2.1 Bài toán giá trị ban đầu
2.1.2 Thuật toán tiệm cận
Định lý 2.1.1 cho thấy y(t)¯ là xấp xỉ tiệm cận của nghiệm y(t, ε) trong 0 ≤ t ≤ T và z(t)¯ là xấp xỉ tiệm cận của z(t, ε) ngoài lớp biên của bài toán (2.1), (2.2) với ε nhỏ. Tuy nhiên nó không đưa ra cấp chính xác của các xấp xỉ tiệm cận này. Ta có thể chỉ ra rằng cấp chính xác này là ε và cần xây dựng xấp xỉ tiệm cận của z(t, ε) trên cả đoạn 0 ≤ t ≤ T (phép xấp xỉ đều).
Để xây dựng phép xấp xỉ tiệm cận với độ chính xác cao hơn cho nghiệm của bài toán (2.1), (2.2), ta cần một số điều kiện bổ sung đối với F và f.
40. Giả sử các hàm F(z, y, t) và f(z, y, t) khả vi vô hạn lần trong miền G.
Ký hiệu λi(t) (i = 1, . . . , M) là các giá trị riêng của ma trận F¯z(t) = Fz(¯z(t),y(t), t). Điều kiện¯ 20 của Định lý 2.1.1 được thay bằng điều kiện sau (cũng gọi là điều kiện 20)
20. Giả sử
Reλi(t) < 0 với 0 ≤ t ≤ T, i = 1, . . . , M.
Chú ý rằng điều kiện 20 của Định lý 2.1.1 được suy ra từ điều kiện này.
Khai triển tiệm cận của nghiệm của (2.1), (2.2) được tìm dưới dạng
x(t, ε) = ¯x(t, ε) + Πx(τ, ε). (2.12)
Ở đây τ = t/ε, và x = {z, y}, phần chính quy và phần lớp biên của phép khai triển lần lượt là
¯ x(t, ε) = ¯x0(t) +àx¯1(t) +ã ã ã+àkx¯k(t) +ã ã ã , (2.13)
Πx(τ, ε) = Π0x(τ) +εΠ1x(τ) +ã ã ã +εkΠkx(τ) +ã ã ã . (2.14) Thay chuỗi (2.12) vào hệ (2.1), ta thu được đẳng thức
εd¯z dt + dΠz
dτ = F(¯z+ Πz,y¯+ Πy, t), d¯y
dt + 1 ε
dΠy dτ = f(¯z+ Πz,y¯+ Πy, t).
(2.15)
Biểu diễn vế phải của các phương trình này dưới dạng tương tự như (2.12): F = ¯F + ΠF, f = ¯f + Πf. Ta minh họa đối với hàm F
F(¯z+ Πz,y¯+ Πy, t) =F(¯z(t, ε),y(t, ε), t)¯
+ [F(¯z(τ ε, ε) + Πz(τ, ε),y(τ ε, ε) + Πy(τ, ε), τ ε)¯
−F(¯z(τ ε, ε),y(τ ε, ε), τ ε)]¯
= ¯F + ΠF.
Các đẳng thức (2.15) khi này được viết lại thành
εd¯z dt + dΠz
dτ = ¯F + ΠF, d¯y
dt + 1 ε
dΠy dτ = ¯f + Πf. (2.16)
Thay chuỗi (2.13) và (2.14) của x(t, ε)¯ và Πx(τ, ε) vào (2.16) và biểu diễn F ,¯ ΠF,f¯và Πf dưới dạng chuỗi lũy thừa của biến ε
F¯ = F z¯0(t) +ε¯z1(t) +ã ã ã ,y¯0(t) +ε¯y1(t) +ã ã ã , t
= F z¯0(t),y¯0(t), t
+εF¯z(t)¯z1(t) + ¯Fy(t)¯y1(t)
+ã ã ã +εkF¯z(t)¯zk(t) + ¯Fy(t)¯yk(t) +Fk(t)
+ã ã ã
= ¯F0+εF¯1+ã ã ã+εkF¯k +ã ã ã , (2.17)
trong đó các phần tử của ma trận F¯z(t) và F¯y(t) được tính tại điểm (¯z0(t),y¯0(t), t), và các hàm Fk(t) được biểu diễn truy hồi theo z¯i(t) và
¯ yi(t) với i < k,
ΠF = F z¯0(τ ε) +ε¯z1(τ ε) +ã ã ã+ Π0z(τ) +εΠ1z(τ) +ã ã ã ,
¯ y0(τ ε) +ε¯y1(τ ε) +ã ã ã+ Π0y(τ) +εΠ1y(τ) +ã ã ã , τ ε
−F z¯0(τ ε) +ε¯z1(τ ε) +ã ã ã ,y¯0(τ ε) +ε¯y1(τ ε) +ã ã ã , τ ε
= F z¯0(0) + Π0z(τ),y¯0(0) + Π0y(τ),0
−F z¯0(0),y¯0(0),0 +ε
Fz(τ)Π1z(τ) +Fy(τ)Π1y(τ) +G1(τ)
+ã ã ã +εk
Fz(τ)Πkz(τ) +Fy(τ)Πky(τ) +Gk(τ)
+ã ã ã
= Π0F +εΠ1F +ã ã ã+εkΠkF +ã ã ã , (2.18)
trong đó các phần tử Fz(τ) và Fy(τ) được tính tại điểm (¯z0(0) + Π0z(τ),
¯ y0(0) + Π0y(τ),0) và các hàm Gk(τ) được biểu diễn truy hồi theo Πiz(τ) và Πiy(τ) với i < k. Tương tự với biểu diễn của f¯và Πf.
Cân bằng các hệ số của các lũy thừa của ε ở cả hai vế của (2.16), ta thu được hệ phương trình cho các số hạng trong chuỗi (2.13) và (2.14).
Với x¯0(t) =
¯ z0(t),y¯0(t) , ta thu được hệ phương trình
0 = ¯F0 =F(¯z0(t),y¯0(t), t), d¯y0
dt = ¯f0 =f(¯z0(t),y¯0(t), t). (2.19)
Hệ này trùng với hệ suy biến (2.3).
Với số hạng đầu tiên Π0x(τ) =
Π0z(τ),Π0y(τ) của phần lớp biên của công thức tiệm cận, ta thu được hệ phương trình
dΠ0z dτ = Π0F = F z¯0(0) + Π0z,y¯0(0) + Π0y,0
−F z¯0(0),y¯0(0),0
= F z¯0(0) + Π0z,y¯0(0) + Π0y,0
, (2.20)
dΠ0y dτ = 0.
(Do theo phương trình đầu của (2.19) thì F z¯0(0),y¯0(0),0
= 0.)
Đối với các số hạng x¯k(t) và Πkx(τ)(k ≥ 1) ta có phương hệ phương trình (gọi là hệ biến phân)
d¯zk−1
dt = ¯Fk = ¯Fz(t)¯zk+ ¯Fy(t)¯yk +Fk(t), dy¯k
dt = ¯fk = ¯fz(t)¯zk + ¯fy(t)¯yk+fk(t),
(2.21)
dΠkz
dτ = ΠkF =Fz(τ)Πkz +Fy(τ)Πky+Gk(τ), dΠky
dτ = Πk−1f.
(2.22)
Ở đây các hàm fk(t) và Fk(t) được biểu diễn một cách truy hồi thông qua
¯ zi(t) và y¯i(t) với i < k. Các hàm Gk(τ) được biểu diễn một cách truy hồi thông qua Πiz(τ) và Πiy(τ) với i < k, và Πk−1f là hệ số của εk−1 trong khai triển chuỗi lũy thừa củaΠf theo ε(tương tự như khai triển của ΠF), ví dụ
G1(τ) = Fz(τ)−F¯z(0)
¯ z0′(0)τ + ¯z1(0) + Fy(τ)−F¯y(0)
¯ y0′(0)τ + ¯y1(0)
+ Ft(τ)−F¯t(0)
τ, (2.23) Π0f = f z¯0(0) + Π0z(τ),y¯0(0) + Π0y(τ),0
−f z¯0(0),y¯0(0),0
. (2.24)
Để xác định nghiệm của (2.21) và (2.22), ta cần có điều kiện ban đầu.
Thay (2.12) vào điều kiện (2.2), ta thu được
¯ z0(0) +ε¯z1(0) +ã ã ã+ Π0z(0) +εΠ1z(0) +ã ã ã =z0,
¯ y0(0) +ε¯y1(0) +ã ã ã+ Π0y(0) +εΠ1y(0) +ã ã ã = y0. Do đú, cõn bằng cỏc hệ số theo số mũ của à ta thu được
¯ z0(0) + Π0z(0) = z0, y¯0(0) + Π0y(0) = y0, (2.25)
¯ zk(0) + Πkz(0) = 0, y¯k(0) + Πky(0) = 0, k = 1,2, . . . . (2.26)
Phương trình (2.25) chứa 4 ẩn: z¯0(0), Π0z(0), y¯0(0), Π0y(0). Phương trình (2.26) cũng vậy. Rõ ràng nếu chỉ sử dụng (2.25) thì ta không thể xác định được 4 ẩn này. Do vậy ta cần xét đến một số ý tưởng bổ sung. Thứ nhất, từ phương trình đầu trong (2.19) ta có thể xác định z¯0(t) mà không cần điều kiện ban đầu cho nó. Do đó z¯0(0) là đã biết trong (2.25). Tương tự với đại lượng z¯k(0) trong hệ (2.26). Thứ hai, vì các hàm Πkx(τ) phải
→ ∞. Do đó, ta chỉ cần ràng
buộc điều kiện này cho các hàm Πky(τ), hệ quả là dựa trên điều kiện 20 tính chất này cũng đúng với Πkz(τ). Do đó, ta đưa ra điều kiện
Πky(∞) = 0, k = 0,1,2, . . . . (2.27)
Thật vậy từ (2.19)-(2.22) cùng với điều kiện (2.25)–(2.27) ta có thể xác định tất cả các số hạng của chuỗi (2.13), (2.14) theo thứ tự như sau.
Từ phương trình thứ hai của (2.20) và điều kiện Π0y(∞) = 0 từ (2.27), ta thu được
Π0y(τ) ≡ 0.
Tính chất này đồng nghĩa với việc hàm y(t, ε) không có lớp biên trong phép xấp xỉ bậc không.
Từ đẳng thức thứ hai của (2.25) ta tìm được y¯0(0) =y0−Π0y(0) = y0. Do đó hệ (2.19) trùng với hệ rút gọn (2.3) có điều kiện ban đầu trùng với (2.4). Lấy nghiệm của hệ (2.3), (2.4) là nghiệm xác định trong Định lý 2.1.1: z¯0 = ¯z(t) =φ(¯y, t),y¯0 = ¯y(t). Khi đó, số hạng đầu tiên z¯0(t) và y¯0(t) của phần chính quy của khai triển tiệm cận được xác định và trùng với nghiệm giới hạn trong Định lý 2.1.1.
Vì z¯0(t) đã xác định, nên giá trị z¯0(0) là xác định. Từ đẳng thức đầu của (2.25) thu được
Π0z(0) =z0−z¯0(0) =z0−φ(y0,0). (2.28)
Từ phương trình đầu của (2.20) (Π0y(τ) = 0) với điều kiện ban đầu (2.28) bằng phép đổi biến z(τ˜ ) = Π0z(τ) +φ(y0,0) bài toán của Π0z trở thành bài toán (2.7), (2.8). Theo điều kiện 30 có
Π0z(τ) → 0 khi τ → ∞.
Sử dụng điều kiện 20 có thể chứng minh Π0z(τ) thỏa mãn đánh giá cấp mũ (xem [10])
∥Π0z(τ)∥ ≤ce−κτ, τ ≥ 0. (2.29)
Ở đây và về sau, ký hiệu c và κ chỉ các số dương thích hợp, là khác nhau trong các phương trình khác nhau.
Khi z là hàm vô hướng, đánh giá (2.29) cho nghiệmΠ0z(τ)của bài toán gồm phương trình đầu của (2.20) và điều kiện (2.28) có thể thu được theo cách đơn giản. Trong trường hợp này, điều kiện 20 tương ứng với bất đẳng thức
Fz z¯0(t),y¯0(t), t
< 0 với 0 ≤ t ≤ T. (2.30)
Theo định lý giá trị trung bình, phương trình đầu của (2.20) được viết lại
dưới dạng
dΠ0z dτ = Fz(¯z0(0) +θΠ0z(τ), y0,0)Π0z, trong đó 0 < θ <1. Do đó, sử dụng điều kiện ban đầu (2.28) ta thu được
Π0z(τ) = (z0−z¯0(0))eR0τFz(¯z0(0)+θΠ0z(s),y0,0)ds. (2.31)
Vì Π0z(τ) → 0 khi τ → ∞ vàFz z¯0(0), y0,0
< 0 nên tồn tại các số κ > 0 và τ0 >0 sao cho Fz z¯0(0) +θΠ0z(τ), y0,0
< −κ với τ ≥ τ0. Do đó Z τ
τ0
Fz(¯z0(0) +θΠ0z(s), y0,0)ds <−κ(τ −τ0)
, với τ ≥ τ0 và do đó
|Π0z(τ)|= |z0−z¯0(0)|eR0τ0Fz(¯z0(0)+θΠ0z(s),y0,0)ds
×e
Rτ τ0Fz(¯z0(0)+θΠ0z(s),y0,0)ds
≤ ce−κ(τ−τ0) =c1e−κτ, (2.32)
với c1 =ceκτ0. Ký hiệu c1 bởi c, ta thu được ước lượng (2.29) cho Π0z(τ).
Do đó, ta xác định được tất cả các số hạng của phép xấp xỉ bậc không.
Tiếp tục quá trình theo lược đồ tương tự với bất kỳ k ≥ 1. Giả sử đã xác định được tất cả các số hạng lên tới cấp k− 1, và các hàm Πi (Πiz và Π y) với i = 0,1, . . . , k−1 thỏa mãn đánh giá cấp mũ kiểu (2.29). Khi
đó, các số hạng không thuần nhất trong hệ tuyến tính (2.21), (2.22), tức là các số hạng d¯zk−1/dt, Fk(t), fk(t), Gk(τ),Πk−1f là các hàm đã biết, và Gk(τ),Πk−1f thỏa mãn đánh giá kiểu (2.29). Đánh giá của G1(t) và Π0f được suy ra trực tiếp từ công thức (2.23), (2.24) và từ đánh giá mũ của Π0z(τ).
Từ phương trình thứ hai của (2.22) ta được
Πky(τ) =C +
Z τ 0
Πk−1f(s)ds, với C là một hằng số bất kỳ. Từ đây sử dụng điều kiện (2.27), thu được
Πky(τ) =
Z τ
∞
Πk−1f(s)ds. (2.33)
Vì ∥Πk−1f(τ)∥ ≤ce−κτ, ta có
∥Πky(τ)∥ ≤
Z ∞ τ
ce−κsds = c
κe−κτ.
Sử dụng ký hiệuc thay choc/κ, thu được đánh giá kiểu (2.29) cho Πky(τ).
Từ (2.33), ta thu được
Πky(0) =
Z 0
∞
Πk−1f(s)ds.
Do đó từ đẳng thức thứ hai trong (2.26) ta tính được y¯k(0)
¯ yk(0) =−Πky(0) =
Z ∞ 0
Πk−1f(s)ds. (2.34)
Các hàm số z¯k(t) và y¯k(t) được xác định từ hệ (2.21) với điều kiện ban đầu (2.34). Từ phương trình thứ nhất của (2.21) tìm được z¯k theo y¯k như sau
¯ zk = ¯Fz−1(t)
d¯zk−1
dt −F¯y(t)¯yk−Fk(t)
. (2.35)
Chú ý rằng theo điều kiện 20,det ¯Fz(t) ̸= 0, và do đó tồn tại F¯z−1(t).
Thay biểu thức này vào phương trình thứ hai của (2.21), thu được phương trình vi phân tuyến tính của y¯k(t). Giải phương trình với điều kiện ban đầu (2.34), tìm được y¯k(t), và do đó tìm được z¯k(t) từ công thức (2.35).
Do vậy giá trị của z¯k(0) trong đẳng thức đầu tiên của (2.26) là xác định.
Từ đây thu được điều kiện ban đầu củaΠkz: Πkz(0) =−z¯k(0). Cuối cùng, ta giải phương trình đầu trong (2.22) với điều kiện ban đầu vừa tìm được.
Vì Πky(τ) đã biết và do hàm này và hàm Gk(τ) thỏa mãn đánh giá cấp mũ nên hàm G˜k(τ) = Fy(τ)Πky(τ) +Gk(τ) thỏa mãn đánh giá
∥G˜k(τ)∥ ≤ce−κτ. (2.36) Nghiệm Πkz(τ) được viết dưới dạng
Πkz(τ) = −Φ(τ)¯zk(0) +
Z τ 0
Φ(τ)Φ−1(s) ˜Gk(s)ds, (2.37)
trong đó Φ(τ) là ma trận cơ bản của phương trình thuần nhất tương ứng
dΦ dτ = Fz(τ)Φ, Φ(0) = IM
trong đó IM ký hiệu cho ma trận đơn vị cấp M. Dựa vào điều kiện 20, ma trận cơ bản Φ(τ) thỏa mãn tính chất sau (xem [10])
∥Φ(τ)∥ ≤ ce−κτ, τ ≥ 0. (2.38) Trong trường hợp z là hàm vô hướng, ta có
Φ(τ) =e
Rτ 0 Fz(s)ds, và tương tự như cách chứng minh (2.32), ta dễ dàng thu được đánh giá (2.38).
Sử dụng các bất đẳng thức (2.36) và (2.38), từ (2.37) ta thu được
∥Πkz(τ)∥ ≤ce−κτ +
Z τ 0
ce−κ(τ−s) ×ce−κsds
≤ ce−κτ +c2τ e−κτ.
Chọn κ1 thỏa mãn 0 < κ1 < κ. Vì τ e−(κ−κ1)τ ≤ c, ta có τ e−κτ ≤ ce−κ1τ. Một lần nữa sử dụng ký hiệu κ thay cho κ1 và c thay cho tất cả các hằng số cùng kiểu, cuối cùng ta thu được
∥Πkz(τ)∥ ≤ ce−κτ, τ ≥ 0.
Do vậy thuật toán bên trên cho phép xác định được các số hạng của chuỗi (2.13) và (2.14) đến bậc n bất kỳ. Ngoài ra ta còn thấy được rằng tất cả các hàm biên Πi giảm theo cấp mũ.
Ví dụ 2.1.2. Ta xây dựng xấp xỉ tiệm cận bậc không và bậc một cho nghiệm của bài toán sau
εdz dt = −z+y+t2, dy
dt = 2z−y+ 1,
(2.39)
z(0) = 1, y(0) = −1, t ∈ [0,1]. (2.40) Nghiệm của bài toán suy biến
0 =−z+y +t2, dy
dt = 2z−y+ 1, y(0) = −1
là
y0(t) = 4et −2t2−4t −5, z0(t) = 4et −t2−4t−5.
Với Π0y(τ) ≡ 0, hàm biên Π0z(τ) được xác định từ bài toán
dΠ0z dτ = −Π0z, Π0z(0) = 2.
Từ đây ta thu được Π0z(τ) = 2e−τ = 2e−t/ε.
Hàm biên Π1y(τ) được xác định từ bài toán
dΠ1y dτ = 2Π0z−Π0y = 4e−τ, Π1y(∞) = 0.
Nghiệm của bài toán này là Π1y(τ) =−4e−τ = −4e−t/ε. Các hàm chính quy bậc nhất z1(t), y1(t) được xác định từ bài toán
4et −2t−4 = −z1+y1, dy1
dt = 2z1−y1, y1(0) = 4.
Giải bài toán trên, ta thu được
y1(t) = 8et(2−t)−4t−12, z1(t) = 4et(3−2t)−2t−8.
Cuối cùng, hàm biên Π1z(τ) được xác định từ bài toán
dΠ1z dτ = −Π1z+ Π1y = −Π1z−4e−τ, Π0z(0) = −4.
Nghiệm của bài toán này là Π1z(τ) = −4(τ+ 1)e−τ =−4(t/ε+ 1)e−t/ε. Vậy ta thu được các tiệm cận bậc không và bậc nhất của nghiệm của bài toán (2.39), (2.40) như sau
ze0(t) = z0(t) + Π0z(τ) = 4et−t2−4t−5 + 2e−t/ε, ey0(t) = y0(t) + Π0y(τ) = 4et −2t2−4t−5,
ze1(t) = ez0(t) +ε(z1(t) + Π1z(τ)) = 4et −t2−4t−5 + 2e−t/ε
+ε(4et(3−2t)−2t−8−4(t/ε+ 1)e−t/ε), ey1(t) = 4et −2t2−4t−5 +ε(8et(2−t)−4t−12−4e−t/ε).
Lưu ý: Nghiệm chính xác cho bài toán (2.39), (2.40) là
z(t, ε) = (1 +λ1)C1
2 eλ1t+ (1 +λ2)C2
2 eλ2t −t2−2(ε+ 2)t−2ε2−8ε−5, y(t, ε) = C1eλ1t +C2eλ2t −2t2−4(ε+ 1)t−4ε2−12ε−5,
trong đó λ1 = −ε−1+
√ε2+6ε+1 2ε , λ1 = −ε−1−
√ε2+6ε+1 2ε và các hằng số C1, C2 được xác định bằng cách sử dụng điều kiện ban đầu (2.40).
Nghiệm x(t, ε) và các xấp xỉ của nó với ε = 0.1 được minh họa trong Hình 2.1, 2.2, trong đó nghiệm chính xác được vẽ bằng nét liền, nghiệm suy biến được vẽ bằng nét đứt, xấp xỉ bậc không được vẽ bằng đường gồm các điểm hình tròn, xấp xỉ bậc nhất được vẽ bằng đường nét đứt-chấm.
Hình 2.1: Đồ thị của z(t, ε) và các xấp xỉ Hình 2.2: Đồ thị của y(t, ε) và các xấp xỉ