Phương pháp tiệm cận giải phương trình vi phân thường chịu nhiễu kì dị và Ứng dụng của nó trong bài toán Điều khiển tối Ưu dạng toàn phương tuyến tính
Nhiễu chính quy và nhiễu kì dị
Nhiễu xuất hiện trong các bài toán khác nhau được chia thành hai loại: nhiễu chính quy và nhiễu kì dị Nhiễu kì dị được cho là rất nhỏ nhưng lại gây ra sự thay đổi đáng kể trong nghiệm.
Trong đó L 0 và L 1 là các toán tử cho trước, f 0 và f 1 là các hàm đã biết, ε là một đại lượng vô hướng nhỏ (từ nay về sau coi ε > 0), u là một hàm chưa biết của biến độc lập x (x có thể là một hoặc nhiều chiều) Phương trình A0 là một mô hình đơn giản của một quá trình nào đó và phương trình Aε tương ứng với mô hình mở rộng Số hạng εL1u và εf1 đại diện cho nhiễu Nếu A0 và Aε là các phương trình vi phân thì chúng ta phải thêm các điều kiện ban đầu (hoặc điều kiện biên) Kết hợp các phương trình và bất kì điều kiện bổ sung tương ứng, ta có thể giải bài toán A 0 và A ε Nghiệm của A 0 và nghiệm của A ε được ký hiệu tương ứng là u 0 (x) và u ε (x), x ∈ D, trong đó D là miền nào đó.
Câu hỏi chính của lý thuyết nhiễu là: Hiệu số uε(x)−u0(x) có tiến tới
Theo một nghĩa nào đó câu trả lời sẽ phụ thuộc vào cách chọn chuẩn.
Trong luận văn, chuẩn của véc-tơ u(x) = u1(x), , uk(x)T tại điểm x được chọn là chuẩn Euclide ∥u(x)∥ =p u 2 1 (x) + .+u 2 k (x). Định nghĩa 1.1.1 Bài toán Aε được gọi là chịu nhiễu chính quy trong miền D nếu sup
Ngược lại, bài toán A ε được gọi là chịu nhiễu kì dị.
Như vậy đối với nhiễu chính quy, nghiệm của u 0 (x) của A 0 sẽ gần với nghiệm uε(x) của Aε trên toàn bộ miền D với mọi ε đủ nhỏ Tuy nhiên, nếu Aε là nhiễu kì dị thì u0(x) sẽ không gần uε(x) với mọi ε nhỏ, ít nhất là ở phần nào đó trong miền D.
Ví dụ 1.1.2 Xét bài toán sau
Nghiệm chính xác của bài toán Aε là: uε(x) = (1 +ε)e −x +ε(x−1).
Bài toán A0 ứng với Aε có dạng
Nghiệm của bài toán A 0 là: u 0 (x) =e −x Do vậy sup
Theo định nghĩa, Aε chịu nhiễu chính quy.
Nhận xét 1.1.3 Bài toánA ε chịu nhiễu chính quy trong khoảng hữu hạn[0,1] Nếu A ε được xem xét trong khoảng vô hạn 0 ≤ x ≤ ∞, khi đó nó trở thành chịu nhiễu kì dị.
Nghiệm u ε (x) (nét liền) và u 0 (x) (nét đứt) được biểu diễn trong Hình 1.1 và Hình 1.2.
Ví dụ 1.1.4 Xét bài toán sau
Nghiệm của bài toán là: uε(x) = (1 +ε)e −x/ε +x−ε.
Bài toán A0 có được từ Aε khi ε= 0 là một phương trình đại số
Do đó ta không cần điều kiện ban đầu hay điều kiện khác để tìm nghiệm của nó Do u0(x) =x nên sup
Do vậy, sup [0,1] ∥u ε (x)−u 0 (x)∥ không tiến tới 0 khi ε → 0, và vì thế theo định nghĩa A ε chịu nhiễu kì dị. Đồ thị của uε(x) (nét liền) và u0(x) (nét đứt) được trình bày ở Hình1.3 và Hình 1.4.
Nhận xét 1.1.5 Bài toán này có hai đặc điểm quan trọng sau:
1 A 0 không phải là phương trình vi phân: với ε = 0, phương trình vi phân A ε rút gọn thành phương trình đại số A 0 (được gọi là phương trình rút gọn hoặc phương trình suy biến).
2 Nghiệm u 0 (x) của A 0 không gần với nghiệm u ε (x) của A ε khi ε đủ nhỏ trong lân cận rất nhỏ δ của điểm ban đầu, nhưng trong khoảng [δ,1]
(δ là một số nhỏ tùy ý nhưng cố định) u 0 (x) gần với u ε (x) (xem Hình 1.5).
Hình 1.5: Nghiệm chính xác u ε (x) và nghiệm u 0 (x).
Khoảng nhỏ[0, δ], trong đó diễn ra sự thay đổi nhanh chóng của nghiệm u ε (x)từ giá trị ban đầu đến các giá trị gần với u 0 (x), được gọi làlớp biên. Đại diện điển hình cho các bài toán chịu nhiễu kì dị là là các phương trình vi phân với tham số bé nhân với đạo hàm bậc cao nhất.
Xấp xỉ tiệm cận Chuỗi tiệm cận và hội tụ
Gọi u ε (x) là một nghiệm của bài toán A ε xác định trong miền D Xét hàm U(x, ε) xác định trong miền con D 1 của D. Định nghĩa 1.2.1 HàmU(x, ε)được gọi là mộtxấp xỉ tiệm cận củau ε (x) theo tham số ε trong miền con D 1 nếu sup
∥u ε (x)−U(x, ε)∥ = O(ε k ) thì ta nói rằng U(x, ε) là xấp xỉ tiệm cận của u ε (x) trong D 1 với độ chính xác bậc ε k
Xét Ví dụ 1.1.2, hàm U = u0(x) là xấp xỉ tiệm cận của nghiệm uε(x) trong toàn bộ khoảng D = [0,1] với độ chính xác bậc ε do sup
Xét Ví dụ 1.1.4, hàm U = u 0 (x) là xấp xỉ tiệm cận của u ε (x) với độ chính xác bậc ε trong khoảng con D 1 = [δ,1] với δ > 0, tức là bên ngoài lớp biên.
Xét hàm h(x) = (1 +ε)e −x/ε −ε trên [δ,1] với δ là một hằng số bất kỳ.
Ta có h ′ (x) =−1 ε(1 +ε)e −x/ε < 0, ∀x ∈ [δ,1]. Do vậy h(x) là hàm nghịch biến trên [δ,1] Xét giá trị của hàm h(x) tại hai điểm biên h(δ) = (1 +ε)e −δ/ε −ε, h(1) = (1 +ε)e −1/ε −ε.
Do lim ε→0h(δ) = lim ε→0h(1) = 0 và limε→0 h(δ) ε = lim ε→0 h(1) ε = −1, nênu 0 (x)là xấp xỉ tiệm cận củau ε (x) với độ chính xác bậcεtrong khoảng con D 1 Định nghĩa 1.2.2 Phương pháp tiệm cận là phương pháp xây dựng một xấp xỉ tiệm cận U(x, ε) cho nghiệm uε(x) của bài toán Aε.
Giá trị thực tiễn của một phương pháp tiệm cận được xác định bởi khả năng tìm U(x, ε) một cách hiệu quả bằng cách giải một tập hợp các bài toán đơn giản hơn A ε
Ví dụ 1.2.3 Xét bài toán dx dt = −x+εx 2 , t ∈ [0,1], x(0, ε) = 1.
Nghiệm của bài toán được tìm dưới dạng chuỗi lũy thừa của ε x(t, ε) = x 0 (t) +εx 1 (t) +ε 2 x 2 (t) +ã ã ã
Thế chuỗi này vào điều kiện của bài toán, so sánh các hệ số của ε i ,i = 0,1,2,ã ã ã, ở cỏc vế của cỏc biểu thức thu được, ta cú được cỏc bài toán xác định các hệ số xi(t) của chuỗi Để đơn giản trong trình bày, từ nay về sau đôi khi các biến số của hàm số sẽ được bỏ qua. d dt(x0+εx1+ε 2 x2+ã ã ã)
⇔ dx0 dt +εdx1 dt +ε 2 dx2 dt +ã ã ã
⇔ dx0 dt = −x0, dx1 dt = x 2 0 −x1, dx2 dt = 2x0x1−x2, ã ã ã Đối với điều kiện ban đầu, ta có x(0, ε) = 1⇔ x0(0) +εx1(0) +ε 2 x2(0) +ã ã ã = 1
Các bài toán đơn giản hơn (ở dạng tuyến tính), giúp xác định các hệ số của chuỗi, lần lượt là dx 0 dt = −x 0 (t), x 0 (0) = 1 ⇒x 0 (t) =e −t dx 1 dt = x 2 0 (t)−x 1 (t), x 1 (0) = 0 ⇒ x 1 (t) = e −t (1−e −t ), dx2 dt = 2x0(t)x1(t)−x2(t), x2(0) = 0 ⇒ x2(t) =e −t (1−e −t ) 2 , ã ã ã Bài toán trong ví dụ là phương trình dạng Bernoulli nên ta có thể tìm được nghiệm chính xác là x(t, ε) = 1 e t + (1−e t )ε.
Khai triển nghiệm này theo chuỗi lũy thừa của ε, ta cũng thu được các hệ số tương ứng.
Xấp xỉ tiệm cận U(x, ε) đều cho nghiệm uε(x) của các bài toán chịu nhiễu kì dị trong miền D thông thường được xây dựng dưới dạng tổng riêng thứ n của chuỗi lũy thừa của ε dạng
X k=0 ε k u k (x, ε), (1.1) trong đó uk(x, ε) là các hàm bị chặn sao cho tổng riêng thứ n của nó
X k=0 ε k u k (x, ε) là xấp xỉ tiệm cận của uε(x)với độ chính xác bậcε n+1 trong miền D, nghĩa là sup
∥u ε (x)−Un(x, ε)∥ = O(ε n+1 ) (1.2) Định nghĩa 1.2.4 Chuỗi (1.1) thỏa mãn điều kiện (1.2) được gọi làchuỗi tiệm cận của hàmu ε (x) (hoặc làkhai triển tiệm cận củau ε (x)) trong miền D khi ε→ 0.
Khi đề cập đến chuỗi tiệm cận ta nói đến thuật toán cho phép thu được các số hạng thứ n bất kì của chuỗi tiệm cận.
Nhận xét 1.2.5 Chuỗi tiệm cận (1.1) có thể không hội tụ tới u ε (x) và thậm chí có thể phân kỳ.
Thật vậy, sự hội tụ của (1.1) tới uε(x) nghĩa là
Theo định nghĩa, chuỗi tiệm cận (1.1) thỏa mãn (1.2) Điều này có nghĩa là tồn tại các số c > 0 và ε0 > 0 (nói chung, phụ thuộc vào n) sao cho với 0 < ε ≤ ε0 thì sup
Mặc dù với 0 < ε < 1, nhân tử ε n+1 ở phía bên phải của (1.4) tiến tới 0 khi n → ∞, không suy ra (1.3) được thỏa mãn vì c =c(n) phụ thuộc vào n, và sự phụ thuộc này có thể ngăn c(n)ε n+1 tiến tới 0 khi n → ∞.
Xây dựng nghiệm tiệm cận cho các bài toán nhiễu chính quy và nhiễu kì dị tổng quát
Bài toán nhiễu chính quy
A ε : dx dt = f(x, t, ε), 0 ≤ t ≤ T, x(0, ε) = x 0 Bài toán A0 tương ứng là
Giả sử A0 có một nghiệm duy nhất x = ¯x(t), và hàm f(x, t, ε) khả vi vô hạn lần trong miền
∥x−x(t)∥ ≤¯ a, 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ ε≤ ε0, (1.5) với a và ε0 là các hằng số dương.
Nghiệm của Aε được tìm dưới dạng chuỗi x(t, ε) ∞
Thế (1.6) vào Aε, khai triển f(x0(t) +εx1(t) +ã ã ã+ε k xk(t) +ã ã ã , t, ε) thành chuỗi Taylor tại điểm (x 0 , t,0) và nhóm các số hạng có lũy thừa cùng bậc của ε, ta có d dt x0+εx1+ã ã ã+ε k xk+ã ã ã
Trong đó f¯ x = f x (x 0 , t,0), φ 1 = ¯f ε = f ε (x 0 , t,0) và φ k (k > 1) được viết truy hồi theo x i với i < k. Đồng nhất hệ số của lũy thừa của ε ở cả hai vế của (1.7) và (1.8) ta thu được các bài toán giúp xác định x 0 , x 1 , của chuỗi (1.6): dx0 dt =f0 ≡ f (x0, t,0), x0(0) = x 0 , dxk dt = fk ≡ f¯xãxk +φk, xk(0) = 0, k = 1,2,
Bài toán tìm x 0 trùng với A 0 , nên x 0 = ¯x(t) Các phương trình xác định x k (k = 1,2, ) (được gọi là các phương trình biến phân) là phương trình vi phân tuyến tính, nên chúng luôn có nghiệm duy nhất với bất kì điều kiện ban đầu nào được cho Do vậy các hệ số của chuỗi (1.6) có thể được xác định duy nhất đến bậc n bất kì Chú ý rằng hệ số tự do x0(t) của chuỗi (1.6) là nghiệm của bài toán A0 Các hệ số còn lại của chuỗi là các nghiệm của các bài toán giá trị ban đầu tuyến tính (bài toán Aε có thể không tuyến tính).
Kí hiệu Xn(t, ε) là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.6)
X k=0 ε k x k (t). Định lý 1.3.1 Với ε đủ nhỏ 0 < ε ≤ ε 0 , trong đó ε 0 là một số hằng số, bài toán Aε có nghiệm duy nhất x(t, ε) và chuỗi (1.6) là chuỗi tiệm cận của x(t, ε) trong toàn bộ khoảng 0 ≤ t ≤ T, tức là sup
Kết luận quan trọng về các thông tin thu được trong quá trình xây dựng xấp xỉ tiệm cận của bài toán chịu nhiễu chính quy:
1 Nghiệm x 0 = ¯x(t) của bài toán A 0 là xấp xỉ tiệm cận của nghiệm x(t, ε) của bài toán A ε trong toàn bộ khoảng 0 ≤ t ≤ T (Độ chính xác của xấp xỉ này là bậc ε xem (1.10)).
2 Nghiệm tiệm cận (1.6) của bài toán nhiễu chính quy Aε là một chuỗi lũy thừa theo ε với hệ số phụ thuộc vào t và không phụ thuộc vào ε.
Bài toán nhiễu kì dị
Xét bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân tuyến tính vô hướng:
A ε : εdx dt = −ax+f(t), 0 ≤ t ≤ T, x(0, ε) = 0, với a >0 là hằng số và f(t) có đạo hàm vô hạn lần.
Bài toán A 0 tương ứng có dạng
Ta thử xây dựng một tiệm cận của nghiệm của bài toán A ε dưới dạng chuỗi lũy thừa (1.6) của ε: x 0 (t) +εx 1 (t) +ã ã ã+ε k x k (t) +ã ã ã (1.11) Thay chuỗi này vào phương trình Aε, thu được ε d dt x0+εx1+ã ã ã+ε k−1 x k−1 +ã ã ã
Cân bằng các hệ số theo lũy thừa của ε, ta thu được các phương trình giúp xác định các hệ số trong chuỗi (1.11) x0 = f(t) a , x1 =−1 a dx0 dt = −f ′ (t) a 2 , , x k =−1 a dx k−1 dt = (−1) k f (k) (t) a k+1 , k = 2,3,
Ta thấy số hạng x0(t) của chuỗi (1.11) trùng với nghiệm x(t) của bài toán A 0
Chuỗi (1.11) thỏa mãn phương trình vi phân A ε , nhưng nó không thỏa mãn điều kiện ban đầu vì các hệ số của chuỗi được xác định mà không sử dụng điều kiện ban đầu x(0, ε) = x 0 Do đó, chuỗi (1.11) không được coi là tiệm cận cho nghiệm của bài toán A ε , ít nhất là trong vùng lân cận của điểm ban đầu t = 0 Ngoài vùng lân cận của điểm ban đầu t = 0, chuỗi (1.11) là tiệm cận của x(t, ε).
Thật vậy, lấy tích phân từng phần hai lần của nghiệm chính xác của Aε x(t, ε) = 1 εe − at ε
Z t 0 e as ε f(s)ds, ta được x(t, ε) = 1 ae − at ε ãf(s)e as ε t 0− 1 ae − at ε
=O(ε) nên số hạng cuối có bậc ε 2 Sử dụng (1.12) và đặt τ = t/ε, nghiệm x(t, ε) có thể viết dưới dạng x(t, ε) x0(t) +εx1(t)
Tiếp tục lấy tích phân từng phần và sử dụng (1.12), cuối cùng chúng ta có x(t, ε) x0(t) +εx1(t) +ã ã ã +ε n xn(t) + Π 0 x(τ) +εΠ 1 x(τ) +ã ã ã+ε n Π n x(τ)
+O(ε n+1 ) cho n tùy ý Ở đây, mỗi hàm Πkx(τ) chứa tham số e −aτ và thỏa mãn Πkx(0) = −xk(0) Vì thế tiệm cận cho x(t, ε) trên toàn bộ [0, T] có dạng x(t, ε) ∞
Một số đặc điểm của tiệm cận (1.13).
1 Tiệm cận (1.13) bao gồm hai chuỗi Một là chuỗi lũy thừa của ε tương tự với trường hợp nhiễu chính quy với hệ số chỉ phụ thuộc vào t.
Hai là chuỗi lũy thừa của ε có hệ số phụ thuộc vào thời gian dãn τ = t/ε Π 0 x(τ) +εΠ 1 x(τ) +ã ã ã+ε k Π k x(τ) +ã ã ã (1.14)
2 Chuỗi (1.14) có hai thuộc tính quan trọng Thứ nhất, vì xk(0) + Π k x(0) = 0, chuỗi (1.13) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0, ε) = 0 Nhắc lại rằng chuỗi (1.11) nói chung không thỏa mãn điều kiện này Mục đích của chuỗi (1.14) là thỏa mãn điều kiện ban đầu cùng chuỗi (1.11) Thứ hai, các hàm Π k x(τ) giảm theo cấp số mũ khi τ tăng, do đó chúng chỉ quan trọng trong một vùng lân cận nhỏ của điểm ban đầu t = 0 (trong lớp biên) Đối với t ≥ δ, trong đó δ là một số nhỏ tùy ý nhưng cố định, Πkx(τ) → 0 khi ε→ 0 nhanh hơn lũy thừa của ε Thật vậy, với t ≥ δ, chúng ta có thể viết e −aτ = e −at/ε ≤ e −aδ/ε = O ε N với N bất kỳ.
Ta gọi các hàm Π k x(τ) là hàm lớp biên Chuỗi (1.11) là chuỗi chính quy hoặc phần chính quy của nghiệm tiệm cận Chuỗi (1.14) là chuỗi lớp biên hoặc phần lớp biên của nghiệm tiệm cận.
3 Không giống như trường hợp nhiễu chính quy, ở đây nghiệm x0(t) của bài toán A0 (phần chính của chuỗi chính quy) là một xấp xỉ tiệm cận tới nghiệm x(t, ε) của bài toán A ε không trong toàn bộ khoảng 0 ≤ t ≤ T, mà ở ngoài lớp biên, ví dụ khoảng con δ ≤ t ≤ T Để có tiệm cận x(t, ε) cho toàn khoảng 0 ≤ t ≤ T, ta phải thêm hàm Π 0 x(τ) của chuỗi lớp biên vào x 0 (t) Khi đó sup [0,T ] |x(t, ε)−(x 0 (t) + Π 0 (τ))| = O(ε) Do vậy, tổng x 0 (t) + Π 0 x(τ) cung cấp một xấp xỉ tiệm cận cho x(t, ε) với độ chính xác là ε trên toàn bộ [0, T].
4 Ngoài lớp biên tất cả các hàm Π nhỏ hơn bất kì lũy thừa nào của ε, chuỗi chính quy (1.11) là tiệm cận cho x(t, ε).
5 Nếu a 0, hàm x(t, ε)→ ∞ khi ε→ 0 Vì thế x0(t) sẽ không phải là một tiệm cận (và chuỗi (1.11) sẽ không phải là một chuỗi tiệm cận) cho x(t, ε) ở bất kì khoảng con 0 ≤ t ≤ T Điều này cho thấy đối với trường hợp phương trình vi phân chịu nhiễu kì dị một số điều kiện đặc biệt ở vế phải của phương trình sẽ được đưa ra Trong ví dụ cụ thể này, điều kiện như vậy là a >0 Đối với các bài toán chịu nhiễu kì dị tổng quát hơn, dạng tổng quát của điều kiện này được giới thiệu trong chương tiếp theo.
Phương trình vi phân chịu nhiễu kì dị
Nội dung chương 2 dựa trên chương 2 của cuốn sách chuyên khảo [9] có chọn lọc các phần phù hợp với mục tiêu chính của luận văn, trình bày lại một số phần sao cho bớt dài và dễ nắm bắt hơn so với bản gốc đồng thời bổ sung thêm ví dụ và hình minh họa cho hai bài toán chính trong chương là bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên Trong cuốn sách [9],nội dung chính của Mục con 2.1.1 được trình bày dựa trên các công trình cơ bản của Tikhonov [6]–[8] về sự phụ thuộc của nghiệm của phương trình vi phân vào các tham số bé.
Bài toán giá trị ban đầu
Định lý về chuyển qua giới hạn
Xét bài toán giá trị ban đầu (dựa theo bài báo gốc, tham số bé được ký hiệu là ε > 0) εdz dt = F (z, y, t), dy dt = f (z, y, t), 0 ≤ t ≤ T, (2.1) z(0, à) =z 0 , y(0, à) =y 0 (2.2) Ở đây z và y là các hàm véc-tơ có số chiều tương ứng là M và m Các hàmF(z, y, t) vàf(z, y, t) liên tục cùng với đạo hàm theoz và y của chúng trong miền G = {∥z∥ ≤a,∥y∥ ≤ a,0 ≤ t ≤ T}.
Gọi z(t, ε) và y(t, ε) là nghiệm của (2.1), (2.2) Trong trường hợp tổng quát, ta không thể tìm được nghiệm chính xác của bài toán này Mục tiêu của ta là tìm nghiệm xấp xỉ dựa vào tính chất rằng tham số ε nhỏ Thay ε= 0 vào (2.1), thu được
Bậc của hệ này thấp hợp bậc của hệ ban đầu bởi vì phương trình đầu trong (2.3) không là phương trình vi phân Hệ (2.3) được gọi là hệ suy biến hoặc hệ rút gọn Đối với hệ này, ta chỉ cần sử dụng điều kiện ban đầu của y và không cần điều kiện ban đầu của z ¯ y(0) = y 0 (2.4)
Do đó, với ε = 0 ta thu được bài toán (2.3), (2.4) thay vì (2.1), (2.2).
Giải bài toán (2.3), (2.4) bằng cách biểu diễnz¯trong phương trình đầu của (2.3) thành một hàm củay¯vàt Cần chú ý rằng, phương trìnhF(¯z,y, t) = 0¯ có thể có nhiều nghiệm z Trong trường hợp này, phát sinh câu hỏi chọn¯ nghiệm nào thích hợp nhất Giả sử ta chọn được một nghiệm z¯ = φ(¯y, t) (định lý dưới đây giúp ta chọn đúng nghiệm) Thay nghiệm này vào phương trình thứ hai trong (2.3), thu được phương trình: d¯y dt = f(φ(¯y, t),y, t).¯ (2.5)
Giải phương trình (2.5) với điều kiện ban đầu (2.4), ta tìm được y(t),¯ từ đó tìm được z(t) =¯ φ(¯y(t), t) Việc xác định z(t)¯ và y(t)¯ là bài toán dễ hơn tìm nghiệm z(t, ε), y(t, ε) của bài toán (2.1), (2.2) ban đầu Thay vì giải hệ hai phương trình vi phân, ta phải giải phương trình F(¯z,y, t) = 0¯(không phải phương trình vi phân), rồi giải phương trình vi phân (2.5) với điều kiện ban đầu (2.4) không phụ thuộc vào tham số bé.
Một câu hỏi tự nhiên là: z(t)¯ và y(t)¯ có phải là xấp xỉ tiệm cận của z(t, ε), y(t, ε)khi ε→ 0 hay không? Cần chú ý rằng trong trường hợp tổng quát z(t)¯ không thỏa mãn điều kiện ban đầu (2.2), tức là z(0)¯ ̸= z 0 , bởi vì ta không sử dụng điều kiện ban đầu z 0 trong quá trình xác định z(t) Do¯ đó, ít nhất trong lân cận của điểmt = 0, hàmz(t)¯ không gầnz(t, ε) Nhưng liệu z(t)¯ có là xấp xỉ của z(t, ε) bên ngoài lân cận này? Ngược với z¯ và z, các giá trị của y(t)¯ và y(t, ε) trùng nhau tại t = 0 : ¯y(0) = y(0, ε) = y 0 , các hàm này sẽ gần nhau Nhưng điều này có đúng trên toàn bộ đoạn 0 ≤ t ≤ T? Câu trả lời cho các câu hỏi này có thể có hoặc không phụ thuộc vào điều kiện của hệ (2.1) và (2.3) Đặc biệt, nó phụ thuộc vào cách chọn nghiệm z(t) =¯ φ(¯y(t), t).
Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
1 0 Giả sử phương trình F(¯z,y, t) = 0¯ có nghiệm cô lập theo z¯: ¯z(t) φ(¯y(t), t),(¯y, t) ∈ D = {∥¯y∥ ≤ a,0 ≤ t ≤ T}, và giả sử bài toán (2.3), (2.4) có nghiệm duy nhất theo nghiệm này trong đoạn 0 ≤ t ≤ T.
Hai điều kiện dưới đây cho biết cần phải chọn nghiệm nào Xét hệ liên kết: d˜z dτ = F(˜z, y, t), τ ≥ 0 (2.6) Trong đó τ là biến, y và t là các tham số thỏa mãn (y, t)∈ D.
Theo điều kiện 1 0 , z˜= φ(y, t) là điểm dừng của hệ (2.6).
2 0 Giả sử điểm dừng z˜= φ(y, t) của hệ liên kết ổn định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov, đều theo (y, t) ∈D khi τ → ∞. Điều này cú nghĩa với bất kỳ à > 0, tồn tại δ = δ(à) > 0 sao cho nếu
Phương trình F(z, y, t) = 0 có thể có nhiều nghiệm thỏa mãn điều kiện2 0 Để đưa ra cách chọn nghiệm cuối cùng, xét hệ liên kết (2.6) với tham số ban đầu y = y 0 và t = 0: d˜z dτ = F(˜z, y 0 ,0), (2.7) với điều kiện ban đầu ˜ z(0) = z 0 (2.8) Ở đây z 0 chính là véc-tơ trong (2.2) Nói chung, véc-tơ này không gần với điểm dừng z˜ = φ(y 0 ,0) của hệ (2.7) vì điều kiện (2.2) độc lập Do đó nghiệm z(τ˜ ) của (2.7), (2.8) có thể không nhất thiết dần tới điểm dừng φ(y 0 ,0) khi τ → ∞ Ta cần điều kiện z(τ˜ ) dần tới điểm dừng.
3 0 Giả sử nghiệm z(τ˜ ) của bài toán (2.7), (2.8) tồn tại với τ ≥ 0 và dần tới điểm dừng φ(y 0 ,0) khi τ → ∞.
Trong trường hợp này ta nói rằng z 0 thuộc tập hút của điểm dừng φ(y 0 ,0) Do đó, điều kiện 2 0 và 3 0 cho phép ta chọn đúng nghiệm của phương trình F(z, y, t) = 0. Định lý 2.1.1 (Tikhonov) Với điều kiện 1 0 −3 0 và với ε đủ nhỏ, bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất z(t, ε), y(t, ε) thỏa mãn giới hạn ε→0limy(t, ε) = ¯y(t) với 0 ≤ t ≤ T, ε→0limz(t, ε) = ¯z(t) với 0 < t ≤ T.
Các giới hạn trên cho thấy khi ε → 0, nghiệm z(t, ε), y(t, ε) của (2.1), (2.2) dần tới nghiệm của bài toán rút gọn (2.3), (2.4).
Chú ý rằng quá trình chuyển sang giới hạn đối với y diễn ra với mọi t trong đoạn 0 ≤ t ≤ T Hơn nữa, giới hạn trên là giới hạn đều Quá trình chuyển qua giới hạn đối với z diễn ra với mọi t ngoại trừ tại t = 0 Điều này suy ra từ z(0, ε) = z 0 ̸= ¯z(0) Quá trình chuyển qua giới hạn theo z là đều bên ngoài một lân cận nhỏ của điểm ban đầu.
Do đó, y¯ là phép xấp xỉ tiệm cận của y(t, ε) trong cả đoạn 0 ≤ t ≤ T,và z¯ là phép xấp xỉ tiệm cận của z(t, ε) với δ ≤ t ≤ T, trong đó δ là hằng số nhỏ tùy ý.
Vì tính phức tạp và độ dài của chứng minh, nên trong luận văn sẽ không trình bày lại cách chứng minh của định lý Tikhonov Độc giả quan tâm có thể tìm đọc trong tài liệu [10].
Ta giải thích vai trò của điều kiện 2 0 và 3 0 đối với định lý này.
Trong (2.1), nếu đổi biến τ = t/ε (τ là thời gian dãn) thì ta thu được bài toán dz dτ = F(z, y, τ ε), dy dτ =εf(z, y, τ ε) (2.9) với điều kiện ban đầu z|τ=0 = z 0 , y|τ=0 =y 0
Xét dáng điệu định tính của nghiệm của hệ (2.9) với τ ∈ [0, τ 0 ], τ 0 > 0.
Vì ε nhỏ, vế phải của phương trình thứ hai nhỏ: εf = O(ε), tức là tốc độ thay đổi dy/dτ của biến y theo τ có cấp ε Do đó, giá trị của y mà bằng y 0 tại thời điểm ban đầu sẽ chỉ thay đổi một lượng nhỏ trong đoạn 0 ≤ τ ≤ τ0 (không nhiều hơn cấp ε), nghĩa là y = y 0 +O(ε) với 0 ≤ τ ≤ τ0.
Thế biểu thức này vào phương trình đầu trong (2.9), ta được dz dτ = F(z, y 0 +O(ε), τ ε) (2.10)
Trong đoạn bị chặn 0 ≤ τ ≤ τ0, phương trình (2.10) có thể được coi là nhiễu chính quy của phương trình dz dτ = F(z, y 0 ,0) (2.11) thu được từ phương trỡnh (2.10) khi à = 0.
Khi à nhỏ, nghiệm của (2.10) và (2.11) với cựng điều kiện ban đầu z| τ=0 = z 0 gần nhau trong [0, τ0] Tuy nhiên, phương trình (2.11) chính là phương trình liên kết (2.7) Do đó, trong0 ≤ τ ≤ τ 0 , tức là với 0 ≤ t ≤ τ 0 ε, nghiệm của (2.7) với điều kiện ban đầu (2.8) dần tới φ(y 0 ,0) khi τ tăng.
Do đó, điều kiện 3 0 kéo theo phép chuyển đổi nhanh của z(t, ε) từ giá trị z 0 tại t = 0 tới một giá trị gần với φ(y, t) tại t = τ0ε Điều kiện 2 0 đảm bảo z(t, ε) vẫn gần z(t)¯ sau đó.
Thuật toán tiệm cận
Định lý 2.1.1 cho thấy y(t)¯ là xấp xỉ tiệm cận của nghiệm y(t, ε) trong 0 ≤ t ≤ T và z(t)¯ là xấp xỉ tiệm cận của z(t, ε) ngoài lớp biên của bài toán (2.1), (2.2) với ε nhỏ Tuy nhiên nó không đưa ra cấp chính xác của các xấp xỉ tiệm cận này Ta có thể chỉ ra rằng cấp chính xác này là ε và cần xây dựng xấp xỉ tiệm cận của z(t, ε) trên cả đoạn 0 ≤ t ≤ T (phép xấp xỉ đều). Để xây dựng phép xấp xỉ tiệm cận với độ chính xác cao hơn cho nghiệm của bài toán (2.1), (2.2), ta cần một số điều kiện bổ sung đối với F và f.
4 0 Giả sử các hàm F(z, y, t) và f(z, y, t) khả vi vô hạn lần trong miền G.
Ký hiệu λ i (t) (i = 1, , M) là các giá trị riêng của ma trận F¯ z (t) Fz(¯z(t),y(t), t) Điều kiện¯ 2 0 của Định lý 2.1.1 được thay bằng điều kiện sau (cũng gọi là điều kiện 2 0 )
Chú ý rằng điều kiện 2 0 của Định lý 2.1.1 được suy ra từ điều kiện này.
Khai triển tiệm cận của nghiệm của (2.1), (2.2) được tìm dưới dạng x(t, ε) = ¯x(t, ε) + Πx(τ, ε) (2.12) Ở đây τ = t/ε, và x = {z, y}, phần chính quy và phần lớp biên của phép khai triển lần lượt là ¯ x(t, ε) = ¯x 0 (t) +àx¯ 1 (t) +ã ã ã+à k x¯ k (t) +ã ã ã , (2.13) Πx(τ, ε) = Π 0 x(τ) +εΠ 1 x(τ) +ã ã ã +ε k Π k x(τ) +ã ã ã (2.14) Thay chuỗi (2.12) vào hệ (2.1), ta thu được đẳng thức εd¯z dt + dΠz dτ = F(¯z+ Πz,y¯+ Πy, t), d¯y dt + 1 ε dΠy dτ = f(¯z+ Πz,y¯+ Πy, t).
Biểu diễn vế phải của các phương trình này dưới dạng tương tự như (2.12): F = ¯F + ΠF, f = ¯f + Πf Ta minh họa đối với hàm F
Các đẳng thức (2.15) khi này được viết lại thành εd¯z dt + dΠz dτ = ¯F + ΠF, d¯y dt + 1 ε dΠy dτ = ¯f + Πf (2.16)
Thay chuỗi (2.13) và (2.14) của x(t, ε)¯ và Πx(τ, ε) vào (2.16) và biểu diễn F ,¯ ΠF,f¯và Πf dưới dạng chuỗi lũy thừa của biến ε
= ¯F 0 +εF¯ 1 +ã ã ã+ε k F¯ k +ã ã ã , (2.17) trong đó các phần tử của ma trận F¯ z (t) và F¯ y (t) được tính tại điểm (¯z 0 (t),y¯ 0 (t), t), và các hàm F k (t) được biểu diễn truy hồi theo z¯ i (t) và ¯ yi(t) với i < k, ΠF = F z¯0(τ ε) +ε¯z1(τ ε) +ã ã ã+ Π0z(τ) +εΠ1z(τ) +ã ã ã , ¯ y 0 (τ ε) +ε¯y 1 (τ ε) +ã ã ã+ Π 0 y(τ) +εΠ 1 y(τ) +ã ã ã , τ ε
Fz(τ)Πkz(τ) +Fy(τ)Πky(τ) +Gk(τ)
= Π 0 F +εΠ 1 F +ã ã ã+ε k Π k F +ã ã ã , (2.18) trong đó các phần tử F z (τ) và F y (τ) được tính tại điểm (¯z 0 (0) + Π 0 z(τ), ¯ y 0 (0) + Π 0 y(τ),0) và các hàm G k (τ) được biểu diễn truy hồi theo Π i z(τ) và Π i y(τ) với i < k Tương tự với biểu diễn của f¯và Πf.
Cân bằng các hệ số của các lũy thừa của ε ở cả hai vế của (2.16), ta thu được hệ phương trình cho các số hạng trong chuỗi (2.13) và (2.14).
Với x¯ 0 (t) ¯ z 0 (t),y¯ 0 (t) , ta thu được hệ phương trình
Hệ này trùng với hệ suy biến (2.3).
Với số hạng đầu tiên Π 0 x(τ) Π 0 z(τ),Π 0 y(τ) của phần lớp biên của công thức tiệm cận, ta thu được hệ phương trình dΠ0z dτ = Π0F = F z¯0(0) + Π0z,y¯0(0) + Π0y,0
(Do theo phương trình đầu của (2.19) thì F z¯ 0 (0),y¯ 0 (0),0
= 0.) Đối với các số hạng x¯ k (t) và Π k x(τ)(k ≥ 1) ta có phương hệ phương trình (gọi là hệ biến phân) d¯zk−1 dt = ¯Fk = ¯Fz(t)¯zk+ ¯Fy(t)¯yk +Fk(t), dy¯k dt = ¯fk = ¯fz(t)¯zk + ¯fy(t)¯yk+fk(t),
(2.22) Ở đây các hàm f k (t) và F k (t) được biểu diễn một cách truy hồi thông qua ¯ zi(t) và y¯i(t) với i < k Các hàm Gk(τ) được biểu diễn một cách truy hồi thông qua Πiz(τ) và Πiy(τ) với i < k, và Π k−1 f là hệ số của ε k−1 trong khai triển chuỗi lũy thừa củaΠf theo ε(tương tự như khai triển của ΠF), ví dụ
. (2.24) Để xác định nghiệm của (2.21) và (2.22), ta cần có điều kiện ban đầu.
Thay (2.12) vào điều kiện (2.2), ta thu được ¯ z0(0) +ε¯z1(0) +ã ã ã+ Π0z(0) +εΠ1z(0) +ã ã ã =z 0 , ¯ y 0 (0) +ε¯y 1 (0) +ã ã ã+ Π 0 y(0) +εΠ 1 y(0) +ã ã ã = y 0 Do đú, cõn bằng cỏc hệ số theo số mũ của à ta thu được ¯ z 0 (0) + Π 0 z(0) = z 0 , y¯ 0 (0) + Π 0 y(0) = y 0 , (2.25) ¯ z k (0) + Π k z(0) = 0, y¯ k (0) + Π k y(0) = 0, k = 1,2, (2.26)
Phương trình (2.25) chứa 4 ẩn: z¯0(0), Π0z(0), y¯0(0), Π0y(0) Phương trình (2.26) cũng vậy Rõ ràng nếu chỉ sử dụng (2.25) thì ta không thể xác định được 4 ẩn này Do vậy ta cần xét đến một số ý tưởng bổ sung Thứ nhất, từ phương trình đầu trong (2.19) ta có thể xác định z¯ 0 (t) mà không cần điều kiện ban đầu cho nó Do đó z¯ 0 (0) là đã biết trong (2.25) Tương tự với đại lượng z¯ k (0) trong hệ (2.26) Thứ hai, vì các hàm Π k x(τ) phải
→ ∞ Do đó, ta chỉ cần ràng buộc điều kiện này cho các hàm Π k y(τ), hệ quả là dựa trên điều kiện 2 0 tính chất này cũng đúng với Πkz(τ) Do đó, ta đưa ra điều kiện Π k y(∞) = 0, k = 0,1,2, (2.27)
Thật vậy từ (2.19)-(2.22) cùng với điều kiện (2.25)–(2.27) ta có thể xác định tất cả các số hạng của chuỗi (2.13), (2.14) theo thứ tự như sau.
Từ phương trình thứ hai của (2.20) và điều kiện Π0y(∞) = 0 từ (2.27), ta thu được Π0y(τ) ≡ 0.
Tính chất này đồng nghĩa với việc hàm y(t, ε) không có lớp biên trong phép xấp xỉ bậc không.
Từ đẳng thức thứ hai của (2.25) ta tìm được y¯ 0 (0) =y 0 −Π 0 y(0) = y 0 Do đó hệ (2.19) trùng với hệ rút gọn (2.3) có điều kiện ban đầu trùng với (2.4) Lấy nghiệm của hệ (2.3), (2.4) là nghiệm xác định trong Định lý 2.1.1: z¯ 0 = ¯z(t) =φ(¯y, t),y¯ 0 = ¯y(t) Khi đó, số hạng đầu tiên z¯ 0 (t) và y¯ 0 (t) của phần chính quy của khai triển tiệm cận được xác định và trùng với nghiệm giới hạn trong Định lý 2.1.1.
Vì z¯0(t) đã xác định, nên giá trị z¯0(0) là xác định Từ đẳng thức đầu của (2.25) thu được Π0z(0) =z 0 −z¯0(0) =z 0 −φ(y 0 ,0) (2.28)
Từ phương trình đầu của (2.20) (Π0y(τ) = 0) với điều kiện ban đầu (2.28) bằng phép đổi biến z(τ˜ ) = Π0z(τ) +φ(y 0 ,0) bài toán của Π0z trở thành bài toán (2.7), (2.8) Theo điều kiện 3 0 có Π0z(τ) → 0 khi τ → ∞.
Sử dụng điều kiện 2 0 có thể chứng minh Π0z(τ) thỏa mãn đánh giá cấp mũ (xem [10])
∥Π 0 z(τ)∥ ≤ce −κτ , τ ≥ 0 (2.29) Ở đây và về sau, ký hiệu c và κ chỉ các số dương thích hợp, là khác nhau trong các phương trình khác nhau.
Khi z là hàm vô hướng, đánh giá (2.29) cho nghiệmΠ 0 z(τ)của bài toán gồm phương trình đầu của (2.20) và điều kiện (2.28) có thể thu được theo cách đơn giản Trong trường hợp này, điều kiện 2 0 tương ứng với bất đẳng thức
Theo định lý giá trị trung bình, phương trình đầu của (2.20) được viết lại dưới dạng dΠ0z dτ = Fz(¯z0(0) +θΠ0z(τ), y 0 ,0)Π0z, trong đó 0 < θ 0 và τ 0 >0 sao cho F z z¯ 0 (0) +θΠ 0 z(τ), y 0 ,0
≤ ce −κ(τ−τ 0 ) =c 1 e −κτ , (2.32) với c 1 small> κτ 0 Ký hiệu c 1 bởi c, ta thu được ước lượng (2.29) cho Π 0 z(τ).
Do đó, ta xác định được tất cả các số hạng của phép xấp xỉ bậc không.
Tiếp tục quá trình theo lược đồ tương tự với bất kỳ k ≥ 1 Giả sử đã xác định được tất cả các số hạng lên tới cấp k− 1, và các hàm Πi (Πiz và Π y) với i = 0,1, , k−1 thỏa mãn đánh giá cấp mũ kiểu (2.29) Khi đó, các số hạng không thuần nhất trong hệ tuyến tính (2.21), (2.22), tức là các số hạng d¯z k−1 /dt, Fk(t), fk(t), Gk(τ),Π k−1 f là các hàm đã biết, và Gk(τ),Π k−1 f thỏa mãn đánh giá kiểu (2.29) Đánh giá của G1(t) và Π0f được suy ra trực tiếp từ công thức (2.23), (2.24) và từ đánh giá mũ của Π0z(τ).
Từ phương trình thứ hai của (2.22) ta được Π k y(τ) =C +
Z τ 0 Π k−1 f(s)ds, với C là một hằng số bất kỳ Từ đây sử dụng điều kiện (2.27), thu được Πky(τ) Z τ
Sử dụng ký hiệuc thay choc/κ, thu được đánh giá kiểu (2.29) cho Π k y(τ).
Từ (2.33), ta thu được Πky(0) Z 0
Do đó từ đẳng thức thứ hai trong (2.26) ta tính được y¯k(0) ¯ y k (0) =−Π k y(0) Z ∞ 0 Π k−1 f(s)ds (2.34)
Các hàm số z¯ k (t) và y¯ k (t) được xác định từ hệ (2.21) với điều kiện ban đầu (2.34) Từ phương trình thứ nhất của (2.21) tìm được z¯ k theo y¯ k như sau ¯ zk = ¯F z −1 (t) d¯zk−1 dt −F¯y(t)¯yk−Fk(t)
Chú ý rằng theo điều kiện 2 0 ,det ¯F z (t) ̸= 0, và do đó tồn tại F¯ z −1 (t).
Thay biểu thức này vào phương trình thứ hai của (2.21), thu được phương trình vi phân tuyến tính của y¯k(t) Giải phương trình với điều kiện ban đầu (2.34), tìm được y¯k(t), và do đó tìm được z¯k(t) từ công thức (2.35).
Do vậy giá trị của z¯k(0) trong đẳng thức đầu tiên của (2.26) là xác định.
Từ đây thu được điều kiện ban đầu củaΠ k z: Π k z(0) =−z¯ k (0) Cuối cùng, ta giải phương trình đầu trong (2.22) với điều kiện ban đầu vừa tìm được.
Vì Π k y(τ) đã biết và do hàm này và hàm G k (τ) thỏa mãn đánh giá cấp mũ nên hàm G˜ k (τ) = F y (τ)Π k y(τ) +G k (τ) thỏa mãn đánh giá
∥G˜ k (τ)∥ ≤ce −κτ (2.36) Nghiệm Π k z(τ) được viết dưới dạng Πkz(τ) = −Φ(τ)¯zk(0) +
Z τ 0 Φ(τ)Φ −1 (s) ˜Gk(s)ds, (2.37) trong đó Φ(τ) là ma trận cơ bản của phương trình thuần nhất tương ứng dΦ dτ = Fz(τ)Φ, Φ(0) = IM trong đó I M ký hiệu cho ma trận đơn vị cấp M. Dựa vào điều kiện 2 0 , ma trận cơ bản Φ(τ) thỏa mãn tính chất sau (xem [10])
∥Φ(τ)∥ ≤ ce −κτ , τ ≥ 0 (2.38) Trong trường hợp z là hàm vô hướng, ta có Φ(τ) =e
R τ0 F z (s)ds,và tương tự như cách chứng minh (2.32), ta dễ dàng thu được đánh giá(2.38).
Sử dụng các bất đẳng thức (2.36) và (2.38), từ (2.37) ta thu được
Chọn κ1 thỏa mãn 0 < κ1 < κ Vì τ e −(κ−κ 1 )τ ≤ c, ta có τ e −κτ ≤ ce −κ 1 τ Một lần nữa sử dụng ký hiệu κ thay cho κ1 và c thay cho tất cả các hằng số cùng kiểu, cuối cùng ta thu được
Do vậy thuật toán bên trên cho phép xác định được các số hạng của chuỗi (2.13) và (2.14) đến bậc n bất kỳ Ngoài ra ta còn thấy được rằng tất cả các hàm biên Πi giảm theo cấp mũ.
Ví dụ 2.1.2 Ta xây dựng xấp xỉ tiệm cận bậc không và bậc một cho nghiệm của bài toán sau εdz dt = −z+y+t 2 , dy dt = 2z−y+ 1,
(2.39) z(0) = 1, y(0) = −1, t ∈ [0,1] (2.40) Nghiệm của bài toán suy biến
Với Π 0 y(τ) ≡ 0, hàm biên Π 0 z(τ) được xác định từ bài toán dΠ0z dτ = −Π0z, Π0z(0) = 2.
Từ đây ta thu được Π 0 z(τ) = 2e −τ = 2e −t/ε
Hàm biên Π 1 y(τ) được xác định từ bài toán dΠ1y dτ = 2Π0z−Π0y = 4e −τ , Π1y(∞) = 0.
Nghiệm của bài toán này là Π 1 y(τ) =−4e −τ = −4e −t/ε Các hàm chính quy bậc nhất z 1 (t), y 1 (t) được xác định từ bài toán
Giải bài toán trên, ta thu được y 1 (t) = 8e t (2−t)−4t−12, z1(t) = 4e t (3−2t)−2t−8.
Cuối cùng, hàm biên Π1z(τ) được xác định từ bài toán dΠ 1 z dτ = −Π 1 z+ Π 1 y = −Π 1 z−4e −τ , Π 0 z(0) = −4.
Nghiệm của bài toán này là Π 1 z(τ) = −4(τ+ 1)e −τ =−4(t/ε+ 1)e −t/ε Vậy ta thu được các tiệm cận bậc không và bậc nhất của nghiệm của bài toán (2.39), (2.40) như sau ze 0 (t) = z 0 (t) + Π 0 z(τ) = 4e t −t 2 −4t−5 + 2e −t/ε , ey0(t) = y 0 (t) + Π0y(τ) = 4e t −2t 2 −4t−5, ze 1 (t) = ez 0 (t) +ε(z 1 (t) + Π 1 z(τ)) = 4e t −t 2 −4t−5 + 2e −t/ε
Lưu ý: Nghiệm chính xác cho bài toán (2.39), (2.40) là z(t, ε) = (1 +λ1)C1
√ ε 2 +6ε+1 2ε và các hằng số C 1 , C 2 được xác định bằng cách sử dụng điều kiện ban đầu (2.40).
Đánh giá độ chính xác của xấp xỉ tiệm cận
X k=0 ε k [¯x k (t) + Π k x(τ)]. Định lý sau đây được phát biểu bởi Vasil’eva (xem [10]) Định lý 2.1.3 Dưới các điều kiện 1 0 –4 0 , chuỗi (2.12) là chuỗi tiệm cận khi ε → 0 của nghiệm x(t, ε) = {z(t, ε), y(t, ε)} của bài toán (2.1), (2.2) trong đoạn 0 ≤ t ≤ T với độ chính xác bậc ε n+1 , nghĩa là
Chi tiết chứng minh của định lý được trình bày trong Vasil’eva vàButuzov [10].
Bài toán giá trị biên
Xét hệ εdz dt = F(z, y, t), dy dt = f(z, y, t), 0 ≤ t ≤ T, (2.42) trong đó y là véc-tơ m chiều và z chứa hai thành phần vô hướng z1 và z2. Giả sử điều kiện 1 0 của Mục 2.1.1 được thỏa mãn, và giả sử giá trị riêng λ 1,2 (t) của ma trận F¯ z (t) = F z (¯z 0 (t),y¯ 0 (t), t) (ở đây z¯ 0 (t),y¯ 0 (t) là nghiệm của bài toán rút gọn (2.19) trong Mục 2.1.2) thay vì thỏa mãn điều kiện 2 0 (xem Mục 2.1.2), thỏa mãn điều kiện
Bằng các ví dụ đơn giản, ta có thể chỉ ra nghiệm của bài toán giá trị ban đầu như trên không bị chặn khi ε→ 0 Do đó, ta không áp dụng được định lý chuyển qua giới hạn.
Ví dụ 2.2.1 Xét bài toán εdz 1 dt = z2−1, εdz 2 dt = z1+ 1, z1(0, ε) = 0, z2(0, ε) = 1.
Ma trận F¯z có các giá trị riêng λ1 = −1 và λ2 = 1 Nghiệm chính xác của bài toán là z 1 = e t/ε +e −t/ε
Hiển nhiên, z1 và z2 không bị chặn khi ε → 0 và do vậy không tồn tại giới hạn của nghiệm tới z¯1 = −1, z¯2 = 1 của hệ suy biến khi ε→ 0. Đối với bài toán (2.42) tổng quát hơn trong trường hợp điều kiện 2 ′ biên (giả sử rằng T = 1) z 1 (0, ε) = z 1 0 , z 2 (1, ε) = z 2 0 , (2.43) và giữ lại điều kiện ban đầu của y y(0, ε) = y 0 (2.44)
Việc nghiên cứu bài toán nhiễu kì dị dạng này cho thấy nghiệm dần tới nghiệm của bài toán suy biến khi chỉ giữ lại điều kiện ban đầu đối với y Xấp xỉ tiệm cận của nghiệm sẽ chứa các hàm biên xuất hiện không chỉ trong lân cận của điểm t = 0 mà còn trong lân cận của điểm t = 1.
Ví dụ 2.2.2 Xét phương trình vi phân của Ví dụ 2.2.1 với điều kiện biên z1(0, ε) = 0, z2(1, ε) = 0 Nghiệm chính xác của bài toán có dạng z1 = −1 +1 +e −1/ε
Từ những công thức này ta thấy các lớp biên xuất hiện trong lân cận của cả hai đầu mút của đoạn [0,1] Ngoài ra, chú ý rằng z1 và z2 dần tới nghiệm z¯1 = −1, z¯2 = 1 của hệ suy biến trong khoảng (0,1) khi ε → 0.
Nghiệm tiệm cận của bài toán (2.42)–(2.44) được xây dựng dưới dạng sau (trong đó x = {z, y}) x(t, ε) = ¯x(t, ε) + Πx(τ0, ε) +Qx(τ1, ε) (2.45) Ở đâyx(t, ε)¯ là chuỗi chính quy thông thường, Πx(τ0, ε)(τ0 =t/ε)là chuỗi lớp biên trong lân cận của t = 0 và Qx(τ1, ε) (τ1 = (t−1)/ε) là chuỗi lớp biên trong lân cận của t = 1 ¯ x(t, ε) ∞
Thay (2.45) vào (2.42), ta thu được εd¯z dt + dΠz dτ0
Các biểu thức của f ,¯ Πf, Qf được định nghĩa tương tự.
Chú ý rằng, (2.46) và (2.16) khác nhau Trước đây, biểu thức F¯ + ΠF được rút ra từ phép biến đổi đồng nhất
F(¯z+ Πz+Qz,y¯+ Πy+Qy, t) = ¯F + ΠF +QF (2.48) không chính xác về mặt hình thức, và phép thế F¯ + ΠF +QF thay cho F được coi là một bước của thuật toán đề xuất để xây dựng chuỗi (2.45) Ta có thể giải thích phép thế này như sau Tất cả mọi nơi ngoại trừ trong lân bất kỳ của ε khi ε→ 0 Do đó, đẳng thức (2.48) sẽ được thỏa mãn với cấp chính xác ε N (ở đây N là số tùy ý), nó sẽ gần như thỏa mãn (2.47) Mặt khác, tất cả mọi nơi ngoại trừ trong lân cận của t = 0, các hàm Πkx nhỏ hơn lũy thừa bất kỳ của ε và đẳng thức (2.48) cũng được thỏa mãn với cấp chính xác ε N Do đó, đẳng thức (2.48) đúng với cấp chính xác ε N mọi nơi trong [0,1]. Đối với hệ số của phép mở rộng ΠF, ta cũng có biểu diễn tương tự nhưng thay τ bằng τ 0 Đối với QF, ta có biểu diễn tương tự nhưng đổi t = 0 thành t = 1 và thay τ bằng τ 1 Các biểu diễn tương tự cũng đúng với Πf và Qf.
Thay (2.45) vào điều kiện biên (2.43), (2.44) và giả sử tiên nghiệm rằng Πkx(1/ε) và Qkx(−1/ε) nhỏ hơn mọi lũy thừa của ε, ta thu được ¯ z10(0) +ε¯z11(0) +ã ã ã+ Π0z1(0) +εΠ1z1(0) +ã ã ã = z 0 1 , ¯ z 20 (1) +ε¯z 21 (1) +ã ã ã+Q 0 z 2 (0) +εQ 1 z 2 (0) +ã ã ã = z 2 0 , (2.49) ¯ y0(0) +ε¯y1(0) +ã ã ã+ Π0y(0) +εΠ1y(0) +ã ã ã = y 0
(chỉ số dưới thứ nhất của z¯1k và z¯2k ký hiệu thành phần của vector z).¯
Trong (2.46), ta lần lượt cân bằng các số hạng chứa t, τ0 và τ1 một cách riêng rẽ Với số hạng bậc không, ta thu được
(hiển nhiên đây là hệ suy biến của (2.42) ban đầu) dΠ 0 z dτ0
Các điều kiện bổ sung được suy ra từ (2.49) Cân bằng hệ số của ε 0 ta thu được ¯ z 10 (0) + Π 0 z 1 (0) = z 1 0 , (2.52) ¯ z 20 (1) +Q 0 z 1 (0) = z 2 0 , ¯ y0(0) + Π0y(0) = y 0 (2.53)
Thêm vào đó cần áp đặt các điều kiện giảm cấp mũ lên các hàm biên tương tự như các điều kiện trong Mục 2.1.2 Chẳng hạn, với các hàm biên Πky(τ0) và Qky(τ1) thì điều kiện này là Πky(∞) = 0, Qky(−∞) = 0, k = 0,1,2,
Khi đó Π0y(τ0) ≡ 0, Q0y(τ1) ≡ 0 và từ (2.53) ta thu được y¯0(0) = y 0 Nghiệm z¯0(t),y¯0(t) của hệ (2.50) với điều kiện ban đầu y¯0(0) = y 0 chính là nghiệm của hệ suy biến Giả sử với nghiệm này, điều kiện 2 ′ được thỏa mãn.
Xét bài toán (2.51), (2.52) Do Π 0 y(τ 0 ) = 0, ta suy ra dΠ0z dτ 0 = F(¯z 0 (0) + Π 0 z, y 0 ,0), (2.54) Π 0 z 1 (0) =z 1 0 −z¯ 10 (0) (2.55)
Vì Π 0 z là hàm véc-tơ hai chiều và chỉ có trước một điều kiện (2.55) nên điều kiện này không giúp xác định duy nhất nghiệm Để tìm Π 0 z và các hàm Π khác, ta cần bổ sung điều kiện rằng chúng dần về không khi τ 0 → ∞ Πkz(∞) = 0, k = 0,1,2, tiệm cận: nó là điểm yên ngựa Để xác định được toàn bộ nghiệm Π 0 z(τ 0 ) ta đưa ra điều kiện sau, tương tự với điều kiện 3 0 của Mục 2.1.1.
3 ′ Đường thẳng Π0z1 = z 1 0 − z¯10(0) giao với đường phân tách đi qua điểm dừng (điểm yên ngựa) Π0z = 0 của hệ (2.54) khi τ0 → ∞.
Tương tự có thể chứng minh được Π0z(τ0) thỏa mãn ước lượng mũ
Hàm biên Q0z(τ1) được xác định tương tự như hàm Π0z(τ0) với điều kiện tương tự như điều kiện 3 ′ (được gọi là điều kiện 3 ′′ ) Khi đó hàm Q0z(τ1) có ước lượng mũ kiểu (2.56)
∥Q0z(τ1)∥ ≤ce κτ 1 , τ1 ≤ 0 (2.57) Đến đây các hàm số bậc không hoàn toàn được xác định.
Bây giờ ta xét các phương trình của x¯1(t) và Π1x(τ0) d¯z 0 dt = ¯F z (t)¯z 1 + ¯F y (t)¯y 1 , d¯y 1 dt = ¯f z (t)¯z 1 + ¯f y (t)¯y 1 , (2.58) trong đóF¯z(t) = Fz(¯z0(t),y¯0(t), t)vàF¯y(t),f¯z(t),f¯y(t)được xác định tương tự dΠ 1 z dτ0
(2.59) trong đóFz(τ0) = Fz z¯0(0) + Π0z(τ0), y 0 ,0 vàFy(τ0)được xác định tương tự, G1(τ0) được cho trước theo công thức (2.23) Các điều kiện bổ sung của (2.58) và (2.59) là ¯ z11(0) + Π1z1(0) = 0, y¯1(0) + Π1y(0) = 0, (2.60) Π 1 z(∞) = 0, Π 1 y(∞) = 0 (2.61)
Từ phương trình thứ hai của (2.59) và điều kiện (2.61) kéo theo Π1y(τ0) =−
Z ∞ 0 Π 0 f(s)ds, và từ điều kiện thứ hai của (2.60) ta thu được ¯ y1(0) Z ∞ 0 Π0f(s)ds. Điều kiện ban đầu này giúp xác định duy nhất nghiệm z¯1(t), y¯1(t) của hệ phương trình tuyến tính (2.58).
Sử dụng phương trình thứ nhất của (2.59) và các điều kiện biênΠ 1 z 1 (0) −¯z 11 (0), Π 1 z(∞) = 0 để xác định Π 1 z(τ 0 ) Có thể chứng minh được các điều kiện này giúp xác định duy nhất Π 1 z(τ 0 ) (xem [10]).
Bài toán của Q 1 x(τ 1 ) có dạng dQ1z dτ 1 = Fz(τ1)Q1z+Fy(τ1)Q1y+H1(τ1), dQ1y dτ 1 = Q0f, (2.62) ¯ z21(1) +Q1z2(0) = 0, (2.63)
Q 1 z(−∞) = 0, Q 1 y(−∞) = 0 (2.64) Ở đâyF z (τ 1 ) = F z (¯z 0 (1) +Q 0 z(τ 1 ),y¯ 0 (1),1) và F y (τ 1 ) được xác định tương tự, H 1 (τ 1 ) có cùng cấu trúc như G 1 (τ 0 ) trong (2.23).
Phương trình thứ hai của (2.62) kết hợp với điều kiện (2.64) cho nghiệm
Hàm z¯21(t) đã biết nên để xác định Q1z(τ1) ta sử dụng phương trình thứ nhất của (2.62) với các điều kiện bổ sung là Q1z2(0) = −z¯21(1) vàQ 1 z(−∞) = 0 Các điều kiện này cho phép ta xác định duy nhất Q 1 z(τ 1 ).
Tương tự, ta có thể xác định x¯ k (t),Π k x(τ 0 ), Q k x(τ 1 ) từng cặp một với bất kỳ k Với các hàm Πk và hàm Qk, đánh giá mũ kiểu (2.56) và (2.57) được thỏa mãn.
Ví dụ 2.2.3 Xây dựng xấp xỉ tiệm cận bậc không và bậc một của nghiệm của bài toán εdz1 dt =yz2−3, εdz2 dt = yz1, dy dt =z1+ 1, t ∈ (0,1), z1(0, ε) = −1, z2(1, ε) = 1, y(0, ε) = 1.
Các số hạng chính quy bậc không là nghiệm của bài toán
0 = y 0 z 20 −3, 0 = y 0 z 10 , dy 0 dt = z 10 + 1, y 0 (0) = 1 (2.65) Nghiệm của bài toán này là ¯ z 10 (t) = 0, y¯ 0 (t) = 1 +t, z¯ 20 (t) = 3
Các giá trị riêng của ma trận F z là λ 1,2 = ±y¯ 0 (t) và do đó điều kiện 2 ′ được thỏa mãn.
Với Π0y(τ0) = 0, hệ (2.54) với điều kiện (2.55) và điều kiện giảm tại vô cùng có dạng dΠ 0 z 1 dτ0
Giải bài toán trên ta thu được nghiệm Π0z1(τ0) = −e −τ 0 và Π0z2(τ0) e −τ 0
Tương tự, với Q 0 z 1 và Q 0 z 2 , ta có dQ0z1 dτ 1 = 2Q0z2, dQ0z2 dτ 1 = 2Q0z1, τ1 ≤ 0,
Giải hệ này ta thu được Q0z2 = Q0z1 = − 1 2 e 2τ 1 Do vậy tất cả các số hạng bậc không đã được xác định. Π1y(τ0) và Q1y(τ1) được xác định từ hệ sau dΠ 1 y dτ0
Giải hệ này ta thu được Π 1 y(τ 0 ) =e −τ 0 và Q 1 y(τ 1 ) =− 1 4 e 2τ 1 Và do vậy y 1 (0) = −Π1y(0) = −1.
Các hàm số chính quy bậc một x1(t) là nghiệm của bài toán sau
Giải hệ trên ta thu được theo thứ tự z11(t) = − 3
Các hàm số biên bậc nhất trong lân cận của t = 0 được tìm từ bài toán sau dΠ 1 z 1 dτ0
Nghiệm của bài toán trên là Π 1 z 1 (τ 0 ) = 1
Các hàm số biên bậc nhất trong lân cận của t = 1 là nghiệm của bài toán dQ1z1 dτ 1 = 2Q 1 z 2 + 1
Giải hệ này ta được các nghiệm sau đây
Nghiệm x(t, ε) (được giải số bởi Maple 17) và các xấp xỉ của nó với ε = 0.1 được minh họa trong Hình 2.3 - 2.5, trong đó nghiệm chính xác được vẽ bằng nét liền, nghiệm suy biến được vẽ bằng nét đứt, xấp xỉ bậc không được vẽ bằng đường gồm các điểm hình tròn, xấp xỉ bậc nhất được vẽ bằng đường nét đứt-chấm.
Hình 2.3: Đồ thị của z 1 (t, ε) và các xấp xỉ Hình 2.4: Đồ thị của z 2 (t, ε) và các xấp xỉ
Hình 2.5: Đồ thị của y(t, ε) và các xấp xỉ
Ký hiệu X n (t, ε) là tổng riêng thứ n của phép mở rộng (2.45):
. Định lý 2.2.4 Với các điều kiện 1 0 và 4 0 của Mục 2.1.1 và Mục 2.1.2 và các điều kiện 2 ′ ,3 ′ và 3 ′′ , với ε đủ nhỏ, bài toán (2.42) - (2.44) có một nghiệm duy nhất x(t, ε) trong vùng lân cận của phần tử chính ¯ x0(t) + Π0x t ε
+Q0x t−1 ε của khai triển tiệm cận.
Chuỗi (2.45) là khai triển tiệm cận của nghiệm này trong đoạn0 ≤ t ≤ 1 khi ε →0, tức là
Chứng minh của định lý này trong trường hợp tổng quát hơn khi z là hàm véc-tơ l chiều được trình bày trong [10].
Bài toán điều khiển tối ưu dạng tuyến tính toàn phương chịu nhiễu kì dị
Giới thiệu bài toán
Trong phần lớn các nghiên cứu liên quan đến bài toán điều khiển tối ưu với một tham số nhỏ, việc tìm khai triển tiệm cận của nghiệm của bài toán dựa trên phân tích tiệm cận của nghiệm của các bài toán biên thu được từ các điều kiện tối ưu điều khiển [4, 11].
Một phương pháp khác để xây dựng khai triển tiệm cận cho nghiệm của các bài toán chứa tham số bé là phương pháp sơ đồ trực tiếp trong [1] (xem thêm [2]) Phương pháp này bao gồm một sự khai triển tiệm cận giả định của nghiệm được thế vào các điều kiện của bài toán để thu được một dãy các bài toán tìm hệ số của khai triển Cách tiếp cận này có tính đến tính chất biến phân của bài toán ban đầu Ưu điểm đáng kể của nó là ta có thể chứng minh rằng các giá trị của hàm cực tiểu không tăng khi sử dụng bậc cao hơn tiếp theo của biến điều khiển Danh sách các công trình sử dụng sơ đồ trực tiếp cho các vấn đề khác nhau được liệt kê trong [3].
Chương 3 của luận văn trình bày cách sử dụng phương pháp trực tiếp tìm tiệm cận bậc không (vì quá trình biến đổi khá cồng kềnh của các bài cũng giống như tìm bậc không nên chúng tôi không trình bày phần tìm tiệm cận bậc cao trong luận văn) của nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu dạng toàn phương tuyến tính chịu nhiễu kì dị và đánh giá sai số của nghiệm tiệm cận thu được Đối với bài toán dạng này ta luôn khẳng định được rằng bài toán có nghiệm tối ưu duy nhất.
Bài toán điều khiển tối ưu dạng tuyến tính toàn phương
Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán tối ưu
Định lý 3.2.1 Với ε đủ nhỏ, u ∗ (t, ε) là nghiệm tối ưu của bài toán Pε nếu và chỉ nếu nó được cho bởi biểu thức u ∗ (t, ε) =R(t, ε) −1 (B1(t, ε) ′ φ(t, ε) +B2(t, ε) ′ ψ(t, ε)), (3.4) trong đó φ(t, ε) và ψ(t, ε) là nghiệm của bài toán liên hợp ˙ φ = −A 1 (t, ε) ′ φ −A 3 (t, ε) ′ ψ +W 1 (t, ε)x+W 2 (t, ε)y, εψ˙ = −A2(t, ε) ′ φ−A4(t, ε)ψ +W2(t, ε) ′ x+W3(t, ε)y,
(3.5) φ(T, ε) = 0, ψ(T, ε) = 0, (3.6) với x(t, ε), y(t, ε) là nghiệm của bài toán (3.2), (3.3) khi u =u ∗ Ngoài ra bài toán (3.1) - (3.3) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử u được cho bởi (3.4) với φ và ψ thỏa mãn (3.5), (3.6) Ta chứng minh u là biến điều kiển tối ưu của bài toán (3.1) - (3.3).
Thật vậy gọi z ∗ = (x ∗′ , y ∗′ ) ′ và z = (x ′ , y ′ ) ′ lần lượt là nghiệm của (3.2),(3.3) tương ứng với u = u ∗ và với u là một biến điều khiển bất kì chấp nhận được của bài toán.
Xét hiệu số Jε(u)−Jε(u ∗ ) ta được
Sử dụng (3.5), (3.4) với z = z ∗ biến đổi (3.8) thu được
Sử dụng (3.2), kỹ thuật tích phân từng phần và các điều kiện (3.3), (3.6) ta thu được
Vì W(t,0) và R(t,0) là các ma trận xác định dương, do vậy với ε đủ nhỏ thì các ma trận W(t, ε)và R(t, ε)cũng là các ma trận xác định dương, vì thế Jε(u) − Jε(u ∗ ) ≥ 0 với mọi điều khiển chấp nhận được u Do vậy u(t, ε) được cho bởi công thức (3.4) là biến điều khiển tối ưu của bài toán Pε. Điều kiện cần: Giả sử u ∗ (t, ε) là biến điều khiển tối ưu của bài toán (3.1)-(3.3), ta chứng minh u ∗ (t, ε) sẽ được cho bởi công thức (3.4).
Gọi u(t, ε) là một biến điều khiển bất kì chấp nhận được của bài toán.
Khi đó xét hiệu số (3.7) với z ∗ và z là nghiệm tương ứng với u ∗ và u của bài toán (3.2), (3.3).
Khi này ∆ trong (3.8) được biến đổi như sau Sử dụng (3.5) có
Sử dụng (3.2), kỹ thuật tính tích phân từng phần và các điều kiện (3.3), (3.6) ta thu được kết quả biến đổi sau cho ∆ trong (3.9)
Từ (3.2) ta thu được đánh giá sau
Do vậy khi u dần tới u ∗ thì thành phần chính trong công thức (3.7) là
Do vậy để u ∗ là biến điều khiển tối ưu (J ε (u)−J ε (u ∗ ) ≥ 0,∀u là điều khiển chấp nhận được) thì
Từ đây ta thu được (3.4). Đặt E(ε) = diag(In, Imε), A(t, ε) = A1(t, ε) A2(t, ε)
!với S1(t, ε) = B1(t, ε)R(t, ε) −1 B1(t, ε) ′ , thấy ma trận S(t, ε) là ma trận đối xứng nửa xác định dương.
Tính duy nhất nghiệm: Ta cần chứng minh hệ sau
E(ε) ˙z = A(t, ε)z+S(t, ε)η, E(ε) ˙η = W(t, ε)z−A(t, ε) ′ η, (3.12) với điều kiện (3.6) và z(t,0) = 0, (3.13) có duy nhất nghiệm tầm thường.
Nhân vô hướng cả hai vế của các phương trình thứ nhất và thứ hai trong (3.12) lần lượt với η và z Cộng vế với vế của kết quả đạt được, ta có
Lấy tích phân hai vế biểu thức (3.14) trên [0, T] Sử dụng kỹ thuật tích phân từng phần và các điều kiện (3.6), (3.13) được
Với ε > 0 đủ nhỏ, ma trận đối xứng S(t, ε) là ma trận nửa xác định dương, ma trận đối xứng W(t, ε) là ma trận xác định dương Do vậy từ (3.15) ta thu được z(t, ε) = 0, ∀t ∈ [0, T] (3.16)
Thế z = 0vào phương trình thứ hai trong (3.12) và sử dụng (3.6) ta thu được nghiệm của hệ phương trình vi phân thuần nhất với điều kiện ban đầu tầm thường là nghiệm tầm thường, nghĩa là η(t, ε) = 0, ∀t ∈ [0, T].
Xây dựng nghiệm tiệm cận
t = T, nên nghiệm tiệm cận của bài toán (3.1)-(3.3) sẽ chứa các hàm biên hai dạng (hàm biên trong lân cận của t = 0 và trong lân cận của t = T) do vậy chúng được tìm dưới dạng z(t, ε) = z(t, ε) + Πz(τ 0 , ε) +Qz(τ 1 , ε), u(t, ε) = u(t, ε) + Πu(τ0, ε) +Qu(τ1, ε),
X i=0 ε i Qiu(τ1), trong đó các hàm biên thỏa mãn tính chất
∥Qiz(τ1)∥ ≤ ce κτ 1 , ∥Qiu(τ1)∥ ≤ ce κτ 1 , với c và κ là các hằng số dương nào đó bất kỳ.
Ta thế chuỗi (3.17) vào phiếm hàm (3.1) và biểu diễn nó dưới dạng
Khai triển biểu thức dưới dấu tích phân thành dạng chuỗi lũy thừa của ε với các hệ số phụ thuộc riêng biệt vào các tham số t, τ0, τ1 Nhóm các hệ số trước các lũy thừa cùng bậc của ε Khi đó phiếm hàm Jε(u) được viết thành dạng
Thế chuỗi (3.17) vào hệ (3.2) và điều kiện (3.3) Khai triển các vế của các biểu thức thu được dưới dạng chuỗi lũy thừa của ε phụ thuộc riêng lẻ vào t, τ 0 , τ 1 ta thu được các hệ phương trình và các điều kiện sau để xác định các hệ số của chuỗi (3.17).
Với các hệ số bậc không ta thu được hệ x˙0 = A10(t)x0+A20(t)y 0 +B10(t)u0, 0 = A30(t)x0+A40(t)y 0 +B20(t)u0,
= A30(T)Q0x+A40(T)Q0y+B20(T)Q0u (3.22) Với các hệ số ứng với ε k , (k ≥ 1) ta thu được các hệ sau đây x˙k = A10(t)xk +A20(t)y k +B10(t)uk +F k−1 ,0 = A 30 (t)x k +A 40 (t)y k +B 20 (t)u k +G k−1 , (3.23) dΠkx dτ 0 = Πk−1F, dΠky dτ 0 = A30(0)Πkx+A40(0)Πky+B20(0)Πku+ Π k−1 G,
(3.24) dQkx dτ 1 = Qk−1F, dQky dτ 1 = A30(T)Qkx+A40(T)Qky+B20(T)Qku+Q k−1 G.
Trong đó các hàm số F k−1 (t), G k−1 (t) phụ thuộc vào các biến z i (t), u i (t) với i ≤ k − 1 Các hàm số Π k−1 F(τ 0 ), Π k−1 G(τ 0 ) phụ thuộc các biến Π i z(τ 0 ), Π i u(τ 0 ) với i ≤ k−1 Tương tự đối với các hàm số Q k−1 F(τ 1 ) và Q k−1 G(τ 1 ).
Như thông lệ, các hàm lớp biên rất nhỏ khi ra khỏi lớp biên, nên ta có các điều kiện tương ứng sau đây đối với các biến trong các hệ phương trình từ (3.20)-(3.25) x0(0) + Π0x(0) = x 0 , y 0 (0) + Π0y(0) =y 0 , (3.26) x k (0) + Π k x(0) = 0, y k (0) + Π k y(0) = 0, k ≥ 1 (3.27) Π i z(∞) = 0, Q i z(−∞) = 0, i≥ 0, (3.28)
Xây dựng tiệm cận bậc không Để tìm các hệ số bậc không trong khai triển (3.17), ta tiến hành theo trình tự sau đây Π0x(τ0) và Q0x(τ1) được xác định từ các phương trình đầu tiên trong (3.21) và (3.22) tương ứng, sử dụng điều kiện (3.28) Do vậy ta thu được Π0x(τ0) ≡ 0, Q0x(τ1) ≡ 0 (3.29) Do Π0x(τ0) đã biết nên từ (3.26) ta thu được giá trị x0(0) x0(0) =x 0 (3.30)
Các hệ số z 0 (t), u 0 (t) được xác định từ việc giải bài toán P 0 cực tiểu phiếm hàm J 0 với z 0 (t), u 0 (t) thỏa mãn hệ (3.20) và điều kiện ban đầu (3.30).
Dễ thấy bài toán P 0 trùng với bài toán suy biến thu được từ bài toán Pε khi ε = 0.
Tương tự Định lý 3.2.1 ta thu được khẳng định về sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán P0 như sau Định lý 3.2.2 u 0∗ (t) là nghiệm tối ưu của bài toán P 0 nếu và chỉ nếu nó được cho bởi công thức sau đây u 0∗ =R 0 (t) −1 (B 10 (t) ′ φ 0 +B 20 (t) ′ ψ 0 ), (3.31) trong đó φ 0 (t) và ψ 0 (t) là nghiệm của hệ liên hợp φ˙ 0 = −A10(t) ′ φ 0 −A30(t) ′ ψ 0 +W10(t)x0+W20(t)y 0 , 0 = −A 20 (t) ′ φ 0 −A 40 (t) ′ ψ 0 +W 20 (t) ′ x 0 +W 30 (t)y 0 , (3.32) với điều kiện φ 0 (T) = 0, (3.33) với z0(t) là nghiệm của hệ (3.20), (3.30) ứng với u0 = u0∗ Ngoài ra bài toán P0 với u0(t) xác định bởi (3.31) có một nghiệm duy nhất.
Như vậy với u0(t) được cho bởi (3.31), giải hệ (3.20), (3.32) với các điều kiện (3.30), (3.33) ta thu được các nghiệm z0(t), φ 0 (t), ψ 0 (t).
Như vậy các hệ số chính quy bậc khôngz0(t),u0(t)của khai triển (3.17) đã được xác định.
Tìm được y 0 (t), từ điều kiện thứ hai của (3.26) ta thu được điều kiện ban đầu cho Π 0 y(τ 0 ) Π 0 y(0) = y 0 −y 0 (0) (3.34) Để thuận tiện cho việc biểu diễn các công thức có nhiều số hạng, ta quy ước chỉ viết các thành phần chưa biết hoặc những thành phần đã biết nhưng cần sử dụng cho mục đích biến đổi khác sau này, tất cả những thành phần đã biết mà không cần thiết sử dụng sẽ được nhóm chung vào một phần tử kí hiệu là N Trong quá trình biến đổi, biểu thức sau thu được từ biểu thức trước có bỏ đi các thành phần đã biết không cần thiết thì hai biểu thức này được nối với nhau bởi kí hiệu ∼.
Q0H(τ1)dτ1, trong đó biểu thứcQ0H(τ1) có công thức tương tự biểu thức dưới dấu tích phân trong tích phân trên (0,∞) theo biến τ0, thay giá trị t = 0, ký hiệu Π thành t = T và ký hiệu Q.
Sử dụng (3.31), (3.30) biến đổi tích phân thứ nhất trong J1 ta được Z T
Sử dụng (3.23) với k = 1, kỹ thuật tính tích phân từng phần và điều kiện (3.33), biểu thức cuối được biến đổi về dạng
Tiếp tục biến đổi tích phân của hai số hạng đầu tiên trong tích phân thứ hai trongJ 1 Sử dụng (3.32) và (3.31) vớit = 0, sau đó sử dụng phương trình thứ nhất trong (3.24) với k = 1 và phương trình thứ hai trong (3.21) và các điều kiện (3.28), (3.34) ta thu được
Tương tự biến đổi tích phân của hai số hạng đầu tiên trong tích phân thứ ba trong J 1 sử dụng thêm điều kiện (3.33)
Từ các kết quả thu được trong (3.35)-(3.37) và sử dụng điều kiện (3.27) với k = 1 đồng thời với việc bỏ qua các thành phần đã biết trong J 1 ta thu được J1 = Π0J +Q0J, trong đó Π 0 J = 1
(3.39) Lưu ý: trong các công thức (3.38) và (3.39) rõ ràng chứa Π0x(τ0) và Q0x(τ1) là các hàm số đã biết Tuy nhiên vì ta cần sử dụng các biến liên hợp tương ứng với các hàm số này trong các quá trình biến đối tiếp theo của các hệ số Ji trong (3.19) nên ta sẽ sử dụng đồng thời cả hai hàm loại hàm biên của cả nghiệm x(t, ε) và y(t, ε).
Như vậy các hàm biên bậc không trong lân cận của t = 0: Π 0 z(τ 0 ), Π 0 u(τ 0 ) là nghiệm tối ưu của bài toán Π 0 P cực tiểu hóa phiếm hàm (3.38) theo quỹ đạo nghiệm của hệ (3.21) với điều kiện (3.28), (3.34).
Các hàm biên bậc không trong lân cận của t = T: Q 0 z(τ 1 ), Q 0 u(τ 1 ) là nghiệm tối ưu của bài toán Q0P cực tiểu hóa phiếm hàm (3.39) theo quỹ đạo nghiệm của hệ (3.22) với điều kiện (3.28). Định lý 3.2.3 Π0u∗(τ0) là nghiệm tối ưu của bài toán Π0P nếu và chỉ nếu nó được cho bởi biểu thức Π0u∗ = R0(0) −1 B20(0) ′ Π0ψ, (3.40) với Π0ψ(τ0) là nghiệm của hệ liên hợp dΠ 0 φ dτ0
(3.41) Π 0 φ(∞) = 0, Π 0 ψ(∞) = 0, (3.42) trong đó Π 0 z(τ 0 ) là nghiệm của bài toán (3.21), (3.28), (3.34) tương ứng Định lý 3.2.4 Q0u∗(τ1) là nghiệm tối ưu của bài toán Q0P nếu và chỉ nếu nó được cho bởi biểu thức
Q0u∗ =R0(T) −1 B20(T) ′ Q0ψ, (3.43) với Q0ψ(τ1) là nghiệm của hệ liên hợp dQ 0 φ dτ1
Q 0 φ(−∞) = 0, Q 0 ψ(0) = −ψ 0 (T), (3.45) trong đó Q 0 z(τ 0 )là nghiệm của bài toán (3.22), (3.28) tương ứng với Q 0 u Q 0 u ∗ Ngoài ra bài toán Q 0 P có nghiệm duy nhất.
Từ các Định lý 3.2.3, 3.2.4 ta thu được Π 0 x(τ 0 ) ≡ 0, Π 0 y(τ 0 ), Π 0 u(τ 0 ), Π 0 φ(τ 0 ), Π 0 ψ(τ 0 ) và các hàm biên trong lân cận của t = T tương ứng.
Vậy các hàm biên bậc không của khai triển (3.17) đã được xác định.
Khai triển bậc nhất cho biến chậm và sơ lược xu thế cho các số hạng bậc cao
Từ phương trình đầu trong (3.24) và (3.25) với k = 1 cộng với việc sử dụng điều kiện (3.28) với k = 1 ta thu được các hàm số Π1x(τ0) và Q1x(τ1). Để thu được các hệ số chính quy bậc nhất trong (3.17) Ta cần biến đổi hệ số J2 trong (3.19).
Hệ số J 2 trong (3.19) được viết thành
Biến đối tích phân của hai số hạng đầu tiên trong tích phân thứ nhất trong (3.46) ta sử dụng (3.32), (3.31), (3.23) với k = 2, kỹ thuật tính tích phân từng phần, điều kiện (3.33) Kết quả thu được
Đánh giá sai số
Các định lý trong Mục này được chứng minh chi tiết trong [5], chúng tôi đưa vào phần này nhằm cung cấp đầy đủ các kết quả đạt được khi sử dụng phương pháp trực tiếp để giải một bài toán điều khiển dạng tuyến tính toàn phương chịu nhiễu kì dị và cung cấp sơ lược ý tưởng chứng minh. Đặt
X k=0 ε k (uk(t) + Πku(τ0) +Qku(τ1)). Định lý 3.2.6 Với mọi t ∈ [0, T] và tham số ε đủ nhỏ, xấp xỉ tiệm cận bậc n của bài toán Pε: Zn(t, ε), Un(t, ε) thỏa mãn tính chất
(3.52) trong đó z ∗ (t, ε) là nghiệm tối ưu của bài toán P ε ứng với biến điều khiển tối ưu u ∗ (t, ε).
Nhận xét: Dễ dàng nhận thấy các hệ số của (3.17) xác định từ các bài toán tối ưu thành phần thu được bằng phương pháp trực tiếp sẽ trùng với các bài toán biên thu được từ phân tích trực tiếp bài toán biên hai điểm (3.2)-(3.6) thu được từ điều kiện tối ưu của bài toán Pε Do vậy quy trình đánh giá sai số của nghiệm tiệm cận thu được từ phương pháp trực tiếp cũng sẽ tương tự như đánh giá sai số của bài toán biên chịu nhiễu kì dị trong Mục 2.2 Do vậy hai bất đẳng thức đầu tiên của Định lý 3.2.6 được thỏa mãn.
Gọi Ze là nghiệm của P ε khi u = U n Khi đó ta có thể biểu diễn z ∗ Ze+δz và u ∗ = U n + ∆u Thế các biểu diễn này vào (3.2), (3.3) suy ra δz là nghiệm của bài toán δx˙ = A 1 (t, ε)δx +A 2 (t, ε)δy+B 1 (t, ε)∆u, εδy˙ = A3(t, ε)δx+A4(t, ε)δy+B2(t, ε)∆u,
(3.53) với điều kiện ban đầu δx(0, ε) = 0, δy(0, ε) = 0 (3.54)
Với ∆u = u ∗ −U n thỏa mãn đánh giá thứ hai trong (3.52), bài toán đánh giá nghiệm δz của (3.53), (3.54) tương tự như bài toán đánh giá sai số của bài toán ban đầu chịu nhiễu kì dị trong Mục 2.1.3 Với ε đủ nhỏ, từ điều kiện 1 cuối Mục 3.2.2, ta có các giá trị riêng của ma trận A4(t, ε) đều có phần thực âm Do vậy nghiệm δz của (3.53), (3.54) thỏa mãn
Với u ∗ là nghiệm tối ưu của bài toán Pε và Un là một biến điều khiển chấp nhận được bất kì, theo chứng minh điều kiện đủ của Định lý 3.2.1 Mục 3.2.1, tương tự (3.7) ta có
Do ∆u= u ∗ −U n thỏa mãn đánh giá thứ hai trong (3.52), kết hợp với đánh giá (3.55) ta thu được bất đẳng thức thứ ba trong (3.52).
Một ưu điểm của phương pháp trực tiếp giúp ta đưa ra được kết luận rằng giá trị của phiếm hàm Jε(u) sẽ không tăng khi các xấp xỉ bậc cao hơn của điều khiển tối ưu được sử dụng. Định lý 3.2.7 Với ε đủ nhỏ ta có
3.2.4 Ví dụ minh họa Xét bài toán cực tiểu hóa phiếm hàm
(x 2 + 2xy+ 3y 2 +u 2 )dt, (3.57) trên quỹ đạo nghiệm của hệ ˙ x= (1 +ε)x, εy˙ = −y+u, (3.58) với điều kiện ban đầu x(0, ε) = −1, y(0, ε) = 1 (3.59)
Nghiệm chính xác của bài toán được xác định từ hệ sau ˙ x= (1 +ε)x, εy˙ = −y +u, ˙ φ = −(1 +ε)φ+x+y, εψ˙ = ψ +x+ 3y, ψ =u, x(0, ε) = −1, y(0, ε) = 1, φ(1, ε) = 0, ψ(1, ε) = 0.
Các hàm chính quy bậc không là nghiệm của bài toán
Nghiệm của (3.61) được tìm từ hệ sau x˙0 = x0, 0 = −y 0 +u0 φ˙ 0 = −φ 0 +x0+y 0 , 0 =ψ 0 +x0+ 3y 0 ψ 0 = u 0 , x 0 (0) = −1, φ 0 (1) = 0.
Giải hệ (3.62) ta thu được x 0 (t) = −e t , φ 0 (t) =−3
Dựa trên (3.38), các hàm số biên bậc không trong lân cận của t = 0 được xác định từ bài toán Π 0 J = 1
Nghiệm của bài toán (3.63) theo Định lý 3.2.3 được tìm từ việc giải hệ dΠ0x dτ 0 = 0, dΠ0y dτ 0 = −Π 0 y+ Π 0 u, dΠ0φ dτ0
Nghiệm của hệ này là Π 0 x(τ 0 ) = 0, Π 0 φ(τ 0 ) = −3
4e −2τ 0 Dựa trên (3.39), các hàm số biên bậc không trong lân cận của t = T được xác định từ bài toán
Nghiệm của bài toán (3.64) theo Định lý 3.2.4 được giải từ hệ sau dQ0x dτ 1 = 0, dQ0y dτ 1 = −Q0y+Q0u, dQ0φ dτ 1 = Q0x+Q0y, dQ0ψ dτ 1 =Q0ψ +Q0x+ 3Q0y,
Giải hệ này ta thu được nghiệm là
4e 1+2τ 1 Như vậy ta đã xác định được tất cả các hệ số của xấp xỉ tiệm cận bậc không của nghiệm của bài toán gốc.
Nghiệm chính xác của bài toán gốc (được xác định bằng thủ tục giải
Hình 3.1 - 3.2, trong đó nghiệm chính xác được vẽ bằng nét liền, nghiệm suy biến được vẽ bằng nét đứt, xấp xỉ bậc không được vẽ bằng đường gồm các điểm hình tròn.
Hình 3.1: Đồ thị của x(t, ε) và các xấp xỉ Hình 3.2: Đồ thị của y(t, ε) và các xấp xỉ
Hình 3.3: Đồ thị của u(t, ε) và các xấp xỉ
Luận văn được hoàn thành tại Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học KHTN, ĐHQGHN trên cơ sở của sách chuyên khảo [9] và bài báo [5] về việc sử dụng phương pháp hàm lớp biên để tìm nghiệm tiệm cận cho bài toán chịu nhiễu kì dị với giá trị ban đầu và bài toán giá trị biên, và sử dụng phương pháp này trong sơ đồ trực tiếp để tìm nghiệm tiệm cận của bài toán điều khiển tối ưu dạng tuyến tính toàn phương Kết quả chính của luận văn là
- Trình bày lại quy trình xây dựng nghiệm tiệm cận cho các bài toán chịu nhiễu kì dị với giá trị ban đầu và giá trị biên.
- Chứng minh lại điều kiện cần và đủ, cũng như sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu chịu nhiễu kì dị dạng tuyến tính - toàn phương Sử dụng phương pháp sơ đồ trực tiếp để xây dựng nghiệm tiệm cận của bài toán.
- Bổ sung các giải thích cho một số tính chất xuất hiện trong luận văn, đưa thêm các ví dụ bao gồm hình minh họa cho mỗi nghiệm tiệm cận thu được của các bài toán cụ thể.
Các kết quả thu được còn khá khiêm tốn, các ví dụ minh họa còn đơn giản (chủ yếu là hệ số hằng) Tuy nhiên nội dung chính của luận văn là cơ sở để có thể áp dụng với một lớp rộng các bài toán dạng khác như: phương trình sai phân, phương trình vi tích phân, các bài toán dạng tới hạn,
[1] S V Belokopytov, M G Dmitriev (1986), “Direct Scheme in Optimal Control Problems with Fast and Slow Motions”, Syst Contr Lett., 8 (2), pp 129—135.
[2] S V Belokopytov, M G Dmitriev (1989), “Solution of the Classic Optimal Control Problems with a Boundary Layer”, Avtom Tele- mekh., 7, pp 71—82.
[3] M G Dmitriev and G A Kurina (2006), “Singular Perturbations in Control Problems”, Avtom Telemekh., 1, pp 3-–51.
[4] G A Kurina (1993), “Singular pertubations of control problems with equation of state not solved for the derivative (a survey)”,J Comput.
[5] G A Kurina, T H Nguyen (2012), “Asymptotic Solution of Sin- gularly Perturbed Linear-Quadratic Optimal Control Problems with Discontinuous Coefficients”, Comput Math Math Phys., 52(4), pp.
[6] A Tikhonov (1948), “On the dependence of the solutions of differen- tial equations on a small parameter”, Mat Sbornik, 22, pp 193–204.
[7] A Tikhonov (1950), “On a system of differential equations containing parameters”, Mat Sbornik, 27, pp 147–156.
[8] A Tikhonov (1952), “Systems of differential equations containing small parameters in the derivatives”, Mat Sbornik, 31, pp 575–586.
