3.2 Bài toán điều khiển tối ưu dạng tuyến tính toàn phương
3.2.2 Xây dựng nghiệm tiệm cận
t = T, nên nghiệm tiệm cận của bài toán (3.1)-(3.3) sẽ chứa các hàm biên hai dạng (hàm biên trong lân cận của t = 0 và trong lân cận của t = T) do vậy chúng được tìm dưới dạng
z(t, ε) = z(t, ε) + Πz(τ0, ε) +Qz(τ1, ε), u(t, ε) = u(t, ε) + Πu(τ0, ε) +Qu(τ1, ε),
(3.17)
với t ∈ [0, T], τ0 = εt ≥ 0, τ1 = t−Tε ≤ 0 và
z(t, ε) =
∞
X
i=0
εizi(t), u(t, ε) =
∞
X
i=0
εiui(t),
Πz(τ0, ε) =
∞
X
i=0
εiΠiz(τ0), Πu(τ0, ε) =
∞
X
i=0
εiΠiu(τ0),
Qz(τ1, ε) =
∞
X
i=0
εiQiz(τ1), Qu(τ1, ε) =
∞
X
i=0
εiQiu(τ1), trong đó các hàm biên thỏa mãn tính chất
∥Πiz(τ0)∥ ≤ce−κτ0, ∥Πiu(τ0)∥ ≤ ce−κτ0,
∥Qiz(τ1)∥ ≤ ceκτ1, ∥Qiu(τ1)∥ ≤ ceκτ1,
với c và κ là các hằng số dương nào đó bất kỳ.
Ta thế chuỗi (3.17) vào phiếm hàm (3.1) và biểu diễn nó dưới dạng
Jε = 1 2
Z T 0
(⟨z+ Πz+Qz,W(t, ε)(z+ Πz+Qz)⟩
+⟨u+ Πu+Qu, R(t, ε)(u+ Πu+Qu)⟩)dt
= J + ΠJ +QJ,
(3.18)
trong đó
J = 1 2
Z T 0
(⟨z,W(t, ε)z⟩+⟨u, R(t, ε)u⟩)dt,
ΠJ =
Z ∞ 0
(⟨z(ετ0, ε),W(ετ0, ε)Πz⟩+ 1
2⟨Πz,W(ετ0, ε)Πz⟩
+⟨u(ετ0, ε), R(ετ0, ε)Πu⟩+ 1
2⟨Πu, R(ετ0, ε)Πu⟩)d(ετ0), QJ =
Z 0
−∞
(⟨z(T +ετ1, ε),W(T +ετ1, ε)Qz⟩+ 1
2⟨Qz,W(T +ετ1, ε)Qz⟩
+ ⟨u(T +ετ1, ε), R(T +ετ1, ε)Qu⟩+ 1
2⟨Qu, R(T +ετ1, ε)Qu⟩)d(T +ετ1).
Khai triển biểu thức dưới dấu tích phân thành dạng chuỗi lũy thừa của ε với các hệ số phụ thuộc riêng biệt vào các tham số t, τ0, τ1. Nhóm các hệ số trước các lũy thừa cùng bậc của ε. Khi đó phiếm hàm Jε(u) được viết thành dạng
Jε(u) =
∞
X
i=0
εiJi. (3.19)
Thế chuỗi (3.17) vào hệ (3.2) và điều kiện (3.3). Khai triển các vế của các biểu thức thu được dưới dạng chuỗi lũy thừa của ε phụ thuộc riêng lẻ vào t, τ0, τ1 ta thu được các hệ phương trình và các điều kiện sau để xác định các hệ số của chuỗi (3.17).
Với các hệ số bậc không ta thu được hệ
x˙0 = A10(t)x0+A20(t)y0+B10(t)u0, 0 = A30(t)x0+A40(t)y0+B20(t)u0,
(3.20)
dΠ0x dτ0 = 0, dΠ0y
dτ0 = A30(0)Π0x+A40(0)Π0y +B20(0)Π0u, (3.21) dQ0x
dτ1
= 0, dQ0y
dτ1
= A30(T)Q0x+A40(T)Q0y+B20(T)Q0u. (3.22) Với các hệ số ứng với εk, (k ≥ 1) ta thu được các hệ sau đây
x˙k = A10(t)xk +A20(t)yk+B10(t)uk +Fk−1, 0 = A30(t)xk +A40(t)yk+B20(t)uk +Gk−1, (3.23)
dΠkx
dτ0 = Πk−1F, dΠky
dτ0 = A30(0)Πkx+A40(0)Πky+B20(0)Πku+ Πk−1G,
(3.24)
dQkx
dτ1 = Qk−1F, dQky
dτ1 = A30(T)Qkx+A40(T)Qky+B20(T)Qku+Qk−1G.
(3.25)
Trong đó các hàm số Fk−1(t), Gk−1(t) phụ thuộc vào các biến zi(t), ui(t) với i ≤ k − 1. Các hàm số Πk−1F(τ0), Πk−1G(τ0) phụ thuộc các biến Πiz(τ0), Πiu(τ0) với i ≤ k−1. Tương tự đối với các hàm số Qk−1F(τ1) và Qk−1G(τ1).
Như thông lệ, các hàm lớp biên rất nhỏ khi ra khỏi lớp biên, nên ta có các điều kiện tương ứng sau đây đối với các biến trong các hệ phương trình từ (3.20)-(3.25)
x0(0) + Π0x(0) = x0, y0(0) + Π0y(0) =y0, (3.26)
xk(0) + Πkx(0) = 0, yk(0) + Πky(0) = 0, k ≥ 1. (3.27)
Πiz(∞) = 0, Qiz(−∞) = 0, i≥ 0, (3.28)
Xây dựng tiệm cận bậc không
Để tìm các hệ số bậc không trong khai triển (3.17), ta tiến hành theo trình tự sau đây
Π0x(τ0) và Q0x(τ1) được xác định từ các phương trình đầu tiên trong (3.21) và (3.22) tương ứng, sử dụng điều kiện (3.28). Do vậy ta thu được
Π0x(τ0) ≡ 0, Q0x(τ1) ≡ 0. (3.29) Do Π0x(τ0) đã biết nên từ (3.26) ta thu được giá trị x0(0)
x0(0) =x0. (3.30)
Hệ số J0 trong (3.19) là
J0 = 1 2
Z T 0
(⟨z0,W0(t)z0⟩+⟨u0, R0(t)u0⟩)dt,
Các hệ số z0(t), u0(t) được xác định từ việc giải bài toán P0 cực tiểu phiếm hàm J0 với z0(t), u0(t) thỏa mãn hệ (3.20) và điều kiện ban đầu (3.30).
Dễ thấy bài toán P0 trùng với bài toán suy biến thu được từ bài toán Pε khi ε = 0.
Tương tự Định lý 3.2.1 ta thu được khẳng định về sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán P0 như sau
Định lý 3.2.2. u0∗(t) là nghiệm tối ưu của bài toán P0 nếu và chỉ nếu nó được cho bởi công thức sau đây
u0∗ =R0(t)−1(B10(t)′φ0+B20(t)′ψ0), (3.31)
trong đó φ0(t) và ψ0(t) là nghiệm của hệ liên hợp
φ˙0 = −A10(t)′φ0−A30(t)′ψ0+W10(t)x0+W20(t)y0, 0 = −A20(t)′φ0−A40(t)′ψ0+W20(t)′x0+W30(t)y0, (3.32)
với điều kiện
φ0(T) = 0, (3.33)
với z0(t) là nghiệm của hệ (3.20), (3.30) ứng với u0 = u0∗. Ngoài ra bài toán P0 với u0(t) xác định bởi (3.31) có một nghiệm duy nhất.
Như vậy với u0(t) được cho bởi (3.31), giải hệ (3.20), (3.32) với các điều kiện (3.30), (3.33) ta thu được các nghiệm z0(t), φ0(t), ψ0(t).
Như vậy các hệ số chính quy bậc khôngz0(t),u0(t)của khai triển (3.17) đã được xác định.
Tìm được y0(t), từ điều kiện thứ hai của (3.26) ta thu được điều kiện ban đầu cho Π0y(τ0)
Π0y(0) = y0−y0(0). (3.34)
Để thuận tiện cho việc biểu diễn các công thức có nhiều số hạng, ta quy ước chỉ viết các thành phần chưa biết hoặc những thành phần đã biết nhưng cần sử dụng cho mục đích biến đổi khác sau này, tất cả những thành phần đã biết mà không cần thiết sử dụng sẽ được nhóm chung vào một phần tử kí hiệu là N. Trong quá trình biến đổi, biểu thức sau thu được từ biểu thức trước có bỏ đi các thành phần đã biết không cần thiết thì hai biểu thức này được nối với nhau bởi kí hiệu ∼.
Hệ số J1 trong (3.17) là
J1 = Z T
0
(⟨z1,W0(t)z0⟩+⟨u1, R0(t)u0⟩+N)dt +
Z ∞ 0
(⟨Π0z,W0(0)z0(0)⟩+⟨Π0u, R0(0)u0(0)⟩
+ 1 2⟨Π0z,W0(0)Π0z⟩+ 1
2⟨Π0u, R0(0)Π0u⟩)dτ0 +
Z 0
−∞
Q0H(τ1)dτ1,
trong đó biểu thứcQ0H(τ1) có công thức tương tự biểu thức dưới dấu tích phân trong tích phân trên (0,∞) theo biến τ0, thay giá trị t = 0, ký hiệu Π thành t = T và ký hiệu Q.
Sử dụng (3.31), (3.30) biến đổi tích phân thứ nhất trong J1 ta được Z T
0
(⟨z1,W0(t)z0⟩+⟨u1, R0(t)u0⟩)dt
= Z T
0
* x1
y1
!
, φ˙0+A10(t)′φ0+A30(t)′ψ0 A20(t)′φ0+A40(t)′ψ0
!+
+ ⟨u1, B10(t)′φ0+B20(t)′ψ0⟩
dt
= Z T
0
D x1,φ˙0
E +⟨φ0, A10(t)x1+A20(t)y1+B10(t)u1⟩
+ ⟨ψ0, A30(t)x1+A40(t)y1+B20(t)u1⟩
dt.
Sử dụng (3.23) với k = 1, kỹ thuật tính tích phân từng phần và điều
kiện (3.33), biểu thức cuối được biến đổi về dạng
Z T 0
D x1,φ˙0E
+D φ0,x˙1−F0(t)E
− ⟨ψ0, G0(t)⟩
dt
= −⟨x1(0), φ0(0)⟩+N.
(3.35)
Tiếp tục biến đổi tích phân của hai số hạng đầu tiên trong tích phân thứ hai trongJ1. Sử dụng (3.32) và (3.31) vớit = 0, sau đó sử dụng phương trình thứ nhất trong (3.24) với k = 1 và phương trình thứ hai trong (3.21) và các điều kiện (3.28), (3.34) ta thu được
Z ∞ 0
(⟨Π0z,W0(0)z0(0)⟩+⟨Π0u, R0(0)u0(0)⟩)dτ0
= Z ∞
0
* Π0x Π0y
!
, φ˙0(0) +A10(0)′φ0(0) +A30(0)′ψ0(0)
A20(0)′φ0(0) +A40(0)′ψ0(0)
!+
+ ⟨Π0u, B10(0)′φ0(0) +B20(0)′ψ0(0)⟩
dτ0
= Z ∞
0
⟨Π0x,φ˙0(0)⟩+⟨φ0(0), A10(0)Π0x+A20(0)Π0y+B10(0)Π0u⟩
+ ⟨ψ0(0), A30(0)Π0x+A40(0)Π0y+B20(0)Π0u⟩
dτ0
= Z ∞
0
φ0(0),dΠ1x
dτ0
+
ψ0(0),dΠ0y
dτ0
! dτ0
=− ⟨φ0(0),Π1x(0)⟩+N. (3.36)
Tương tự biến đổi tích phân của hai số hạng đầu tiên trong tích phân thứ ba trong J1 sử dụng thêm điều kiện (3.33)
Z 0
−∞
(⟨Q0z,W0(T)z0(T)⟩+⟨Q0u, R0(T)u0(T)⟩)dτ1
= Z 0
−∞
φ0(T),dQ1x
dτ1
+
ψ0(T),dQ0y
dτ1
! dτ1
=⟨ψ0(T), Q0y(0)⟩.
(3.37)
Từ các kết quả thu được trong (3.35)-(3.37) và sử dụng điều kiện (3.27)
với k = 1 đồng thời với việc bỏ qua các thành phần đã biết trong J1 ta thu được J1 = Π0J +Q0J, trong đó
Π0J = 1
2 Z ∞
0
(⟨Π0z,W0(0)Π0z⟩+⟨Π0u, R0(0)Π0u⟩)dτ0, (3.38)
Q0J = ⟨ψ0(T), Q0y(0)⟩+1
2 Z 0
−∞
(⟨Q0z,W0(T)Q0z⟩+⟨Q0u, R0(T)Q0u⟩)dτ1.
(3.39) Lưu ý: trong các công thức (3.38) và (3.39) rõ ràng chứa Π0x(τ0) và Q0x(τ1) là các hàm số đã biết. Tuy nhiên vì ta cần sử dụng các biến liên hợp tương ứng với các hàm số này trong các quá trình biến đối tiếp theo của các hệ số Ji trong (3.19) nên ta sẽ sử dụng đồng thời cả hai hàm loại hàm biên của cả nghiệm x(t, ε) và y(t, ε).
Như vậy các hàm biên bậc không trong lân cận của t = 0: Π0z(τ0), Π0u(τ0) là nghiệm tối ưu của bài toán Π0P cực tiểu hóa phiếm hàm (3.38) theo quỹ đạo nghiệm của hệ (3.21) với điều kiện (3.28), (3.34).
Các hàm biên bậc không trong lân cận của t = T: Q0z(τ1), Q0u(τ1) là nghiệm tối ưu của bài toán Q0P cực tiểu hóa phiếm hàm (3.39) theo quỹ đạo nghiệm của hệ (3.22) với điều kiện (3.28).
Định lý 3.2.3. Π0u∗(τ0) là nghiệm tối ưu của bài toán Π0P nếu và chỉ nếu nó được cho bởi biểu thức
Π0u∗ = R0(0)−1B20(0)′Π0ψ, (3.40)
với Π0ψ(τ0) là nghiệm của hệ liên hợp
dΠ0φ dτ0
=−A30(0)′Π0ψ+W10(0)Π0x+W20(0)Π0y,
dΠ0ψ dτ0
=−A40(0)′Π0ψ +W20(0)′Π0x+W30(0)Π0y,
(3.41)
Π0φ(∞) = 0, Π0ψ(∞) = 0, (3.42) trong đó Π0z(τ0) là nghiệm của bài toán (3.21), (3.28), (3.34) tương ứng
Định lý 3.2.4. Q0u∗(τ1) là nghiệm tối ưu của bài toán Q0P nếu và chỉ nếu nó được cho bởi biểu thức
Q0u∗ =R0(T)−1B20(T)′Q0ψ, (3.43)
với Q0ψ(τ1) là nghiệm của hệ liên hợp
dQ0φ dτ1
= −A30(T)′Q0ψ +W10(T)Q0x+W20(T)Q0y,
dQ0ψ dτ1
=−A40(T)′Q0ψ +W20(T)′Q0x+W30(T)Q0y,
(3.44)
Q0φ(−∞) = 0, Q0ψ(0) = −ψ0(T), (3.45)
trong đó Q0z(τ0)là nghiệm của bài toán (3.22), (3.28) tương ứng với Q0u = Q0u∗. Ngoài ra bài toán Q0P có nghiệm duy nhất.
Từ các Định lý 3.2.3, 3.2.4 ta thu được Π0x(τ0) ≡ 0, Π0y(τ0), Π0u(τ0), Π0φ(τ0), Π0ψ(τ0) và các hàm biên trong lân cận của t = T tương ứng.
Vậy các hàm biên bậc không của khai triển (3.17) đã được xác định.
Khai triển bậc nhất cho biến chậm và sơ lược xu thế cho các số hạng bậc cao
Từ phương trình đầu trong (3.24) và (3.25) với k = 1 cộng với việc sử dụng điều kiện (3.28) với k = 1 ta thu được các hàm số Π1x(τ0) và Q1x(τ1).
Để thu được các hệ số chính quy bậc nhất trong (3.17). Ta cần biến đổi hệ số J2 trong (3.19).
Hệ số J2 trong (3.19) được viết thành
J2 ∼ Z T
0
(⟨z2,W0(t)z0⟩+⟨u2, R0(t)u0⟩+⟨z1,1
2W0(t)z1+W1(t)z0⟩
+ ⟨u1,1
2R0(t)u1+R1(t)u0⟩)dt+
Z ∞ 0
(⟨Π1z,W0(0)z0(0)⟩
+ ⟨Π1u, R0(0)u0(0)⟩+⟨z1(0) + Π1z,W0(0)Π0z⟩
+ ⟨u1(0) + Π1u, R0(0)Π0u⟩)dτ0+
Z 0
−∞
Q1H(τ1)dτ1.
Biến đối tích phân của hai số hạng đầu tiên trong tích phân thứ nhất trong (3.46) ta sử dụng (3.32), (3.31), (3.23) với k = 2, kỹ thuật tính tích phân từng phần, điều kiện (3.33). Kết quả thu được
Z T 0
(⟨z2,W0(t)z0⟩+⟨u2, R0(t)u0⟩)dt
∼ −⟨φ0(0), x2(0)⟩+⟨ψ0(T), y1(T)⟩ − ⟨ψ0(0), y1(0)⟩
− Z T
0
(⟨x1, A11(t)′φ0+A31(t)′ψ0⟩+⟨y1, A21(t)′φ0
+ A41(t)′ψ0+ dψ0
dt ⟩+⟨u1, B11(t)′φ0+B21(t)′ψ0⟩)dt.
(3.46)
Ta tiếp tục biến đổi tích phân trên khoảng (0,∞) của hai số hạng đầu tiên trong tích phân thứ hai trong (3.37). Sử dụng (3.32), (3.31) với t = 0, phương trình thứ nhất trong (3.24) với k = 2 và phương trình thứ hai trong (3.24) với k = 1 và sử dụng điều kiện (3.28) ta thu được biến đổi
sau đây
Z ∞ 0
(⟨Π1z,W0(0)z0(0)⟩+⟨Π1u, R0(0)u0(0)⟩)dτ0
∼ −⟨φ0(0),Π2x(0)⟩ − ⟨ψ0(0),Π1y(0)⟩.
(3.47)
Biến đổi tích phân trên khoảng (0,∞) của hai số hạng còn lại trong tích phân thứ hai trong (3.46). Trước tiên ta sử dụng (3.41), (3.40), sau đó sử dụng các phương trình thứ hai trong (3.23) với k = 1 tại t = 0 và
trong (3.24) với k = 1, kỹ thuật tính tích phân từng phần, ta được Z ∞
0
(⟨z1(0) + Π1z,W0(0)Π0z⟩+⟨u1(0) + Π1u, R0(0)Π0u⟩)dτ0
∼ −⟨x1(0),Π0φ(0)⟩ − ⟨y1(0) + Π1y(0),Π0ψ(0)⟩.
(3.48)
Biến đổi tương tự cho tích phân trên khoảng (−∞,0). Sử dụng kết quả thu được trong (3.47), (3.48) ta thu được
Z 0
−∞
Q1(τ1)dτ1 ∼ ⟨φ0(T), Q2x(0)⟩+⟨ψ0(T), Q1y(0)⟩
+ ⟨x1(T), Q0φ(0)⟩+⟨y1(T) +Q1y(0), Q0ψ(0)⟩.
(3.49)
Như vậy, tổng hợp các kết quả từ (3.46) - (3.49), đồng thời sử dụng các điều kiện (3.27) với k = 2 với biến x, k = 1 với biến y, điều kiện thứ hai trong (3.45), điều kiện (3.33) và giá trị x1(0) = −Π1x(0) đã biết ta thu được biến đổi sau đây cho hệ số J2 trong (3.19) được ký hiệu là J1
J1 = ⟨x1(T), Q0φ(0)⟩
+ Z T
0
*
z1,1 2W0(t)z1+W1(t)z0−A1(t)′ φ0
ψ0
!
− 0 ψ˙0
!+
+
u1,1 2R0(t)u1+R1(t)u0
−B11(t)′φ0−B21(t)′ψ0⟩
! dt.
(3.50)
Hàm số chính quy bậc nhất z1(t), u1(t) là nghiệm tối ưu của bài toán P1 cực tiểu hóa phiếm hàm (3.50) trên quỹ đạo nghiệm của hệ (3.23) với k = 1 với điều kiện
x1(0) =−Π1x(0). (3.51)
Như vậy giải bài toán P1 ta xác định được z1(t) và u1(t).
Dựa vào quá trình xây dựng các hệ số của chuỗi (3.17) ta có thể đưa ra kết luận sau
Định lý 3.2.5. Giả sử các hệ số zk(t), uk(t), Πkz(τ0), Πku(τ0), Qkz(τ1) và Qku(τ1), k = 0,1, ..., n −1, đã được xác định, khi đó các hệ số bậc n
được tìm theo nhóm theo thứ tự như sau:
Πnx(τ0), Qnx(τ1),
zn(t), un(t), Πny(τ0),Πnu(τ0), Qny(τ1), Qnu(τ1).
Ngoài ra hệ số chính quy zn(t), un(t) được xác định từ bài toán cực tiểu hóa phiếm hàm thu được từ biến đổi của J2n trong (3.19), các hệ số biên Πny(τ0),Πnu(τ0), Qny(τ1), Qnu(τ1) thu được từ bài toán cực tiểu hóa hai thành phần thu được từ biến đổi hệ số J2n+1 trong (3.19)
Chứng minh xem [5].