi thoi gian for k = 1:M+no+3
t(k) = (k - no - 3)*h;
end;
% khoi tao gia tri ban dau tu [-2; 0]
for k = 1:no+3 X1(k) = 1; X2(k) = 2; X3(k) = 2.5;
Y1(k) = 2; Y2(k) = 1;
end;
% tinh nghiem xap xy tai tung diem mot trong [0,1]
for j = no+3:2*no+3 TT1 = t(j); TT2 = t(j)+ h/2; TC = t(j+1);
% Giai buoc thu nhat XTG1 = [X1(j); X2(j); X3(j)]; YTG1 = [Y1(j); Y2(j)];
% Giai buoc thu hai KNST1 = 2; KNST2 = 2; KNSTC = 2; %tau(t) KNSTT1 = 1; KNSTT2 = 1; KNSTTC = 1; %h(t) INTY1(1) = noisuy23(3,KNST1,TT1,h,t,Y1);
INTY1(2) = noisuy23(3,KNST1,TT1,h,t,Y2);
XTG2 = XTG1 + a21*h*(A*XTG1 + B*(INTY1’));
INTY2(1) = noisuy23(3,KNSTT2,TT2,h,t,Y1);
INTY2(2) = noisuy23(3,KNSTT2,TT2,h,t,Y2);
YTG2 = C*XTG2 + D*(INTY2’);
% Giai buoc cuoi INTYC(1) = noisuy23(3,KNSTC,TC,h,t,Y1);
INTYC(2) = noisuy23(3,KNSTC,TC,h,t,Y2);
XC = XTG1 + h*(A*XTG2 + B*(INTY2’));
INTYYC(1) = noisuy23(3,KNSTTC,TC,h,t,Y1);
INTYYC(2) = noisuy23(3,KNSTTC,TC,h,t,Y2);
YC = C*XC + D*(INTYYC’);
X1(j+1) = XC(1); X2(j+1) = XC(2); X3(j+1) = XC(3);
Y1(j+1) = YC(1); Y2(j+1) = YC(2);
end;
% tinh nghiem xap xy tai tung diem mot t>1
% tau(t)= 0.5*t; h(t) = 0.2*t;
for j = 2*no+3:M+no+2 TT1 = t(j); TT2 = t(j) + h/2; TC = t(j+1);
% Giai buoc thu nhat XTG1 = [X1(j); X2(j); X3(j)]; YTG1 = [Y1(j); Y2(j)];
% Giai buoc thu hai KNST1 = 0.5*TT1; KNST2 = 0.5*TT2; KNSTC = 0.5*TC; %tau(t) KNSTT1 = 0.2*TT1; KNSTT2 = 0.2*TT2; KNSTTC = 0.2*TC; %h(t) INTY1(1) = noisuy23(3,KNST1,TT1,h,t,Y1);
INTY1(2) = noisuy23(3,KNST1,TT1,h,t,Y2);
XTG2 = XTG1 + a21*h*(A*XTG1 + B*(INTY1’));
INTY2(1) = noisuy23(3,KNSTT2,TT2,h,t,Y1);
INTY2(2) = noisuy23(3,KNSTT2,TT2,h,t,Y2);
YTG2 = C*XTG2 + D*(INTY2’);
% Giai buoc cuoi INTYC(1) = noisuy23(3,KNSTC,TC,h,t,Y1);
INTYC(2) = noisuy23(3,KNSTC,TC,h,t,Y2);
XC = XTG1 + h*(A*XTG2 + B*(INTY2’));
INTYYC(1) = noisuy23(3,KNSTTC,TC,h,t,Y1);
INTYYC(2) = noisuy23(3,KNSTTC,TC,h,t,Y2);
YC = C*XC + D*(INTYYC’);
X1(j+1) = XC(1); X2(j+1) = XC(2); X3(j+1) = XC(3);
Y1(j+1) = YC(1); Y2(j+1) = YC(2);
end;
subplot(1,2,1);
plot(t, X1); hold on;
plot(t, X2); hold on;
plot(t, X3); hold on;
grid on;
legend(’x1’,’x2’,’x3’);
hold off;
subplot(1,2,2);
plot(t, Y1);hold on;
grid on;
legend(’y1’,’y2’);
hold off;
% Lap ham noi suy function KQ = noisuy23(sbns,kns,tns,h,t,y)
% sbns = so diem noi suy; kns = tau(t) la khoang noi suy;
% noisuy1(k,tau,Tns,h,t,U) = V(Tns - tau(t));
m0 = fix((tns - kns - t(1))/h);
t0 = (tns - kns - t(m0))/h;
for i = 1:sbns-1 D(i)= y(m0 + i)- y(m0 + i - 1);
end ytg = y(m0)+ t0*D(1);
tmoi = t0;
for j = 2:sbns-1 for i = 1:sbns-j
D(i) = D(i + 1)- D(i);
end tmoi = tmoi*(t0 - j + 1)/j;
ytg = ytg + tmoi*D(1);
end
% D KQ=ytg;
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
============
GIẤY XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ
của học viên cao học Trần Thị Mai
Tên tôi là: Trần Thị Mai, tác giả của luận văn với đề tài: "Phân tích tính dương và tính ổn định của hệ cặp phương trình vi - sai phân với trễ phụ thuộc thời gian", đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên ngày 17 tháng 5 năm 2024.
Theo góp ý của Hội đồng, tôi xin bổ sung và chỉnh sửa các nội dung sau:
- Đã bổ sung Lời cam đoan vào luận văn.
- Đã thực hiện thay “Không gian véctơ” bằng “Tập hợp” trong Bảng kí hiệu, trang iii.
- Đã bổ sung các tài liệu được trích dẫn trong phần mở đầu vào mục Tài liệu tham khảo; bỏ trích dẫn Wikipedia; thống nhất cách trích dẫn tài liệu tham khảo.
- Đã bổ sung phần giới thiệu về phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii trong phần mở đầu (cuối trang 1).
- Đã bổ sung phần so sánh các kết quả đã được nghiên cứu ở hai chương vào Nhận xét 3.2 (cuối trang 34).
- Các hình vẽ minh họa đã được chú thích to và rõ ràng hơn (trang 24 và 35).
- Đã sửa lại tên Mục 2.1 và Mục 3.1 theo góp ý của hội đồng.
- Đã thực hiện rà soát và chỉnh lại các lỗi chính tả và lỗi trình bày.
Tôi xin trân trọng đề nghị Hội đồng xác nhận việc tôi chỉnh sửa, cho phép tôi được làm thủ tục xin cấp bằng Thạc sĩ khoa học.