1.3 Xây dựng nghiệm tiệm cận cho các bài toán nhiễu chính quy và nhiễu kì dị tổng quát
1.3.2 Bài toán nhiễu kì dị
Xét bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân tuyến tính vô hướng:
Aε : εdx
dt = −ax+f(t), 0 ≤ t ≤ T, x(0, ε) = 0,
với a >0 là hằng số và f(t) có đạo hàm vô hạn lần.
Bài toán A0 tương ứng có dạng
0 =−ax+f(t)
và do đó x = f(t)/a ≡ x(t).¯
Ta thử xây dựng một tiệm cận của nghiệm của bài toán Aε dưới dạng chuỗi lũy thừa (1.6) của ε:
x0(t) +εx1(t) +ã ã ã+εkxk(t) +ã ã ã . (1.11) Thay chuỗi này vào phương trình Aε, thu được
ε d dt x0+εx1+ã ã ã+εk−1xk−1+ã ã ã
= −a x0+εx1+ã ã ã +εkxk +ã ã ã
+f(t).
Cân bằng các hệ số theo lũy thừa của ε, ta thu được các phương trình
giúp xác định các hệ số trong chuỗi (1.11)
x0 = f(t)
a , x1 =−1
a dx0
dt = −f′(t)
a2 , . . . ,
xk =−1
a dxk−1
dt = (−1)kf(k)(t)
ak+1 , k = 2,3, . . . .
(1.12)
Ta thấy số hạng x0(t) của chuỗi (1.11) trùng với nghiệm x(t) của bài toán A0.
Chuỗi (1.11) thỏa mãn phương trình vi phân Aε, nhưng nó không thỏa mãn điều kiện ban đầu vì các hệ số của chuỗi được xác định mà không sử dụng điều kiện ban đầu x(0, ε) = x0. Do đó, chuỗi (1.11) không được coi là tiệm cận cho nghiệm của bài toán Aε, ít nhất là trong vùng lân cận của điểm ban đầu t = 0. Ngoài vùng lân cận của điểm ban đầu t = 0, chuỗi (1.11) là tiệm cận của x(t, ε).
Thật vậy, lấy tích phân từng phần hai lần của nghiệm chính xác của Aε
x(t, ε) = 1
εe−atε
Z t 0
easεf(s)ds, ta được
x(t, ε) = 1
ae−atε ãf(s)easε
t 0− 1
ae−atε
Z t 0
f′(s)easεds
= f(t) a − f(0)
a e−atε − ε
a2e−atε
Z t 0
f′(s)deasε
= hf(t) a −εf′(t)
a2 i
+h
− f(0) a +εf′(0)
a2 i
e−atε + ε
a2e−atε
Z t 0
f′′(s)easε ds.
Vì
e−atε Z t
0
easεds = ε
a
1−e−atε
=O(ε)
nên số hạng cuối có bậc ε2. Sử dụng (1.12) và đặt τ = t/ε, nghiệm x(t, ε) có thể viết dưới dạng
x(t, ε) =
x0(t) +εx1(t)
+
−x0(0)e−aτ −εx1(0)e−aτ
+O(ε2).
Đặt Π0x(τ) = −x0(0)e−aτ, Π1x(τ) = −x1(0)e−aτ. Dễ thấy x0(0) + Π0x(0) = 0 và x1(0) + Π1x(0) = 0.
Tiếp tục lấy tích phân từng phần và sử dụng (1.12), cuối cùng chúng ta có
x(t, ε) =
x0(t) +εx1(t) +ã ã ã +εnxn(t) +
Π0x(τ) +εΠ1x(τ) +ã ã ã+εnΠnx(τ)
+O(εn+1)
=
n
X
k=0
εk xk(t) + Πkx(τ)
+O(εn+1)
cho n tùy ý. Ở đây, mỗi hàm Πkx(τ) chứa tham số e−aτ và thỏa mãn Πkx(0) = −xk(0). Vì thế tiệm cận cho x(t, ε) trên toàn bộ [0, T] có dạng
x(t, ε) =
∞
X
k=0
εk xk(t) + Πkx(τ)
. (1.13)
Một số đặc điểm của tiệm cận (1.13).
1. Tiệm cận (1.13) bao gồm hai chuỗi. Một là chuỗi lũy thừa của ε tương tự với trường hợp nhiễu chính quy với hệ số chỉ phụ thuộc vào t.
Hai là chuỗi lũy thừa của ε có hệ số phụ thuộc vào thời gian dãn τ = t/ε
Π0x(τ) +εΠ1x(τ) +ã ã ã+εkΠkx(τ) +ã ã ã . (1.14)
2. Chuỗi (1.14) có hai thuộc tính quan trọng. Thứ nhất, vì xk(0) + Πkx(0) = 0, chuỗi (1.13) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0, ε) = 0. Nhắc lại rằng chuỗi (1.11) nói chung không thỏa mãn điều kiện này. Mục đích của chuỗi (1.14) là thỏa mãn điều kiện ban đầu cùng chuỗi (1.11). Thứ hai, các hàm Πkx(τ) giảm theo cấp số mũ khi τ tăng, do đó chúng chỉ quan trọng trong một vùng lân cận nhỏ của điểm ban đầu t = 0 (trong lớp biên). Đối với t ≥ δ, trong đó δ là một số nhỏ tùy ý nhưng cố định, Πkx(τ) → 0 khi ε→ 0 nhanh hơn lũy thừa của ε. Thật vậy, với t ≥ δ, chúng ta có thể viết e−aτ = e−at/ε ≤ e−aδ/ε = O εN
với N bất kỳ.
Ta gọi các hàm Πkx(τ) là hàm lớp biên. Chuỗi (1.11) là chuỗi chính quy hoặc phần chính quy của nghiệm tiệm cận. Chuỗi (1.14) là chuỗi lớp biên hoặc phần lớp biên của nghiệm tiệm cận.
3. Không giống như trường hợp nhiễu chính quy, ở đây nghiệm x0(t) của bài toán A0 (phần chính của chuỗi chính quy) là một xấp xỉ tiệm cận tới nghiệm x(t, ε) của bài toán Aε không trong toàn bộ khoảng 0 ≤ t ≤ T, mà ở ngoài lớp biên, ví dụ khoảng con δ ≤ t ≤ T. Để có tiệm cận x(t, ε) cho toàn khoảng 0 ≤ t ≤ T, ta phải thêm hàm Π0x(τ) của chuỗi lớp biên vào x0(t). Khi đó sup[0,T]|x(t, ε)−(x0(t) + Π0(τ))| = O(ε). Do vậy, tổng x0(t) + Π0x(τ) cung cấp một xấp xỉ tiệm cận cho x(t, ε) với độ chính xác là ε trên toàn bộ [0, T].
4. Ngoài lớp biên tất cả các hàm Π nhỏ hơn bất kì lũy thừa nào của ε, chuỗi chính quy (1.11) là tiệm cận cho x(t, ε).
5. Nếu a <0 thì với t > 0, hàm x(t, ε)→ ∞ khi ε→ 0. Vì thế x0(t) sẽ không phải là một tiệm cận (và chuỗi (1.11) sẽ không phải là một chuỗi tiệm cận) cho x(t, ε) ở bất kì khoảng con 0 ≤ t ≤ T. Điều này cho thấy đối với trường hợp phương trình vi phân chịu nhiễu kì dị một số điều kiện đặc biệt ở vế phải của phương trình sẽ được đưa ra. Trong ví dụ cụ thể này, điều kiện như vậy là a >0. Đối với các bài toán chịu nhiễu kì dị tổng quát hơn, dạng tổng quát của điều kiện này được giới thiệu trong chương tiếp theo.
Chương 2
Phương trình vi phân chịu nhiễu kì dị
Nội dung chương 2 dựa trên chương 2 của cuốn sách chuyên khảo [9]
có chọn lọc các phần phù hợp với mục tiêu chính của luận văn, trình bày lại một số phần sao cho bớt dài và dễ nắm bắt hơn so với bản gốc đồng thời bổ sung thêm ví dụ và hình minh họa cho hai bài toán chính trong chương là bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên. Trong cuốn sách [9], nội dung chính của Mục con 2.1.1 được trình bày dựa trên các công trình cơ bản của Tikhonov [6]–[8] về sự phụ thuộc của nghiệm của phương trình vi phân vào các tham số bé.