2.1 Bài toán giá trị ban đầu
2.1.1 Định lý về chuyển qua giới hạn
Xét bài toán giá trị ban đầu (dựa theo bài báo gốc, tham số bé được ký hiệu là ε > 0)
εdz dt = F (z, y, t), dy
dt = f (z, y, t), 0 ≤ t ≤ T, (2.1) z(0, à) =z0, y(0, à) =y0. (2.2)
Ở đây z và y là các hàm véc-tơ có số chiều tương ứng là M và m. Các hàmF(z, y, t) vàf(z, y, t) liên tục cùng với đạo hàm theoz và y của chúng trong miền G = {∥z∥ ≤a,∥y∥ ≤ a,0 ≤ t ≤ T}.
Gọi z(t, ε) và y(t, ε) là nghiệm của (2.1), (2.2). Trong trường hợp tổng quát, ta không thể tìm được nghiệm chính xác của bài toán này. Mục tiêu của ta là tìm nghiệm xấp xỉ dựa vào tính chất rằng tham số ε nhỏ. Thay ε= 0 vào (2.1), thu được
0 = F(¯z,y, t),¯ d¯y
dt =f(¯z,y, t).¯ (2.3)
Bậc của hệ này thấp hợp bậc của hệ ban đầu bởi vì phương trình đầu trong (2.3) không là phương trình vi phân. Hệ (2.3) được gọi là hệ suy biến hoặc hệ rút gọn. Đối với hệ này, ta chỉ cần sử dụng điều kiện ban đầu của y và không cần điều kiện ban đầu của z
¯
y(0) = y0. (2.4)
Do đó, với ε = 0 ta thu được bài toán (2.3), (2.4) thay vì (2.1), (2.2).
Giải bài toán (2.3), (2.4) bằng cách biểu diễnz¯trong phương trình đầu của (2.3) thành một hàm củay¯vàt. Cần chú ý rằng, phương trìnhF(¯z,y, t) = 0¯ có thể có nhiều nghiệm z. Trong trường hợp này, phát sinh câu hỏi chọn¯ nghiệm nào thích hợp nhất. Giả sử ta chọn được một nghiệm z¯ = φ(¯y, t) (định lý dưới đây giúp ta chọn đúng nghiệm). Thay nghiệm này vào phương trình thứ hai trong (2.3), thu được phương trình:
d¯y dt = f(φ(¯y, t),y, t).¯ (2.5)
Giải phương trình (2.5) với điều kiện ban đầu (2.4), ta tìm được y(t),¯ từ đó tìm được z(t) =¯ φ(¯y(t), t). Việc xác định z(t)¯ và y(t)¯ là bài toán dễ hơn tìm nghiệm z(t, ε), y(t, ε) của bài toán (2.1), (2.2) ban đầu. Thay vì giải hệ hai phương trình vi phân, ta phải giải phương trình F(¯z,y, t) = 0¯ (không phải phương trình vi phân), rồi giải phương trình vi phân (2.5) với
điều kiện ban đầu (2.4) không phụ thuộc vào tham số bé.
Một câu hỏi tự nhiên là: z(t)¯ và y(t)¯ có phải là xấp xỉ tiệm cận của z(t, ε), y(t, ε)khi ε→ 0 hay không? Cần chú ý rằng trong trường hợp tổng quát z(t)¯ không thỏa mãn điều kiện ban đầu (2.2), tức là z(0)¯ ̸= z0, bởi vì ta không sử dụng điều kiện ban đầu z0 trong quá trình xác định z(t). Do¯ đó, ít nhất trong lân cận của điểmt = 0, hàmz(t)¯ không gầnz(t, ε). Nhưng liệu z(t)¯ có là xấp xỉ của z(t, ε) bên ngoài lân cận này? Ngược với z¯ và z, các giá trị của y(t)¯ và y(t, ε) trùng nhau tại t = 0 : ¯y(0) = y(0, ε) = y0, các hàm này sẽ gần nhau. Nhưng điều này có đúng trên toàn bộ đoạn 0 ≤ t ≤ T?. Câu trả lời cho các câu hỏi này có thể có hoặc không phụ thuộc vào điều kiện của hệ (2.1) và (2.3). Đặc biệt, nó phụ thuộc vào cách chọn nghiệm z(t) =¯ φ(¯y(t), t).
Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
10. Giả sử phương trình F(¯z,y, t) = 0¯ có nghiệm cô lập theo z¯: ¯z(t) = φ(¯y(t), t),(¯y, t) ∈ D = {∥¯y∥ ≤ a,0 ≤ t ≤ T}, và giả sử bài toán (2.3), (2.4) có nghiệm duy nhất theo nghiệm này trong đoạn 0 ≤ t ≤ T.
Hai điều kiện dưới đây cho biết cần phải chọn nghiệm nào. Xét hệ liên
kết:
d˜z dτ = F(˜z, y, t), τ ≥ 0. (2.6) Trong đó τ là biến, y và t là các tham số thỏa mãn (y, t)∈ D.
Theo điều kiện 10, z˜= φ(y, t) là điểm dừng của hệ (2.6).
20. Giả sử điểm dừng z˜= φ(y, t) của hệ liên kết ổn định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov, đều theo (y, t) ∈D khi τ → ∞.
Điều này cú nghĩa với bất kỳ à > 0, tồn tại δ = δ(à) > 0 sao cho nếu
∥z(0)˜ −φ(y, t)∥ < δ, thỡ ∥z(τ˜ )−φ(y, t)∥ < à với τ ≥ 0, và z˜→ φ(y, t) khi τ → ∞.
Phương trình F(z, y, t) = 0 có thể có nhiều nghiệm thỏa mãn điều kiện 20. Để đưa ra cách chọn nghiệm cuối cùng, xét hệ liên kết (2.6) với tham
số ban đầu y = y0 và t = 0:
d˜z dτ = F(˜z, y0,0), (2.7)
với điều kiện ban đầu
˜
z(0) = z0. (2.8)
Ở đây z0 chính là véc-tơ trong (2.2). Nói chung, véc-tơ này không gần với điểm dừng z˜ = φ(y0,0) của hệ (2.7) vì điều kiện (2.2) độc lập. Do đó nghiệm z(τ˜ ) của (2.7), (2.8) có thể không nhất thiết dần tới điểm dừng φ(y0,0) khi τ → ∞. Ta cần điều kiện z(τ˜ ) dần tới điểm dừng.
30. Giả sử nghiệm z(τ˜ ) của bài toán (2.7), (2.8) tồn tại với τ ≥ 0 và dần tới điểm dừng φ(y0,0) khi τ → ∞.
Trong trường hợp này ta nói rằng z0 thuộc tập hút của điểm dừng φ(y0,0). Do đó, điều kiện 20 và 30 cho phép ta chọn đúng nghiệm của phương trình F(z, y, t) = 0.
Định lý 2.1.1 (Tikhonov). Với điều kiện 10−30 và với ε đủ nhỏ, bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất z(t, ε), y(t, ε) thỏa mãn giới hạn
ε→0limy(t, ε) = ¯y(t) với 0 ≤ t ≤ T,
ε→0limz(t, ε) = ¯z(t) với 0 < t ≤ T.
Các giới hạn trên cho thấy khi ε → 0, nghiệm z(t, ε), y(t, ε) của (2.1), (2.2) dần tới nghiệm của bài toán rút gọn (2.3), (2.4).
Chú ý rằng quá trình chuyển sang giới hạn đối với y diễn ra với mọi t trong đoạn 0 ≤ t ≤ T. Hơn nữa, giới hạn trên là giới hạn đều. Quá trình chuyển qua giới hạn đối với z diễn ra với mọi t ngoại trừ tại t = 0. Điều này suy ra từ z(0, ε) = z0 ̸= ¯z(0). Quá trình chuyển qua giới hạn theo z là đều bên ngoài một lân cận nhỏ của điểm ban đầu.
Do đó, y¯ là phép xấp xỉ tiệm cận của y(t, ε) trong cả đoạn 0 ≤ t ≤ T, và z¯ là phép xấp xỉ tiệm cận của z(t, ε) với δ ≤ t ≤ T, trong đó δ là hằng số nhỏ tùy ý.
Vì tính phức tạp và độ dài của chứng minh, nên trong luận văn sẽ không trình bày lại cách chứng minh của định lý Tikhonov. Độc giả quan tâm có thể tìm đọc trong tài liệu [10].
Ta giải thích vai trò của điều kiện 20 và 30 đối với định lý này.
Trong (2.1), nếu đổi biến τ = t/ε (τ là thời gian dãn) thì ta thu được
bài toán
dz dτ = F(z, y, τ ε), dy
dτ =εf(z, y, τ ε) (2.9) với điều kiện ban đầu
z|τ=0 = z0, y|τ=0 =y0.
Xét dáng điệu định tính của nghiệm của hệ (2.9) với τ ∈ [0, τ0], τ0 > 0.
Vì ε nhỏ, vế phải của phương trình thứ hai nhỏ: εf = O(ε), tức là tốc độ thay đổi dy/dτ của biến y theo τ có cấp ε. Do đó, giá trị của y mà bằng y0 tại thời điểm ban đầu sẽ chỉ thay đổi một lượng nhỏ trong đoạn 0 ≤ τ ≤ τ0 (không nhiều hơn cấp ε), nghĩa là
y = y0+O(ε) với 0 ≤ τ ≤ τ0.
Thế biểu thức này vào phương trình đầu trong (2.9), ta được
dz dτ = F(z, y0+O(ε), τ ε). (2.10)
Trong đoạn bị chặn 0 ≤ τ ≤ τ0, phương trình (2.10) có thể được coi là nhiễu chính quy của phương trình
dz dτ = F(z, y0,0) (2.11)
thu được từ phương trỡnh (2.10) khi à = 0.
Khi à nhỏ, nghiệm của (2.10) và (2.11) với cựng điều kiện ban đầu z|τ=0 = z0 gần nhau trong [0, τ0]. Tuy nhiên, phương trình (2.11) chính là phương trình liên kết (2.7). Do đó, trong0 ≤ τ ≤ τ0, tức là với 0 ≤ t ≤ τ0ε,
nghiệm của (2.7) với điều kiện ban đầu (2.8) dần tới φ(y0,0) khi τ tăng.
Do đó, điều kiện 30 kéo theo phép chuyển đổi nhanh của z(t, ε) từ giá trị z0 tại t = 0 tới một giá trị gần với φ(y, t) tại t = τ0ε. Điều kiện 20 đảm bảo z(t, ε) vẫn gần z(t)¯ sau đó.